1  

 

 

 

 

LOGIKA MATEMATIKA 

  

• Kalimat Terbuka – Tertutup 

• Negasi, Kata Penghubung 

• Penarikan Kesimpulan 

• Soal ‐ Soal 

 

 

 

 

Disusun oleh: 

Muhammad Irfan,S.Si 

 

 

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi

(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar

pernyataan dan logika penghubung atau predikat (predicate logic)

yang menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan

pertama dengan pernyataan kedua. Oleh karena itu logika

matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan

matematik (mathematical Statement). Namun sebelum melangkah

lebih jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian

pernyataan dan pengertian penghubung. Berikut ini diberikan

definisi suatu pernyataan :

A. Pengertian

Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan

dapat di uji kebenarannya secara matematika.

Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.

Logika Matematika  2010/2011 

 

2  

1. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai

kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih

bervariabel.

Contoh

a. 2x + 5 = 7

b. x2 + 1 = 10

c. Jarak kota A dan kota B 200 km

d. Usia A lebih muda dari B, dll.

2. Pernyataan

Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi

pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar.

Contoh pernyataan

a. 2 x 5 = 10

b. 20 : 2 = 6

c. Toni lebih muda dari Susi

Pernyataan a bernilai benar

Pernyataan b bernilai salah

Pernyataan c bisa benar atau salah

Latihan

1. Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang

merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan

kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai

kebenarannya.

a. x + 5 > 0.

b. x2 + 5 ≥ 0.

c. Satu windu sama dengan n tahun.

d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan

bulat.

e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan

cacah.

f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.

g. Itu adalah benda cair.

h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap

2. Diberikan kalimat terbuka berikut : x2 - 1 = 0 , x bilangan

real. Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu

pernyataan.

B. Penghubung / Konektif (Connective)

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika

(penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction),

Logika Matematika  2010/2011 

 

3  

Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi,

atau Ekuivalensi (Equivalence).

1. NEGASI

Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari

suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar”

di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau

” bukan” pada pernyataan tersebut.

Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi

p

B S

S B

Contoh

Pernyataan : p Negasi (ingkaran) :

Tiga puluh sembilan adalah Tiga puluh sembilan bukan

bilangan prima

(S)

bilangan prima

(B)

Semua binatang adalah

mahluk hidup

(B)

Tidak semua binatang

adalah mahluk hidup

(S)

2. KONJUNGSI

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan

tunggal. Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih

pernyataan tunggal yang digabung dan disebut

denganpernyataan majemuk. Konjungsi merupakan kata

penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya berupa

kata “dan”. Kata penghubung “dan” pada perkataan majemuk

dilambangkan dengan “ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi

didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ̂ dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p salah (S)

Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah

Logika Matematika  2010/2011 

 

4  

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh

Pernyataan : p Pernyataan : q

SMK 1 Sragen berada di

Kabupaten Sragen (B)

Sragen termasuk ke

dalam wilayah Jawa

Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam

suatu segi tiga selalu

180o (B)

Besar sudut segitiga sama

sisi adalah 90o (S)

S

Dua adalah bilangan

ganjil (S)

Dua adalah bilangan

prima (B)

S

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S

3. DISJUNGSI

Disjungsi merupakan kata penghubung berupa kata “atau”

dalam menghubungkan dua pernyataan menjadi kalimat

majemuk. Kata penghubung “atau” pada pernyataan majemuk

dilambangkan dengan “ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi

didefinisikan sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q

B B B

B S B

S B B

S S S

Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

” p V q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah 

Logika Matematika  2010/2011 

 

5  

Contoh

Pernyataan : p Pernyataan : q

SMK 1 Sragen berada di

Kabupaten Sragen (B)

Sragen termasuk ke dalam

wilayah Jawa Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam suatu

segi tiga selalu 180o (B)

Besar sudut segitiga sama

sisi adalah 90o (S)

B

Dua adalah bilangan ganjil

(S)

Dua adalah bilangan prima

(B)

B

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S

4. IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat)

Untuk memahami implikasi, perhatikan uraian berikut ini.

Misalkan Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali

olimpiade sains-matematika nasional tahun ini maka aku akan

membelikan kamu sepatu bola”. Janji Boby ini hanya berlaku

jika Boby mendapatkan medali olimpiade sains-matematika.

Kalimat yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika

matematika dapat ditulis sebagai berikut :

Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.

Maka q : membelikan sepatu bola

Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau

dilambangkan dengan “ ” suatu pernyataan majemuk

yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dari pernyataan p ke

pernyataan q dinyatakan dengan , ” ”, ialah sebuah

pernyataan yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai

benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut hipotesa

(premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi).

Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Implikasi

p q

B B B

B S S

S B B

S S B

Implikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :

” p → q ” bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar.

Logika Matematika  2010/2011 

 

6  

Contoh

Pernyataan : p Pernyataan : q

SMK 1 Sragen berada di

Kabupaten Sragen (B)

Sragen termasuk ke dalam

wilayah Jawa Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam

suatu segi tiga selalu

180o (B)

Besar sudut segitiga sama

sisi adalah 90o (S)

S

Dua adalah bilangan

ganjil (S)

Dua adalah bilangan prima

(B)

B

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) B

5. BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI)

Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan

hubungan “Jika dan hanya jika“ Sehingga menjadi suatu

kalimat yang dapat dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q

” atau dilambangkan dengan :

“ p ⇔ q ”

suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi.

Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan

dari:

p ⇔q dan q⇔p

Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p ⇔q dikatakan

bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang

sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini :

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q

B B B

B S S

S B S

S S B

Biimplikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :

” p ⇔ q ” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.  

Logika Matematika  2010/2011 

 

7  

Contoh

Nyatakan pernyataan berikut dengan symbol dan tentukan

kebenarannya.

“ Irfan Bachdim adalah pemain Timnas dan tidak benar bahwa

Jakarta adalah ibukota Indonesia atau SMK N 1 Sragen terletak di

Kabupaten Sragen”

Penyelesaian:

Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol:

p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B)

q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B)

r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S)

Secara simbolik, pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai

berikut:

        

Kemudian, untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan di atas

yaitu:

(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S

⇔ (B ∧ S ) ∨ S

⇔ S∨ S

⇔ S

Jadi, pernyataan di atas bernilai salah.

C. TABEL KEBENARAN (Truth Table)

Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar

atau salah kita perlu table kebenaran dari kalimat penghubung

yang ada dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang

pernyataan p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua

penghubung adalah sebagai berikut:

p q

B B S S B S B B

B S S B S S S S

S B B S S S B S

S S B B S B B B

Nilai kebenaran

ABCD adalah persegi ABCD segi empat

yang sisinya sama

B

n adalah bilangan prima n habis dibagi 7 S

SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah

Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta

S

Grafik bukan garis lurus

adalah fungsi yang tidak linier

B

Logika Matematika  2010/2011 

 

8  

Contoh

Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan

daerah asal :

1. n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal

himpunan bilangan bulat.

2. x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.

3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada

tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.

Soal Latihan

1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:

a. Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.

b. Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah

c. Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur.

d. 49 adalah bilangan kuadrat.

2. Diberikan pernyataan sebagai berikut:

p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong

q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1

r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan

berikut:

a.  

b.    

c.  

d.  

3. Periksalah nilai kebenaran dari Implikasi berikut, jika salah

berikan contoh kesalahannya.

a. Jika x=2 maka 2 5 2 0

b. Jika x = 90 maka sin cos 0

DEFINISI Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.

Logika Matematika  2010/2011 

 

9  

D. KUANTOR

1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau

“setiap” disebut pernyataan kuantor universal (umum) ,

sedangkan pernyataan yang menggunakan kata “Beberapa”

atau “ada” kuantor eksistensial (khusus). Pernyataan untuk

setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x  D, maka P(x)

bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P(x) bernilai

benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x  D sehingga

P(x) bernilai benar.

Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk

simbulik dan memuat penghubung, kita harus menetapkan

daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan

interpretasi (makna) terhadap fungsi dan penghubung yang

ada didalamnya.

2. Negasi dari Pernyataan berkuantor

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah

ingkaran dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p

. Selanjutnya dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa:

- Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor

eksistesial.

- Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Contoh:

Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut:

a.   , 1 0

b.   , 1 0

Jawab:

a.   , 1 0 adalah pernyataan yang benar

Negasi dari pernyataan tersebut adalah:

DEFINISI Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.

1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor universal (universal quantifier).

2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).

Logika Matematika  2010/2011 

 

10  

  , 1 0 , 1 0 bernilai

salah

b.   , 1 0 adalah pernyataan yang salah

Negasi dari pernyataan tersebut adalah:

  , 1 0  , 1 0 bernilai

benar

3. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi

Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers,

invers dan kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi

berikut ini :

i. Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA

Dari pernyataan implikasi ini, dapat dibuat

pernyataan baru:

ii. Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa

iii. Jika Nena bukan seorang mahasiswa, maka Nena

tidak lulus SMA

iv. Jika Nena tidak lulus SMA, maka Nena bukan

seorang mahasiswa

Pernyataan – pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai

berikut:

i. : disebut implikasi

ii. : disebut konvers dari implikasi

iii. : disebut invers dari implikasi

iv. : disebut kontraposisi dari implikasi

Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan

Kontraposisi.

Komponen Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

p q

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan

bahwa:

- Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

- Konvers ekuivalen dengan Invers

Logika Matematika  2010/2011 

 

11  

4. Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Perhatikan contoh kalimat berikut:

p : Markus tidak malas

q : Markus giat berlatih

Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai

berikut:

a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih :  

bernilai B

b: Markus malas atau Markus giat berlatih :  

bernilai B

Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya:

 

   

Contoh

Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkanlah bahwa

pernyataan   ekuivalen dengan pernyataan  

Jawab:

p q

B B S B B B

B S S S S B

S B B B B B

S S B B B B

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa    

Coba kita perhatikan kolom ke-6 pada table tersebut. Pada

kolom tersebut selalu bernilai benar untuk setiap

kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen

yang ada. Pernyataan majemuk tersebut disebut Tautologi

(benar logis). Tautologi yang berbentuk

  disebut Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang

dibaca (a ekuivalen b)

Sedangkan untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari

pernyataan komponen yang bernilai salah pernyataan

majemuk tersebut disebut Kontradiksi.

Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.

Logika Matematika  2010/2011 

 

12  

Kontradiksi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.

Contoh

Tunjukkan bahwa adalah tautology dan adalah

kontradiksi

Jawab

B S B S

S B B S

Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa adalah

Tautologi dan adalah Kontradiksi.

Contoh

Tunjukkan bahwa pernyataan adalah

tautology

Jawab:

B B B S S B

B S S B B B

S B B S B B

S S B S B B

Dapat disimpulkan bahwa pernyataan adalah

tautology

Latihan

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari

pernyataan berikut:

a. Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya

piala.

b. Jika Ryan seorang mahasiswa, maka Ryan lulus

SMA.

c. Jika bilangan ganjil, maka  1 adalah

bilangan genap.

2. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor

berikut ini:

a. Setiap bilangan bulat adalah bilangan real.

b. Terdapat bilangan real sehingga 4 0

Logika Matematika  2010/2011 

 

13  

c. Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda.

d. Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut 60 .

3. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology:

a.

b.

c.

5. Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens

Silogisme Modus Ponens dan Modus Tollens adalah metode

atau cara yang digunakan dalam menarik kesimpulan. Proses

penarikan kesimpulan terbagi atas beberapa hipotesa yang

diketahui nilai kebenarannya yang kemudian dengan

menggunakan prinsip-prinsip logika diturunkan suatu

kesimpulan (konklusi). Penarikan kesimpulan ini disebut

dengan argumentasi.

Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu

kesimpulan adalah sebagai berikut :

i. Argumen dikatakan berlaku atau sah:

Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi

dengan kesimpulan

ii. Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b

sedangkan kesimpulannya adalah c, Argumen yang

berlaku atau sah:

iii. Argumen dikatakan berlaku atau syah:

Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya

juga benar.

iv. Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa -

hipotesanya barus demi baris kemudian dibuat garis

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B

Logika Matematika  2010/2011 

 

14  

mendatar dan kesimpulan diletakkan baris paling

bawah sebagai berikut :

a hipotesa 1

b hipotesa 2

kesimpulan

Tanda “ “ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena

itu…”.

1. Silogisme

Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat

menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan

dengan cara menyusun baris – baris:

hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi:

Silogisme dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi

tersebut merupakan tautologi

Berikut ini adalah table kebenarannya.

Contoh

Tentukan kesimpulan dari argument berikut:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.

Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. q r Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: Jika n bilangan ganjil maka

n2+1 genap

2. Modus Ponens

Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat

menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan

dengan cara menyusun baris – baris:

hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis

menjadi:

Logika Matematika  2010/2011 

 

15  

Modus Ponens dikatakan sah jika nilai dari bentuk

implikasi tersebut merupakan tautologi

Berikut ini adalah table kebenarannya.

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Contoh

Tentukan kesimpulan dari argument berikut:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.

Hipotesa 2 : n bilangan ganjil.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. p Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil

3. Modus Tollens

Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat

menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan

dengan cara menyusun baris – baris:

hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis

menjadi:

Modus Tollens dikatakan sah jika nilai dari bentuk

implikasi tersebut merupakan tautologi

Berikut ini adalah table kebenarannya.

B B S B S S B

B S B S S S B

S B S B S B B

S S B B B B B

Cara lain untuk menunjukkan sah atau tidaknya sebuah

Modus Tollens adalah dengan mengambil kontaposisi

dari argument sebagai berikut:

Logika Matematika  2010/2011 

 

16  

Kontraposisi: 

Contoh

Tentukan kesimpulan dari argument berikut:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.

Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil. Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil

Latihan

1. Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini:

a. Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah.

Hipotesa 2 : Aku basah

b. Hipotesa 1 : Jika Yongki mencetak gol maka Yongki

akan melakukan selebrasi.

Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol.

c. Hipotesa 1 : Jika 0 maka 0 .

Hipotesa 2 : Jika 0 maka . 0

d. Hipotesa 1 : Jika √ . √ √ maka √ . √ √ .

Hipotesa 2 : Jika √ . √ √ .maka 0

e. Hipotesa 1 : Jika 4 0 maka 0.

Hipotesa 2 : 0

2. Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut:

a. hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

b. hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

17  

 

 

 

 

MATRIKS 

  

• Macam – macam Matriks 

• Operasi pada Matriks 

• Determinan dan Invers pada Matriks 

• Menyelesaikan Sistem Pers. Linier 

• Soal ‐ Soal 

 

 

 

 

Disusun oleh: 

Muhammad Irfan,S.Si 

 

 

 

A. Macam – macam Matriks 

1. Pengertian Matriks 

Matriks  adalah  susunan  elemen  –  elemen  yang  berbentuk  persegi 

atau  persegi  panjang  dengan  dibatasi  oleh  tanda  kurung  “(  )”  atau 

kurung siku “[ ]”. Elemen – elemen tersebut bias berbentuk bilangan 

ataupun huruf. Nama suatu matriks dinotasikan dengan huruf capital, 

sedangkan elemen – elemennya menggunakan huruf kecil. 

 

 adalah elemen pada baris pertama kolom pertama. 

 adalah elemen pada baris pertama kolom kedua. 

 adalah elemen pada baris kedua kolom pertama. 

 adalah elemen pada baris ke‐m kolom ke‐n. 

 

Matriks    adalah matriks  A  dengan m  baris  dan  n  kolom. Mxn 

disebut  juga dengan ukuran suatu matriks atau biasa dikenal dengan 

nama ordo suatu matriks. 

 

Contoh 1 

Tentukan ordo dari matriks berikut: 

1 32 4 , 2 1 2  

Matriks  A mempunyai  ordo  2x2  karena mempunyai  2  baris  dan  2 

kolom. Sedangkan B ber‐ordo 1x3. 

 

18  

2. Macam – macam Matriks 

a. Matiks Nol 

Matriks Nol adalah matriks dimana semua elemennya bernilai nol. 

Contoh 2 

0 00 0 , 0 0 0

0 0 0  

 

b. Matriks persegi (bujur sangkar) 

Matriks  persegi  adalah matriks  yang  jumlah  baris  sama  dengan 

jumlah kolom. 

Contoh 3 

2 45 0 ,

2 1 46 4 29 7 8

 

 

c. Matriks persegi panjang 

Matriks  persegi  panjang  adalah  matriks  yang  jumlah  kolomnya 

tidak sama dengan jumlah baris. 

Contoh 4 

2 3 74 1 9  

 

 

 

 

 

 

d. Matriks Kolom 

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. 

Contoh 5 

321 

 

e. Matriks Baris 

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. 

Contoh 6 

3 2 1  

 

f. Matriks Diagonal 

Matriks  diagonal  adalah matriks  yang  semua  elemennya  bernilai 

nol kecuali pada diagonal utama tidak nol semuanya. 

Contoh 7 

00 ,

0 00 00 0

 

 

g. Matriks Identitas 

Matriks  identitas  adalah  matriks  persegi  yang  elemen  pada 

diagonal utamanya bernilai 1 dan lainnya bernilai 0. 

Contoh 8 

00 ,

0 00 00 0

 

19  

 

 

h. Matriks Segitiga 

• Matriks Segitiga Atas 

Matriks  segitiga  atas  adalah matriks  yang  elemen‐elemen  di 

bawah diagonal utama seluruhnya nol. 

Contoh 9 

4 70 1 ,

1 8 100 6 50 0 11

 

 

• Matriks Segitiga Bawah 

Matriks  segitiga  atas  adalah matriks  yang  elemen‐elemen  di 

atas diagonal utama seluruhnya nol. 

Contoh 10 

4 010 1 ,

1 0 010 6 09 8 11

 

 

i. Matriks Transpose   

Matriks transpose didapat dari menukar baris menjadi kolom dan 

kolom menjadi baris. 

Contoh 11  

Tentukan   

2 3 74 1 9 ,

2 1 46 4 29 7 8

 

2 43 17 9

2 6 91 4 74 2 8

 

 

3. Kesamaan Dua Buah Matriks 

Dua  matriks  dikatakan  sama,  apabila  mempunyai  ordo  sama  dan 

elemen‐elemen  yang  seletak  (bersesuaian)  dari  kedua  matriks 

tersebut sama. 

 

Contoh 12 

4 010 1 , 4 0

10 1 , 0 41 10  

Matriks  A=B  karena  ordo  dan  elemen‐elemen  seletak  sama.  A C 

karena elemen – elemen seletaknya tidak sama. 

 

Contoh 13 

Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan matriks beerikut! 

2 62 , 8 6

2  

 

Penyelesaian: 

 

2 62

8 62  

Didapatkan: 

• 2 8 … pers.1  

• 2  

20  

2 0 

 

0 di substitusikan ke dalam pers.1 menjadi: 

2 8 

2 0 8 

 

• 2 

4 2  

 

 

 

 

1. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan matriks di bawah ini. 

a. 2 3 62 5 30

3 23 30  

b. 1 62 0

2 103 0  

 

2. Tentukan nilai a, b, c, d, dan e dari persamaan matriks di bawah ini. 

4 1 56 8

2 2 3

2 53 2 2 82 3

 

 

3. Jika  0 1 11 0 00 1 1

1 00 3

2 0 1 

Tentukan w, x, y, dan z! 

 

B. Operasi pada Matriks 

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks 

Dua buah Matriks dapat dijumlahkan maupun dikurangkan  jika kedua 

buah  matriks  tersebut  mempunyai  ordo  yang  sama.  Hasil  jumlah 

ataupun  selisih  didapat  dengan  cara  menjumlahkan  atau 

mengurangkan  elemen‐elemen  yang  seletak  dari  kedua  matriks 

tersebut. 

 

Contoh 14 

Diketahui: 

5 4 21 6 1 , 2 5 5

6 5 3 , 3 14 1  

 

5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3

3 9 75 11 4  

 

5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3

7 1 37 1 2  

  tidak  dapat  dijumlahkan  maupun  dikurangkan,  karena  ordo 

kedua matriks tersebut tidak sama. 

 

 

 

 

 

LATIHAN

Apakah kita bisa untuk mengemban misi kita? Insya Allah kita bisa, karena Allah Mahatahu, Allah tahu sampai dimana potensi dan kemampuan kita. Jika kita tidak merasa mampu berarti kita

belum benar-benar mengoptimalkan potensi kita.

21  

Sifat – sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks 

1.    sifat assosiatif 

2.        sifat komutatif 

3.      sifat distributive 

4.    

5. terdapat matriks X sedemikian sehingga A+X=B.     

     

2. Perkalian Matriks 

a. Perkalian Matriks dengan scalar (k) 

Misalkan A merupakan sebuah matriks dan k sebuah scalar, maka 

kA  adalah  sebuah matriks  yang didapat dengan  cara mengalikan 

setiap elemen matriks A dengan scalar k. 

 

Contoh 15 

Diketahui  1 36 2  maka 

4 4.1 4. 34.6 4.2

4 1224 8   

 

Contoh 16 

Tentukan nilai a, b, c jika diketahui 

  2 41 0 , 2

4 , 4 21 8   sehingga 

berlaku P‐2Q=R. 

 

 

Penyelesaian: 

2  

2 41 0 2 2

44 21 8  

2 24

4 21 8

2 41 0  

24

12

2 62 8  

24

1 31 4  

Dari persamaan matriks di atas didapat: 

1; 1; 2 3 1 

 

Contoh 17 

Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut: 

2 7 59 1

3 15 1  

 

Penyelesaian: 

2 7 59 1

3 15 1  

2 3 15 1

7 59 1  

2 10 614 0  

5 37 0  

Untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan untuk setiap 

scalar  k1 dan k2 dan AB  terdefinisi, berlaku  sifat –  sifat perkalian 

matriks dengan scalar sebagai berikut: 

22  

a.  

b.  

c.  

d.  

e.  

f.  

 

b. Perkalian Matriks dengan Matriks 

Dua buah matriks A dengan ordo mxn dan matriks B dengan ordo 

pxq, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A.B yang 

berordo  mxq,  dengan  syarat  n=p.  Didapatkan  dengan  cara 

mengalikan  setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom 

matriks B. Dua buah matriks  tidak dapat dikalikan  jika dan hanya 

jika  , mengakibatkan A.B tak terdefinisi. 

Perhatikan gambar berikut: 

Matriks A    Matriks B 

baris  kolom    baris  kolom 

 

Baris matriks A=kolom matriks B,matriks dapat dikalikan  

Hasil kali kedua matriks dengan ordo baris matriks A x kolom matriks B  

 

Contoh 18 

Diketahui  1 12 0  dan  1 0 1

2 2 0  Tentukan A.B 

 

Penyelesaian: 

Matriks  A  berordo  2x2  dan  B  berordo  2x3, maka  hasil  kali  A.B 

adalah matriks yang berordo 2x3. 

. 1 12 0

1 0 12 2 0  

 

  =  1.0 1 . 2 2  adalah  elemen  baris  ke‐1  dan  kolom 

ke‐2 dari matriks A.B. Diperolah dengan cara mengalikan elemen – 

elemen baris ke‐1 matriks A dengan elemen – elemen kolom ke‐2 

matriks  B,  kemudian  menjumlahkannya.  Demikian  seterusnya 

untuk mengisi kotak kotak tersebut. 

 

. 1 12 0

1 0 12 2 0  

 

. 1.1 1 . 2 1.0 1 . 2 1. 1 1 . 02.1 0.2 2.0 0. 2 2. 1 0.0  

 

. 1 2 12 0 2  

 

 

 

Contoh 19 

Diketahui  2 12 3  dan  2

2 serta  1 11 2 . Tentukan A.B 

dan A.C serta C.A 

23  

 

Penyelesaian: 

. 2 12 3

22

2.2 1 . 22.2 3. 2

62  

. 2 12 3

1 11 2

2.1 1 . 1 2.1 1 . 22.1 3. 1 2.1 3.2  

. 3 01 8  

. 1 11 2

2 12 3

1.2 1.2 1. 1 1.31 . 2 2.2 1 . 1 2.3  

. 4 22 7  

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa  . .  (perkalian tidak 

komutatif) 

 

Contoh 20 

Ibu Fira berbelanja di Toko “ASA” sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp. 

7.000,‐ per  kg, 4  kg  terigu dengan harga Rp. 8.000,‐ per  kg, dan 3  liter 

minyak  goreng  dengan  harga  Rp.  9.000,‐  per  liter.  Sedangkan  Ibu  Ira 

berbelanja di Toko yang sama dan barang yang sama dengan kuantitas 10 

kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng. 

Sederhanakan  persoalan  di  atas  dalam  bentuk  perkalian  matriks  dan 

tentukan jumlah yang harus dibayar oleh ibu Fira dan Ira. 

Penyelesaian: 

Dari soal di atas, jika disajikan ke dalam benuk matriks sebagai berikut: 

5 4 310 8 2

700080009000

  ket: F = Ibu Fira, dan I = Ibu Ira. 

Jumlah yang harus dibayarkan oleh Ibu Fira dan Ibu Ira adalah 

5 4 310 8 2

700080009000

 

5.7000 4.8000 3.900010.7000 8.8000 2.9000

94.000152.000   

Jadi,  jumlah yang harus dibayar  Ibu Fira adalah Rp. 94.000,‐ dan  Ibu  Ira 

adalah Rp. 152.000,‐. 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Diketahui  2 11 5 , 2 2

1 3 , 3 15 3  

Tentukanlah: 

a) .  

b)  

c)  

d)  

e) Tunjukkanlah bahwa  . .  

2. Tentukanlah matriks X dari persamaan matriks berikut: 

a. 4 3 55 4

1 37 12  

b. 4 0 28 4 2 2 4

10 8  

LATIHAN

Jadilah orang yang CERDAS. Comperhensive (think) Emphatic (heart) Religius (Views) Dicipline (time) Active (move on) Social (responbility)

24  

c. 4 6 7

2 6 40 2 2

20 4 32 0 5

8 2 4 

 

3. Diketahui  4 31 2 ,  carilah  2 4 5   (I  matriks 

identitas) 

4. Tentukan nilai a,b,c, dan d dari persamaan matriks berikut: 

a. 3 2 13 2 2

2 13 2

0 34 5  

 

b. 2 3 2 24 2

5 31 2 2 0 6

4 5  

 

5. Diketahui  6 1 03 5 4 4 1

4

14 1721 2  Tentukanlah x,y, dan z!!!! 

6. Kim membeli 8 buku dengan harga @Rp. 3.000,‐, 12 pensil dengan harga 

@Rp. 2.500,‐, dan 5 pulpen dengan harga @Rp. 2.000,‐. Sedangkan Okto 

membeli barang yang sama dengan kuantitas 1  lusin buku, 8 pensil, dan 

2  pulpen.  Sederhanakan  persoalan  di  atas  dalam  bentuk  perkalian 

matriks  dan  tentukan  jumlah  uang  yang  harus  dibayar  oleh  Kim  dan 

Okto. 

