U praksi se vrlo često susrećemo sa pravolinijskim oscilatornim kretanjima materijalne tačke i zbog toga je značajno da budu proučena.
Ovdje će biti proučeno, ukratko, oscilatorno kretanje materijalne tačke, a oscilatorna kretanja materijalnog sistema i elastičnih tijela se proučavaju u posebnom predmetu.
Ovdje ćemo razmatrati: slobodne neprigušene oscilacije, slobodne prigušene oscilacije i prinudne oscilacije. 8.1. SLOBODNE NEPRIGUŠENE OSCILACIJE Da bismo objasnili slobodne neprigušene oscilacije posmatrajmo kretanje tačke M mase m koja je vezana oprugom za nepomičnu tačku A (slika 8.1.). Tačka M se kreće po horizontalnoj idealno glatkoj ravni. Pretpostavimo da je dužina nenapregnute opruge OA, gdje je O položaj statičke ravnoteže tačke M i neka su početni uslovi t = 0, 0vx =& , x = x0.
Slika 8.1. Uz objašnjenje slobodnih neprigušenih oscilacija
Pretpostavimo da je deformacija x opruge mala, tako da je sila opruge proporcionalna deformacija, tj. F0 = c ⋅ x (8.1.)
Oscilacije materijalne tačke
A
c
y
0
x
x
M(m)
0Fr
nFr
gmr
gdje je: c - krutost opruge x - deformacija opruge Primijetimo da je sila opruge (sila uspostavljanja) 0F
r u svakom trenutku vremena
usmjerena ka tački O. Njena projekcija na osu 0x ima suprotan znak od kordinate x. Diferencijalnu jednačinu pravolinijskog kretanja tačke M formirat ćemo saglasno II Newtonovom zakonu xcFxm ⋅−=−= 0&& (8.2.) odnosno
0=+ xmcx (8.3.)
Ako uvedemo pojam materijalne konstante 2ω=mc koja se naziva kružna frekvencija
slobodnih neprigušenih oscilacija materijalne tačke M mase m, to jednačinu (8.3.) možemo napisati u obliku
.02 =+ xx ω&& (8.4.)
Jednačina (8.4.) naziva se diferencijalna jednačina slobodnih neprigušenih oscilacija materijalne tačke M. Vidimo da se radi o linearnoj homogenoj diferencijalnoj jednačini drugoga reda sa konstantnim koeficijentima. Integriranjem jednačine (8.4.), dobijamo zakon kretanja kojeg možemo napisati u obliku
. sin cos 21 tCtCx ωω +⋅= (8.5.)
Diferenciranjem po vremenu ove jednačine, dobija se
tCtCx cos sin 21 ωωωω +⋅−=& , (8.6.)
a zamjenom navedenih početnih uslova dobijaju se integracione konstante C1, C2,
. , 0201 ω
vCxC == (8.7.)
Zakon kretanja materijalne tačke M koji zadovoljava početne uslove je
. sin cos 00 t
vtxx ω
ωω +⋅= (8.8.)
Vidimo da je kretanje tačke u ovom slučaju moguće samo ako postoje početni uslovi kretanja različiti od nule, što odgovara činjenici da ako nema deformacije opruge, nema ni kretanja. Ako uvedemo nove konstante A i α koje su određene slijedećim izrazima
,cos ,sin 21 αα ACAC == (8.9.)
te nihovom zamjenom u jednačinu (8.5.), dobijamo
). sin( αω += tAx (8.10.)
Kao što se vidi iz ove jednačine, rastojanje tačke od položaja ravnoteže O mijenja se po harmonijskom zakonu, pa se ove oscilacije i nazivaju slobodne harmonijske oscilacije tačke. Grafik ovih oscilacija prikazan je na slici 8.2.
Slika 8.2. Grafik slobodnih neprigušenih oscilacija tačke Veličina A u jednačini (8.10.) predstavlja amplitudu slobodnih neprigušenih oscilacija tačke, a određena je izrazom
.2
020
22
21
+=+=
ωv
xCCA (8.11.)
Ugao ϕ = ω t + α naziva se fazom oscilovanja tačke, dok ugao α predstavlja početnu fazu oscilovanja, koju određujemo iz jednačine
.
0
0
2
1
vx
CCtg
ωα == (8.12.)
Period Tω slobodnih neprigušenih oscilacija tačke određen je izrazom
.22cmT π
ωπ
ω == (8.13.)
Vidimo da period slobodnih neprigušenih oscilacija i kružna frekvencija ω ne zavise od početnih uslova kretanja. Ovo svojstvo naziva se izohronošću. Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencom. Frekvenca je određena izrazom
,2
12
1
cmT
fπ
πω
ω
=== (8.14.)
pa je .2 fπω =
Prema tome, kružna frekvencija ω i period oscilovanja T slobodnih neprigušenih oscilacija tačke su fizičke konstante. 8.2. SLOBODNE PRIGUŠENE OSCILACIJE
Ako na materijalnu tačku u toku oscilovanja, pored sile koja izaziva kretanje (sila opruge i sl.), djeluje i sila otpora, koja je uvijek usmjerena u smjeru suprotnom kretanju tačke, onda su oscilacije prigušene ili amortizovane. Ovdje će biti proučen slučaj oscilatornog kretanja kada je sila otpora srazmjerna prvom stepenu brzine (drugi slučajevi, kao npr. kada je sila otpora konstantna - sila trenja, biće analizirani u udžbeniku Teorija oscilacija).
x
t
T
A
0
x0
Posmatrajmo kretanje tačke M mase m na idealno glatkoj horizontalnoj ravni koja je vezana oprugom krutosti c (sl. 8.3.). Na tačku M osim sile uspostavljanja 0F
r djeluje i sila otpora,
koja je srazmjerna prvom stepenu brzine vr a suprotnog smjera je od brzine
,xbvbFw &⋅=⋅= (8.15.)
gdje su: b - koeficijent proporcionalnosti koji karakteriše otpor sredine,
vr - brzina tačke.
