UFOP - Departamento de ComputacaoBCC760- Calculo Numerico

Lista de Exercıcios 1Resolucao de Sistemas de Equacoes Lineares Simultaneas

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Metodos Diretos

1. Resolva os sistemas lineares utilizando o metodo de substituicao retroativa ou progressiva(sucessiva):

a)

2x1 = 43x1 +5x2 = 1x1 −6x2 +8x3 = 48−x1 +4x2 −3x3 +9x4 = 6

b)

5x1 −2x2 +6x3 +x4 = 1

+3x2 +7x3 −4x4 = −2+4x3 +5x4 = 28

+2x4 = 8

2. Resolva os sistemas lineares pelo metodo de eliminacao de Gauss e verifique a exatidaoda solucao encontrada atraves do calculo do resıduo. Utilize 4 casas decimais.

a)

1 2 4−3 −1 42 14 5

x1x2x3

=

13850

b)

x1 +2x2 +2x3 = 2x1 +x2 +x3 = 0x1 −3x2 −x3 = 0

3. Resolva os sistemas lineares pelo metodo de eliminacao de Gauss com pivotacao parciale verifique a exatidao da solucao atraves do calculo do resıduo. Utilize 4 casas decimais.

a)

−2 3 12 1 −44 10 −6

x1x2x3

=

−5−92

b)

−2 3 1 55 1 −1 01 6 3 −14 5 2 8

x1x2x3x4

=

2−106

4. Resolva os sistemas lineares pelo metodo de Eliminacao de Gauss. O que e possıvel

afirmar em relacao a quantidade de solucoes desses sistemas?

a)

−1 −1 −11 −1 1−1 1 −1

x1x2x3

=

834

b)

1 1 11 −1 −13 1 1

x1x2x3

=

3−15

5. Resolva o sistema linear pelo metodo de decomposicao LU e verifique a exatidao da

solucao. Utilize quatro casas decimais.4 −1 3 81 6 2 −35 5 1 02 4 −2 1

x1x2x3x4

=

431188

6. Resolva o sistema linear utilizando o metodo da decomposicao LU com pivotacao parcial. 1 2 3

−5 −1 42 4 1

x1x2x3

=

17−224

1

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7. Calcule o determinante e, se possıvel, encontre a matriz inversa utilizando o metodo dedecomposicao LU:

a)

[3 −14 2

]b)

4 −6 2−6 10 −52 −5 30

8. Considere o seguinte sistema de equacoes lineares:

2x1 − 6x2 − x3 = −38−3x1 − x2 + 7x3 = −34−8x1 + x2 − 2x3 = −20

a) Faca a etapa de eliminacao de Gauss com pivotacao parcial.

b) Utilize os resultados obtidos para escrever a fatoracao LU da matriz A.

c) Calcular o determinante da matriz A.

d) Resolva o sistema usando o metodo de decomposicao LU.

9. Considere o seguinte sistema de equacoes lineares:

7x1 + 2x2 − 3x3 = −122x1 + 5x2 − 3x3 = −20x1 − x2 − 6x3 = −26

a) Obtenha a fatoracao LU da matriz A.

b) Multiplique as matrizes L e U resultantes para verificar que A e produzida.

c) Utilize a decomposicao LU para resolver o sistema linear.

d) Resolva o sistema linear para um vetor do lado direito alternativo: B2 = [12 18 −6]t

10. O primeiro registro historico associado a formulacao de um problema atraves de umsistema de equacoes algebricas lineares encontra-se no antigo livro chines Chiu-changSuan-shu (Nove capıtulos em aritmetica), que se estima ter sido escrito por volta de 200a.C. No comeco do Capıtulo VIII, aparece um problema da seguinte forma:

“Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medıocre, e um fardo deuma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocre, e umda ruim foram vendidos a 34 dou; e um da boa, dois da medıocre, e tres da ruim foramvendidos a 26. Qual o preco recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita,a colheita medıocre e a colheita ruim??”

Resolva o problema acima usando o metodo de Eliminacao de Gauss.

11. Um engenheiro civil envolvido em uma construcao precisa de 4.800, 5.800 e 5.700 m3 deareia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para um projeto de construcao.Existem tres minas de onde esses materiais podem ser obtidos e a composicao dessasminas e dada conforme a tabela:

Areia (%) Cascalho fino (%) Cascalho grosso (%)Mina 1 52 30 18Mina 2 20 50 30Mina 3 25 20 55

Quantos metros cubicos devem ser minerados de cada mina para atender as necessidadesdo engenheiro? Utilize o metodo de Eliminacao de Gauss com pivatocao parcial paraobter a resposta.

