Kinetyczna Teoria Gazów
Termodynamika
Kinetyczna Teoria Gazu
• Teoria opisująca własności gazów na podstawie badania cząstek które go tworzą, ze szczególnym uwzględnieniem charakteru ruchu cząstek oraz ich oddziaływania ze sobą.
Termodynamika
• Dział fizyki zajmujący się zagadnieniami przemian energetycznych oraz analizą tendencji do zmian stanów równowagi, ze szczególnym uwzględnieniem stanów równowagi cieplnej.
• Analiza zjawisk zachodzących w maszynach i urządzeniach cieplnych (interpretacja techniczna).
Wielkości Opisujące Gaz
• p - ciśnienie
• T - temperatura
• V - objętość
• CP - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
• CV - ciepło właściwe przy stałej objętości
• Przewodnictwo cieplne
Temperatura
• Temperaturę definiujemy jako średnią wartość prędkości ruchu postępowego drobin gazu
16
Temperatura
• Przewodzenie ciepła - przekazywanie energii kinetycznej
15
Skala Temperatur
Temperatura w liczbach
Jednostki – stopnie Kelwina [K]. Punkt podstawowy: T = 0 K.
Kelwin (K) jest to 1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody
Wg. mechaniki klasycznej dla T = 0 cząsteczki mają zerową energię kinetyczną. Tak nie jest – istnieje minimalna energia (zgodnie z mechaniką kwantową).
Energia wewnętrzna
• Wielkość charakteryzująca stan energetyczny materiału
14
Ciśnienie
• Ciśnienie gazu rozumiemy jako efekt sprężystych zderzeń cząstek tworzących gaz pomiędzy sobą jak i ze ściankami naczynia.
11
Ciśnienie
• Od czego zależy wartość ciśnienia
12
Ciśnienie
Ciśnieniem p nazywamy wielkość fizyczną liczbowo równą sile działającej na powierzchnię ciała wzdłuż normalnej do tej powierzchni:
p = dFn/ dS
dFn – składowa normalna
siły działającej na dS
Gaz Doskonały
• Podejście statystyczne– Ogromna liczba cząstek– Konieczność stosowania wartości średnich– Im większa liczba cząstek tym większa
dokładność
Gaz Doskonały C.D.
• Założenia kinetycznej teorii gazu doskonałego– Cząsteczki gazu poruszają się bezładnie, po
liniach prostych– Ich liczba jest bardzo duża– Ich objętość jest zaniedbywanie mała– Oddziaływają tylko w zderzeniach sprężystych
Gaz Doskonały C.D.• Równanie stanu gazu doskonałego
nRTpV
kNR
N
Nn
NkTpV
V
N
kTp
A
A
k – Stała Botzmana 1,38 *10-23 [J/K]
R – Uniwersalna stała gazowa [J/mol K]
Ciśnienie gazu doskonałego
Ciśnienie gazu wynika z procesy odbijania sprężystego cząsteczek od ścianki naczynia.
Kolejność rozumowania:
zmiana pędu p w czasie t siła F
siła wypadkowa wielu zderzeń / powierzchnia ciśnienie p.
Ciśnienie gazu doskonałego
- gaz doskonały zamknięty w zbiorniku sześciennym o wymiarach l.
- cząsteczki o masie m mają prędkości opisane przez wektor υ (υx, υy, υz)
- jest N cząsteczek w objętości V = l3
Ciśnienie gazu doskonałego
p = px’ - px = -2 m υx Zmiana pędu cząstki
odstęp czasu miedzy uderzeniami danej cząstki o tę samą ścianę
t = 2 l / υx
Siła ‘średnia’ Fi dla
czasu t dla cząstki o prędkości υx:
Fi ≡ p / t = m υx2 / l
ciśnienie ‘cząstkowe’ od tej siły
pi ≡ Fi / S = Fi / l2 =
=m υx2 / l3
Ciśnienie gazu doskonałegociśnienie sumaryczne: suma po wszystkich cząsteczkach od i = 1 do i = N
pm
V xii
N
2
1
wartość średnia kwadratu prędkości < υ2 >
2 2
1
2 2 2
1
1 1
N Nii
N
xi yi zii
N
N
ixiv
Nv
1
22 3
Ciśnienie gazu doskonałego
pm
V
m N
Vxii
N
2
1
2 2
3
1
3
gdzie ≡ M / V ; M – masa całego gazu
Kinetyczna interpretacja ciśnienia:
ciśnienie gazu p jest proporcjonalne do gęstości oraz średniej wartości prędkości <υ2>
Energia gazu doskonałego
Średnia energia kinetyczna cząsteczek
<E> ≡ ½ m <υ2> pV = 2/3 N <E>
porównując z równaniem stanu gazu: p V = N k T
<E> ≡ 3/2 k T
Energia gazu doskonałego
Energia średnia <E> jest proporcjonalna do temperatury a współczynnik zależy od liczby atomów w cząsteczce:
i – liczba stopni swobody
i = 3 dla jedno atomowych
i = 5 dla dwu atomowych
i = 6 dla 3 i więcej atomowych.
