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CAD Comp

Software per la progettazione di interventi di rinforzo

strutturale con FRP

MANUALE TEORICO

Centro di Progettazione, Design & Tecnologie dei Materiali

Manuale teorico – CAD Comp

Sommario I

MANUALE TEORICO - CAD Comp 1 Introduzione ................................................................................................................................. 1 2 Confinamento resistenza ............................................................................................................. 2

2.1 Principi di calcolo ..................................................................................................................... 2 2.1.1 Resistenza di progetto a compressione centrata ........................................................... 3 2.1.2 Stima della pressione laterale di confinamento .............................................................. 4

2.1.2.1 Sezioni circolari .......................................................................................................... 6 2.1.2.2 Sezioni quadrate e rettangolari .................................................................................. 6

2.2 Simbologia ............................................................................................................................... 7 3 Confinamento duttilità .................................................................................................................. 9

3.1 Principi di calcolo ..................................................................................................................... 9 3.1.1 Stima della pressione laterale di confinamento ............................................................ 10

3.1.1.1 Sezioni circolari ........................................................................................................ 11 3.1.1.2 Sezioni quadrate e rettangolari ................................................................................ 12

3.1.2 Calcolo della lunghezza delle cerniere plastiche .......................................................... 13 3.2 Simbologia ............................................................................................................................. 15

4 Rinforzo a flessione ................................................................................................................... 18 4.1 Principi di calcolo ................................................................................................................... 18

4.1.1 Dimensionamento del rinforzo in FRP .......................................................................... 18 4.1.2 Calcolo delle condizioni iniziali ..................................................................................... 21 4.1.3 Verifiche allo SLU ......................................................................................................... 21

4.1.3.1 Verifica di duttilità ..................................................................................................... 21 4.1.3.2 Verifica di delaminazione all’estremità ..................................................................... 22 4.1.3.3 Verifica di delaminazione intermedia ........................................................................ 23

4.1.4 Verifiche allo SLE .......................................................................................................... 23 4.1.4.1 Verifica delle tensioni all’interfaccia .......................................................................... 23 4.1.4.2 Verifica della larghezza di apertura delle fessure .................................................... 25

4.2 Simbologia ............................................................................................................................. 26 5 Rinforzo a taglio ......................................................................................................................... 30

5.1 Principi di calcolo ................................................................................................................... 30 5.1.1 Calcolo dell’area di rinforzo in FRP .............................................................................. 30

5.1.1.1 Sezione rettangolare o a T ....................................................................................... 30 5.1.1.2 Sezione circolare ...................................................................................................... 31

5.1.2 Calcolo della resistenza efficace di progetto del rinforzo in FRP ................................. 32 5.1.2.1 Sezione rettangolare o a T ....................................................................................... 32 5.1.2.2 Sezione circolare ...................................................................................................... 34

5.2 Simbologia ............................................................................................................................. 34


Capitolo 1 – Introduzione 1

1 Introduzione CADComp è un programma di calcolo completo per la progettazione di interventi di rinforzo con

materiali compositi FRP su elementi strutturali in calcestruzzo e calcestruzzo armato. Il programma,

seguendo l’approccio di calcolo suggerito dalle raccomandazioni CNR DT 200/2004, consente di progettare

rinforzi a flessione e taglio nonché interventi di confinamento di colonne e travi.


Capitolo 3 – Confinamento duttilità 2

2 Confinamento resistenza

2.1 Principi di calcolo Il software CAD Comp consente di progettare – in accordo alle raccomandazioni progettuali CNR

DT-200/2004 – interventi di confinamento con FRP per incrementare la resistenza ultima e la corrispondente

deformazione ultima, nel caso di elementi sollecitati da sforzo normale centrato o con piccola eccentricità.

Il confinamento di elementi di c.a. può essere realizzato con tessuti o lamine di FRP disposti sul

contorno in modo da costituire una fasciatura esterna continua (ricoprimento) o discontinua (cerchiatura).

L’incremento della resistenza a compressione e della corrispondente deformazione ultima del

calcestruzzo confinato con FRP dipendono dalla pressione di confinamento applicata. Quest’ultima è

funzione della rigidezza del sistema e della forma della sezione trasversale dell’elemento da confinare.

Per la ridistribuzione dei carichi verticali non è consentito fare affidamento sulla duttilità di elementi

soggetti a sforzo normale centrato o con piccola eccentricità.

Un sistema confinante a base di FRP (elastico fino a rottura), a differenza di un sistema di acciaio

(elasto-plastico), esercita una pressione laterale sempre crescente, in senso stretto, all’aumentare della

dilatazione trasversale dell’elemento confinato. Un tipico legame tensione-deformazione “ σ- ε” relativo a

prove di compressione condotte su provini confinati con FRP è riportato in Figura 1.

Figura 1 - Andamento del legame tensione-deformazione per calcestruzzo confinato con FRP.

Per valori della deformazione assiale εc pari allo 0.2%, la tensione nel calcestruzzo confinato è solo

di poco superiore a quella esibita dal calcestruzzo non confinato, e cioè alla resistenza di quest’ultimo. Per

deformazioni superiori allo 0.2% il legame tensione-deformazione è non lineare e la pendenza della

corrispondente curva “ σ-ε” diminuisce progressivamente fino ad assumere, nell’ultimo tratto, un valore

pressoché costante. In quest’ultimo tratto, ad andamento lineare, il calcestruzzo confinato perde

progressivamente la sua integrità per effetto di una fessurazione sempre più estesa.



In assenza di una pretensione iniziale, il rinforzo di FRP esercita un confinamento passivo sulla

membratura compressa. L’azione di confinamento diventa significativa nella fase di plasticizzazione, e quindi

di fessurazione, dell’elemento rinforzato, a seguito della più vistosa dilatazione trasversale esibita da

quest’ultimo. In maniera esplicita, si rileva che prima della fessurazione del calcestruzzo il sistema a base di

FRP è praticamente scarico.

Il collasso dell’elemento confinato si raggiunge per rottura delle fibre. Tuttavia, a partire da un certo

valore della deformazione assiale, l’elemento confinato con FRP è assimilabile ad un recipiente dalle pareti

molto flessibili riempito di materiale incoerente. Da questo momento in poi, esso perde di fatto la propria

funzionalità potendo assorbire solo modeste ed insignificanti sollecitazioni trasversali. In considerazione di

ciò, il collasso dell’elemento confinato è convenzionalmente raggiunto quando si attinge una deformazione

limite delle fibre pari a 0.004.

2.1.1 Resistenza di progetto a compressione centrata

La verifica dell’elemento confinato consiste nell’accertare che sia soddisfatta la seguente limitazione:

Sdd,Rcc NN ≥

essendo NSd il valore di progetto dell’azione assiale agente (da valutarsi, per le diverse combinazioni di

carico previste, come prescritto dalla Normativa vigente), NRcc,d il valore di progetto della resistenza

dell’elemento confinato.

In assenza di fenomeni di instabilità per carico di punta, la resistenza ultima di calcolo a sforzo

normale centrato, o con piccola eccentricità, di un elemento di c.a. confinato mediante FRP può essere

calcolata utilizzando la seguente relazione:

ydsccdcRd

dRcc fAfAN +=γ

1,

dove il coefficiente parziale γRd deve essere assunto pari a 1.10, i simboli Ac ed fccd rappresentano,

rispettivamente, l’area della sezione trasversale dell’elemento e la resistenza di calcolo del calcestruzzo

confinato (quest’ultima valutata come di seguito indicato), mentre i simboli As ed fyd denotano,

rispettivamente, l’area e la resistenza di calcolo dell’armatura metallica eventualmente presente

(quest’ultima valutata come previsto nella Normativa vigente).

La resistenza di progetto del calcestruzzo confinato, fccd, può essere valutata con la seguente

relazione: 3/2

,6.21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

cd

effl

cd

ccd

ff

ff

nella quale fcd è la resistenza di progetto del calcestruzzo non confinato, da valutarsi come prescritto nella

Normativa vigente, ed fl,eff è la pressione efficace di confinamento, definita di seguito. Il confinamento risulta

efficace se fl,eff / fcd > 0.05.



2.1.2 Stima della pressione laterale di confinamento

La resistenza di un elemento confinato con FRP dipende soltanto da un’aliquota della pressione di

confinamento, fl, esercitata dal sistema, detta pressione efficace di confinamento, fl,eff.

La pressione efficace di confinamento, fl,eff , è funzione della forma della sezione e delle modalità di

intervento ed è fornita dalla relazione:

leffeffl fkf ⋅=,

dove keff è un coefficiente di efficienza (≤ 1), definibile come il rapporto fra il volume Vc,eff di calcestruzzo

efficacemente confinato ed il volume Vc dell’elemento di calcestruzzo, depurato da quello delle armature

longitudinali (generalmente trascurabile).

La pressione di confinamento è valutata mediante la relazione:

ridfdffl Ef ,21 ερ=

dove ρf è la percentuale geometrica di rinforzo, dipendente dalla forma della sezione (circolare o

rettangolare) e dalla modalità di applicazione del confinamento lungo l’elemento (fasciatura continua o

discontinua), Ef è il modulo di elasticità normale del materiale in direzione delle fibre ed εfd,rid è un’opportuna

deformazione ridotta di calcolo del composito fibrorinforzato, definita di seguito.

Il coefficiente di efficienza, keff, può essere espresso come prodotto di un coefficiente di efficienza

orizzontale, kH, per uno di efficienza verticale, kV, e per un altro ancora legato all’inclinazione delle fibre, kα:

αkkkk VHeff =

Il coefficiente di efficienza orizzontale, kH, dipende dalla forma della sezione, se circolare o

rettangolare.

