Download pdf - IV. Zbirka zadataka

Transcript
Page 1: IV. Zbirka zadataka

ZI. Neodređeni integrali 127

ZI. NEODREðENI INTEGRALI

1. Antidervacije

1. Pronañi tri antiderivacije funkcije ���� � ��.

2. Odredi sve antiderivacije funkcije ���� � ��.

3. Pronañi dvije antiderivacije funkcije ���� � �� �.

4. Pronañi antiderivaciju ��� funkcije ���� � �� za koju je ��� � � . 5. Pronañi onu antiderivaciju ��� funkcije ���� � �� � � za koju vrijedi

��� � �.

6. Pronañi antiderivaciju ��� funkcije ���� � ����� koja zadovoljava uvjet

��� � �.

7. Ima li fukcija ���� � �� antiderivaciju ��� za koju je ��� � ���?

8. Odredi bar jednu antiderivaciju funkcije ���� � ��� � �� � � .

9. Odredi bar jednu antiderivaciju funkcije ���� � �� ��.

10. Uz pomoć jednog trigonometrijskog identiteta pronañi antiderivaciju

funkcije ���� � ��� �.

11. Je li funkcija ��� � ��� � �� � � antideivacija funkcije

���� � �����������?

12. Je li funkcija ��� � �� � ��� � � antiderivacija funkcije

���� � ��� � �� � � ?

13. Je li funkcija ��� � � ��� � ��� � antiderivacija funkcije

���� � � ��� � ?

Page 2: IV. Zbirka zadataka

128 Zbirka zadataka

2. Integriranje pomoću tablice i osnovnih pravila

Služeći se tablicom i osnovnim pravilima pronañi neodreñene integrale

14. � �� � 15. � ��! � 16. � ��"# �

17. � ��# � 18.� $�

�$ % 19. � � ��!���& �

20.�' � 21. �(% % 22. ���� �

23. ����� � � �� �� � 24. ��) � � �� )� ) 25.���� � ��� �

26. � ������ � 27. � *�*�

*! ) 28. � ������� �

29. � ������� � 30. � +����,!

�� � 31. � �����#�! �

32. ��� � 33. ����� � 34. ��� � ���� �

35. � ����- � 36. � �

���� � 37. � ����� �

38. � ������ � 39. � �

����� � 40. � ������ �

41.���� � �' � 42. ���� � �' � 43. ���' � �� �

Page 3: IV. Zbirka zadataka

ZI. Neodreñeni integrali 129

3. Metoda zamjene

Pogodnim zamjenama odredi integrale

44. ���� � ��. � 45. ��� � �� � 46. ����� � '! �

47. � ����� � �� � 48. �� ������ � 49. � �� � ��� � �

50. � �����- � 51. � /01 $

123! $ % 52. � �� 45� �

53. � 6�767�� � 54. � $�

$!�� % 55. � 45��� �

56. �����!�� � 57. ��� �� � ���� �& � 58. ��� �� � �� �

Riješi integrale tako da kvadratni izraz prvo predočiš kao zbroj ili razliku

kvadrata, a zatim uvedeš zamjenu

59. � �������8 � 60. � �

9�.���� �

61. � �����8� � 62. � �

�������� �

63. ���� � �� � � � 64. ���� � �� �

4. Metoda djelomične integracije

Djelomičnim integriranjem odredi integrale

65. � :� � � 66. ���� � 67. �� �� � �

68. ��� �� � � 69. ����� � 70. ��� :�; � �

71. � 45���! � 72. � ����

67 � 73. � �/01� � �

74. �<=> %?% % 75. ��<=> �� � � 76. � @A?��% %

Dvostrukom primjenom formule za djelomičnu integraciju zadani integral

svedi na integralnu jednadžbu, a potom ju riješi

77. � �� �� � � 78. ��� ��� � 79. � ��� ��� �

Page 4: IV. Zbirka zadataka

130 Zbirka zadataka

5. Integriranje racionalnih funkcija

Odredi integrale djelomičnih razlomaka

80. � �� � 81. � ��

�& �

82. � "���� � 83. � ��

������# �

84. � �������� � 85. � �

������" �

86. � ��������� � 87. � ���

�������" �

88. � �������� � 89. � �

������� �

Odredi integrale pravih racionalnih funkcija

90. � .�������" � 91. � ��"

������� �

92. � ���������������� � 93. � ��

�����! �

94. � ������.���������-� � 95. � �

�!��� �

96. � 9����!��� � 97. � .

�!�����8� �

98. � ��#�� � 99. � �!

