SOLUSI LATIHAN 4.3 HALAMAN 119
1. a) Semua vektor yang berbentuk (a, 0, 0)
Misal V1 = (a1, 0, 0) V2 = (a2, 0, 0)
W = V1 + V2 = (a1 + a2, 0, 0) terletak dalam W
- kV1 = 0,0,0,0, kaak terletak pada W
Jadi W sub ruang dalam R3
b) Vektor yang berbentuk (a, 1, 1)
Misal 1,1,11 aV dan 1,1,22 aV
2,2,2121 aaVVW bukan vektor dalamW
Jadi vektor yang berbentuk (a, 0, 0) bukan sub ruang R3
c) (a,b,c), dimana b = a + c
Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c)
ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2)
U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi
Ambil k skalar k U = k (a1, a1 + c1, c1)
= ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi
Jadi sub ruang R3
d) Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1
Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c)
ambil U (a, ( a1+c1+1), c1)
),1,( 2222 ccaaV
21212121 ,2, ccccaaaaVU
Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.
Adalah vektor (a, b, c)
2. a) Semua matriks yang berbentuk
dc
ba ; a, b, c, d Z
Ambil
11
11
11
11
kdkc
kbkaVk
dc
baV untuk k bilangan bulat 1ka ,
1kb , 1kc , 1kd Z
bukan sub ruang
b) Semua matriks yang berbentuk
dc
ba; a + d = 0
Ambil
11
11
dc
baU 011 da
22
22
dc
baV 022 da
02121
2121
2121
ddaa
ddac
bbaaVU
= 2211 dada
= 0 + 0 = 0 memenuhi
kU 11
11
11kdka
kdkc
kbka
= 11 dak
= k (0) = 0 memenuhi
Jadi merupakan sub ruang dari M22
c) Semua matriks berbentuk 2 x 2 tAA
A
dc
baA
dc
bat , supaya
bcAA t
Ambil
11
11
1dc
baA dimana 11 cb
22
22
2
dc
ba
A dimana 22 cb
2121
2121
21ddcc
bbaaAA 21 bb = 21 cc
11
11
11
1 kckbkdkc
kbkakA
memenuhi
Jadi merupakan sub ruang M22
d) Semua matriks 2 x 2 0)det( A
Misal A
dc
ba, supaya 0)det( bcadA
Ambil
11
11
1dc
baA 01111 cbda dan
22
22
2
dc
ba
A 02222 cbda
2121
2121
21ddcc
bbaaAA
= 21212121 ccbbddaa
= 1221221121122211 cbcbcbcbdadadada
= )()()()( 2121121222221111 cbdacbdacbdacbda
= 0 + 0 = 0
= 021211212 cbdacbda (tidak memenuhi)
Jadi bukan sub ruang dari M22
3. a) Semua polinomial 3
3
2
210 xaxaxaa Wa 00
Ambil p dan q merupakan polinom-polinom yang terletak pada W
3
3
2
210 xaxaxaaxp 00 a
3
3
2
210 xbxbxbbxq 00 b
3
33
2
221100 )()()( xbaxbaxbabaxqp dimana
00000 ba memenuhi
3
3
2
210 )()()()( xkaxkaxkaakxkp
00)( 0 kak memenuhi
Jadi merupakan sub ruang dari P3
b) 3
3
2
210)( xaxaxaaxW 0, 3210 aaaa
Ambil xp dan xq pada W
3
3
2
210 xbxbxbbxp 03210 bbbb
3
3
2
210 xcxcxccxq 03210 cccc
3
33
2
221100 xcbxcbxcbcbxqp
Kita selidiki
033221100 cbcbcbcb
000)( 32103210 ccccbbbb memenuhi
Ambil skalar k
3
3
2
210 xkbxkbxkbkbxkp
Akan diselidiki apakah 03210 kbkbkbkb
0)0()( 3210 kbbbbk memenuhi
Jadi merupakan sub ruang P3 (W)
c) 3
3
2
210 xaxaxaaxp Zaaaa 3210 ,,,,
Ambil k = bilangan pecahan
3
3
2
210 )()()()( xkaxkaxkaakkkp
sehingga diperoleh 0321 ,,, kakakaka tidak semuanya Z
d) Polinomial xaaxW 10 Raa 10 ,
Ambil xbbxp 10 , Rbb 10 ,
xqqxq 10 , Rqq 10 ,
xqbqbxqp 1100 ; Rqb 00
Rqb 11
xkbkbxkpxpk 10 , Rkbkb 10 ,
Jadi merupakan sub ruang
4. a) Semua f sehingga 0xf x
01 xf , x
02 xf , x
000 2121 xxfxff
xkf tidak semuanya 0 , ambil k = negatif
Maka xkf 0 tidak memenuhi
b) Semua 00 f
0)0(021 ffff
00.01 kkfkf
Merupakan sub ruang
c) Semua 20 f
222)0(0 2121 ffff tidak memenuhi
Jadi bukan sub ruang
d) Semua fungsi konstan: cxf , c = konstant
)(2121 xfxfff 21 cc konstan
,.11 ckxkfkf konstan
Jadi merupakan sub ruang
e) Semua f yang berbentuk xkk sin21 , 21 , kk adalah bilangan riil
)sin()sin( 322121 xkkxkkff
= xkkkk sin3221 memenuhi
)sin( 211 xkkkkf
= xkkkk sin21 , 21 , kkkk adalah bilangan Riil
Jadi merupakan sub ruang
5. Tentukan kombinasi linier 3,1,1U dan 0,4,2V
a) 3,3,3
Ambil 321 , W
3,3,321 VU
3,3,30,4,23,1,1 21
32 21 ........(1)
34 21 ........ (2)
33 1 ............. (3)
11
11 subtitusi pada 2) 341 2
12
VU 3,3,3
b) 0,4,23,1,6,2,4 21
42 21
24 21
603 1
21 subtitusi pada 24 21
44 2 12
VU 26,2,4
c) 0,4,23,1,16,5,1 1
12 21
54 21 542 2
63 1 74 2
21 4
72
Karena 2 memberi nilai yang berbeda maka 6,5,1 tidak dapat ditulis
sebagai kombinasi linier dengan 3,1,1 dan 0,4,2
d) 0,4,23,1,10,0,0 21
060
060
021
060
060
021
060
060
021
Karena baris ketiga nol, maka tidak ada solusi jadi bukan kombinasi linier.