 

C. Determinan Suatu Matriks 

1. Determinan Matriks ordo 2x2 

Misalkan  , maka determinan matriks A adalah det

 

Contoh: 

Tentukan determinan dari  2 14 3  

Penyelesaian: 

det 2 14 3 2. 3 1. 4  

6 4 2 

 

Contoh 21 

Jika   29 5 2 1 . Tentukanlah nilai x. 

Penyelesaian: 

29 5 2 1 

2 . 5 . 9 2 1 

2 1 

1 

 

2. Determinan Matriks ordo 3x3 

Misalkan   maka  

det | |  

25  

Ada banyak  sekali  cara untuk menghitung determinan matriks ordo 

3x3.  Akan  tetapi,  metode  yang  paling  banyak  digunakan  adalah 

dengan aturan Sarrus. Langkah‐langkahnya sebagai berikut: 

a. Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal 

dari determinan. 

b. Jumlahkan  hasil  kali  unsur‐unsur  yang  terletak  pada  diagonal 

utama dengan hasil kali unsur‐unsur yang sejajar diagonal utama 

pada  arah  kanan,  kemudian  dikurangi  dengan  hasil  kali  unsur‐

unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping. 

Perhatikan skema berikut: 

 

 

det . . . . . . . .

. . . .  

 

Contoh 22 

Tentukan determinan 1 2 11 2 12 1 2

. 

Penyelesaian: 

| |1 2 11 2 12 1 2

1 21 22 1

 

| | 1.2.2 2.1.2 1.1.1 1.2.2 1.1.1 2.1.2 

| | 4 4 1 4 1 4 0 

 

Contoh 23 

Jika diketahui determinan matriks 1 1 3

1 2 43 2 5

 adalah 5. Tentukan 

nilai X. 

Penyelesaian: 

| |1 1 3

1 2 43 2 5

1 11 2

3 2 

| | 1 . 2.5 1.2.5 1. 4 . 3 3. 1 . 2 3.2.3

1 . 4 . 2 1. 1 . 5 

| | 1 10 10 12 6 18 1 8 5 

| | 12 19 

| | 5 

12 19 5 

  12 5 19 

2412

2 

 

 

 

26  

3. Minor, Kofaktor, dan Adjoin 

Jika A adalah matriks persegi, maka minor elemen aij dinyatakan oleh 

Mij  dan  didefinisikan  sebagai  determinan  submatriks  yang  tinggal 

setelah  baris  ke‐I  dan  kolom  ke‐j  dicoret  dari  A.  Bilangan  (‐1)i+j Mij 

dinyatakan oleh Cij yang disebut kofaktor elemen aij. 

Jika A  adalah  sembarang matriks persegi dan Cij  adalah  kofaktor  aij, 

maka matriks 

 

Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin 

dari A dan dinyatakan dengan Adj (A). 

 

Contoh 24 

Tentukan minor, matriks kofaktor, dan adj (A) dari  2 15 4 . 

Penyelesaian: 

Minor matriks A adalah 

4  1 

5 2 

 

Kofaktor dari matriks A adalah 

1 1 4 4 

1 1 5 5 

1 1 1 1 

1 1 2 2 

 

Matriks kofaktornya adalah 

4 51 2  

 

Adjoin dari matriks kofaktor adalah  transpose dari matriks kofaktor, 

sehingga 

4 51 2

4 15 2  

 

Contoh 25 

Tentukan minor,matriks kofaktor, dan adjoin dari 1 2 12 1 22 1 1

 

Penyelesaian: 

Minor matriks tersebut adalah: 

1 21 1 1 . 1 2.1 3 

2 22 1 2.2 2.1 2 

2 12 1 2.1 2. 1 4 

2 11 1 2.1 1.1 1 

1 12 1 1.1 2.1 1 

1 22 1 1.1 2.2 3 

2 11 2 2.2 1 .1 5 

27  

1 12 2 1.2 2.1 0 

1 22 1 1. 1 2.2 5 

 

Kofaktor dari minor‐minor tersebut adalah: 

1 3 1 4 

1 2 

1 1 1 3 

1 1 

1 5 1 5 

1 0 

 

Matriks kofaktornya adalah 

3 2 41 1 3

5 0 5 

 

Adjoin dari matriks kofaktor adalah  transpose dari matriks kofaktor, 

sehingga 

3 2 41 1 3

5 0 5

3 1 52 1 0

4 3 5 

 

 

 

 

D. Invers Suatu Matriks 

Jika  A  dan  B  adalah  matriks  persegi  yang  berordo  sama,  sedemikian 

sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas, maka B adalah 

invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A‐1 atau A = B‐1.  

Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah: 

 

 

Contoh 26 

Tentukan invers dari   

Penyelesaian: 

det | |  

Minor A adalah 

| | | |  

| | | |  

Kofaktor dari A adalah 

 

 

Matriks kofaktor   sedangkan matriks adjoin adalah 

 

Jadi, invers matriks A adalah 

 

 

28  

Contoh 27 

Tentukan invers dari  

a. 2 21 2  

b. 1 2 12 1 22 1 1

 

 

Penyelesaian: 

a. Det(A) = 2.(‐2) ‐ 1.(‐2) = ‐4 – (‐2) = ‐2 

1det

12

2 21 2

1 112 1  

 

b. 1. 1 . 1 2.2.2 1.2.1 1. 1 . 2 1.2.1 2.2.1 

1 8 2 2 2 4 5 

1det

15

3 1 52 1 0

4 3 5

35

15

12

51

5 045

35

1

 

*) matriks adjoin A  berasal dari contoh 25 

 

Contoh 28 

Dari  4 73 5 5 7

3 4 ,  tunjukkan  bahwa  kedua  matriks 

tersebut saling invers! 

Penyelesaian: 

. 4 73 5

5 73 4

20 21 28 2815 15 21 20

1 00 1  

. 5 73 4

4 73 5

20 21 35 3512 12 21 20

1 00 1  

Karena  . .   maka  terbukti  bahwa  kedua  matriks  tersebut 

saling invers. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 29 

Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular 

2 43 6   4 1

2 3  

Penyelesaian: 

2.6 3.4 12 12 0  (matriks singular) 

4.3 2.1 12 2 10 (matriks nonsingular) 

 

 

 

 

NOTE: 

a. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai 

determinannya  0, matriks seperti ini disebut matriks 

nonsingular. Sedangkan matriks yang harga 

determinannya = 0 disebut matriks singular. 

b. Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, berlaku: 

•  

•  

29  

 

 

 

1. Tentukan determinan matriks berikut: 

a. 1 22 3  

b. 5 29 2  

c. 2 80 5  

d. √3 2√6 √3

 

e. 1 1 00 2 11 2 1

 

f. 1 2 31 0 43 2 4

 

g. 1 2 31 2 11 2 2

 

 

2. Tentukan nilai X dari persamaan berikut: 

a. 0 1 22 3  

b. 2 35 4 7  

c. 1 2

2 1 14 0 5

2 5 

d. 2

0 1 10 0 1

2 

 

3. Tunjukkan bahwa kedua matriks di bawah ini saling invers. 

a. 3 52 3

3 52 3  

b. 3 74 9

9 74 3  

c. 4 31 1

1 31 4  

d. 6 55 4

4 55 6  

 

 

 

4. Tentukan invers dari matriks di bawah ini: 

a. 1 22 3  

b. 5 29 2  

c. 2 80 5  

d. √3 2√6 √3

 

e. 1 1 00 2 11 2 1

 

f. 1 2 31 0 43 2 4

 

g. 1 2 31 2 11 2 2

 

 

5. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular! 

a. 1 22 3  

b. 2 21 2  

c. 2 33 5  

d. √3 3√2 √6

 

 

6. Diketahui  1 22 3 , 1 1

1 2  tentukan: 

a.  

b.  

c.  

d. .  

e. Apakah  . ? 

f. Apakah  . ? 

 

 

 

 

 

 

 

LATIHAN

30  

E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier 

Sistem persamaan  linier dua  ataupun  tiga  variable  selain menggunakan 

eliminasi dan  substitusi  juga dapat digunakan  invers dan kaidah Cramer 

untuk  mencari  himpunan  penyelesaiannya.  Langkah  –  langkah  untuk 

mencari  himpunan  penyelesaian  system  persamaan  linier  dengan 

menggunakan invers adalah sebagai berikut: 

• Ubahlah system persamaan ke dalam bentuk matriks. 

• Nyatakan  bentuk  tersebut  kedalam  perkalian  matriks  koefisien 

dengan matriks variabelnya. 

 

 

 

Persamaan matriks A.X = C 

• Kalikan kedua ruas dengan invers A: 

. . .  

. .  

.  

 

Contoh 30: 

Tentukan nilai x dan y dari system persamaan 

4 5 2 

3 4 4 

Penyelesaian: 

Sistem persamaan 4 5 2

3 4 4  jika dibuat dalam bentuk matriks 

menjadi  4 53 4

24 . Untuk mencari nilai X, maka: 

.  

14.4 3 . 5

4 53 4

11

4 53 4

4 53 4  

4 53 4

24

8 206 16

1210  

Jadi,  himpunan  penyelesaian  dari  system  persamaan  tersebut  adalah 

{12,10}. 

 

Di  samping  menggunakan  cara  invers,  dapat  juga  digunakan  aturan 

Cramer. Jika A.X = C adalah matriks system persamaan  linier yang terdiri 

atas  n  persamaan  linier  dan  n  variable  yang  tidak  diketahui,  sehingga 

det 0, maka  system  tersebut mempunyai penyelesaian  yang unik 

(tunggal). Penyelesaian tersebut adalah: 

det det

,det det

, … ,det det

 

Dimana   adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti elemen – 

elemen  di  dalam  kolom  ke‐j  dari  A  dengan  elemen  elemen  di  dalam 

matriks  .  

 

 

 

31  

Contoh 31: 

Gunakan  aturan  Cramer  untuk  mencari  himpunan  penyelesaian  dari 

system persamaan berikut: 

3 5 11 

2 3 

Penyelesaian: 

Bentuk perkalian matriksnya adalah  3 52 1

113 , dari bentuk  ini 

didapat: 

3 52 1 ; det 3.1 2. 5 13 

11 53 1 ; det 11.1 5 . 3 26 

3 112 3 ; det 3.3 2.11 13 

Sehingga, 

detdet

2613

2 

det det

1313

1 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,‐1}. 

 

Contoh 32: 

Tentukan x, y, dan z dari system persamaan dengan aturan Cramer: 

7 

3 4 6 7 

2 3 12 

Penyelesaian: 

Bentuk perkalian matriknya adalah 1 0 23 4 61 2 3

77

12  ,didapat: 

1 0 23 4 61 2 3

, det 12 0 12 8 12 0 44 

7 0 27 4 6

12 2 3, det 84 0 28 96 84 0 44 

1 7 23 7 61 12 3

, det 21 42 72 14 72 63 88 

1 0 73 4 71 2 12

, det 48 0 42 28 14 0 132 

 

detdet

4444 1 ;

detdet

13244 3 

det det

8844 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 33 5 . 4 0

1 2  

Tentukan matriks P dari persamaan: 

 *) gunakan  .  

32  

Contoh 33: 

Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp. 280.000,‐. Sedangkan harga   1 baju 

dan 3 kaos adalah Rp. 210.000,‐. Tentukan harga 5 kaos dan 6 baju.!!! 

Penyelesaian: 

Misalkan, harga baju adalah x dan harga kaos adalah y. diperoleh: 

3 2 280.000 

3 210.000 

Dari system persamaan tersebut, jika dibuat dalam bentuk matriks: 

3 21 3

280000210000  

.  

13.3 1.2

3 21 3

17

3 21 3  

17

3 21 3

280000210000

17

3 280000 2 2100001 280000 3 210000

17

420.000350.000

60.00050.000  

Harga 6 baju, dan 5 kaos = 6x60.000 + 5x50.000 = 550.000 

Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp. 550.000,‐. 

 

 

 

1. Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers: 

a. 3 8 7  ;  4 11 

b. 8 2 ; 5 3 31 

c. 4 19 ; 2 11 

2. Gunakan  kaidah Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian 

berikut: 

a. 8 2 ; 5 31 3  

b. 3 8 ; 2 2 4 

c. 3 10 

2 4 

4 3 5 

d. 1 

4 

1 

3. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut: 

a. 2 14 3 . 7

1  

b. . 6 51 1

3 24 7  

c. 2 13 2 . 1 4 0

2 3 5  

d. 0 61 2 . 3 24  

4. Carilah nilai x dan y berikut: 

a. 2 14 3

21

257  

b. 4 31 2

2 42

2010  

5. Ashanty  menjual  dua  jenis  komoditas.  Komoditas  jenis  pertama 

merupakan  campuran  dari  10  kg  kualitas  A  dan  30  kg  kualitas  B. 

Komoditas  jenis ke‐2 merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan 

50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama adalah Rp. 100.000,‐ 

LATIHAN

33  

dan harga komoditas jenis ke‐2 adalah Rp. 170.000,‐. Tentukan harga 

masing masing kualitas per kilogramnya. 

6. Lima meja dan delapan kursi berharga $115, sedangkan tiga meja dan 

lima kursi berharga $70. Tentukan harga 10 meja dan 9 kursi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Did You Know??? OTAK 

“Otak  manusia,  seperti  mesin  yang  bisa  melakukan  perawatannya  sendiri,  ia  bisa menyembuhkan dirinya dari segala kerusakan internal, sambil bergerak ke tingkat kinerja yang lebih tinggi”, Prof. Robert  Oates and Gerald Swanson, Ph.D. 