������� �

Odredi integrale racionalnih funkcija

100. � �#�-������� � 101. � ��#�"��

���� �

102. � �!����������� � 103. � ��

����. �

104. � ��!��9�������� � 105. � �!������

�!�� �

106. � �#��!��.�!��� � 107. � �!�����

�!������� �

108. � �B�#�� � 109. � �&

������� �

Page 5: IV. Zbirka zadataka

ZI. Neodreñeni integrali 131

6. Integriranje funkcija s korijenom

Pogodnim zamjenama zadane integrale svedi na integrale racionalnih

funkcija i riješi ih

110. � ����� � 111. � ����

� �

112. � �C������! � 113. � ��

�+ ��! ��, �

114. � ���D���

� � 115. � ��D���

� �

116. � ������� � 117. � �����

� �

7. Integriranje trigonometrijskih funkcija

Uz pomoć formula koje umnožak sinusa i kosinusa pretvaraju u zbroj ili

razliku riješi integrale

118. � �� �� �� �� � 119. � �� � ���� �

120. � �� �� �� �� � 121. � ��� �� �

122. � �� � ���� ���� � 123. � ��� �� �� � �

Uz pomoć neke od zamjena % � �� �, % � ���, % � %?� ili % � %? �� riješi

integrale

124. � 123�/01� � � 125. � /01�

123! � �

126. � � 123��/01����# � 127. � /01�

"�/01� � �

128. � 123� �/01# � � 129. � ���/01� �

123# � �

130. � �123� /01� � 131. � �

� 123� ��� �

132. � �123��� � 133. � �

/01� �

134. � /01�/01��� � 135. � �

�123���/01� �

Page 6: IV. Zbirka zadataka

132 Zbirka zadataka

8. Različiti zadatci

Riješi integrale

136. � C���! � 137. ����� ����� �

138. � �����! � 139. � ��

��!�8# �

140. � �"������ � 141. � ����

������� �

142. � �����!�� � 143. � �!����

�!�� �

144. ����� � ��<=>%?� � 145. �<=> �� �� �

146. �� :�; �� � 147. ��� �� � �

148. � � ��# ���� � 149. �D���

��� �

150. � ��/01�123� � � 151. � 123��/01�

/01! � �

Page 7: IV. Zbirka zadataka

ZII. Određeni integrali 133

ZII. ODREðENI INTEGRALI

1. Računanje odreñenog integrala

Služeći se tablicom, osnovnim pravilima i Leibniz-Newtonovom formulom

izračunaj vrijednost odreñenih integrala

152. 2

3

1

x dx−∫ 153.

1

5 7

0

x dx∫ 154. 1

1

e

x dx−∫

155.

2

cos xdx

π

π∫ 156.

3

2

0

1

1dx

x +∫ 157. 0

2

3xdx−∫

158.

( )4

0

1x x dx−∫ 159.

( )9

2

4

3 x dx−∫ 160. ( )1

33

1

2 x dx−

−∫

161.

264

4

1

4x dxx

− ∫ 162.

216

4

1

4x dxx

− ∫ 163.

( )34

1

x xdx

x

−∫

Služeći se metodom zamjene i Leibniz-Newtonovom formulom izračunaj

vrijednost odreñenih integrala

164.

2

2

2 5x dx−

+∫

165.

1

3

2

2 3xdx−

−∫

166.

2

2

4

sin cosx xdx

π

π

⋅∫

167. ( )

2

3

3

1

4dx

x

− +∫

168.

3 2

1

1

2

xdx

x−

−+∫

169. 1

lne

xdx

x∫

170.

4

0 1

xdx

x +∫

171.

1

4

1

5

xdxx−

+

−∫

172. ( )

27 6

31 1

xdx

x x+∫

Page 8: IV. Zbirka zadataka

134 Zbirka zadataka

Služeći se metodom djelomične integracije i Leibniz-Newtonovom

formulom izračunaj vrijednost odreñenih integrala

173. 0

cosx xdx

π

174. 1

ln

e

x dx∫

175.

1

2

1

xx e dx−∫

176.

10

2

1

log xdx

x∫

177.

0

1

arctanx xdx−∫

178.

4

2

1

log xdx

x∫

Izračunaj integrale:

179.

2

0

sin 2x xdx

π

∫ 180.

( )0

1

ln 2x x dx−

+∫

181.

( )2

5

3

arctan 3 5x dx+∫

182. 0

cosxe xdx

π

183.

5

2

53

xdx

x− +∫

184.

3 3

0

3 2

1

x xdx

x

− −+∫

Izračunaj integrale tako da prvo provjeriš parnost podintegralne funkcije ili

njenih pribrojnika

185. ( )

1

4 2

1

5x x dx−

− +∫

186. ( )

3

3

3

cosx x x dx−

−∫

187. ( )2sin 3cosx x dx

π

π−

−∫

188. ( )

5

2

5

sinx x x tgx dx−

+ −∫

189. ( )

2

2

2

sin 4 2x x ctgx x dx−

− + −∫ 190.

( )4

22

4

sin cosx x x dx−

+∫

Odredi funkciju ( )f x i izračunaj 0( )f x , ako je

191. 0

( )

x

f x tdt= ∫ , 0 4x = 192.

( )2

1

( ) 2

x

f x t t dt−

= +∫ , 0 0x =

193.

21

( )x

f x dtt

= ∫ , 0x e= −

194. ( )

8

3( ) 1x

f x t dt= −∫ , 0 1x =

195.

2 3

2

1( )

x

x

tf x dt

t

−= ∫ , 0 2x =

196.

1

( )1

x

x

tf x dt

t

+

=+∫ , 0 3x =

Page 9: IV. Zbirka zadataka

ZII. Određeni integrali 135

2. Površina ravninskog lika

Izračunaj površinu lika omeñenog krivuljama

197. 3x = , 0y = , 2y x= 198. 2x = , 0y = , 3y x=

199. 1x = − , 3x = , 0y = , 23 2 1y x x= − +

200. 1x = , x e= , 0y = , 1y x−=

201. 0y = , siny x= za 0 x π≤ ≤ 202. 3y x= − + , 2 6 7y x x= − +

203. 1x = , 3x = , 1 2y x= − , 2 2 3y x x= − +

204. 1x = , x e= , 2xy = , 3xy =

205. 0x = , 2y x= , ( )24y x= − 206. 2x = − , 2x = , 3 4y x= + ,

sin 2y x= −

207. 2x y= + , 2x y= 208. 2x y= , 2 1x y= + , 0y =

209. 2 3 2y x x= − + ,

2 3 2y x x= − + −

210. 2 2y x x= + − , 2 6y x x= − + +

211. 2 5 6x y y= − + ,

2 7 4x y y= − + −

212. 1y x= − , 2 2 1y x= +

213. 0x = , 0y = , 3 1y x= − 214. 3y x= , 3y x x= −

215. 2y x= − , y x= − , 3y x= 216.

y x= , 22y x= −

217. 2 3y x x= − , tangenta u točki ( )1,0T

Page 10: IV. Zbirka zadataka

136 Zbirka zadataka

U narednim zadatcima površinu lika omeñenog zadanim krivuljama

izračunaj na dva načina:

integriranjem funkcija ( )y x po x

integriranjem funkcija ( )x y po y

218. 2x y= , 2y x= 219.

