Download pdf - Matematici Financiare Si Actuariale an 1 Sem 2

PROGRAMA ANALITICĂ

MATEMATICI FINANCIARE SI ACTUARIALE

Anul I, semestrul II

OBIECTIVE ale disciplinei Cursul de matematici economice financiare si actuariale are ca

obiect bazele matematicilor financiare si actuariale. Cursul este predat în semestrul II al anului universitar, cu examen la sfârsitul semestrului II. Acest curs este structurat în raport cu obiectivul dotãrii viitorilor economisti si specialisti cu instrumentele matematice de operare si gândire, pentru a fi capabil sã fundamenteze deciziile adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orientate spre aplicarea lor în economie si corelate cu disciplinele de bazã si de specialitate pe care le vor parcurge studentii, conform planului de învãtãmânt. . CONTINUT

Tema 1. Elemente de teoria probabilitãtilor si statisticã matematicã cu aplicatii în economie (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 118-214)

◊ Evenimente, câmp de evenimente. ◊ Definitia clasicã si definitia axiomaticã a probabilitãti. Proprietãti. ◊ Câmp de probabilitate. ◊ Probabilitate conditionatã. ◊ Variabile aleatoare unidimensionale, definitie, proprietãti. ◊ Functia de repartitie. ◊ Valori medii si momente ale unei variabile aleatoare. Proprietãti. ◊ Functia caracteristicã. ◊ Variabile aleatoare bidimensionale. Corelatie. ◊ Scheme clasice de probabilitate: Bernoulli, Poisson, repartitia normalã, repartitia 2χ ,

Student si repartitia F. ◊ Elemente de statisticã matematicã:

-Teoria selectiei. -Teoria estimatiei. Metoda verosimilitãtii maxime.

Tema 2 . Elemente de teoria grafurilor pentru fundamentarea deciziei în MFC(DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 220-241)

◊ Grafuri: concepte, definitii. ◊ Matricea drumurilor totale, teorema Chen pentru drumuri hamiltoniene. ◊ Graf condensat: algoritmul Chen, algoritmul Kauffman. ◊ Drumuri minime si maxime într-un graf: algoritmul Bellman - Kalaba, algoritmul Ford.

Studii de caz. ◊ Retele de transport: flux maxim într-o retea; algoritmul Ford - Fulkerson. ◊ Aplicatii în fundamentarea deciziilor.

Tema 3 . Matematici financiare (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici

pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 252-278)

◊ Dobânda simplã. Definitie, formule de calcul. Operatiuni echivalente cu regim de dobândã simplã.

◊ Dobândă compusă. DefiniŃie, formule de calcul. OperaŃiuni echivalente cu regim de do-bândă compusă.

◊ Procent şi risc de plasare. Devalorizare. ◊ Scont simplu si scont compus. ◊ Plãti esalonate, anticipate si posticipate. Valoarea actualã si valoarea finalã. Operatiuni

echivalente. ◊ Plãti esalonate fractionate. ◊ Plãti esalonate generalizate. ◊ Împrumuturi.

- Amortizarea unui împrumut prin anuitãti constante posticipate (anticipate) - Amortizarea unui împrumut cu amortismente constante posticipate (anticipate)

Tema 4. Matematici actuariale (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici

pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 280-291)

◊ Bazele matematicii actuariale: functii biometrice, functia de supravietuire, speranta de viatã. Proprietãti.

◊ Tabele. ◊ Asigurãri viagere: factori viageri de actualizare. ◊ Contracte de asigurare viagerã: tipuri de contracte si anuitãti viagere. ◊ Deducerea modelelor matematice corespunzãtoare. Folosirea tabelelor. ◊ Calculul factorilor de actualizare în contractele de asigurare viagerã când nu se pot folosi

tabelele existente. ◊ Rente viagere anuale în progresie crescãtoare. Tipuri de contracte. ◊ Deducerea modelelor matematice corespunzãtoare. ◊ Plãti viagere fractionate. Tipuri de contracte. ◊ Asigurarea de pensii, de-a lungul vietii active. ◊ Asigurãri de deces.

Forma de evaluare (E, Cv, Vp)*: E

BIBLIOGRAFIA MINIMALĂ

1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2000. 2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2007. 3. BACIU A. –Matematici aplicate în economie şi finanŃe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004 4. IOAN R. – Elemente de matematici financiare şi actuariale, Ed. FRM, Bucureşti, 2007

* E=Examen; Cv=Colocviu; Vp= Verificare pe parcurs

SUBIECTE PROPUSE

Sa se stabileasca valoarea de adevar a urmatoarelor enunturi:

1. Fie , matricea drumurilor corespunzatoare unui graf. Atunci graful nu are

circuite.

2. Matricea drumurilor unui graf are in mod necesar numai valoarea 0 pe diagonala.

3. Un drum hamiltonian este in mod necesar un drum elementar.

4. Un drum hamiltonian trece prin toate varfurile unui graf.

5. Un graf admite cel mult un drum hamiltonian.

6. Un graf fara circuite admite cel mult un drum hamiltonian.

7. O succesiune de arce în care vârful terminal al unuia este origine pentru următorul se numeşte drum.

8. Un drum nu este simplu dacă foloseşte un arc o singură dată.

9. Un drum elementar care cuprinde toate vârfurile grafului se numeşte hamiltonian.

10. Dacă atunci din vârful ix nu se ajunge nicăieri şi se numeşte ieşire din reŃea.

11. Un graf fără circuite, care are „ n ” vârfuri, conŃine un drum hamiltonian, dacă şi numai dacă avem:

( ) ( )2

1

1

−=∑

=

nnxp

n

i

i .

12. Într-un câmp finit de evenimente evenimentul sigur este reuniunea tuturor evenimentelor elementare.

