Jean Aubin

Mathématiques, logiciels et transport en commun

©GIRO inc. 20092

Objectifs de la session

Présenter rapidement GIRO

Expliquer la problématique de la planification du transport en commun

Donner un aperçu des modélisations des problèmes reliés au transport en commun

Discuter des algorithmes de résolution

Montrer des solutions logicielles

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©GIRO inc. 20093

GIRO - Historique

Projet de maîtrise du président et co-fondateur, Jean-Yves Blais

Optimiser les horaires des conducteurs de la STM

Chapeauté par le Centre de Recherche sur les Transports (CRT)

GIRO : Génie Informatique et Recherche Opérationnelle

HASTUS : Horaires et Assignations de Systèmes de Transport Urbains et Suburbains

Implanté d’abord à Montréal, Québec puis ... Singapour !

GIRO-STD-INTROGIROF(2009)-20090112

©GIRO inc. 20094

Mission & Employés

Mission corporativeFournir à une clientèle internationale des logiciels et des services de qualité, spécifiques à nos domaines d’affaires se distinguant par l’utilisation d’algorithmes d’optimisation.

Environ 220 employés

Informaticiens

Mathématiciens

Ingénieurs

Groupe dédié aux algorithmes d’optimisations

©GIRO inc. 20095

Clients

New York, Los Angeles, Chicago, Montréal, …

Stockholm, Vienne, Genève, Hambourg, Bruxelles, …

Singapore, Hong Kong, …

Sydney, Melbourne, Canberra, Brisbane, …

250 sites dans plus de 25 pays...

©GIRO inc. 20096

Produits logiciels de GIRO

HASTUSHoraires de transport public et opérations

GeoRouteTournées postales ou autres besoins similaires

GIRO/ACCESGestion du transport adapté

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Méthodes de résolution

Programmation linéaire

Méthodes de flot dans les réseaux

Programmation linéaire en nombres entiers

Génération de colonnes

Relaxation lagrangienne

Recherche avec tabous

Recherche à voisinage variable - échanges

Recherche à voisinage large

Coupes de Gomory

Algorithmes gloutons

Heuristiques spécialisés

Statistiques

Méthodes de recherche locale

Énumération explicite de l'espace de solution

Parallélisme

...

Utiliser ce qui fonctionne bien selon le problème à résoudre

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Transport en communEstimation de la demande (matrice O-D)Estimation de la demande (matrice O-D)

Lignes et fréquencesLignes et fréquences

Graphicage (« vehicle scheduling »)Graphicage (« vehicle scheduling »)

Habillage (« crew scheduling »)Habillage (« crew scheduling »)

Roulements (« rostering »)Roulements (« rostering »)

Opérations (« dispatching »)Opérations (« dispatching »)

Horaire-maître (timetabling)Horaire-maître (timetabling)

©GIRO inc. 20099

Offre de service

3 premières étapes

Estimation de la demande (matrice O-D)

Lignes et fréquences

Horaire-maître (timetabling)

Aspects politiques et humains importants

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Offre de service - Demande

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Offre de service - Lignes

GIRO-STD-INTROGIROF(2009)-20090112

©GIRO inc. 200912

Offre de service - Fréquences

Établir les fréquences/types de véhicule sur chaque ligne à partir de données de fréquentation

©GIRO inc. 200913

Variables de décision

Heures de départ des voyages

Objectifs

Maximiser synchronisation (correspondances)

Minimiser ressources (véhicules, conducteurs)

Modèle mathématique

DdIiHxH

às

xVKxSKMin

ididid

VS

,

.

)()(

Problème d’optimisation

Offre de service - « Timetabling »

©GIRO inc. 200914

Offre de service - « Timetabling »

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Offre de Service - « Timetable »

©GIRO inc. 200916

Graphicage

Données

Voyages productifs (« timetable »)

Temps de déplacement à vide ( « deadheads »)

Battements minimums

Garages (dépôts) avec capacités

Groupes de véhicules

…

Objectifs

Minimiser le nombre de véhicules nécessaire

Temps improductif (battements, « deadheads »)

©GIRO inc. 200917

Graphicage

Liens entre voyage

Véhicules

©GIRO inc. 200918

Graphicage

Variante simple à seul dépôt

Problème de flot à coût minimum dans un réseau

©GIRO inc. 200919

Graphicage – Modèle

©GIRO inc. 200920

Graphicage

Complications rencontrées en pratique

Stationnement temporaire des véhicules

Contraintes supplémentaires sur les véhicules

Modifications possibles de l’horaire-maître (« timetable »)

Synchronisation des correspondances

Génération de solutions similaires à celle de départ

Traiter les activités d’attelage/dételage (rail)

Traiter exceptions journalières

Variantes urbaines et régionales

…

L’algorithme doit demeurer efficace!

©GIRO inc. 200921

Graphicage

©GIRO inc. 200922

Graphicage

©GIRO inc. 200923

Habillage

Données

Horaire de véhicules

Relèves

Temps de déplacement entre les relèves

Convention collective ►Contraintes►Taux horaire, bénéfices marginaux►Primes

Résultat

Pièces et journées valides

©GIRO inc. 200924

Habillage - Modèle

Modèle mathématique :

I : l’ensemble des journées possibles

J : l’ensemble des tâches à couvrir

}1,0{

airessupplément linéaires scontrainte

,1

à s.