2y x= , 3y x=

220. 2 3y x= + , 2 4y x= 221. 0y = , 2y x= + , 2y x=

222. 0y = , 6y x= − + , y x= 223. 2 3 10x y+ = , 1xy x= +

224. 0x = , 1x = , tanx y= , / 2y π= 225. 0x = , 0y = , 1y = , lny x=

3. Obujam rotacijskog tijela

Izračunaj obujam tijela nastalog vrtnjom, oko osi x , lika omeñenog

krivuljama

226. 2x = , 0y = , 2y x= 227. 0y = , 2 5y x x= −

228. 4y = , 2y x= 229. y x= , 2y x x= −

230. 4y x= + , 2 2y x= + 231. 0x = , 21x y= −

232. 0y = , 3 4y x= − , y x= 233. 1xy = , 2 1y = , 3y x=

234. 1y x= − , 2 2 1y x= + 235. 2 2y x x= − , 2 2 6y x x= − + +

Izračunaj obujam tijela nastalog vrtnjom, oko osi y , lika omeñenog

krivuljama

236. 0x = , 21x y= − 237. 1xy = , 1y = , 2y =

238. 2x = , 0y = , 2y x= 239. 2x y= , 2y x=

240. 0y = , 3 4y x= − , y x= 241. 1xy = , 28y x= , 3y x=

Page 11: IV. Zbirka zadataka

ZII. Određeni integrali 137

4. Duljina luka ravninske krivulje Izračunaj duljinu luka krivulje

242.

32

3y x= za 3 8x≤ ≤

243. 3

x y= za 5

09

y≤ ≤

244. 2 4y x= izmeñu točaka ( )0,0A i ( )1,2B

245.

21

2y x x= − izmeñu točaka

10,

2A −

i 3

3,2

B

246. ( )2ln 1y x= − za

10

2x≤ ≤

247.

1

22x

y e= za ln 24 ln 48x≤ ≤

248. ln sinx y= za 3 2

yπ π≤ ≤

249. arcsin xy e= za 3 2 2

ln ln2 3

x≤ ≤

5. Površina rotacijske plohe

Izračunaj površinu plohe nastale vrtnjom, oko osi x , luka krivulje

250. 31

3y x= za 40 3x≤ ≤

251. 2 4y x= izmeñu točaka ( )3, 2 3A − i ( )3,2 3B

252.

2 2

3 3 1x y+ =

za 0 1x≤ ≤

253.

2

siny

x=

za

4 2x

π π≤ ≤

Izračunaj površinu plohe nastale vrtnjom, oko osi y , luka krivulje

254. 2

1x y= − za 0 1y≤ ≤

255. 2y x= izmeñu točaka ( )2,2A − i ( )2,2B

256.

31

3x y=

za 0 2y≤ ≤

Page 12: IV. Zbirka zadataka

138 Zbirka zadataka

6. Numerička integracija

Trapeznom formulom, uz zadani korak h , izračunaj približnu vrijednost

odreñenih integrala

257. ( )

3

2

2

sin 1x dx+∫ , 0,2h =

258.

5

2

3

cosx xdx∫ , 0,4h =

259. ( )

1,5

2 3

1

ln 10x dx+∫ , 0,1h = 260.

2

2

3

5 6x x dx

− − −∫ , 0,25h =

261.

5 2

4

15

log

xdx

x

−∫ , 0,2h =

262.

12 3

10

3

1

xdx

x

++∫ , 0,4h =

263.

2

1sin 2

xedx

x +∫ , 0,2h =

264.

6

3

1 2xdx

x

−∫ , 0,5h =

265. ( )

0,7

0

3arctanx x dx−∫ , 0,1h = 266.

( )0

1

arcsin xx e dx−

+∫ , 0,2h =

Simpsonovom formulom, uz zadani korak h , izračunaj približnu vrijednost

odreñenih integrala

267.

2

1

lnxe xdx∫ , 0,25h =

268.

11

2

0

logx xdx∫ , 0,5h =

269.

6 3

5

2

2

xdx

x

−+∫ , 0,25h =

270.

4.2

2

3

3 3

2

x

dxx

++∫ , 0,2h =

271.

0,8

2

0

x x dx−∫ , 0,1h = 272.

0

3

2

xx e dx−

+∫ , 0,5h =

273.

1

2

1

tanx xdx−∫ , 0,5h =

274.

3

2

4 cotx xdx∫ , 0,25h =

275.

1.1

0.5

ln

cos

x xdx

x

+∫ , 0,1h =

276.

5

4

sin

arctan

x xdxx

−∫ , 0,25h =

Page 13: IV. Zbirka zadataka

ZII. Određeni integrali 139

7. Različiti zadatci

Izračunaj vrijednost integrala:

277.

4

0

x xdx∫ 278.

