Download pdf - Logika Dan Matriks

LOGIKA MATEMATIKA

• Kalimat Terbuka – Tertutup

• Negasi, Kata Penghubung

• Penarikan Kesimpulan

• Soal ‐ Soal

Disusun oleh:

Muhammad Irfan,S.Si

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi

(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar

pernyataan dan logika penghubung atau predikat (predicate logic)

yang menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan

pertama dengan pernyataan kedua. Oleh karena itu logika

matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan

matematik (mathematical Statement). Namun sebelum melangkah

lebih jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian

pernyataan dan pengertian penghubung. Berikut ini diberikan

definisi suatu pernyataan :

A. Pengertian

Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan

dapat di uji kebenarannya secara matematika.

Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.

Logika Matematika 2010/2011

1. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai

kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih

bervariabel.

Contoh

a. 2x + 5 = 7

b. x2 + 1 = 10

c. Jarak kota A dan kota B 200 km

d. Usia A lebih muda dari B, dll.

2. Pernyataan

Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi

pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar.

Contoh pernyataan

a. 2 x 5 = 10

b. 20 : 2 = 6

c. Toni lebih muda dari Susi

Pernyataan a bernilai benar

Pernyataan b bernilai salah

Pernyataan c bisa benar atau salah

Latihan

1. Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang

merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan

kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai

kebenarannya.

a. x + 5 > 0.

b. x2 + 5 ≥ 0.

c. Satu windu sama dengan n tahun.

d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan

bulat.

e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan

cacah.

f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.

g. Itu adalah benda cair.

h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap

2. Diberikan kalimat terbuka berikut : x2 - 1 = 0 , x bilangan

real. Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu

pernyataan.

B. Penghubung / Konektif (Connective)

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika

(penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction),


Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi,

atau Ekuivalensi (Equivalence).

1. NEGASI

Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari

suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar”

di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau

” bukan” pada pernyataan tersebut.

Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi

p

B S

S B

Contoh

Pernyataan : p Negasi (ingkaran) :

Tiga puluh sembilan adalah Tiga puluh sembilan bukan

bilangan prima

(S)

bilangan prima

(B)

Semua binatang adalah

mahluk hidup

(B)

Tidak semua binatang

adalah mahluk hidup

(S)

2. KONJUNGSI

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan

tunggal. Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih

pernyataan tunggal yang digabung dan disebut

denganpernyataan majemuk. Konjungsi merupakan kata

penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya berupa

kata “dan”. Kata penghubung “dan” pada perkataan majemuk

dilambangkan dengan “ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi

didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ̂ dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p salah (S)

Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah


Tabel Kebenaran Konjungsi

p q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh

Pernyataan : p Pernyataan : q

SMK 1 Sragen berada di

Kabupaten Sragen (B)

Sragen termasuk ke

dalam wilayah Jawa

Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam

suatu segi tiga selalu

180o (B)

Besar sudut segitiga sama

sisi adalah 90o (S)

S

Dua adalah bilangan

ganjil (S)

Dua adalah bilangan

prima (B)

S

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S

3. DISJUNGSI

Disjungsi merupakan kata penghubung berupa kata “atau”

dalam menghubungkan dua pernyataan menjadi kalimat

majemuk. Kata penghubung “atau” pada pernyataan majemuk

dilambangkan dengan “ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi

didefinisikan sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q

B B B

B S B

S B B

S S S

Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

” p V q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah


Contoh




Sragen termasuk ke dalam

wilayah Jawa Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam suatu

segi tiga selalu 180o (B)


sisi adalah 90o (S)

B

Dua adalah bilangan ganjil

(S)

Dua adalah bilangan prima

(B)

B

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S

4. IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat)

Untuk memahami implikasi, perhatikan uraian berikut ini.

Misalkan Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali

olimpiade sains-matematika nasional tahun ini maka aku akan

membelikan kamu sepatu bola”. Janji Boby ini hanya berlaku

jika Boby mendapatkan medali olimpiade sains-matematika.

Kalimat yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika

matematika dapat ditulis sebagai berikut :

Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.

Maka q : membelikan sepatu bola

Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau

dilambangkan dengan “ ” suatu pernyataan majemuk

yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dari pernyataan p ke

pernyataan q dinyatakan dengan , ” ”, ialah sebuah

pernyataan yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai

benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut hipotesa

(premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi).

Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Implikasi

p q

B B B

B S S

S B B

S S B

Implikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :

” p → q ” bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar.


Contoh




Sragen termasuk ke dalam

wilayah Jawa Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam

suatu segi tiga selalu

180o (B)


sisi adalah 90o (S)

S

Dua adalah bilangan

ganjil (S)

Dua adalah bilangan prima

(B)

B

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) B

5. BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI)

Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan

hubungan “Jika dan hanya jika“ Sehingga menjadi suatu

kalimat yang dapat dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q

” atau dilambangkan dengan :

“ p ⇔ q ”

suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi.

Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan

dari:

p ⇔q dan q⇔p

Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p ⇔q dikatakan

bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang

sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini :

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q

B B B

B S S

S B S

S S B

Biimplikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :

” p ⇔ q ” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.


Contoh

Nyatakan pernyataan berikut dengan symbol dan tentukan

kebenarannya.

“ Irfan Bachdim adalah pemain Timnas dan tidak benar bahwa

Jakarta adalah ibukota Indonesia atau SMK N 1 Sragen terletak di

Kabupaten Sragen”

Penyelesaian:

Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol:

p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B)

q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B)

r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S)

Secara simbolik, pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai

berikut:

Kemudian, untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan di atas

yaitu:

(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S

⇔ (B ∧ S ) ∨ S

⇔ S∨ S

⇔ S

Jadi, pernyataan di atas bernilai salah.

C. TABEL KEBENARAN (Truth Table)

Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar

atau salah kita perlu table kebenaran dari kalimat penghubung

yang ada dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang

pernyataan p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua

penghubung adalah sebagai berikut:

p q

B B S S B S B B

B S S B S S S S

S B B S S S B S

S S B B S B B B

Nilai kebenaran

ABCD adalah persegi ABCD segi empat

yang sisinya sama

B

n adalah bilangan prima n habis dibagi 7 S

SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah

Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta

S

Grafik bukan garis lurus

adalah fungsi yang tidak linier

B


Contoh

Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan

daerah asal :

1. n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal

himpunan bilangan bulat.

2. x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.

3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada

tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.

Soal Latihan

1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:

a. Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.

b. Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah

c. Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur.

d. 49 adalah bilangan kuadrat.

2. Diberikan pernyataan sebagai berikut:

p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong

q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1

r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan

berikut:

a.

b.

c.

d.

3. Periksalah nilai kebenaran dari Implikasi berikut, jika salah

berikan contoh kesalahannya.

a. Jika x=2 maka 2 5 2 0

b. Jika x = 90 maka sin cos 0

DEFINISI Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.


D. KUANTOR

1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau

“setiap” disebut pernyataan kuantor universal (umum) ,

sedangkan pernyataan yang menggunakan kata “Beberapa”

atau “ada” kuantor eksistensial (khusus). Pernyataan untuk

setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x D, maka P(x)

bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P(x) bernilai

benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x D sehingga

P(x) bernilai benar.

Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk

simbulik dan memuat penghubung, kita harus menetapkan

daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan

interpretasi (makna) terhadap fungsi dan penghubung yang

ada didalamnya.

2. Negasi dari Pernyataan berkuantor

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah

ingkaran dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p

. Selanjutnya dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa:

- Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor

eksistesial.

- Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Contoh:

Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut:

a. , 1 0

b. , 1 0

Jawab:

a. , 1 0 adalah pernyataan yang benar

Negasi dari pernyataan tersebut adalah:

DEFINISI Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.

1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor universal (universal quantifier).

2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).


, 1 0 , 1 0 bernilai

salah

b. , 1 0 adalah pernyataan yang salah

Negasi dari pernyataan tersebut adalah:

, 1 0 , 1 0 bernilai

benar

3. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi

Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers,

invers dan kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi

berikut ini :

i. Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA

Dari pernyataan implikasi ini, dapat dibuat

pernyataan baru:

ii. Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa

iii. Jika Nena bukan seorang mahasiswa, maka Nena

tidak lulus SMA

iv. Jika Nena tidak lulus SMA, maka Nena bukan

seorang mahasiswa

Pernyataan – pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai

berikut:

i. : disebut implikasi

ii. : disebut konvers dari implikasi

iii. : disebut invers dari implikasi

iv. : disebut kontraposisi dari implikasi

Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan

Kontraposisi.

Komponen Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

p q

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan

bahwa:

- Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

- Konvers ekuivalen dengan Invers


4. Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Perhatikan contoh kalimat berikut:

p : Markus tidak malas

q : Markus giat berlatih

Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai

berikut:

a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih :

bernilai B

b: Markus malas atau Markus giat berlatih :

bernilai B

Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya:

Contoh

Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkanlah bahwa

pernyataan ekuivalen dengan pernyataan

Jawab:

p q

B B S B B B

B S S S S B

S B B B B B

S S B B B B

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa

Coba kita perhatikan kolom ke-6 pada table tersebut. Pada

kolom tersebut selalu bernilai benar untuk setiap

kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen

yang ada. Pernyataan majemuk tersebut disebut Tautologi

(benar logis). Tautologi yang berbentuk

disebut Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang

dibaca (a ekuivalen b)

Sedangkan untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari

pernyataan komponen yang bernilai salah pernyataan

majemuk tersebut disebut Kontradiksi.

Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.


Kontradiksi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.

Contoh

Tunjukkan bahwa adalah tautology dan adalah

kontradiksi

Jawab

B S B S

S B B S

Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa adalah

Tautologi dan adalah Kontradiksi.

Contoh

Tunjukkan bahwa pernyataan adalah

tautology

Jawab:

B B B S S B

B S S B B B

S B B S B B

S S B S B B

Dapat disimpulkan bahwa pernyataan adalah

tautology

Latihan

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari

pernyataan berikut:

a. Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya

piala.

b. Jika Ryan seorang mahasiswa, maka Ryan lulus

SMA.

c. Jika bilangan ganjil, maka 1 adalah

bilangan genap.

2. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor

berikut ini:

a. Setiap bilangan bulat adalah bilangan real.

b. Terdapat bilangan real sehingga 4 0


c. Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda.

d. Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut 60 .

3. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology:

a.

b.

c.

5. Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens

Silogisme Modus Ponens dan Modus Tollens adalah metode

atau cara yang digunakan dalam menarik kesimpulan. Proses

penarikan kesimpulan terbagi atas beberapa hipotesa yang

diketahui nilai kebenarannya yang kemudian dengan

menggunakan prinsip-prinsip logika diturunkan suatu

kesimpulan (konklusi). Penarikan kesimpulan ini disebut

dengan argumentasi.

Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu

kesimpulan adalah sebagai berikut :

i. Argumen dikatakan berlaku atau sah:

Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi

dengan kesimpulan

ii. Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b

sedangkan kesimpulannya adalah c, Argumen yang

berlaku atau sah:

iii. Argumen dikatakan berlaku atau syah:

Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya

juga benar.

iv. Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa -

hipotesanya barus demi baris kemudian dibuat garis

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B


mendatar dan kesimpulan diletakkan baris paling

bawah sebagai berikut :

a hipotesa 1

b hipotesa 2

kesimpulan

Tanda “ “ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena

itu…”.

1. Silogisme

Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat

menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan

dengan cara menyusun baris – baris:

hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi:

Silogisme dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi

tersebut merupakan tautologi

Berikut ini adalah table kebenarannya.

Contoh

Tentukan kesimpulan dari argument berikut:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.

Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. q r Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: Jika n bilangan ganjil maka

n2+1 genap

2. Modus Ponens




hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis

menjadi:


Modus Ponens dikatakan sah jika nilai dari bentuk

implikasi tersebut merupakan tautologi


B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Contoh



Hipotesa 2 : n bilangan ganjil.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. p Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil

3. Modus Tollens




hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis

menjadi:

Modus Tollens dikatakan sah jika nilai dari bentuk

implikasi tersebut merupakan tautologi


B B S B S S B

B S B S S S B

S B S B S B B

S S B B B B B

Cara lain untuk menunjukkan sah atau tidaknya sebuah

Modus Tollens adalah dengan mengambil kontaposisi

dari argument sebagai berikut:


Kontraposisi:

Contoh



Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil. Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil

Latihan

1. Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini:

a. Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah.

Hipotesa 2 : Aku basah

b. Hipotesa 1 : Jika Yongki mencetak gol maka Yongki

akan melakukan selebrasi.

Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol.

c. Hipotesa 1 : Jika 0 maka 0 .

Hipotesa 2 : Jika 0 maka . 0

d. Hipotesa 1 : Jika √ . √ √ maka √ . √ √ .

Hipotesa 2 : Jika √ . √ √ .maka 0

e. Hipotesa 1 : Jika 4 0 maka 0.

Hipotesa 2 : 0

2. Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut:

a. hipotesa 1 c.

hipotesa 1

b. hipotesa 2

hipotesa 2

kesimpulan

hipotesa 3

kesimpulan

c. hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan


Referensi:

Bandung Ary S.,dkk.2008. Matematika SMK Bisnis dan

Manajemen. Jakarta:Departemen Pendidikan

Nasional

Drs. Sukirman,M.Pd.2006.Logika dan

Himpunan.Yogyakarta:Hanggar Kreator

DEPDIKNAS.2003.Panduan Materi Matematika

SMK.Jakarta.Departemen Pendidikan Nasional

Drs. Markaban,M.Si.2004.Logika Matematika-Diklat

Instruktur/Pengembang Matematika SMA

Jenjang Dasar.Yogyakarta:PPPG Matematika

Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011

MATRIKS

• Macam – macam Matriks

• Operasi pada Matriks

• Determinan dan Invers pada Matriks

• Menyelesaikan Sistem Pers. Linier

• Soal ‐ Soal

Disusun oleh:

Muhammad Irfan,S.Si

A. Macam – macam Matriks

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan elemen – elemen yang berbentuk persegi

atau persegi panjang dengan dibatasi oleh tanda kurung “( )” atau

kurung siku “[ ]”. Elemen – elemen tersebut bias berbentuk bilangan

ataupun huruf. Nama suatu matriks dinotasikan dengan huruf capital,

sedangkan elemen – elemennya menggunakan huruf kecil.

adalah elemen pada baris pertama kolom pertama.

adalah elemen pada baris pertama kolom kedua.

adalah elemen pada baris kedua kolom pertama.

adalah elemen pada baris ke‐m kolom ke‐n.

