L’insieme dei numeri razionali Q

Prof. Walter Pugliese

Concetto di frazione

Abbiamo visto che la divisione non è un’operazione interna né in N né in Z. L’esigenza di renderla sempre possibile ci porterà aconsiderare l’insieme dei numeri razionali. Prima di parlare di numeri razionali bisogna però introdurre il concetto di frazione.

Se osserviamo la figura seguente, sono rappresentate delle bottiglie da litro:

La quantità di litri presenti nelle bottiglie viene indicata con il numero naturale 2.

Se adesso osserviamo la seguente figura:

La quantità di litri presente nella bottiglia sopra raffigurata non può essere rappresentata né con un numero naturale né conun numero intero. Si tratta della metà di un litro, ovvero 1:2 litri. Tale quantità viene indicata con la frazione:

1

2

dunque la frazione rappresenta il quoziente tra due numeri naturali ossia il loro rapporto.

Per esempio, la frazione 3

4avrà lo stesso significato di 3:4.

Definizione di frazione

Definizione:

Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, di cui il secondo è diverso da zero.

Il primo numero è il numeratore della frazione, il secondo è il denominatore.

• Non esistono frazioni con denominatore 0

• Le frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore vengono dette proprie

• Le frazioni in cui il numeratore è maggiore del denominatore vengono dette improprie

• Le frazioni in cui il numeratore è un multiplo del denominatore vengono dette apparenti

Esempio:𝟓

𝟎non indica una

frazione

𝟓

𝟖è una frazione

propria

𝟓

𝟑è una frazione

impropria

𝟏𝟓

𝟓è una frazione

apparente

Le frazioni equivalenti

Definizione:

Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda.

Indichiamo l’equivalenza con il simbolo ~:𝑎

𝑏~

𝑐

𝑑si legge:

𝑎

𝑏è equivalente a

𝑐

𝑑

Esempio:

Le frazioni 3

5e

6

10sono equivalenti.

Infatti i prodotti in croce risultano uguali.

La proprietà invariantiva

Proprietà invariantiva:

Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da zero sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente.

Allo stesso modo si possono dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero, purchè sia divisore di entrambi.

𝑎

𝑏~𝑎 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑐𝑐𝑜𝑛 𝑏, 𝑐 ≠ 0

𝑎

𝑏~𝑎: 𝑐

𝑏: 𝑐(𝑐𝑜𝑛 𝑏, 𝑐 ≠ 0)

Esempio:

2

5~2 ∙ 3

5 ∙ 3

Infatti 2 ∙ 5 ∙ 3 = 5 ∙ 2 ∙ 3 , quindi:

2

5~6

5

La semplificazione di frazioni

Data una frazione, quando applichiamo la proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero, diciamo che semplifichiamo la frazione.

Se semplifichiamo più possibile una frazione, giungiamo alla frazione ridotta ai minimi termini.

Per ridurre una frazione ai minimi termini è sufficiente dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D.

Esempio:

24

40non è ridotta ai minimi termini.

Per ridurla ai minimi termini basta dividere numeratore e denominatore per il M.C.D. (24,40) ovvero per 8:

24

40~

24:8

40:8, quindi

24

40~

3

5

La riduzione di frazioni a denominatore comune

Ridurre a denominatore comune due frazioni significa trovare altre due frazioni aventi lo stesso denominatore, ciascuna equivalente a una delle frazioni date.

Si possono trovare infinite soluzioni a questo problema ma, per semplicità di calcolo, fra tutti i possibili denominatori comuni si sceglie il più piccolo, cioè il m.c.m. fra i denominatori: si parla allora di riduzione al minimo denominatore comune.

Esempio:

Riduciamo al minimo denominatore comune le frazioni 5

6e

4

15:

m.c.m. (6,15)=30

Applichiamo la proprietà invariantiva: 5

6~

?

30.

Il numero che moltiplicato per 6 dà 30 è 30:6=5 quindi

5

6~

5∙5

6∙5ovvero

5

6~

25

30

Procedendo allo stesso modo con la frazione 4

15si ottiene che:

4

15~

8

30

I numeri razionali assoluti

Supponiamo di dover dividere una tavoletta di cioccolato in parti uguali tra due amici. Possiamo dividere la tavoletta in due parti uguali e darne una ad ogni amico, ma possiamo anche dividere la tavoletta in quattro parti uguali e darne due a ogni amico, oppure possiamo dividere la tavoletta in otto parti uguali e darne quattro a ogni amico ecc.

Ciascuna di tali quantità può essere espressa mediante una frazione, nell’ordine:1

2~

2

4~

4

8.Quindi un problema risolto con l’uso di una frazione,

può essere risolto con altre infinite frazioni ad essa equivalenti.

Possiamo pensare di raggruppare tutte le frazioni equivalenti a 1

2, avremo ottenuto così un particolare insieme chiamato «classe di equivalenza».

Ciascuna frazione di una stessa classe rappresenta l’intera classe a cui appartiene.

Definizione:

Un numero razionale assoluto è una classe di frazioni fra loro equivalenti.

Esempio:

2

3e 6

9sono solo due modi diversi , tra altri infiniti modi, per rappresentare lo stesso numero razionale assoluto, che è la classe

2

3,4

6,6

9, … .

Possiamo allora scrivere 2

3=

6

9, nel senso che le due frazioni individuano lo stesso valore assoluto.

L’insieme dei numeri razionali assoluti si indica con 𝑸𝒂

I numeri razionaliE’ possibile estendere il concetto di frazione anche al caso in cui numeratore e denominatore sononumeri interi (con il denominatore diverso da zero).