( )64

3

1

x x dx−∫

279.

0

2

1

1x x dx−

−∫

280. ( )

2

2

0

1 2x x x dx− −∫

281.

2

3

xdx−∫

282.

4

1

3x dx−∫

283.

2

2

1

2 1x x dx− +∫

284.

1

2

0

2 1x x dx− +∫

285.

0

2

3

4 4x x dx−

+ +∫ 286.

2

2

1

4 4 1x x dx−

− +∫

287.

2

21 cos xdx

π

π

−∫ 288.

2

0

1 sin sin 2x xdx

π

− ⋅∫

289.

3

1

xe dx

−∫

290.

3

2

1

3 2x x dx− +∫

Uz pomoć integralnog računa izvedi formule za

291. površinu i opseg kruga

292. obujam i površinu uspravnog kružnog stožca

293. obujam i površinu kugle

294. obujam i površinu torusa

Page 14: IV. Zbirka zadataka

140 Zbirka zadataka

ZIII. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

1. Provjera rješenja

Provjeri jesu li funkcije y rješenja diferencijalnih jednadžbi

295. xyy cos2´ =+ , xxy cossin +=

296. 0´ =+ yxy , 2

11

xxy +=

297. 122´ −=− xyy , xCey x −= 2

298. 023´ =+− ytgxy , 1sin 3 += xCy

299. 0sin2´´ =++ xyy , xxy cos=

300. xeyyy =+− ´2´´ , xexy 2=

301. 0´sin2´´cos =− xyxy , tany x=

302. 2´´ 2 +=+ xyy , 2

21 cossin xxCxCy ++=

303. 0´´´´4 2 =+ yyx , 3xy =

304. 3´´´´´´ 23 =++ xyyxyx , xy ln2

3=

305. xyyy cos´´´´´ =++ , xy sin=

306. 0´6´´5´´´ =+− yyy , xx eCeCCy 3

3

2

21 ++=

Page 15: IV. Zbirka zadataka

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 141

2. Diferencijalne jednadžbe koje se rješavaju neposrednim integriranjem

Neposrednim integriranjem odredi opće rješenje diferencijlanih jednadžbi

307. 2 cosy x x′ = − 308. 1xy e′ + =

309. 1xy′ = 310. 2 ln 1xy x′ = +

311. 6 2y x′′ = + 312. 2y x x−′′ + =

313. 2 2 1xx y x e′′ = + 314. cos siny x x x′′ = −

315. 0y′′′ = 316. 3 cosy x′′′ − =

317. ( 3) 0xy x e′′′ + + = 318. 3 4lnx y x′′′ =

Pronañi pojedinačno rješenje diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljava

zadane uvjete

319. 2 13 2y x x

x′ = + − : 3)1( =y

320. cos siny x x′ = − : )0(2)( yy =π

321. 55 10xy e x′ = − : (0) (0)y y′=

322. 212 2y x′′ = − : 2)2(,1)1( == yy

323. 4

2 6xy

x

−′′ = : 0)4(),2()1( == yyy

324. 3 3

2sin 2cos

cos sin

x xy

x x′′ = + : ( ) , ( ) 1

4 4 4y yπ π π

′= = =

325. xy e′′′ = : (0) 1, (0) 1, (0) 1y y y′ ′′= = = −

326. 6

606yx

′′′ = − : 3

(1) 3, (1) 8, (2)8

y y y′ ′′= = =

Page 16: IV. Zbirka zadataka

142 Zbirka zadataka

3. Diferencijalne jednadžbe prvog reda

3.1. Diferencijalna jednadžba s razdvojenim promjenljivim

Riješi diferencijalne jednadžbe

327. dyydxx 3= 328. ydydxy =−12

329. 0ln =− xdyxdx 330. 02

=+x

dy

y

dx

331. ( sin ) ( cos )x x dx y y dy+ = + 332. dyeydxxe yx )1( +

Riješi diferencijalne jednadžbe tako da prvo razdvojiš diferencijale i

promjenljive

333. 2 2x y y′ = 334. 2y xy′ =

335. 0x yy′+ = 336. y xy′ =

337. 22 3yy y′ = + 338. 1x ye y+ ′ =

Page 17: IV. Zbirka zadataka

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 143

3.2. Homogena diferencijalna jednadžba

Zamjenom y

xz = , a potom razdvajanjem promjenljivih x i z , riješi

diferencijalne jednadžbe

339. x

xyy

−=´ 340.

3

22 )(´

x

yyxy

−=

341. yx

yy

−=´ 342. ln (ln 1)

y y xy

x x y′ = −

Zamjenom x

yz = , a potom razdvajanjem promjenljivih x i z , riješi

diferencijalne jednadžbe

343. x y

yx

+′ = 344.