Matriks adalah matriks A dengan m baris dan n kolom. Mxn

disebut juga dengan ukuran suatu matriks atau biasa dikenal dengan

nama ordo suatu matriks.

Contoh 1

Tentukan ordo dari matriks berikut:

1 32 4 , 2 1 2

Matriks A mempunyai ordo 2x2 karena mempunyai 2 baris dan 2

kolom. Sedangkan B ber‐ordo 1x3.


2. Macam – macam Matriks

a. Matiks Nol

Matriks Nol adalah matriks dimana semua elemennya bernilai nol.

Contoh 2

0 00 0 , 0 0 0

0 0 0

b. Matriks persegi (bujur sangkar)

Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris sama dengan

jumlah kolom.

Contoh 3

2 45 0 ,

2 1 46 4 29 7 8

c. Matriks persegi panjang

Matriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah kolomnya

tidak sama dengan jumlah baris.

Contoh 4

2 3 74 1 9

d. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh 5

321

e. Matriks Baris

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh 6

3 2 1

f. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya bernilai

nol kecuali pada diagonal utama tidak nol semuanya.

Contoh 7

00 ,

0 00 00 0

g. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada

diagonal utamanya bernilai 1 dan lainnya bernilai 0.

Contoh 8

00 ,

0 00 00 0


h. Matriks Segitiga

• Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen‐elemen di

bawah diagonal utama seluruhnya nol.

Contoh 9

4 70 1 ,

1 8 100 6 50 0 11

• Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen‐elemen di

atas diagonal utama seluruhnya nol.

Contoh 10

4 010 1 ,

1 0 010 6 09 8 11

i. Matriks Transpose

Matriks transpose didapat dari menukar baris menjadi kolom dan

kolom menjadi baris.

Contoh 11

Tentukan

2 3 74 1 9 ,

2 1 46 4 29 7 8

2 43 17 9

2 6 91 4 74 2 8

3. Kesamaan Dua Buah Matriks

Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan

elemen‐elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks

tersebut sama.

Contoh 12

4 010 1 , 4 0

10 1 , 0 41 10

Matriks A=B karena ordo dan elemen‐elemen seletak sama. A C

karena elemen – elemen seletaknya tidak sama.

Contoh 13

Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan matriks beerikut!

2 62 , 8 6

2

Penyelesaian:

2 62

8 62

Didapatkan:

• 2 8 … pers.1

• 2

2 0


0 di substitusikan ke dalam pers.1 menjadi:

2 8

2 0 8

• 2

4 2

1. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan matriks di bawah ini.

a. 2 3 62 5 30

3 23 30

b. 1 62 0

2 103 0

2. Tentukan nilai a, b, c, d, dan e dari persamaan matriks di bawah ini.

4 1 56 8

2 2 3

2 53 2 2 82 3

3. Jika 0 1 11 0 00 1 1

1 00 3

2 0 1

Tentukan w, x, y, dan z!

B. Operasi pada Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah Matriks dapat dijumlahkan maupun dikurangkan jika kedua

buah matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Hasil jumlah

ataupun selisih didapat dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan elemen‐elemen yang seletak dari kedua matriks

tersebut.

Contoh 14

Diketahui:

5 4 21 6 1 , 2 5 5

6 5 3 , 3 14 1

5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3

3 9 75 11 4

5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3

7 1 37 1 2

tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan, karena ordo

kedua matriks tersebut tidak sama.

LATIHAN

Apakah kita bisa untuk mengemban misi kita? Insya Allah kita bisa, karena Allah Mahatahu, Allah tahu sampai dimana potensi dan kemampuan kita. Jika kita tidak merasa mampu berarti kita

belum benar-benar mengoptimalkan potensi kita.


Sifat – sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. sifat assosiatif

2. sifat komutatif

3. sifat distributive

4.

5. terdapat matriks X sedemikian sehingga A+X=B.

2. Perkalian Matriks

a. Perkalian Matriks dengan scalar (k)

Misalkan A merupakan sebuah matriks dan k sebuah scalar, maka

kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan

setiap elemen matriks A dengan scalar k.

Contoh 15

Diketahui 1 36 2 maka

4 4.1 4. 34.6 4.2

4 1224 8

Contoh 16

Tentukan nilai a, b, c jika diketahui

2 41 0 , 2

4 , 4 21 8 sehingga

berlaku P‐2Q=R.

