Transcript
Page 1: Laplace Transforms and Fourier Series
Page 2: Laplace Transforms and Fourier Series
Page 3: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

������������� ����

�������������� ��� � �������� � �!�" ����

���# $ ����%� �$ &����� ���� ��"��������

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ��������������������� �����!

"� #�$��������������$������������%���������

P971 ��������������� �����

SEAT No. :

��� ��������������� ������� �� ����� ����

�� ���������������� ��������������������� ��( T) ( F)p q∨ ∧ ∨ �

�� ������������ �������������������� ������� ����� ���

�� !����������������������� ��� 2, 5 6 0x x x∃ − + < ��������� ����� ������ ����

���� �

�� " ��������������������������������#$$�����#$$$�������������������������������������

�� ������%������ �&'(����� ������������� ��� ��������

�� ��������������� ����������� ��� ���������������������� ����)'*+'*' �

�� " ������� ��������� ��,����������������������� ������������������� ��##����� ��-

���������������.� � ������� �� ����� ����

�� !�����������������[ ]( )P p q q∧ → → �������� � ��

�� " ��������������������� ��������#$��������� ��/$����0�#1����������#/������������� ���������������2������������������������

�� " ������3&���������������������� ����������������������#0�/0�10�/0�20�/����2�

�����

Page 4: Laplace Transforms and Fourier Series

�� �����������.� � ������� �� ����� ����

�� .���������������� ������� �� ���������������.���� 4������������������������������������'������������������������� ������������������.��������������� ������"���������� 4����� �����������

�� %��� ���������������� ����������#$��(������� ����������������� ������ ��� � ������������������������������������� ����������

�� %����������������������5��6�/���������������� ��������������������������� ����� ����� �������

��� �����������7��� ������� �� ����� ����

�� �� %����0���0��������������������������8 ���������������� �������

1 2 1 2S S S S S Sn n∪ ∪ ∪ = + + +�� �� �

��� %������ ��� ��/$$���������0�9$�������4����:����������0�,$�������4����������������5$�������4����� ������8������" ��������������������4�����������:����������� ������������" ��������������������4���������������8����-

�� " ������9&��������;�������������(�����,������������������

�����

����������

Page 5: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������� ����

�������������� ���� ' &( �� �� %�)*�"� %+ ,*-���� �����

���# $ ����%� �$ &����� ���� ��"��������

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ��������������������� �����!

"� #�$��������������$������������%���������

P971

��� ��������������� ������� �� ����� ����

�� ���� { }4 2L 3 6 4sin3te t t+ − �

�� ���� { }L cos3 ( 1)t tδ − <������� ( 1)tδ − ���������������������� ��

�� ���� { }2 3L tt e �

�� ���� 1

2

1L

2 2

s

s s− +⎧ ⎫

⎨ ⎬+ +⎩ ⎭�

�� ����5

2�

�� ���� 1L3

Se

s

π−− ⎧ ⎫

⎨ ⎬+⎩ ⎭�

�� � ���� =!�6�#��� >� $0� ������ ������=$��>��������� �� >� $� ������?������.����� ����

���������������.� � ������� �� ����� ����

�� %�� ( 1)( ), ( ), ( ), , ( )nf t f t f t f t−′ ′′ � ������ ����� ��������� ���� ������ 0t ≥ ����

���(� �������� �������� t → ∞ ����� ( ) ( )nf t ��������� ������ ����� ���� �

���� 0t ≥ ������ { }( )L ( )nf t ��(���������� �������

{ } { }1 ( ) ( 1) ( 2) ( 1)L ( ) L ( ) (0) (0) (0)n n n n nf t s f t s f s f f− − − −′= − − � �

Page 6: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

�� %�� { }1L ( ) ( )s f tφ− = �������� �������� 1

0

( )L ( )

f ts ds

∞− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬

⎩ ⎭∫ �

�� '��������2 3

0

sinhtt e t dt∞

−∫ �

�� �����������.� � ������� �� ����� ����

�� ���� { }L ( )f t <������

cos ,3 3

( )

0 ,3

t tf t

t

π π

π

⎧ ⎛ ⎞− >⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪ <⎪⎩

�� ����2 2

1

2 2 2L

( )

s a

s a− ⎧ ⎫−

⎨ ⎬+⎩ ⎭�

�� � ����������������������;���� �� y y t′′ + = �������=$��>�#0� (0) 2y′ = − ������?�������.����� ����

��� �����������7��� ������� �� ����� ����

�� !������ �������������������������� ������������ �

( )(2 )

xf x

x

ππ

⎧= ⎨ −⎩

�� �� )�������� �� ���� ����� ���0�����

1

2 2

1L

( 1)s s− ⎧ ⎫

⎨ ⎬+⎩ ⎭

��� %�� { }1L ( ) ( )s f tφ− = �������� �������� 1

0

( )L ( )

tsf u du

s

φ− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫

�����

���$�≤���≤�#

���#�≤���≤�/��������� ��/

Page 7: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������� ��������

���������������������������� ��!���" �� ����#���������$!%�#&�'������$!%�#��(�$����%�#��� ��$����%

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ��������������������� �����!

"� #�$��������������$������������%���������

&� '����%�������������������$�����������(�����������)��

�� *��)��������(���������$�����)����+�����������!

P972 ��������������� ����

SEAT No. :

��� ����������������� ���� ����

�� ������������������������

�� ������� ������������������������������������������ !�����

"� #�� 1 3z i= + $�����������%�&�%�

�� '���������A 4 3 2i j k= − +�� � ������B 3 2 3i j k= + −

�� � ��������������"!����

��"�������

�� �� ������sinh( ) sini iθ θ= �

�� #�� 2V = 3 ,y zi xzj zk+ +�� � ������� V∇ ⋅

��

�� ������������"������!�����������������������������������

�� #��'(�)�*+$�����������V

P

T

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

�����P

V

T

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

�� ,������-!�������-�������������������� !�����

.� #��/�) 3 3,x xy y+ − ������/��

������

Page 8: Laplace Transforms and Fourier Series

�������������-�� �������� ���� ����

�� 0������������������������������ !����$�����������������������!���

2 2(2.99) (3.99)⎡ ⎤+⎣ ⎦ �

�� 1���������� !������"�� !�������&$� ������������23�4��������23�5����

"� �� ������ 0φ∇ ×∇ =� �

�� ����������-�� �������� ���� ����

�� /�����������"�������������������������������� ��������������36���������������!�����������.����������������

�� �� ������ cos sin cosF yi x yj zk= − −�� � �����"����������������

"� �� �����������������)�7�������!�������!����������8����������������

� !������ 2 2 2( ) 0x y xy x n y′′ ′+ + − = �

��� �� ����������-�2�����2���������� ���� ���

�� �� �� ����������� !����

2 2( 2 ) ( 2 )dF y y xy dx x x xy dy= − + + − +

��� '���������� 4 2 2 2 2 2A = 3 4 3y z i x z j x y k+ −�� � ������������

�� �� ����������������!�����23�4�����

��� #�� , ,a b c�� � ������������"���$��!"������� 0a b c+ + =

�� � ��'��������

a b b c c a× = × = ×� �� � � � �

8� ����������-����������� ���� ���

�� '���� ����� ���� ��"���� A 3i j k= + +�� � �� ���� B 2 6 2i j k= + +

�� � �� ���

����������"�������

�� �� � ����� cos( ) cos ,nθ θπ θ+ = � ������� ��� ��� ���������-�!�����!��������!��

�����

�����������������������������������������������

Page 9: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������� ��������

�������������������� �!�������"��#���������#$���������%�!��������

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ��������������������� �����!

"� #�$��������������$������������%���������

&� '��(���������$������(����)�����������!

�� *����%���$���+���������������������������(��

P973 ��������������� ����

SEAT No. :

��� ����������������� ����

�� ������������������������� ���

�� ������������������������ ���

�� �������������������������� �������������������������������!"�����������������������#������������������������������������� ���

�� ������� ������������������������ ���

�� ��� �����������������������������$� ���� ���

�� ��������������� ������������$� ���� ���

�� ��������%�� ������������������������������&� ���

�� ������� ���� ���&����#� ����'��������� ���

�� (��������������%�")������������������%�������� ���

*� +�����������%��������,!!��!!���������������-�������� ���

������

Page 10: Laplace Transforms and Fourier Series

�������������%�� �������� ����

�� ./����������������������������������������������������������������������������������������� ���

�� ��� ������������������������������� �������� ����������0�� ���������������� ��������/��������������%���0�� �����������������1��23����

�� ������ ����4��&������� ��������� ��� ������������������������� ������������ ������������������������������ ���

�� ����������%�� �������� ����

�� ����������������������5�6�5

�������

��������������+.�������������������

,7���������

�8���9���6�β�8�:�� ���

�� ;�����<�������)�� ������6��������� ������������ � ���� �������=��������������� ������������ ���

�� #��������4�����/������������������������ ����������������#������)�������� ��� ���

�� ��8�!6�4�8�!6�+�8��

��� ��8��6��4�8��6�+�8!

�����������

Page 11: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� �� ��������,�����,���������� ����

�� �� (���������������>�./�����?@$')6�?@$<)�����?.A $')������ �����%������������������ ��

��� ./�������������������$� ����������?�����)�����������������%������ ��

�� �� ��� ��%��������-������������������;B<������������� ��� �&���� ��

��� ��� ���������������������������@� ����������$� �������������������������������� ��

4� ����������%����������� ����

�� �� �������� ��:�� ������ ��� ������ �� ��� ���������� $� ���������������������������������'

��8�"&�����'

��8�"��&� ���

�� ���������������6�?C����'�������)���������������������������������C����'�������� ���

�����

Page 12: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������� ��������

�������� �����!��&%���#� ������"��#���������#$���������%�!��������

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ���������������������� �����!