13. Evenimentul sigur si evenimentul imposibil sunt evenimente complementare.

14. Într- un câmp finit de evenimente egal posibile probabilitatea evenimentului A este egalã cu raportul dintre numãrul cazurilor posibile si numãrul cazurilor favorabile.

15. Fie campul de probabilitate , , PΩ Σ . Avem ( ) 1P ∅ = .

16. Fie campul de probabilitate , , PΩ Σ . Avem ( ) 1P Ω = .

17. Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate , , PΩ Σ sunt P independente dacã:

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

18. Fie campul de probabilitate , , PΩ Σ . Avem:

, ,1 2 1 2 1 2 1 2

P A A P A P A P A A A A

∪ = + − ∩ ∈ Σ

19. Numim probabilitate a evenimentului A conditionatã de evenimentul B ( )( )0P B ≠

raportul .

20. Functia de repartitie a unei variabile aleatoare verifica urmatoarea proprietate:

21. Functia de repartitie a unei variabile aleatoare verifica urmatoarea proprietate:

22. Fie o variabila aleatoare continua si fie f(x) densitatea sa de repartitie atunci are loc:

23. Fiecare realizare a unui experiment se numeste proba

24. Rezultatul unei probe se numeste eveniment.

25. Evenimentul care apare sau se realizeazã prin orice probã a experimentului studiat se numeste

evenimentul imposibil.

26. Evenimentul care nu se poate realiza prin nici o probã a experimentului studiat se numeste evenimentul sigur.

27. Evenimentul care se realizeazã printr-o singurã probã a experimentului studiat se numeste evenimentul elementar.

28. Evenimentul care se realizeazã prin douã sau mai multe probe a experimentului considerat se numeste evenimentul elementar.

29. Evenimentul care se realizeazã dacã si numai dacã se realizeazã cel putin unul din evenimentele

A sau B se numeste reuniunea evenimentelor A sau B.

30. Evenimentul care se realizeazã dacã si numai dacã se realizeazã ambele evenimente A si B se numeste intersectia evenimentelor A, B.

31. Evenimentele A si B care nu se pot realiza simultan sunt evenimente compatibile

32. Alegerea oricarei piese, corespunzãtoare sau necorespunzãtoare standardului dintr-un lot de piese reprezintã evenimentul sigur al experientei.

33. Aparitia fetei 7 la aruncarea cu zarul (cu fete numerotate de la 1 la 6) reprezintã un eveniment imposibil.

34. Aparitia unei fete la aruncarea cu zarul reprezintã un eveniment elementar.

35. Aparitia unui numãr par la aruncarea cu zarul reprezintã un eveniment compus.

36. Variabila aleatoare care inregistreaza numarul produselor defecte dintr-un lot analizat se numeste variabila aleatoare continua.

37. Daca sunt doua variabile aleatoare pentru care :

atunci spunem ca sunt variabile aleatoare independente.

38. O masina produce o piesa intr-o ora de functionare. Probabilitatea ca acea piesa sa fie rebut este de 0.4. Vrem sa aflam probabilitatea ca in 3 ore de functionare masina sa produca exact un rebut. Vom aplica schema lui Bernoulli

39. Trei urne contin fiecare bile albe si bile negre in proportii date. Vrem sa aflam probabilitatea ca extragand cate o bila din fiecare urna sa obtinem exact 2 bile albe. Vom aplica schema lui Poisson.

40. Trei urne contin fiecare bile albe si bile negre in proportii date. Vrem sa aflam probabilitatea ca extragand cate o bila din fiecare urna sa nu obtinem nicio bila alba. Vom aplica schema lui Poisson.

41. La un examen subiectele se pun in 3 plicuri separate fiecare continand in proportii date si diferite subiecte de geometrie si analiza. Vrem sa aflam probabilitatea ca extragand cate un subiect din fiecare plic sa obtinem numai subiecte de geometrie. Vom aplica schema lui Poisson

42. Un tragator trage la o tinta. Probabilitatea de nimerire a tintei dintr-o singura tragere este de 0.7. Vrem sa aflam probabilitatea ca el sa nimereasca tinta de exact 3 ori in 5 incercari. Vom aplica schema lui Bernoulli.

43. Un tragator trage la o tinta. Probabilitatea de nimerire a tintei dintr-o singura tragere este de 0.7. Vrem sa aflam probabilitatea ca el sa nimereasca tinta de exact 2 ori in 8 incercari. Vom aplica schema lui Bernoulli.

44. Prima urna contine 3 bile albe si doua bile negre, a doua 2 bile albe si 2 negre iar a treia 6 bile albe

si 1 neagra. Vrem sa aflam probabilitatea ca extragand din fiecare cate o bila sa obtinem exact 2 bile albe. Vom aplica schema lui Poisson.

45. Fie A,B doua evenimente cu P(A)= ,P( )= si P (B)= .Precizati valoarea de adevar a

urmatoarei afirmatii:”Evenimentele Asi B sunt independente”

46. Fie A,B doua evenimente cu P(A B)= ,P( )= si P(A B)= .Precizati valoarea de adevar a

urmatoarei afirmatii:”Evenimentele Asi B sunt independente”

47. Fie A,B doua evenimente independente pentru care P(A)= si P(B)= .Precizati valoarea de

adevar a urmatoarei afirmatii:”P(A B)= ”

48. Fie A,B doua evenimente pentru care P(A)= ,P(B)= si P(A B)= .Precizati valoarea de

adevar a urmatoarei afirmatii”Evenimentele A si B sunt independente”

49. Fie A,B doua evenimente pentru care P(A)= ,P(B)= si P(A B)= .Precizati valoarea de

adevar a urmatoarei afirmatii”Evenimentele A si B sunt independente”

50. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei: ”Exista o variabila aleatoare a carei repartitie sa

fie : ”

51. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei: ”Exista o variabila aleatoare a carei repartitie sa

fie : ”

52. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei: ” Fie o variabila aleatoare a carei repartitie

este : , atunci P( 4)= ”


este : , atunci P( 1)= ”


este : , atunci P( 0)=0”

55. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei: ” Fie o variabila aleatoare a carei dispersie este

D ( )=7.In acest caz D (10 )=700”

56. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei:”Daca si sunt doua variabile aleatoare

independente si D ( )=3 iar D ( )= 7,atunci D ( + )=10”

57. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei:”Daca si sunt doua variabile aleatoare independente si M( )=4 iar M( )=6, atunci M( )=24”

58. Sa se precizeze valoarea de adevar a afirmatiei:”Pentru orice a avem dispersia D (a)=0”

59. Fie ( )P,,ΚΩ un câmp de probabilitate si E, F două evenimente oarecare.

Dacă ( ) ( ) ( ) .20,0,24,0,73,0 =∩== FEPFPEP atunci probabilitatea evenimentului E FU este 0,77

60. Pentru variabila aleatoare discretă 1 0 1 2

:1/8 1/ 4 1/ 2 1/8

ξ−

media este ( ) 5 /8M ξ = .

61. Fie functia ℜ→ℜ:F definită prin:

( )

<

≤<+

≤

=

x

xbax

x

xF

3 1

31

1 0

.

F(x) reprezintã functia de repartitie a unei variabile aleatoare continue ξ dacã constantele a si b

sunt 2

1 ;

2

1−== ba .

62. Fie un depozit în valoare de1.000.000 u.m. la începutul anului 2005, cu procentul anul de 8%. CâŃi ani trec ca investiŃia să se dubleze.

63. Dobânda unitară este suma dată de 10 unitati monetare pe timp de un an, care se notează cu i.

64. Avem relaŃia nQQQV +++= ...210

65. RelaŃia între anuităŃi şi amortismente (adecvată pentru orice lege a anuităŃilor) este: ( )1 1 1p p p pT T Q i Q+ +− = − −

66. Considerăm , orice ; atunci avem relaŃia

67. Dobanda corespunzatoare plasarii unei sune de bani pe o perioada de timp reprezinta diferenta dintre valoarea initiala si valoarea finala .

68. Procentul anual reprezinta dobanda platita pentru 100 u.m. timp de un an de zile.

Elemente de teoria grafurilor

1. Matricea conexiunilor directe ale unui graf este . Sa se determine matricea drumurilor

acestui graf.


acestui graf.


acestui graf.

4. Matricea conexiunilor directe ale unui graf este . Sa se determine matricea

drumurilor acestui graf.

5. Matricea conexiunilor directe ale unui graf este . Sa se determine prima linie din

matricea drumurilor acestui graf.

6. Matricea conexiunilor directe corespunzatoare varfurilor ale unui graf este

. Sa se stabileasca daca graful admite drumuri hamiltoniene si in caz afirmativ sa se

determine acestea.



determine acestea.



determine acestea.



determine acestea.



determine acestea.

11. Sa se scrie matricea conexiunilor directe asociata grafului din imagine

12. Se da graful din imaginea

Sa se stabileasca daca graful admite drumuri hamiltoniene si in caz afirmativ sa se determine acestea.

13. Se da un graf fara circuite cu varfuri ce admite un drum hamiltonian

dat de succesiunea de varfuri . Atunci prima linie din matricea conexiunilor directe matricea conexiunilor directe asociata grafului este….

14. Se da un graf cu varfurile a carui matrice a conexiunilor directe este data de






17. Se da un graf cu varfuri si matricea conexiunilor directe data de

Cat este puterea de atingere a varfului ?









22. Se da un graf cu varfuri . Graful nu are circuite si admite un unic drum hamiltonian. Cat este suma puterilor de atingere a varfurilor grafului ?

23. Se da un graf cu varfuri . Graful nu are circuite si admite un unic drum hamiltonian. Cat este suma puterilor de atingere ale varfurilor grafului ?

24. Matricea drumurilor asociata unui graf fara circuite are toate componentele de pe diagonala egale cu… ?

25. Se da un graf cu 28 de varfuri. Graful nu are circuite si admite un unic drum hamiltonian d. Cat este puterea de atingere a primului varf din acest drum hamiltonian?

26. Se da un graf cu 11 de varfuri. Graful nu are circuite si admite un unic drum hamiltonian d. Cat este puterea de atingere a primului varf din acest drum hamiltonian?

27. Se da un graf cu varfuri si matrice a conexiunilor directe data de

Cat este numarul de arce cu originea in varful ?


Cat este suma puterilor de atingere ale varfurilor din acest graf?

29. Se da un graf fara circuite cu varfuri . Cat ar trebui sa fie suma puterilor de atingere ale varfurilor din graf pentru ca acest graf sa admita un unic drum hamiltonian ?

30. Se da un graf fara circuite cu varfuri . Cat ar trebui sa fie suma puterilor de atingere ale varfurilor din graf pentru ca acest graf sa admita un unic drum hamiltonian ?

31. Sa se calculeze folosind algoritmul inmultirii latine produsul componentelor si

32. Sa se calculeze folosind algoritmul inmultirii latine produsul componentelor si


Care este numarul de arce cu originea in varful ?

34. Se da un graf cu 7 de varfuri. Graful nu are circuite si admite un unic drum hamiltonian

d: .

Care este puterea de atingere a varfului din acest drum hamiltonian?

35. Cat este suma tutoror componentelor unei matrice a drumurilor asociata unui graf fara circuite cu 5 varfuri ce admite un unic drum hamiltonian ?