Penyelesaian:

2

2 41 0 2 2

44 21 8

2 24

4 21 8

2 41 0

24

12

2 62 8

24

1 31 4

Dari persamaan matriks di atas didapat:

1; 1; 2 3 1

Contoh 17

Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut:

2 7 59 1

3 15 1

Penyelesaian:

2 7 59 1

3 15 1

2 3 15 1

7 59 1

2 10 614 0

5 37 0


Untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan untuk setiap

scalar k1 dan k2 dan AB terdefinisi, berlaku sifat – sifat perkalian

matriks dengan scalar sebagai berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua buah matriks A dengan ordo mxn dan matriks B dengan ordo

pxq, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A.B yang

berordo mxq, dengan syarat n=p. Didapatkan dengan cara

mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom

matriks B. Dua buah matriks tidak dapat dikalikan jika dan hanya

jika , mengakibatkan A.B tak terdefinisi.

Perhatikan gambar berikut:

Matriks A Matriks B

baris kolom baris kolom

Baris matriks A=kolom matriks B,matriks dapat dikalikan

Hasil kali kedua matriks dengan ordo baris matriks A x kolom matriks B

Contoh 18

Diketahui 1 12 0 dan 1 0 1

2 2 0 Tentukan A.B

Penyelesaian:

Matriks A berordo 2x2 dan B berordo 2x3, maka hasil kali A.B

adalah matriks yang berordo 2x3.

. 1 12 0

1 0 12 2 0

= 1.0 1 . 2 2 adalah elemen baris ke‐1 dan kolom

ke‐2 dari matriks A.B. Diperolah dengan cara mengalikan elemen –

elemen baris ke‐1 matriks A dengan elemen – elemen kolom ke‐2

matriks B, kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya

untuk mengisi kotak kotak tersebut.

. 1 12 0

1 0 12 2 0

. 1.1 1 . 2 1.0 1 . 2 1. 1 1 . 02.1 0.2 2.0 0. 2 2. 1 0.0

. 1 2 12 0 2


Contoh 19

Diketahui 2 12 3 dan 2

2 serta 1 11 2 . Tentukan A.B

dan A.C serta C.A

Penyelesaian:

. 2 12 3

22

2.2 1 . 22.2 3. 2

62

. 2 12 3

1 11 2

2.1 1 . 1 2.1 1 . 22.1 3. 1 2.1 3.2

. 3 01 8

. 1 11 2

2 12 3

1.2 1.2 1. 1 1.31 . 2 2.2 1 . 1 2.3

. 4 22 7

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa . . (perkalian tidak

komutatif)

Contoh 20

Ibu Fira berbelanja di Toko “ASA” sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp.

7.000,‐ per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp. 8.000,‐ per kg, dan 3 liter

minyak goreng dengan harga Rp. 9.000,‐ per liter. Sedangkan Ibu Ira

berbelanja di Toko yang sama dan barang yang sama dengan kuantitas 10

kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng.

Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan

tentukan jumlah yang harus dibayar oleh ibu Fira dan Ira.

Penyelesaian:

Dari soal di atas, jika disajikan ke dalam benuk matriks sebagai berikut:

5 4 310 8 2

700080009000

ket: F = Ibu Fira, dan I = Ibu Ira.

Jumlah yang harus dibayarkan oleh Ibu Fira dan Ibu Ira adalah

5 4 310 8 2

700080009000

5.7000 4.8000 3.900010.7000 8.8000 2.9000

94.000152.000

Jadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Fira adalah Rp. 94.000,‐ dan Ibu Ira

adalah Rp. 152.000,‐.

1. Diketahui 2 11 5 , 2 2

1 3 , 3 15 3

Tentukanlah:

a) .

b)

c)

d)

e) Tunjukkanlah bahwa . .

LATIHAN

Jadilah orang yang CERDAS. Comperhensive (think) Emphatic (heart) Religius (Views) Dicipline (time) Active (move on) Social (responbility)


2. Tentukanlah matriks X dari persamaan matriks berikut:

a. 4 3 55 4

1 37 12

b. 4 0 28 4 2 2 4

10 8

c. 4 6 7

2 6 40 2 2

20 4 32 0 5

8 2 4

3. Diketahui 4 31 2 , carilah 2 4 5 (I matriks

identitas)

4. Tentukan nilai a,b,c, dan d dari persamaan matriks berikut:

a. 3 2 13 2 2

2 13 2

0 34 5

b. 2 3 2 24 2

5 31 2 2 0 6

4 5

5. Diketahui 6 1 03 5 4 4 1

4

14 1721 2 Tentukanlah x,y, dan z!!!!

