Petre Simion Victor NicolaeProf.univ.dr.ing.mat. Augustin Semenescu o Carmen AngelescuOvidiu Bidescu e Daniela Boan;5 o Alexandru Constantinescu

Gabriela Din4 o Sinziana Dumitran o Jenica MitrinFelicia Opran o Cezar Picuraru o Middlina StdnescuIleana gerban r Gabriela Tinase e Monica Topani

MATEMATICAclasa a Xl-a

BREVTAR TEORETTC. EXERCITI St PROBLEMEPROPUSE $t REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE

TESTE SUMATIVE. MODELE PENTRU TEZA

r filiera teoretici r profilul realr specializarea gtiinle ale naturii

Consultant:Prof. u niv.d r. mat,e m. OC|AWAN StAttASt tA

NICUI.ESCU

CUPRINS

, Algebrtr

Capitolul I. Matrice...... ...............;...... 8

1. Matrice gi operalii cd matrice. Adunarea gi sciderea matricelor...... g

2. inmulfirea matricelor ........,...... IzTeste de evaluare ....,..19

Capitolul IL Determinan1i.....,..,......... ,,....,..,.....,.,. 22

1. Determinantul unei matriee p&ratice..... .,.,, Zz2. hoprietf,file determinanfilor,..,...,.... .,,,.,...,.27

1. Matrice inversabilE tn ,4(C) 9i ecualii marieealo ,,,,,,, 39

2, Sisteme liniare ,.,.,.....,.r.i,.., ,,,,,. 47Teste de evaluare .,,,.,,59

, Anallzl matematlctr

Capltolall Llmite defunelii ,,,,,,,.,.,.,. 641, Noliuni elementare despre mulfimi de puncte

pe dreapta real6 - intervale, mfuginire, vecin[t61i ,,,,.... 642, Limite unei funefii lntr-un punet..,.,,,.,. ....,,.723. Limite remarcabile . Caza{ de nedetemrinare,,,,,.,.,.,,.,,,,..,.,.,,.,...,..., 80

Teste de evaluare ,.,.,,.85

4, Asimptote la graficul unei funefii .,.,,,,...,,... 87

Teste de evaluare ,..,,,.92

Capitolul IL Funclii continue.,.,, ........ 93

1. Funcfii continue lnfr-un punct, pe o mulfirne.Puncte de discontinuitate............ ............... 93

2. Prelungirea prin continuitate. Operafii cu funcfii continue............... 99

3. Semnul unei funclii continue pe un interval de numere reale.Proprietatea lui Darboux ....... 103

Teste de evaluare ..... 106

Capitolul III. Funclii derivabile... .... 108

1. Derivata unei funclii infr-un punct. Funclii derivabile ................... 108

2. Operalii cu funclii care admit derivat[.Derivata de ordin I qi tr............................. ...:............... 116

Teste de evaluare .......:........... ...,.126

Capitolul I

MATRICE

1. Matrice gi operafii cu matrice.Adunarea Si sclderea matrlcelor

!MPORTANTI

DeflnifeO funefie A :11,2,.,,,m1x.L,2,.,.,n1-r C se num€gte matrice cu n linii gi n

eoloane (sau de tipul (ran)) cu eoefieienfi tu mulfimeaG,

A(t, j) = a,,, i =ffi j= If ( au se numese elementele mauicei),

Matrlce partlculare

1) O mauice de tipul (1, n) ee numette matrice linie:A =(a,ar,.a),(q\

.1,;l2) O mauiee de tipul (la,l) se nume$te matrice coloanE: n =

I .,:

I

\o" ). 3) O matrice de tipul (m,n) antoate elementele nule se numefto rnatricea zero,

notatdo*,o, '

A)Daedrfl = n matricea se nume$te p6tratic6 de ordin n:

A e tu\ (c), A = (oil |l!i!,,.