Tidak  bisa  dipungkiri  bahwa  otak merupakakn  organ  tubuh  kita  yang  sangat  penting. Setiap  aktivitas  kita,  baik  sadar maupun  tidak  sadar,  pasti  berawal  dari  otak  kita.  Para ilmuwan sudah menemukan bahwa otak dibagi menjadi dua ruang, yaitu otak kanan dan kiri. Kedua belah otak tersebut ternyata memiliki karakter yang berbeda. 

OTAK KIRI OTAK KANAN• Pemikiran Analitis • Logika • Bahasa • Sains dan Matematika • Verbal, Proporsional • Fokus • Perbedaan • Bergantung Waktu • Segmental 

• Pemikiran Holistika • Intuitif • Kreativitas • Seni dan Musik • Nonverbal, imaginative • Difus • Persamaan • Tak bergantung waktu • Global 

Jika kemampuan otak kanan‐kiri seimbang, maka kemampuan dirinya pun akan optimal, akan tetapi jika otak kanan‐kiri tidak seimbang / tidak bisa bersatu maka seseorang dalam menjalani hidupnya akan dipenuhi berbagai prasangka. Jika keadaan seperti ini dibiarkan terus menerus, maka orang tersebut akan menyangka bahwa tidak ada hubungan dengan satu  sama  lain,  saling  mengalahkan  untuk  sukses.  Akan  sangat  mirip  dengan  dunia binatang “survival of the fittest”. 

“Tingkat  kemampuan  berfikir  logis  dan  tingkat  kemampuan  “berperasaan”  bervariasi antara  individu  (dan)  manusia  yang  dapat  mencapai  keseimbangan  antara  keduanya akan berhasil hidup di dunia dan akhirat”,Prof.DR.Dr.H.M. Nurhalim Shahib (ahli Biokimia dan  Biologi  Molekuler  dalam  bukunya  “Mengenal  Allah  dengan  Mencerdaskan  Otak Kanan”. 

Oleh karena itu, kita harus selalu membiasakan otak kita untuk “belajar” agar bisa bekerja sama dengan baik antar otak kanan dan otak kiri. Untuk mencapai itu, kita telah diajarkan untuk mengembangkan diri, mau lebih berinteraksi antar satu sama lain. 

*) sumber: Quantum Ikhlas: Erbe Sentanu.2007 

34  

 

 

DIMENSI DUA  

 

 

• Sudut Bangun Datar 

• Keliling Bangun Datar 

• Luas Bangun Datar 

• Transformasi Bangun Datar 

 

 

 

Disusun oleh: 

Muhammad Irfan, S.Si 

 

2011 

 

A. SUDUT BANGUN DATAR 

Sudut  adalah  daerah  yang  dibatasi  oleh  dua  ruas  garis  yang 

bertemu  pada  satu  titik.  Besarnya  sudut  dinyatakan  dengan 

derajat atau radian. 

Secara garis besar, sudut dibagi menjadi 3, yaitu: 

a. Sudut siku – siku 

b. Sudut tumpul 

c. Sudut lancip. 

Ukuran  sudut  dalam  derajat  yang  lebih  kecil  dapat  dinyatakan 

dalam menit (‘) dan detik (“). 1 derajat = 60 menit. 

 

Contoh: 

Nyatakan ukuran sudut dibawah ini dalam derajat, menit, detik. 

a. 34,30    b.   79,180 

 

Penyelesaian: 

a. 34,30 = 340 + 0,30 = 340 + 0,3 x 60’ = 340 18’. 

b. 79,180 = 790 + 0,180 

     = 790 + 0,18 x 60’ = 790 + 10,8’ 

     = 790 + 10’ + 0,8 x 60” = 790  10’ 48”. 

 

 

35  

            r               

           O        r 

Contoh: 

Ubahlah ukuran sudut   380 25’ 18” ke dalam derajat saja. 

 

Penyelesaian: 

380 25’18” = 38.

38 0,4 0,005 38,405  

 

Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya 

Pengukuran  sudut  berdasarkan  ukuran  radian  didasarkan 

anggapan bahwa: “satu radian = besarnya sudut pusat  lingkaran 

yang  dibatasi  oleh  busur  lingkaran  yang  panjangnya  sama 

dengan jari jari.”  

Perhatikan gambar berikut: 

 

                         A 

      B 

       

                  

 

 

 

 

 

1 360 2

 

2 360  

180  

,  

 

Contoh: 

Diketahui ukuran sudut 30 . ubahlah ke dalam bentuk radian, 

setelah itu, ubahlah kembali ke dalam bentuk derajat. 

 

Penyelesaian: 

3030

57,30,524 . 30.

180 6 

616 180 30 . 0,524 57,3 30  

 

 

 

 

 

 

Jika OA = OB = r, dan busur AB juga panjangnya r, maka 

 sebesar 1 radian. 

1 putaran lingkaran = 3600 dan keliling lingkaran = 2  

Maka berlaku rumus perbandingan pada lingkaran 

36  

LATIHAN 

1. Ubahlah ukuran sudut berikut ke dalam derajat, menit, dan 

detik: 

a. 39,9 . 45,7  

b. 130,8 . 185,42  

2. Ubahlah ukuran sudut di bawah ini menjadi derajat saja: 

a. 39 6 9 . 45 16 39  

b. 139 16 19 . 145 56 59  

3. Ubahlah ukuran derajat ini ke radian: 

a.   15 . 23,7  

b.   315 . 225  

4. Ubahlah ukuran radian ini ke derajat: 

a. 2,3 radian     

b. 0,5 radian     

5. Tentukan jenis sudutnya, apakah tumpul, lancip, atau siku – 

siku: 

a. 123         d.  220 12’ 54” 

b.  

c. 1  

 

 

B. KELILING DAN  LUAS BANGUN DATAR 

1. PERSEGI 

A      B 

 

 

 

D      C 

 

Sifat – Sifat: 

• Memiliki 4 sumbu simetri 

• Keempat sudutnya siku – siku 

• Kedua  diagonalnya  sama  panjang  dan  saling 

berpotongan tegak lurus di tengah – tengahnya 

• Keempat sisinya sama panjang 

 

2. PERSEGI PANJANG 

A        B 

 

 

         D        C 

 

 

• Sisi yang berhadapan sama panjang 

• Keempat sudutnya siku siku 

• Kedua diagonalnya sama panjang 

• Memiliki dua sumbu simetri

Luas persegi  = s x s

Keliling persegi  = 4s 

37  

 

 

 

Contoh: 

Panjang suatu persegi panjang 2  lebihnya dari  lebarnya.  Jika 

luas persegi panjang 48 cm2, tentukan kelilingnya. 

 

Penyelesaian: 

Misalkan : lebar = x, dan panjang = x+2 

Maka  L = p.l = (x+2).x 

    48 = x2 + 2x 

0 = x2 + 2x – 48 

0 = (x + 8) (x – 6) 

X = ‐8 (tidak memenuhi) 

X = 6. 

Lebar = 6cm, dan panjang = 8cm. Sehingga  

keliling = 2(p+l) = 28cm. 

 

 

 

 

 

3. SEGITIGA 

Jenis jenis segitiga:        A 

a. Segitiga sama kaki 

b. Segitiga sama sisi 

c. Segitiga siku – siku            b          t        c 

d. Segitiga lancip 

e. Segitiga tumpul        C  a       B 

 

 

 

 

Luas  segitiga  sembarang  jika  diketahui  panjang  sisinya 

adalah a, b, dan c: 

 

Dengan,   

 

Contoh: 

Tentukan  luas  segitiga  jika diketahui  tinggi  segitiga  6cm 

dan alasnya 7cm. 

Penyelesaian: 

 

38  

Contoh: 

Tentukan  luas  segitiga  jika  diketahui  sisi  sisinya  adalah 

13cm, 13cm, dan 10cm. 

 

Penyelesaian: 

12

12 13 13 10 18  

L s s a s b s c  

L 18 18 13 18 13 18 10  

L √18.8.5.5 60 cm  

 

Untuk segitiga sama sisi, didapat dari aturan sinus. 

√ . 

 

4. JAJAR GENJANG 

  A        B 

 

             t 

D          C 

Sifat – sifat: 

• Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar 

• Sudut yang berhadapan sama besar 

• Memiliki dua diagonal yang saling membagi dua sama 

panjang. 

 

5. BELAH KETUPAT 

                       A 

 

 

D                  d1    B 

                     d2                                     

 

                            C 

Sifat – sifat: 

• Keempat sisinya sama panjang 

• Sudut – sudut yang berhadapan sama besar 

• Memiliki dua diagonal yang saling membagi dua sama 

panjang 

• Kedua  diagonalnya  berpotongan  dan  saling  tegak 

lurus. 

 

 

 

 

 

.  

 

39  

6. LAYANG – LAYANG 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. TRAPESIUM 

a. Trapesium sembarang hanya memiliki sepasang sisi yang 

sejajar. 

b. Trapesium siku – siku adalah trapezium yang mempunyai 

sudut siku – siku. 

c. Trapesium sama kaki mempunyai sifat: 

• Mempunyai satu pasang sisi sejajar, 

• Mempunyai satu pasang sisi sama panjang, 

• Mempunyai dua pasang sudut yang sama besar. 

 

 

 

8. LINGKARAN 

 

Keterangan: 

• O adalah pusat lingkaran 

• OA=OB adalah jari – jari lingkaran (r). 

• AB adalah diameter (d). 

• Garis lengkung CD adalah busur lingkaran. 

• CD adalah tali busur lingkaran 

• Arsiran POQ adalah juring lingkaran 

• Arsiran CSD adalah tembereng lingkaran 

• OS adalah apotema. 

;  

.  

.  

.  

 

 

Sifat – sifat: 

• Sisi yang berdekatan sama panjang 

• Kedua diagonalnya berpotongan saling tegak lurus 

40  

C. TRANSFORMASI BANGUN DATAR 

1. TRANLASI 

Minggu  lalu,  Candra  duduk  di  pojok  kanan  baris  pertama  di 

kelasnya. Minggu  ini,  ia berpindah ke baris ketiga  lajur keempat 

yang minggu  lalu  ditempati Dimas.  Dimas  sendiri  berpindah  ke 

baris  kedua  lajur  kedua  yang  minggu  lalu  ditempati  Sari. 

Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini. 

 

• Candra berpindah 2  lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat 

berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri 

dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−22

 

• Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. 

Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke 

kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai   ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−12

 

• Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada 

koordinat Cartesius. Dengan translasi   ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−22

, diketahui tempat 

duduknya  inggu  ini  pada  titik  N  ’(a‐2,b+2).  Kalian  dapat 

menuliskan translasi ini sebagai berikut 

( ) ( )2,2', 22

+−⎯⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

baNbaN  

Dengan prinsip yang sama,  jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

T1  maka diperoleh bayangannya   ( )byaxP ++ ,' . Secara 

matematis, ditulis sebagai berikut. 

( ) ( )byaxPyxP ba

T++⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

,, '1

 

Sekarang,  translasikan  lagi  bayangan  yang  telah  kalian  peroleh 

dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dc

T2  

Didapat,  ( ) ( )dbycaxPbyaxP dc

T++++⎯⎯ →⎯++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

,, ''' 2

 

Perhatikan bahwa,   

( ) ( ) ( )( )dbycaxPdbycaxP ++++=++++ ,, ''''   

41  

Ini  berarti  ( )dbycaxP ++++ ,''   diperoleh  dengan 

mentranslasikan    ( )yxP ,   dengan  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=dbca

T   Translasi  T  ini 

merupakan  translasi  T1  dilanjutkan  dengan  T2,  yang  ditulis 

sebagai   21 TT o  

Oleh karena  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

T1  dan  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dc

T2  maka  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=dbca

TT 21 o  

Akibatnya,  titik    ( )yxP ,   ditranslasikan  dengan  T1  dilanjutkan 

dengan translasi T2 menghasilkan bayangan   ''P  sebagai berikut 

( ) ( )dbycaxPyxP dbca

TT++++⎯⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

,, ''21o

 

 

Sifat: 

• Dua  buah  translasi  berturut‐turut    ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

diteruskan  dengan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dc

dapat digantikan dengan translasi tunggal  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

dbca

 

• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. 

 

 

 

Contoh: 

1. Translasi  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qp

T1 memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6) 

a. Tentukan translasi tersebut ! 

b. Tentukanlah  bayangan  segitiga  ABC  dengan  titik  sudut 

A(1, 2), B(3, 4), dan C(�5, 6) oleh translasi tersebut.  

c. Jika  segitiga  yang  kalian  peroleh  pada  jawaban  b 

ditranslasikan  lagi  dengan  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=11

2T Tentukan 

bayangannya! 

d. Translasikan  segitiga  ABC  dengan  translasi  T2    ◦T1. 

Samakah jawabannya dengan jawaban c? 