6. Kim membeli 8 buku dengan harga @Rp. 3.000,‐, 12 pensil dengan harga

@Rp. 2.500,‐, dan 5 pulpen dengan harga @Rp. 2.000,‐. Sedangkan Okto

membeli barang yang sama dengan kuantitas 1 lusin buku, 8 pensil, dan

2 pulpen. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian

matriks dan tentukan jumlah uang yang harus dibayar oleh Kim dan

Okto.

C. Determinan Suatu Matriks

1. Determinan Matriks ordo 2x2

Misalkan , maka determinan matriks A adalah det

Contoh:

Tentukan determinan dari 2 14 3

Penyelesaian:

det 2 14 3 2. 3 1. 4

6 4 2

Contoh 21

Jika 29 5 2 1 . Tentukanlah nilai x.

Penyelesaian:

29 5 2 1

2 . 5 . 9 2 1

2 1

1

2. Determinan Matriks ordo 3x3

Misalkan maka


det | |

Ada banyak sekali cara untuk menghitung determinan matriks ordo

3x3. Akan tetapi, metode yang paling banyak digunakan adalah

dengan aturan Sarrus. Langkah‐langkahnya sebagai berikut:

a. Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal

dari determinan.

b. Jumlahkan hasil kali unsur‐unsur yang terletak pada diagonal

utama dengan hasil kali unsur‐unsur yang sejajar diagonal utama

pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur‐

unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.

Perhatikan skema berikut:

det . . . . . . . .

. . . .

Contoh 22

Tentukan determinan 1 2 11 2 12 1 2

.

Penyelesaian:

| |1 2 11 2 12 1 2

1 21 22 1

| | 1.2.2 2.1.2 1.1.1 1.2.2 1.1.1 2.1.2

| | 4 4 1 4 1 4 0

Contoh 23

Jika diketahui determinan matriks 1 1 3

1 2 43 2 5

adalah 5. Tentukan

nilai X.

Penyelesaian:

| |1 1 3

1 2 43 2 5

1 11 2

3 2

| | 1 . 2.5 1.2.5 1. 4 . 3 3. 1 . 2 3.2.3

1 . 4 . 2 1. 1 . 5

| | 1 10 10 12 6 18 1 8 5

| | 12 19

| | 5

12 19 5

12 5 19

2412

2


3. Minor, Kofaktor, dan Adjoin

Jika A adalah matriks persegi, maka minor elemen aij dinyatakan oleh

Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal

setelah baris ke‐I dan kolom ke‐j dicoret dari A. Bilangan (‐1)i+j Mij

dinyatakan oleh Cij yang disebut kofaktor elemen aij.

Jika A adalah sembarang matriks persegi dan Cij adalah kofaktor aij,

maka matriks

Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin

dari A dan dinyatakan dengan Adj (A).

Contoh 24

Tentukan minor, matriks kofaktor, dan adj (A) dari 2 15 4 .

Penyelesaian:

Minor matriks A adalah

4 1

5 2

Kofaktor dari matriks A adalah

1 1 4 4

1 1 5 5

1 1 1 1

1 1 2 2

Matriks kofaktornya adalah

4 51 2

Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,

sehingga

4 51 2

4 15 2

Contoh 25

Tentukan minor,matriks kofaktor, dan adjoin dari 1 2 12 1 22 1 1

Penyelesaian:

Minor matriks tersebut adalah:

1 21 1 1 . 1 2.1 3

2 22 1 2.2 2.1 2

2 12 1 2.1 2. 1 4

2 11 1 2.1 1.1 1

1 12 1 1.1 2.1 1

1 22 1 1.1 2.2 3


2 11 2 2.2 1 .1 5

1 12 2 1.2 2.1 0

1 22 1 1. 1 2.2 5

Kofaktor dari minor‐minor tersebut adalah:

1 3 1 4

1 2

1 1 1 3

1 1

1 5 1 5

1 0

Matriks kofaktornya adalah

3 2 41 1 3

5 0 5

Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,

sehingga

3 2 41 1 3

5 0 5

3 1 52 1 0

4 3 5

D. Invers Suatu Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian

sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas, maka B adalah

invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A‐1 atau A = B‐1.

Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah:

Contoh 26

Tentukan invers dari

Penyelesaian:

det | |

Minor A adalah

| | | |

| | | |

Kofaktor dari A adalah

Matriks kofaktor sedangkan matriks adjoin adalah

Jadi, invers matriks A adalah


Contoh 27

Tentukan invers dari

a. 2 21 2

b. 1 2 12 1 22 1 1

Penyelesaian:

a. Det(A) = 2.(‐2) ‐ 1.(‐2) = ‐4 – (‐2) = ‐2

1det

12

2 21 2

1 112

1

b. 1. 1 . 1 2.2.2 1.2.1 1. 1 . 2 1.2.1 2.2.1

1 8 2 2 2 4 5

1det

15

3 1 52 1 0

4 3 5

35

15

12

51

5 045

35

1

*) matriks adjoin A berasal dari contoh 25

Contoh 28

Dari 4 73 5 5 7

3 4 , tunjukkan bahwa kedua matriks

tersebut saling invers!