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12. Deseja-se fazer o planejamento de uma refeicao diaria, de forma que a quantidade de cadaalimento a ser ingerindo corresponda as necessidades de vitamina C, calcio e magnesionecessarias por dia. Tres diferentes tipos de ingredientes serao empregados na refeicao,sendo que cada ingrediente possui uma determinada quantidade de nutriente (expressaem miligramas) por unidade de ingrediente, conforme apresentado na tabela abaixo: De-

Nutrientes Ingrediente 1 Ingrediente 2 Ingrediente 3 Total deNutrientes (mg)

Vitamina C 10 20 20 100Calcio 50 40 10 300

Magnesio 30 10 40 200

termine, utilizando o metodo de decomposicao LU, a quantidade de unidades de cadaingrediente necessarias para satisfazer plenamente a quantidade de nutrientes estipuladana dieta.

13. A Figura 1 mostra tres reatores interligados por tubos. Como indicado, a taxa de trans-ferencia de produtos quımicos atraves de cada tubo e igual a uma vazao (Q com unidadeem metros cubicos por segundo) multiplicada pela concentracao do reator do qual o fluxose origina (c com unidades em miligramas por metro cubico). Se o sistema estiver emum estado estacionario, a transferencia para dentro de cada reator vai balancear com atransferencia para fora. Deduza as equacoes de balanco de massa para os tres reatores eresolva o sistema linear de equacoes algebricas simultaneas para obter as concentracoesem cada um dos reatores. Utilize o metodo de decomposicao LU e 4 casas decimais.

Figura 1: Tres reatores interligados por tubos.

Metodos Iterativos

1. Caso haja convergencia garantida, resolva os sistemas lineares pelo metodo iterativo deJacobi com x(0) = [0 0 0]t e ε = 0, 01.

a)

10x1 + 2x2 + 3x3 = 28x1 + 10x2 + 6x3 = 7

2x1 − 2x2 − 10x3 = −17b)

6 2 −21 4 12 2 8

x1x2x3

=

−169

2. Caso haja convergencia garantida, resolva os sistemas lineares pelo metodo iterativo de

Gauss-Seidel com x(0) = [0 0 0]t e ε = 0, 01.

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a)

6x1 − x2 − x3 = 11−x1 + 6x2 − x3 = 32−x1 − x2 − 6x3 = 42

b)

4 −0, 5 0, 51 1 1

0, 5 −0, 5 7

x1x2x3

=

3123

3. Considere um sistema de equacoes lineares cujas matrizes dos coeficientes e dos termos

independentes sao as seguintes:

A =

C 3 1C 20 11 C 6

B =

111

a) Aplicando o criterio das linhas, determine em qual intervalo deve estar o valor da

constante C de tal forma que se possa garantir a convergencia quando aplicado ummetodo iterativo para a resolucao do sistema Ax = B.

b) Tomando um valor para C, pertencente ao intervalo determinado na letra a), resolvao sistema de equacoes lineares utilizando 5 iteracoes do metodo de Jacobi e x(0) =[0 0 0]t

4. Considere o seguinte sistema de equacoes lineares:

−x1 + x2 − 3x3 = −2−9x1 + 2x2 + 6x3 = 11

2x1 + 4x2 + x3 = 4

a) Reordene as equacoes de modo que o criterio de convergencia dos metodos iterativosseja satisfeito.

b) Caso haja a convergencia garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelometodo iterativo de Jacobi com x(0) = [0 1, 5 1]t e ε = 0, 01.

c) Caso haja a convergencia garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelometodo iterativo de Gauss-Seidel com x(0) = [0 1, 5 1]t e ε = 0, 01.

e) Compare o numero de iteracoes e a precisao de ambos os metodos. O que e possıvelconcluir?

5. Com o balanceamento da seguinte reacao quımica, feito com a conservacao do numero deatomos de cada elemento entre reagentes e produtos

P2I4 + aP4←→ cPH4I + dH3PO4

os coeficientes estequiometricos a, b, c e d sao dados pela solucao do seguinte sistema deequacoes:

−4 0 1 10 0 1 00 −2 4 30 −1 0 4

abcd

=

2400

Reordene as equacoes se necessario para que o criterio das linhas seja satisfeito, e resolvao sistema linear pelo metodo iterativo de Gauss-Seidel. Use x(0) = [1 12 3 4]t eε = 0, 01.

6. No estudo de transferencia de calor e possıvel determinar a distribuicao de temperaturaassintotica de uma placa fina quando a temperatura em sua borda e conhecida. Porexemplo, considere a placa ilustrada na Figura 2 que representa uma secao transversal

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Figura 2: Temperatura assintotica de uma placa fina.

de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezıvel na direcao perpendicular a placa.Sejam T1, T2, T3 e T4 as temperaturas em quatro vertices interiores.

Sabe-se que a temperatura em um vertice e aproximadamente igual a media dos quatrosvertices vizinhos mais proximos. Assim, a temperatura no vertice T1 e dada por:

T1 = (10 + 20 + T2 + T3)/4, ou 4T1 − T2 − T3 = 30

Com base nas informacoes acima, calcule as temperaturas estimadas em cada um dos nosda Figura 2 pelo metodo iterativo de Jacobi. Use x(0) = [0 0 0 0]t e ε = 0, 5.