<E> ≡ i/2 k T
Kinetyczny model gazuJedno z podstawowych zagadnień kinetycznej teorii gazów zawiera się w sposobie opisu prędkości cząstek.
Ze względu na ogromną liczbę cząstek należy wykorzystać bardziej ogólne, zbiorcze modele opisu prędkości cząstek (a nie każdej z osobna). Do tego celu służą rozkłady statystyczne i dla prędkości poruszania się cząstek w gazie wykorzystujemy rozkład Maxwell’a
Kinetyczny model gazuMaxwell na podstawie założeń teorii kinetycznej wyprowadził prawo rozkładu gęstości prawdopodobieństwa wartości f(υ) prędkości poruszających się cząstek
założenia modelu
- jest N cząstek N w danej objętości
- cząsteczki maja masę m
- cząsteczki poruszają się ruchem chaotycznym w danej objętości.
Kinetyczny model gazu
Definicja prawdopodobieństwa:
P(x) = Nx / N
gdzie Nx – liczba zdarzeń oczekiwanych ‘x’,
N – liczba wszystkich zdarzeń.
P a b f x dxa
b
, f (x) - gęstości prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo P wystąpienia wartości x w przedziale od a do b :
Kinetyczny model gazu
P a b f x dxa
b
,
Kinetyczny model gazu
fdN
N dA
m
k T
2
2
2ex p A
k Tm
4 1
2 3 2 /
Funkcja f(υ) rozkładu gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia cząsteczki o prędkości z przedziału wartości υ, υ + dυ:
Kinetyczny model gazuWartości charakterystyczne !!
Prędkość maksymalna f(υ)’ ≡ 0
2 03
ex p ex p m
k T p
k T
m
2
Prędkość średnia
<υ> ≡ υ f(υ) dυ <υ> = A ½ υp4 = (8kT / m)1/2
Prędkość średnia kwadratowa
<υ2> ≡ υ2 f(υ) dυ n = 4 υ4 exp(- υ2/υp2) dυ = 3/8 1/2 υp
5
<υ2> = A 3/8 1/2 υp 5 υsk = (3kT /m)1/2 υsk ≡ <υ2>1/2
Kinetyczny model gazuRozkład energii cząsteczek g(E):
Energia kinetyczna E ≡ ½ m υ2
UWAGA: musi być spełniona tożsamość: dN(υ+dυ) ≡ dN(E+dE)
f(υ) dυ = g(E) dE a dE = m υ dυ
g Ek T
EE
kT
23 2
/ ex p
: Es = <E> = E f(E)
dE
Es = 3/2 k T
Kinetyczny model gazuRozkład cząsteczek w potencjalnym polu sił (rozkład Boltzmana)
Cząsteczki znajdują się pod wpływem pola grawitacji przyciąganie zwiększa koncentrację w kierunku prostopadłym do powierzchni Ziemi.
Energia potencjalna cząsteczek o masie m na wysokości h względem powierzchni: Ep = m g h
Zmiana ciśnienia gazu w funkcji wysokości słup powietrza o podstawie S. Stała temperatura i lokalna koncentracja n(h)
Kinetyczny model gazuRozkład cząsteczek w potencjalnym polu sił (rozkład Boltzmana)
na wysokości h zmiana ciśnienia dp na odcinku dh zależy od ciężaru Q gazu w tej warstwie :
dp = Q/S = - m g n dh p ≡ n k T dp = k T dn dn/ n = (- m g / k T ) dh
całkowanie w granicach h1 do h2
n2 = n1 exp [ - mg (h2 – h1) / kT ]
p = p0 exp ( - m g h / kT )
Kinetyczny model gazuRozkład cząsteczek w potencjalnym polu sił (rozkład Boltzmana)
Przykład dla H2 oraz O2 w
temperaturach:
T = 73 K oraz T = 273 K
f (E) exp(-E/ kT)
Rozkład Boltzmana:
Przemiany Fazowe
• Stanowią element nieciągłości w przemianach termodynamicznych
• Bardzo duże różnice pomiędzy własnościami fizycznymi różnych stanów skupienia ciał.
