Matematici Financiare

Bumbacea CosminClasa a X-a A

Cuprins

1. Elemente de calcul financiar1.1 Procente1.2 Dobanda simpla-dobanda compusa1.3 Taxa pe valoarea adaugata (TVA)1.4 Alte elemente de calcul financiar

2. Elemente de statistica2.1 Elemente de limbaj in statistica. Date statistice2.2 Culegerea, inregistrarea si clasificarea datelor statistice2.3 Serii statistice. Frecvente2.4 Reprezentarea grafica a datelor statistice2.5 Interpretarea datelor statistice prin parametrii de pozitie

3. Elemente de calculul probabilitatilor3.1 Experimente si evenimente aleatoare3.2 Operatii cu evenimente3.3 Probabilitatea unui eveniment

1. Elemente de calcul financiar

1.1. Procente

Deseori in practica cotidiana se foloseste termenul de „procent” pentru a exprima modificarile survenite in evolutia unui fenomen.

De exemplu, se spune ca productia unei fabrici a crescut cu 5 procente, pretul unui obiec s-a micsorat cu 15 procente, dobanda acordata de o banca pentru depozitele populatiei a crescut cu 2 procente etc.

Definitii

- Un raport de forma p100 , p≥0 se numeste raport procentual.

- p100 se noteaza p% si se citeste „p la suta”.

- 1100 se numeste procent, iar p

100 reprezinta p procente. 

Exemple. Se considera doua vase de 5 m3si de 10 m3. In primul vas se afla 3 m3de apa, iar in al doilea 4 m3. Sa se exprime in procente cat este gradul de umplere al fiecarui vas.R. Pentru primul vas volumul sau (5 m3) reprezinta valoarea baza, iar gradul deumplere (3 m3) reprezinta valoarea procentuala. Atunci, pentru un vas de 100 m3 avem un grad de umplere egal cu p. Aplicand regula de trei simpla gasim:5 m3………. 3 m3

100 m3……………. p m3

p=3•1005 =60%

1.2 Dobanda simpla - Dobanda compusa

A. Dobanda simpla

In circulatia valorilor banesti se obijnuieste ca pentru o suma de bani depusa sau imprumutata, sa se plateasca la termenul scadent o suma majorata ca urmare a serviciului adus de aceasta suma.

Suma S depusa sau imprumutata initial se numeste capital initial.

Suma Sn restituita dupa o perioada de timp n, se numeste capital final.

Diferenta dintre Sn si S se numeste dobanda.

Dobanda depinde de mai multi factori cum ar fi: marimea capitalului folosit, perioada de timp cat capitalul a fost folosit, procentul de majorare convenit la inceputul perioadei si alti factori.

Daca dobanda oferita este direct proportionala cu suma initiala S si cu durata operatiunii, atunci aceasta dobanda se numeste dobanda simpla si se noteaza Ds.

Sa calculam dobanda simpla Ds generata de capitalul initial S intr-un an.

Pentru aceasta vom folosi regula de trei simpla pentru un enunt de forma: „Daca pentru 100 de unitati monetare (u.m) se acorda o majorare de r unitati monetare pe an, cate unitati monetare (u.m) se acorda pentru o suma S?”

Avem urmatoarea asezare a datelor:

100 (u.m)............r (u.m)

S (u.m)............Ds

Rezulta Ds=S• r100 (1)

Cu ajutorul formulei (1) se deduce modul de calcul al dobanzii simple generate de capitalul S pe o perioada de n ani cu rata dobanzii r%.

Ds=S• r100•n

B. Dobanda compusa Sa presupunem ca suma de 5 milioane de lei este depusa intr-o banca pe perioada a doi ani cu un procent de majorare anual de 15%. Daca pentru calculul dobanzii in al doilea an se ia in considerare nu numai suma initiala ci si dobanda generata de ea in primul an, adica suma totala de 5 000 000 lei + 750 000 lei, se spune ca operatiunea bancara se desfasoara in regim de dobanda compusa.

In cazul de fata, la sfarsitul celor doi ani capitalul final va fi

5 750 000 + 5 750 000• 15100 = 6 612 500 (lei).

Se observa ca aceasta maniera de calculare a dobanzii este mult mai avantajoasa pentru deponent decat dobanda simpla.

Pentru determinarea dobanzii compuse generata de o suma, sa analizam urmatoarea situatie problema:

„In ce suma se transforma in timp de n ani un capital S, daca se stie ca acesta genereaza dobanda compusa cu rata dobanzii r%?”

Solutie

Capitalul S produce in primul an o dobanda egala cu S• r100.