6. Ungkaplah bilangan berikut sebagai kombinasi 4,1,2U
3,1,1V , 5,2,3W
Ambil 5,2,33,1,14,1,2 321 P P adalah konstanta
a) 5,9,5 dalam bentuk matriks
5534
9211
5312
5110
9211
5312
5110
21321230
5312
5110
3133110
5312
323200
3133110
5312
1100
3133110
5312
1100
4010
5312
1100
4010
2012
1100
4010
3001
31 , 42 , 13
WVUP 431
b) P2 = (2, 0, 6)
6534
0211
2312
2110
0211
2312
2110
121230
2312
2110
323110
2312
343210
323110
2312
2100
323110
2312
2100
0010
8002
41 , 02 , 23
WUP 241
c) P3 = (0, 0, 0)
0100
0010
0002
01 , 02 , 03
WVUP 0003
d) P4 = (2, 2, 3)
3534
2211
2312
5110
2211
2312
1110
121231
2312
1110
323111
2312
313200
323111
2312
21100
213110
21012
21100
21010
1002
2
11 ,
2
12 ,
2
13
WVUP2
1
2
1
2
14
7. Nyatakan sebagai kombinasi linier dari 2
1 42 xxP
2
2 31 xxP
2
3 523 xxP
a) 332211
2595 PPPxx
)523()31()42(595 2
3
2
2
2
1
2 xxxxxxxx
Diperoleh tiga persamaan
532 321
92 321
5534 321
Dalam matriks diperluas diperoleh;
5534
9211
5312
dari soal (6) diperoleh matriks tereduksi
1100
4010
3001
31 , 42 , 13
Jadi
321
2 43595 PPPxx
b) 332211
262 PPPx
Diperoleh tiga persamaan
232 321
02 321 dalam bentuk matriks
6534 321
6534
0211
2312
dari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi
2100
0010
4001
41 , 02 , 23
31
2 2462 PPx
c) 3322110 PPP dari soal 6c diperoleh
0321
Jadi 321 0000 PPP
d) 332211
2322 PPPxx diperoleh 3 persamaan:
232 321
22 321
3532 321
Dari soal 6d diperoleh 2
11 ,
2
12 ,
2
13
Jadi 321
2
2
1
2
1
2
1322 PPPxx
8. A =
31
21 B =
42
10 C =
20
24
Nyatakan vektor tersebut di atas sebagai kombinasi linier dari
a) P
80
36
80
36P
20
24
42
10
31
21
64
322
002
8243 dalam matriks
8243
0021
3212
6401
101440
6420
91010
6401
5720
3210
91010
6401
131300
121200
91010
6401
13100
20100
91010
6401
1100
1100
1010
2001
2 , 1 , 1
Jadi CBAP 2
b)
20
24
42
10
31
21
15
71Q
14
7212
52
1243
Dalam matriks diperluas
1243
5021
7212
1401
41440
4420
91010
1401
322600
142400
91010
1401
13162600
121100
91010
1401
Karena , bertentangan pada garis 3 & 4 maka tidak ada nilai ,,
yang memenuhi Jadi Q bukan kombinasi linier dari A, B, C
c) CBAR 00000
00
d)
88
16S dalam matriks ditulis
8243
8021
1212
6401
261440
2420
131010
6401
262600
242400
131010
6401
1100
1100
131010
6401
0000
1100
3010
2001
Jadi 2 , 3 , 1
CBAS 32
9 a) 1,1,11 V 0,2,21 V
Ambil 321 ,, uuuU
0,0,30,2,21,1,1,, 321 uuu
132 u 3213
1uuu
22 u 32
1uu
3u 3u
Jadi 321 ,, VVV merentang R3
Apakah ,, konsisten ? , maka harus diselidiki bahwa
001
021
321
B mempunyai invers, kita lihat Det (B) = 1(0)+2(0)+3(-2) 0 .