Il coefficiente di efficienza verticale, kV, dipende dalla modalità di applicazione del confinamento lungo

l’asse longitudinale dell’elemento. In caso di fasciatura continua si assume kV = 1.

In caso di fasciatura discontinua (Figura 2), realizzata cioè con strisce di FRP disposte ad interasse pf

e distanza netta p′f , si deve tenere conto della riduzione di efficacia dovuta al fenomeno di diffusione delle

tensioni tra due fasciature consecutive. Per effetto della diffusione, in una sezione verticale diametrale, si

creano delle zone che non risentono del confinamento, aventi approssimativamente un contorno parabolico

con tangente iniziale inclinata di 45°.



Figura 2 - Sezione confinata in maniera discontinua.

Indipendentemente dalla forma della sezione, il coefficiente di efficienza verticale, kV, che consente di

portare in conto il fenomeno di diffusione verticale delle tensioni, sopra descritto, può essere assunto pari a: 2

min

'

21 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−=

dp

k fV

avendo indicato con dmin la minima dimensione trasversale dell’elemento.

Nel caso di fasciatura discontinua è opportuno che la distanza netta fra le strisce rispetti la limitazione

p′ f ≤ dmin/2.

Indipendentemente dalla forma della sezione, il coefficiente di efficienza kα, da impiegarsi quando le

fibre vengano disposte ad elica, con inclinazione αf delle stesse rispetto alla sezione trasversale

dell’elemento, può esprimersi in funzione di αf come:

( )2tan11

f

kαα

+=

La deformazione ridotta di calcolo del composito fibrorinforzato, ε fd,rid , è ottenuta a partire dalla

deformazione caratteristica a rottura della fasciatura di FRP, εfk, tenendo conto opportunamente dei fattori

ambientali e delle osservazioni di cui al punto (9)P del § 4.5.1 delle istruzioni CNR DT 200/2004, nel modo

seguente:

{ }004.0;/min, ffkaridfd γεηε =

dove ηa e γf sono, rispettivamente, il fattore di conversione ambientale ed il coefficiente parziale del materiale

composito fibrorinforzato, i cui valori sono suggeriti, nell’ordine, nella Tabella 3-4 e nella Tabella 3-2 delle

citate Istruzioni.



2.1.2.1 Sezioni circolari

L’intervento di confinamento con FRP risulta particolarmente efficace per elementi a sezione circolare

soggetti a compressione centrata o a pressoflessione con modesta eccentricità. In presenza di fibre disposte

in direzione trasversale all’asse longitudinale dell’elemento, il sistema di FRP induce una pressione laterale

uniforme sulla superficie di contatto, che si oppone all’espansione radiale dell’elemento compresso.

La percentuale geometrica di rinforzo, ρf, da impiegare nella valutazione della pressione efficace di

confinamento è in tal caso fornita dalla relazione:

f

fff pD

bt⋅

⋅⋅=

4ρ

dove (Figura 2) tf e bf sono, rispettivamente, lo spessore e l’altezza della generica striscia di FRP, pf è

il passo delle strisce e D è il diametro della sezione circolare.

Nel caso di fasciatura continua l’espressione della percentuale ρf si specializza in 4 tf /D.

Per le sezioni circolari, il coefficiente di efficienza orizzontale, kH, è pari ad 1.0.

Nel caso di sezioni circolari, la dimensione dmin, introdotta nell’espressione per il calcolo del

coefficiente di efficienza verticale, va intesa come il diametro della sezione.

2.1.2.2 Sezioni quadrate e rettangolari

Il confinamento con FRP di elementi a sezione quadrata o rettangolare produce incrementi solo

marginali della resistenza a compressione. Ne consegue che applicazioni di questo genere devono essere

attentamente vagliate ed analizzate. Prima dell’applicazione del sistema di FRP è opportuno procedere ad

un arrotondamento degli spigoli della sezione, allo scopo di evitare pericolose concentrazioni di tensione

localizzate in corrispondenza degli stessi, che potrebbero provocare una rottura prematura del sistema.

Il raggio di curvatura dello spigolo deve soddisfare la seguente limitazione:

mmrc 20≥


confinamento è:

( )f

fff pdb

bdbt⋅⋅

⋅+⋅⋅=

2ρ

dove tf e bf sono, rispettivamente, lo spessore e l’altezza della generica striscia di FRP, pf è il passo

delle strisce, mentre b e d sono le dimensioni trasversali della sezione rettangolare.

Nel caso di fasciatura continua l’espressione di ρf fornita nella precedente si specializza in:

( )db

dbt ff ⋅

+⋅⋅=

2ρ

Con riferimento alla Figura 3, si può ritenere, con buona approssimazione, che l’area di calcestruzzo

effettivamente confinata sia solo un’aliquota di quella complessiva. La motivazione di tale comportamento è



da attribuirsi all’“effetto arco” che si manifesta all’interno della sezione; tale effetto è dipendente dal valore

del raggio di arrotondamento degli spigoli, rc.

Figura 3 - Confinamento di sezioni rettangolari.

Il coefficiente di efficienza orizzontale, kH, per le sezioni rettangolari, per tener conto dell’effetto arco

che si attiva nella sezione trasversale, vale:

AgdbkH 3

''122 +

−=

in cui b’ e d’ sono le dimensioni indicate in Figura 3 ed Ag è l’area della sezione trasversale.

In assenza di adeguate prove sperimentali, che ne comprovino l’efficacia, non va considerato l’effetto

del confinamento su sezioni rettangolari per le quali b/d>2, ovvero max{ b,d}> 900mm.

2.2 Simbologia Ac Area della sezione di calcestruzzo, al netto delle armature metalliche Ag Area della sezione di calcestruzzo b Larghezza della sezione bf Larghezza del rinforzo di FRP D Diametro d Altezza della sezione dmin Minima dimensione trasversale dell’elemento Ef Modulo di elasticità normale del rinforzo di FRP Efib Modulo di elasticità normale della fibra fccd Resistenza (cilindrica) di progetto del calcestruzzo confinato fcd Resistenza (cilindrica) di progetto a compressione del calcestruzzo fck Resistenza (cilindrica) caratteristica a compressione del calcestruzzo fcm Resistenza (cilindrica) media a compressione del calcestruzzo fyk Tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio fym Tensione media di snervamento dell’acciaio ffd Resistenza di progetto del rinforzo di FRP ffk Resistenza caratteristica del rinforzo di FRP



fl Pressione di confinamento fl,eff Pressione efficace di confinamento kα Coefficiente di efficienza legato all’inclinazione α delle fibre rispetto all’asse longitudinale

dell’elemento confinato keff Coefficiente di efficienza dell’azione di confinamento kH Coefficiente di efficienza orizzontale kV Coefficiente di efficienza verticale NRcc,d Resistenza di progetto a compressione centrata dell’elemento di c.a. confinato con FRP NSd Sforzo normale sollecitante di progetto pf Passo di strisce o di cerchiature di FRP p’f distanza netta tra le strisce di FRP rc Raggio di arrotondamento degli spigoli Rck Resistenza (cubica) caratteristica a compressione del calcestruzzo Rcm Resistenza (cubica) media a compressione del calcestruzzo tf Spessore del rinforzo di FRP αf Inclinazione del rinforzo FRP rispetto alla sezione trasversale εf Deformazione del rinforzo di FRP εfd Deformazione massima di progetto del rinforzo di FRP εfd,rid Valore ridotto della deformazione massima di progetto del rinforzo di FRP nel

confinamento di elementi di c.a. εfk Deformazione caratteristica a rottura per trazione del rinforzo di FRP γf Coefficiente parziale del materiale composito fibrorinforzato γRd Coefficiente parziale per i modelli di resistenza ηa Fattore di conversione ambientale ρf percentuale geometrica di rinforzo FRP



3 Confinamento duttilità Il software CAD Comp consente di progettare – in accordo alle raccomandazioni progettuali CNR

DT-200/2004 – interventi di confinamento con FRP per incrementare la duttilità di elementi pressoinflessi.

Il confinamento di elementi di c.a. può essere realizzato con tessuti o lamine di FRP disposti sul

contorno in modo da costituire una fasciatura esterna continua (ricoprimento) o discontinua (cerchiatura).

L’incremento della deformazione ultima del calcestruzzo confinato con FRP dipende dalla pressione

di confinamento applicata. Quest’ultima è funzione della rigidezza del sistema e della forma della sezione

trasversale dell’elemento da confinare.

Un sistema confinante a base di FRP (elastico fino a rottura), a differenza di un sistema di acciaio

(elasto-plastico), esercita una pressione laterale sempre crescente, in senso stretto, all’aumentare della

dilatazione trasversale dell’elemento confinato.

3.1 Principi di calcolo Secondo le norme CNR DT 200/2004 il confinamento con FRP può essere realizzato anche su

elementi di calcestruzzo soggetti a pressoflessione; in tal modo è possibile incrementare la loro duttilità e,

solo in misura ridotta, la loro resistenza. In mancanza di determinazioni più accurate, la valutazione della

curvatura ultima di una sezione pressoinflessa può essere perseguita ipotizzando un classico legame

costitutivo del tipo parabola-rettangolo, caratterizzato da una resistenza massima pari a fcd, il cui tratto

costante si estenda fino ad un valore della deformazione ultima di progetto, εccu, fornito dalla seguente

relazione:

cd

efflccu f

f ,015.00035.0 +=ε

essendo fl,eff la pressione efficace di confinamento e fcd la resistenza di progetto del calcestruzzo non

confinato, da valutarsi come prescritto nella Normativa vigente.