36. Fie graful valuat cu valorile pe arce

- 3 8 6 - -

- - - - 4 3

- 5 - 6 - -

- - - - - 9

- - - 3 - 5

- - - - - -

Sa se scrie matricea drumurilor asociata acestui graf


- 3 8 6 - -

- - - - 4 3

- 5 - 6 - -

- - - - - 9

- - - 3 - 5

- - - - - -

Stabiliti daca exista un unic drum hamiltonian si in caz afirmativ determinati-l.


- 3 8 6 - -

- - - - 4 3

- 5 - 6 - -

- - - - - 9

- - - 3 - 5

- - - - - -

Aplicati algoritmul Bellman-Kalaba si stabiliti valoarea minima a drumului de la la


- 3 8 6 - -

- - - - 4 3

- 5 - 6 - -

- - - - - 9

- - - 3 - 5

- - - - - -

Determinati care este drumul minim de la 1x la 6x .

40. Fie graful din fig. 1:

5x

4x

3x 1x

Fig. 1

2x

Scrieti matricea conexiunilor directe.


5x

4x

3x 1x

Fig. 1

2x

Scrieti matricea drumurilor.

42. Fie matricea drumurilor corespunzatoare unui graf. Sa se stabileasca daca graful

admite sau nu drumuri hamiltoniene, iar in caz afirmativ sa se determine si numarul acestor drumuri.


1x

2x

3x

5x4x

Fig.2

Scrieti matricea conexiunilor directe


1x

2x

3x

5x4x

Fig.2

Scrieti matricea drumurilor

45. Fie matricea drumurilor corespunzatoare unui graf. Sa se stabileasca daca graful

admite drumuri hamiltoniene, iar in caz afirmativ determinati aceste drumuri.

46. Fie graful din fig.3

1x

2x

3x

4x

Fig.3

Stabiliti cate drumuri hamiltoniene admite acest graf.

47. Daca un graf nu are circuite atunci cat sunt elementele ... in matricea drumurilor?

48. Un graf are circuite daca matricea drumurilor are cel putin un element ...?

49. Cat este ijc in matricea conexiunilor directe asociatã unui graf daca exista arc de la la ?

50. Cat este ijc in matricea conexiunilor directe asociatã unui graf daca nu exista arc de la la ?

51. Cat este ijd in matricea drumurilor asociatã unui graf daca exista drum de la la ?

52. Cat este ijd in matricea drumurilor asociatã unui graf, daca nu exista drum de la la ?

Elemente de teoria probabilitãtilor si statisticã matematicã cu aplicatii în economie

1. Fie ξ , doua variabile aleatoare. Determinati M( ), unde , stiind ca M(ξ )=5, M( )=3.

2. Fie ξ , doua variabile aleatoare. Determinati M( ), unde , stiind ca M(ξ )=2, M( )=6.

3. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare . Determinati stiind ca M( )=8.

4. Fieξ variabila aleatoare urmatoare . Determinati stiind ca M(ξ )=11,4.

5. Fie variabila aleatoare urmatoare . Determinati stiind ca

.

6. Fie ξ , doua variabile aleatoare, independente. Determinati , unde , stiind ca

7. Fie ξ , doua variabile aleatoare, independente. Determinati , unde , stiind ca

8. O variabila aleatoare continua are functia de densitatea de repartitie

Determinati functia de repartitie a variabilei aleatoare continue .


Determinati media variabilei aleatoare continue .



11. O variabila aleatoare continua ξ are functia de repartitie

Determinati functia densitate de repartitie a variabilei aleatoare continue ξ .

12. O variabila aleatoare continua ξ are functia de repartitie

Determinati media variabilei aleatoare continue ξ .

13. O variabila aleatoare continua ξare functia de repartitie

Determinati dispersia variabilei aleatoare continue ξ .

14. Fie ξvariabila aleatoare urmatoare , determinati ( )M ξ

15. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare , determinati 2( )M ξ .

16. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare . Determinati M(ξ )

17. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare . Determinati


19. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare . Determinati M(ξ )



22. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare . Determinati D ( )

23. Fie ξvariabila aleatoare urmatoare . Determinati

24. Care din tablourile de mai jos nu reprezinta tabloul de repartitie al unei variabile aleatoare discrete?

a.

d.

b.

e.

c.

25. Se considera variabilele aleatoare discrete independente

ξ= si =

Sa se scrie tabloul de repartitie al variabilei aleatoare ξ+


ξ= si =

Sa se scrie tabloul de repartitie al variabilei aleatoare ξ


ξ= si =

Sa se scrie tabloul de repartitie al variabilei aleatoare .

28. O variabila aleatoare continua are functia de repartitie F(x)=

Sa se determine functia de densitate de repartitie a variabilei aleatoare


Sa se determine functia de densitate de repartitie a variabilei aleatoare

30. Fie functia f(x)= .Sa se determine k astfel incat functia f sa fie densitate de repartitie

31. Fie functia f(x)= . Sa se determine k astfel incat functia f sa fie densitate de

repartitie

32. Sa se calculeze k astfel incat functia F: , F(x)=

sa

reprezinte functia de repartitie

a unei variabile aleatoare continue

33. O variabila aleatoare continua are functia de densitatea de repartitie f(x)=

Determinati functia de repartitie a variabilei aleatoare continue .





Sa se determine functia de repartitie a variabilei aleatoare continue

37. O variabila aleatoare continua are functia de repartitie f(x)=

Determinati dispersia variabilei aleatoare continue .

38. Fie variabila aleatoare urmatoare . Sa se determine functia de repartitie a

variabilei aleatoare .

39. Fie variabila aleatoare urmatoare . Sa se determine functia de repartitie a variabilei

aleatoare .


aleatoare


aleatoare .