2

xy yy

x

+′ =

345. 2 2x y

yxy

+′ = 346. sin sin 1

y y xy

x x y′ = +

Riješi diferencijalne jednadžbe

347. ( )x y y y′+ = 348. 3 2 2( )x y x y y′ = +

349. 2cosy y

yx x

′ = + 350. siny y

yx x

′ = +

Page 18: IV. Zbirka zadataka

144 Zbirka zadataka

3.3. Linearna diferencijalna jednadžba

Odredi opće rješenje homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi

351. 3 0y y′ + = 352. 1

0y yx

′ − =

353. (sin ) 0y x y′ + = 354. (ln 1) 0y x y′ − + =

Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove

homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstante

355. 2 xy y xe′ − = 356. 22 4y y x′ + =

357. 1

3 2y y xx

′ + = + 358. 1

cosy y xx

′ + =

359. 2

2x

y xy e′ − = 360. (sin ) siny x y x′ + =

361. 45xy y x′ + = 362. xxyxy ln2´ =−

363. 1

2 2 xx y y x e′ + = 364. 2cos 1 0y x y′ − − =

Pronañi pojedinačno rješenje diferencijlanih jednadžbi koje zadovoljava

zadani uvjet

365. 1y y′ − = − : 5)0( =y 366. 1

y y xx

′ + = : 1)1( =y

367. (cos ) 0y x y′ − = : (0) 1y′ = 368. 1 1y y

x x′ − = : (2) 0y′ =

Page 19: IV. Zbirka zadataka

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 145

3.4. Bernoullieva diferencijalna jednadžba

Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove

homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstante C te razdvojiš

promjenljive x i C

369. 2y y y′ − = 370. 2xy y x xy′ − =

371. 4

22

xey y

y′ − = 372. 2

1 xy y

x y′ + =

373. 32 2 0y xy xy′ + − = 374. 23 0y y y′ − + =

4. Diferencijalne jednadžbe drugog reda

4.1. Linearna diferencijalna jednadžba

Snižavanjem reda riješi linearne diferencijalne jednadžbe

375. 2 xy y e′′ ′− = 376. 23xy y x′′ ′− =

377. 2 6lnx y xy x′′ ′+ = 378. 3sin cos 2siny x y x x′′ ′− =

Page 20: IV. Zbirka zadataka

146 Zbirka zadataka

4.2. Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima

Odredi opće rješenje homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi

379. 6 0y y y′′ ′+ − = 380. 4 0y y′′ ′− =

381. 1

2 3 03y y y′′ ′− + = 382.

10

4y y y′′ ′− + =

383. 25 0y y′′ + = 384. 4 13 0y y y′′ ′+ + =

Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove

homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstanti

385. 2 2 xy y y e′′ ′− + = 386. y y x′′ + =

387. 22 xy y e−′′ ′+ = 388. 34 3 8 xy y y xe′′ ′− + =

389. siny y x′′ + = 390. 3 2 3sin cosy y y x x′′ ′− + = +

391. 4 4sin 2 4cos 2y y x x′′ + = − − 392. sinxy y e x′′ ′− =

393. 2 2 (2 1) xy y x e′′ − = − 394. ( 1)( )x xe y y e′′ ′+ + =

Pronañi pojedinačno rješenje diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljava

zadane uvjete

395. 2 1y y x′′ ′+ = − : 4)0( =y , 2)1( =y

396. 22 xy y y e′′ ′− + = : 0)0( =y , (0) 1y′ =

397. 36 9 sinxy y y e x′′ ′− + = − : (0) 2y′ = , ( ) 0y π′ =

398. 1y y′′ + = : (0) 1y′ = , (0) 2y′′ =

Page 21: IV. Zbirka zadataka

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 147

5. Različiti zadatci

Riješi diferencijalne jednadžbe

399. 3 1x y′′′ = 400. ln( )y x′′ =

401. 0=+ dydx 402. 0=+ xdyydx

403. ( )x y y y′+ = 404. 2xy x y′ = −

405. 2 sinxy x x y′ − = 406. 2 2 0y y x y′ − + =

407. 6 25 0y y y′′ ′− + = 408. 4 4 4y y y′′ ′− + =

409. 2 4 8y y x′′ ′− = − 410. 1

55 6 41 cosx

y y y e x′′ ′− + = −

Snižavanjem reda riješi diferencijalne jednadžbe

411. 3 2 0y y y′′′ ′′ ′− + = 412. 1y y′′′ ′+ =

413. 0IVy y′′− = 414. 3 0IVy y′′′− =

Page 22: IV. Zbirka zadataka

148 Zbirka zadataka

R. RJEŠENJA

EF ���� � �� �� , � � ��� �� �� � � , ���� � �

� �� � �� 2. ���� � G

3. ���� � ��� , ���� � ��� � � 4. ��� � �� �� � �

5. ��� � �� �� � �

��� � ��. 6. ��� � <=>%<H� � � 7. ��� � �� � ��

8. ��� � ��� � �� �� � �� 9. ��� � � �

� ���� 10. ��� � �� � � �

� ����

11. Jest 12. Nije 13. Jest 14. �� �� � G 15.

�� ���! � G

16. �- ��-# � G 17. � �

��! � G 18. �"�%" � G 19.

�"�- ���-I& � G

20. '� � G 21. 9� %� � G 22.

���� ��� � G 23. �� � ���� � G

24. �� )� � � �� ) � G 25.

�"� �� � ��� � � � G 26.

8���� � ��� � G

27. � �* � @HJ)J � G 28.

�-����� � ��� � G 29.

�� �� � '� � K@HJ�J � G

30. �" �" � �� � �� � �

� � G 31. �� �� � L� � ��

� � 8�� � ��@HJ�J � G

32. �745�� G 33.

�7M�45� � G 34. � � ��� � G

35. ��<=>%<H �

� � G 36. ��� @H N��������N � G 37. ��. @H N��������N � G

38. @HO� � ��� � �O � G 39. @HO� � ��� � �O � G

40. <=> �� �� � G 41.

�� ���� � �' � L@HO� � ��� � �'O � G

Page 23: IV. Zbirka zadataka

R. Rješenja 149

42. ������ � �' � L@HO� � ��� � �'O � G 43.