ε000

000 ε

Figura 4. Legame costitutivo adottato per il calcestruzzo



Nella precedente espressione la pressione efficace è calcolata assumendo una deformazione ridotta

di calcolo del composito fibrorinforzato data da:

fkf

fkaridfd ε

γε

ηε ⋅≤= 6.0,

in cui ηa e γf sono, rispettivamente, il fattore di conversione ambientale ed il coefficiente parziale del

materiale composito fibrorinforzato, i cui valori sono suggeriti, nell’ordine, nella Tabella 3-4 e nella Tabella 3-

2 delle Istruzioni CNR.

3.1.1 Stima della pressione laterale di confinamento

La resistenza di un elemento confinato con FRP dipende soltanto da un’aliquota della pressione di

confinamento, fl, esercitata dal sistema, detta pressione efficace di confinamento, fl,eff.

La pressione efficace di confinamento, fl,eff , è funzione della forma della sezione e delle modalità di

intervento ed è fornita dalla relazione:

leffeffl fkf ⋅=,

dove keff è un coefficiente di efficienza (≤ 1), definibile come il rapporto fra il volume Vc,eff di calcestruzzo

efficacemente confinato ed il volume Vc dell’elemento di calcestruzzo, depurato da quello delle armature

longitudinali (generalmente trascurabile).

La pressione di confinamento è valutata mediante la relazione:

ridfdffl Ef ,21 ερ=

dove ρf è la percentuale geometrica di rinforzo, dipendente dalla forma della sezione (circolare o

rettangolare) e dalla modalità di applicazione del confinamento lungo l’elemento (fasciatura continua o

discontinua), Ef è il modulo di elasticità normale del materiale in direzione delle fibre ed εfd,rid è un’opportuna

deformazione ridotta di calcolo del composito fibrorinforzato, definita di seguito.

Il coefficiente di efficienza, keff, può essere espresso come prodotto di un coefficiente di efficienza

orizzontale, kH, per uno di efficienza verticale, kV, e per un altro ancora legato all’inclinazione delle fibre, kα:

αkkkk VHeff =

Il coefficiente di efficienza orizzontale, kH, dipende dalla forma della sezione, se circolare o

rettangolare.

Il coefficiente di efficienza verticale, kV, dipende dalla modalità di applicazione del confinamento lungo

l’asse longitudinale dell’elemento. In caso di fasciatura continua si assume kV = 1.

In caso di fasciatura discontinua (Figura 2), realizzata cioè con strisce di FRP disposte ad interasse pf

e distanza netta p′f , si deve tenere conto della riduzione di efficacia dovuta al fenomeno di diffusione delle

tensioni tra due fasciature consecutive. Per effetto della diffusione, in una sezione verticale diametrale, si

creano delle zone che non risentono del confinamento, aventi approssimativamente un contorno parabolico

con tangente iniziale inclinata di 45°.



Figura 5 - Sezione confinata in maniera discontinua.

Indipendentemente dalla forma della sezione, il coefficiente di efficienza verticale, kV, che consente di

portare in conto il fenomeno di diffusione verticale delle tensioni, sopra descritto, può essere assunto pari a: 2

min

'

21 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−=

dp

k fV

avendo indicato con dmin la minima dimensione trasversale dell’elemento.

Nel caso di fasciatura discontinua è opportuno che la distanza netta fra le strisce rispetti la limitazione

p′ f ≤ dmin/2.

Indipendentemente dalla forma della sezione, il coefficiente di efficienza kα, da impiegarsi quando le

fibre vengano disposte ad elica, con inclinazione αf delle stesse rispetto alla sezione trasversale

dell’elemento, può esprimersi in funzione di αf come:

( )2tan11

f

kαα

+=

3.1.1.1 Sezioni circolari

L’intervento di confinamento con FRP risulta particolarmente efficace per elementi a sezione circolare

soggetti a compressione centrata o a pressoflessione con modesta eccentricità. In presenza di fibre disposte

in direzione trasversale all’asse longitudinale dell’elemento, il sistema di FRP induce una pressione laterale

uniforme sulla superficie di contatto, che si oppone all’espansione radiale dell’elemento compresso.


confinamento è in tal caso fornita dalla relazione:



f

fff pD

bt⋅

⋅⋅=

4ρ

dove (Figura 2) tf e bf sono, rispettivamente, lo spessore e l’altezza della generica striscia di FRP, pf è

il passo delle strisce e D è il diametro della sezione circolare.

Nel caso di fasciatura continua l’espressione della percentuale ρf si specializza in 4 tf /D.

Per le sezioni circolari, il coefficiente di efficienza orizzontale, kH, è pari ad 1.0.

Nel caso di sezioni circolari, la dimensione dmin, introdotta nell’espressione per il calcolo del

coefficiente di efficienza verticale, va intesa come il diametro della sezione.

3.1.1.2 Sezioni quadrate e rettangolari

Il confinamento con FRP di elementi a sezione quadrata o rettangolare produce incrementi solo

marginali della resistenza a compressione. Ne consegue che applicazioni di questo genere devono essere

attentamente vagliate ed analizzate. Prima dell’applicazione del sistema di FRP è opportuno procedere ad

un arrotondamento degli spigoli della sezione, allo scopo di evitare pericolose concentrazioni di tensione

localizzate in corrispondenza degli stessi, che potrebbero provocare una rottura prematura del sistema.

Il raggio di curvatura dello spigolo deve soddisfare la seguente limitazione:

mmrc 20≥


confinamento è:

( )f

fff pdb

bdbt⋅⋅

⋅+⋅⋅=

2ρ

dove tf e bf sono, rispettivamente, lo spessore e l’altezza della generica striscia di FRP, pf è il passo

delle strisce, mentre b e d sono le dimensioni trasversali della sezione rettangolare.

Nel caso di fasciatura continua l’espressione di ρf fornita nella precedente si specializza in:

( )db

dbt ff ⋅

+⋅⋅=

2ρ

Con riferimento alla Figura 3, si può ritenere, con buona approssimazione, che l’area di calcestruzzo

effettivamente confinata sia solo un’aliquota di quella complessiva. La motivazione di tale comportamento è

da attribuirsi all’“effetto arco” che si manifesta all’interno della sezione; tale effetto è dipendente dal valore

del raggio di arrotondamento degli spigoli, rc.



Figura 6 - Confinamento di sezioni rettangolari.

Il coefficiente di efficienza orizzontale, kH, per le sezioni rettangolari, per tener conto dell’effetto arco

che si attiva nella sezione trasversale, vale:

gH A

dbk3

''122 +

−=

in cui b’ e d’ sono le dimensioni indicate in Figura 3 ed Ag è l’area della sezione trasversale.

In assenza di adeguate prove sperimentali, che ne comprovino l’efficacia, non va considerato l’effetto

del confinamento su sezioni rettangolari per le quali b/d>2, ovvero max{ b,d}> 900mm.

3.1.2 Calcolo della lunghezza delle cerniere plastiche

Il software CAD Comp consente di effettuare il calcolo della lunghezza Lpl di un’eventuale cerniera

plastica in una colonna pressoinflessa secondo l’OPCM 3274/2003 e s.m.i.. In dettaglio tale lunghezza è

valutabile come:

c

ybLvpl f

fdhLL 24.017.01.0 ++=

dove Lv è la luce di taglio (pari al rapporto tra il momento e il taglio agenti nella sezione), h è l’altezza della

sezione, dbL è il diametro (medio) delle barre longitudinali, ed fc e fy sono rispettivamente la resistenza a

compressione del calcestruzzo e la resistenza a snervamento dell’acciaio longitudinale (in MPa), ottenute

come media delle prove eseguite in sito, divise per il Fattore di Confidenza (FC) appropriato in relazione al

Livello di Conoscenza raggiunto (si veda la Tabella 11.1 dell’OPCM 3274/2003).

La conoscenza del valore della lunghezza della cerniera plastica consente di definire l’altezza

minima del tratto di colonna da confinare con FRP, in corrispondenza della quale si vuole incrementare la



capacità rotazionale delle potenziali cerniere plastiche senza variarne la posizione, al fine di incrementare la

capacità deformativa ultima della colonna e, dunque, dell’intera struttura.

Pertanto, nota la lunghezza della cerniera plastica è possibile definire l’incremento della capacità

deformativa della colonna, calcolando il valore della “rotazione rispetto alla corda” della sezione rinforzata in

condizioni ultime, θu. Tale grandezza è definita quale rotazione della sezione di estremità rispetto alla

congiungente quest’ultima con la sezione di momento nullo a distanza pari alla luce di taglio Lv. In dettaglio,

si ha:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅⋅−+⋅=

v

plplyuy

elu L

LL 5.011 φφθ

γθ

nella quale

- γel vale generalmente 1.5 oppure 1.0, ma solo nel caso di “elementi secondari” così come definiti al

paragrafo 4.7.3.1.2 del CNR-DT 200/2004;

- il simbolo θy denota la “rotazione rispetto alla corda” esibita dalla sezione terminale quando l’acciaio teso

raggiunge lo snervamento:

c

ybLy

v

vyy f

fdLhL ⋅

⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅+⋅= φφθ 13.05.110013.0

3

- il simbolo φu denota la curvatura ultima della sezione terminale valutata attribuendo alla deformazione

ultima del conglomerato, εccu, il valore della deformazione ultima del calcestruzzo confinato con FRP così

come definito al paragrafo 6.1;

- il simbolo φy denota la curvatura esibita dalla sezione terminale quando l’acciaio teso attinge la

deformazione di snervamento, εsy, corrispondente ad fy.