"� #�$��������������$������������%���������

&� '��(���������$������(����)�����������!

�� *����%���$���+���������������������������(��

��� ����������������� ����,!����&������� ����

�� ����������������������������������������������

�� ���������������������������������������������������������

�� ��������������%�

�� (��������C��<>

�� ��������������������� ����

�� ��� ���������������5+� �91!�

�� (���������%�������������������

�� �������7��������������

�� ��� �������������������4������������$� ����

*� (���������������������%�����������������������>

�������������%�� �������� ����,:����&�������� ����

�� (����� �� ����� ���� ��<������ ������� ��� �� ������ ����� �%����� �������������

�� (������%��������%���������������>�./������ �������������������������������������

�� ./����� ����������������������5������������������������$D �ED�

P973

Page 13: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ����������%�� �������� ����,:����&�������� ����

�� ������������������������������ �-����F�������������������9:�����

�����������%������������������������������G���&@H��� ��������������������������������� �� ����������� ��2�����<��� ������������ ���9����� �������������������������������������������#��������������������������������������������������������G���&@H���

�� +�������������������� ������������������� ��������������������������������� �������� ��� !�&� ���� �������&� ����������� ��� "��&�� 5�� ����������&��������������������6� �����������������������������������>

�� (��������������� ��� ������� �������������� �%��������������� ������:������������&�������!:������ ����/���������������������������:����#��������������������������,7������I���)��������8�!"J�!��@H����

��� �� ��������,�����,���������� ����

�� �� ./��������������$������������������� ��

��� (������%��������%�������������������������������>�./�����������������������������%��������������������������������

��

�� �� ./���������������������������� �������������������� ��

��� (������������������������������%������������������%����>./���������������������������� ������&��������� ��

4� ����������%����������� ����

�� �����������������������������������������������!��+6������� ���± ��:+��5������������������������������������������:�+6� ��� ������������������������������/������������������������� ���%������> ���

�� ./����������������������������������� ���� ���

�����

�����������

Page 14: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������

��� ���

����������

��������������������� �!����"�������#$��"%�

������&���'���""#%�(�&#$#�"#%���(�&��)#%���(

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�������%���������&�����'��'����(�����������#�

)� *�%������������%�����������������+ �������

�� ,���+��� � �������� '���

-� ���'�����&������������� ��&��'�����������"���������'���&���

���� ��������������� ����

���������

��������

��� ����������� ������ ��

�� ���������������������

�� ����������� �������������������������

A B 2C Product+ + →

�� ������������������ �����������

�� ������� ����������������������������� ���

�� ���!�������� ������"�������� ������� �����

��� �� ���"�����#���������� ������ ��

�� $����������%"���������������� ���������������������������������� ������ �������������

��� ���������������� ���$�������������������������� ������������ ��

���� $���������������������������� ��� ��������������������

�����

Page 15: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ���"�����#���������� ������ ��

�� !%" ����������������� �����������

��� ������"����� ������!%" ������������ ���%��" ��

���� ������������������������������������������

��� � �������#���������� ������ ��

�� #�������������������������������&�'()*���"������������+,�-��.�����������������������" ���/,0��������������

�� 1����������"�������� ���������&�2()*���"������������������"���������������)***�����������������������3�3()*����� ������"����������������-� �� ��������������� ���������������

�� -� �� ��������������������%��������������� ����������������� ��������������+*�������������������%����������)**�� ����������������� � ���4�������5�������-��������������������������������2�,��

���������

��� ����������� ������ ��

�� $������������ ��" ����

�� .������"��"�����������������������������������*�**6'��������&*�*'*���

�� �����������"������������111�������"�

�� $��������������"����� ������ ��

�� �������������������������������������������������� ��������� �����

��� �� �����������#���������� ������ ��

�� ������������������������!%" �������������"" ��������������������������� ��������� �����

��� !%" ���� $���7�� ����� ��� �������� ��������� ��� ����������"������

���� 8������� ��������������������������������������

����� �����

Page 16: Laplace Transforms and Fourier Series

�� �����������#���������� ������ ��

�� ����� �� ������� ������� ��������� �������������� ��� ������ ��� �����

��� !%" ������������������������"���������

���� !%" ���������������������������"��"��������� ����������������� ��������� �����

� � � �������#���������� ������ ��

�� .� ������"������������� �����������������������"�����������"���������������� ������� ��� /*�+9� /)�39� /*�&� ����/*�'0��-� �� �������������������������������������

�� *�+,&�������� ������ ��������������������"���������� �����������������������*�&/)���������- ��-� �� �����"������������� �������������������"�����

:��������;� ��� �������������- �<�)/&�,=

�� -� �� ������� ��� �������"����� ���� �� ���� ����;� ���������

:��������>�"�����;���<�)�/()*���=

�����

����� �����

Page 17: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������� ���

������������������������������ ��������!"#�$%�&'���(�)�%%"��*�')�+"������*�'"#"$%"�����*

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ���������������������������������� ���������������!������������� ����

"� ����#���������������$!�����%

&� '�(��������������(����������������������$����

�� )�������(��$��$���� �������������*����������%

P975 ��������������� ����

SEAT No. :

��������

��� ��������������

��� ��������������� ��� ���

�� �� ������������� �����������

�� �� ���������������

�� ����������� ���� ��������������� �� �������������!����

�� "���������������� ��������������� ���#

�� �� ����� ������������ ����� �������!������

������ �����������$���������� ��� ���

� "���� ���%&� ����� �#�� ������ ���������� �����%&� ����� �� ����� �������!������

� ��������������� �����'������������!�����(!��� ������� ����'�������������)��� ���*���� ����� � �#

� �� �������� ���������� ���+,-�.�+�-��� ����� ���

�����

Page 18: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ��� ���/���.�/0���������� �������� ���/�������� ���

�� ����������������������� ��� ���

�� 0�����-������ ��������� �������!��� ������ � ����� �����������)�����

�� "��������������������������� �#�(!��� ��0��)�������������������

�� (!��� ��1��)2� )2-����� � ������� ��� ����� �������!������������� ������� ���

���������

����� ��������������

��� �������������� ��� ���

�� �� ���������������� ��� ��

�� 3 2������������������������� � ���

�� %������������������������2�� ��� ��

�� "���� ��� ��'� ��#

�� "����������������������� �#

��� !� �����������������������������������������"

Page 19: Laplace Transforms and Fourier Series

��� �� ���������������������� ��� ���

� (!��� ��������������������� ����������� ����������

� 4�����! ��� ����� ������0�����-���������

� � ��������������������� ������������������������ ��

�� ���������������������� ��� ���

� � �� ��� ������������������� ������

� "� �������������������� ��������� ��

� � ������ ������������ ��� �������� � ���

� � ���������������������� ��� ���

�� �� ���������������������� ����(!��� ��� �� ����������

�� (!��� ��� ��� ���������� ����� � ���������� ���� ���� ������ ���5���6������

�� "���� ������� ������#�(!��� ���������2 ���������� ������� ��� ������

�����

��� !� �����������������������������������������#

Page 20: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

������������ ������������

������������� ������

��������������������������� !���"��#��$�%���&��$�'���(�)�$$ !�*' � �$ !�+*�')�� !�+*

���������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (�������%��� ��� ��)�����*��*����+������� ��#�

P976 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� ������ ����

�� ����������������

�� ������������� ���������� ����������� ������������

�� ������������ �

�� ������������������������� ��������� �������������

�� ���������������������������������� ���� ��������

�� ������������������������� ���������

�� !��������������

� ������������ ����

�� ����������� ����������� ���� �������

"� ������#�$�%����

���������������&���������� �����' ����

�� ��������������� ���������������� ����(������������������ ������������

�� )�� �������� ���������� ����� ��������������������� �������������

�� !����������������������������

������

Page 21: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

��� �������������*�������' ����

�� )������������������������� ���������������

�� $����������+��������

�� ,������ �����,�������

��� ���������������������������-. ��� ������ �-�. ��� �������������)������������������������ ������� �������� ����

/0

������� ����������!�������������� ����������� ���� ����� ����������

���1���������

���������

Page 22: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ���

���� ����� ��������������������� �

�!���"�����#$�%�!��&#$�''%��!#(#��#$��'%���������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (�������%��� ��� ��)�����*��*����+������� ��#�

P977 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� ������ ����

�� �������� �������� ����

�� ��������������������

�� �������������������������������������������

�� �� �������������������������

�� ������������������������������

�� �� ���������������������������������������

�� ���������������������������� �

� ��������!�����

�� ���������"��#������$����%�����

&� ���������#������������ �������� ����

���������������'���������� ������ ����

�� (� �����$����������� ����

�� �����)������ ���� ��������������

�� ��������������#�������������������������������#�����

������

Page 23: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� �������������*�������� ����

�� (��������!������������������������

�� (� �������������� ����

�� ��������������

��� ��� ��� �����������#�� ����� � ������������ ��� � ���� ������ �������������#�����������������������!��� ���%�#� �� ����

+(

��������#������������������#������#������#������������ � ����

���������

Page 24: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ����������

��������������������������� �!�"�#������$$$%����&�'����#�(�%������#���$(�%'�)�#���$(�%*�"��� (

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� ��

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $���� �%� ������&��� ��� ��%�����'��'����(������� ��#�)� *�&��� ���������&������������+� ����� �

P978 ���������������������

SEAT No. :

��� ��������������� ��� ����

�� ����� ����� ������������

�� �� ����������� �� ��� �� ������������������ �����

�� ����� ����� �������

�� ����� ������������������������

�� � �������������� ��� �� ����������

� ��� ������������������������� ������� !����� ����

�� ����� ���������

�� �� �������������������������������������

� � ����������������������� �������

"� � �����������#������������� ���� ������

��� �� ���������������$������� ����

�� ���� �� ������������������

�� %��� ���������

�� &���������

������

Page 25: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� ��������������� ���$������� ����

