LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI SI IN TRAPEZ

Definitie. Prin linie mijlocie ıntr-un triunghi ıntelegem segmentul care uneste mijloacele

a doua laturi ale triunghiului.

In figura 1, este desenata linia mijlocie rMN s a triunghiului ABC.

Observatie. Orice triunghi are trei linii mijlocii. (Vezi figura 2.)

Figura 1 Figura 2

Teorema liniei mijlocii ın triunghi. Fiecare linie mijlocie a triunghiului este paralela

cu a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.

Demonstratie. Fie triunghiul ABC si punctele M si N mijloacele laturilor rABs si res-

pectiv rACs. Prelungim segmentul rMN s cu rNQs ” rMN s, ca ın figura 3.

Trebuie sa aratam ca MN ‖ BC si MN “BC

2.

Figura 3

Mai intai, 4CNQ ” 4ANM (L.U.L.), de unde rezulta

QC “ AM (1)

si

?NCQ ” ?NAM. (2)

Din (1), tinand cont ca AM “MB, rezulta

QC “MB, (3)

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez

´1´ Profesor Marius Damian, Braila

iar din (2) obtinem QC ‖ MB, care conduce la

?QCM ” ?BMC. (4)

Acum, relatiile (3) si (4) asigura congruenta triunghiurilor QCM si BMC (L.U.L.), ceea ce

implica

?QMC ” ?BCM (5)

si

MQ “ BC. (6)

In final, din (5) rezulta MN ‖ BC, iar din (6) avem MQ “ BC, care, ımpreuna cu MN “

NQ, conduce la MN “BC

2si teorema este demonstrata. �

Reciproca I a teoremei liniei mijlocii ın triunghi. Daca o dreapta trece prin mijlocul

unei laturi a unui triunghi si este paralela cu o alta latura a triunghiului, atunci acea dreapta

trece si prin mijlocul celei de-a treia laturi.

Demonstratie. Consideram 4ABC si fie M mijlocul laturii rABs. Construim MN ‖ BC,

N P rACs, ca ın figura 4.

Trebuie sa aratam ca N este mijlocul laturii rACs.

Figura 4

Presupunem, prin reducere la absurd, ca N nu este mijlocul laturii rACs. Fie atunci N 1

mijlocul laturii rACs.

Deoarece AM “MB si AN 1 “ N 1C, deducem ca rMN 1s este linie mijlocie, de unde, folosind

teorema 1, rezulta ca MN 1 ‖ BC.

Dar din ipoteza avem si MN ‖ BC. Am obtinut astfel o contradictie, deoarece, conform

axiomei paralelelor, prin punctul M se poate construi o singura paralela la dreapta BC.

Presupunerea facuta este falsa. Prin urmare, N este mijlocul laturii rACs. �

Reciproca a II-a a teoremei liniei mijlocii ın triunghi. Daca ın triunghiul ABC

consideram punctele M P rABs si N P rACs astfel ıncat MN ‖ BC si MN “BC

2, atunci

rMN s este linie mijlocie a triunghiului ABC.

Demonstratie. Prelungim rMN s cu rNQs ” rMN s, ca ın figura 5.

Din MN “BC

2si MN “ NQ rezulta

MQ “ BC (7)

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez

´2´ Profesor Marius Damian, Braila

Figura 5

iar din MN ‖ BC deducem

?QMC ” ?BCM. (8)

Relatiile (7) si (8) conduc la 4CMQ ” 4MCB (L.U.L.), de unde rezulta

QC “MB (9)

si

?QCM ” ?BMC. (10)

Din (10) deducem QC ‖ AB, deci ?CQN ” ?AMN.

Prin urmare, 4CQN ” 4AMN (U.L.U.), ceea ce implica

QC “ AM (11)

si

CN “ AN. (12)

In final, din (9) si (11) rezulta ca AM “MB de unde, folosind (12), rezulta ca rMN s este

linie mijlocie a triunghiului ABC. �

Definitie. Numim linie mijlocie ın trapez segmentul care uneste mijloacele laturilor opuse

neparalele ale trapezului.

In figura 6 este desenat trapezul ABCD cu AB ‖ CD si linia mijlocie rMN s.

Figura 6

Observatie. Trapezul are o singura linie mijlocie.

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez

´3´ Profesor Marius Damian, Braila

Teorema liniei mijlocii ın trapez. Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele

acestuia si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.

Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB ‖ CD, M si N sunt mijloacele laturilor rADs

si respectiv rBCs si fie tEu “ AN XDC. (Vezi figura 7.)

Figura 7

Din AB ‖ CD rezulta ca ?ABN ” ?ECN (alterne interne). Tinand cont ca BN “ CN

(din ipoteza) si ?ANB ” ?ENC (opuse la varf), rezulta ca 4ABN ” 4ECN (U.L.U.).

De aici rezula ca

AB “ CE (13)

si

AN “ NE. (14)

Din (14) si AM “ MD rezulta ca rMN s este linie mijlocie ın 4ADE, deci MN ‖ DE si

MN “DE

2.

In final, MN ‖ DC si, folosind (13), MN “AB ` CD

2.

Reciproca teoremei liniei mijlocii ın trapez. Daca o dreapa trece prin mijlocul uneia

dintre cele doua laturi opuse neparalele ale unui trapez si este paralela cu bazele, atunci acea

dreapta include linia mijlocie a trapezului.

Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB ‖ CD, M mijlocul laturii rADs si MN ‖ DC,

N P pBCq. E suficient sa aratam ca N este mijlocul laturii rBCs. Presupunem, prin reducere

la absurd, ca N nu este mijlocul lui rBCs. Exista atunci N 1 P pBCq astfel ıncat BN 1 “ N 1C.

(Vezi figura 8.)

Figura 8

Deducem ca rMN 1s este linia mijlocie a trapezului ABCD deci, conform teoremei liniei

mijlocii ın trapez, MN 1 ‖ CD, fals, deoarece prin punctul M nu se poate construi decat o

singura paralela la CD. Presupunerea facuta fiind falsa, rezulta ca N este mijlocul lui rBCs,

adica rMN s este linie mijlocie ın trapezul ABCD.

Fise cu teorie pentru gimnaziuLinia mijlocie ın triunghi si ın trapez

´4´ Profesor Marius Damian, Braila