Jadi ada invers B 321 ,, VVV konsisten akibat dari itu 321 ,, VVV
merentang R3.
b) 3,1,21 V 2,1,42 V 8,1,83 V
Ambil 321 ,, uuuU
8,1,82,1,43,1,2,, 321 uuu
1842 u
21 u
3823 u
3
2
823
111
842
u
u
u
2
5440
2330
2421
13
21
1
uu
uu
u
31
21
1
32
912120
2330
2
31263
bb
uu
u
321
21
21
342
5000
2
1330
22
1603
uuu
uu
uu
Pada baris 3 diperoleh;
321 34250 uuu (mustahil)
321 ,, VVV tidak merentang R3
c) 4,1,31 V 5,3,22 V 9,2,53 V 1,4,14 V
1,4,19,2,55,3,24,1,3,, 321 bbb
1523 b
2423 b 3 persamaan dengan 4 anu
3954 b
Dalam bentuk matriks
3
2
1
1954
4231
1523
b
b
b
3
2
1
33271512
1248243612
4420812
b
b
b
3
12
1
37770
4124444440
4420812
b
bb
b
)43(7
11110
311
11110
3
1
3
1
3
5
3
21
13
12
1
bb
bb
b
1213
12
1
311
1)43(
7
10000
311
11110
3
1
3
1
3
5
3
21
bbbb
bb
b
Karena baris ke 3 diperoleh 1213 311
143
7
10 bbbb mustahil
Jadi 321 ,, VVV tidak merentang R3
10. xf 2cos dan xg 2sin
a) xkxkxxx 2
2
2
1
22 sincossincos2cos
11 k 12 k
f dan g merentang x2cos
b) xkxkx 2
2
2
1
2 sincos3
Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi, jadi
f dan g merentang
c) xkxk 2
2
2
1 sincos1
xx 22 sincos1 untuk k1 = 1 , k2 = 1
Jadi f dan g merentang
d) xkxkx 2
2
2
1 sincos sin
Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi
Jadi f dan g tidak merentang.
11. Apakah polinom-polinom berikut P2
2
1 21 xxP 2
2 3 xP
2
3 45 xxP 2
4 222 xxP
Ambil cbaU ,,
2
4
2
3
2
2
2
1 22245321,, xxxxxxxcba
a 4321 253
b 4321 2402 matriks utamanya adalah c 4321 2
2111
2402
2531
4440
6660
2531
1110
1110
2531
0000
1110
2531
Karena baris terakhir pada matriks utama yang telah direduksi semuanya nol
Jadi 4321 ,,, PPPP tidak merentang P2
12. 3,0,1,21 V 2,5,1,32 V 1,2,0,13 V
Yang mana vektor berikut berada lin 321 ,, VVV
a) 13,7,3,2 u
1,2,0,12,5,1,33,0,1,23,7,3,2
232
3
725
Dalam matriks
3123
7250
3011
2132
6246
7250
18066
6396
0550
7250
123150
6396
7700
7250
123150
3132
1100
7250
9900
3132
1100
5050
1100
3032
1100
1010
1100
6002
3 , 1 , 1
3211 3 VVVU
Jadi U 1 berada dalam lin 321 ,, VVV
b) 43212 00000,0,0,0 VVVVU
2U berada dalam lin 321 ,, VVV
c) 3213 1,1,1,1 VVVU
Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
1723
1250
1011
1132
2246
1250
6066
3396
1550
1250
33150
3396
0700
1250
6900
3396
Dari barisan 3
2 dan dari baris (4) 0 bertentangan. Jadi tidak ada
3213 VVVU dengan demikian 3U tidak berada dalam lin
321 ,, VVV .
d) 4,13,6,44 U
Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
4723
13250
6011
4132
8246
13250
56066
12396
4123
13250
483150
12396
7700
13250
9900
12396
1100
13250
1100
4132
1100
15050
0000
4132
1100
3010
0000
6002
3 , 3 , 1
Jadi 3214 33 VVVU dengan demikian maka 4U berada dalam lin
321 ,, VVV
13. Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor :
1,1,1U dan 5,3,2V
Misalkan persmaan tersebut adalah 0 czbyax
Direntang oleh 0 cbaU
0532 cbaV
0532
0111
0710
0111
0710
0801
08 ca ca 8
07 cb cb 7
Subtitusi pada persamaan
078 czcycx kalikan c
1 dimana 0c
078 zyx merupakan persamaan bidang yang direntang oleh U
danV .
14. Cari persamaan parametrik untuk garis yang direntang oleh vektor U = 1,7,2
Jawab:
1,7,2,, zyx
2x , 7y , z dimana
15. Perhatikan vektor-vektor pemecahan dari sebuah sistem konsisten tak homogen
terdiri m persamaan linier n bilangan tak diketahui tidak membentuk sub grup
dari Rn
11212111 ... bxaxaxa nn
mnmnnn bxaxaxa ...2211
Atau dalam notasi matriks, bAx . Kita misalkan solusi dari persamaan ini
adalah
ns
s
s
S2
1
pada Rn
Solusi vektor pada S memenuhi 11 sx , 22 sx , nn sx
Misalkan W himpunan vektor pemecahan dan 1s , 2s adalah vektor-vektor
padaW
Kalau W subruang dari Rn maka harus diperlihatkan bahwa 1s + 2s , k 1s
merupakan vektor-vektor pada W. Karena 1s dan 2s merupakan vektor
pemecahan maka kita peroleh
bAs 1 dan bAs 2
211 AsAsssA
b
bb
2
Dimana 212 ssbb tidak pada W.