 

Penyelesaian  

a.  ( ) ( ) ( )6,42,12,1 1'1

AqpAA qp

T=++⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

 

   Diperoleh   1+p = 4 sehingga p = 3 

      2+q = 6 sehingga q = 4 

  Jadi translasi tersebut adalah  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

43

1T  

42  

b.  translasi  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

43

1T  artinya  artinya memindahkan  suatu  titik 3 

satuan ke kanan dan 4  satuan ke atas. Dengan mentranslasikan 

titiktitik A', B', dan C'�dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian 

memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut 

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )10,2'46,35'6,5

8,6'44,33'4,3

6,4'42,31'2,1

43

43

43

1

1

1

−=++−⎯⎯ →⎯−

=++⎯⎯ →⎯

=++⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

CCC

BBB

AAA

T

T

T

 

Jadi bayangan  segitiga ABC  adalah  segitiga A'B'C' dengan  titik 

A'(4,6), B'(6,8), dan C'(‐2,10) 

 

c.  ( ) ( ) ( )( ) ( )5,3''16,14''6,4' 11

2

AAAT

=−+−+⎯⎯ →⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

 

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )9,3''110,12''6,4'

7,5''18,16''8,6'

11

11

2

2

−=−+−+−⎯⎯ →⎯

=−+−+⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

AAA

BAA

T

T

 

Jadi bayangan  segitiga A'B'C' adalah  segitiga A''B''C'' dengan 

titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(‐3,9) 

 

d. translasi titik ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+

=32

1413

21 TT o  

  ( ) ( ) ( )5,3'32,21'2,1 32

AAA =++⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

 

  ( ) ( ) ( )7,5'34,23'4,3 32

BBB =++⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

 

  ( ) ( ) ( )9,3'36,25'6,5 32

−=++−⎯→⎯−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

CCC  

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik 

A'(3,5),  B'(5,7)  dan  C'(‐3,9)  Perhatikan  bahwa  segitiga  yang 

kalian  peroleh  pada  jawaban  c  sama  dengan  segitiga  yang 

kalian peroleh pada jawaban d. 

   

2. Tentukan  bayangan  lingkaran  (x‐3)2  +  (y+1)2  =  4  jika 

ditranslasikan  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

25

T ! 

Jawab  

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x‐3)2 + (y+1)2 = 4 

sehingga diperoleh (a‐3)2 + (b+1)2 = 4 

Translasikan  titik  P  dengan    ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

25

T   sehingga  diperoleh 

( ) ( )2,5'', 25

+−⎯⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

baPbaP  

43  

Jadi titik P'(a‐5, b+2)  

Perhatikan bahwa: a'= a  ‐ 5. Dari persamaan (*), didapat a = 

a'�+ 5. 

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat  b = 

b' ‐ 2. 

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan 

Diperoleh (a'�+ 5‐3)2 + (b' ‐ 2+1)2 = 4 

    (a'�+ 2)2 + (b' ‐ 1)2 = 4 

Jadi  bayangan  dari  (a'�+  5‐3)2  +  (b'  ‐  2+1)2  =  4  jika 

ditranslasikan dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

25

T adalah (a'�+ 2)2 + (b' ‐ 1)2 = 4 

 

1. REFLEKSI 

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan 

bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? 

Amati  pula  jarak  diri  kalian  ke  cermin.  Samakah  dengan  jarak 

bayangan  kalian  ke  cermin?  Dengan  bercermin  dan menjawab 

pertanyaan‐pertanyaan  tersebut,  kalian  akan  menemukan 

beberapa sifat pencerminan. 

 

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa: 

• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’ 

• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak 

setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B. 

•  Sudut  yang  dibentuk  oleh  cermin  dengan  garis  yang 

menghubungkan  setiap  titik  ke bayangannya  adalah  sudut  siku‐

siku. 

Sifat‐sifat tersebut merupakan sifat‐sifat refleksi. 

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri 

 

Refleksi   Rumus   Matriks  

Refleksi 

terhadap 

( ) ( )yxAyxA xsb −⎯⎯→⎯ ,', .

  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

44  

sumbu‐x 

Refleksi 

terhadap 

sumbu‐y 

( ) ( )yxAyxA ysb ,', . −⎯⎯→⎯  ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

Refleksi 

terhadap 

garis y=x 

( ) ( )xyAyxA xy ,', ⎯⎯→⎯ =  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

0110

''

 

Refleksi 

terhadap 

garis y=‐x 

( ) ( )xyAyxA xy −⎯⎯ →⎯ −= ,',  ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

0110

''

 

Refleksi 

terhadap 

garis x=k 

( ) ( xkAyxA kx ,2', −⎯⎯→⎯ =

 

 

Refleksi 

terhadap 

garis y=k 

( ) ( kxAyxA ky −⎯⎯→⎯ = 2,', 

 

Refleksi 

terhadap 

titik (p,q) 

( ) ( ) ( )','', , yxAyxA qp⎯⎯ →⎯ 

Sama dengan rotasi pusat 

(p,q) sejauh 180˚ 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°°°−°

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

qypx

180cos180sin180sin180cos

''

 

Refleksi 

terhadap 

( ) ( ) ( yxAyxA −−⎯⎯→⎯ ,', 0,0

  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

titik 

pusat 

(0,0) 

Refleksi 

terhadap 

garis 

y=mx,m=

tan α 

( ) ( )

αα

co2sin's2cos'

','',

yxyyxxdenganyxAyxA mxy

−=+=

⎯⎯ →⎯ =

 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

αααα2cos2sin

2sin2cos''

Refleksi 

terhadap 

garis 

y=x+k 

( ) ( )

kxykyxdengan

yxAyxA kxy

+=−=

⎯⎯ →⎯ +=

''

','',

 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kky

xyx 0

0110

''

 

Refleksi 

terhadap 

garis  y=‐

x+k 

( ) (

kxykyxdengan

yxAyxA kxy

+−=+−=

⎯⎯⎯ →⎯ +−=

''

,'',

 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kky

xyx 0

0110

''

 

 

SIFAT‐SIFAT 

a. Dua refleksi berturut‐turut terhadap sebuah garis merupakan 

suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.  

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, 

menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: 

45  

Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua 

kali jarak kedua sumbu pencerminan.  

Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari 

sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua 

sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. 

c. Pengerjaaan  dua  refleksi  terhadap  dua  sumbu  yang  saling 

tegak  lurus,  menghasilkaan  rotasi  (pemutaran)  setengah 

lingkaran  terhadap  titik  potong  dari  kedua  sumbu 

pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak 

lures bersifat komutatif. 

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang 

berpotongan  akan  menghasilkan  rotasi  (perputaran)  yang 

bersifat: 

Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat 

perputaran. 

Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut 

antara kedua sumbu pencerminan. 

Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama 

ke sumbu kedua.  

 

 

 

2. ROTASI 

Rotasi  Rumus  Matriks 

Rotasi 

dengan 

pusat  (0,0) 

dan  sudut 

putar α 

( ) ( ) ( )

αααα

α

cossin'sincos'','', ,0

yxyyxxdengan

yxAyxA R

+=−=

⎯⎯ →⎯  ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

αααα

cossinsincos

''

 

Rotasi 

dengan 

pusat 

P(a,b)  dan 

sudut 

putar α 

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) αα

αα

α

cossin'sincos'

','', ,

byaxbybyaxaxdengan

yxAyxA PR

−+−=−−−−=−

⎯⎯ →⎯  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

byax

yx

αααα

cossinsincos

''  

 

Keterangan  

α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam 

α ‐ : arah putaran searah putaran jarum jam 

SIFAT‐SIFAT 

Dua  rotasi  bertumt‐turut  mempakan  rotasi  lagi  dengan  sudut 

putar  dsama  dengan  jumlah  kedua  sudut  putar  semula.Pada 

suatu  rotasi,  setiap  bangun  tidak  berubah  bentuknya. 

 

46  

Catatan:  

Pada  transformasi pergeseran  (translasi), pencerminan  (refleksi) 

dan  perputaran  (rotasi),  tampak  bahwa  bentuk  bayangan  sama 

dan  sebangun  (kongruen)  dengan  bentuk  aslinya.  Transformasi 

jenis ini disebut transformasi isometri.  

3. DILATASI 

Aini dan  teman‐temannya berkunjung  ke  IPTN. Di  sana, mereka 

mengamati miniatur sebuah pesawat  terbang. Miniatur pesawat 

terbang  ini  mempunyai  bentuk  yang  sama  dengan  pesawat 

terbang  sesungguhnya,  tetapi  ukurannya  lebih  kecil.  Bentuk 

seperti  miniatur  pesawat  terbang  ini  telah  mengalami  dilatasi 

diperkecil  dari  pesawat  terbang  sesungguhnya.  Selain  dilatasi 

diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan 

foto  yang  diperbesar  dari  klisenya.  Faktor  yang  menyebabkan 

diperbesar  atau  diperkecilnya  suatu  bangun  ini  disebut  faktor 

dilatasi.  Faktor  dilatasi  ini  dinotasikan  dengan  huruf  kecil, 

misalnya k. 

• Jika k $ _ 1 atau k 0 1, maka hasil dilatasinya diperbesar 

• Jika _1 $ k $ 1, maka hasil dilatasinya diperkecil 

• Jika k _ 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan 

 

 

Dilatasi  Rumus  Matriks 

Dilatasi 

dengan 

pusat  (0,0) 

dan  factor 

dilatasi k 

( ) [ ] ( )kykxAyxA k ,', ,0⎯⎯→⎯  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

kk

yx

00

''

 

Dilatasi 

dengan 

pusat 

P(a,b)  dan 

faktor 

dilatasi k 

( ) [ ] ( )( )( )bykby

axkaxdenganyxAyxA kP

−=−−=−

⎯⎯→⎯

''

','', ,

  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

byax

kk

yx

00

''

 

 

4. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS 

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri 

Transformasi   Rumus  Matriks 

Identitas   ( ) ( )yxAyxA ,', 1⎯→⎯  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

Translasi  ( ) ( qypxAyxA q

p

++⎯⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

,', 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qp

yx

yx''

 

47  

Refleksi 

terhadap 

sumbu‐x 

( ) ( )yxAyxA xsb −⎯⎯→⎯ ,', .  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

Refleksi 

terhadap 

sumbu‐y 

( ) ( )yxAyxA ysb ,', . −⎯⎯→⎯  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

Refleksi 

terhadap garis 

y=x 

( ) ( )xyAyxA xy ,', ⎯⎯→⎯ =  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

0110

''

 

Refleksi 

terhadap garis 

y=‐x 

( ) ( )xyAyxA xy −⎯⎯ →⎯ −= ,',  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

0110

''

 

Refleksi 

terhadap garis 

x=k 

( ) ( )yxkAyxA kx ,2', −⎯⎯→⎯ =    

Refleksi 

terhadap garis 

y=k 

( ) ( )ykxAyxA ky −⎯⎯→⎯ = 2,',    

Refleksi 

terhadap  titik 

(p,q) 

( ) ( ) ( )','', , yxAyxA qp⎯⎯ →⎯  

Sama  dengan  rotasi  pusat 

(p,q) sejauh 180˚ 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°°°−°

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

qypx

qypx

180cos180sin180sin180cos

''  

Refleksi 

terhadap  titik 

pusat (0,0) 

( ) ( ) ( )yxAyxA −−⎯⎯→⎯ ,', 0,0  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

1001

''

 

Refleksi 

terhadap garis 

y=mx,m=tan α 

( ) ( )

αααα

2cos2sin'2sin2cos'

','',

yxyyxxdenganyxAyxA mxy

−=+=

⎯⎯ →⎯ =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

αααα2cos2sin

2sin2cos''  

Refleksi 

terhadap garis 

y=x+k 

( ) ( )

kxykyxdengan

yxAyxA kxy

+=−=

⎯⎯ →⎯ +=

''

','', 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kky

xyx 0

0110

''  

Refleksi 

terhadap garis 

y=‐x+k 

( ) ( )

kxykyxdengan

yxAyxA kxy

+−=+−=

⎯⎯⎯ →⎯ +−=

''

','', 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kky

xyx 0

0110

''  

Rotasi  dengan 

pusat  (0,0) 

dan  sudut 

putar α 

( ) ( ) ( )

αααα

α

cossin'sincos'','', ,0

yxyyxxdengan

yxAyxA R

+=−=

⎯⎯ →⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

αααα

cossinsincos

''  

Rotasi  dengan 

pusat  P(a,b) 

dan  sudut 

putar α 

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) αα

αα

α

cossin'sincos'

','', ,

byaxbybyaxax

yxAyxA PR

−+−=−−−−=−

⎯⎯ →⎯  ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

byax

yx

αααα

cossinsincos

''

Dilatasi 

dengan  pusat 

( ) [ ] ( )kykxAyxA k ,', ,0⎯⎯→⎯  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

kk

yx

00

''

 

48  

(0,0)  dan 

factor  dilatasi 

k 

Dilatasi 

dengan  pusat 

P(a,b)  dan 

faktor  dilatasi 

k 

( ) [ ] ( )( )( )bykby

axkaxdenganyxAyxA kP

−=−−=−

⎯⎯→⎯

''

','', ,

 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

byax

kk

yx

00

''  

 

 

Komposisi transformasi 

1. komposisi dua translasi berurutan 

Diketahui dua translasi   ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

T1  dan  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dc

T2 . Jika translasi  1T  

dilanjutkan translasi  2T  maka dinotasikan ” 21 TT o ” dan translasi 

tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif). 

 

2. komposisi dua refleksi berurutan 

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar 

Jika  titik  A(x,y)  direfleksikan  terhadap  garis  x=a  dilanjutkan 

terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah  ( )','' yxA  

yaitu: 

x'=2(b‐a)+x 

y'=y 

Jika  titik  A(x,y)  direfleksikan  terhadap  garis  y=a  dilanjutkan 

terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah  ( )','' yxA  

yaitu: 

x'=x 

y'=2(b‐a)+y 

 

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus 

Jika  titik  A(x,y)  direfleksikan  terhadap  garis  x=a  dilanjutkan 

terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka 

bayangan akhir A adalah    ( )','' yxA  sama dengan rotasi titik 

A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut 

putar 180˚ 

 

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan 

Jika  titik  A(x,y)  direleksikan  terhadap  garis  g  dilanjutkan 

terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah   ( )','' yxA  

dengan  pusat  perpotongan  garis  g  dan  h  dan  sudut  putar 

2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis 

g ke h. 