�� �� ���� �� ��� �� �������������������������

�� '(������������������� ��������������������

�� )���� ������ ��������� ��� ������� ���

��� )���� ���������� �*���� ���������#����������������������� ��� ����

���������������������������������+,

� �������������������������������������������� �� ��� �� ������������������� ������ ���

�����

Page 26: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

������������ ������������

�������������

������������������������������������

� �!"�#��!�$%����#� &�'&#$��(�!'�$%��'"��#�)�%'#��*�����+�($''�#%*���,�!'�#����*��($��#�����*��-�.�!��*

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� ��

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%��� �������������+� ����� �

P979 ���������������������

SEAT No. :

��� ��������������� ��� ����

�� ����� ������� ��������� ������

�� ���� ������������������ ��������

�� �����������������������������

�� ����� ������ ���������������

�� ����� �� ��������

� ����� �� ������������ ���

�� ���� ����������� ����������� ����

�� �� ��������������!� ����������������"��� ��������������

� ���� ����������������������������� �#����� �������

#� ����� ������ �������

��� �� ���������������$������� ����

�� %�� ����������� �������� !���� �� ���������"�� ��

�� %���� ������"��� ����������&�����������

�� '���������������������� ������������

������

Page 27: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

��� ��������������� ���$������� ����

�� %���� ��� ���� ��'������������

�� (����������������&�����)���

�� %���� ��� ���� ������ ����������

��� %���� ���������� ���� ��� �*�����������������������������������+����������������+ ������" �� ����

���������������������������������,+

%���� ������ ��*��� ������������������������-����������-������ ���

�����

Page 28: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

������������ ������������

�������������

������������������������

����� �!�""���#���$�%"�����&#��!�'�����&#

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� ��

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)���������%��� �)����*������� ��#�

P980 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� ���������������������� ����� ����

�� ��������������

�� ��� ����������������� �

�� !�����"��������#��������������������$�"���������� ���������������#���

"� %����������� ���

�� !��������������������������� ���� ��������������

�� &���������� �������������� ��#���

�� &����������$������������� "����������

� ��������������������� ��� ����������� ����������������������

�� !����������"��������������������� �����������������#����������"������ ��

'� (���$�����������)��# ������

��� �������������*���#���� ����

�� +���� �������������������

�� , ��������������������� ������"������ ������������

�� -�����������������������

������

Page 29: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

��� �������������*��#��� ����

�� ,����������������

�� ,�������� ����������#����#�����������#���.�#����#������"�#������"���

�� /�����������������������

��� %�����������������.������� �����������.��#���� ���"������ ������������"����������������� �$������������������� � ����

���������������������������������+0

%�����������������.������� �����������.��#���� ���"������ ������������"������������������ "�����"���������������� �

�����

Page 30: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ���

�������������������������������

������ �����!"���#�$����%"� �&���%%"

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#)� *�%��� ���������%������������+� ����� �

P981 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� ��������������� ����

�� ������������ ���� �

�� �������������������

�� ����������� ����

�� ������������ ��������� ��

�� ���������������������

�� ������������������ ������� �

�� !�����"� ���#

� �������������� �$�� ����

�� ������������

�� ��������������������

����!������������%������� ����

�� &�'����������(��� ���

�� $������� ������������������ �

�� $������� ���������������������

������

Page 31: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� ����������� ���������������%������� ����

�� �����)���������������������'������������

�� !����������������� ��������������������������������

�� !�����������������������������������������������������������������������

��� !�����������������������#����������������� �����*��� ����������������������������� ����

+,

������������������������������� ��-(� ����������������'������ ������ ������������������������������������������� ���������� ��

�����

Page 32: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ����

�������� � ��� � �������� ������� ��! �������"���#�$

��%� ����� �#& '��(�)���*��� ������#+ *��,����+ *�%�������+

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� ( ��&��� �� �������� ���� ���� ���) � �� �� *����� +#�) ������))��,����� ���,��������� �� �������%�

P982 ���������������������

SEAT No. :

��� ������������������� ������

�� ���������������� ������������������������ ������ �� �� ��

�� ���������

������

���→���������

����

�����

�������������

����

�����

�� ����� ��� ������

���� ���� ��

�� ��� ���

�� ��

��

!� ���������"#��$��%�&$�������'��������()� ���

�� $ ��� $*+

���� %�&$ ��� $

� �������������������� ,�������������� ��-��������������

�� ������� ����������� ��� , ������������

���� �����) ������������� ��� ��) �������-

#� .���������������������� ��������������������/�)�����0� ����� �� ��

�� �������������������� ,���������-�����������������������)�������������-����)����������������������������������-�

!� 1������-���������������()���� ��$��2�� +�� 3����4��(�� ��5�� 3��

� 0������������!������ �-�����!)�������������� ��,�� ����������������

������

��

Page 33: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

�� .���������������)����-�!������ �-�����!)��������)����-����6���� ���

�� .�������,���������)�������1���������� ���

'� 7������,�������� � �������)������������������� �-�����!)����������� ��! �����

0� .�������)�����������!)�������, �� ���

��� ����������,�/����������� ������ �� �� ��

�� 8����������������1������-� ������������������� ,����

!� 0��-����������� ����!�!� ��,�-�����!)������������������

����

����

���������

���������

����

����� ������-���-������ ����!�!� ��,�-�����!)���������

�������

���9����

� ������������ �� ��,�5%:�������������� ���������0��-�������!�!� ��,���������������) ���-�,�$�������������������������)�����������������!��;����������-�� ���������������

��� ����������,�/����������� ������ �� �� ��

�� ���������)����-�<�������-�����!)��������)����-����6���������������������

!� �����!�� ������ ���������� ������������-� ���� �������������� ������� ��������������������������

� 7��������)��)���������� ������

�� 4�=�9� �5

4�=�>�=

��� 4�=�9������?��&�

4�=

���� 4�=�9��+�� 5��$��&�

4�,�9���%��&�

4�=�@�,

��� 4�=�9�� ��5��5��?��5��3�

4�)��()���=�

�� 4�=�9�� 5%�� +A�� ?5�� 2A�

4�=B�&���+C

��

Page 34: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��������������,�D����������� ������

�� �� ��� ����� ���������� � ������� ���� ���������� -������ E����� ���!�!� ��,-�����!)�������������������≠�E��F�������-�'�����������E�9� ��&���;��

���

��� 0�������� �����������������������=�������� ��������������-������������%�2�9 �� ���

G��� 22% 22 22& 22+ 225 22$

G�

$5 ?? ?& ?A $2 ?+

!� �� H��� X 9� ����� ���� ���� � � � � �� ( )1 1 110, , ,2 4 4 �� .��� ���

-���������������������I��������������=����6���� ���

��� 8���������������F� �I8����������-������=�������� �������������

�����

��

��

Page 35: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ����

�������� � ��� � ���������� ������� ��! "������������

#���$ ����%��& #��'%����& #%(%��%���&

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� ( ��&� ������&����� �� �������� ���� ���� ���) � �� �� *����� +#�) ������))��,����� ���,��������� �� �������%�

P983 ���������������������

SEAT No. :

��� ������������������� ������

�� ���������������� ������������������������ ������ �� �� ��

�� ����������������������������������������������������������������������������������� ���

�� �������� � ��� �

�����!� �

���� ���������� ��� �����

�� ��

"� �����#�$�����������������"������������������%�$&��'������������������

�� � ��� $

���� "�������(�$ ��� �������������$

� )���� ����"�"� ��*�(�����"��������

�� +*���������(� ����,����

��� +*���������(�����,����

���� -������� *��,���(���(�����,����

��� -������� *��,���(���(� ����,����

������

Page 36: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

.� +���������������������� ��������������������/�������0� ����� �� ��

�� ����� �1��#���#��������"�"� ��*�(�����"���������b x

b a

−− ����1��#����

"� ��������2�α#�λ��(�����"���������� ��*��������������������������� �������(�$�������(����(��������(��(������ ������" ����������$

��(���!�$�������(����(������(������ ����)�3#����(�����"������

�� 4���������������������� ��������2���������5��� �� ���

4� 6�����#�$��"��������������"��������������4��������#���������� ������������#�$�#��#� '�3#�7#��#������� ���

%� +,��������(�������������� ����1��#�8��(�����"������ ���

0� ������9�������(���������#�$�����

, 0 1;

( , ) 0 1,

0 , otherwise

kxy x

f x y y

< <⎧⎪= < <⎨⎪⎩

���(������ �����������������:� ���

��� ����������*�/����������� ������ �� �� ��

�� 4��������(�����������������������������������������������(��������#��5� ����������"����������(�������$�'����

"� /��9�������(���������#�$�����

( ), 0 2,

8( , )

0 , otherwise

x x yx

f x y x y x

−⎧ < <⎪⎪

= − < <⎨⎪⎪⎩

0��(�

�� ������� ���(��������#

��� ���(������ ���������$&��'���

� 6����� �%5����;"����� ���������� ����<�=���� ���(� �������� ��(�������������

>?

>?