Nota la capacità rotazionale della sezione confinata con FRP, è possibile utilizzare tale grandezza ai fini di

un’analisi statica non lineare dell’intera struttura, necessaria per validare l’intervento di rinforzo progettato

con CADComp. Se si sceglie di impostare un’analisi statica non lineare tipo pushover per stimarne il

comportamento sismico della struttura, per quest’ultima si adotta un modello di capacità a Non-Linearità

Concentrata, secondo il quale una struttura raggiunge uno degli Stati Limite previsti, quando il primo

elemento strutturale raggiunge il corrispondente livello di capacità valutato in termini di rotazione plastica. In

questo modo, definendo il percorso per la formazione delle varie cerniere plastiche che interessano le

membrature all’aumentare del livello di sollecitazione, è possibile analizzare in comportamento sismico della

struttura fino al collasso.

Oltre ai valori significativi della capacità rotazionale della sezione confinata con FRP (θy e θu), sede

della potenziale cerniera plastica, è necessario definire in input all’analisi pushover, il comportamento della

sezione costruendo il relativo diagramma momento-curvatura (M-φ), nonché la resistenza a taglio della

sezione stessa. I valori di resistenza flessionale e a taglio della sezione, si ricavano agevolmente dalla teoria

dell’analisi della sezione, tenendo conto dell’aumento della deformazione ultima del calcestruzzo compresso,

dovuto al confinamento con FRP.

Generalmente, il comportamento di una sezione è meglio rappresentato idealizzando la curva M-φ con

una trilatera; ma una volta che la fessurazione si è stabilizzata (e dunque, nel caso di strutture esistenti ciò è



realistico), la relazione M-φ è approssimativamente lineare fino all’inizio dello snervamento. Dunque, le

relazioni bilineari sono idonee a rappresentare travi già fessurate.

Figura 7 – Diagrammi momento-curvatura idealizzati (a) trilatera – (b) bilatera.

Pertanto, assegnato il valore dello sforzo normale N agente sulla colonna, per la determinazione dei

punti Y e U del diagramma M-φ, si fissa il valore della deformazione, rispettivamente dell’acciaio teso snervato εsy e della fibra estrema del calcestruzzo compresso confinato con FRP in condizioni ultime εccu, e nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, si determina la posizione dell’asse neutro delle deformazioni (xy; xu), tale che sia soddisfatto l’equilibrio alla traslazione:

TTCN −+= ' , (con N = sforzo normale agente sulla sezione, C = risultante delle forze di compressione nel calcestruzzo, T’ = risultante delle forze di compressione nell’armatura compressa, T = risultante delle forze di trazione nell’armatura tesa), nonché il valore della curvatura corrispondente alla condizione di deformazione imposta (rispettivamente φy = εsy/ (d-xy) e φu = εccu/ xu). Dall’equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione si determina il momento resistente della sezione, ottenendo quindi i due punti di coordinate (My, φy) e (Mu, φu). Si precisa che, per il legame costitutivo del calcestruzzo confinato con FRP si adotta il modello di Figura 4. In alternativa si può utilizzare il legame costitutivo riportato in Appendice D del CNR-DT 200/2004.

Il confinamento con FRP di un pilastro pressoinflesso produce anche un incremento di resistenza a taglio della sezione dell’elemento strutturale, che può essere valutato seguendo le prescrizioni del DT-CNR 200/2004, così come riportato al paragrafo 5 del presente documento. Pertanto, la resistenza a taglio della sezione è data dalla seguente espressione:

{ }cRdfRdsRdRd VVVV ,,, ,min +=

dove VRd,s è il contributo dell’armatura trasversale di acciaio da valutarsi secondo la Normativa vigente, VRd,f è il contributo del rinforzo FRP, da valutarsi come indicato al successivo paragrafo 5, e VRd,c è la resistenza della biella compressa di calcestruzzo, da valutarsi in accordo con la Normativa vigente.

3.2 Simbologia Ac Area della sezione di calcestruzzo, al netto delle armature metalliche Ag Area della sezione di calcestruzzo b Larghezza della sezione

My

prima fessurazione

primo snervamento

(a) (b)

M M

My Mu Mu

φy φu φ φy φu φ

Y U



bf Larghezza del rinforzo di FRP D Diametro d Altezza della sezione dbl Diametro (medio) delle barre longitudinali dmin Minima dimensione trasversale dell’elemento Ef Modulo di elasticità normale del rinforzo di FRP Efib Modulo di elasticità normale della fibra fc Resistenza a compressione del calcestruzzo, ottenuta come media delle prove eseguite in

sito, divise per il fattore di confidenza appropriato in relazione al Livello di Conoscenza raggiunto

fccd Resistenza (cilindrica) di progetto del calcestruzzo confinato fcd Resistenza (cilindrica) di progetto a compressione del calcestruzzo fck Resistenza (cilindrica) caratteristica a compressione del calcestruzzo fcm Resistenza (cilindrica) media a compressione del calcestruzzo fy Resistenza a snervamento dell’acciaio longitudinale, ottenuta come media delle prove

eseguite in sito fyk Tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio fym Tensione media di snervamento dell’acciaio ffd Resistenza di progetto del rinforzo di FRP ffk Resistenza caratteristica del rinforzo di FRP fl Pressione di confinamento fl,eff Pressione efficace di confinamento h Altezza della sezione kα Coefficiente di efficienza legato all’inclinazione α delle fibre rispetto all’asse longitudinale

dell’elemento confinato keff Coefficiente di efficienza dell’azione di confinamento kH Coefficiente di efficienza orizzontale kV Coefficiente di efficienza verticale Lpl Lunghezza della cerniera plastica Lv Luce di taglio Lv Luce di taglio My Momento resistente della sezione confinata in condizioni di snervamento dell’acciaio teso Mu Momento resistente della sezione confinata in condizioni ultime NSd Sforzo normale sollecitante di progetto pf Passo di strisce o di cerchiature di FRP p’f distanza netta tra le strisce di FRP rc Raggio di arrotondamento degli spigoli Rck Resistenza (cubica) caratteristica a compressione del calcestruzzo Rcm Resistenza (cubica) media a compressione del calcestruzzo tf Spessore del rinforzo di FRP Vc Volume dell’elemento di calcestruzzo Vc,eff Volume di calcestruzzo efficacemente confinato VRd Resistenza a taglio di progetto della sezione confinata VRd,c Resistenza a taglio della biella compressa di calcestruzzo VRd,f Contributo di resistenza a taglio dell’FRP VRd,s Contributo di resistenza a taglio delle armature interne in acciaio xy Posizione dell’asse neutro in condizioni di snervamento dell’acciaio teso xu Posizione dell’asse neutro in condizioni ultime αf Inclinazione del rinforzo FRP rispetto alla sezione trasversale εccu Deformazione ultima di progetto del calcestruzzo confinato εf Deformazione del rinforzo di FRP εfd Deformazione massima di progetto del rinforzo di FRP εfd,rid Valore ridotto della deformazione massima di progetto del rinforzo di FRP nel

confinamento di elementi di c.a. εfk Deformazione caratteristica a rottura per trazione del rinforzo di FRP εsy Deformazione di snervamento dell’acciaio Φy Curvatura allo snervamento dell’acciaio teso della sezione terminale Φu Curvatura ultima della sezione terminale γel Coefficiente di riduzione della rotazione rispetto alla corda della sezione



γf Coefficiente parziale del materiale composito fibrorinforzato γRd Coefficiente parziale per i modelli di resistenza ηa Fattore di conversione ambientale θy Rotazione rispetto alla corda in condizioni di snervamento dell’acciaio teso della sezione

rinforzata θu Rotazione rispetto alla corda in condizioni ultime della sezione rinforzata ρf percentuale geometrica di rinforzo FRP


Capitolo 5 – Rinforzo a taglio 18

4 Rinforzo a flessione Il software CAD Comp consente di progettare – in accordo alle raccomandazioni progettuali CNR

DT-200/2004 - il rinforzo a flessione con FRP di travi o solette in calcestruzzo armato, aventi sezione

trasversale di forma rettangolare o a T, in funzione del massimo momento sollecitante agente sull’elemento

strutturale, sia in condizioni ultime che di esercizio. Al termine della fase di calcolo, l’utente ha la possibilità

di eseguire opportune verifiche attraverso le quali è possibile progettare l’ancoraggio del rinforzo, al fine di

evitare problemi di debonding o di superamento delle tensioni di interfaccia tra FRP e supporto in

calcestruzzo.

4.1 Principi di calcolo

4.1.1 Dimensionamento del rinforzo in FRP Il progetto del rinforzo a flessione in FRP di elementi strutturali in calcestruzzo armato

prevalentemente inflessi segue la teoria agli stati limite. Il calcolo dell’area di FRP necessaria per il rinforzo si

esegue con riferimento alla sezione maggiormente sollecitata dell’elemento strutturale.

Il dimensionamento del rinforzo di FRP si esegue sia in condizioni di stato limite ultimo (SLU) che in

condizioni di stato limite di esercizio (SLE), imponendo che il momento resistente di progetto della sezione

rinforzata coincida con il momento sollecitante di progetto della sezione stessa.