Slika 8.3. Slika uz objašnjenje slobodnih prigušenih oscilacija Iz mehaničkog modela prikazanog na slici 8.3. vidimo da je osim opruge za tačku M vezan amortizer - cilindar sa klipom. Diferencijalna jednačina kretanja u vektorskom obliku glasi
.0 nw FgmFFamrrrrr
+++= (8.16.)
Projektovanjem vektorske diferencijalne jednačine (8.16.) na pravac kretanja osom 0x dobijamo diferencijalnu jednačinu pravolinijskog kretanja tačke M duž ose 0x xcxbFFxm w ⋅−−=−−= &&& 0 ili
.0=++ xmcx
mbx &&& (8.17.)
Uvedimo oznake
, 2 2ωmc
mb
== δ (8.18.)
gdje je: δ - koeficijent prigušenja, ω - kružna frekvencija slobodnih oscilacija tačke. Konstante δ i ω imaju dimenziju ugaone brzine [Τ-1], a jedinicu [s-1]. Sada jednačina (8.17.) glasi
,0 2 2 =++ xxx ωδ &&& (8.19.) Jednačina (8.19.) predstavlja diferencijalnu jednačinu slobodnih prigušenih oscilacija materijalne tačke, za slučaj da je sila otpora proporcionalna prvom stepenu brzine.
A
c
y
0
x
x
M(m) 0F
r
nFr
gmr
x&wFr
b
x oFr
wFr
M 0
Zavisno od intenziteta prigušenja, odnosno zavisno od veličine koeficijenta b, imamo i tri oblika rješenja jednačine (8.19.), a što suštinski predstavlja i tri različita oblika kretanja. 8.2.1. SLUČAJ MALOG PRIGUŠENJA δ < ω - PRIVIDNO PERIODIČNA KRETANJA Opći integral diferencijalne jednačine (8.19.) određen je izrazom
,
)sincos(222
21
δω
δ
−=
+= −
pptCptCex t
(8.20.)
gdje su C1 i C2 proizvoljne integracione konstante koje se određuju iz početnih uslova kretanja. Da bismo ih odredili pretpostavimo da je t = 0, x = x0 i 0vx =& . Kada diferenciramo po vremenu jednačine (8.20.) imat ćemo
),cossin()sincos( 21
21 ptCptCpeptCptCex tt +−++−= −− δδδ& (8.21.)
te zamjenom početnih uslova dobijamo
. 00201 p
vxCxC
+==
δ (8.21.)
Partikularni integral jednačine (8.19.) je
.sincos 000
++= − pt
pvx
ptxex t δδ (8.22.)
Vidimo da je zakon kretanja tačke određen superponiranjem dva harmonijska kretanja, istih kružnih frekvencija p, različitih amplituda i različitih faza. Amplitude u ovom slučaju nisu konstante, već zavise od vremena tako da se tokom vremena, smanjuju. Zakon kretanja tačke moguće je napisati u jednostavnijem obliku, tako što ćemo uvesti nove konstante A i α
C1 = A sin α C2 = A cos α. (8.23.)
Smjenom ovih konstanti u jednačinu (8.20.), dobijamo zakon kretanja tačke ),sin( αδ += − pteAx t (8.24.) gdje je
2
0020
22
21
++=+=
ρδ vx
xCCA
a fazni ugao α određen je izrazom
.00
0
2
1
vxpx
CCtg
+==
δα
Na osnovu općeg integrala (8.24.), slijedi da za slučaj kada vrijeme teži beskonačnosti 0 jejer 0, →→∞→ − text δ , pa se kretanje tačke naziva prigušenim. Iz slike
vidimo da kretanje nije periodično. Ono je oscilatornog karaktera jer je interval vremena između bilo koja dva uzastopna prolaska tačke M kroz maksimalne otklone konstantan i
jednak pπ2 , pa se ovo kretanje naziva prigušeno oscilatorno, sa uslovno nazvanim
periodom koji je određen relacijom
.2222 δω
ππ
−==
pTp (8.25.)