Przemiany Fazowe
- Skraplanie
- Powstawania mgły
- Skraplanie powietrza
- Śnieg wiosną
Energia wewnętrzna i ciepło właściwe gazu doskonałego
a) energia kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego, b) energia kinetyczna i potencjalna oscylacji atomów w cząsteczce, c) energia potencjalna oddziaływania cząsteczek między sobą, d) energia powłok elektronów atomów,
energia kinetyczna i oddziaływania nukleonów wewnątrz jądra
Ciepło – energia kinetyczna przekazywana ciału poprzez kontakt z ciałem o wyższej temperaturze lub poprzez promieniowane temperaturowe (fale elektromagnetyczne).
Ciepło właściwe c Q = c m T
Energia wewnętrzna i ciepło właściwe gazu doskonałego
ciepło molowe C – ilość energii potrzebnej do ogrzania o 1 K masy równej masie jednego mola m = 1 M
Energia wewnętrzna 1 mola gazu U = NA Es
U = ½ i NA k T = ½ i R T
Dla gazu jedno-atomowego U = 3/2 R T
Przemiany Gazowe• Przemiana izochoryczna
Przemiany Gazowe
• Przemiana izobaryczna
Przemiany Gazowe
• Przemiana izotermiczna
Przemiany Gazowe• Przemiana adiabatyczna
Zerowa Zasada Dynamiki
• Definicja równowagi termicznej
Jeżeli ciała 1 i 2 są w równowadze termicznej i ciała 2 i 3 są w równowadze termicznej to ciała 1 i 3 są w tej samej równowadze termicznej
(Średnie energie kinetyczne ruchu postępowego cząstek są równe)
Pierwsza Zasada Termodynamiki
Pierwsza Zasada Termodynamiki• Praca
Pomińmy chwilowo tarcie wewnętrzne w gazie
xFL dd
xpAL dd
VpL dd
2
1
d21
V
V
VpL
praca bezwzględna przemianyp
VdV
F
1
2
p
v
praca techniczna przemiany
wdt LLLL 221121d
w
1
2
p
V
d
w
1
2
11111 dd VpVpVpL11 V
0
V
0d
22
0
2
0
22
22
dd VpVpVpLVV
w
22211121 VpLVpLt
2
1
2
1
22
11
2
1
d
dd
1122
21
p
p
p
p
Vp
Vp
V
V
pVVpVp
pVpVVpL
22211121 VpLVpLt
pVLpVL t
p
pt dd;d
2
1
21
Pierwsza Zasada Termodynamiki
• Można zwiększyć energię U dostarczając ciepło oraz, lub, ściskając gaz .
Ciepło molowe przy stałej objętości
przemiana izochoryczna
Q ≡ U ; Q = Cv T U = ½ i RT U = ½ i R T
CV = ½ i R
Pierwsza Zasada Termodynamiki
Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu
przemiana izobaryczna W = p V
Q = U + p V
p V = R T p d V = R T z równania stanu gazu:
Q ≡ Cp T = U + p V = ½ i R T + R T
Cp = Cv + R = Cp / Cv = (i+2) / i
Cykle Termodynamiczne
Cykl Carnota
Sprawność Cyklu Carnota
Maszyny Cieplne
Entalpia (energia zgromadzona)
1 2
EsL1-2
p=idem
WUE
21 LUEs
UEu
02 UU221 pVL
22 pVUEs pVUEs
I1
I2Q1-2
Lt1-2
p
v
211 QIEd
212 tw LIE
211221 tLIIQ
wud EEE
0 uE
pviqc ddd
Tłokowa maszyna przepływowa
Druga Zasada Termodynamiki
Druga Zasada Termodynamiki
Entropia
Różniczka niezupełna ciepła całkowitego dQc posiada czynnik całkujący, który zamienia ją w różniczkę zupełną jednoznacznej funkcji stanu zwanej entropią.
TQ
S cdd
dS jest różniczką zupełną
Zasada wzrostu entropii
Dla każdego rzeczywistego zjawiska nieodwracal-nego suma przyrostów entropii wszystkich ciał uczestniczących w zjawisku jest nieujemna:
0
0
0 Procesy nieodwracalne
Procesy odwracalne
Procesy niemożliwe
Silnik parowy