42. Fie variabila aleatoare urmatoare : Calculati momentul M( )

43. Fie variabila aleatoare urmatoare : Calculati momentul M( )

44. Fie variabila aleatoare urmatoare : Calculati D ( )


46. Fie variabila aleatoare urmatoare : Calculati M( )


48. Fie A si B doua evenimente, A,B pentru care P (A)= , P (B)= , P(A)= . Calculati P(B).

49. Fie A si B doua evenimente, A,B pentru care P (A)= , P (B)= , P(A)= . Calculati P(A B).

50. Fie A si B doua evenimente, A,B pentru care P (A)= , P (B)= , P(A)= . Calculati P(A B)

51. Fie A si B doua evenimente, A,B pentru care P( )= P (B)= , P(A)= . Calculati P(A B)

52. Fie A si B doua evenimente cu proprietatea P(A)=P(B)= si P(A B)= . Sa se calculeze P( )

53. Fie A si B doua evenimente cu proprietatea P(A)= P(B)= si P(A B)= . Sa se calculeze P( )

54. Fie si variabilele aleatoare definite pe acelasi camp finit de probabilitati avand repartitile:

: si : Sa se determine repartitia variabilei

55. Fie si doua variabile aleatoare independente avand repartitiile : , : .

Sa se determine repartitia variabila aleatoare +

56. Fie si variabilele aleatoare independente avand repartitiile : , : .Sa se

determine repartitia variabilei + :

57. Fie si variabilele aleatoare independente avand repartitiile : , : .Sa se

determine repartitia variabilei M( + ):

58. Fie o variabila aleatoare avand repartitia : . Sa se calculeze dispersia D ( ):

59. Fie variabila aleatoare avand repartitia : .Sa se calculeze dispersia D ( )

60. Fie variabila aleatoare avand repartitia : .Sa se calculeze media M( )

61. Stiind ca o variabila aleatoare are dispersia D ( )= iar media M( )= . Sa se afle M( )

62. Stiind ca o variabila aleatoare are dispersia D ( )=4 ,sa se calculeze D ( +3)

63. Stiind ca o variabila aleatoare are dispersia D ( )=2 ,sa se calculeze D (4 )

64. Stiind ca doua variabile aleatoare independente si au D ( )=5 si D ( + )=12,sa se calculeze D ( )

65. Stiind ca pentru o variabila aleatoare independenta media M(2 +5)=15,sa se calculeze M( )

66. Fie variabila aleatoare urmatoare : .Sa se determine x ,p ,cunoscand media

M( )=5,3

67. Fie variabila aleatoare urmatoare : .Sa se determine x ,p cunoscand media

M( )=

68. Fie variabila aleatoare avand repartitia : .Sa se calculeze media repartitiei 5 +9

69. Fie si sunt doua variabile aleatoare independente avand repartitiile : si

: . Sa se determine repartitia variabilei

70. Fie o variabila aleatoare discreta avand repartitia : . Sa se determine repartitia

variabilei .

71. Fie o variabila aleatoare discreta avand repartitia : ; sa se calculeze dispersia sa

D ( ) .

72. Sa se determine a si p stiind ca variabila aleatoare : , are

M( 10 )= 10a .

73. Fie ξ variabila aleatoare urmatoare 1 2:0,5 0,5

x xξ

. Determinati dispersia sa.

74. Fie o variabila aleatoare continua si fie ( )f x densitatea sa de repartitie atunci sa se determine functia sa

de repartitie F(x)

75. Fie o variabila aleatoare a carui functie de repartitie este F(x) si fie a si b doua constante reale astfel incat . Cat este ( )P a bξ≤ < ?

76. Fie o variabila aleatoare discreta si fie r un numar natural, daca exista atunci scrieti formula

pentru momentul de ordin r al variabilei aleatoare .

77. Fie o variabila aleatoare pentru care exista si fie c o constanta reala. Sa se calculeze ( )M c ξ⋅

78. Fie doua variabile discrete pentru care exista . Sa se exprime media variabilei ξ η+

in functie de

79. Fie o pungă cu 1000 lozuri. Dintre acestea 150 lozuri aduc câştig de 50 000lei, 100 lozuri un câştig

de 100 000lei şi 20 lozuri un câştig de 150 000 lei. Notăm: A- evenimentul ca jucatorul care a tras lozul să câştige 50 000 lei; B- evenimentul ca jucatorul să câştige 100 000; C- evenimentul ca jucatorul să câştige 150 000 D- evenimentul de a nu trage un loz câştigător Sa se calculeze probabilitatile evenimentelor A, B, C si D.

80. Fie A şi B două evenimente ale unui câmp de probabilitate ( )P,,ΚΩ astfel încât

( ) ( ) ( ) 60,0,80,0,30,0 =∪== BAPBPAP . Care este relatia (compatibilitate / dependenta ) dintre evenimentele A si B?

81. Fie A şi B două evenimente ale unui câmp de probabilitate ( )P,,ΚΩ astfel încât

( ) ( ) ( ) 60,0,80,0,30,0 =∪== BAPBPAP . Care este relatia (compatibilitate / dependenta ) dintre evenimentele A si B?

82. La un magazin se aduc 150 de cămăşi de la o fabrică F1 ale cărei defecte de producŃie sunt în medie de 7%, 250 de cămăşi de la o fabrică F2 ale cărei defecte de producŃie sunt în medie de 5%, 100 de cămăşi de la o fabrică F3 ale cărei defecte de producŃie sunt în medie de 8%. Un client al magazinului alege la întâmplare o cămaşă. Ce şanse are să aleagă o cămaşă cu defect?

83. Se consideră funcŃia ( )[ ]

( ] , 0,1

2-x , 1, 2

0 ,

ax x

f x x

în rest

∈

= ∈

, unde a ∈ R.

Sa se determine a astfel incat funcŃia f sa fie densitatea de repartiŃie a unei variabile aleatoare continue.