Slika 8.4. Dijagram razmatranog kretanja Napišimo period oscilovanja prigušenih oscilacija tačke u obliku
,1
1
2
22 ψ
ωδ
ωπ
ω
−=
−
=T
Tp (8.26.)
gdje je:
ωδ
ψ = - bezdimenzionalni koeficijent otpora,
Tω - period oscilovanja slobodnih oscilacija pri istoj krutosti opruge c i za istu masu m. Vidimo da je Tp > Tω. Dakle, otpor povećava period oscilovanja. U trenutku kada tačka M dosziže maksimalno udaljenje od tačke O, brzina tačke je jednaka nuli, pa se iz uslova 0=x& mogu odrediti ti trenuci. Na osnovu jednačine (8.24.) dobijamo da je
x
t
Tp
A
0
A sin
α
A
t1 t2
tAe δ−
- tAe δ−
[ ][ ]
.)1( 1
,...2,1 , )1(
0cos()sin(
pnptgarc
pt
npnpttg
ptppteAx
n
n
nnt
πα
δ
δπα
ααδδ
=−+
−
=
==−−+
=+++−= −&
(8.27.)
Pri izračunavanju tn korištena je trigonometrijska relacija tg(α − kπ) = tgα, k = 1,2,..., a koeficijent (n - 1), uz π/p uzet je da bi n-toj amplitudi An od početka kretanja odgovarao trenutak tn. Izračunajmo odnos između uzastopnih amplituda An i An+1. Primijetimo da je
tn+1 = tn + pπ
, tako da se iz (8.20.) dobija
( )
,
sin 1sin
/ 1
/ (1
np
n
ntp
npt
n
A eA
pteAep
ppteAA nn
⋅−=
+−=
++=
−+
−−
+−+
πδ
δπ
δπδ αα
odnosno
.1.1
>===−
+
constDeAA p
n
nπ
δ
(8.28.)
Možemo zaključiti, amplitude se smanjuju u toku vremena. Odnos između svake dvije uzastopne amplitude je konstantan, a te dvije uzastopne amplitude su suprotnih znakova. Ukoliko je koeficijent prigušenja δ veći, odnos D = An/An+1je veći i amplitude brže teže nuli, opadaju po zakonu geometrijske progresije. Često se kao karakteristika prigušenja koristi tzv. logaritamski dekrement D, koji je određen izrazom
D = .21
1 pnn TAlnAlnp
lnD δδπ
=−== + (8.29.)
Na osnovu njegove brojne vrijednosti može se ocijeniti brzina prigušenja ovih oscilacija. Logaritamski dekrement je neimenovan broj. 8.2.2. SLUČAJ VELIKOG OTPORA δ > ω - APERIODIČNA KRETANJA Opći integral diferencijalne jednačine (8.19.) određen je izrazom
22221
) (
ωδ
δ
−=
+= −
qqtshCqtchCex t
(8.30.)
gdje su C1 i C2 proizvoljne integracione konstante koje se određuju iz početnih uslova kretanja. U slučaju velikog prigušenja (δ > ω), materijalna tačka vrši aperiodično kretanje. Zakon kretanja dat je jednačinom (8.30.), koji je, zavisno od početnih uslova kretanja, predstavljen nekom od krivih koje su prikazane na slici 8.5. Grafik a za slučaj da je t = 0 x = x0 > 0, x = 0v& > 0, to jest kada je u početnom trenutku materijalna tačka pomjerena iz položaja statičke ravnoteže za x0 i kada joj je
saopštena početna brzina u istom pravcu i smjeru, tačka se prvo udaljava od ravnotežnog položaja, a zatim se asimptotski približava tom položaju. Slika 8.5. Grafik kretanja tačke zavisno od početnih uslova kretanja Grafik b za slučaj da je t = 0 x = x0 > 0, 0vx =& < 0, tačka je pomjerana iz ravnotežnog položaja x0 i saopštena je brzina 0vx =& u suprotnom smjeru. Tačka se približava položaju ravnoteže, prođe kroz njega, udaljava se od tog položaja, a zatim se asimptotski približava položaju ravnoteže ne prolazeći više kroz njega. Grafik c za slučaj t = 0 x = x0, 0vx =& ≈ 0, tačka puštena bez početne brzine pomjerena iz položaja statičke ravnoteže za x0. Tačka se asimptotski približava ravnotežnom položaju ne prolazeći kroz njega. 8.2.3. GRANIČNI SLUČAJ APERIODIČNOG KRETANJA Ako je prigušenje takvo da je δ = ω , zakon kretanja dat je izrazom
.)( 21
tetCCx δ−+= (8.31.)
Pošto proizvod t te δ− teži nuli kad se vrijeme t povećava, to kretanje nestaje u toku vremena. Očigledno je (pošto nema harmonijskih funkcija vremena, čije bi se vrijednosti ponavljale u toku vremena) kretanje je aperiodično. Ovo je granični slučaj aperiodičnog kretanja.
x
t 0
x0
a
c
k
8.3. PRINUDNE NEPRIGUŠENE OSCILACIJE Posmatrajmo pravolinijsko kretanje tačke M mase m (mehanički model prikazan na slici 8.6.) po horizontalnoj idealno glatkoj površini pod djelovanjem sile uspostavljanja, 0F
r u
opruzi, definisane izrazom (8.1.) i spoljašnje dinamičke poremećajne sile dFΩ
r koja se
mijenja po zakonu ),sin( β+Ω⋅=Ω tFF a
dr
(8.32.)
Slika 8.6. Slika uz objašnjenje prinudnih neprigušenih oscilacija gdje je Fa - amplituda sile, Ω - kružna frekvencija poremećajne sile,
(Ωt + β) - faza poremećajne sile, β - početna faza poremećajne sile .