In al doilea an suma generatoare de dobanda va fi:

S1= S + S • r100 = S( 1 + r

100 ) = S•R, unde R = 1 + r100.

Dupa inca un an, suma S1se majoreaza cu dobanda simpla S1• r100 si devine: S2= S1+ S1• r

100 = S1 ( 1 + r100 ) = S1 • = SR2

Repetand rationamentul, dupa 3 ani se obtine suma S3= SR3 , dupa n ani se obtine Sn= SRn.

Este evident ca suma finala Sn reprezinta suma dintre capitalul initial S si dobanda compusa Dc generata de ea. Asadar, Sn= S + Dc si ca urmare Dc = Sn - S = SRn - S = S(Rn - 1) .

In conluzie, formula de calcul pentru dobanda compusa Dc generata de capitalul S dupa n ani este Dc = S(Rn - 1), unde

R = 1 + r100 .

1.3. Taxa pe valoarea adaugata (TVA) Taxa pe valoarea adaugata (TVA) este un impozit indirect, exprimat in procente, stabilit si perceput de stat asupra valorii adaugate in fiecare stadiu al productiei si al distributiei bunurilor economice.

Marimea taxei pe valoarea adaugata depinde de baza de calcul si de cotele de impozitare.

Elementele care compun baza de calcul (de impozitare) sunt diferite, in functie de situatia data, cum ar fi: preturile si tarifele negociate, preturile de piata, costurile bunurilor executate de agentii economici etc.

1.4. Alte elemente de calcul financiar

Amortizari de investitii In procesul de productie, prin capital fix sau mijloace fixe intelegem masini, utilaje, instalatii, mijloace de transport, cladiri etc. In timp, aceste mijloace fixe sunt supuse procesului de uzura fizica si morala.

• Amortizarea capitalului fix reprezinta procesul de recuperare treptata a valorii capitalului fix.

• Termenul necesar recuperarii integrale a valorii capitalului fix se numeste termen de amortizare.

• Partea din valoarea capitalului fix recuperata intr-un an se numeste amortizare anuala.

Notand cu A amortizarea anuala, cu V valoarea capitalului fix si cu T termenul de amortizare rezulta ca: A = TV .

• Raportul procentual intre amortizarea anuala (A) si valoarea capitalului fix (V) se numeste rata anuala de amortizare, notata r A.

Asadar, r A = AV • 100 (%)

Anul Amortizarea Anuala (A)

Rata anua-la de amortizare (r A)

Valoarea amortizata

Procentul de amor-tizare

Valoarea ramasa de amor-tizat

1 Vn

100n % V

n100n % V−V

n = (n−1)V

n2 V

n100n % 2V

n200n % (n−2)V

n...k V

n100n % kV

n100 kn % (n−k )V

n...n V

n100n % V 100% 0

Profitul. Rata profitului

• Profitul sau beneficiul reprezinta astigul realiazt din executarea unei activitati.

• Masa profitului (P) reprezinta diferenta pozitiva dintre veniturile totale (V t) si cheltuielile totale (C t).

•Rata profitului (r p) se calculeaza fie ca raportul procentual dintre masa profitului (P) si cheltuielile totale (C t), fie ca raportul procentual dintre masa profitului si veniturile totale (V t).

Asadar, r p = PCt

• 100 (%) sau r p = PV t

• 100 (%)

Cu cat r p este mai mare, cu atat eficienta activitatii este mai mare.

Pretul de cost al unui produs• Costul de productie (CP) al unui produs reprezinta totalitatea cheltuielilor facute pentru reproducerea acestuia. Exista mai multe tipuri de costuri.

• Costul fix (CF) este determinat de consumurile fixe si reprezinta acele cheltuieli care pe termen scurt raman neschimbate (chirii, asigurari, amortizari de capital fix, intretinere etc.).

• Costul total de productie (CP) este determinat de consumurile legate de intreaga productie si reprezinta suma dintre costul fix si costul variabil.

• Costurile totale (CT) se obtin din suma dintre costul de productie si costul de distributie (CD).

• Costul mediu (unitar) reprezinta costul pe unitatea de produs realizat.

Acesta este de mai multe feluri: fix (C fm), variabil (C vm), si total (C tm).

Aceste feluri de cost mediu se obtin ca raport dintre costurile globale (fixe, variabile, totale) si cantitatea de produse realizate (Q).

Asadar, C fm = CF

Q ; C vm = CV

Q ; C tm = CT

Q .

Tipuri de credite Prin credit se intelege o operatie prin care o persoana fizica sau juridica numita debitor obtine fonduri sau bunuri de la o alta persoana fizica sau juridica, numita creditor asumandu-si obligatia sa le restituie sau sa le plateasca la termen.