�� ���' � �� � L<=> �� �

� � G

44. ��" ��� � ��9 � G 45. � �

-C�� � ���� � G 46. �8 C��� � '��! � G

47. �� ����� � �� � G 48. � �

� ������ � G 49. � �� ��� � � G

50. ��� � K � G 51. � ��123� $ � G 52. @HJ@H�J � G

53. �� � � :���� � �� � G 54. �� @HJ%� � �J � G 55.

�� @H�� � G

56. �� ��

!�� � G 57. � "�� C�� � ����& � G 58. � �

" �� � ���C�� � ���� � G

59. ��<=>%<H ���

� � G 60. �8 @H N��9���N � G 61. @HO� � � � ��� � L�O � G

62. <=> �� ���� � G 63.

�� �� � ����� � �� � � � @HO� � � � ��� � �� � �O � G

64. �� �� � ����� � �� � �

�<=> ���� � �� � G 65. ��@H� � �� � G

66. �� � ���� � G 67. P�� � � � �� � � G

68. �� �� � � �� ��� � � ��� � G 69. Q ��45�� ��45��� �

45!�R�� � G

70. �" �" Q:�; � � �

"45�SR � G 71. �� ���! ��@H� � �� � G

72. – ��� � �� � ����� � G 73. �%<H� � @HJ�� �J � G

74. % <=>%<H% � �� @H�%� � �� � G 75.

������ <=> ��� � �

��� � �� � G

76. % Q@A?��% � �45� :�;� % � �

45��R � G 77. �� ����� � � ���� � G

78. �

45��������� � � @H� �� �� � G 79. �� ������ � � �� �� � G

80. �@HJ�J � G 81. ���# � G 82.

"� @HJ�� � �J � G 83. � �

-������! � G

84. ���<=>%<H

����� � G 85.

�� @H��� � �� � �� � �<=>%<H�� � �� � G

Page 24: IV. Zbirka zadataka

150 Zbirka zadataka

86. – @H��� � �� � ��� <=>%<H

���� G 87. � �

� @H��� � �� � �� � �� <=>%<H ���

� � G

88. � ��������� G 89.

��������� �

� <=>%<H� � G

90. � @HJ� � �J � @HJ� � �J � G 91. � @HJ� � �J � @HJ� � �J � G

92. @HJ� � �J � � @HJ� � �J � ����� G 93.

�� ������� � G

94. @HJ� � �J � <=>%<H �� � G 95. @H N���� N � �

� � G

96. �� @HJ�J � � @HJ� � �J � �

� @HJ� � �J � G

97. � �� @HJ�J � �

� @HJ� � �J � �� @HJ� � �J � G

98. �� @H N������N � �

� <=>%<H� � G 99. �� @H��� � �� � �

�������� G

100. �� �� � �� � @HJ� � �J � G 101.

�� �� � �� � � @H N������N � G

102. �� �� � @HJ�� � � � �J � G 103. � � � <=>%<H �

� � G

104. �� � '� � � @HJ� � �J � �� @HJ� � �J � G

105. � � @H��� � �� � � � �� � G 106. �� �� � � � � @HJ�J � � <=>%<H �

� � G

107. � � �@HJ�J � <=>%<H�� � �� � G

108. �� �� � �

� @H N������N � �� <=>%<H� � G 109.

�� �� � �

�������� @H��� � �� � G

110. ��� � � @H+�� � �, � G 111. ��� � � � � <=>%<H�� � � � G

112. �� �� � ���� � �! � G 113. '��B � � @H U ��B ��

��B ��U � G EEVF� ��DQ���� R� � G

115. ��D���� � @H N��������������N � G 116. – @H U�������� U � G

117. �� � �� � @H U�������� U � G 118. �� ���� � �

�� �� '� � G

Page 25: IV. Zbirka zadataka

R. Rješenja 151

119. �� �� �� � �

8 �� �� � G 120. �� �� � � �

�� �� (� � G

121. �� � � � �S �� ��� � G 122. � �

� �� �� � �8 �� �� � �

�� ��'� � G

123. �� �� � � �

�� ���� � ��S ���� � G 124.

�/01� � G

125. � �� 123� � � G 126.

��/01����! � G 127.

�� <=>%<H Q�� �� �R � G

128. �� %<H�� � G 129. >A%�� � >A%� � G 130. @HJ%<H �J � G

131. �� <=>%<H��%<H�� � G 132. � �

$W57���� G

133. @H U$W57���

$W57���U � @H N%<H Q�� � X

�RN � G 134. � � %<H �� � G

135. �" @H U

�$W57���$W57���

U � G 136. ����� � G 137.

�7M� �Y7Y!45��45� � G

138. �� C�� � ���! � G 139.

�- C��� � L��# � G

140. �. @H N��"���N � G 141. @H��� � �� � �� � <=>%<H�� � �� � G

142. �� @HJ�J � � @H��� � �� � �<=>%<H� � G 143. � � @H N� � ���N � G

144. ��� � ��<=>%<H� � �� �� � G 145. � <=> ���� � �

��� � ��� � G

146. �� �� :�; �� � �

� 45�S�� � G 147. �

45�������@H� ��� � �� �� � G

148. ����# � ��� � G 149. ��� � � � @HO� � ��� � �O � G

150. ��/01�123� � G 151.

��123��� /01� � � G

Page 26: IV. Zbirka zadataka

152 Zbirka zadataka

152. 15

4 153.

5

12 154. 1 155. 1− 156.

3

π

157. 8

9 ln 3 158.

24

5− 159.

3

2 160.

116

5 161. 43−

162. 25 163. 49

30− 164.

26

3 165.

15

4 166.

2

12−

167. 3

8

168. 3ln5 4−

169. 1

2 170.