Kako je koordinatni početak u položaju statičke ravnoteže, tačke M, diferencijalnu jednačinu pravolinijskog kretanja tačke M formirat ćemo saglasno II Newtonovom zakonu ).sin( β+Ω+−= tFcxxm a&& (8.33.)
Uvođenjem oznaka , i 2
mF
hmc a==ω predhodna jednačina se svodi na oblik
),sin(2 βω +Ω=+ thxx&& (8.34.)
i to je diferencijalna jednačina prinudnih neprigušenih oscilacija materijalne tačke. Radi se o linearnoj nehomogenoj diferencijalnoj jednačini drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Opći integral ove jednačine je x = xh + xp, gdje je xh rješenje homogene jednačine, a xp - partikularni integral. Homogena jednačina, kada se na desnu stranu gornje jednačine stavi nula, ima oblik (8.4.), tako da je ) sin() cos( 21 tCtChh ωω += (8.35.) ili ), sin( αω += tAxh
gdje su C1 i C2, odnosno A i α, konstante. Oblik rješenja jednačine (8.34.) zavisi od odnosa kružne frekvencije slobodnih harmonijskih oscilacija ω i kružne frekvencije poremećajne sile Ω, tj. ako je ω ≠ Ω, onda se partikularni integral traži u obliku u kome je i funkcija na desnoj strani te jednačine
A
c
y
0
x
x
M(m)
0Fr
nFr
gmr
dFΩ
r
0Fr
dFΩ
r x M 0
),sin( β+Ω= tCx p (8.36.)
gdje je C - nepoznata konstanta. Potražimo drugi izvod px&&
)sin(2 β+ΩΩ−= tCx p&& (8.37.)
te uvrštavanjem px i px&& u jednačinu (8.34.) dobijamo nepoznatu konstantu
.22 Ω−=
ωhC (8.37.)
Konačno, partikularni integral je
).sin(22 βω
+ΩΩ−
= thx p (8.38.)
Opći integral jednačine (8.34.) sada možemo napisati u obliku
)sin( sin cos 2221 βω
ωω +ΩΩ−
++− thtCtCx
ili
).sin() sin( 22 βω
αω +ΩΩ−
++= thtAx (8.39.)
Vidi se da je kretanje periodično i da predstavlja zbir dvije harmonijske funkcije. Prvi član predstavlja slobodne ili sopstvene oscilacije sa kružnom frekvencijom ω, a drugi član predstavlja prinudne oscilacije. Kružna frekvencija prinudnih oscilacija je Ω, a amplituda je C. Treba napomenuti sa integracione konstante C1 i C2 (odnosno A i α) određuju iz početnih uslova kretanja. Dijagram x = x(t), saglasno jednačini (8.39.) dobijamo slaganjem dijagrama xh i xp kao što je prikazano na slici 8.7. Ovdje su nacrtani dijagrami za slučaj ω>Ω, tj. kada je period oscilovanja sopstvenih oscilacija Tω manji od perioda oscilovanja prinudnih oscilacija TΩ. Slika 8.7. Slaganje dijagrama xh i xp Amplituda A zavisi od početnih uslova, dakle, od konstanti C1 i C2 i od amplitude prinudnih oscilacija C, kao i od kružnih frekvencija ω i Ω.
xh
t
ωπ
ω2
=T
0
xp
t 0
C
x
t 0
A
Ω=Ω
π2T
8.3.1. REZONANCIJA
Razmotrimo detaljnije zavisnosti amplitude prinudnih oscilacija od frekvencije Ω poremećajne sile, koja je određena jednačinom (8.38.). Navedeni partikularni integral možemo napisati u obliku
), tsin(1
2
2β
ω
ω +Ω
Ω
−
=
h
x p (8.40.)
gdje je - amplituda C
2
2
1
Ω
−
=
ω
ωh
C
- statičko izduženje opruge ,2 stfc
hmh=
⋅=
ω
- koeficijent poremećaja .ω
λΩ
=
Kako je fst isto vrijeme i amplituda prinudnih oscilacija pri statičkom djelovanju poremećajne sile, tj. fst = Cst, to se odnos amplituda prinudnih oscilacija pri dinamičkom i statičkom djelovanju poremećajne sile naziva dinamički faktor pojačavanja.
,1
1
122
2
2
22
222
λ
ωω
ωω
ωωη−
=
Ω
−
=Ω−
=Ω−==stst
dd f
h
CC (8.41.)
gdje je ω > Ω. Za slučaj ω < Ω imamo
1
12 −
=λ
ηd
Grafički prikaz pokazuje da dinamički faktor pojačavanja, a time i amplituda prinudnih oscilacija, teži beskonačnosti kada odnos ω/Ω teži jedinici, tj. kada Ω teži ω . Pojava nastajanja vrlo velikih amplituda prinudnih oscilacija usljed jednakosti kružnih frekvencija Ω i ω (ili usljed bliskih vrijednosti Ω i ω ) naziva se rezonancija.