Jadi W bukan sub ruang dari Rn
16. Dari contoh 8
V adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada seluruh
garis riil, )(xff dan xgg adalah dua fungsi pada V ke sebarang
bilangan riil dan didefinisikan
xkfxkf
xgxfxgf
)(
Seperti pada gambar
Perhatikan bahwa himpunan fungsi-fungsi berikut adalah sub ruang dari
vektor di atas
a) Semua fungsi kontinu di semua titik
Ambil xff fungsi kontinu pada V
xgg fungsi kontinu pada V
xgxfxgf juga kontinu di v
xkfxkf ; xf kontinu di V xkf juga kontinu
Jadi fungsi kontinu merupakan sub ruang pada V
b) Semua fungsi-fungsi terdefenisikan disemua titik
Ambil xff xff '' ada
xgg xgg '' ada
xgxfxgf '''' ada
xkfxkf ''
xfk ' ada
Jadi fungsi terdeferensialkan merupakan sub ruang V
c) Fungsi terdeferensial yang memenuhi 0' ff
Ambil xff xff '' dimana 02' xfxf
xgg xgg '' dimana 02' xgxg
xgxfxgf '''' dan xgxfxgf
xgfxgf 2''
xgxfxgxf 22''
xgxgxfxf 2'2'
00
0 memenuhi
xkfxkf '' xkfxkf
xkfxkf 2'
xfxfk 2'
0.k
0 memenuhi
Jadi merupakan sub ruang V
SOLUSI LATIHAN 4.4 HALAMAN 156
1. a) 2,11 U dan 6,32 U pada R2
Tak bebas linear karena 12 3UU (U 2 hasil kali skalar V1)
b) 3,21 U , 8,52 U , 1,63 U pada R2
0,01,68,53,2 32 kkk
0652 321 kkk
083 321 kkk
0183
0652
02166
018156
02010
018156
02010
0652
02010
0106102
02010
05301053 31 kk
020 32 kk
tk 202
3kt
tk 531
Karena k1, k2 dan k3 tidak semuanya nol maka tak bebas linier.
c) 2
1 32 xxP dan 2
2 396 xxP
Tak bebas linear karena 2P diperoleh dari perkalian skalar 1P yaitu
12 3PP
d)
02
31A
02
31B pada M22
Tak bebas linear karena B merupakan perkalian skalar dari A yaitu B = -A
2. Tunjukkan yang tak bebas linear dari himpunan vektor berikut:
a) 4,1,2 , 2,6,3 , 4,10,2
0424
01061
0232
0040
020122
0232
0040
022150
0232
0040
022150
0101510
0040
022150
012010
0010
02200
0605
0
0010
0100
0001
321
kkk maka bebas linear.
b) 1,1,3 , 5,1,2 , 3,0,4
0351
0011
0423
0351
0011
0450
0101
0011
0450
0110
0011
0450
0110
0101
0100
0
0010
0001
0100
321
kkk
Jadi bebas linear
c) 1,0,6 , 4,1,1
041
010
016
041
010
0250
001
010
000
021 kk bebas linear
d) 3,3,1 , 4,1,0 , 3,6,5 , 1,2,7 karena pada R3, sedang banyak vektor ada
4 sehingga nr vektor tersebut tidak bebas linear (teorema 8)
3. c) 0,0,4,4 , 6,6,0,0 , 5,5,0,5
0,0,0,05,5,0,56,6,0,00,0,4,4
0560
0560
0004
0504
0000
0060
0500
0504
0000
0010
0100
0001
0
0
0
Jadi bebas linear
d) 1,4,0,3 , 2,1,2,6 , 1,5,3,1 , 3,8,7,3
03121
08514
07320
03163
03121
04190
07320
012400
03121
082180
06327180
012400
03121
082180
0552900
03110
03121
0140180
022000
03100
00021
07090
01000
03100
00021
00090
01000
00100
04321 kkkk
4. a) 242 xx , 2263 xx , 24102 xx
0410226342 222 xxxxxx
0424
01061
0232
0424
020122
0232
dari soal (2) a 0
Jadi bebas linear.
b) 23 xx , 252 xx , 234 x
034523 222 xxxxx
0423
00 dari 2.b diperoleh 0
035
Jadi bebas linear.
c) 26 x , 241 xx 0416 22 xxx
06
Jadi bebas linear.
d) 2331 xx , 24xx ,
2365 xx , 227 xx
0273654331 2222 xxxxxxxx
01343
02613
07501
dari 2d akan diperoleh nr (teorema 8) vektor
tersebut tak bebas linear.
5. a) xx cos.sin4,2 2
xx
xx
xx
22
22
22
cossin22
cos2sin22
cos2sin44
12
Jadi tak bebas linear karena salah satu vektor dapat diperoleh dari 2 vektor
b) 0coscos, xxxx
0 bebas linear
c) 02sinsin2sin,sin,1 xxxx
0 bebas linear
d) xxxxxx 2222 cossin2coscos,sin,2cos
1 1 xxx 22 cossin2cos dipenuhi jadi tidak bebas linear
e) 21 x , xx 22 , 3 0321 22 xxx
03
0011
0011
0301
0000
0010
0301
0
0
3 121 22 xxx
3
1
3
1
tidak bebas linear.
f) 2,,0 xx tak bebas linear karena salah satu vektor ada nol.