T,(A) =f o,, ,. numegte urma matricei pluatice A./=l

(r o ... o'l5)Matriceunitatedeordinul n:1,=lO 1 ... 0l;

[o o . r)lldacdi= i

In =(6,i),,i=G, o, = {o ou"a ; *1.

Matrice 9i operalii cu matrice. Adunarea gisciderea matricetor

Exemore: ,^ =(l o) ' (: : :lLJtyrtlpre. ,, _1.O ,,,J,a

=[; ; I

Operdfii cu matrice

Fie A, B e *t ^,,(C),

A = (a,,), B = (0, ). Atunci

A+ B = C e fut,.,(C),C = (c,,),c,, = a,, I bu

Proprietlfi

Pl: (A+B)+ C = A+ (B+ C),(V)A,B,C e tut*,(C);

P2z A + B = B + A,(Y) A, B e tut*,,(C);

P3: Existi0e tut*.,(G) astfel incdtA+0=0+ A= A,(y)Ae 9ut**(C);

P4: Penftu orice maffice A.U*,,(qexis6(-A)e *t_.,(qastfel inc6t A+eA)=

=(-A)+ A=0*;P5: cr(A+ B) = s"A,+ aB,(V)oe G, A, B e *1^.,(C);

P6: (cr + B)A = aA + FA, (V)cx, B e G, Ae *t*,,(C);

P7: Pentru \Bel41g1: T,(A+ B)=T,A+T,B;

P8: 4(oA) =d,T,A.

Exercilii gi probleme pentru fixarea cunogtinfelor

t. Fie o=(t^: :l ,, u=(l ' tl.Determihafi

x, y, L t, u, vastrel incat[3 t 0)'- - [r u v)(ooo\A*B=I l.(000)

(x o y) [- o -l) (ts o -2)2.FieA=14 3z t l,n=l -x 2y r I qi C=l -ro -ll 9 l. eRati x, y, z,

[,-vz,) [-,224) [o -8 t)u,v,tdacdA+B =C.

10

(r -z\ (t z\3.riea=l 0 I lqia=l r -rl.catcutatiA-8.

[-+ s) [o t)

4. calculati: o=(' -z a.)*r[ z -r ' ).' \234) 1.-l 3-t)

S.calculati: B=2(-r s t.]*[o r +']"r[r 0 o).' \1 o t)\2 s 4) \-s 6 t2)

6. sr se determine maricea x d *n ,(1 ', tu)*

r. * = o(1r-: i)

7. sr se derermine maricea X d *a, zx *(\ ?)

= (j, :)

8. SE se determine matricea Y dacd: 3y +s(4 -1 '\=( ' '

r '1

riceardaca:3r+s[r r oi-[o 4 n)

Exercilii gi probleme pentru aprofundarea cunogtinlelor

1. Srsedetermine mafficeaXo""r, -r[,'; lj].r, =[j ;] -[j

{J

2. S[ se determine a, b, c, del dac[ are loc egalitate ^,

,(: ])-r(: 'ro)=

-(-t , ').

(1 2)

r-z\ (z tt)r ol-zx=slt o rl.z t) [, z o)

3. s[ se determine matriceaX ar"e, zflt[,

Matrlce tl operatllcu rtratrlce. Adunarea tlscid?rea matrlcolor i1

,n, I' .'='(1,^:),,

4. Determinafi matricelexgi y e %,(R)dar lzx _y =l

. - |

L \2 7)

5. S[ se determine x, y e IR pentru "*" *(? .\=('

i.]- --r-----'---- "Ir y ) [r z)'

6.Srsedetermine x,y,z,tetRpentru "*", *(**.' 'l-[^' :]=f '^ 1.').( -l x) \2x 3) [z+2 4+t )'

Exercilii gi probleme pentru performanfi

1. se consider[ matricea o,=(:- 7) o"-rnstrafl cd A,+ A, = A**,.

2.Dacilo)estesolufieaecuafieix2+x+1=0,s[seca1cu1ezesuma

$[r- (D'o (o'- )