Slika 8.8. Grafički prikaz zavisnosti |T| ηd od kružnih frekvencija
Ω < ω
Ω > ω
ωλ Ω=
1,0 2,0 3,0 4,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
ηd
Na osnovu jednačine (8.41.) i slike 8.8. može se vidjeti da dinamički faktor pojačavanja ne zavisi od vrijednosti maksimalne prinudne sile Fa pa znači u području rezonancije (Ω ≈ ω) mogu nastati vrlo velike amplitude oscilacija i pri maloj veličini prinudne sile. U slučaju (Ω = ω) partikularni integral jednačine (8.34.) treba potražiti u obliku
). sin() tcos( tBttAx p ω+Ω= (8.42.)
Dvostrukim diferenciranjem, dobija se
( ) )cos()2()sin(2 22 ttABttBAx p ΩΩ+Ω+ΩΩ+Ω−=&& (843.)
te zamjenom u jednačinu (8.34.), dobijamo
( )
).cos(2
0 2
)sin()cos()22()sin(2 2222
tthx
BhA
thtAtAtBttBtBA
p ΩΩ
−=
=Ω
−=
Ω=ΩΩ+Ω−Ω+ΩΩ+Ω−Ω−
(8.43.) Prikažimo jednačinu (8.43.) grafički (slika 8.9.). Slika 8.9. Zakon prinudnih oscilacija u slučaju rezonancije Vidimo da se amplitude neograničeno povećavaju u toku vremena. Pojava rezonance ima velik značaj u mašinstvu. U tehnici je vrlo značajno izbjeći rezonantno područje nekog mehaničkog sistema (mašine) jer bi u rezonantnom području, usljed velikih amplituda došlo do razaranja čitavog sistema, konstrukcije ili mašine. Kada se kružna frekvencija prinudne poremećajne sile vrlo malo razlikuje od kružne frekvencije slobodnih oscilacija tačke, nastupa pojava nazvana podrhtavanje ili bijenje. Obilježimo razliku ω i Ω, sa 2∆ tj. ω - Ω = 2∆, gdje je ∆ veličina mala u odnosu na ω i Ω. Odredimo zakon oscilovanja ako su početni uslovi: t = 0, x0 = 0, .00 =x&
xp
t 0
2π/Ω thΩ2
Opće rješenje, na osnovu jednačina (8.35.) i (8.39.) je
).sin() sin() cos( 2221 thtCtCx ΩΩ−
++=ω
ωω (8.44.)
Integracione konstante C1 i C2 dobijamo iz početnih uslova
,0 ,0 2221 Ω−+==
ωω
hCC
pa je zakon kretanja
.) sin() sin(22
Ω
−Ω−
= tthx ωω
ωω
(8.45.)
Izvršimo slijedeće aproksimacije
Ω∆≈Ω∆+∆=∆Ω+∆=Ω−Ω+=Ω−
≈∆−
=Ω
4442)22())((
12
222 ωωωω
ωω (8.46.)
tako da je zakon kretanja
[ ].) sin() sin(4
tthx ω−ΩΩ∆
=
Kako možemo izvršiti transformaciju
[ ] ),sin()cos(2)sin()(cos2
2sin
2cos2) sin()sin(
tttt
tttt
∆Ω−≈∆−∆+Ω=
=
−Ω
+Ω
=−Ωωω
ω
tako da je zakon kretanja
).sin()cos(4
tthx ∆ΩΩ∆
= (8.47.)
Jednačina (8.47.) grafički prikazana je na slici 8.10.
Slika 8.10. Zakon prinudnih oscilacija u slučaju podrhtavanja Sa grafičkog prikaza (sl.8.10.) vidimo da periodično nastaju vremenski intervali u kojima su amplitude velike i intervali u kojima su amplitude male. Ovakvo osciliranje je podrhtavanje.
x
t 0
2π/Ω
thΩ2
8.4. PRINUDNE PRIGUŠENE OSCILACIJE Posmatrajmo pravolinijsko kretanje tačke M mase m (slika 8.11.) po horizontalnoj idealnoj glatkoj površini pod djelovanjem sile uspostavljanja 0F
ru opruzi definisane izrazom (8.1.),
sile otpora wFr
viskoznog trenja koja je linearno srazmjerna brzini tačke vbFwrr
= (jednačina 8.15.) i prinudne poremećajne sile definisane jednačinom (8.32.)
Slika 8.11. Slika uz objašnjenje prinudnih prigušenih oscilacija
Diferencijalnu jednačinu kretanja dobijamo projektovanjem vektorske jednačine kretanja na pravac Ox ose
.0d
w FFFxm Ω+−−=&&
odnosno ).sin( β+Ω+−−= tFxbcxxm a&&& (8.48.)
Uvođenjem oznaka
, 2 2
mF
hmb
mc a=== δω (8.49.)
prethodna jednačina se svodi na slijedeći oblik
).sin(2 2 βωδ +Ω⋅=++ thxxx &&& (8.50.)
Rješenje jednačine (8.50.) sastoji se iz zbira općeg integrala xh odgovarajuće homogene jednačine i integrala xp nehomogene jednačine, tj. x = xh + xp. Rješenje homogenog dijela jednačine (8.50.) predstavlja slobodne oscilacije koje smo izanalizirali u poglavlju 8.2., a ovdje ćemo posmatrati slučaj kada je δ<ω, to jest opći integral homogene jednačine određen je relacijom (8.20.)
).sincos( 21 t ptCptCexh += −δ
Partikularni integral jednačine (8.50.) predstavlja tzv. prinudne oscilacije. Ovaj partikularni integral možemo predstaviti u obliku
)sin( 0ϕβ −+Ω= tCx p (8.51.)