6. a) 2,0,1V1 2,1,3V2 0,1,1V3
Terletak dalam satu bidang jika vector tersebut dapat di nyatakan sebagai
kombinasi linear
00,1,12,1,32,0,1
03
0
02
0021
0110
031
0010
011̀0
0131
0010
0100
0101
0010
0100
0001
Karena 3 vektor tersebut bebas linear vector itu tidak terletak dalam satu
bidang
b) 4,1,2V1 3,2,4V2 6,7,2V3
0634
0721
0242
01050
0442
0242
01050
01680
0242
0210
0210
0121
0000
0210
0121
0000
0210
0301
3 , 2
3,2,424,1,236,7,2
Jadi, 321 V&V,V sebidang.
7. a) 9,6,3V1 6,4,2V2 1,1,1V3
3,2,13V1 3,2,12V2 1,1,1V3
1V dan 2V segaris tapi 3V tidak jadi 321 V&V,V tidak segaris.
b) 4,1,2V1 3,2,4V2 6,7,2V3
321 V&V,V tidak segaris karena ketiganya tidak ada yang berkelipatan.
c) 8,6,41 V 4,3,2V2 4,3,2V3
4,3,22V1 4,3,2V2 4,3,21V3
312 VV2V
Karena ketiganya berkelipatan (dapat diperoleh 2 vektor dengan mengalikan
skalar pada salah satu vector yang lain). Jadi 321 V&V,V segaris.
8.
2
1,
2
1,V1
2
1,,
2
1V2
,
2
1,
2
1V3
Tak bebas jika 2
1VVV 321
Tak bebas jika 321 VVV
,
2
1,
2
1
2
1,,
2
1
2
1,
2
1,
2
1
2
1
2
1
2
1
))2
1
2
1(
2
1(
2
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
3
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
1
4
3
4
1
3
1
3
4
4
1
3
4
4
1
3
4.
4
1
4
3
4
3
4
1
4
1
16
92
14
1
4
3
2
1
4
1
4
3
9. a). 1,1,3,0V1 1,5,0,6V2 3,1,7,4V3
Tak bebas linear pada R4 jika salah satu vector dapat diperoleh dari dua
vector yang lain
321 VVV
131
115
370
046
6140
6140
370
131
6140
6140
6140
131
000
000
6140
131
000
370
131
000
9210
7217
7
31
207
7
2
7
3
321 V7
3V
7
2V .
Tidak bebas linear
b) 321 V7
2V
7
2V 312 V
7
3VV
7
2
312 V2
3V
2
7V
123 V2
7VV
2
3
123 V3
7V
3
2V
10. 321 V,V,V himpunan vector bebas linear
Jadi
0VkVkVk 332211
hanya dipenuhi untuk 0kkk 321
Jadi 0VkVkV,V 221121
0kk 21 bebas linear
0V0V0VkVkV,V 21331131 bebas linear
0V0V0VkVkV,V 32332232 bebas linear
2222 V0VkV bebas linear
3333 V0VkV bebas linear
11. n21 V,...,V,VS himpunan vector bebas linear, perlihatkan bahwa masing-
masing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang bebas linear
Jawab :
Dik : S himpunan vector bebas linear maka,
0Vk...VkVkVk nn332211 dipenuhi untuk
0Vk...kkk nn321
Ditunjukkan bahwa 0Vk 11 atau 0Vk...VkVk 1n1n2211 juga
dipenuhi untuk 0k...kk 1n21 dimana 1n21 V,...,V,V subset dari S
Bukti:
Andaikan himpunan bagian itu bergantung linear (tidak bebas linear). Menurut
teorema maka keseluruhan vector dari himpunan S tak bebas linear. Suatu
kontradiksi, pengandaian di atas benar, jadi haruslah himpunan bagian dari S
bebas linear.
12. 321 V,V,V himpunan vector tak bebas linear pada ruang vector V1. Buktikan
bahwa 4321 V,V,V,V juga tak bebas linear dimana V4 sebarang. Vektor
lain di dalam V.
Bukti:
321 V,V,V tak bebas linear
0VkVkVk 332211
dimana 321 k,k,k tidak semuanya nol
4V adalah vektor lain di dalam V
Jadi 044332211 VkVkVkVk karena 321 k,k,k tidak semua nol maka bisa
diambil 0k1
04
1
43
1
32
1
21 V
k
kV
k
kV
k
kV
Misal: 1
21
k
kC
1
32
k
kC
1
43
k
kC
04332211 VCVCVCV
Terpenuhi dengan:
11 k 12 Ck 23 Ck 34 Ck
Terbukti bahwa skalar-skalar tersebut tidak semuanya nol.
Jadi 4321 V,V,V,V tak bebas linear.