Restituirea fondurilor se numeste rambursare. In general, rambursarea este insotita de dobanda.

Termenul pana la care fondurile sunt rambursate se numeste scadenta.

Buget personal. Buget familial Bugetul personal si bugetul familial reprezinta sisteme de evidenta, de inregistrare sistematica si cronologica a veniturilor si cheltuielilor unei persoane, repectiv unei familii pe o perioada de timp (de obicei 1 an).

In fundamentarea bugetului personal, respectiv familial se au in vedere mai multi factori: nivelul veniturilor categoriilor sociale, numarul de persoane, tipul de ocupatii-profesiuni, mediul rural-urban, structura consumului etc.

2. Elemente de statistica Din insusi studiul matematicii dar si al altori stiinte precum fizica, chimia, biologia se poate desprinde ideea ca exista fenomene care pot fi investigate si descrise dupa reguli precise, exprimabile de obicei prin ecuatii in care intra un numar relativ mic de variabile.

2.1. Elemente de limbaj in statistica. Date statisticeDefinitii

- Multimea pe care se realizeaza un studiu statistic se numeste populatie statistica.

- Elementele componente ale unei populatii statistice se numesc unitati statistice sau indivizi.

- Numarul total de unitati statistice se numeste efectivul total al populatiei statistice.

- O parte a populatiei statistice aleasa special pentru a fi studiata se numeste esantion.

- Proprietatea sau indicatorul in functie de care se cerceteaza o populatie statistice se numeste caracteristica sau variabila statistica.

2.2. Culegerea, inregistrarea si clasificarea datelor statistice Sa consideram studiul efectual asupra unui grup de sportivi dupa inaltime (exprimata in centimetri)

Rezultatele masuratorii sunt inregistrate in ordinea in care a decurs masuratoarea si sunt asezate in urmatorul tabel:

Tabelul 1

165 168 177 195 172 198 196 190 201 168172 168 168 196 173 199 182 195 196 196185 205 184 192 178 165 174 182 177 172196 192 188 195 175 192 175 184 192 170184 205 190 200 188 176 184 178 188 170170 180 184 199 192 184 170 175 194 188

Sub aceasta forma datele inregistrate sunt greu de analizat. De aceea este necesara o alta gruparesau clasificare a datelor. De exemplu, sa asezam aceste date in ordinea crescatoare inaltimii sportivilor consemnand cati sportivi au o anumita inaltime. Se obtine urmatorul tabel:

Tabelul 2

cm Nr. sportivi

cm Nr. sportivi

cm Nr. sportivi

cm Nr. sportivi

cm Nr. sportivi

165

2 174

1 180 1 190 2 199

2

168

4 175

3 182 2 192 5 200

1

170

4 176

1 184 7 195 3 201

1

172

3 177

2 185 1 196 5 205

2

17 1 17 2 188 4 198 1 - -

3 8

Cu ajutorul acestui tabel datele sunt mai usor de analizat.

Dar pot fi si mai usor de analizat grupandu-le pe clase de valori:

Tabelul 3

Clase de valori (in cm) Nr. sportivi[165, 170) 6[170,175) 9[175,180) 8[180,185) 10[185,190) 5[190,195) 7[195,200) 11[200,205) 4

2.3 Serii statistice. Frecvente Tabelele 2 si 3 in care au fost clasificate datele studiului statistic privind inaltimea unui grup de 60 de sportivi, arata o dispunere a datelor in perechi de tipul: valoare caracteristica, efectiv.

Modul de prezentare a unei serii statistice cu o variabila statistica este sub forma unui tabel orizontal sau vertical, care cuprinde valorile variabilei statistice sau clasele in valori si frecventele absolute corespunzatoare:

Valorile caracteristice

x1 x2…x p

Frecventa absoluta n1n2…np

Se spune ca aceste tabele definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei statistice.

Clase de valori [x1 , x2¿…¿

Frecventa absoluta

n1..........................np

2.4. Reprezentarea grafica a datelor statistice

Culegerea, inregistrarea si gruparea datelor statistice legate de studiul statistic al unui fenomen sunt urmate de analiza, interpretarea si formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia.

O modalitate de realizare a analizei si interpretarii datelor statistice o constituie reprezentarea grafica a acestora, reprezentare care premitevizualizarea datelor statistice in scopul formarii unei imagini intuitive si imediate asupra fenomenului studiat.

• Graficul unei serii statistice se numeste diagrama structurala.