A
c
y
0
x
x
M(m) 0F
r
nFr
gmr
v= x&
wFr
b
x oFr
wFr
M 0
dFΩ
r
dFΩ
r
gdje su C i ϕ0 konstante koje treba odrediti iz početnih uslova. Zamjenom xh, xp i px&& u jednačinu (8.50.),
β
ϕβωϕβδϕβ+Ω=
=−+Ω+−+ΩΩ+−+ΩΩ−th
tCtCtCsin(
)sin()cos(2)sin( 02
002
(8.52.)
Desnu stranu prethodne jednačine napišimo u obliku
[ ]ϕϕβ
ϕϕβϕϕββsin)cos(
cos)sin()(sin)sin(
0
0000
−+Ω++−+Ω=+−+Ω=+Ω
thththth
te je zamijenimo u jednačinu (8.52.). Izjednačavanjem koeficijenata uz iste promjenjive, dobijamo
.sin 2
cos)(
0
022
ϕδϕω
hChC
=Ω=Ω−
(8.53.)
Na ovaj način dolazimo do amplitude prinudnih oscilacija
,4)( 2222 Ω+Ω−
=δω
hC (8.54.)
kao i do ugla fazne razlike
.2220 Ω−
Ω=
ωδ
ϕtg (8.55.)
Konačni, opći integral (zakon kretanja) diferencijalne jednačine (8.50.) ima oblik
).sin()sincos( 021 ϕβδ −+Ω++= − tCptCptCex t (8.56.)
Konstante C1 i C2 treba odrediti na osnovu početnih uslova za koordinatu x i brzinu x& , kako je u ranijim slučajevima učinjeno. Grafički prikazan zakon kretanja jednačina (8.56.) dat je na slici 8.12. Sa slike 8.12. vidimo da je rezultirajuće kretanje zbir prigušenih oscilacija xh i prinudnih xp. Vidimo da se prigušene oscilacije gube u toku vremena i ostaju prinudne oscilacije amplitude C i kružne frekvencije Ω. Analizirajmo amplitude prinudnih oscilacija C. Uvođenjem oznaka
−Ω
=ω
λ bezdimenzionalni koeficijent poremećaja
−=ωδ
ψ bezdimenzionalni koeficijent otpora,
amplitudu prinudnih oscilacija (8.54.) napisat ćemo u obliku
.4)1( 22222 λψλω +−
=hC (8.57.)
Slika 8.12. Zakon kretanja prinudnih prigušenih oscilacija
Imajući u vidu da je stst Cfh==2ω
odnos amplitude C pri dinamičkom djejstvu
poremećajne sile i amplitude Cst pri statičkom djelovanju sile, definiše dinamički faktor pojačavanja.
2222 4)1(
1
λψλη
+−==
std C
C (8.58.)
xh
t
π/p
0
xp
t
π/Ω
0
C
x = xh + xp
t 0
C
Primjenom kružne frekvencije Ω poremećajne sile, mijenja se i dinamički faktor pojačanja, a ta promjena data je na slici 8.13. Vidimo da je ηd ( a time i amplitude prinudnih oscilacija) pri istoj vrijednosti odnosa frekvencija Ω/ω manje, ukoliko je prigušenje δ veće. U oblasti Ω ≈ ω amplitude imaju velike ali konačne vrijednosti.
Slika 8.13. Dinamički faktor pojačanja
Promjena faze između prinudne oscilacije i prinudne sile, određena izrazom (8.55.) preko bezdimenzionalnih koeficijenata λ i ψ data je u obliku
.12
20 λλϕ
ϕ−
= arctg (8.59.)
Za različite vrijednosti bezdimenzionalnog koeficijenta ψ, ova promjena prikazana je na slici 8.14. Vidimo da je fazni ugao pri
rezonanciji uvijek jednak 2π bez
obzira na intenzitet gušenja.
Slika 8.14. Promjena faze između prinudne oscilacije i prinudne sile
ηd = C/Cst
λ = Ω / ω
4,0
3,0
2,0
1,0
0,5 1,0 1,5 2,0
Ω > ω Ω <ω Ω = ω
δ = 0
δ <2
Ω
δ >2
ω
λ = Ω / ω
180°
90°
0,5 1,0 1,5 2,0 Ω = ω
ψ = 0
ψ = 1
φ0
RJEŠENI ZADACI IZ POGLAVLJA 8. Zadatak 8.1. O oprugu, čije je statičko izduženje fst obješen je teret M mase m. Naći jednačinu kretanja tereta M, ako je u početnom trenutku opruga bila iz nenapregnutog stanja izdužena za 3fst, a teret M pušten bez početne brzine.
Slika uz zadatak 8.1.