In particolare, le ipotesi fondamentali su cui si basa l’analisi allo stato limite ultimo (SLU) delle

sezioni in c.a. rinforzate con FRP sono le seguenti:

- conservazione delle sezioni piane fino a rottura, in modo che il diagramma delle deformazioni

normali sia lineare;

- perfetta aderenza tra i materiali componenti (acciaio-calcestruzzo, FRP-calcestruzzo);

- calcestruzzo non reagente a trazione;

- legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio conformi alla Normativa vigente;

- legame costitutivo del composito fibrorinforzato elastico lineare fino a rottura.

Allo SLE, invece, le ipotesi alla base del calcolo sono le seguenti:

- conservazione delle sezioni piane, in modo che il diagramma delle deformazioni normali sia lineare;

- perfetta aderenza tra i materiali componenti (acciaio-calcestruzzo, FRP-calcestruzzo);

- comportamento elastico lineare omogeneo dei materiali.

Pertanto, allo SLU le due equazioni da utilizzare per la risoluzione del problema sono

rispettivamente quella di equilibrio alla traslazione nella direzione dell’asse longitudinale dell’elemento

strutturale e quella di equilibrio alla rotazione attorno all’asse neutro della sezione. In particolare dalla prima

delle due equazioni si ricava la posizione dell’asse neutro, mentre dalla seconda l’area di FRP necessaria

per il rinforzo.



Con riferimento alla modalità di rottura della sezione, si ipotizza che la rottura per flessione si

manifesti quando si verifica una delle seguenti condizioni:

• raggiungimento della massima deformazione plastica nel calcestruzzo compresso, εcu;

• raggiungimento di una deformazione massima nel rinforzo di FRP, εfu, calcolata come:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= fddf

fkafu ε

γε

ηε ,min

dove:

- εfk è la deformazione caratteristica a rottura del rinforzo,

- γf è il coefficiente parziale di sicurezza del materiale FRP,

- ηf è il fattore di conversione ambientale per il materiale FRP,

- εfdd è la deformazione massima per delaminazione intermedia dell’FRP.

Pertanto, per ciascuna delle due condizioni di rottura, si dimensiona il rinforzo di FRP e si considera

il maggiore tra i due valori.

In particolare, il sistema di equazioni risolutive è il seguente:

⎩⎨⎧

==

RdSd

RdRd

MMTC

dove:

- CRd è la risultante delle forze di compressione di progetto allo SLU,

- TRd è la risultante delle forze di trazione di progetto allo SLU,

- MSd è il momento sollecitante di progetto allo SLU,

- MRd è il momento resistente di progetto allo SLU.

Esplicitando il sistema precedente si ha:

( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅=

+=+⋅⋅⋅⋅

xhAdxAxdAM

AAAfxb

ffssssRd

Sd

ffsssscd

λσλσλσγ

σσσαψ

22211

1122

1

con:

- b larghezza di base della sezione,

- x distanza dell’asse neutro dal lembo compresso della sezione,

- Ψ coefficiente di riduzione che tiene conto della distribuzione delle tensioni di compressione

nella sezione di calcestruzzo (si assume un diagramma idealizzato delle tensioni del tipo

stress-block),

- α fattore di riduzione che tiene conto degli effetti dei carichi di lunga durata sulla resistenza a

compressione del calcestruzzo,

- fcd resistenza a compressione di progetto del calcestruzzo,

- As1 area di armatura tesa,

- As2 area di armatura compressa,

- Af area del rinforzo FRP,



- σs1 tensione nell’armatura tesa,

- σs2 tensione nell’armatura compressa,

- σf tensione nel rinforzo FRP,

- γRd coefficiente parziale di resistenza,

- λ valore adimensionalizzato della distanza del baricentro della sezione di calcestruzzo

compresso dall’estremo lembo compresso della sezione stessa,

- d altezza utile della sezione,

- d2 distanza del baricentro dell’armatura compressa dal lembo compresso della sezione.

Analogamente, in condizioni di esercizio, sia per combinazione di carico quasi permanente che per

combinazione di carico rara, il progetto del rinforzo in FRP si basa sulla risoluzione di un sistema di

equazioni di equilibrio: dalla condizione di annullamento del momento statico rispetto all’asse neutro della

sezione si determina la posizione dell’asse neutro, mentre dalla condizione di uguaglianza del momento

sollecitante di progetto e del momento resistente di progetto si ricava l’area di FRP necessaria per il rinforzo.

In dettaglio, si hanno le seguenti espressioni letterarie:

⎩⎨⎧

=

=

serRdserSd

TxCx

MMSS

,,

,,

dove:

- Sx,C è la risultante dei momenti statici delle forze di compressione rispetto all’asse neutro,

- Sx,T è la risultante dei momenti statici delle forze di trazione rispetto all’asse neutro,

- MSd,ser è il momento sollecitante di progetto allo SLE,

- MRd,ser è il momento resistente di progetto allo SLE.

Esplicitando il sistema precedente si ha:

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−+−+=

−+−=−+

xhEE

J

xdEE

JMx

JMM

xhAEE

xdAEEdxA

EEbx

c

f

serf

c

s

serss

serccserSd

fc

fs

c

ss

c

s

lim,0,1lim,100lim,0,

122

2

;)(;)(min

2

σσσσσ

con:

- M0 momento sollecitante all’atto dell’applicazione del rinforzo,

- Ec modulo di elasticità del calcestruzzo,

- Es modulo di elasticità dell’acciaio,

- Ef modulo di elasticità dell’FRP,

- b larghezza di base della sezione,

- x distanza dell’asse neutro dal lembo compresso della sezione,

- d altezza utile della sezione,

- d1 distanza dell’armatura compressa dall’estremo compresso,



- As1 area di armatura tesa,

- As2 area di armatura compressa,

- Af area del rinforzo FRP,

- Jser momento d’inerzia della sezione parzializzata,

- σs1,lim tensione limite nell’armatura tesa,

- σc,lim tensione limite nel calcestruzzo,

- σf,lim tensione limite nel rinforzo FRP;

- σc0 tensione nel calcestruzzo all’atto del rinforzo,

- σc,lim tensione nell’armatura tesa all’atto del rinforzo.

Il valore finale dell’area di rinforzo in FRP è dato dal maggiore dei valori ottenuti da tutti i casi sopra

analizzati.

4.1.2 Calcolo delle condizioni iniziali Poiché il rinforzo di FRP si applica su un elemento strutturale già sollecitato, bisogna tener conto, in

fase di calcolo, dello stato di deformazione dell’elemento stesso all’atto del rinforzo. Pertanto, prima di

procedere con il dimensionamento del rinforzo, bisogna calcolare le condizioni iniziali di deformazione della

sezione, in funzione del momento sollecitante all’atto dell’applicazione del rinforzo, M0, che generalmente è

dovuto al peso proprio ed ai carichi permanenti agenti sulla sezione. Il calcolo delle deformazioni significative

- quali quella al lembo compresso, εc0, e quella al lembo teso, ε0, dove è applicato il rinforzo - si basa sulla

linearità del diagramma delle deformazioni normali sulla sezione retta, in funzione delle caratteristiche

meccaniche e geometriche della sezione reagente.

Solo nel caso in cui M0 non supera il valore del momento di prima fessurazione della sezione, è

possibile trascurare lo stato deformativo della sezione al momento del rinforzo.

4.1.3 Verifiche allo SLU

4.1.3.1 Verifica di duttilità

In una sezione in c.a. rinforzata esternamente con FRP la duttilità, intesa come capacità di

deformazione in campo plastico, è legata alla possibilità di avere un collasso in condizioni ultime per

schiacciamento del calcestruzzo, piuttosto che per rottura del rinforzo in FRP per superamento della sua

resistenza a trazione. Qualora però, come spesso accade, il collasso della sezione è dovuto all’innescarsi

del fenomeno di delaminazione, per garantire un discreto livello di duttilità è sufficiente evitare che nella

condizione di collasso allo SLU l’acciaio teso sia in campo elastico, ovvero si deve controllare che il

coefficiente adimensionale ξ = xRd/d non ecceda il valore limite ξlim fornito dalla seguente relazione:

ydcu

cu

εεε

ξ+

=lim



4.1.3.2 Verifica di delaminazione all’estremità

Nel progetto del rinforzo di elementi in c.a. mediante FRP bisogna tener conto del fenomeno della

delaminazione (perdita di aderenza tra calcestruzzo ed FRP), e dunque verificare che non si abbia rottura

per delaminazione prima di quella prevista allo SLU. Il meccanismo di rottura per delaminazione, infatti, è di

tipo fragile e, pertanto, nello spirito del criterio di gerarchia delle resistenze, tale meccanismo di crisi non

deve precedere il collasso per flessione dell’elemento rinforzato.

La verifica di sicurezza nei confronti della crisi per delaminazione richiede la valutazione della

massima forza trasmissibile dal calcestruzzo al rinforzo, ovvero della massima tensione alla quale il rinforzo

in FRP può lavorare nella sezione terminale di ancoraggio, una volta avvenuto il trasferimento degli sforzi dal

calcestruzzo al rinforzo di FRP. Tale tensione massima, nel caso in cui la lunghezza di ancoraggio dell’FRP,

lb, risulti non minore della lunghezza ottimale di ancoraggio, le, è data dalla seguente relazione:

f

Fkf

cdffdd tn

Ef

⋅Γ⋅⋅

⋅=21

, γγ

nella quale si ha:

- γf,d coefficiente parziale di delaminazione dell’FRP,

- γc coefficiente parziale del calcestruzzo,


- n numero di strati di FRP,

- tf spessore equivalente di tessuto secco dell’FRP,

- ΓFk energia specifica di frattura, pari a:

ctmckbFk ffk ⋅⋅⋅=Γ 03.0

essendo:

kb fattore di tipo geometrico il cui valore è dato da:

33.0/ se 1

4001

33.02

33.0/ se 1

4001

2

<≥+

−=

≥≥+

−=

bbbk

bbbbb

k

ff

b

ff

f

b

fck resistenza caratteristica del calcestruzzo,

fctm resistenza media a trazione del calcestruzzo.