Min

i

Iiiij

Iiii

x

Jjxa

xc Couverture des tâches

sinon 0

journée la utiliseon si 1 ixi

©GIRO inc. 200925

Habillage

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Habillage - Algorithmes

Historique

Avant 1990 : heuristiques spécialisés

Depuis 1990 : génération de colonnes►GERAD (Desrochers et Soumis 1989)►GIRO impliquée depuis début 1990

Développements récents►Décomposition►Parallélisme►Agrégation de tâches►Heuristiques complémentaires

©GIRO inc. 200927

Habillage – Génération de colonnes

Toutes les journées possibles(millions)

Sous-ensemble de journées possibles (milliers)

Solution (dizaines)

PL

Valeurs duales

Génération des journées

Aucune nouvelle journée générée : Stop

©GIRO inc. 200928

Roulement

©GIRO inc. 200929

Roulement

But

Affecter le travail et les jours de repos sur un horizon d’une ou plusieurs semaines

Réduire les coûts et maximiser la satisfaction des employés

Éléments de roulement►Journée de travail►Journée de repos►Période de disponibilité

Algorithme

Méthodes d’échanges

©GIRO inc. 200930

Roulement – échanges

1

2

3

...

n3

Dut8

Journées libres Jours de repos

Roulement 3

1

2

3

...

n2

Dut1

Off

Roulement 2

1

2

3

...

n1

Dut1

Dut7

Sun. Mon. Tue. Wed. Thu. Fri. Sat.Pos.

Roulement 1

Dut4

Dut2

Dut1

©GIRO inc. 200931

d8

123

...

n1123

...

n2

123

...

n3

d4

d3

Off

d6

d5

d7

Off

d9

d1

Off

Off

d13

Off

P1

P2

Roulement – Échanges +

Journées libres, Jours de repos

Roulement m

Roulement 2

Roulement 1

Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat

Off d10 d11 d11 d11 Off

d3

d12d4

d6

d11

d8d7

d3

d5

Off

Off

d9

d1

d15

Off

d13

d2

Off

P1

P2

Offd4

d12

d10

d8d12

Off

d5

d7

d3

d9

d1

d15

Off

d13

d2

Off

P1

P2

d12d4

d12

d10

d8Off

Off

d5

d7

d3

d9

d1

d15

Off

d13

d2

Off

P1

P2

d12d4

d12

d10

d8Off

d6

d5

d7

d3

d9

d1

d15

Off

Off

d2

Off

P1

P2

d12d4

d3

d10

d8Off

d6

d5

d7

Off

d9

d1

Off

Off

Off

d2

Off

P1

P2

d2Off

d11

d12

d1

Offd9

d7d5

d4

d6

d8

d15

Off d13

d10Off

P1

P2

d12

d10

d2

Problème d’optimisation linéaire

©GIRO inc. 200932

Opérations quotidiennes

Réagir aux perturbations quotidiennes

Absences et retards des employés

Interruptions de service

Ajout ponctuel de service

Problèmes

Affectation du travail libre aux employés disponibles

Optimisation de nouvelles journées de travail

Méthodes

Programmation mathématique

Heuristiques spécialisées

©GIRO inc. 200933

Opérations quotidiennes - Approche

Pour chaque employé, évaluer les jours de travail (JT) à couvrir

Identifier les candidats « Employé-JT »

Un coût est attribué à chaque candidat

Coût d’un candidat

Valeur composite avec plusieurs facteurs à considérer

Les coûts sont spécifiés par des règles

Les candidats Employé-JT avec des coûts élevés sont moins désirables

Coût d’une affectation globale

Somme des coûts de tous les candidats choisis

La meilleure solution est celle avec le coût le plus bas

Un conducteur n’obtient pas nécessairement son premier choix

©GIRO inc. 200934

Opérations quotidiennes - Modèle

1,0

,...,1,1

,...,1,1

où

Min

1

1

11 1

ij

n

jij

j

n

iij

m

jj

n

i

m

jijij

x

nix

mjex

eKxc

Minimiser le coût de la solution

Pénaliser les jours de travail non assignés

Importance relative de forcer l’assignation

Jours de travail

Conducteurs

©GIRO inc. 200935

Opérations quotidiennes - Optimisation

Employés Jours de travail

E1

E2E3

E4

E5E6

E7

JT1

JT2

JT3

JT4

JT5

JT6JT7JT8

Candidats

Coût total le plus bas

= Meilleure qualité globale

©GIRO inc. 200936

Opérations quotidiennes- Algorithmes

Approche de programmation linéaire en nombres entiers

Génère une solution optimale

Définir correctement les valeurs des coûts est la clé pour obtenir les meilleurs résultats en pratique

©GIRO inc. 200937

Opérations quotidiennes

©GIRO inc. 200938

Opérations quotidiennes - Modifications

©GIRO inc. 200939

Autres besoins/problèmes

Analyses statistiques et optimisation pour définir les temps de parcours

Recherche de chemin le plus court pour fournir des itinéraires à la clientèle

Problème d’ordonnancement pour la gestion des véhicules

©GIRO inc. 200940

Gestion des véhicules

©GIRO inc. 200941

Questions