13. rVVV ,,, 21 himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V, buktikan
nr VVVV ,,,,, 121 juga tak bebas linear, dimana nr VV ,,1 juga dalam V
Bukti;
rVVV ,,, 21 tak bebas linear, maka terdapat skalar r ,,, 21 yang tidak
semuanya nol, sedemikian sehingga:
02211 rrVVV
Kemudian kita ambil skalar : 021 mnn maka kita dapatkan
persamaan:
022112211 nnrrrrrr VVVVVV
Dimana terdapat;
0i ( i antara p ,,, 21 )
Jadi n vektor tersebut tak bebas linear.
15. 21,VV bebas linear dan V3 tidak terletak pada lin 21,VV maka 321 ,, VVV bebas
linear. Buktikan!
Dik: 21,VV bebas linear, maka terdapat skalar 21, yang semuanya nol,
sehingga;
02211 VV
3V adalah vektor yang tidak terletak pada lin 21,VV dengan demikian 3V tidak
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari V1 dan V2.
Jadi 0332211 VVV
000 33 V jika 033 V maka 3 = 0
Terbukti bahwa 321 ,, VVV hanya dipenuhi dalam 0332211 VVV untuk
0321 . Jadi 321 ,, VVV bebas linear.
16. u, v, w adalah vektor sebarang, maka ada skalar 321 ,, sehingga,
0321 wvu
021 vuvu
0; 121 vu
vu1
2
vu tak bebas linear.
Demikian juga dengan wu dan uw
21. Himpunan S dua vektor atau lebih adalah bebas linear tidak ada vektor s
yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya.
Bukti: misal S = V1, V2, . . . , Vr adalah sebuah himpunan dengan dua vektor
atau lebih.
Andaikan S tak bebas linear berdasarkan teorema 6a paling tidak satu
vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kontradiksi dengan
pernyataan semula.
Andaikan S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear S tak bebas
linear (kontradiksi dengan S bebas linear).
SOLUSI LATIHAN 4.5 HALAMAN 163
1. a) 2,11 u , 3,02 u , 7,23 u untuk R2
Karena pada R2 besarnya hanya bisa dua vektor. Jadi 321 ,, uuu bukan basis
untuk R2
b) 2,3,11 u 1,1,62 u R3
Pada R3 harus tiga vektor didalamnya.
21,uu bukan basis pada R3.
c) 2
1 1 xxP , 12 xP untuk P2
Sebuah basis pada P2 mempunyai 3 vektor,
21,PP bukan basis pada P2.
d)
32
11A
71
06B
71
03C
24
15D
92
17E untuk M22.
Sebuah basis pada M22 mempunyai 4 vektor .
EDCBA ,,,, bukan basis pada M22
2. a) 1,2 , 0,3 pada R2
Ambil 0,31,2, yx
x 32
y 01
y
x
01
32 =
yx
y
230
01 =
3
210
01
yx
y
y y, tunggal 21 vvx kombinasi linear (membangun R2)
3
2yx
Ambil 0,0x
0
0
jadi 021 vv bebas linear
Kesimpulannya 21,VV basis pada R2.
b) 1,41 V 8,72 V
Ambil x pada R2
21 VVx
yx,8,71,4
x 74
y 8
Matriks diperbesar
y
x
81
74
yx
y
4250
81
25
410
81
yx
y
25
410
25
32801
yx
yy
25
833 xy
25
4yx
Karena dan tunggal
Jadi 22 VVx membangun R2
x sebarang pada R2
Ambil 0,0x
011 VV ; 0 0 bebas linear
Jadi 21,VV basis pada R2
.
c) V1 = 0,0 V2 = 3,1 pada R2
Ambil x pada R2
3,10,0 1 x
y1
32
x
x
y
30
10
yx
y
00
10
yx 0 mustahil
Jadi 21,VV tidak membangun R2
Dengan demikian 21,VV bukan basis pada R2.
d) V1 = 9,3 V2 = 12,4
Ambil x sebarang pada R2
21 VVx
x 43
y 129
Karena 3,13
11 V 212
4
1
3
13,1
4
1VVV
Merupakan kombinasi linear atau 21,VV tak bebas linear.
Jadi 21,VV bukan basis pada R2.
3. Basis pada R3
a) V1 = 0,0,1 , V2 = 0,2,2 V3 = 3,3,3
Ambil x sebarang pada R3
Akan ditunjukkan bahwa 321 VVVx sebagai kombinasi linear dan
0321 VVV , 0 (bebas linear)
321 ,,3,3,30,2,20,0,1 xxx
Dalam matriks diperbesar
3
2
1
300
320
321
x
x
x
3100
020
001
3
32
21
x
xx
xx
3100
2010
001
3
32
21
x
xx
xx
,,
3
2
3
32
21
x
xx
xx
jadi 321 ,, VVV membangun R3
Ambil ,0,0,0x
0
0
0
0
321
VVV
hanya dipenuhi : 0 jadi 321 ,, VVV
bebas linear. Dengan demikian 321 ,, VVV merupakan basis pada R3.
b) 4,1,31 V , 6,5,22 V , 8,4,13 V
Ambil x sebarang pada 3R
332211 VVVx
Dalam matriks diperoleh;
3
2
1
864
451
123
x
x
x
0
451 2x
Matriks koefisien A =
864
451
123
Det 2061816224403 A
26242163
264848
26
Det A 0 A mempunyai invers. Dengan demikian 332211 VVVx
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear, dan 0332211 VVV
bebas linear dengan demikian 321 ,, VVV merupakan basis pada R3
c) 1,3,21 V , 1,1,42 V , 1,7,03 V
Matriks koefisien
111
713
042
A det A = 2(8) + (4)(-4)
=16-16
= 0
Karena Det A = 0 maka A tidak mempunyai invers dengan demikian
321 ,, VVV tidak bebas linear.