Nel caso in cui la lunghezza di ancoraggio lb, risulti minore di quella ottimale, le, la tensione di

progetto deve essere opportunamente ridotta in accordo alla relazione:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

e

b

e

bfddridfdd l

lllff 2,

dove la lunghezza ottimale di ancoraggio, le, è data dalla seguente espressione:

ctm

ffe f

tnEl

⋅

⋅⋅=

2

con:


- n numero di strati di FRP,

- tf spessore equivalente di tessuto secco,

- fctm resistenza a trazione media del calcestruzzo.

Nel caso in cui la presente verifica non dovesse avere esito positivo, sarà necessario modificare

l’area di rinforzo in FRP, intervenendo sulle grandezze bf ed n.

4.1.3.3 Verifica di delaminazione intermedia

Per la verifica di delaminazione intermedia si utilizza la procedura semplificata prevista dalla norma

CNR al punto 1(P) del paragrafo 4.1.4 e sviluppata nell’Appendice B, che consiste nel verificare che allo

SLU la tensione nel composito fibrorinforzato non ecceda un valore massimo, fdd,2, dato dalla seguente

espressione:

f

Fkf

cdf

crddcrfdd tn

Ekfkf⋅

Γ⋅⋅⋅=⋅=

2

,2, γγ

nella quale si ha:

- kcr coefficiente dimensionale generalmente pari a 3,

Tutti gli altri termini sono già stati definiti nella relazione precedente.

Il corrispondente valore della deformazione di progetto dell’FRP, εfdd, serve per determinare il valore

della deformazione massima dell’FRP, come riportato al paragrafo 5.4.1.

La suddetta verifica, pertanto, è automaticamente sempre soddisfatta in fase di progettazione

dell’FRP.

4.1.4 Verifiche allo SLE

4.1.4.1 Verifica delle tensioni all’interfaccia

Una delle possibili cause di distacco tra il calcestruzzo e l’FRP in condizioni di esercizio è dovuta alla

fessurazione provocata dalla concentrazioni di tensioni (sia tangenziali che normali) che nascono tra

calcestruzzo e rinforzo in corrispondenza di fessure trasversali presenti nel calcestruzzo, soprattutto alle

estremità del rinforzo.



È opportuno, pertanto, eseguire una verifica delle tensioni di interfaccia calcestruzzo-FRP,

controllando che, sia per la combinazione di carico quasi permanente che rara, la tensione tangenziale

“equivalente”, τb,e, risulti inferiore alla resistenza di adesione tra il rinforzo ed il substrato di calcestruzzo, fbd:

bdeb f≤,τ

La tensione tangenziale “equivalente” τb,e è data dalla seguente espressione:

mideb k ττ =,

dove:

- τm tensione tangenziale media valuta in corrispondenza della corda sulla quale si interfacciano

adesivo e calcestruzzo;

- kid coefficiente (>1) che tiene conto della concentrazione di tensioni tangenziali e normali nelle

zone terminali, ed è pari a:

( ) 3/25.15.1 15.1 τσ kkkid +=

con i coefficienti kσ e kτ dati da:

ftkk ⋅⋅= βτσ

aVM

akaz

az

⋅⋅⋅+=

=

=

)(

)(1 ατ

dove:

- a distanza della sezione di interruzione del rinforzo dall’estremità della trave;

- M(z=a) momento agente nella sezione di interruzione del rinforzo;

- V(z=a) taglio agente nella sezione di interruzione del rinforzo;

- α e β costanti elastiche dipendenti dalle caratteristiche dell’interfaccia e del rinforzo di FRP:

ff

l

tnEK

⋅⋅=α

4/1

430.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

⋅⋅=

ff

lf

JEKb

β

essendo:

- Ef modulo di elasticità normale dell’FRP;

- tf spessore del rinforzo di FRP;

- bf larghezza del rinforzo di FRP;

- Jf momento d’inerzia dell’FRP (rispetto al proprio asse baricentrico parallelo alla dimensione di

lunghezza bf);

- Kl coefficiente angolare del ramo lineare crescente del legame di aderenza, assunto pari a:

ccaal GtGt

K//

1+

=

con:



- Ga modulo di elasticità tangenziale dell’adesivo;

- Gc modulo di elasticità tangenziale del calcestruzzo;

- ta spessore nominale dell’adesivo;

- tc spessore efficace del calcestruzzo partecipante alla deformabilità dell’interfaccia (20-30

mm).

Il valore della tensione tangenziale media, τm, è dato dalla seguente espressione:

fc

cfazm nJ

xhtV/

)()( −⋅⋅= =τ

dove:

- xc distanza dell’asse neutro dall’estremo lembo compresso;

- Jc momento d’inerzia della sezione omogeneizzata;

- nf coefficiente di omogeneizzazione dell’FRP.

La resistenza di progetto dell’adesione tra rinforzo e calcestruzzo, fbd, è fornita dalla seguente

espressione:

b

ctkbbd

fkf

γ=

dove:

- γb coefficiente di sicurezza;

- kb fattore di tipo geometrico > 1;

- fctm resistenza caratteristica a trazione del calcestruzzo.

4.1.4.2 Verifica della larghezza di apertura delle fessure

Per proteggere l’armatura metallica interna e garantire la funzionalità degli elementi, occorre

controllare la larghezza di apertura delle fessure nel calcestruzzo teso, in condizioni di esercizio.

Allo stato attuale non sono disponibili modellazioni accurate e completamente affidabili per il calcolo

dell’apertura delle fessure di strutture in c.a. rinforzate con FRP. In letteratura sono reperibili diverse

formulazioni di carattere sperimentale che modificano opportunamente le espressioni in uso per le ordinarie

sezioni in c.a., tenendo conto opportunamente della presenza del rinforzo esterno in FRP.

In particolare, seguendo la formulazione proposta dal Bollettino FIB “Externalliy Bonded FRP

Reinforcement for RC Structures” al § 4.6.4 - che adatta il modello proposto dall’Eurocodice 2 per le sezioni

in c.a. alle sezioni in c.a. rinforzate con FRP -, al fine di garantire che l’ampiezza delle fessure non superi il

valore di 3 mm imposto dall’EC2 stesso, deve risultare:

seqs

qpsereffcf u

dEM

b 44.11.10 ,, −≥

ρρ

dove:



- bf larghezza del rinforzo in FRP;

- ρc,eff rapporto dell’area effettiva di calcestruzzo teso, pari a:

bdA effc

effc,

, =ρ

essendo:

Ac,eff area effettiva di calcestruzzo teso pari alla più piccola delle seguenti quantità: 2,5(h-

d)b e (h-x)b/3;

ρeq rapporto di rinforzo equivalente, dato da:

bd

AEE

A fs

fs

eq

+=

1

ρ ;

us perimetro di contatto dell’armatura di acciaio tesa.

4.2 Simbologia a Distanza della sezione di interruzione del rinforzo dall’estremità della trave Ac,eff Area effettiva di calcestruzzo tso Af Area del rinforzo FRP As1 Area di armatura tesa As2 Area di armatura compressa b Larghezza di base della sezione rettangolare, larghezza di base dell’ala della sezione a T bf Larghezza del rinforzo in FRP b0 Larghezza di base dell’anima della sezione a T bp Larghezza dell’appoggio della trave cst Spessore del copriferro d Altezza utile della sezione in c.a. dBi Altezza utile della sezione in c.a. in posizione Bi d10 Distanza del primo strato di armatura tesa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona tesa

d10,Bi Distanza del primo strato di armatura tesa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona tesa della sezione Bi

d11 Distanza del secondo strato di armatura tesa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona tesa

d11,Bi Distanza del secondo strato di armatura tesa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona tesa della sezione Bi

d20 Distanza del primo strato di armatura compressa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona compressa

d20,Bi Distanza del primo strato di armatura compressa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona compressa della sezione Bi

d21 Distanza del secondo strato di armatura compressa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona compressa

d21,Bi Distanza del secondo strato di armatura compressa dalla fibra estrema di calcestruzzo in zona compressa della sezione Bi

Ea Modulo di elasticità dell’adesivo Ec Modulo di elasticità del calcestruzzo Ef Modulo di elasticità dell’FRP Efib Modulo di elasticità delle fibre Efm Valore medio del modulo di elasticità dell’FRP Es Modulo di elasticità dell’acciaio fbd Resistenza di adesione tra il rinforzo ed il substrato di calcestruzzo fcd Resistenza cilindrica di progetto del calcestruzzo fck Resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo



fcm Resistenza cilindrica media del calcestruzzo fctm Resistenza media a trazione del calcestruzzo ffdd Tensione massima di delaminazione ffdd,red Valore ridotto della tensione di delaminazione ffdd,2 Tensione massima di delaminazione intermedia ffib Resistenza a trazione delle fibre ffm Valore medio della resistenza a trazione dell’FRP ffu Resistenza a trazione dell’FRP fyd Tensione di snervamento di calcolo dell’acciaio fyk Tensione di snervamento caratteristica dell’acciaio fym Tensione di snervamento media dell’acciaio Ga Modulo di elasticità tangenziale dell’adesivo Gc Modulo di elasticità tangenziale del calcestruzzo Kb Fattore di tipo geometrico per la verifica di delaminazione Kcr Coefficiente dimensionale per la verifica di debonding Kid Coefficiente che tiene conto della concentrazione di tensioni tangenziali e normali nelle

zone terminali Kl Coefficiente angolare del ramo lineare crescente del legame di aderenza Kσ Coefficiente adimensionale per la verifica delle tensioni d’interfaccia Kτ Coefficiente adimensionale per la verifica delle tensioni d’interfaccia h Altezza complessiva della sezione Jc Momento d’inerzia della sezione omogeneizzata Jf Momento d’inerzia dell’FRP Jser Momento d’inerzia della sezione parzializzata L Lunghezza della campata lb Lunghezza di ancoraggio lB Distanza dall’appoggio della sezione di ancoraggio lBi Distanza dall’appoggio della sezione di ancoraggio (posizione iniziale) le Lunghezza efficace del rinforzo in FRP

l0 Distanza dall’appoggio della sezione in cui il momento sollecitante coincide con il momento resistente della sezione in c.a.