Penyelesaian:

. 4 73 5

5 73 4

20 21 28 2815 15 21 20

1 00 1

. 5 73 4

4 73 5

20 21 35 3512 12 21 20

1 00 1

Karena . . maka terbukti bahwa kedua matriks tersebut

saling invers.

Contoh 29

Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular

2 43 6 4 1

2 3

Penyelesaian:

2.6 3.4 12 12 0 (matriks singular)

4.3 2.1 12 2 10 (matriks nonsingular)

NOTE:

a. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai

determinannya 0, matriks seperti ini disebut matriks

nonsingular. Sedangkan matriks yang harga

determinannya = 0 disebut matriks singular.

b. Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, berlaku:

•

•


1. Tentukan determinan matriks berikut:

a. 1 22 3

b. 5 29 2

c. 2 80 5

d. √3 2√6 √3

e. 1 1 00 2 11 2 1

f. 1 2 31 0 43 2 4

g. 1 2 31 2 11 2 2

2. Tentukan nilai X dari persamaan berikut:

a. 0 1 22 3

b. 2 35 4 7

c. 1 2

2 1 14 0 5

2 5

d. 2

0 1 10 0 1

2

3. Tunjukkan bahwa kedua matriks di bawah ini saling invers.

a. 3 52 3

3 52 3

b. 3 74 9

9 74 3

c. 4 31 1

1 31 4

d. 6 55 4

4 55 6

4. Tentukan invers dari matriks di bawah ini:

a. 1 22 3

b. 5 29 2

c. 2 80 5

d. √3 2√6 √3

e. 1 1 00 2 11 2 1

f. 1 2 31 0 43 2 4

g. 1 2 31 2 11 2 2

5. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular!

a. 1 22 3

b. 2 21 2

c. 2 33 5

d. √3 3√2 √6

6. Diketahui 1 22 3 , 1 1

1 2 tentukan:

a.

b.

c.

d. .

e. Apakah . ?

f. Apakah . ?

LATIHAN


E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier dua ataupun tiga variable selain menggunakan

eliminasi dan substitusi juga dapat digunakan invers dan kaidah Cramer

untuk mencari himpunan penyelesaiannya. Langkah – langkah untuk

mencari himpunan penyelesaian system persamaan linier dengan

menggunakan invers adalah sebagai berikut:

• Ubahlah system persamaan ke dalam bentuk matriks.

• Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks koefisien

dengan matriks variabelnya.

Persamaan matriks A.X = C

• Kalikan kedua ruas dengan invers A:

. . .

. .

.

Contoh 30:

Tentukan nilai x dan y dari system persamaan

4 5 2

3 4 4

Penyelesaian:

Sistem persamaan 4 5 2

3 4 4 jika dibuat dalam bentuk matriks

menjadi 4 53 4

24 . Untuk mencari nilai X, maka:

.

14.4 3 . 5

4 53 4

11

4 53 4

4 53 4

4 53 4

24

8 206 16

1210

Jadi, himpunan penyelesaian dari system persamaan tersebut adalah

{12,10}.

Di samping menggunakan cara invers, dapat juga digunakan aturan

Cramer. Jika A.X = C adalah matriks system persamaan linier yang terdiri

atas n persamaan linier dan n variable yang tidak diketahui, sehingga

det 0, maka system tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

(tunggal). Penyelesaian tersebut adalah:

det det

,det det

, … ,det det

Dimana adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti elemen –

elemen di dalam kolom ke‐j dari A dengan elemen elemen di dalam

matriks .


Contoh 31:

Gunakan aturan Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian dari

system persamaan berikut:

3 5 11

2 3

Penyelesaian:

Bentuk perkalian matriksnya adalah 3 52 1

113 , dari bentuk ini

didapat:

3 52 1 ; det 3.1 2. 5 13

11 53 1 ; det 11.1 5 . 3 26

3 112 3 ; det 3.3 2.11 13

Sehingga,

detdet

2613

2

det det

1313

1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,‐1}.

Contoh 32:

Tentukan x, y, dan z dari system persamaan dengan aturan Cramer:

7

3 4 6 7

2 3 12

Penyelesaian:

Bentuk perkalian matriknya adalah 1 0 23 4 61 2 3

77

12 ,didapat:

1 0 23 4 61 2 3

, det 12 0 12 8 12 0 44

7 0 27 4 6

12 2 3, det 84 0 28 96 84 0 44

1 7 23 7 61 12 3

, det 21 42 72 14 72 63 88

1 0 73 4 71 2 12

, det 48 0 42 28 14 0 132

detdet

4444

1 ; detdet

13244

3

det det

8844

2

2 33 5 . 4 0

1 2

Tentukan matriks P dari persamaan:

*) gunakan .