1. Reprezentarea grafica folosind diagrama circulara

Cercul de structura sau diagrama circulara este un cerc a carui arie reprezinta efectivul total al populatiei statistice (100%). Valorile variabilei se prezinta prin sectoare de cerc ale caror arii sunt proportionale cu frecventele relative ale valorilor variabilei. Cu ajutorul regulii de trei simpla se determina masura unghiului la centru corespunzator fiecarei frecvente.

Exemplu

Structura veniturilor banesti (in lei) din bugetul personal al unui student pe o luna se afla in urmatorul tabel de date:

Venituri Bursa de studiu

Donatii Activitati suplimentare

Vanzari de bunuri

Frecventa absoluta

2 400 000 1 200 000 2 100 000 300 000

Frecvfenta relativa

40 % 20 % 35 % 5 %

Cu regula de trei simpla se obtine urmatoarea corespondenta intre frecventa relativa f i si masura unghiului la centru corespunzator

f i 40% 20% 35% 5% n° 144° 72° 126° 18°

35%

5%40%

20%1234

2. Reprezentarea grafica folosind dreptunghiul de structura

Pentru desenarea dreprtunghiului de structura se considera un reper cartezian in plan. Axa verticala va fi axa frecventelor relative f i ale valorilor x i ale variabilelor statistice.

Cu baza pe axa orizontala se deseneaza un dreptunghi cu inaltimea de 100 de unitati. Se divizeaza dreptunghiul prin linii orizontale obtinand dreptunghiuri cu ariile proportionale cu frecventele f i.

3. Reprezentarea grafica prin batoane

Diagrama structurala cu ajutorul batoanelor se obtine astfel:

Se alege un reper cartezian in plan; Pe axa orizontala se reprezinta valorile x i ale variabilei

statistice; Pe axa verticala se reprezinta frecventele absolute ni sau

frecventele relative f i corespunzatoare valorilor x i, 1≤i≤p; Segmentul cu extremitatile in punctele cu coordonatele (

x i ,0), (x i, ni), respectiv (x i, f i) reprezinta batonul corespunzator valorii x i.

4. Reprezentarea grafica prin coloane sau benzi

Acest tip de reprezentare grafica foloseste dreptunghiuri cu latimi egale si lungimile proportionale cu frecventele absolute sau cu frecventele relative ale valorilor variabilei statistice.

Daca dreptunghiurile sunt asezate vertical, reprezentarea se numeste diagrama prn coloane, iar daca sunt asezate orizontal reprezentarea grafica se numeste diagrama prin benzi.

5. Poligonul frecventelor

O modalitate de vizualizare a datelor unei serii statistice este poligonul frecventelor care permite reprezentarea grafica sub forma unei curbe. Daca se unesc punctele de coordonate (x i, f i) se obtine poligonul frecventelor relative.

6. Histograma

Pentru a prezenta grafic aceste date statistice se procedeaza astfel:

Se alege un sistem cartezian de coordonate;

Pe axa orizontala se iau segmente de lungimi egale cu amplitudinea claselor de valori;

Se construiesc pe aceste segmente dreptunghiuri cu inaltimea proportionala cu frecventele absolute sau frecventele relative corespunzatoare caselor de valori

Graficul seriei statistice cu variabila cantitativa continua se numeste histograma.

2.5. Interpretarea datelor statistice prin parametri de pozitie

Analiza si interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pana la acest moment cu ajutorul frecventelor si a graficelor statistice. Cu ajutorul acestor caracteristici se poate observa cu usurinta variabilitatea marimilor care se obtin ca rezultat al unor masuratori. Desi exista aceasta variabilitate se observa o tendinta a datelor statistice de a se grupa in jurul unei anumite valori (tendinta centrala).

1. Valoarea medie a unei serii statistice

Definitie

Se numeste valoarea medie sau media variabilei statistice X, media aritmetica a tuturor valorilor variabilei statistice calculata pentru unitatile populatiei statistice

Se noteaza x= x1n1+x2n2+…+x pn p

n1+n2+…+np=∑i=1

p

x i ni

N.

2. Mediana seriei statistice

Fie seria statistica (x i, ni), i=1 , p, ordonata (xk≤ xk+1 ,k≥1) si N efectivul total al populatiei statistice.

Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor variabilei in doua parti, fiecare parte continand acelasi numar de valori.

Retinem!

Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa discreta se obtine astfel:

Se asaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau descrescatoare;

Daca N este numar impar, atunci Me=x N+12

;

Daca N este numar par (N = 2k), atunci Me=xk+xk +1

2 .

3. Modulul unei serii statistice

In multe activitati economico-sociale prezinta interes acele aspecte care survin cel mai frecvent in derularea lor.

De exemplu, compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala telefonica este cel mai mult solicitata si, in consecinta, da posibilitatea determinarii capacitatii optime centralei.