Page 37: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� ����������*�/����������� ������ �� �� ��

�� ����� )�8#�σ��#����(����@����� �����(�@����� ��(��������������

"� +�������������������������(���� 2

1, 0

(1 )( )

0 , otherwise

xxf x

⎧ ≥⎪ += ⎨⎪⎩

��� { } { }A |1 8 , B | 0 5x x x x= ≤ ≤ = < < #����(�P(A B)∩ ���(�P(A B)∪ �

� 6�������2�α '�8#�λ '���#��� �2�α 'A#�λ '�B�����������(����������(����(������(��������" ��#����(�������"�"� ��*�(�����"���������$�'�������B���+���������������(������������$�

��������������*�;����������� ������

�� �� C����*������������ ��������������������"�(���������������

, 0 1

( ) 2 , 1 2

0 , otherwise

x x

f x x x

≤ ≤⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪⎩

� ���

��� ����� �-�����������#���������X

Ym

m

−= ��� ���������5����� *

)�3#�7��(�����"���������m → ∞ � ���

���� �����→�1��#���#�%����'�7���(�C������'�B#����(������ �����������(�� ���

"� �� 4������(�����"�������������������"��������������������������#�$��+�������*����������������������� ���

��� ��,�����������(�$�������(����(�������(��������" ��������9�������(���������#�$����

8 , 0 1( , )

0 , otherwise

xy x yf x y

< ≤ <⎧= ⎨⎩

��

���� ���������������������(����21

( 4)18

1( )

3 2

x

f x eπ

− −= #����(�-������B�D�78��

���

�����

>?

>?

>?

>?

Page 38: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

������������ ������������

�������������

���������������������������� ���!�"� �!��#

�$�%�!&���#'�$���(���&&��)'�$������#'

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� �(��)���������%��� ����� ������ �)����*������� ��#��� + ��&���"� ����� �� �� )���

���� ���������������������

��������

��� ����������� �����������������������������������������������������

�� �������������������������������

� ��!������!"�������������������

�� ��!��������� ����������� ������������

�� �������������#�!" ������� ���������������

�� ����������������������������������������

�� ��!���������" ����"������������!"�����������

�� $�������������������������������%

� ��!������������������ ��������������

�� ���������#�!" ������ ���������������������������������

&� '����������!����������������������� ��������������

(� $�����!���� ��&�!��� ������%

� ��!����� ��������������� ������������

!� $�������!������������%

������

Page 39: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

��� $�������������������� ������������$)�* ����

�� + �������������������������

� ,!"������������������������������

�� -���������������������!������

�� ,!"�������������������"���

��� ����������� ������������������.//�����������������$)�� ����

�� �#" ���� ��������������������������� ��� ����������

� 0�� ������!"����������� ���������������

�� � � �����������������������������

�� 1����� ������!"�������������� �����������

��� ����������� ������������������2//������������)���� ����

�� �#" ������������������������������������ �

� 1����� ������������!��������������������������������������

�����

Page 40: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

�����������

�� ������

����������

����������������� �!�"�#���$�#�

�����%���&�������#'�%��$�������('�%��)����(('

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�%������������%������������& �������

'� (��)���������%������������������)����*�����������#�

�� +���&���"������� ������ )��

���� ��������������� ����

���������

��� ����������� ������������������������������������������������� ����

�� ���������������

�� ������������������� ������������������������

�� ������������������ ������������������������

�� �����������������������������������������

�� ����������� �������!

�� ������� ��������������!

�� ���������� �

� ������������������ �������������������� �

�� ����������������� ����� ������������������� �

�� ���������������������������� ��������������������

"� ������ ���������� ��!

� ������������������������ ���������� ���� ������������

�� ��������������������� ���������� ���� ������������

������

Page 41: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ��������������������� ��������������� ����

�� #��� �������������������������

�� $������������ ���

�� #����� �������������������� �

�� %���������� ���� ������������

�������������� ������������������&''�������������������� ����

�� ()� ������������� ������������������������

�� ()� �������� ����������������������

�� ()� ������������������������� �����������������

�� �������������������� ���������� ���� ������������

��� ����������� ������������������*''����������������� ����

�� ���������$������� ����� �������������������������������� �

�� ������� ���� ����� � ��� ���()� ���� ���� ����� � ��� ����� ����� ���������

�����

�������������������������������������������

Page 42: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

������������ ������������

�������������

��������������������� ����������� ��� ��!�"#���$�$%�

����&���'�"�����()�&� �������)�&*#�$��)�&"�+����)

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)������ �� ������%����)����*������� ��#�

P986 ��������������������

SEAT No. :

��� ����������� ������ ������ ����������������������������� ��

�� ����������������� ��������������������������

�� ������������� ���

�� ��������������������� ��� ���������������������������������

��� � ���!�����������������

�� "� ���������������� ������������������������������������������!����

�� �������#��

�� $����������������%

�� $��������� �����&'���������(������!������� ��������������

� ������������������)�*��

�� +���,�������� �������----------�� ���������!����

����������������������� ������ ����

�� ������������������������".*�������

�� ��������������������������/��������!��������������� �� ������������

�� ������������������������� ���������!��������������� ���

������

Page 43: Laplace Transforms and Fourier Series

������������

��� ��������������������� ������ ����

�� �����������������������������������!�����������

�� $������������������%�������������� �����&�� ��0����(�������������������������� ����������

�� ���������&1�����������������(������#*����������

��� �������������������� ������ ����

�� ���������+.#����������������������������������(���������������

�� $������������� ��������%����������������� ��(�������� ������������������������� �� ������������

���������

Page 44: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

�����������

�� ������

�������������

������������������ !� ����"�!�����"#�"!"$%

������&���'�( ��)��*�&�)+)��)����*�&,-)"�%�( .)�����*

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�%������������%������������& �������

'� (��)������ �*� ������%������������������)����+�����������#�

���� ��������������� ����

���������

��� ����������� ������ ����

�� �� �������������� ��������� �������

�� ���������� ��������� ���������������

�� ����������������� ������������ ���������������

�� ���������������������������������������� ��

�� �� ������������������������������ ������� �����������������

�� ����������������

�� �� ���������������������� �������� �!����

� ���������� �������������� "�� ��������������

�� #���������"������� ���$�%� ��������&"������������������������������������������������

'� (���������������������))))))�������������������

�� *��

��� +�����"�

���� "�

������

Page 45: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ������������������� ������ ����

�� ����������" "��� ����������������"����������" "�������������

�� ��������������� �������������������,�����������������������

�� ������������ ��������������������������������������"�"�����������

���������������������� ������ ����

�� ��������������� ������������� ������������������������� �

�� ��������������� ������������ ����������������������������������������

�� ��� ���� ������� ������� �������� �������� "���-������� ������������� ��������� ����������� �������� ������"���������"��� �������� ������

��� ��������������"�����-�����������������"�����"���������������������������������� ����

./

������������������ ��������� �

�����

�������������������������������������������

Page 46: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ���

������������������������������ !"#�$%&'$

�(����)��*$$&+',(-&.���#+�&,�(&%&�$&+���/,�(�*0&+���/,

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� ��

�� ����� ���!!�"�� ��� ��� #��$�%�&��� ��������&��� �$����'������� ��(�)� *�&��� ���������&������������%�!!����� �

P988 ���������������������

SEAT No. :

��� �������������� ������������� ���

�� �� ������������

�� ��������� ���� ����� �����

�� ���������������

�� ������������������������

�� ���������� �

� �� ������!�

� ����������������"����

�� ����������������

��� �������"����� ���� ������ ���� ���������������� ���

�� ��������������������� ����������

�� ������������� ���� � ���"�� ���"����

�� ������������������ �������������������

������

Page 47: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� �������������������"����� ���� ������ # ���

�� ��������� � ����������

�� ��"�������"������������ ����������

�� ���$�����������"����������

��� ����������������������"����� ���%�"���������� ���

���������������������������������&'

(%��������������������)��������� ���������������������������

�����

Page 48: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ���

�������������������������� !��"#�$%!%&#� �'�(�"� ��$�)��$%'%!%&#

*��+�� �����,*-�.��%/�"�,*���"�����0,�*� ����00,

���������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� ����� ���!!�"�� ��� ��� #��$�%�&��� ��������&��� �$����'������� ��()� *�&��� ���������&������������%�!!����� �

P989 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������������� ����������� ���

�� ���������������

�� ������������������

�� ������������

�� ������������������

�� �������� �� !������" ���������

�� ���������������

�� ������!��������������

�� ������� !������

������������� ���������������������������������������� ���

�� #$!�����������������������������" ���������

�� ���������������!��������������

�� #$!������� ���������������

������

Page 49: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� ��������������%�� ���� ���

�� &��� �������������

�� ���������

�� �������������������

��� '�������������������������������#$!���������!������������� ���

(�

#$!��������������!���������������������

����������

Page 50: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������ ������������

����������� ������

���������������������������������� !�" #�$%& ��

'����(�##%!�)�'�%*%&#%!����)�'(�+%!����)

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� ��

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%������������+� ����� ��� , ��+���-"�%�����& ���� �� ����� �� '���

P990 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� �����������

� �� ���� ������������������� ����������� ���

�� ����� ���������� ��������� �������� ��� ���

�� �� �������������������� ���

� ��� �� ����!�������������������������������� ������ ������� ���� ���

�� "#� ������������� � ����� � ���������$�%������� � ��

�� "&�� � ������� �� �������'� ���� � � ������ � ���� ����� ��� ���( ����%������ � ��

�� &������������� ������� � ������� ���������'� � ��������������� ���������)�*�+������ �)��*�,�-����� ��

�� .�� �� ������������$�������� �������������� ���./������������������ �������0����$�����1�#(�� �)��*+21� ��

��� ��������$� ������ �����������

� ������������������ ������������ ������������������ ���������� ���

�� �� ����3����������� ������������� ��� ����� �����/!���� �������������#� �$����� ��������� �� ���

�� /!���� ��������� ����������������� ������������4������ ���

������

Page 51: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

��� ��������$� ������ ������������ �� �� ��������������� ����'��!��� ���

�� .����� ����������� ����5��� .����� ����� ���� ����

�� �� ���� ������� ���������������� ����������� ���������� �����6�� ��������� � �������� ������ ����� ��� �� � ������� �������������

�� /!���� �������������� �������� �$� �$��� �$� ����3������������������� � �� ���

��� ����������� ������������ 7�� �������� $���������� �����/!���� ��������������).����������

���� ����� ���� � ����� ����� �� �� ���������������� � ����'��!���� �������� ������������� ��$���

���� ����������0����$�������������./��������� ���������������������������������������4)

����������� ������������ �������� ����� ��� ����� ���+1�� ������$��8�� ��!�����9��� ���

����� ���������������:��*��1��.� � ��;�*�<��.=�� ���

�� 8�� ��� �� ��� ����������� ����� ������������� ��������� ����������)

�*�+�Ω� )

��*�+1�Ω'�)

��*�+1��� �)

�*�+�>������

?��*�+?'�?