84. Rebuturile unei firme producătoare sunt în proporŃie de 7%. Un magazin de desfacere angajează o comandă de 10 produse de la firma respectivă. Cu ce probabilitate comanda va conŃine 8 produse satisfăcătoare?

85. Fie ( )P,,ΚΩ un câmp de probabilitate şi E, F două evenimente oarecare.

Să se determine probabilitatea evenimentului E F∪ , dacă ( ) ( ) ( ) .20,0,24,0,73,0 =∩== FEPFPEP

86. Cat este valoarea constantei p, 0p > , pentru care

3 2 1 0 1 2 3:

2 3 8 3 2X

p p p p p p p

− − −

este o variabilă aleatoare repartizată discret .

87. Se consideră funcŃia RRf →: ,

( ) [ ]( ) ( )

+∞∪−∞−∈

−∈=

,21,,0

2,1,2

x

xaxxf .

Sa se determine a astfel incat funcŃia sa fie densitatea de repartiŃie a unei variabile aleatoare ξ , continue.

88. Sa se determine a si b astfel incat funcŃia :F R R→ ,

( ) Rbaxba

xxF ∈

≥+

<= ,

0 , e

0 , 02x-

,

sa fie funcŃie de repartiŃie a unei variabile aleatoare continue.

89. Dacă ξ este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de repartiŃie ( )4

xxf = , pentru x ∈ [1, 3] şi

( ) =xf 0, în rest. Cat este valoarea medie a lui ξ ?

90. Pentru variabila aleatoare discretă Cat sunt media şi dispersia sa?

91. Patru bănci, notate B1-B4, acordă credite către micii întreprinzători în anumite condiŃii. ProbabilităŃile ca acestea să acorde credite la un moment dat sunt, respectiv

95,0,80,0,90,0,85,0 4321 ==== pppp .

Se presupune că cele patru bănci lucrează independent una de alta. Care sunt şansele ca cererile depuse de către un întreprinzător la fiecare dintre cele patru bănci să conŃină la un moment dat trei răspunsuri favorabile?

92. Se ştie că o maşină automată realizează piese corespunzătoare cu probabilitatea 0,8. Se extrag la întâmplare 10 piese din producŃia maşinii şi fie variabila aleatoare care reprezintă numărul pieselor corespunzătoare. Calculati media, dispersia şi abaterea media pătratică a variabilei aleatoare .

93. Se consideră funcŃia: [ ]

[ ]( 2), 0,3

( )0, 0,3

k x xf x

x

+ ∈=

∉. Sa se determine parametrul real k, pentru care

funcŃia f(x) este densitate de repartiŃie a unei variabile aleatoare continue ξ

94. Fie funcŃia ℜ→ℜ:F definită prin:

( )

<

≤<+

≤

=

x

xbax

x

xF

3 1

31

1 0

.

Să se determine a, b- constante reale, astfel încât F(x) să reprezinte funcŃia de repartiŃie a unei variabile aleatoare continue ξ . Matematici financiare si actuariale

1. Suma de 20.000 u.m. se plasează timp de 45 zile, cu procentul anual de 8%. Care va fi suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni ?(în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

2. Dobânda cu procentul anual de 10%, corespunzătoare plasării unei sume timp de 6 luni, este de 250 u.m. (în regim de dobândă simplă; 1an =360 zile) Care va fi suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni ?

3. Suma finală corespunzătoare plasării unei sume în regim de dobândă simplă este de 20.000 u.m., iar dobânda aferentă este de 600 u.m.; opraŃiunea se efectuează cu procentul anual de 12%. AflaŃi durata plasamentului. (1an =360 zile)

4. Partenerul P1 urmează să efectueze către partenerului P2 plăŃile următoare: 2000 u.m., 5000 u.m., 10.000 u.m., cu procentele anuale de 9%, 10%, 12% având scadenŃa (durata) de 36 zile, 3 luni, respectiv 1 semestru. AflaŃi scadenŃa medie înlocuitoare ( în condiŃii de echivalenŃă în regim de dobândă simplă prin dobândă)

5. Partenerul P1 urmează să efectueze către partenerului P2 plăŃile următoare: 2000 u.m., 5000 u.m.,

10.000 u.m., cu procentele anuale de 9%, 10%, 12% având scadenŃa (durata) de 36 zile, 3 luni, respectiv 1 semestru. AflaŃi suma medie înlocuitoare ( în condiŃii de echivalenŃă în regim de dobândă simplă prin dobândă)

6. Partenerul P1 urmează să efectueze către partenerului P2 plăŃile următoare: 2000 u.m., 5000 u.m., 10.000 u.m., cu procentele anuale de 9%, 10%, 12% având scadenŃa (durata) de 36 zile, 3 luni, respectiv 1 semestru. AflaŃi procentul mediu înlocuitor (în condiŃii de echivalenŃă în regim de dobândă simplă prin dobândă)

7. AflaŃi suma depusă iniŃial într-o operaŃiune financiară pe termen de 2 ani, în regim de dobândă simplă, dacă dobânda rezultată ese de 500 u.m, iar procentele anuale au fost de 4% pentru primele 5 luni, 6% pentru următoarele 11 luni şi 8% pentru următoarele 8 luni.

8. Fie o operaŃiune financiară multiplă

F=7000u.m. 10.000u.m. 15.000u.m.

60zile 3luni 2trimestre

9% 10% 12%

Se înlocuieşte cu o operaŃiune unică, astfel durata de 100 zile şi suma unică de 20.000 u.m.. AflaŃi procentul unic înlocuitor. (în condiŃii de echivalenŃă în regim de dobândă simplă; se va rotunji la patru zecimale fiecare operatie aritmetica)


F=7000u.m. 10.000u.m. 15.000u.m.