Astfel de probleme se rezolva folosind parametrul statistic de pozitie numit modul sau dominanta.

Definitie

Modulul sau dominanta unei serii statistice (x i, ni), 1≤i≤p, reprezinta valoarea sau clasa de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.

4. Dispersia. Abaterea medie patratica

Pentru a masura gradul de imprastiere a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc urmatorii parametrii de pozitie: dispersia si abaterea medie patratica

Definitie

Fiind data seria statistica (x i, ni), 1≤i≤p, dispersia valorilor x1 , x2 ,…, x p este media aritmetica ponderata a patratelor abaterilor de la medie ale valorilor variabilei.

Se noteaza: s2=(x1−x )2• n1+(x2−x )2•n2+…+(x p−x )2• np

n1+n2+…+np=∑i=1

p

(x i−x )2•n i

N.

In cazul datelor grupate in clase de valori, se considera abaterilor centrelor de valori de la medie.

Definitie

Fiind data seria statistica (x i, ni), 1≤i≤p, se numeste abatere medie patratica a valorilor variabilei numarul σ=√s2, unde s2 este dispersia seriei.

Asadar, σ=√∑i=1p

(x i−x )2 •ni

N.

3. Elemente de calculul probabilitatilor

In activitatea economico-sociala dar si in activitatea stiintifica sunt intalnite o serie de fenomene a caror producere si desfasurare poate fi prevazuta cu precizie deoarece ansamblul factorilor care le provoaca poate fi studiat cu precizie.

Exista insa fenomene a caror producere si derulare este greu de anticipat deoarece ele sunt conditionate de foarte multi factori, unii din ei necontrolabili.

3.1. Experimente si evenimente aleatoareDefinitii

Un experiment aleator sau experienta aleatoare este o activitate ale carei rezultate nu pot fi anticipate cu certitudine. Se noteaza cu litera Ɛ.

Fiecare repetare a unui experiment aleator se numeste proba. Multimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment

aleator se numeste multimea cazurilor posibile sau domeniul de posibilitati. Se va nota cu E.

Se numeste eveniment aleator sau eveniment orice situatie determinata de unul sau mai multe rezultate posibile ale experimentului.

3.2. Operatii cu evenimente

Operatiile logice „sau”, „si”, „non”, „implica” intalnite in calculul propozitiilor corelate cu operatiile din teoria multimilor „reuniune”, „intersectie”, „complementara”, „incluziune” vor da posibilitatea definirii de operatii cu evenimente.

1. ReuniuneaReuniunea evenimentelor A si B este evenimentul „A sau B” notat A∪B, a carui realizare consta in realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele A, B

2. Intersectia

Intersectia evenimentelor A si B este evenimentul „A si B”, notat A∩B, a carui realizare consta in realizarea simultana a celor doua evenimente.

3. Negatia Negatia evenimentului A este evenimentul „non A”, notat A, a carui realizare consta in nerealizare evenimentului A. Evenimentul „non A” se numeste evenimentul contrar evenimentului A.

4. ImplicatiaSpunem ca A implica B daca realizarea evenimentului A atrage realizarea evenimentului B. A implica B ⇔ A⊂B (multimea cazurilor favorabile lui A este inclusa in aceea a lui B).

3.3 Probabilitatea unui eveniment

Definitii

Evenimentele elementare {e1}, {e2},..., {en} se numesc egal probabile (echiprobabile) daca au aceeasi sansa de realizare intr-o proba.

Numarul evenimentelor elementare care compun evenimentul sigur reprezinta numarul de cazuri posibile ale experientei.

Numarul cazurilor favorabile producerii unui eveniment A este numarul nA al evenimentelor elementare care il compun

Cu aceste elemente pregatitoare se poate defini notiunea de probabilitate a unui eveniment aleator in care evenimentele elementare sunt echiprobabile

Definitie

Se numeste probabilitatea evenimentului aleator A, notata P(A), raportul dintre numarul cazurilor favorabile producerii evenimentului A si numarul tuturor cazurilor posibile ale experientei:

P(A) = numar cazuri favorabilelui Anumar decazuri posibile=nA

n .

Proprietati ale functiei „Probabilitate”:

P1. P(A) = 1 - P(A), ∀A∈P(E);

P2. P(∅) = 0;

P3. ∀ A, B ∈P(E), A⊂B⇒P(A)≤P(B);

P4. P(A \ B) = P(A) – P(B) daca B⊂A;

P5. P(A \ B) = P(A) - P(A∩B), ∀ A, B∈P(E);

P6. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), ∀ A, B∈P(E);