Rješenje: Za položaj statičke ravnoteže je c ⋅ fst = mg. U proizvoljnom položaju u toku kretanja djeluju sile: težine G = mg i restituciona sila u opruzi F0 = - c(x + fst). Projekcija rezultante ovih sila na pravac ose 0x Fx = mg - c(x + fst) = - c ⋅ x. Diferencijalna jednačina kretanja tereta M u vektorskom obliku je
0Fgmamrrr
+= (1)
Projektovanjem vektorske jednačine (1) na pravac ose 0x, dobijamo cxxm −=&& ili
M(m)
M
M 0
x x
x x
fst
A A A
a) b) c)
Cfst
C(fst + x)
gmr
gmr
fg
Gcg
mcxx
cxxm
====+
=+
22 0
0:/ 0
ωω&&
&&. (2)
Rješenje diferencijalne jednačine kretanja (2) glasi: ). sin() cos( 21 tCtCx ωω += (3)
Integracione konstante C1 i C2 određujemo iz početnih uslova za t = 0 x0 = 2fst 00 =x& ,
C1 = 2fst C2 = 0. Jednačina kretanja tereta M
.2)cos(2
⋅== t
fgtfxst
st ω
Zadatak 8.2. Teret mase m, leži na horizontalno idealno gltakoj ravnini kao što je prikazano na slici. S lijeve strane on je vezan sa dvije opruge krutosti c1 i c2. U položaju ravnoteže tereta M, obje opruge su nenapregnute. Odrediti jednačinu kretanja i period oscilovanja tereta ako je u početnom trenutku on bio pomjeren iz položaja ravnoteže udesno za x0 i ako mu je bila saopštena udesno početna brzina v0.
Slika uz zadatak 8.2.
Rješenje: Na teret M mase m osim sila nFgm
rr i djeluju sile u oprugama čiji su intenziteti
F01 = c1x F02 = c2x. Napišimo diferencijalnu jednačinu kretanja materijalne tačke M u vektorskom obliku
.0201 FFFgmam n
rrrrr+++= (1)
Projektovanjem iste jednačine na pravac 0x, dobijamo .)( 2121 xccxcxcxm +−=−−=&&
A
c1
x
M(m)
01Fr
nFr
gmr
02Fr
x M
c2
Uvođenjem oznaka
,212
21
mcc
ccc+
=
+=
ω
predhodna jednačina poprima slijedeći oblik:
02 =+ xx ω&& (2) Rješenje jednačine (2) ima oblik . sin cos 21 tCtCx ωω += (3)
Da bi smo odredili integracione konstante C1 i C2 , izračunajmo . cos cos 21 tCtCx ωωωω +−=&
Uvrštavanjem t = 0 x = x0 00 vx =& , dobijamo da je
C1 = x0 .02 ω
vC =
Uvrštavanjem integracionih konstanti u rješenje (3) imamo
. sin cos 00 t
vtxx ω
ωω += (4)
Stavljajući da je
,cos sin 00 α
ωα A
vAx ==
gdje su A i α - konstante, jednačina (4) oscilacija tereta može se napisati u obliku ). sin( αω += tAx
Amplituda A i početna faza α oscilacija određuju se iz sistema jednačina
.
0
0
2
202
0
vx
tg
vxA
ωα
ω
=
+=
Period oscilovanja
ωπ2
=T .
Zadatak 8.3. Teret M mase m, obješen je o kraj opruge i kreće se u tečnosti. Krutost opruge je c. Sila otpora kretanju kroz tečnost proporcionalna je prvom stepenu brzine Fw = b ⋅ v. Odrediti jednačinu kretanja tereta, ako je u početnom trenutku teret bio pomjeren iz položaja statičke ravnoteže naniže za x0 i ako mu je bila saopštena brzina v0.
Slika uz zadatak 8.3. Rješenje: Diferencijalna jednačina kretanja tereta M u vektorskom obliku glasi
.0 wFFgmamrrrr
++= (1)
Projektovanjem na pravac ose x, dobijamo .0FFmgxm w −−=&& (2)
Kako tačka O definiše položaj statičke ravnoteže, to su sile opruge i otpora F0 = c(x + fst) Fw = b v = b .x& Uvrštavanjem vrijednosti sila u jednačinu (2), dobijamo )( stfxcxbmgxm +−−= &&&
te vodeći računa da je mg = c ⋅ fst, imamo
,0 2 2 =++ xxx ωδ &&& gdje je: - kružna frekvencija sopstvenih oscilacija tereta
,mc
=ω
- koeficijent prigušenja (amortizovanja)
.2mb
=δ
Za slučaj malog otpora δ<ω, opće diferencijalne jednačine ima oblik
M(m)
x
A
wFr
oFr
gmr
vr
x
0
M
c
),sincos( 21 ptCptCex t += −δ (3)
gdje je - kružna frekvencija prigušenih oscilacija
.22 δω −=p
Da bismo odredili integracione konstante, izračunajmo
).sincos(
)cos sin(22
222
1
22222
22221
tCtCe
tCtCext
t
δωδωδ
δωδωδωδωδ
δ
−+−−
−−−+−−−=−
−
Za t = 0 x = x0 00 vx =& ,
dobićemo: -
22
00201
δω
δxvCxC
+==
Uvrštavanjem integracionih konstanti C1 i C2 u izraz (3), dobijamo
).sincos( 000
ptp
xvptxex t δδ +
+= − (4)
Zakon kretanja (3) i (4) mogu se transformisati u drugi oblik uvođenjem novih konstanti sa fizikalnim značenjem C1 = A sin α C2 = A cos α, gdje je
.