60zile 3luni 2trimestre

9% 10% 12%

Se înlocuieşte cu o operaŃiune unică, astfel procentul anual de 8% şi suma unică de 10.000 u.m.. AflaŃi scadenŃa unică înlocuitoare. (în condiŃii de echivalenŃă în regim de dobândă simplă; se va rotunji la patru zecimale fiecare operatie aritmetica)


F=80.000u.m. 120.000u.m. 150.000u.m.

60zile 90zile 120zile

12% 15% 9%

Se înlocuieşte cu o operaŃiune unică, astfel suma unică de 100.000 u.m şi durata de 150 zile.. AflaŃi procentul unic înlocuitor. (în condiŃii de echivalenŃă în regim de dobândă simplă; se va rotunji la patru zecimale fiecare operatie aritmetica)

11. Ce devine suma de 20.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 4 ani cu procentele anuale de 6%, 7%, 8%, 9% ?

12. În urmă cu 3 ani o persoană a împrumutat o sumă de 100.000 u.m., cu un procent anual de 10%, pe care trebuie să o ramburseze astăzi împreună cu dobânda compusă corespunzătoare. Care este astăzi valoarea acestei datorii?

13. În urmă cu 3 ani o persoană a împrumutat o sumă de 100.000 u.m., cu un procent anual de 10%, pe care trebuie să o ramburseze astăzi împreună cu dobânda compusă corespunzătoare. Care este dobanda?

14. Ce devine suma de 20.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 4 ani cu , procentele anuale de 6%, 7%, 8%, 9%, dacă plasamentul se prelungeşte cu încă 4 luni în anul al cincilea cu procentul anual de 10% ? (se va rotunji la patru zecimale fiecare operatie aritmetica)

15. Se depune suma de 20.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 4 ani cu procentul anual de 10%. AflaŃi dobânda corespunzătoare acestei operaŃiunii?

16. În urmă cu 3 ani o persoană a împrumutat o sumă de 200.000 u.m., cu un procent anual de 10%, pe care trebuie să o ramburseze astăzi împreună cu dobânda compusă corespunzătoare. Care este astăzi valoarea acestei dobânzi?

17. În urmă cu 3 ani o persoană a împrumutat o sumă de 200.000 u.m., cu un procent anual de 10%, pe care trebuie să o ramburseze astăzi împreună cu dobânda compusă corespunzătoare. Care este astăzi valoarea acestei sume?

18. Ce sumă trebuie depusă astăzi pentru ca peste 4 ani cu procentul anual de 10% să se poată ridica

58.564 u.m ?

19. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează sumele de 2000 u.m., 5000 u.m., 7.000 u.m., cu procentul anual de 10%. Care este valoarea finală a fondului acumulat?

20. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, calculaŃi suma dobânzilor corespunzătoare celor 4 ani.

21. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, stabiliŃi valoarea celei de-a treia anuităŃi.

22. Un împrumut în valoare de 10.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este suma dobânzilor corespunzătoare celor 4 ani ?

23. Un împrumut în valoare de 10.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este suma anuităŃilor ?

24. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, stabiliŃi valoarea acestora.

25. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, calculaŃi suma dobânzilor corespunzătoare celor 4 ani.

26. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, stabiliŃi valoarea celei de-a treia anuităŃi.



29. Un împrumut în valoare de 40.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este dobânda corespunzătoare celui de al doilea an ?

30. Un împrumut în valoare de 40.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este anuitatea corespunzătoare celui de al doilea an ?

31. Un împrumut în valoare de 40.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi

posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este anuitatea corespunzătoare celui de al treilea an ?

32. Un împrumut în valoare de 40.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este suma ramasa de plata dupa al doilea an ?

33. Un împrumut în valoare de 40.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este suma ramasa de plata dupa al treilea an ?

34. Un împrumut în valoare de 40.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 5% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, care este dobanda corespunzatoare anului al treilea ?



37. Un împrumut în valoare de 12.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, stabiliŃi valoarea celei de-a doua anuităŃi.



40. În regim de dobândă simplă sa se determine dobânda corespunzătoare plasării unei sume iniŃiale 0S pe perioada t cu dobândă unitară i.

41. Sa se determine suma iniŃială depusă în regim de dobândă compusă pe o perioadă de timp perioada t cu dobânda unitară i

42. Suma de 2.000 u.m. se plasează timp de 36 zile, cu procentul anual de 9%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

43. Suma de 30.000 u.m. se plasează timp de 3 luni, cu procentul anual de 5%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)







50. Suma de 30.000 u.m. se plasează timp de 3 luni, cu procentul anual de 6%. Sa se calculeze dobanda corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)




54. Suma de 10.000 u.m. se plasează timp de 1 semestru, cu procentul anual de 12%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

55. Cu ce procent trebuie depusă o sumă de 5000 u.m. în regim de dobândă simplă ca peste 3 luni să putem obŃine suma de 5.125 u.m? (1an =360 zile)


57. Cat devine suma de 100.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 3 ani cu procentele anuale de 5%, 6%, 7% ?

58. Se depune suma de 1.000.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 3 ani cu procentul anual de 5%. Sa se calculeze dobânda corespunzătoare acestei operaŃiuni

59. Se depune suma de 1.000.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 3 ani cu procentul anual de 8%. Sa se calculeze dobânda corespunzătoare acestei operaŃiuni

60. Se depune suma de 1.000.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 3 ani cu procentul anual de 12%. Sa se calculeze dobânda corespunzătoare acestei operaŃiuni .

61. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi

anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, Sa se calculeze valoarea dobânzii din cel de al patrulea an.