Mdd,B Momento flettente sollecitante di calcolo per il debonding nella sezione B Mdd,Bi Momento flettente sollecitante di calcolo per il debonding nella sezione Bi

Mser,qp,A Momento flettente sollecitante di calcolo allo SLE in combinazione di carico quasi permanente nella sezione A

Mser,r,A Momento flettente sollecitante di calcolo allo SLE in combinazione di carico rara nella sezione A

M0 Momento flettente agente sulla sezione all’atto del rinforzo Mrd Momento resistente della sezione in c.a. rinforzata con FRP allo SLU Mrd,Bi Momento resistente della sezione in c.a. rinforzata con FRP allo SLU in posizione Bi MRd0 Momento resistente della sezione in c.a. allo SLU MRd0,Bi Momento resistente della sezione in c.a. allo SLU della sezione di ancoraggio Bi Msd Momento flettente sollecitante di progetto allo SLU Msd,Bi Momento flettente sollecitante di progetto allo SLU della sezione di ancoraggio Bi Mser,r Momento flettente sollecitante di progetto allo SLE in condizione rara Mser,qp Momento flettente sollecitante di progetto allo SLE in condizione quasi permanente Msd0 Momento resistente di progetto della sezione in c.a. allo SLU Mr

ser,r0 Momento resistente di progetto della sezione in c.a. allo SLE in condizione rara

Mrser,qp0

Momento resistente di progetto della sezione in c.a. allo SLE in condizione quasi permanente

M(z=a) Momento agente nella sezione di interruzione del rinforzo n Numero di strati di rinforzo FRP Nfa,max Valore massimo della forza trasmissibile dal calcestruzzo al rinforzo in FRP Nfd,Bi Sforzo normale di progetto agente sul rinforzo in FRP nella sezione Bi npf Numero di prove di trazione eseguite su provini di FRP npc Numero di prove di compressione eseguite su provini di calcestruzzo Nst Numero di bracci delle staffe Rck Resistenza cubica caratteristica del calcestruzzo Rcm Resistenza cubica media del calcestruzzo



Sx,C Risultante dei momenti statici delle forze di compressione rispetto all’asse neutro Sx,T Risultante dei momenti statici delle forze di trazione rispetto all’asse neutro t Altezza dell’anima della sezione a T ta Spessore nominale dell’adesivo tc Spessore efficace del calcestruzzo partecipante alla deformabilità dell’interfaccia tf Spessore del rinforzo di FRP us perimetro di contatto dell’armatura di acciaio tesa

Vser,qp,A Taglio sollecitante di calcolo allo SLE in combinazione di carico quasi permanente nella sezione A

Vser,r,A Taglio sollecitante di calcolo allo SLE in combinazione di carico rara nella sezione A Vsd,Bi Taglio sollecitante di progetto allo SLU della sezione di ancoraggio Bi V(z=a) Taglio agente nella sezione di interruzione del rinforzo

xRd Posizione dell’asse neutro in condizioni di collasso allo SLU della sezione in c.a. rinforzata con FRP

α Fattore di riduzione che tiene conto degli effetti dei carichi di lunga durata sulla resistenza a compressione del calcestruzzo e di effetti sfavorevoli risultanti dal modo di applicazione del carico

αfE Coefficiente riduttivo della rigidezza dell’FRP αff Coefficiente riduttivo della resistenza dell’FRP αst Angolo di inclinazione delle staffe εcu Deformazione ultima del calcestruzzo εfm Valore medio della deformazione a rottura per trazione del rinforzo in FRP εfu Deformazione a rottura per trazione del rinforzo in FRP εyd Deformazione di snervamento dell’acciaio δfε Scarto quadratico medio della deformazione a rottura per trazione dell’FRP δff Scarto quadratico medio della resistenza a trazione dell’FRP δpc Scarto quadratico medio della resistenza a compressione del calcestruzzo

ψ Coefficiente di riduzione che tiene conto della distribuzione delle tensioni di compressione nella sezione di calcestruzzo (si assume un diagramma idealizzato delle tensioni del tipo stress-block)

φst Diametro delle staffe ΓFk Energia specifica di frattura γb,qp Coefficiente parziale in combinazione di carico quasi permanente γb,r Coefficiente parziale in combinazione di carico rara γc Coefficiente parziale del calcestruzzo γf Coefficiente parziale di rottura dell’FRP γf,d Coefficiente parziale di delaminazione dell’FRP γRd Coefficiente parziale per i modelli di resistenza dell’FRP γs Coefficiente parziale dell’acciaio

λ Valore adimensionalizzato della distanza del baricentro della sezione di calcestruzzo compresso dall’estremo lembo compresso della sezione stessa

ηa Fattore di conversione ambientale dell’FRP ηl Fattore di conversione per effetti di lunga durata dell’FRP νa Coefficiente di Poisson dell’adesivo νc Coefficiente di Poisson del calcestruzzo ρc,eff Rapporto dell’area effettiva di calcestruzzo teso ρeq Rapporto di rinforzo equivalente σc0 Tensione nel calcestruzzo all’atto del rinforzo σc,lim Tensione nell’armatura tesa all’atto del rinforzo σf Tensione nel rinforzo FRP σf,lim Tensione limite del rinforzo FRP σs1 Tensione nell’armatura tesa σs1,lim Tensione limite dell’armatura tesa σs2 Tensione nell’armatura compressa σs2,lim Tensione limite dell’armatura compressa τb,e Tensione tangenziale equivalente



τm Tensione tangenziale media ξ Valore dimensionale della posizione dell’asse neutro in condizioni di collasso allo SLU ξlim Valore limite della posizione dell’asse neutro



5 Rinforzo a taglio Il software CAD Comp consente di progettare – in accordo alle raccomandazioni progettuali CNR

DT-200/2004 - il rinforzo a taglio con FRP di travi o pilastri in calcestruzzo armato, aventi sezione trasversale

di forma rettangolare, circolare o a T, in funzione della massima sollecitazione di taglio agente sull’elemento

strutturale in esame. La disposizione del rinforzo attorno alla sezione può avvenire nelle seguenti modalità:

rinforzo laterale, rinforzo ad U e rinforzo in avvolgimento.

5.1 Principi di calcolo

5.1.1 Calcolo dell’area di rinforzo in FRP Il calcolo dell’area di FRP necessaria per il rinforzo si ottiene dalla seguente espressione:

fRdcaRdRd VVV ,, +=

dove:

- VRd,ca è il contributo di resistenza a taglio della sezione esistente;

- VRd,f è il contributo di resistenza a taglio del rinforzo in FRP.

Il calcolo del contributo della sezione esistente in calcestruzzo con o senza armatura trasversale in

acciaio si esegue in accordo alle prescrizioni delle attuali normative vigenti (DM. 9 gennaio 2008), mentre il

valore del contributo a taglio del rinforzo in FRP deve essere calcolato seguendo quanto riportato dalle

raccomandazioni CNR DT 200/2004.

La suddetta formulazione è valida nell’ipotesi che non vi sia rottura a taglio per schiacciamento delle

bielle compresse di calcestruzzo.

5.1.1.1 Sezione rettangolare o a T

La formulazione per calcolare il contributo di resistenza a taglio del rinforzo in FRP assume

espressioni diverse in funzione della tipologia di disposizione di rinforzo scelta.

In dettaglio, nel caso di disposizione laterale il contributo di rinforzo a taglio del rinforzo in FRP si

valuta in base al meccanismo di “cucitura” delle fessure da taglio attraverso la seguente espressione:

{ }f

fffedw

RdfRd p

wtnfhdV ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

θβ

γ sinsin2,9.0min1

,

Nel caso di disposizione ad U o disposizione in avvolgimento, invece, il contributo di rinforzo a taglio

del rinforzo in FRP può essere valutato in base al meccanismo a traliccio di Moersch, ed è dato dalla

seguente espressione:

( )f

fffed

RdfRd p

wtnfdV ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= βθ

γcotcot29.01

,

I simboli contenuti nelle espressioni sopra riportate hanno i seguenti significati:



- γRd coefficiente di sicurezza pari a 1,2;

- hw altezza dell’anima della trave;

- d altezza utile della sezione;

- n numero di strati di FRP;

- tf spessore equivalente di tessuto secco dell’FRP;

- β angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse dell’elemento;

- θ angolo delle fessure da taglio rispetto all’asse dell’elemento (generalmente pari a 45°);

- wf larghezza delle strisce di FRP, misurata ortogonalmente alla direzione delle fibre;

- pf passo delle strisce di FRP, misurato ortogonalmente alla direzione delle fibre;

- ffed resistenza efficace di calcolo del rinforzo (vedi paragrafo successivo).