Anche la definizione di frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva si possono estendere allefrazioni di numeri interi.

Se facciamo precedere una frazione che rappresenta un numero razionale assoluto dal segno- ,stiamo scrivendo una frazione negativa; se la facciamo precedere dal segno +, stiamo scrivendo unafrazione positiva.

Esempio:

−2

+3~+2

−3

Queste due frazioni rappresentano la stessa classe che può essere rappresentata con la frazione−

2

3.

Definizione:

Un numero razionale è una classe di frazioni equivalenti in cui il numeratore e il denominatore sono numeri interi (con il denominatore diverso da zero).

L’insieme dei numeri razionali si indica con Q.

L’insieme Q come ampliamento dell’insieme Z

Abbiamo già visto con i numeri interi la definizione di ampliamento.

Per fare in modo che l’insieme Q sia un ampliamento di Z, a ciascuna frazione con denominatore 1 di Q facciamo corrispondere un numero intero.

Z quindi è un sottoinsieme proprio di Q.

Il confronto tra numeri razionali

Frazioni con lo stesso denominatore positivo:

1. Confrontiamo 5

6e

4

15.

Riduciamo le due frazioni allo stesso minimo denominatore :

25

30e

8

30

Poiché 25>8 concludiamo che

5

6>

4

15

2. Confrontiamo ora −1

2e −

1

3

Riduciamo le due frazioni allo stesso minimo denominatore positivo :

−3

6e −

2

6. Poiché -3<-2, abbiamo −

1

2< −

1

3

Prodotto in croce:

1. Date due frazioni positive, possiamo confrontarle anche utilizzando il prodotto in croce:

Confrontiamo 5

6e

4

15

Poiché 5 ∙ 15 > 6 ∙ 4 abbiamo che 5

6>

4

15

2. Con frazioni negative il prodotto in croce è ancora valido se si attribuisce il segno – ai numeratori delle frazioni.

Confrontiamo −1

2e −

1

3

Poiché −1 ∙ 3 < 2 ∙ (−1) abbiamo che −1

2< −

1

3

La rappresentazione dei numeri razionali

Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata.

Tutte le frazioni tra loro equivalenti corrispondono allo stesso punto sulla retta.

Poiché è possibile trovare punti che corrispondono a numeri razionali vicini quanto si vuole ad un qualsiasi dato punto sulla retta, diremo che Q è denso nella retta.

Le operazioni in Q.L’addizione e la sottrazione

Definizione:

La somma (o la differenza) tra due numeri razionali espressi da frazioni aventi lo stesso denominatore è il numero razionale espresso dalla frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori.

2

5+4

5=2 + 4

5=6

55

3−1

3=5 − 1

3=4

3

In Q valgono tutte le proprietà dell’addizione e della sottrazione viste in Z.

L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne in Q.

L’elemento neutro per l’addizione è 0 in Q come in Z.

Se i numeri razionali sono espressi da frazioni che hanno denominatori diversi, si utilizza la definizione precedente dopo aver ridotto le frazioni al minimo denominatore comune:

1

6+

2

15

Poiché

1

6=

5

30𝑒

2

15=

4

30

Si ha

1

6+

2

15=

5

30+

4

30=

9

30

In forma abbreviata possiamo scrivere

1

6+

2

15=5 + 4

30=

9

30

La moltiplicazione

Definizione:

Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni è un numero razionale espresso dalla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

1

2∙5

3=1 ∙ 5

2 ∙ 3=5

6

La moltiplicazione è un’operazione interna in Q.

1 è l’elemento neutro.

0 è l’elemento assorbente.

Valgono le proprietà della moltiplicazione e la seconda legge della monotonia.

Reciproco:

Di ogni numero razionale, escluso lo zero, esiste il reciproco; ilprodotto di un numero per il suo reciproco è ugualeall’elemento neutro della moltiplicazione, cioè 1.

Chiamiamo reciproco del numero razionale espresso dallafrazione

𝑛

𝑑il numero espresso dalla frazione

𝑑

𝑛.

Sono reciproci:

7

2e2

7poiché

7

2∙2

7=1

3 e1

3poiché 3 ∙

1

3= 1

−2

3e−

3

2poiché−

2

3∙ −

3

2=1

La divisione

Definizione:

Il quoziente di due numeri razionali, di cui il secondo diverso da zero, è uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo.

−4

7: −

12

5= −

4

7∙ −

5

12=

5

21

Per la divisione in Q continuano a valere la proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a destra rispetto all’addizione.

La divisione è un’operazione interna in Q, infatti:

5:7 non ha risultato in Z

ma

5

1:7

1=

5

1∙1

7=

5

7ha risultato in Q

La potenza

Definizione:

Dato un numero naturale n, la potenza n-esima di una frazione 𝑎

𝑏è la frazione che ha per numeratore 𝑎𝑛e per denominatore 𝑏𝑛.

𝑎

𝑏

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0

Esempio:

−2

5

3

= −8

125

−2

5

2

= +4

25

Le potenze con esponente intero negativo

Definizione:

La potenza di un numero razionale, diverso da zero, con esponente intero negativo è una potenza che ha per base il reciproco del numero dato e per esponente l’opposto dell’esponente.

𝑎

𝑏

−𝑛

=𝑏

𝑎

𝑛

𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ≠ 0

Esempi:

• 5−7 =1

5

7=

1

57

• 3

4

−2=

4

3

2=

16

9

L’esponente -1 permette di scrivere la la frazione reciproca di una frazione data mediante una potenza:

• 2

5

−1=

5

2

1=

5

2

• 9−1 =1

9

• 1

2

−1= 2