49  

Catatan 

kgarisgradienmlgarisgradienm

mmmm

k

l

lk

lk

==

⋅+−

=1

tanα

 

 

d. sifat komposisi refleksi 

Komposisi  refleksi  (refleksi berurutan) pada umumnya  tidak 

komutatif  kecuali  komposisi  refleksi  terhadap  sumbu  x 

dilanjutkan  terhadap sumbu y  (dua sumbu yang saling  tegak 

lurus). 

 

3. rotasi berurutan yang sepusat 

a. Diketahui  rotasi  R1(P(a,b),α)  dan  R2(P(a,b),β),  maka 

transformasi  tunggal  dari  komposisi  transformasi  rotasi 

R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β) 

b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan 

R1 

 

4. komposisi transformasi 

Diketahui  transformasi  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

srqp

Tdandcba

T 21   maka 

transformasi tunggal dari transformasi: 

a. T1 dilanjutkan T2 (T2 � T1) adalah T=T2 . T1 

b. T2 dilanjutkan T1 (T1 � T2) adalah T=T1 . T2 

Catatan T1 . T2 = T2 . T1 

 

5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih 

Contoh:  Tentukan  bayangan  garis  ‐4x+y=5  oleh  pencerminan 

terhadap garis y=x dilanjutkan translasi  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23

! 

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis ‐4x+y=5 

  P(x,y)  dicerminkan  terhadap  garis  y=x,  bayangannya 

P'(y,x) 

  P'(y,x)  ditranslasi    ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23

.  Bayangannya  P''(y+3, 

x+2)=P''(x'',y'') 

   Jadi   x'' = y +3 → y = x''‐3 

    y'' = x +2 → x = y'' ‐2 

    persamaan ‐4x+y=5 → ‐4(y'' ‐2) + (x'' ‐ 3) = 5 

          ‐4y''  + 8 +  x'' – 3 = 5 

            x'' ‐ 4y''= 0 

  jadi bayangan akhirnya adalah x ‐ 4y= 0 

 

 

50  

6. luas bangun hasil tranformasi 

Jika  suatu  bangun  (segitiga,  lingkaran,  dan  lain‐lain) 

ditransformasikan maka: 

a. Luas  bangun  bayangan  tetap  untuk  transformasi  : 

translasi, refleksi, dan rotasi. 

b. Luas  bangun  bayangan  berubah  untuk  transformasi 

dilatasi,  yaitu  jika  luas  bangun  mula‐mula  L  setelah 

didilatasi oleh [P(a,b),k], maka  luas bangun bayangannya 

adalah L'=k2 +L 

 

LATIHAN 

1. Tentukan bayangan titik A(‐2,8) oleh  

a) Translasi  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 32

 

a) Refleksi terhadap garis x = ‐6 

b) Refleksi terhadap garis y = x 

c) Refleksi terhadap garis y = 4 

d) Refleksi terhadap garis y = ‐x 

 

2. Diketahui garis k : 2x + 3y = 2 

Tentukan persamaan bayangan garis k oleh : 

a) Translasi  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−3

2 

b) Refleksi terhadap garis y = ‐4 

c) Refleksi terhadap garis x + y = 0 

Soal Olimpiade 2010 

 

Diketahui panjang sisi persegi diatas adalah 14. Tentukan luas yang diarsir. 

51  

Referensi:

Bandung Ary S.,dkk.2008. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen.

Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional

Drs. Sukirman,M.Pd.2006.Logika dan Himpunan.Yogyakarta:Hanggar

Kreator

DEPDIKNAS.2003.Panduan Materi Matematika 

SMK.Jakarta.Departemen Pendidikan Nasional

Drs. Markaban,M.Si.2004.Logika Matematika­Diklat 

Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang 

Dasar.Yogyakarta:PPPG Matematika

Hamdy Taha. (1996). Riset Operasi. Jilid satu. Jakarta: Binarupa Aksara

To’ali. (2008). Matematika X SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi.

Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional

         

Penulis  

Nama    : Muhammad Irfan, S.Si TTL      : Sleman, 13 September 1988 Alamat  : Jln. Kaliurang Km.12,5 Karangasem Sukoharjo 

Ngaglik Sleman Yogyakarta No. HP    : 085228380303 Email    : vahn45@gmail.com  Riwayat Pendidikan 

No. Nama Instansi Tahun Jurusan 1 TK ABA Losari 1993 2 SDN Seloharjo 1994 3 SLTP N 2 Ngaglik 2000 4 SMA N 2 Ngaglik 2003 IPA 5 Universitas Negeri Yogyakarta 2006 Pend. Matematika 6 AndiIT School 2009 Photoshop & 3D

 Riwayat organisasi (2007 – 2011) 

No. Nama Organisasi Tahun Jabatan 1 Padmakanda 2008-2010 Koord. Diklat 2 Padmakanda 2010 - 2011 Wakil Ketua 3 HIMATIKA UNY 2007 Staf Bid. Pendidikan dan

Penalaran4 HIMATIKA UNY 2008 Direktur Teknologi

Indormasi dan Multimedia 5 HIMATIKA UNY 2009 Dewan Pertimbangan

Organisasi 6 BEM FMIPA UNY 2008 KaDiv. IT KOMINFO 7 BEM REMA UNY 2009 Dirjen IT KOMINFO

52

TRANSLASI, DILATASI, ROTASI

01. EBT-SMP-95-28 Koordinat bayangan titik P (–3, 1) jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah … A. (11, 1) B. (5, 1) C. (–3, 7) D. (–12, 4)

02. EBT-SMP-96-19 Bayangan koordinat titik (–5, 9) jika dicerminkan terhadap garis x = 7 adalah … A. (–5, 5) B. (–5, 23) C. (12, 9) D. (19, 9)

03. EBT-SMP-92-18 Koordinat titik P (–5, 16) jika dicerminkan terhadap garis x = 9, maka koordinat bayangannya adalah … A. P’(23, 16) B. P’(13, 16) C. P’(–5, 34) D. P’(–5, 2)

04. EBT-SMA-98-23 Bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah … A. (1 , 6) B. (1, 10) C. (4, 3) D. (10, 3) E. (3, 9)

05. EBT-SMA-92-37 Koordinat bayangan dari titik A(–1,6) yang dicerminkan terhadap garis x = 1 dilanjutkan terhadap garis x = 4 adalah … A. (1 , 12) B. (5 , 6) C. (5 , 10) D. (6 , 5) E. (12 , –1)

06. EBT-SMA-88-23 Pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan pencermin an terhadap garis x = 5 maka bayangan titik (3,2) adalah A. ( 2 , 3 ) B. ( 3 , 6 ) C. ( 7 , 2 ) D. ( 7 , 6 ) E. ( 6 , 2 )

07. EBT-SMP-97-38 Titik A (–2, 3) dicerminkan pada garis x = 2, bayangan-nya A’. A’ dicerminkan pada garis y = –3, bayangannya A”. a. Buatlah gambar titik A beserta bayangan-bayangan-nya. b. Tentukan koordinat A’ dan A”

08. EBT-SMP-03-25 Titik B (–8, 13) dicerminkan terhadap garis x = 16, kemudian dilanjutkan dengan

translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−59

. Koordinat bayangan titik B adalah …

A. (31, 18) B. (81, 8) C. (–17, 21) D. (1, 14)

53

09. EBT-SMP-99-25

Titik A (–1, 4) dicerminkan terhadap sumbu x dan dilanjutkan dengan translasi ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−52

.

Koordinat bayangan dari titik A adalah … A. (3,1) B. (–3, –1) C. (3, –1) D. (–3, 1)

10. EBT-SMP-98-21 Titik A (–3, 5) dicerminkan terhadap garis y = 7, kemudian hasilnya ditranslasikan

dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛32

. Koordinat bayangan akhir titik A adalah …

A. (5, 12) B. (–5,12) C. (–1, 12) D. (1, 12)

11. EBT-SMP-01-24 Diketahui persegi panjang PQRS dengan koordinat titik P (–5, –1), Q (3, –1) dan R

(3, 8). Bayangan S pada translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

32

adalah …

A. {–7, 11} B. {–7, 5} C. {–3, 11} D. {–3, 5}

12. EBT-SMP-94-25

Koordinat bayangan titik P (–2, 6) oleh translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

23

dilanjutkan dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−12

adalah … A. (7, 9) B. (7, 3)

C. (–3, 9) D. (–3, 3)

13. EBT-SMP-96-20

Bayangan koordinat titik A (5, –2) pada translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 23

yang dilanjutkan dengan

translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−35

adalah …

A. A’ (7, –3) B. A’ (2, 0) C. A’ (10, –5) D. A’ (2, –1)

14. EBT-SMP-95-29

Koordinat bayangan titik (3, 4) pada translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛91

dilanjutkan dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−21

adalah

… A. (4, 8) B. (4, 7) C. (3, 9) D. (2, 6)

15. EBT-SMP-00-26

Koordinat titik B (a, –7) jika ditranslasi oleh ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛34

kemudian dilanjutkan dengan

translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−25

menghasil-kan bayangan B’ (–4, b). Nilai a dan b adalah …

A. a = 5 dan b = 2 B. a = –3 dan b = –2 C. a = –8 dan b = –5 D. a = –6 dan b = 4

16. EBT-SMP-94-31 Bayangan titik P (–2, 6) oleh dilatasi (O, –1) adalah …

54

A. P’ (2, –8) B. P’ (–3, 5) C. P’ (–2, 5) D. P’ (2, 7)

17. EBT-SMP-95-35 Dari gambar di samping. OP’ = k OP. Nilai k adalah … A.

34 P

B. 43 P’

C. 31 O

D. 41

18. EBT-SMP-92-31

Koordinat titik P’ (–6, 9) diperoleh dari titik P (2, –3) dengan perkalian/dilatasi (O, k). Nilai k adalah … A. –3

B. 31−

C. 31

D. 3

19. EBT-SMP-93-41 Bayangan titik P pada dilatasi (O, –3) adalah (–12, 15), maka koordinat titik P adalah … A. (–4,5) B. (4, –5) C. (36, –45) D. (–36, 45)

20. EBT-SMP-98-22

Hasil dilatasi ∆ PQR dengan

pusat Q dan faktor skala 21− , A

kemudian direfleksikan P terhadap garis FG adalah … A. ∆ GQF D B. ∆ GBF R C. ∆ AFR F Q D. ∆ PGC B G E C

21. EBT-SMP-97-20 Koordinat titik P (4, 2), Q (9, 4) dan R (6, 8) merupakan titik-titik sudut PQR. Koordinat bayangan ketiga titik tersebut oleh dilatasi (O, 2) berturut-turut adalah … A. (0, 4), (0, 8) dan (0, 16) B. (4, 4), (9, 8) dan (6, 16) C. (6, 4), (11, 6) dan (8, 10) D. (8, 4), (18, 8) dan (12, 16)

22. EBT-SMP-02-24 Sebuah persegi panjang PQRS dengan P (3, 4), Q (3, –4). Dan R (–2, –4) didilatasi dengan pusat O (0, 0) dengan faktor skala 3. Luas persegi panjang setelah dilatasi adalah … A. 40 satuan luas B. 120 satuan luas C. 240 satuan luas D. 360 satuan luas

23. EBT-SMP-03-26 Titik (6, –9) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3, kemudian

bayangannya di translasi dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1810

. Koordinat bayangan P adalah …

A. (–7, 30) B. (7, 6) C. (–8, 15)

55

D. (8, –9)

MATRIKS

24. EBT-SMA-93-03 Diketahui matriks

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

513241652

C , 745

557

B , 2414322

A -

----

-r-q--p

-qr--

ap

Jika A + B = C maka nilai p , q dan r berturut-turut adalah … A. 2 , – 3 dan 2 B. 2 , – 3 dan -2 C. 2 , – 4 dan 2 D. 2 , – 3 dan 2 E. 2 , – 4 dan 2

25. EBT-SMA-87-11

Nilai c dari persamaan matriks : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ab

a

c

a

b

322

233

25

adalah …

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

26. EBT-SMA-87-12

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 10

015213

23427

q p maka p dan q berturut-turut adalah …

A. 2 dan 13 B. –2 dan 13 C. 2 dan –13 D. 7 dan 13

E. –7 dan 13 27. MA-86-09

Jika 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛srqp

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− sp1

6 + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+3

4sr

qp maka harga p, q, r dan s adalah …

A. p = 2 , q = 3 , r = 4 , s = 1 B. p = 2 , q = 4 , r = –1 , s =3 C. p = 2 , q = –4 , r = 1 , s =-3 D. p = 2 , q = –4 , r = –1 , s =3 E. p = 2 , q = 4 , r = 1 , s =3

28. MA-84-02

Jika : 2⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

21211

+ 3404

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ k213

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= 234

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

maka k adalah …

A. –4 B. –2 C. 2 D. 3 E. 4

29. MD-00-28

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+

7208

23204 2

x

yx maka x + y …

A. 4

15−

B. 4

15

C. 49−

D. 49

E. 421

56

30. MD-99-24

Diketahui persamaan

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 12217

561

2

52

z

yx

Nilai z = … A. –2 B. 3 C. 0 D. 6 E. 30

31. MD-86-15

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− yxy

x2

2 =

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8246

y, maka nilai y adalah

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 8

32.MA-04-05

Oleh matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

112

aaa

A , titik P (1, 2) dan titik Q masing-masing

ditransformasikan ke titik P′(2, 3) dan titik Q′(2, 0). Koordinat titik Q adalah … A. (1, –1) B. (–1, 1) C. (1, 1) D. (–1, –1) E. (1, 0)

33. MD-95-16

Nilai x yang memenuhi persamaan ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

4

3

2

12log

log1loglog z

yzyx

adalah …

A. √3 B. 3 C. √2 D. –3 E. 0

34. MD-89-21

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1log1log

14log22loglog

b a

) (b-)a- ( a x

maka x = ...