��*�+�+1�?� ���

�� 6��� ��� ��������� ����������� ����� ��������� � ���

������� )�*�,�Ω)��*�>�Ω?

�*��1�?�

�����

Page 52: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������ ������������

����������� ������

���������������������������������� �!����"#��$

%���&�'���" $(�%'�)" ���(��%�"*"#�" ����(

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%������������+� ����� �

P991 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� �����������

� �� ���������� ���

�� �� ���������� ���� ��� ���

�� ������������ ����������� ���

� �� ������� � � �!����"��� ������#�������$� ����� ������ ������� %&�������

�� '(�� !��� �����������!� � ��� ���������!�������)�������� � ��

�� '*�!��� �������� �������� ����� ��)������� � ��

�� �� �������� �+� ����������� ������������!����� ������� ����,���-����!�+� ������&.�+� ��� �+� ��� ������������� � �����/�+� �� ��

�� ����� �� ������ ���� �� �� �� ������0$��1����� ��� ��

����� ��� ��!� ������ �����������

� ���� ������������2� �������������3������ � ��

�� �� ������ ��������� �������� �������� �����4��� �� ��+���������0$��,����� ��� ��

�� ��� ������� ��� ����� ��� ��� ���2� �2��� ���!��!� ��� ��

������

Page 53: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

���� ��� ��!� ������ �����������

� �������1��� ��!�������������� �������������� ��

�� ���� ��� �������������� ����� � ���!��!� ����5 ��� �� �� +� ��� ��

�� �� ������2� ����-�������� ����2�����!� ��� ��

����� ��� ����� �����������

� �������6��� �����!� ����!��� �����+�� ��������������� �������� ������������ ��� ���

�� ��������� ��������0$��&.��!�������������� ���������7���������� �������� ������ ���� ���

����������������������������������$8

� ��� ����� �����������

� ��� �����+������� ����� � ���+��������+������� ���������"��� ���� ��� !��������� ��&.�09:����2����;����!� ��

�� ���������� �������������� ��

�� �� ������� ����� �� �+� ��������6��� ������ � ������ �+�� !������������������ ��� ����� �� ��

�� &..&������������������.&&.

������������<.=%�.�+� ���

����������<&=%�&.�+� ��

���������

Page 54: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ���

��������������������������������������� !�� "!#$���%"��&'%�'(��)�&%��'*"+�(&%,'*��+�('-'.�'*���+

���������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

P992 ���������������������

SEAT No. :

��� ���������������� ����������� ���

�� �����������������������

�� �������������������

�� ������� � ������������

�� ��������� ������������������

�� ��������� ������������������������

�� ��������� �����������������������������

�� �����������������������

�� ��������� ���������������������

������������ � ���!"���������#$��� ��� ���

�� �������������������%��� ����������� �����

�� &'���������������������� ����

�� ��� ����������������������������������

��� �����������������$���� ���# ���

�� (�����������������������

�� (�����)��������

�� *�������������������������� � ����

��� ���������! ���+"����������$��������# ���

�� ����������������������������������� ����������+!������ ���

�� ��� ����,�� ��������������������� ����

���������������

Page 55: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

�����������

� � � ��

�������������������������������

��������������� !"#��$%&"!'(#

������)��*�+! $",-�)�$.$/ $"���-�)+!'$"����-

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�%������������%������������& �������

���� ��������������� ����

���������

��� ������������������ ����������� ����

�� ��������� ���������������

�� � � �� ��� �������������!�� �� ����

�� � � ������ ���������"������������ ���

!� #�� ��� ���!��������!�����$����� "!��#������%

�� #�� �!����"� �������&� ��������� ��%

�� ������'(�� ��)�

�� #��� ���� "!�����!���� �������������������������"�%

�� ������*��� ���

��� ���������+����,-���� ������.����(���� ���

�� /0�������������1���"����������� ���

�� #� ��������� ����������������� � ����������!�� �� ����

�� #� ������������� ��������� ���������� "!�����������

�����

Page 56: Laplace Transforms and Fourier Series

���#� ������ ��� ������.����(���� ���

�� 2����� ����(�� ���

�� 3�!���� �� ����!"����,45,�#���

�� 6 � ������� ��������������

��� ���������,7����-���� ������.��������� ���

�� /0����� ���"��������8��� �� ������ ���!"��������� ���0� �����

�� /0����� ���8���"�� ������������� �����

�����

�����������

Page 57: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

������������� ������

�������������������������������� ����������� !"�#$#%���#$� &%

��'����($�� #�)�'� ! *� #���)�'($" #�����)

����������� � ���������� �����

�� ������� �� �� ������� ��� ������� �� �!�

�� "�#��� ����$����#$����%������&�������� �

����� ��������������� ����

���������

��� �������������� ������������������ ����

�� ����������������������

�� ������������������������������������

�� ������� ����������� !��������������������������� ���� �

� "���� ����������"� �!��� ���������#����

�� �������������$����������

�� ����������������%�������&��

'� ����������������(������������'��

�� ������������������������)�*���$���

�������������+����,-����������������.���������� ���

�� /���"� �!��0���������0�������������������������$��������'��

�� ��������������&�������������������'��

�� 120�������������������'��

������

Page 58: Laplace Transforms and Fourier Series

������������������������������������������������

������������������������.����������������������������������������������������������������������������������

�� (������3�0������

�� ������3�������������

�� ��$���0����������������������'������������ �

��� ���������,4����-�����������.��������� ���

�� �������������#�������������

�� 5�������6�6 ���� ��������� �������� ���� ��������������1�����������������������������'�7�����������������������

�������

Page 59: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������ ������������

����������� ������

������������������������������������ �!"#����$ $%&'

�(��)�*!%%&+",(�&-���.+$&,(�&'&$%&+��,�(�*!/&+��,

���������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������� �%� ������&��� ��� ��%�����'���'����(������� ��#�)� *�&��� ���������&������������+� ����� �

P995 ���������������������

SEAT No. :

��� ��������������� ��� ������� ��������� ����

�� ����� ����������������� ��������

�� �� ������� � �������� ��

�� � ����������������� ������� �����

�� �� �������� �!�

�� ����� ��������������� � "�� ������!�����

� �� ��������!����

�� ���� ��������� ���!������� # �!$

�� % #���������� ����&������� �����������

� �� ���&�!�����!��

'� % #��������������� �#�� #������������ ���

���� � ����������������(��!����� ����

�� )�������������!��������� � �!�

�� *��!�������������� ��� ��

�� ����!� ��������������� ��������� �!�

������

Page 60: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

�������������!�������������� ��� ����

�� ����� ������������� ����������� �� ��� ������ ��

�� ����� ������������ ���������� ��

�� ����� ��������������������� # �!��������������

��� ����������!������������ ���+���� �� ����

�� ����� ����������! �������� �!�����!������ ����� ��������������

�� ����� ������ ������������������������ �������� ����� ����

���������

Page 61: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������ ������������

����������� ������

�������������������������������� �!��"#$� �"#��%" &'�(��)"*

��%�&"+"%�,��-�.���" %/�,�"0��$� #"/�,�"+"#�" ����/��,.�1" ���/

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� � �!�� ��� �����#��!�� ����� �$� %�������&��� ��� ��'�����(���(����)������� ��#�

P996 ���������������������

SEAT No. :

��� ����������� ��������� ����� ����

�� ������������������������� �����������

�� �����������������������

�� ����������������������� �!� ��������"�����

�� #�!������$��� ���������� �������!�����������

�� �������������������������!������ ������������������

�� ���������������

�� #�!��������������%� �&�������

� ������������������'��� ��������

�� (� ������������������� ���������������

)� *�� ��� �����

������������������������������������ ������ ����

�� �������� �����������$� �������+��������� ����� ��

�� ����������������������������

�� #�!�����������������������#���� �����

�� ������������ ���������($� ��������������� �����������!������������������

Page 62: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������������������� ������ ����

�� ($� ����������� �� ���������������(������ ��������

�� ($� ����������������������������� ��� ���������������� �,�����������������

�� ��������� � �����($� ����������������!������������� ���$��� ��

�� ($� ����������� ����������-�������,����������������� ���������

��� ����������������������� ������ ����

�� #�!���������������������#������ �(������

�� �������������������� ����������($� ����������� �������������� ���������������� ���$��� ��

���������

Page 63: Laplace Transforms and Fourier Series

������������ ������������

������������� ���

����������������� !"��#����!$�$%�&�'��'

�(��)���!$����*!+�'!,���!-!'�!$�����

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

���� ���������������������

��������

��� �� ������������ ��� ���������������������� ���

�� ������������� �������� ��� ������ ���� ����� � ��� �����������

��� !����������������������������������"���#�����������"���������������"���#�����

�� ������������ ��� ���������������������� ���

�� �����������"����������� ����� ���������������������"���#����

��� !���$��� ����������� ����������������������������

��� �� ������������ ��� ���������������������� ���

�� !���������#�$����$�%�����������������&���"����

��� ������������"��� �������� ��������������� '����������� ��������������(�)����� *� �%�

�� ������������ ��� ���������������������� ���

�� ��� ���� ��� ���� ()�����% ���� ��� ��� ���� � ��� ����+���� ������� �����

��� ���������!�*�� ����������������� ����(�)����� *� �% !��

������

Page 64: Laplace Transforms and Fourier Series

��� ��������� �"�� ��� �������� ����

�� ����������� ��������������������������������������� �������������$����

�� ,�����---- �������������� ����� ������������

.)������/ ������

��� ��"������������---�����.0��������/0����������

�� 1����������$������������������������������ ����������������

�� 2�"�������"����������"��3�%������-----���

��� !���������������������,�%�----�

�� ����������� ����45�� ��������������������������

� 5

�� ������ �������

��� ��$� ����

���� ��"� �������

�"� ��� ����� ������

�� ������������������������� ������

�� ���"����/���������

��� ������������/��������������

�� 3� ����������������� ������������� ���������$���������

�� )�������/)��������

��� )�������/)��������

� ������ �������� ���� �� �������� � �������$������������ �����������

�� ,���$��������������� ������------.������

��� ,��"��-----����.������

����������

Page 65: Laplace Transforms and Fourier Series

��� ���������&�� ��� �������� ����

�� 6�����������������7��----.�������"����

.���������� ���� ���"�����"���������$���

�� &����������������7�����---.�������� ���������

.���������� ���� ���"�����"���������$���

�� &�� ����� ������������$���� ��������������

.����������������������

�� �������������������"�������� �����$������������ �����

.�����������������������

�� 5������������������ ����

.�����������������������

� &����������$������� ���

.��������������������������

�� ����������������������"�������

.�������������������"��������

�� ��������7������7����������8

.�����������������"��������

�� 9�����������$�������

.���������� ������"��������

+� &����������� ����� �������

.5����������������(����%����������

$� 0���� ��������������������������"�����������

.���������������������

�� &�� �����"��������$�����������������������������

.�������������"�"�����

�����

����������

Page 66: Laplace Transforms and Fourier Series

������������ ������������

������������� ���

����������������� !"��#����!$�$%�&�'��'

�(���)���!$������,���!-!'�!$�����

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

��� �� ������������ ��� ���������������������� ���

�� !������������� ���������������������������� �����������7(&��0�7���)����������0����%

��� !����������������������������������"���#�����������"������������"���#�����

�� ������������ ��� ���������������������� ���

�� !���������� ������������������������

��� 0�������������:������������������������� �������������������� �����������

��� �� ������������ ��� ���������������������� ���

�� '������������ ������ ��������(����� &��%�

��� 5�������������������������������%����������� ��������������������������� �������� �����������

�� ������������ ��� ���������������������� ���

�� �������2��������������)�����%����������� 6���0����

��� !��������#�9����$�%��������������������"����

����

Page 67: Laplace Transforms and Fourier Series

��� ���������1�"�� ��� �������� ����

�� ����������� ��������������������������������������� �������������$����

�� ,��� �� ��� �� ��� ��������� ���� � ���� �������.�������7 �������

��� ���������������"�����������.������7������

�� ����������� ������5�� �������������������������

� 5

�� ���� �����

��� �������� ������

���� �� ��� �������

�"� ����� ���������

�� ������������������������ ������

�� ��"����"�������/��$����"��������

��� �����������/�����������������

�� 3� ����������������� ������������� ���������$���������

�� ��������7���������

��� � ���7� ����

�� )��$������������������� �����������������

�� �� ���;������7�����7�������

��� �����;�����7������7 ������

� ����� ��������� ����������������������$���� �������� ���������

�� ,+�����%������"��������&����������������.�����"�����

��� 0����������������"���������������.�����

����������

Page 68: Laplace Transforms and Fourier Series

��� ������������ ��� �������� ����

�� ��������������.������������������ �����

.<��������� ���� ���"�����"���������$���

�� 2�+�������.���$�������� ���$�"�������

.<��������� ���� ���"�����"���������$���

�� 5������7�����%���������������

.�������������������������

�� 1���� ��������������$��7����������������� ����� �����

.���������������������

�� &���=������������������������������������ ��������

.����������������������

� !�����������������

.��������������������������

�� ,����������

.�����������������"��������

�� >�������� ���������������

.�������������"�"�����

�� ���������������������������

.����������������"��������

+� &�������������������7?��������������������@

.�����������������������

$� &��6��������������������������

.��������������"��������

�� 9�����������$�������

.��������� ������"��������

�����

����������

Page 69: Laplace Transforms and Fourier Series

��������

����

�����

���� ��������������������

����� ���������������

������� � �������������� ���� � �� ��

������� �� � ����

������� ������������������� ��������� ��������

������������ ������������������������� �������������� � �� ��� � �� ��������������� ������

�� ���������������� ��!"������

� ����� ������������ ����������������������������������������� ���� ! "#���$���%����&�����'(��)�! �#���*�+��+����(,����-����� �.�")�! +��/�����0.�����+�1��� ��$��

� ����� �#2�����������34��%��56������������������� ����7.�������"����+�����8������/��9��� ����������9���:��;+���%���<�%���=���>��

?���7��@� �� �*�=A��8�����B��C��+��#������.�*���������� �����&�����"���������� ���)�

� ����� �D���������E��� ���������! ���� ! ��&��"F(��%��������! ��&�����'(�������%������GD�>��! .��������H&��� �� �5�>��*A�! ���I�� � �� �+�����0���JI! .����%�� ����@�K��������+��.�.�����%�����*���L! ��0�����%��:��;����

���

Page 70: Laplace Transforms and Fourier Series

������

������ �� ���������� ���������������������������������� ������ ���

�� �!�����"��������#$�%�����

��� �������&'����&()��

���� ���������*+���������,��

��� ����������-.��-�/��#�

�� �0��*+1����2

��� �3�&�����������

���� #�45+1+&6��789�����*:�-�

����� �,+��/�()�����

��� ���������4#$�1+���!���,���;�,+�������,��<�1� ���

�������� ������ �� ��� �� �� ������ ���� �� ������ ���� �������� ���� �� ��� � ��� ���� �� ����� ������ � ����� ������ ��������� ��������� ���� ��� ������ ������� ��� �� ���� �� ������ ������ ������� ���� ��� ��� ����� � ����� ������

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � �� �� ��������������

���������������

�������� ������������ � �� ���� �� �����

����� ����� ��� ����� ���� �

����� ����� ��!"���# ������������������ ��� ���������������� �� �������������������

�� ������������������������������ �!�"����#�

���� ��������������� �����

Page 71: Laplace Transforms and Fourier Series

��������� �

������ �� ��������#=���%��< 4,*8>��?����<�1� ���

7 ���*�@���&A�+��� ���+��������2 ���8&�B"�+�C8�����,��.,��&DA���B�����(E�1�+

�-��

FF��&���#����1��,G/HI�����I&J�K�+��2�"J�'�+����'�0I����#�"������1&�'��5����+I���<�IE��L�M������N��/��#� OO

��� ��������&=���%��< 4,*8>��?����<�1� ���

1#&+�(E��2��,P� �

1#&+�(E����� �� �

����1#��/BM�1���

,P� �� ���2 ��,P� �

������ �� ���������� �������,��Q9������RS������� ����

�� �����,������F 4T�3�����/���O��� ��������2U

��� /2�H��4�1���V��TM�+���+�����,��<�1�

���� ����&����4'%��� Q����&���1���2U

��� ���������� �������,��Q9������RS������� ����

�� ����������5����<���� ��,������"'%��� Q����������2

��� �����,��������� ��� A���� 4���������2U

���� F���+,P/8������,P��������������#�O.�� ����������������2U

���

Page 72: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������� ��������������������������������

������������ �������������������������������������

�����������Girvanabharati� ��������������

����������� � ���������� ����

����������� ��� ������������ �������������������� � �� ���� ������ ����

� ������������������� �������� �������������� ���� � ���� ���� �������

����� ��������������� �����

��� ������������� ��������������������������� �������������� ������������� ����������������������������� ���������������������������������������������������������

��������������������� ����� ���� !��� ���� " ��#��� ��� �$���� ������ ����%� ��� � ������� ��� ��&'����� ��%

�� ��������������(���������)�$��*����%��)�$�������+������(��������� !��%

�� ������������������������������,��� ���,�� ����+����-�. /�����$�������

�� ����������!����!������"�#��$01�2������� �������������������

�� �����������������������������!� ��#������!����� �%����������&��, ��������3����,$���"��45�"�6������� ���"�7 8��"�8�����9#���������%

�� ��������������������������������,:)8;<����,:)8;=����7> ?�������5������ ��%

�� '(������<5���$����*�05��*�0����*=<5���$����*�05��*�0����*=�@�'�������

� )��� �����(��+�$�0�7A$��?�������#���+�$�07A$��?������ !���7 >?��4��B���������%

���������

Page 73: Laplace Transforms and Fourier Series

��������

� � ���������������*��!�� ��� ���

" �CD�E�����������F���� !���������G

�� "���)��

�� ������*

�� "�� ������,���)�������7H��*I

��� ���������������*��!�� ��� ���

" �CD�E�����������F���� !���������G

�� ���"�45�

�� ,������,:)8;

�� J"�����

��� ��������!������������ ����������������+,��-������$ ���

�������-��2����� !�����K��������������+,��-�������������

�� .��������!������������"!�����5�:�����?�

"!�����5�:�����?�����"7>� ������

�� .���������#�������������*����<L����7>��"!$�*=

<L����7>��"!$�*=������6����������������M��1���. ������

���

Page 74: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

��������������� ������

����������� ����������������������������������� ��!