)(
00
0
2
1
2
2002
022
21
xvpx
tgarcCC
tgarc
pxv
xCCA
δα
δ
+==
++=+=
Zakon kretanja ima oblik
).sin( αδ += − ptAex t Zadatak 8.4.
Pod djelovanjem pritiska pare p iz cilindra, štap mase m potiskuje oprugu krutosti c i na taj način pomiče registrator B. Odrediti zakon kretanja registratora B. Pretpostavimo da pritisak p nije konstantan, to će se i perturbacijska sila mijenjati samim tim će i registrator B oscilovati. Rješenje: Promjena pritiska p = p0(1 + sin Ω t),
Slika uz zadatak 8.4.
B
A
c
p
p·A
gmr
A F0 = c(fst+x)
gdje je period perturbacijske sile
.2Ω
=πT
Diferencijalna jednačina kretanja je:, ),( xfcmgApxm st +−−⋅=&& (1)
odnosno ).()sin1(0 xfcmgtApxm st +−−Ω+=&&
kako je c ⋅ fst = Ap0 - mg to je
tm
Apxx
mc
tm
Apx
mcx
mtpAxcxm
Ω=+
=
Ω=+
Ω⋅=⋅+
sin
,sin
:/ sin
02
2
0
0
ω
ω
&&
&&
&&
(2)
Opće rješenje diferencijalne jednačine (2) je
tm
AptCtCx Ω
Ω−++= sin
)( sin cos 22
021 ω
ωω
Konstante C1 i C2 određujemo iz početnih uslova t = 0 x = 0 pa, prema tome, i 00 =x&
ωω
ωωωωω
ΩΩ−
Ω−==
ΩΩ−
Ω+−=
)( 0
cos)(
cos cos
220
21
220
21
mAp
CC
tm
AptCtCx&
Konačno, zakon kretanja registratora B je
). sin(sin)( 22
0 ttm
Apx ω
ωωΩ
−ΩΩ−
−=
ZADACI ZA RJEŠAVANJE IZ POGLAVLJA 8. Zadatak 8.5. Opruga AB krutosti c1 vezana je tačkom A za nepomičnu ravan, dok je za njen kraj B vezana druga vertikalna opruga BC krutosti c2 o čiji je kraj C vezan teret G mase m, kao što je prikazano na slici. Odrediti krutost ekvivalentne opruge i period T oscilovanja tereta G. Mase opruga zanemariti. Rješenje:
21
21
21
21
)(22
cgcccG
T
cccc
c
+=
Ω=
+=
ππ
Slika uz zadatak 8.5.
Zadatak 8.6. Štap AB mase m obješen je o tri paralelne opruge krutosti c1, c2 i c3. Raspored tačaka gdje su vezane opruge za štap AB je takav da štap u toku oscilovanja ostaje stalno horizontalan. Odrediti krutost ekvivalentne opruge sistema. Rješenje:
c = c1 + c2 + c3
321
2ccc
mT++
= π
Slika uz zadatak 8.6. Zadatak 8.7. Materijalna tačka M jedinične mase, kreće se pravolinijski pod djelovanjem privlačne sile ka nepomičnom centru O. Sila privlačenja proporcionalna je rastojanju tačke M od centra O, pri čemu je koeficijent proporcionalnosti 25N/mm. Sila otpora sredine proporcionalna je prvom stepenu brzine tačke, pri čemu je koeficijent proporcionalnosti 6 N/mm. Odrediti zakon kretanja tačke, ako je u početnom trenutku rastojanje tačke M od centra O bilo 80mm, a njena brzina u tom trenutku jednaka nuli. Koliki je u ovom slučaju logaritamski dekrement D i bezdimenzionalni koeficijent prigušenja ψ.
G(m)
A
c1
c2
B
C
c1 c2 c3
A B
Slika uz zadatak 8.7. Rješenje:
43
1
53
)434cos(10
2
3
π
ψ
πψωδ
ψ
=−
=
==
−= −
D
arctgtex t
Zadatak 8.8.
Ploča mase m i površine S obješena je o oprugu krutosti c. Ploča je potopljena u tečnost čiju viskoznost treba odrediti. Sila trenja između ploče i tečnosti uzima se da je jednaka Fw = 2Skv, gdje je k - koeficijent viskoznosti, v - brzina ploče u tečnosti, a 2S - ukupna površina tanke ploče. Odrediti koeficijent k viskoznosti tečnosti u zavisnosti od perioda T1 slobodnih oscilacija ploče u vazduhu i perioda T2 oscilovanja ploče u tečnosti.
Slika uz zadatak 8.8. Rješenje:
21
22
21
1
222
2
2
2
TTTTmk
cmT
T
−=
=
−=
π
π
δω
π
Zadatak 8.9. Pneumatski odbojni čekić dovodi se u kretanje sabijenim vazduhom koji se pušta u cilindar čekićem krot otvor A. pritisak vazduha, koji djeluje na klip D čekića mijenja se po zakonu
FΩ = F0 cos Ωt
U cilindru čekića montirana je opruga B krutosti c. Napisati jednačinu prinudnih oscilacija klipa pri praznom hodu čekića. Pri tome silu otpora kretanju zanemariti.
x M 0
Fr
wFr
Slika uz zadatak 8.9.
Rješenje:
thx cos221 ΩΩ
=ω
A
D
B M
c ΩFr
oFr
Recommended