162ln 3

3−

171. 2

3− 172.

2

π 173. 2− 174.

2 1

4

e +

175. 2 5e

e

− 176.

9 ln10

10ln10

− 177.

2

4

π − 178.

8ln 2 4

ln 2

179. 4

π 180.

5 8ln 2

4

− 181.

2ln 2

12

π − 182.

1

2

eπ +−

183. 0 184. 3

2− 185.

146

15 186. 0

187. π 188. 0 189. 16

3 190.

128

3

191. 32( )

3f x x= ,

16(4)

3f = 192. 3 21 2

( )3 3

f x x x= + − ,2

(0)3

f = −

193. ( ) ln 2 lnf x x= − , ( ) ln 2 1f e− = −

194. 3 43( ) 4

4f x x x= + − ,

17(1)

4f =

195. 33 1

( )2

xf x

x

−= ,

23(2)

4f =

196. 1

( ) ln 12

xf x

x

+= +

+,

4(3) ln 1

5f = +

197. 9 198. 4 199. 24 200. 1 201. 2

202. 9

2 203.

38

3 204. 1 205. 16 206. 24

Page 27: IV. Zbirka zadataka

R. Rješenja 153

207. ( )2

2

1

92

2P y y dy

= + − =∫ 208. ( )1

2

0

11

3P y dy= − =∫

209. ( )2

2

1

12 3 2

3P x x dx= − + − =∫ 210. ( )

2

2

0

644 4

3P x dx= − =∫

211. 64

3 212.

16

3 213.

3

4 214. ( )

2

3

0

2 4 8P x x dx= − =∫

215. ( ) ( )1 4

3

0 1

492

12P x x dx x x dx= + + − + =∫ ∫

216. 7

3

217. 4

3

218. 1

3 219.

1

12

220. 1 1 2

2

3 0 0

1 33 4 3 4

2 4P x dx xdx y dy

= + − = − = ∫ ∫ ∫ , 8P =

221. 2 2 2

2

2 0 0

1 82 2 2

2 3P x dx xdx y dy

= + − = − = ∫ ∫ ∫

222. ( ) ( )4 6 2

2

0 4 0

226 6

3P xdx x dx y y dy= + − = − − =∫ ∫ ∫

223. 3 3

1 4

2 3

10 2 1 3 1 355 ln 6

3 3 2 1 12

xP x dx y dy

x y

+ = − − = − − = − − ∫ ∫

224. 1 4 2

0 0

4

ln 4

2 4P arctgx dx tgydy dy

π π

π

π π+ = − = + = ∫ ∫ ∫

225. 1

0 1 0

ln 1

e e

yP dx xdx e dy e= − = = −∫ ∫ ∫

226. 32

5

π

227. 625

6

π

228. 256

5

π

229. 49

30

π

230. 162

5

π

231. 2

π

232.

21 4

0 1

4 3

3 2

xV xdx dx

ππ π

− = + = ∫ ∫

233. 1 2 22

23

1 11

8 8

1 49

4 80V x dx x dx dx

ππ π−= + − =∫ ∫ ∫

Page 28: IV. Zbirka zadataka

154 Zbirka zadataka

234. ( ) ( )4 4

2

1 1

2

452 1 1

4V x dx x dx

ππ π

= + − − =∫ ∫

235. ( ) ( )3 0

2 22 2

1 1

19362 6 2 2

15V x x dx x x dx

ππ π

− −

= − + + − − =∫ ∫

236. 16

15

π 237.

2

π 238. 8π 239.

3

10

π 240.

34

5

π

241.

1

1 1223

2

10 0

2

1 78

5V ydy dy y dy

y

ππ π π= + − =∫ ∫ ∫

242. 38

3 243.

19

27 244. ( )ln 1 2 2+ +

245. ( )1ln 2 5 5

2+ + 246.

1ln 3

2− 247.

9ln 4

8+

248. 22

2

3

cos 11 ln 3

sin 2

yl dy

y

π

π

= + =∫ 249.

2 2ln

3

2

3ln

2

1 1 3ln

1 2 2xl dx

e= =

−∫

250. 7

9

π 251.

56

3

π 252.

6

5

π

253. 22

4

4

2 4cos2 1 4 2

sin sin

xP dx

x x

π

π

π π= + =∫

254. 2π 255. 13

3

π

256. ( )2

2

0

4 ln 2 34

3 3P y y ydy

ππ += + =∫

257. 0,165 258. 13,811− 259. 3,093 260. 0,342 261. 8,018

262. 223,054 263. 1,585 264. 16,083− 265. 0,439− 266. 0,195

267. 2,063 268. 268,383 269. 21,998 270. 4,554 271. 0,334

272. 0,732− 273. 0,000 274. 87,786− 275. 0,635 276. 4,022−

Page 29: IV. Zbirka zadataka

R. Rješenja 155

277. 64

5 278.

1793

12 279.

1

3− 280. 0

281. ( )0 2

3 0

13

2x dx xdx

− + =∫ ∫ 282. 5

2 283.

1

2 284.