Bukan basis pada R2.
d) 4,6,11 V , 1,4,22 V , 5,2,13 V
Ambil x sebarang pada R3
332211 VVVx
Dalam matriks diperoleh
3
2
1
514
246
121
x
x
x
selidiki matriks koefisiennya
A = 1661308222
514
246
121
DetA
0
224422
Karena det A = 0 maka A tidak mempunyai invers oleh karena itu 321 ,, VVV
tidak bebas linear.
Jadi 321 ,, VVV bukan basis pada R3
4. Basis pada P2
a) 2231 xx , 241 xx , x71
2,3,11 V , 4,1,12 V , 0,7,13 V
Ambil x sebarang pada P2
Misal 2cxbxa cbax ,,
332211 VVVx
Dalam matriks yang diperbesar
c
b
a
042
713
111
selidiki matriks koefisiennya
A =
042
713
111
Det A 271201428
0
141428
Karena det A = 0 maka tidak mempunyai invers, Jadi 321 ,, VVV tidak bebas
linear dengan demikian bukan basis pada P2.
b) 264 xx , 2241 xx , 225 xx
1,6,41 V , 2,4,12 V , 1,2,53 V
Dari soal 3d
Menunjukkan bahwa bukan basis pada P2.
c) 21 xx , 2xx , 2x
1,1,11 P ; 1,1,02 P , 1,0,03 P
Dari 3a maka 321 ,, PPP basis pada P2
d) 234 xx , 2256 xx , 248 xx
3,1,41 P ; 2,5,62 P , 1,4,83 P
Dari 3b 321 ,, PPP basis pada P2
5.
63
63
01
10
412
80
21
01
Ambil P pada M22 sebarang sehingga:
4321 dMcMbMaMP a, b, c, d skalar
43
21
21
01
412
80
01
10
63
63
xx
xxdcba
Untuk melihat apakah bebas linear, anggaplah;
04321 dMcMbMaM
Yakni:
00
00
21
01
412
80
01
10
63
63dcba
022
03
022
0
dca
dcba
cba
da
SPL
Dalam matriks diperbesar
01102
01311
00212
01001
04100
02310
02210
01001
04100
00100
02210
01001
04000
00100
02210
01001
01000
00100
02210
01001
01000
00100
00010
00001
0,0,0,0 dcba
4,321 ,, MMMM bebas linear
A, b, c, d = tunggal maka 4,321 ,, MMMM mb V dengan demikian, merupakan
basis pada M22.
6. V1 = cos2x , xV 2
2 sin xV 2cos3
a) 123 VVV jadi tidak bebas linear
Dengan demikian 321 ,, VVVS bukan basis untuk V
b) Ambil 2 vektor sebarang pada 321 ,, VVV
PVV 21 P vektor sebarang pada V
V1, V2 membangun V
Ambil P = 0 021 VV
0sincos 22 xx
Hanya memenuhi 0 jadi V1, V2 bebas linear. Dengan demikian V1,
V2 basis pada V.
7. Mencari basis dan Dimensi
0321 xxx
022 321 xxx
031 xx
Misal tx 3
ux 2 , t dan u parameter
txtx 1
321 22 xxx
txt 22 2
02 x
1
0
1
0
3
2
1
t
t
t
x
x
x
Basisnya
1
0
1
dimensinya = 1
8. 03 4321 xxxx
05 4321 xxxx
01115
01113
033315
055515
08280
01113
014
110
004
303
014
110
004
101
314
1xx
432
4
1xxx
Misal tx 4
Px4
11
tPx 4
12
Px 3
1
0
1
0
0
14
14
1
0
0
0
4
14
1
4
14
1
4
3
2
1
tp
t
t
P
P
P
t
P
tP
P
x
x
x
x
Basisnya
0
14
14
1
,
1
0
1
0
Dimensinya = 2
9. 034 4321 xxxx
02682 4321 xxxx
02682
01341
00000
01341
4321 34 xxxx ambil rx 4
px
qx
2
3 p,q,r skalar
rqpx 341
r
r
q
q
p
p
r
q
p
rqp
x
x
x
x
0
0
0
0
3
0
0
434
4
3
2
1
1
0
0
1
0
1
0
3
0
0
1
4
rqp
Basis 1,0,0,1,0,1,0,3;0,0,1,4
Dimensinya = 3
10. 03 321 xxx
0262 321 xxx
0393 321 xxx
0393
0262
0131
0131
0131
0131
0000
0000
0131
03 321 xxx
qpx 31 px 2 qx 3 qp parameter
1
0
1
0
1
3
0
0
33
3
2
1
qp
q
q
p
p
q
p
qp
x
x
x
Dimensinya : 0,1,3 ; 1,0,1
Dimensinya = 2
11. 032 321 xxx
05 31 xx
032 xx
0110
0501
0312
0110
0312
0501
0110
0710
0501
0800
0710
0501
0100
0710
0501
0100
0010
0001
0
0
0
3
2
1
x
x
x
Jadi tidak ada basisnya dan dimensinya.