62. Se rambursează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi anticipate cu dobândă anticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, Sa se calculeze valoarea dobânzii din cel de al doilea an

63. Un împrumut în valoare de 12.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 6% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, Sa se calculeze suma rămasă de plată la sfârşitul celui de al treilea an

64. Un împrumut în valoare de 15.000 u.m. va fi rambursat în 4 ani cu procentul anual de 8% şi plăŃi posticipate cu dobândă posticipată. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, Sa se calculeze valoarea celei de-a treia anuităŃi

65. Sa se calculeze dobanda corespunzatoare plasarii sumei de 10.000 u.m. cu procentul anual de 5% timp de 1 trimestru (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

66. Sa se calculeze suma finala corespunzatoare plasarii sumei de 10.000 u.m. cu procentul anual de 5% timp de 1 trimestru (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

67. Sa se calculeze suma finala corespunzatoare plasarii sumei de 10.000 u.m. cu procentul anual de 6% timp de 1 trimestru (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

68. Sa se calculeze dobanda corespunzatoare plasarii sumei de 10.000 u.m. cu procentul anual de 6% timp de 1 trimestru (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

69. Sa se calculeze suma finala corespunzatoare plasarii sumei de 1.000.000 u.m. cu procentul anual de 10% timp de 3 ani (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

70. Sa se calculeze dobanda corespunzatoare plasarii sumei de 1.000.000 u.m. cu procentul anual de 10% timp de 3 ani (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

71. Un împrumut de 10.000 u.m. urmează a fi rambursat în 4 ani prin rate (anuităŃi) constante posticipate cu procentul anual de 5%. Cat este dobanda din primul an?

72. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităŃi posticipate cu amortismente egale. Cat este amortismentul corespunzător?

73. O persoană a împrumutat suma de 20.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 5 ani cu procentul de 5% prin anuităŃi posticipate cu amortismente egale. Cat este amortismentul corespunzător?

74. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităŃi posticipate cu amortismente egale. Cat este suma rămasă de plată după cel de al doilea an ?

75. Un investitor plaseaza 500 u.m. cu procentul anual de 6%, in regim de dobanda compusa, timp de 3 ani. Cat este factorul de fructificare?

76. Un investitor plaseaza 500 u.m. cu procentul anual de 6%, in regim de dobanda compusa, timp de 3 ani. Sa se calculeze factorul de actualizare

77. Un investitor plaseaza 500 u.m. cu procentul anual de 6%, in regim de dobanda compusa, timp de 3 ani. Sa se calculeze valoarea finala

78. Un investitor plaseaza 500 u.m. cu procentul anual de 6%, in regim de dobanda compusa, timp de 3 ani. Sa se calculeze dobanda obtinuta

79. Daca peste 4 ani primesti de la banca 2500 RON, cati RON trebuie sa depui acum, daca ti se ofera o dobanda de 7,5% (dobanda compusa)?

80. Partenerul P1 urmeaza sa efectueze catre partenerul P2 platile urmatoare: 250 u.m., 360 u.m. cu procentele anuale 3%, 4% avand scadenta de 1 trimestru, respectiv un semestru. Aflati procentul mediu inlocuitor (in conditii de echivalenta in regim de dobanda simpla prin dobanda).

81. Suma de 3000 u.m. se plasează timp de 36 zile, cu procentul anual de 8%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

82. Suma de 50000 u.m. se plasează timp de 3 luni, cu procentul anual de 4%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)



85. Suma de 40000 u.m. se plasează timp de 72 de zile, cu procentul anual de 5%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)




89. Suma de 30000 u.m. se plasează timp de 4 luni, cu procentul anual de 6%. Sa se calculeze dobanda corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)



92. Suma de 7000 u.m. se plasează timp de 3 luni, cu procentul anual de 10%. Sa se calculeze suma

finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)

93. Suma de 8000 u.m. se plasează timp de 1 semestru, cu procentul anual de 12%. Sa se calculeze suma finală corespunzătoare acestei operaŃiuni (în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile)


95. Cu ce procent trebuie depusă o sumă de 10000 u.m. în regim de dobândă simplă ca peste 4 luni să putem obŃine suma de 10500 u.m? (1an =360 zile)

96. Cat devine suma de 100000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 3 ani cu procentele anuale de 5%, 6%, 8% ?

97. Se depune suma de 1000000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 3 ani cu procentul anual de 3%. Sa se calculeze dobânda corespunzătoare acestei operaŃiuni



100. Fie un depozit în valoare de 1000000 u.m. la începutul anului 2006, cu procentul anul de 4%. Sa se calculeze valoarea acestui depozit la sfârşitul anului 2008 (în regim de dobândă compusă)



103. Sa se calculeze dobanda corespunzatoare plasarii sumei de 20000 u.m. cu procentul anual de 5% timp de 1 trimestru (regim de dobanda simpla, 1 an=360 zile)

104. Sa se calculeze suma finala corespunzatoare plasarii sumei de 20000 u.m. cu procentul anual de 5% timp de 1 trimestru va fi (regim de dobanda simpla, 1 an=360 zile)

105. Sa se calculeze suma finala corespunzatoare plasarii sumei de 10000 u.m. cu procentul anual de 3% timp de 1 trimestru (regim de dobanda simpla, 1 an=360 zile)

106. Sa se calculeze dobanda corespunzatoare plasarii sumei de 10000 u.m. cu procentul anual de 3% timp de 1 trimestru (regim de dobanda simpla, 1 an=360 zile)

107. Sa se calculeze suma finala corespunzatoare plasarii sumei de 1000000 u.m. cu procentul anual de 10% timp de 4 ani (regim de dobanda compusa, 1 an=360 zile)

108. Sa se calculeze dobanda corespunzatoare plasarii sumei de 1000000 u.m. cu procentul anual de 10% timp de 4 ani (regim de dobanda compusa, 1 an=360 zile)