1

2

285. ( ) ( )0 2 0

3 3 2

52 2 2

2x dx x dx x dx

− − −

+ = − − + + =∫ ∫ ∫

286. 5 287. 2 288. 0 289. 3 2e e+ − 290. 1

291. 2 2 2

0

4

a

P a x dx aπ= − =∫ 2 2

0

14 2

a

l a dx aa x

π= =−

292. 2

2 2

2

03

va

V x dx a vv

ππ= =∫ ( )

2 22 2 2

2

0

2

va a v

P a xdx a a a vv

π π π+

= + = + +∫

293. ( )2 2 3

0

42

3

a

V a x dx aπ

π= − =∫ 2

0

4 4

a

P a dx aπ π= =∫

294. Promatraj vrtnju kružnice ( )22 2x y b a+ − = oko osi x

2 2 2 2

0

8 2

a

V b a x dx a bπ π= − =∫ 2

2 20

18 4

a

P ab dx aba x

π π= =−

Page 30: IV. Zbirka zadataka

156 Zbirka zadataka

295. Jest 296. Nije 297. Jesu 298. Nisu

299. Jest 300. Nije 301. Jest 302. Jesu

303. Jest 304. Jest 305. Nije 306. Jesu

307. Cxxy +−= sin2 308. Cexy x +−=

309. Cxy ln= 310. Cxxy ++= lnln 2

311. 21

23 CxCxxy +++= 312. 21

3 ln6

1CxCxxy +++=

313. xCxCeyx

21 ln−+= 314. 21sincos CxCxxxy +++=

315. 32

2

1 CxCxCy ++= 316. 32

2

1

3 sin2

1CxCxCxxy +++−=

317. 32

2

1 CxCxCxey x +++−=

318. 32

2

1

2 ln3ln CxCxCxxy ++++=

319. 1ln23 +−+= xxxy 320. 3cossin −+= xxy

321. 45 25 +−= xey x 322. 121124 +−−= xxxy

323. 16

13

4

112

+−−

= xx

xy 324.

tan cot 2y x x x= + + −

325. 2xey x −= 326. 132061 2

3

3 −+−+= xxx

xy

327. Cyx =− 43 38 328. Cyx +−= 12

329. Cxy += 2ln2

1 330. C

yx=+

32

32

Page 31: IV. Zbirka zadataka

R. Rješenja 157

331. Cyxyx =+−− )sin(cos222 332. Cyeex yx =−− )1(

333. Cyx=−

11 334.

2xCey =

335. Cyx =+ 22 336. Cyx =− 3

3

337. Cyx ++= )3ln( 2 338. Cee yx =+−

339. Cxxy ln−= 340. Cxyx ln2 22 =

341. 0ln =+ Cyyx 342. y

xCx 2ln

2

1ln =

343. Cxxy ln= 344. Cx

xy

ln−=

345. Cxxy ln2 22 = 346. 0cosln =+x

yCx

347. Cyyx ln= 348. 0ln2 22 =+ Cxyx

349. ln tany

Cxx

= 350. 2 arctany x Cx=

351. xCey 3−= 352. Cxy =

353. xCey cos= 354. xCxy =

355. xeCxy )( 2 += 356. 122 22 +−+= − xxCey x

357. x

Cxxy ++= 2

358. x

C

x

xxy ++=

cossin

359. 2

)( xeCxy += 360. 1cos += xCey

361. x

Cxy += 4

362. )(ln 2 Cxxy +=

363. xeCxy

1

)( += 364. 1−= tgxCey

Page 32: IV. Zbirka zadataka

158 Zbirka zadataka

365. 14 += xey 366. x

xy3

2

3

1 2 +=

367. xey sin= 368. 1−=y

369. Ce

ey

x

x

+−= 370. 2)( Cxxy +=

371. Cxey x +±= 2 372.

33

2

5

3

x

Cxy +=

373.

Ce

ey

x

x

+±=

2

2

2

374. 33

1

)( Ceeyx

x +=−

375. 2

1 2

x xy C C e e= + − 376. 2 3

1 2y C C x x= + +

377. 3

1 2ln lny x C x C= + + 378. 2

1 2cos cosy x C x C= + +

379. xx eCeCy 3

2

2

1

−+= 380. 2

4

1 CeCy x +=

381. 1)( 2

21 ++= xeCxCy 382. x

eCxCy 2

1

21 )( +=

383. xCxCy 5cos5sin 21 += 384. xexCxCy 2

21 )3cos3sin( −+=

385. 2

1 2( ) xy x C x C e= + + 386. xxCxCy ++= cossin 21

387. xexCCy 2

21 )2

1( −−+= 388. xx eCxxeCy 3

2

2

1 )22( +−+=

389. xxCxCy cos)2

1(sin 21 −+= 390. xeCeCy xx cos2

21 ++=

391. xxCxxCy 2cos)(2sin)( 21 ++−=

392. xx exxeCCy )cos(sin2

121 +−+=

393. xx eCeCxxy −++−= 21

2 )2

1

4

1(

394. )1ln()1(21 ++++= −− xxx eeeCCy

Page 33: IV. Zbirka zadataka

R. Rješenja 159

395. 432 +−= xxy 396. xx eey −= 2

397. xexy 3)3

1(sin += 398. 21 CxCey x ++=

399. 32

2

1ln2

1CxCxCxy +++= 400. 21 CxCey x ++=

401. Cyx =+ 402. Cxy =

403. lnx y Cy= 404. x

Cxy −=

405. xxCxy cos+= 406. 2)1( ++= xCey x

407. xexCxCy 3

21 )4cos4sin( += 408. ( ) 2

1 2 1xy C x C e= + +

409. xxeCCy x 322

21 +−+= 410. 1

51 2( 4sin 5cos )

xxy C e C x x e= + + +

411. 2

1 2 3

x xy C e C e C= + + 412. 1 2 3sin cosy x C x C x C= + + +

413. 1 2 3 4

x xy C e C e C x C−= + + + 414. 2 3

1 2 3 4

xy C x C x C e C= + + +