�"���#$����%������������ � ����������������������� ������

#"�&

��� ������������� ��������������������������������� ����

��� ������������������������������������������������� ����

��������

�����

Page 75: Laplace Transforms and Fourier Series

��������� �

�� ����������������������������������������������������� ����

�� ������������������������������

�� ���������������������� �����

�� ������������� ��������

�� ���� ��������������� ���������

�� !���������������������������

�� "�������������������� ����"� ��

�� #������� ������� ���#�����

� $�������������%������������� �

��� &�������������������������������������� ���������� ����

�� '� � ��

�� (�������

�� $��� ��

�� ����

�� )�����

�� ��������

�� "��

� ����

�� *����

+� ������

%� ,�- ��

�� $����

� '�������

�� #����

�� .�����

�� $����

���

Page 76: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

������������� ���

������������������������������ !�����"� ���##����$�%�� ���#������������ !�

����������� � ���������� �����

P1001 ��������������� �����

SEAT No. :

�����

Page 77: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������ ������������

����������� ������������������

��������� !"#$%���� �&"�'��(�������)*+!����!&,)-�����*!��.!/-��)**!��*�-01)�������

!�'��!/���)-��!!��)1)*�)-���!�/�,)-���

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (�������%��� � �� ��)�����*�*����+������� ��#�

����� ���������������������

��������

��� ������������ ������� ���

�� �������������������������������

�� ������������������

� �������!��"������ �

�� #������� ��������� �����$

�� #����������������������

�� ��������!�%�����������

�� #�������&%������������'���� ���������

� ����(� �������� �

��� �����������)#*�������� ������ ���

�� #�����������������+����&��� ����

�� ��� ��������� ��������� ��% ��������%�������������������

� ��� ��������������������� ��������������

������

Page 78: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

��� �����������)#*�������� �����, ���

�� -&% �������������������%��� �% ������������������ ������ �� ��������

�� ��� ��������������������%������������

� #��������������%�����������

��� ��� �����.�� ������/�� ������������������ ����

*'

-&% ���������������� ��0����������%�������

�����

Page 79: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ���������������� �������� �!���

���������� �������������������������������������������������"��#���$%���$&$'�$%������#�($%���

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� � �!�� ��� �����#��!�� ����� �$� %�������&������ ��'�����(��(����)������� ��#��� *�&��� ���������&������������+� ����� �

����� ���������������������

��������

��� ����������� ����� ���������������������� ����

� �� ������������

�� ��������� ��������� ��������� ���!�

� "���������������� ���������#

$� %����������� ��������� ��!��������� ���!�

�� "����������������������#

� �� ��������

�� ������������������� ����������������������&�'��������

�� "���������� �������� ����������'( �#

�� � ������������ ���������������������������������������$���� �������� �

)� ��������������� ���� ���� ������������ ��� �����������

����"���������������������'�*���� ����� ��������� ����

� ���������������

�� ��� ��� ���

� %!������������

������

Page 80: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� ���� ����'�*���� ����� ��������� ����

� "��������������������� �������� ����&�'�������� �����������

�� "���������������������� �$� ������� ���������#�%!������������������! �����

� %!�������������������$� �������� ���$���� ��������� �

��� "�������������������#�%!��������$������������&�'������������������������ ����

+,

"��� ���������������#�%!����� ���$����� ����-�.��������������$�������������

�����

Page 81: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

����������� �������������������

������� �� �!� "#$���$�" %����#"&�$�'�������(���)*�+(,-��*��.//��)�!��*�����)��$�0�������.*�����.1./�.*���$�����+.*���$$$�

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ��������������������� �����!

"� #��$������������%��������&������$����'�����������!

(� )�&��������������&������������*���������

P2203 ��������������� ����

SEAT No. :

��� ����������� ������������� ����

�� ��� ����������������� ���������� �����������������

�� ���������������� ������������������ ������������� ����� ����� ��� !���� ������ ����������� ����� ��������������������� �� ���� ����

�� �� ��������������������"#$%%���&�'�($)�%��!�������������

�� !�����������������������������������������������*� ����� ����

�� + ����������������������������� �������������� ����

�� !�������,+-��������� �������������������������� ���������

�� ��� �����������. ���+�������/�����

� 0�������������������������1�����������$��� �� ����

������������2��*!-�������� ������ ���

�� 3����������� ���������������������� ��������� ���������������� �������������� ���4��������� ������� ���

�� 3�����������������1� ����� ���������������

�� 5������� �� 6����7� ���� 6+��7� ��� ����� ��� ������������ ����������

�����

Page 82: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ��������2��*!-�������� ������ ���

�� 3������� ���������������������������������������������

�� 3����������� ��������������������� ��������������������������������� ���������� ������� ��� ���� ��� ���$��/��������������� ���� ����������

�� ��� ������������8��$ ��&�.� $ �������9��1$ ������������������ ���� �����$����4�������������������������������������

��� !�����������������2��*!-�������� ������ ���

�� :�������� ���/������ ���������������

�� ���������� ���������

�� ;���� ����

�����

���������������������������������������������

Page 83: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

��������������� ������

����������� ����������������������������������� ��!

�"���#$����%������������ � ����������������������� ������

#"�&

��� ������������� ��������������������������������� ����

��� ������������������������������������������������� ����

��������

�����

Page 84: Laplace Transforms and Fourier Series

��������� �

�� ����������������������������������������������������� ����

�� ������������������������������

�� ���������������������� �����

�� ������������� ��������

�� ���� ��������������� ���������

�� !���������������������������

�� "�������������������� ����"� ��

�� #������� ������� ���#�����

� $�������������%������������� �

��� &�������������������������������������� ���������� ����

�� '� � ��

�� (�������

�� $��� ��

�� ����

�� )�����

�� ��������

�� "��

� ����

�� *����

+� ������

%� ,�- ��

�� $����

� '�������

�� #����

�� .�����

�� $����

���

Page 85: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ����������������

������� �!" #$" ��%�&��$� '�"#�(&(� "�(�&���)�*)��+,,�)�%�(��+)-����.��+�/��01+,����*+)�(����2��3�����+)���+4+,�+)�(�

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

����� ���������������������

��������

��� �� ����������� ������ ����

�� ���������� ������

��� ���������������������� !�����"���������������������#�$%���"&

���� '���(��������������"�(� ��������� ��(�� �% ��

�(� ���������������"�����

%� ����������� ������ ��� �

�� �������$�������������)*)+����������

��� ������������&'���"���������������$��,����

���� ���"�$������%$��� -������������&

�(� '���(������.��������������$��,����

��� ���������$��������� ������ ��� �

�� ����������������������-����/����������&

%� �������-&01� ������,�������$����$������-&

�� ������������2��������"2�1������"����������������)*)+����������

������

Page 86: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� ���������$��������� ������ ��� �

�� '��� ��� ���� ���������� ��" �1� ��� �������� �� ��$ ��� ��� ���� ����������

%� ��������������&01� �����������������������%�����

�� �����������������3�2�

��� ���������$��������� ������ �������

�� ��������������������������% ����� � ����&��������"�������1� ���,�$%���"������������2��������������

%� �������-&�����"���������$�������-�01� ������,�������$����$������-�

�� ����������������2�&01� ����2�-����� �������������������"�������

�����

Page 87: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

������������ ������������

������������� ����������������

���������� �!����"������#��$��%&'�(�))(�*'�(+�������#��,�*���)'�����)-).�)'�"���*�/)'�"�

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

���� �!�� ��� �������"� �#����$�%��� ���������%������������&� ����� �'���(�������%��� ��� ��)�����*��*����+������� ��#�

����� ���������������������

��������

��� ��������������� ��� ����

�� �� ��������� ��

�� ������������������������

�� �� ������ ����

�� ����������������� ����

�� �� ���������� �� � ���

� �� ������� ���� ��� ������������������ ������ ��

�� ����� ���!�� ���

�� "�� ���# ��������$ ������ � � ���

� ����� ��������� ����������� � ���

%� �� ��� ������� ���������� ��

��� �����������&�'��������� ��� ����

�� "(��� ����������� ����� ��������� ��

�� )�����������!��!�����������

�� "(��� ��*���� ����������� � ���

������

Page 88: Laplace Transforms and Fourier Series

�����������

��� �� �����������+����&�'�� ����

�� &��������� (���

�� ���!���"����!��� ��

�� ,����� ���� �������������!�� ��

��� * ������� �������!��������� ����������!�� �� ������� ����

'-

* ������� �������!��������� ����������!�� �� ��.�%����

�����

Page 89: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

������������ ������������

����������� �������������������

��������� !�"�#�$��$!$% �����$#�����"�#���&���'(����')��()�*�)���+�$,('�����

���-�.���('�����.�,('�����(/()�('���������0(�'1�

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� � �!�� ��� �����#��!�� ����� ��� (��)������ �*� ������%��� �)����+������� ��#�,� - ��&� ������&����� �� ��� �� �� )���

����� ���������������������

��������

��� ����������� ��� ����������������������������������������������������������������������������� ���������� ����

� �������������� ������������ ������������������

�� �� ������ ������������������������������

� !������������������"�"����������������� �����������������######�

�� $�������������� ����������������%������ ����������������������

�� ���������� ��� ����������& ���������������������������� ������&����

�� '��������!�������%�������������

&� �������(������� ������������������)���� ��*��������

�� +�������������",

�� ���������������������&��"��������������&��������� ����� ���&�������������-.� ���������

/� 0 �������&��������������� ���&���������������������������(######

������������(�.������������������&� ����� 12"������(3��������������������3������������%��������"���������� ��

����� � ���������%������� +�����������"�������&��3��2"��������������������������"�������"�� ����

�(��� ��������"����������"��"��������"������� '�&�������(��2"�����(������� ����������������%�������

������

Page 90: Laplace Transforms and Fourier Series

����������

��� ��������(�.������������������&4 ����

� $������� ����������������������������� ���&������������,

�� +�������������������).����� ��������������������"�����*�

� $����������������� �������������(��������,

��� ��������(�0������������������&4

� 12"���� ���� ��� ��������������������%����� ���� ��� ���� �������������� ���(� ����

�� '��������"�������"������������������&������������3���������������� � �� �� ���������������"��������

�����

Page 91: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

�����������

� � � �� �������������

���������� !�"#$%���������

�&"��'�'�(����)*�����+)��,--���./-�)�,-

�������'����+���,)�����,0,-�,)������+�1,)�����

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�%������������%������������& �������

'� (�������%������� ��)�����*��*����+�����������#�

����� ��������������� ����

���������

��� ����������� ������ ����

�� �����������������������

�� �������� ������

�� �������������������������

�� ������ ���������������

�� �����������������

�� ���������� ����������������������� �����������

�� ����������!�� ����

� �������� �������������� �

��� ��������������������� ������ ���

�� ���������������������������������� �

�� ������������������������ ���������� ������������

�� ������� ����������� ���������� ��������

�����

Page 92: Laplace Transforms and Fourier Series

������������������������ ������ ���

�� ���������������������������������������������������������

�� ������������������������� �� �����������

�� ���������� �����������������������������

��� "!� ������������� � ����������������������� �������� �� ���

#$

�����������������������������!� ������ ������������

�����

��������� �

Page 93: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

����������

�� �������������������

����������� �!