Referencias

[1] F. F. Campos Filho. Algoritmos Numericos. LTC editora, Rio de Janeiro, 2a edicao, 2012.

[2] S. C. Chapra. Metodos Numericos Aplicados com MATLAB Para Engenheiro e Cientistas.Bookman editora, Porto Alegre, 3a edicao, 2013.

[3] S. Arenales e A. Darezzo. Calculo Numerico: Aprendizagem com Apoio de Software. CengageLearning, Sao Paulo, 2a ed. rev. e ampl., 2015.

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Respostas dos Exercıcios

Metodos Diretos

1. a)[2 − 1 5 3]t b)[−3 − 0 2 4]t

2. a)[−1 3 2]t b)[−2 − 2 4]t

3. a)[7 1 6]t b)[0, 3142 − 0, 8179 1, 7530 0, 6658]t

4. a) O sistema linear e incompatıvel.b) O sistema linear e compatıvel indeterminavel.

5. x ≈ [2, 2590 0, 9475 1, 9672 3, 6262]t eR ≈ [−0, 0003 − 0, 0002 − 0, 0003 − 0, 0002]t

6. x = [1 5 2]t

7. a) det(A) = 10, A−1 =

[0, 2 0, 1−0, 4 0, 3

]b) det(A) = 100, A−1 =

2, 75 1, 70 0, 101, 70 1, 16 0, 080, 10 0, 08 0, 04

8. b) L =

1 0 0−0, 25 1 00, 375 0, 2391 1

e U =

−8 1 −20 −5, 75 −1, 50 0 8, 1087

c) det(A) ≈ 373, 0002d) x ≈ [3, 9991 7, 9992 − 1, 9968]t

9. a) L =

1 0 00, 2857 1 00, 1429 −0, 2903 1

e U =

7 2 −30 4, 4286 −2, 14290 0 −6, 1935

b) LxU =

7 2 −31, 9999 5 −31, 0003 −0, 9998 −6, 0001

≈ A

c) x ≈ [0, 7188 − 1, 4688 4, 6979]t

d) x ≈ [0, 9375 3, 5625 0, 5625]t

10. Modelo:

3x1 + 2x2 + x3 = 392x1 + 3x2 + x3 = 34x1 + 2x2 + 3x3 = 26

e x ≈ [9, 25 4, 25 2, 75]t

11. Modelo:

0, 52x1 + 0, 2x2 + 0, 25x3 = 48000, 3x1 + 0, 5x2 + 0, 2x3 = 58000, 18x1 + 0, 3x2 + 0, 55x3 = 5700

e x ≈ [4005, 8140 7131, 3953 5162, 7907]t

12. Modelo:

10x1 + 20x2 + 20x3 = 10050x1 + 40x2 + 10x3 = 30030x1 + 10x2 + 40x3 = 200

e x ≈ [4, 5455 1, 5152 1, 2121]t

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13. Modelo:

−Q12c1 −Q13c1 +Q21c2 = −200Q12c1 −Q21c2 −Q23c2 = 0Q13c1 +Q23c2 −Q33c3 = −500

⇔

−130c1 + 30c2 = −20090c1 − 90c2 = 040c1 + 60c2 − 120c3 = −500

e x ≈ [2 2 5, 8333]t

Metodos Iterativos

1. a) x = [2, 2836 − 0, 9322 2, 3422]t com k = 7b) x = [−0, 3327 1, 3672 0, 8677]t com k = 5

2. a) x = [1, 2182 4, 2191 − 7, 9062]t com k = 4b) x = [1, 7868 9, 2509 0, 9617]t com k = 6

3. a) −5 < C < −4 ou 4 < C < 5b) Para C = 4, 5 x ≈ [0, 1974 0, 0029 0, 1394]t com precisao ε = 0, 0157Para C = −4, 5 x ≈ [−0, 1771 − 0, 0001 0, 1975]t com precisao ε = 0, 0016

4. a)

−9x1 + 2x2 + 6x3 = 11

2x1 + 4x2 + x3 = 4−x1 + x2 − 3x3 = −2

b) x = [−0, 3084 0, 8873 1, 0683]t c) x = [−0, 3162 0, 8921 1, 0694]t

d)Metodo k PrecisaoJacobi 10 0, 0065

Gauss-Seidel 6 0, 0093

5. x ≈ [1, 2990 12, 7941 4 3, 1985]t

6. Modelo:

4T1 − T2 − T3 = 30−T1 + 4T2 − T4 = 40−T1 + 4T3 − T4 = 40−T2 − T3 + 4T4 = 70

e x ≈ [17, 9688 21, 3281 21, 3281 27, 9688]t

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