A. 6 B. 10 C. 1 D. 106 E. 4

35. MD-99-29

Diketahui A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +xxx

355

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −47

9 x

Jika determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah … A. 3 atau 4 B. –3 atau 4 C. 3 atau –4 D. –4 atau 5 E. 3 atau –5

57

36. MD-97-25

Nilai t yang memenuhi det 0 1432

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

t

t

adalah … (1) –2 (2) 2 (3) 5 (4) 1

37. MD-90-06 Jika 2x + 3y – 3 = 0

4x – y + 7 = 0

dan y =

1432−

a maka a = …

A. –26 B. –19 C. –2 D. 2 E. 26

38. MD-89-24

Jumlah akar-akar persamaan ) (x)(x+

)x-(

22212+

= 0 adalah ...

A. –321

B. –21

C. 0 D.

21

E. 321

39. MD-89-27

Nilai λ 1 dan λ2 untuk λ agar matriks λ

λ

3

4 1 +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ tidak mempunyai invers memenuhi

... A. | λ1 | + | λ2 | = 5 B. | λ1 + λ2 | = 1 C. λ1 λ2 = 6 D. λ1 dan λ2 berlawanan tanda

40. MD-87-21 Bila persamaan garis lurus dinyatakan oleh

ayx

32111

1 = 0 mempunyai gradien 2, maka a = …

A. 0 B. 1 C. –1 D. 2 E.

21

41. MD-85-12

Nilai determinan

0 2 3

2 0 4

3 4 0

−

− −

sama dengan …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

58

42. MD-04-21

Jika matriks :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

524132

aa

aA

Tidak mempunyai invers, maka nilai a adalah … A. –2 atau 2 B. –√2 atau √2 C. –1 atau 1 D. 2 E. 2√2

43. MD-87-22

Persamaan x xx - x

2sinsin2coscos

= 12

, dipenuhi oleh x =

A. 2π

B. 3π

C. 6π

D. 9π

E. 18π

44. MD-04-18

Jika matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

101 pa

A dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

1021 b

A , maka nilai b adalah …

A. –1 B. –

21

C. 0 D.

21

E. 1

45. MD-99-25

Jika A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3152

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1145

maka

determinan (A . B ) –1 = … A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 E. 3

46. MD-98-24 At adalah transpose dari A,

Jika C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

8224

B , 72

71

71

74

, A = C – 1

Maka determinan dari matriks At B adalah … A. –196 B. –188 C. 188 D. 196 E. 212

47. MD-01-24

Jika matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3241

, maka nilai x yang memenuhi persamaan | A – x I | = 0

dengan I matriks satuan dan | A – x I | determinan dari A – x I adalah ... A. 1 dan –5 B. –1 dan –5 C. –1 dan 5 D. –5 dan 0 E. 1 dan 0

59

48. MD-84-14

Diketahui matriks A = 1 24 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dan I =

1 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan | A – x I | = 0 jika | A – x I | determinan dari matriks A – x I A. –1 atau 0 B. 5 atau 0 C. 1 atau 5 D. –1 atau 5 E. –1 atau –5

49. MD-92-19

Matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ baaaa-b tidak mempunyai invers bila …

A. a dan b sembarang B. a ≠ 0 , b ≠ 0 dan a = b C. a ≠ 0 , b ≠ 0 dan a = - b D. a = 0 dan b sembarang E. b = 0 dan a sembarang

50. MD-98-28

Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

42

31

uuuu

dan un adalah suku ke-n barisan aritmetik. Jika u6 =

18 dan u10 = 30 maka determinan matriks A sama dengan … A. –30 B. –18 C. –12 D. 12 E. 18

INVERS

51. MA-85-17

Jika b c ≠ 0, invers matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0cba

adalah …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−0

1c

babc

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0

1b

cabc

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− acb

bc01

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛acb

bc01

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛abc

bc01

52.. MD-87-18

Invers matriks A = 86

42

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ adalah …

A. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−41

43

211

B. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−41

43

211

C. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 143

21

41

60

D. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

143

21

41

E. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

41

43

211

53. MD-92-18

Invers matriks

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

(a+b)(a-b)-

(a+b)(a-b)

21

21

21

21

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ baba

a-ba-b

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛a+ba+b-a+ba-b

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ba-a-b

-a+ba-b

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ baba

a-b-a+b

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ b-aba

a-ba+b

54. MD-83-13

Jika M N = matriks satuan dan N = 5 - 2

3 - 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ maka matriks M =…

A. - 5 3

- 2 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B. 5 2

- 3 -1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C. -1 2

- 3 5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

D. -1 - 2

3 5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E. 1 2

- 3 - 5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

55. MD-82-12

Jika M . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2111

= matriks satuan , maka M = …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1211

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1121

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1112

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2111

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1121

56. MA-84-08

Jika M = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

21

21

21

21 22

maka inversnya yaitu M-1 adalah :…

A. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−21

21

21

21

2

2

B. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

21

21

21

21

2

2

61

C. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

12

12

2121

D. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 12

12

21

21

E. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

12

12

2121

57. MD-82-29

Jika A = 2 34 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dan I = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

(1) A I = 2 34 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(2) I A =

(3) I I = I (4) A A = A

58. MD-85-13

Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 2334

maka matriks B yang memenuhi A B = I dengan I

matriks satuan ialah …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

4332

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 4332

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 2334

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−4332

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−2334

59. MD-03-21

Jika X adalah invers dari matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2223

, maka X2 adalah matriks …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−3222

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2223

C. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

41

21

21

32

22

D. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

22

23

21

21

41

E. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−21

4121

23

22

60. MD-91-19

Diberikan matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −aaaa

. Himpunan nilai a yang memenuhi hubungan

invers A = A transpose adalah … A. {–√2 , √2} B. { 1 , –1 }

C. (21 √2 , –

21 √2 }

D. { 21 , –

21 }

E. (41 √2 , –

41 √2 }

3 25 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

62

61. MA-90-04

Jika ad ≠ bc, dan dari sistem persamaan ⎩⎨⎧

+ dy'y = cxby'x = ax' +

' dapat dihitung menjadi

⎩⎨⎧

syy' = rx + = px + qyx'

, maka ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛tmhg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dcba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛srqp

= …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−gmht

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−tm

hg

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ghmt

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛tmhg

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

tmhg

62. EBT-SMA-98-04

Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 2326

, B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−130

51k

dan C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5332

. Nilai k yang

memenuhi A + B = C-1 (C-1 invers matriks C) adalah … A. 1 B.

31

C. 32

D. 1 E. 3

PERKALIAN

63. EBT-SMA-86-02 Bila matriks A berordo 3 × 2 dan matriks B berordo 2 × 1 maka matriks perkalian AB mempunyai ordo … A. 3 × 2 B. 2 × 1 C. 2 × 3 D. 1 × 3 E. 3 × 1

64. MD-86-16

Jika diketahui matriks A = 32⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dan B =

1 34 3−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ yang benar di antara hubungan

berikut adalah … A. A B = 3A B. A B = 3B C. B A = 3A D. B A = 3B E. 3B A = A

65. MA-79-49

Diketahui matriks P = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zwv

fdb

eca

u = Qdan

Diantara operasi-operasi di bawah ini, mana saja yang dapat dikerjakan ? (1) P × Q (2) P + Q

63

(3) 5 Q (4) Q × P

66. MA-94-10

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

51620

1214

2545

yx

maka …

A. y = 3x B. y = 2x C. y = x

D. y = 3x

E. y = 2x

67. MD-81-44

Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2002

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8765

. Pernyataan di bawah ini mana yang

benar ? (1) A2 = 2A (2) A . B = B . A (3) A . B = 2B (4) B . A . B = 2B2

68. MD-00-26 Hasil kali matriks (B A) (B + A-1) B–1 = … A. A B + 1 B. B A + 1 C. A + B–1 D. A–1 + B E. AB + A

69. MD-84-32 Diketahui matriks A dan B berordo sama, 2 × 2

Berapakah (A + B)2 ? (1) A2 + 2AB + B2 (2) A2 + AB + AB + B2 (3) AA + 2AB + BB (4) A(A + B) + B (A + B)

70. MD-96-15

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛207151

721

314

ba

a- .

a maka b = …

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

71. MD-02-06 Harga x yang memenuhi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −1130

4213

2611

8623

24 x

adalah … A. 0 B. 10 C. 13 D. 14 E. 25

72. MD-87-23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

123412

354

31

acc

-

-

b-

-bd-

maka a = … A. –2

B. –34

64

C. 32

D. 2

E. –32

73. EBT-SMA-01-02

Diketahui ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1112

3412

2354

3241

qp

Maka nilai p+ q = … A. –3 B. –1 C. 1 D. 2 E. 3

74. MD-03-20 Jika x dan y memenuhi persamaan matriks

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−14

21

2311

yx

maka x + y = … A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8

75. EBT-SMA-95-23

Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01-21 dan T2 bersesuaian dengan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01-21 . Matriks yang bersesuaian dengan T1 o T2 adalah …

A. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡47-61-

B. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 43-141-

C. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −43141

D. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4761-

E. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −41431-

76. MD-96-21 Titik potong dari dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−54

2132

yx

. adalah …

A. (1, –2) B. (–1,2) C. (–1, –2) D. (1,2) E. (2,1)

77. MD-94-28

Persamaan matriks : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −43

2332

yx

merupakan persamaan garis-garis lurus

yang … (1) berpotongan di titik (1,1) (2) melalui titik pangkal sistem koordinat (3) berimpit (4) saling tegak lurus

78. MD-93-27

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2413

6451

yx

, maka x dan y berturut-turut …

65

A. 3 dan 2 B. 3 dan –2 C. –3 dan –2 D. 4 dan 5 E. 5 dan –6

79. MD-01-03

Persamaan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 1

55432

yx

merupakan persamaan dua garis lurus yang

berpotongan di titik yang jumlah absis dan ordinatnya sama dengan ... A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

80. MD-87-16

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−23

6441 -

yx

, maka …

A. x = 1 dan y = –1 B. x = –1 dan y = 1 C. x = –2 dan y = 1 D. x = 2 dan y = –1 E. x = 1 dan y = 1

81. MD-83-12

Pasangan (x , y) yang di dapat dari : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛129

2313

yx

ialah …

A. (3 , 1) B. (1 , 3) C. (2 , 3) D. (3 , 2) E. (1 , 1)

82. EBT-SMA-88-12

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

maka , 1810-

2-16-1

= …

A. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

737

B. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4-32

C. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

14-

D. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2-18-

E. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

18-2-

83. MA-85-02

Diketahui A = 1 53 5−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , B = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

, C = −−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

42

Apabila A . B = C, maka nilai x dan y

berturut-turut adalah …

A. –2

13 dan 21

B. –23 dan -

21

C. 23 dan –

213

D. –23

dan 21

E. 2

13 dan 21

84. EBT-SMA-03-09

Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi persamaan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5

231

62yx

adalah …

66

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

85. EBT-SMA-92-03 Matriks X berordo 2 × 2 yang memenuhi persamaan

( )4231

X = ( )810-47-

adalah ……

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

0241

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−0124

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1042

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0241

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−0120

86. EBT-SMA-91-03

Diketahui persamaan matriks ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=19

1210 X

21-32

dengan X adalah matriks bujur

sangkar ordo 2. Matriks X = …

A. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4231-

B. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2441-

C. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2431

D. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2431-

E. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21/9-45

87. EBT-SMA-90-05

Diketahui matrks : A = ( )1 -12 3 , B = ( )-7 -3

11 14 x = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cbda

dan A . X = B . Nilai d pada

matriks x tersebut adalah … A. –3 B. –2 C. 2 D. 3 E. 4

88. EBT-SMA-89-10

Perkalian dua matriks ordo 2 × 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2182

M = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2142

maka matriks M adalah ……

A. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0021

B. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0012

C. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0031

67

D. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2112

E. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1001

89. MA-89-02

Jika 1 23 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . A =

0 11 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , maka 2A sama dengan …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−3442

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

23

21

21

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−3142

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−6284

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2142

90. MA-79-39

Matriks X berordo 2 × 2 yang memenuhi 1 23 4

32 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ X =

4 , adalah matriks …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−5465

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

21

21 1

12

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−4556

91. EBT-SMA-87-13

Matriks A berordo 2 × 2 . Jika 87

114 A

1321

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= maka A adalah matriks …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5121

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5211

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5152

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1512

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2115

92. MD-91-20

Jika P . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5432

9876

maka P = …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1223

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1223

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3221

68

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1223

93. MD-98-25

Diketahui matriks 0123

B , 1

1 A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=y

x dan

2-1-

01 C ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= . Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB – 2B = C adalah …

A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 E. 10

94. MD-95-28

Diketahui : A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4321

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−4556

.