"#�$��%�&����'(

�������)��*�+���%"�����%,%-�%"������+�.%"�����

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $��%���������� �&� ������'�����%����(�����������#�

)� *�'������������'������������+ �������

����� ��������������� ����

���������

��� ��������������� ��� ����

�� ��� ���������������� ����������������

�� ��������������� � ���������� �! "���#������

�� ���������������"�����

�� ����� ���������� ��

�� ����� �������������� ���

� ! "��������� ������������ ��� ������������������

�� ! "���#����������������� ���"������

�� ������������������������� �� ����������

� $��� ������������ �"�"��� ��%&'�

(� �� ������� ���

��� �� ������������������������������ ��� ����

�� !��� ���

�� !����� ������

�� ) ���*�� ���������������� ��

�����

Page 94: Laplace Transforms and Fourier Series

������������������������� ��� ����

�� ����� �������������� ���������������+���� ���

�� ����� ��%&' �$��� ������� ���������� ��� ����%&'�

�� ����� ��������������������������� ���

��� ����� ��� ������ ��,�&�����-�&����� ���"������ ����

.'

����� ��������� ����! "�������� ��������������������� ��������������������������������� ��� ����������� ���

�����

����������������������������������������

Page 95: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

������������� ����������������

������������ ��!"#���#!�$����"!%�#�&�##'(�)�*+����,��-����(,���,���)��(�)�-�.�/+)��

��0��1�����+.����+*+,�+.���#�

�Time : 2 ������ �� ���������

�������������������������������

�� ��������������������� �����!

"� #��$������������%���������&������$����'�����������!

(� )�&��������������&������������*���������

P2204 ��������������� ����

SEAT No. :

��� �������������������� ����

�� ������������������������������������ ���

�� ������������������������ ���

�� ���������!�"��������������� ���

�� �� ������������������������������������������"������ �#� ���

�� �������������������������������� �����������������������������

�������������$%�&�'�������� ����

�� (��������������������������������)��*������������������������������*��������� ������������������������������� ���

�� +*�������������������������,"������ �#��� ������������"������ �#����"��-.��/��������"���������������� ���������� ������������������������-�#01���������#�����������������-2� ���

�� ������������������������������������������#�������������������������������������������#���������������������������������������� ���

�����

Page 96: Laplace Transforms and Fourier Series

�� ���������$%�&�'�������� ����

�� 3���������������"������������������������ ����������)� �������������������45��)�65�������4��)���������"�������������"��������������������������5�-2-� ���

�� ����� ������������������#����)��*������ ��������������� �#��������������������������������#� �����"���������������� ���

�� �������������������������������������������������� ���

��� ����������$%�&�'�������� ����

�� �� ������������������������#������������*������������������������ �#������������������������������������� ���

�� �����������������������#����)��*����������������������������������� �������������� ����� �������#��������� ���� ���� ��"�������� ��������"��������������"������������������������������#��� ���

�� 7�����������������-�������������������#������.55���8����&�������� �������������������#������45����3���������������������������������#��� ���

�����

����������������������������������������������

Page 97: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

�����������

� � � �� �������������

��������� !���"#!$%� ��%&! �� & ����!!����%�

��������%��'�'�(�&)*�����*+��,��--��+��.)�/0+����&

�������'��1�$���+2�����+0+3�+2��!���$�/+2��!!�

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�%������������%������������& �������

'� (��)���������%�����)����*�����������#�

����� ��������������� ����

���������

��� ����������� ������

�� ������������������������� ���

�� ������������������ ����������������� ���

�� ������ ���!�"�#������ ���

�� ����������������� ���

�� $%� �������������&'()*��'()*���()*�'(�� ���

�� ��������()��+�,����������� ������� ���

�� �������������������� ����-� ���

� ������.�/! �&������� ���

��� �������#����������� ������

�� ����������������$%� ����������-������������������������ ���

�� '���������������,���������� ��$%� ���������������������������� �������� ���

�� ��������������0)& 1����������������()��� �����,�������������������()������ �����2����� ���

�����

Page 98: Laplace Transforms and Fourier Series

����������#����������� ������

�� ������.���#�����'�������� ��-����������$%� ����������-���� ���

�� ��� ���� �������� ��� ������ ��-�������� �����,����'���� ��� � ��-���������$%� ��������������� ���

�� '������� ��-������������/�'�()3���������������������� ����()3�"(�������� ���

��� �� '����������� ��-������������ 3���()��� ����%� ��������������������� ��-� ���

�� ��������()��'�������� ��-����������+�,�������� �������� ���

4"

�� +�,������������������� ������������������)��#������$%� ������#����������������� �� ���

�� $%� �������������������������������'�� �#����������������������������� ���!�"�#�� �#��� ���

�����

������������������������������������������

Page 99: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

������������� ��������������������

������� �!" #$" ��%�&��$� '�"#�(&(�� "�(�&��)*+�,-��./�,)�����0,),��

�&,1���+-/,���2��3�����,-�����,),/�,-��(�����*,-��((�

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� ���� �� �!�� ��� �������"� �#�

�� $�%��� ���������%������������&� ����� �

������ ��������������� ����

���������

������ ������������ ������� �����������

�� ��������������������������

��� ���������������� ������������������������� !

���� ������������������������������������ �

��� ��������������������������� ����������������������������!

"� ������������ ������� ���������

�� ��������������������� �����#����������������

��� ����������������������" ���������������� !

���� �������"�������

��� ����������������"��������������������� �����

��������������������������� �������� �����

�� $% �������������������������������"������������������� �����

"� ������������������������������������������������������!

�� ������������������������������������������ $% ���������������������������� ���

������

Page 100: Laplace Transforms and Fourier Series

�������������������������������������������������

��������������������������� �������� ������� �����������������������������������������������������������

"� ������������������������&���������� ���!

�� $% ����&��"�����������������" ��������������������������������" ��������!

��������������������������� ������� �������� $% �������"������������������������������������������������� ����

��� !

"� �������������� ����������'��������������������" ��������!�����������% ���������� ��� �����������" �������������������!

�� ����������������"�������������������������$% �������"���������������������������������������������!

�������

Page 101: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� ����������

�����������

� � � �� �������������

������������ ! "���##

�� �������$�$�%��&&'��&(���)

�������$��*�+���&,�����&-����&.&(�&,��#���+�/&,��##�

������������� ���������������

����������������������������

�� � �!�������������" ��#�

�� $�%������������%������������& �������

'� (�������%���������)�����*��*����+�����������#�

����� ��������������� ����

���������

��� ����������� ������ ����

�� �������������������

�� ������������������� �������� ��������� ����

�� ����������������������

�� ��������������!�"

�� ��������������� ����������� ��������� �����

�� ��������������������������������������� ���������� �����

�� ��������� ������� !����"

� �������������� ����� �"

�� �����#���� ����� ���"

$� �����������!���������

��� ��������������������� ������ ����

�� �����������!������������������������ ���

�� ���������� �������� ��������������� ����

�� %&� �������� �������������������� ���������

�����

Page 102: Laplace Transforms and Fourier Series

��� ������������'�������� ����

�� ���������!��������

�� (�)����

�� *���!��������

��� %&� ����������� +��������� �������� ���������,!�������������������������������� ����

(-

%&� ����������� ���������������� ����

�����

�������������������������������������������

Page 103: Laplace Transforms and Fourier Series

������������� �����������

������������ � � �� ��������������

�������� !�"�#�$��$!$%������$#����"�#�&�&�'���())���*���+�,(��)--�$.��/�0�����

�&��1�,���)(�����2)�(3�����)/)-�)(�������,�.)(�����

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� ���� �� �!�� ��� �������"� �#�

�� $�%��� ���������%������������&� ����� �

'� � �!�� ��� �����#��!�� ����� �

�� (��)������ �*� ������%��� �)����+������� ��#�

,� - ��&� ������&����� �� ��� �� �� )���

������ ��������������� ����

���������

��� ������������ ������������������������������� ����

� ������������ ������ �������

� ���������������������������������������

� �������!������"����#

�� ��������$������

�� %�������!����������&���������������������'���������������!�

�� ��������(�������

&� �������������'� ����!#

�� ��������������#

�� %�������!����������'�������������'���������������!�

)� *'����������������!��'������� ������

������������!�+������������������&�� ����� ����������������������������� ������&������������& � ����&����������������,�����������'� �����������������������������

������� -�����!.��/��������������'��������&!�������'���������������

����'�"�����������'������������������

������

Page 104: Laplace Transforms and Fourier Series

��������������������������������������������������

���� ���������������������!�+������������������&�� ����

� �������'���0�'����

� 1������ ��'������&��

� 2� ����������������'��������'����

������������!�3������������������&�� ����

� �������0������'������������ ����&���������������������������� ���,'�����

� %������0������'�����������������������������,��������'������%,�����!�����'�����������������

�������


Recommended