12. 0 zyx
0223 zyx
034 zyx
056 zyx
0156
0134
0223
0111
0510
0514
0510
0111
0000
0000
0510
0111
0000
0000
0510
0401
zx 4 ambil z = t t = parameter
zy 5 tx 4
ty 5
tz
1
5
4
5
4
t
t
t
t
z
y
x
Basisnya 1,5,4 dimensinya = 1
13. Tentukan baris sub ruang R3
a) Bidang 0523 zyx
zyx 523 misal ty , pz t , p parameter
zyx3
5
3
2
ptx3
5
3
2
ty
pz
1
03
5
0
13
2
03
5
0
3
2
3
5
3
2
pt
p
p
t
t
p
t
pt
z
y
x
Basisnya = 0,1,3
2 , 1,0,3
5 dimensinya = 2
b) x – y = 0 misal y = p z = q
x = y
x = p
1
0
0
0
1
1
0
0
00
qp
q
p
p
q
p
z
y
x
y = p
z = q
Basisnya: 0,1,1 , 1,0,0
Dimensinya = 2
c) Garis tx 2 , ty , tz 4
4
1
2
4
2
t
t
t
t
z
y
x
Basisnya 4,1,2
Dimensinya = 2
d) Vektor berbentuk cba ,, dimana b = a + c
1
1
0
0
1
10
0
ca
c
ca
a
c
ca
a
c
b
a
Besarnya = 0,1,1 , 1,1,0 dimensinya = 2
14. Tentukan dimensi sub ruang berikut; R4
a) vektor berbentuk 0,,, cba
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
cbac
b
a
Dimensinya = 3
b) dcba ,,, dimana d = a + b dan c = a – b
1
1
1
0
1
1
0
10
0ba
b
b
b
a
a
a
ba
ba
b
a
d
c
b
a
Dimensinya = 2
c) dcba ,,, ; a = b = c = d
1
1
1
1
a
a
a
a
a
d
c
b
a
Dimensinya = 1
15. P3 yang terdiri polinomial 3
3
2
210 xaxaxaa 00 a
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
321
3
2
1
3
2
1
0
aaa
a
a
a
a
a
a
a
Dimensinya = 3
16. Dik 321 ,, vvv adalah basis untuk ruang vektor V, perlihatkan 321 ,, uuu adalah
juga sebuah basis, dimana 11 vu , 212 vvu , dan 3213 vvvu
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
321
32
2
0
1
1
1
321
21
1
3
2
1
vvv
vv
v
v
v
v
vvv
vv
v
u
u
u
Karena 321 ,, vvv basis 321 ,, uuu juga salah satu basis.
17. Perlihatkan bahwa ruang vektor semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan
pada garis riil adalah ruang vektor berdimensi tak berhingga.
Bukti:
Andaikan ruang vektor berdimensi berhingga yaitu n. nvvvvV ,,,, 321 .
nvvv ,,, 21 bebas linear karena merupakan basis pada V
Ambil n+1 adalah vektor bebas linier 13211 ,,,,, nn vvvvvV menurut
teorema 9. V1 tidak bebas linear.
kontradiksi dengan n+1 vektor bebas linear.
Kesimpulan : dimensinya tak berhingga.
18. Buktikan sub ruang dari ruang vektor berdimensi berhingga adalah ruang vektor
berdimensi berhingga.
Bukti :
Defenisi: dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga
didefenisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V.
Misal nvvvvS ,,,, 321 ruang vektor berdimensi berhingga, dimensinya = n
Ambil s1 S dengan demikian s1 juga berhingga, oleh karena itu ruang vektor
s1 juga berdimensi berhingga.
Ambil: rvvvs ,, 211 , karena S nrs 1 . S berhingga 1s berhingga.
S berdimensi berhingga 1S berdimensi berhingga
19. V adalah ruang dari ruang vektor W berdimensi berhingga . Buktikan dimensi
(V) dim (W)
Bukti:
Misal: NVVVW ,,, 21 dimensinya = n (berhingga)
Ambil WV dim (W) = n
pvvvV ,,, 21 karena V W
np . Dimensinya juga berhingga yaitu dim (V) =P
Dari np dim (V) dim (W). (terbukti)
20. Buktikan bahwa sub ruang R3 hanyalah garis-garis melalui titik asal, bidang-
bidang melalui titik asal, sub ruang nol, dan R3
itu sendiri.
Bukti:
321
3 ,, VVVRS sub ruang R3 yaitu:
11 VS berdimensi satu hanya garis melalui titik asal
212 ,VVS berdimensi dua bidang melalui titik asal
3S berdimensi nol sub ruang nol
3214 ,, VVVS berdimensi tiga = R3 itu sendiri
17. Misal ruang vektor tersebut berdimensi berhingga pada V.
nvvvvS ,,,, 321 dengan dimensi V = 2
S bebas linear. Karena S adalah basis ambil n+1 vektor bebas linear
13211 ,,,,, nn vvvvvS adalah bebas linear dari himpunan V, tapi dimensi
1 nV , kontradiksi dengan nV
Recommended