(A . B) –1 = …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1234

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−4231

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−211

21

21

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

211

21

21

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

211

21

21

95. MD-02-02

Jika A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4331

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3122

, maka

(A B)–1 AT = …

A. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

42

41

42

43

B. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

42

41

42

43

C. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

82

81

82

83

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2123

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2123

96. MD-01-23

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−spqpp

21

, B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ts

01 dan C = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1011

. Jika A + B = C2 maka q + 2t

= ... A. –3 B. –2 C. –1 D. 0 E. 1

97. MD-93-13

Matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +ca

ba1 , B = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

dca 01

dan

69

C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101

. Jika A + Bt = C2 , dengan Bt tranpose dari B, maka d = …

A. –1 B. –2 C. 0 D. 1 E. 2

98. MD-90-15

Jika C adalah hasil kali matriks A dengan matriks B yakni C = A B dan C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛181976

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2134

maka A adalah …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3241

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4231

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3421

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4321

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2431

99. MD-90-21

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx 0110

= 5 merupakan persamaan …

A. lingkaran B. elips C. parabol D. hiperbol

E. dua garis berpotongan

100. MD-88-14

Matrik A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cb

a324

dan B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛71232

b+aa+bc-

Supaya dipenuhi A = 2Bt , dengan Bt menyatakan transpos matrik B maka nilai c = … A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10

101. MD-87-20 Jika α , β dan γ sudut-sudut segitiga ABC dan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

01 cossin

cossin sin - cos

sin cos

cossin 21 γγ

ββββ

ββαα

maka γ = … A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 E. 1200

102. MD-86-33

Dengan matriks 10

01

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ untuk mentranformasikan titik P(2, 3) bayangannya P′ (2, 3)

SEBAB 10

01

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

23⎛⎝⎜⎞⎠⎟

103. MD-81-17

70

Si A berbelanja di toko P: 3 kg gula @ Rp. 400,00, 10 kg beras @ Rp. 350,00 dan di toko Q : 2 kg gula @ Rp. 425,00, 5 kg beras @ Rp. 325,00. Pengeluaran belanja di toko P dan di toko Q dapat ditulis dalam bentuk matriks ...

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛325425350400

52103

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛325350425400

52103

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛325350425400

51023

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛325350425400

51023

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛425400325350

51023

104. EBT-SMA-97-13

Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3412

. Nilai k yang memenuhi

k det AT = det A–1 (det = determinan) adalah … A. 2 B. 1

41

C. 1

D. 21

E. 41

105. EBT-SMA-96-02

Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1012

dan I = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

. Matriks (A – kI) adalah matriks

singular untuk k = ... A. 1 atau 2 B. 1 atau –2 C. –1 atau 2

D. –1 atau –2 E. –1 atau 1

UAN-SMA-04-12

Diketahui matriks S = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3002

dan M = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 3021

.

Jika fungsi f (S, M) = S2 – M2, maka matriks F (S + M, S – M) adalah …

A. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 404204

B. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 304204

C. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−38484

D. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 404204

E. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−364

84

106. EBT-SMA-00-07

Diketahui ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=104

126B,

2132

A dan

A2 = xA + yB. Nilai x y = … A. –4 B. –1 C. –

21

D. 121

E. 2

107. EBT-SMA-99-07

71

Diketahui matrik A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1532

, B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−3241

,

C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+1836

232 n. Nilai n yang memenuhi

A × B = C + At (At tranpose matriks A) adalah …

A. –631

B. –232

C. 32

D. 2 E. 2

32

108. EBT-SMA-90-04

Diketahui matriks A = ( )2 -13 4 dan B = ( )1 2

-2 1

A2. B = …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−498

413

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−498

413

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−238

413

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

161824

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22192

109. EBT-SMA-95-04

Diketahui matriks A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡221-1 dan B =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡401-1 , X adalah matriks bujur sangkar

ordo dua. Jika X A = B , maka X adalah matriks …

A. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

B. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12-01

C. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1201

D. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1-201

E. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2-1-

01

110. EBT-SMA-03-40

Jika x dan y memenuhi persamaan:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

55

41

loglog3loglog2

22

22

xyyx , maka x . y = …

A. 41 √2

B. 21 √2

C. √2 D. 2√2 E. 4√2

111. MA-87-10

Bentuk kuadrat ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai per-kalian matriks (x 1) A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1x

,

A adalah matriks …

(1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛a

c0

1

(2) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cba

0

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ab

c 0

72

(4) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cb

a 0

112. EBT-SMA-01-34

Bayangan segitiga ABC dengan A(2, 1), B(5, 2) dan C(5,4) jika dicerminkan terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi (O, 90o) adalah … A. A′(–1, –2), B′(–2,-6) dan C′(–4, –5) B. A′(2,1), B′(2,6) dan C′(3,5) C. A′(1, –2), B′(2, –6) dan C′(4, –5) D. A′(–2, –1), B′(–6, –2) dan C′(–5, –4) E. A′(2,1), , B′(6,2) dan C′(5,4)

113. EBT-SMP-02-23 Bayangan sebuah titik M (6, -8) dirotasikan dengan pusat O sejauh 90o adalah M’. Koordinat M’ adalah … A. (–8, –6) B. (–8, 6) C. (8, –6) D. (8, 6)

114. EBT-SMP-99-26 Segi tiga ABC dengan koordinat A (–4, 1), B (–1, 2) dan C (–2, 4) dirotasikan dengan pusat O sebesar 90o. Koordinat titik sudut bayangan ∆ ABC adalah … A. A’ (1, 4), B’ (2, 1), C’ (4, 2) B. A’ (4, 1), B’ (1, 2), C’ (2, 4) C. A’ (–4, –1), B’ (–1, –2), C’ (–2, –4) D. A’ (–1, –4), B’ (–2, –1), C’ (–4, –2)

115. EBT-SMP-01-25 Titik-titik K (–2, 6), L (3, 4) dan M (1, –3) adalah segi tiga yang mengalami rotasi berpusat di O (0, 0) sejauh 180o, Bayangan K, L dan M berturut-turut adalah … A. K’ (6, –2), L (4, 3) dan M (–3, 1) B. K’ (–6, 2), L (–4, 3) dan M (3, –1) C. K’ (–2, –6), L (3, –4) dan M (1, 3) D. K’ (2, –6), L (–3, –3) dan M (–1, 3)

116. MA-88-08

Diketahui suatu transformasi T dinyatakan oleh matrik 0 11 0−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ maka transformasi T

adalah … A. pencerminan terhadap sumbu x B. pencerminan terhadap sumbu y

C. perputaran 21 π

D. perputaran –21 π

E. pencerminan terhadap garis y = x

117. EBT-SMP-93-32 Koordinat titik (3, –4) dicerminkan dengan garis y = x, koordinat bayangan titik A adalah … A. (–4, –3) B. (4, –3) C. (–3, 4) D. (–4, 3)

118. EBT-SMP-03-24

Titik A (5, –3) di translasi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 710

, kemudian dilanjutkan dengan rotasi yang pusatnya

O dengan besar putaran 90o berlawanan arah jarum jam. Koordinat bayangan titik A adalah … A. (10, –15) B. (–10, –15) C. (10, 15) D. (–10, 15)

119. EBT-SMA-90-30 Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi yang ber kaitan dengan matriks

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132

dilanjutkan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4321

adalah …

73

A. 13x – 5y + 4 = 0 B. 13x – 5y – 4 = 0 C. –5x + 4y + 2 = 0 D. –5x + 4y – 2 = 0 E. 13x – 4y + 2 = 0

120. EBT-SMA-88-13 Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−10

01

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −0110

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−0110

121. EBT-SMA-98-24

Garis dengan persamaan 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dan

dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1021

.

Persamaan bayangannya adalah … A. x – 2y + 4 = 0 B. x + 2y + 4 = 0 C. x + 4y + 4 = 0 D. y + 4 = 0 E. x + 4 = 0

122. EBT-SMA-94-22 Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasi-kan dengan transformasi yang

berkaitan dengan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

5231 . Persamaan bayangan garis itu adalah ……

A. 3x + 2y – 3 = 0 B. 3x – 2y – 3 = 0 C. 3x + 2y + 3 = 0

– x + y + 3 = 0 D. x – y + 3 = 0

123. EBT-SMA-03-35 Persamaan peta garis 3x – 4y = 12 karena refleksi terhadap garis y – x = 0,

dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1153

adalah …

A. y + 11x + 24 = 0 B. y – 11x – 10 = 0 C. y – 11x + 6 = 0 D. 11y – x + 24 = 0 E. 11y – x – 24 = 0

124. EBT-SMA-02-36 Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … A. y = x + 1 B. y = x – 1 C. y =

21 x – 1

D. y = 21 x + 1

E. y = 21 x –

21

125. EBT-SMA-00-38

Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat (0,0) sejauh +90o, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah … A. x + 2y + 4 = 0 B. x + 2y – 4 = 0

74

C. 2x + y + 4 = 0 D. 2x – y – 4 = 0 E. 2x + y – 4 = 0

126. EBT-SMA-99-37 Garis y = –3x + 1 diputar dengan R(0, 90o), kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah … A. 3y = x + 1 B. 3y = x – 1 C. 3y = –x – 1 D. y = –x – 1 E. y = 3x – 1

127. EBT-SMA-91-37 Garis yang persamaanya y = 2x + √2 dirotasikan sejauh 450 dengan pusat O(0,0). Garis yang terjadi persamaan-nya adalah …… A. y + 3x + 2 = 0 B. y – 3x + 2 = 0 C. y + 2x – 3 = 0 D. y + x – 2 = 0 E. 3y + x + 4 = 0

UAN-SMA-04-35 Persamaan peta kurva y = x2 – 3x + 2 karena pencermin an terhadap sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah … A. 3y + x2 – 9x + 18 = 0 B. 3y – x2 + 9x + 18 = 0 C. 3y – x2 + 9x + 18 = 0 D. 3y + x2 + 9x + 18 = 0 E. y + x2 + 9x – 18 = 0

128. EBT-SMA-91-38 M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0. R ada-lah pemutaran sejauh 900 searah jarum jam dengan pusat O(0,0). Matriks transformasi yang bersesuaian dengan (R o M) adalah …

A. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1001

B. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1-001

C. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1001-

D. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

01-1-0

E. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

011-0

129. EBT-SMA-02-40

Diketahui segitiga ABC panjang sisi-sisinya 4, 5 dan 6 satuan terletak pada bidang α.

T adalah transformasi pada bidang α yang bersesuaian dengan matriks ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

4341 . Luas

bayangan segitiga ABC oleh transformasi T adalah …

A. 165 √7 satuan luas

B. 45 √7 satuan luas

C. 10√7 satuan luas D. 15√7 satuan luas E. 30 √7satuan luas

130. EBT-SMA-97-09 Titik (4, –8) dicerminkan terhadap garis x = 6, dilanjutkan dengan rotasi (O, 60o). Hasilnya adalah … A. (–4 + 4√3, 4 – 4√3) B. (–4 + 4√3, –4 – 4√3) C. (4 + 4√3, 4 – 4√3) D. (4 – 4√3, –4 – 4√3) E. (4 + 4√3, –4 + 4√3)

75

131. EBT-SMA-01-35 Persegi panjang PQRS dengan titik P(1, 0), Q(–1, 0),

R(–1, 1) dan S(1, 1). Karena dilatasi [0, 3] dilanjutkan rotasi pusat O bersudut 2π .

Luas bayangan bangun tersebut adalah … A. 2 satuan luas B. 6 satuan luas C. 9 satuan luas D. 18 satuan luas E. 20 satuan luas

132. EBT-SMA-96-23 Lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan jari-jari 4. Diputar dengan R(0,90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah … A. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 B. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 C. x2 + y2 + 6x – 6y – 3 = 0 D. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 E. x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0

133. EBT-SMA-93-32 Persamaan bayangan dari lingkaran

x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛01-10

adalah …… A. x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 B. x2 + y2 – 6x – 4y + 3 = 0 C. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0 D. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 E. x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0

134. EBT-SMA-92-38 Diketahui T1 dan T2 berturut-turut adalah transformasi yang bersesuaian dengan

matriks T1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0220

dan

T2 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1011

. Koordinat bayangan titik P(6, –4) karena transformasi pertama

dilanjutkan dengan transformasi kedua adalah … A. (–8 , 4) B. (4 , –12) C. (4 , 12) D. (20 , 8) E. (20 , 12)

135. EBT-SMA-89-26

Lingkaran (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛011-0

dan

dilanjutkan oleh matriks ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

maka persamaan bayangan lingkaran itu adalah …

A. x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 B. x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0 C. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 D. x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 E. x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0

137. EBT-SMA-86-46 Diketahui sistem persamaan : 2x + y = 12 3x – 2y = 25 Selesaikan persamaan itu dengan matriks. a. matriks koeffisien persamaan di atas adalah A = … b. determinan matriks A adalah … c. invers dari matriks A adalah … d. nilai x dan y dari persamaan di atas adalah …

UAN-SMA-04-34

T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90o . T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = -x. Bila koordinat peta titik A oleh transfor-masi T1 o T2 adalah A’(8, –6), maka koordinat titik A adalah …

76

A. (–6, –8) B. (–6, 8) C. (6, 8) D. (8, 6) E. (10, 8)

136. MA-93-09

Vektor ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2

1 xxxr diputar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 900 dalam arah

berlawanan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu x ,

menghasilkan vektor ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1 yyy

r Jika y A x

rr= , maka A = …

A. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

B. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−0110

C. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −0110

D. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

E. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−10

01

138. MD-00-25

Diketahui B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0213

, C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 6320

dan determinan dari matriks B . C adalah K.

Jika garis 2x – y = 5 dan

x + y = 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah … A. x – 12y + 25 = 0 B. y – 12x + 25 = 0 C. x + 12y + 11 = 0 D. y – 12x – 11 = 0 E. y – 12x + 11 = 0