Contoh 33:

Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp. 280.000,‐. Sedangkan harga 1 baju

dan 3 kaos adalah Rp. 210.000,‐. Tentukan harga 5 kaos dan 6 baju.!!!

Penyelesaian:

Misalkan, harga baju adalah x dan harga kaos adalah y. diperoleh:

3 2 280.000

3 210.000

Dari system persamaan tersebut, jika dibuat dalam bentuk matriks:

3 21 3

280000210000

.

13.3 1.2

3 21 3

17

3 21 3

17

3 21 3

280000210000

17

3 280000 2 2100001 280000 3 210000

17

420.000350.000

60.00050.000

Harga 6 baju, dan 5 kaos = 6x60.000 + 5x50.000 = 550.000

Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp. 550.000,‐.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers:

a. 3 8 7 ; 4 11

b. 8 2 ; 5 3 31

c. 4 19 ; 2 11

2. Gunakan kaidah Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian

berikut:

a. 8 2 ; 5 31 3

b. 3 8 ; 2 2 4

c. 3 10

2 4

4 3 5

d. 1

4

1

3. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut:

a. 2 14 3 . 7

1

b. . 6 51 1

3 24 7

c. 2 13 2 . 1 4 0

2 3 5

d. 0 61 2 . 3 24

4. Carilah nilai x dan y berikut:

a. 2 14 3

21

257

b. 4 31 2

2 42

2010

5. Ashanty menjual dua jenis komoditas. Komoditas jenis pertama

merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B.

Komoditas jenis ke‐2 merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan

50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama adalah Rp. 100.000,‐

LATIHAN


dan harga komoditas jenis ke‐2 adalah Rp. 170.000,‐. Tentukan harga

masing masing kualitas per kilogramnya.

6. Lima meja dan delapan kursi berharga $115, sedangkan tiga meja dan

lima kursi berharga $70. Tentukan harga 10 meja dan 9 kursi.

DAFTAR PUSTAKA

Hamdy Taha. (1996). Riset Operasi. Jilid satu. Jakarta: Binarupa Aksara

To’ali. (2008). Matematika X SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi. Jakarta:

Depatemen Pendidikan Nasional

Did You Know??? OTAK

“Otak manusia, seperti mesin yang bisa melakukan perawatannya sendiri, ia bisa menyembuhkan dirinya dari segala kerusakan internal, sambil bergerak ke tingkat kinerja yang lebih tinggi”, Prof. Robert Oates and Gerald Swanson, Ph.D.

Tidak bisa dipungkiri bahwa otak merupakakn organ tubuh kita yang sangat penting. Setiap aktivitas kita, baik sadar maupun tidak sadar, pasti berawal dari otak kita. Para ilmuwan sudah menemukan bahwa otak dibagi menjadi dua ruang, yaitu otak kanan dan kiri. Kedua belah otak tersebut ternyata memiliki karakter yang berbeda.

OTAK KIRI OTAK KANAN• Pemikiran Analitis • Logika • Bahasa • Sains dan Matematika • Verbal, Proporsional • Fokus • Perbedaan • Bergantung Waktu • Segmental

• Pemikiran Holistika • Intuitif • Kreativitas • Seni dan Musik • Nonverbal, imaginative • Difus • Persamaan • Tak bergantung waktu • Global

Jika kemampuan otak kanan‐kiri seimbang, maka kemampuan dirinya pun akan optimal, akan tetapi jika otak kanan‐kiri tidak seimbang / tidak bisa bersatu maka seseorang dalam menjalani hidupnya akan dipenuhi berbagai prasangka. Jika keadaan seperti ini dibiarkan terus menerus, maka orang tersebut akan menyangka bahwa tidak ada hubungan dengan satu sama lain, saling mengalahkan untuk sukses. Akan sangat mirip dengan dunia binatang “survival of the fittest”.

“Tingkat kemampuan berfikir logis dan tingkat kemampuan “berperasaan” bervariasi antara individu (dan) manusia yang dapat mencapai keseimbangan antara keduanya akan berhasil hidup di dunia dan akhirat”,Prof.DR.Dr.H.M. Nurhalim Shahib (ahli Biokimia dan Biologi Molekuler dalam bukunya “Mengenal Allah dengan Mencerdaskan Otak Kanan”.

Oleh karena itu, kita harus selalu membiasakan otak kita untuk “belajar” agar bisa bekerja sama dengan baik antar otak kanan dan otak kiri. Untuk mencapai itu, kita telah diajarkan untuk mengembangkan diri, mau lebih berinteraksi antar satu sama lain.

*) sumber: Quantum Ikhlas: Erbe Sentanu.2007