Nel caso di strisce poste in adiacenza (avvolgimento continuo), il rapporto wf/pf si pone pari a 1.

Nel caso di rinforzi discontinui costituiti da strisce di FRP, la larghezza, wf, ed il passo netto, p’f, delle

strisce, misurati ortogonalmente alla direzione delle fibre, devono rispettare le seguenti limitazioni:

{ }mmwwdpw

mmwmm

ffff

f

200,3,5.0min'

25050

+≤≤

≤≤

Figura 8 – Elementi distintivi di un rinforzo a taglio sotto forma di strisce

5.1.1.2 Sezione circolare

Per la sezione circolare, in accordo alle prescrizioni del documento CNR-DT 200/2004, è previsto

solamente il caso di disposizione in avvolgimento del rinforzo in FRP, con fibre ortogonali all’asse

dell’elemento da rinforzare (β=90°). In questo caso, essendo D il diametro della sezione circolare, il

contributo di rinforzo a taglio del rinforzo in FRP è dato dalla seguente espressione:

θπγ

cot2

1, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ffed

RdfRd tnfDV



dove:

- γRd è il coefficiente di sicurezza pari a 1,2;

- D diametro dell’elemento da rinforzare;

- n è il numero di strati di FRP;

- tf è lo spessore equivalente di tessuto secco dell’FRP;

- θ è l’angolo delle fessure da taglio rispetto all’asse dell’elemento (generalmente pari a 45°);

- ffed è la resistenza efficace di calcolo del rinforzo (vedi paragrafo successivo).

5.1.2 Calcolo della resistenza efficace di progetto del rinforzo in FRP

La resistenza efficace è definita come la tensione di trazione presente nel rinforzo in FRP all’atto

della delaminazione ed assume espressioni diverse in funzione della geometria della sezione e della

tipologia di disposizione del rinforzo in FRP.

5.1.2.1 Sezione rettangolare o a T

Disposizione laterale Nel caso di disposizione laterale, la resistenza efficace di calcolo del rinforzo è fornita dalla

relazione:

{ }

2

,

, 6.01,9.0min ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅=

eqrid

eq

w

eqridfddfed z

lhd

zff

dove:

- zrid,eq è pari a:

eqrideqrid lzz +=,

essendo:

{ } βsin,9.0min ⋅−= ewrid lhdz

βsin/

⋅=ffdd

feq Ef

sl

con:

le lunghezza efficace di ancoraggio;

β angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse longitudinale dell’elemento;

sf scorrimento ultimo di delaminazione da assumersi pari a 0,2 mm;

Ef modulo di elasticità normale del rinforzo di FRP nella direzione delle fibre.

La lunghezza efficace di ancoraggio, è data, a sua volta, dalla seguente espressione:



ctm

ffe f

tnEl

⋅

⋅⋅=

2

con:

Ef modulo di elasticità dell’FRP,

n numero di strati di FRP,

tf spessore equivalente di tessuto secco,

fctm resistenza a trazione media del calcestruzzo.

- ffdd è la resistenza di progetto alla delaminazione ed è data dalla seguente espressione:

f

Fkf

cdffdd t

Ef

Γ⋅⋅=

21

, γγ

nella quale si ha:

γf,d coefficiente parziale di delaminazione dell’FRP,

γc coefficiente parziale del calcestruzzo,

Ef modulo di elasticità dell’FRP,

n numero di strati di FRP,

tf spessore equivalente di tessuto secco dell’FRP,

ΓFk energia specifica di frattura, pari a:

ctmckbFk ffk ⋅⋅⋅=Γ 03.0

essendo:

• fck resistenza caratteristica del calcestruzzo,

• fctm resistenza media a trazione del calcestruzzo,

• kb fattore di tipo geometrico il cui valore è dato da:

33.0/ se 1

4001

33.02

33.0/ se 1

4001

2

<≥+

−=

≥≥+

−=

fff

b

fff

f

f

b

pwwk

pwwpw

k

Disposizione ad U Se si ha disposizione ad U, la resistenza efficace di calcolo del rinforzo è fornita dalla relazione:

{ }⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⋅=

w

efddfed hd

lff,9.0min

sin311 β

Tutti i simboli presenti nella suddetta espressione sono analoghi a quelli descritti nel paragrafo

precedente.



Disposizione in avvolgimento Nel caso di disposizione in avvolgimento, infine, la resistenza efficace di calcolo del rinforzo assume

un’espressione diversa ed è fornita dalla seguente relazione:

{ } ( ) { }⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⋅−⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⋅=

w

efddfdR

w

efddfed hd

lffhd

lff,9.0min

sin121

,9.0minsin

611 βφβ

dove:

- ffd è la resistenza di progetto a rottura del rinforzo in FRP,

- φR è un fattore adimensionale pari a:

5.00con 6.12.0 ≤≤+=w

c

w

cR b

rbrφ

essendo:

rc raggio di curvatura dell’arrotondamento dello spigolo della sezione attorno a cui è

avvolto il rinforzo,

bw larghezza dell’anima della sezione.

Tutti gli altri simboli presenti nell’espressione della resistenza efficace di calcolo sono analoghi a

quelli definiti nel caso di disposizione laterale.

In tutte le tre tipologie di disposizione del rinforzo FRP, nel caso di avvolgimento continuo, si pone:

{ } ( ) θβθ sin/sin,9.0min +⋅== wff hdpw

5.1.2.2 Sezione circolare

La resistenza efficace di calcolo del rinforzo per la sezione circolare è data dalla seguente

espressione:

max,fffed Ef ε⋅=

dove:

- Ef è modulo di elasticità normale del rinforzo in FRP nella direzione delle fibre,

- εf,max è il valore limite della deformazione dell’FRP, generalmente pari a 0,005.

5.2 Simbologia b Larghezza dell’ala della sezione a T bw Larghezza della sezione rettangolare o larghezza dell’anima della sezione a T d Altezza utile della sezione in c.a. D Diametro della sezione circolare Ef Modulo di elasticità dell’FRP Efib Modulo di elasticità delle fibre Efm Valore medio del modulo di elasticità dell’FRP



Es Modulo di elasticità dell’acciaio fck Resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo fcm Resistenza cilindrica media del calcestruzzo fctm Resistenza a trazione media del calcestruzzo ffdd Resistenza di progetto alla delaminazione ffed Resistenza efficace di calcolo del rinforzo ffib Resistenza a trazione delle fibre ffm Valore medio della resistenza a trazione dell’FRP ffu Resistenza a trazione dell’FRP fyd Tensione di snervamento di calcolo dell’acciaio fyk Tensione di snervamento caratteristica dell’acciaio fym Tensione di snervamento media dell’acciaio h Altezza complessiva della sezione hw Altezza dell’anima della sezione a T le Lunghezza efficace di ancoraggio lf Lunghezza del tratto di trave da rinforzare n Numero di strati di rinforzo FRP npf Numero di prove di trazione eseguite su provini di FRP npc Numero di prove di compressione eseguite su provini di calcestruzzo Nsd Sforzo normale sollecitante di progetto allo SLU Nst Numero di bracci delle staffe pf Interasse delle fasce di rinforzo in FRP (in direzione ortogonale a quella delle fibre) p’f Passo netto tra le strisce di rinforzo in FRP rc Raggio di arrotondamento degli spigoli della sezione attorno a cui è avvolto il rinforzo Rck Resistenza cubica caratteristica del calcestruzzo Rcm Resistenza cubica media del calcestruzzo sbb Interasse dei ferri piegati sf Scorrimento ultimo di delaminazione sst Interasse delle staffe tf Spessore del rinforzo di FRP Vsd Taglio sollecitante di progetto allo SLU VRd Resistenza a taglio della sezione rinforzata VRd,ca Resistenza a taglio di calcolo della sezione esistente VRd,f Resistenza a taglio di calcolo dell’FRP wf Larghezza delle fasce di rinforzo in FRP (in direzione ortogonale a quella delle fibre)

α Fattore di riduzione che tiene conto degli effetti dei carichi di lunga durata sulla resistenza a compressione del calcestruzzo e di effetti sfavorevoli risultanti dal modo di applicazione del carico

αbb Angolo di inclinazione dei ferri piegati αfE Coefficiente riduttivo della rigidezza dell’FRP αff Coefficiente riduttivo della resistenza dell’FRP αst Angolo di inclinazione delle staffe β Angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse longitudinale dell’elemento εcu Deformazione ultima del calcestruzzo εf,max Valore limite della deformazione dell’FRP εfm Valore medio della deformazione a rottura per trazione del rinforzo in FRP εfu Deformazione a rottura per trazione del rinforzo in FRP εyd Deformazione di snervamento dell’acciaio δfε Scarto quadratico medio della deformazione a rottura per trazione dell’FRP δff Scarto quadratico medio della resistenza a trazione dell’FRP δpc Scarto quadratico medio della resistenza a compressione del calcestruzzo φst Diametro delle staffe γc Coefficiente parziale del calcestruzzo γf Coefficiente parziale dell’FRP γf,d Coefficiente parziale di delaminazione dell’FRP ΓFK Energia specifica di frattura γRd Coefficiente parziale per i modelli di resistenza dell’FRP



γs Coefficiente parziale dell’acciaio ηa Fattore di conversione ambientale dell’FRP θ Angolo di inclinazione delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo