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Universidad Nacional de La Matanza - Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas
Análisis Matemático II (1033) – Comisión: 05 – 1959
Prof.: Lic. Ricardo Baloni.
Integrales triples sobre regiones más generales.
Cálculo del volumen de un sólido aplicando Integrales
triples.
Transformación cilíndrica aplicada al cálculo de integrales
triples sobre regiones con simetría cilíndrica.
Transformación esférica aplicada al cálculo de integrales
triples sobre regiones con simetría esférica.
Teorema (de condición suficiente integrabilidad para funciones continuas sobre prismas rectos de
base rectangular). Sea : ⊂ 3 → , una función definida en el conjunto abierto no vacío de
3, y el prisma recto de base rectangular
= {(, , ) ∈ 3: ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ } = [, ] × [, ] × [, ]
tal que ⊂ . Se cumple que si es continua en , entonces es integrable sobre .
Prisma rectangular
Teorema (de Fubini para funciones continuas sobre prismas rectos de base rectangular). Sea
: ⊂ 3 → , una función continua en el conjunto abierto no vacío de 3, y el prisma
= {(, , ) ∈ 3: ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ } = [, ] × [, ] × [, ]
tal que ⊂ . Se cumple que el valor de la integral triple de sobre se puede obtener mediante
integración sucesiva según la fórmula
=(, , )

Así como en el caso de las integrales dobles, vale la permutación del orden de integración, que en
esta situación se corresponde con seis ordenes distintos, a saber
=(, , )
=2+
=2+
=1
=2+
=cos( − )
=cos( − )
= 2
Otra manera de resolver la integral consiste en aplicar la siguiente relación
(, , ) = cos( − ) = cos() ⋅ cos() + sen() sen()
De este modo, la integral se puede expresar de la siguiente manera
=cos( − )

=
Integrales triples sobre regiones más generales
Definición (Región −proyectable). Sean las funciones reales de dos variables
1: → : = 1(, ) y 2: → : = 2(, )
continuas en todo el conjunto abierto ⊆ 3 y tales que
1(, ) ≤ 2(, ), ∀(, ) ∈
Siendo una región del plano . Se llama región −proyectable, a la región acotada Ω ⊂ ,
definida como
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1(, ) ≤ ≤ 2(, ) ∧ (, ) ∈ }
La región del plano de la que se habla en la definición anterior es una región del tipo I, tipo II
o la unión de este tipo de regiones, tal como las que se han considerado a lo largo del estudio de las
integrales dobles.
Región −proyectable
Región −proyectable
Teorema (de Fubini para funciones continuas sobre regiones −proyectables). Sea
: ⊂ 3 →
una función continua en el conjunto abierto no vacío de 3 y la región −proyectable
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1(, ) ≤ ≤ 2(, ) ∧ (, ) ∈ }
Totalmente incluida en . El valor de la integral triple de sobre Ω se puede obtener mediante
integración sucesiva según la fórmula
=(, , )
=2(,)
=1(,)

El resultado establece que el valor de la integral triple se puede obtener mediante integración
sucesiva o iterada, integrando respecto de la variable en el primer momento, según los límites
1(, ) ≤ ≤ 2(, )
Y finalmente calcular una integral doble de lo que resulta de esta primera operación, sobre la región
del plano , es decir, sobre la proyección del sólido Ω sobre el plano .
Nótese que el resultado de la primera integración sobre la variable resulta ser una función, a lo
sumo, de las variables . Utilizando la escritura
(, ) = ∫ (, , )
=2(,)
=1(,)
Se tienen entonces que la integral triple de (, , ) sobre el sólido Ω es exactamente igual a la
integral doble de (, ) sobre la región , esto es
=(, , )
=2
Sobre el sólido xy-proyectable
Ω = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 2 − − ∧ (, ) ∈ [0,1] × [0,1]}
Representación gráfica del sólido
Se tiene entonces
Aplicando la escritura tipo I, queda
= ∫ ( ∫ (2 − − )2

Nótese que la integral interior se puede calcular de la siguiente manera:
∫ (2 − − )2
∫ (2 − − )2
=2−
= 0 → (0) = 2 −
= 1 → (1) = 1 −
O, sin tener en cuenta los límites y solamente con el objetivo de encontrar una primitiva:
2 − − = = −
∫(2 − − )2
= ∫ ((− (1 − )3
6
Esto quiere decir que la integral triple de sobre Ω es
=2
=( + )
Sobre el sólido
Ω = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 2 − ∧ (, ) ∈ [0,1] × [0,2]}
Representación gráfica del sólido −proyectable
Se tiene
= [0,1] × [0,2]
= ∫ (2 − 2
3
En la definición de región −proyectable las letras son completamente intercambiables y se
puede así considerar otros tipos de regiones proyectables. A saber, las regiones −proyectables y
−proyectable.
Y así como en una región −proyectable se integra primero respecto de la variable . O sea, según
dos órdenes posibles

En una región −proyectable primero se integra respecto de , es decir, según los órdenes

y en una región −proyectable, se integra primero respecto de , esto es, con los dos órdenes
posibles
=( + )
Sobre el sólido
Ω = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 2 − ∧ (, ) ∈ [0,1] × [0,2]}
Integrando primero respecto de la variable , es necesario conseguir la escritura del sólido Ω
correspondiente a una región −proyectable. Para esto, hay que determinar la proyección de Ω
sobre el plano , llámese por ejemplo ∗, y luego determinar las superficies
1: = 1(, ) 2: = 2(, )
Que limitan lateralmente a Ω.
La escritura será de este modo
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1(, ) ≤ ≤ 2(, ) ∧ (, ) ∈ ∗}
En el caso particular del sólido Ω de este ejercicio, se tiene
Ω = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 2 ∧ (, ) ∈ ∗}
Siendo ∗, el cuadrilátero de vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1) y (0,0,2)
El sólido es una región −proyectable
El sólido es una región −proyectable
Ahora, adoptando la escritura tipo I del cuadrilátero ∗, esto es
∗: { 0 ≤ ≤ 1
0 ≤ ≤ 2 −
Es decir que resulta
3
Tal como se obtuvo al calcular la integral en el orden .
Ejemplo 5. Calcular la integral triple
= (2 + 2)
Sobre el sólido
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ ≤ 4 ∧ 2 + 2 ≤ 4 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0}
Representación gráfica del sólido −proyectable
Se tiene
= (2 + 2) ( ∫ 1

Ahora, teniendo en cuenta que la proyección del sólido Ω sobre el plano es una región circular,
en efecto, se tiene
= {(, ) ∈ 2: 2 + 2 ≤ 4 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0}
Representación gráfica de la región , proyección del sólido sobre el plano
para calcular la integral doble final, se aplica la transformación polar.
:´ → 2: (, ) = ((,), (,)) = ( cos() , sen())
Siendo
´ = {(, ) ∈ 2: 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤
2 }
2 + 2 = ( cos())2 + ( sen())2 = 2 ((cos())2 + (sen())2) 1
= 2
=0
= (2 + 2)
Fórmula de cambio de variables en integrales triples
Teorema (Cambio de variables en integrales triples). Sea : ⊂ 3 → , una función continua en
el conjunto abierto no vacío de 3, y se la región Ω ⊂ . Sea, además, la función
: ⊂ 2 → 2: (, , ) = ((, , ), (, , ), (, , ))
que aplica de manera inyectiva (salvo en conjuntos de medida nula) la región Ω´ ⊂ del espacio
, en la región Ω del espacio . Supóngase que es de clase 1 en y que el jacobiano de
(, , ) = (, , )
(, , ) = |
| ≠ 0
en Ω´ (salvo en conjuntos de medida nula). Se tiene así, la fórmula de cambio de variables en
integrales dobles
Ω
=((, , ), (, , ), (, , )) | (, , )
(, , ) |
Ω´

Este resultado indica cómo obtener el valor de la integral triple, a partir de aplicar un cambio de
variables según una cierta transformación que verifique las condiciones establecidas.
Transformación cilíndrica
La transformación cilíndrica define una posición del espacio a partir de las tres coordenadas
(, , )
Interpretación geométrica de las coordenadas cilíndricas
Las tres coordenadas , y son las llamadas coordenadas cilíndricas asociadas a la posición ,
según el sistema cilíndrico.
La definición de la transformación cilíndrica es la siguiente
: → 3: (, , ) = ((,,), (,,), (,,)) = ( cos() , sen() , )
Donde
= {(, , ) ∈ 3: ≥ 0 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ ∈ }
Ciertamente no se trata de una transformación inyectiva en todo , pero pierde la inyectividad en
conjuntos de medida nula.
En el caso de las integrales triples, esta transformación es útil cuando el sólido de integración posee
simetría cilíndrica. En una situación tal, la proyección del sólido Ω sobre el plano, por ejemplo, el
, es una región circular, la que será recorrida a partir de las coordenadas y . Luego, la variación
de , deberá tomarse según las inecuaciones
Pero reemplazando las fórmulas de transformación, es decir
(, , ) = cos()
(, , ) = sen()
(, , ) =
Resulta así, la desigualdad que muestra la limitación de según las coordenadas cilíndricas
1((, , ), (, , )) ≤ (, , ) ≤ 2((, , ), (, , ))
1( cos() , sen()) ≤ (, , ) ≤ 2( cos() , sen())
Que bien se puede expresar como:
1(, ) ≤ (, , ) ≤ 2(, )
Jacobiano de la transformación cilíndrica
Como se muestra en la fórmula de cambio de variables en integrales triples, así como ocurría en las
integrales dobles, interviene el jacobiano de la transformación. Para el caso de la transformación
cilíndrica
: → 3: (, , ) = ((,,), (,,), (,,)) = ( cos() , sen() , )
se tiene
(, , ) = |
(,,)
= | cos() − sen() 0 sen() cos() 0 0 0 1
| =
(, , ) =
Según la fórmula de cambio de variables en integrales triples, a partir de la transformación cilíndrica,
se tiene la siguiente expresión para la integral triple:
=(, , )
Ω
=((, , ), (, , ), (, , )) | (, , )
(, , ) |
Ω´

= (2 + 2)
Sobre el sólido
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ ≤ 4 ∧ 2 + 2 ≤ 4 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0}
Aplicando la transformación cilíndrica.
(, , ) = cos()
(, , ) = sen()
(, , ) =
Ahora, para el cálculo de la integral triple hay que considerar el correspondiente jacobiano, como
así también el sólido Ω´ asociado a l sólido Ω inicial. Respecto del jacobiano, del apartado anterior,
se sabe que
(, , ) =
Con relación a la región Ω´ asociada, los rangos de variación de y se obtienen a partir de la
proyección de Ω sobre el plano , tal como en la transformación polar. Resulta entonces que
0 ≤ ≤ 2
0 ≤ ≤
2
Y como se mencionó más arriba, para la variable , ocurre que
1(, ) ≤ ≤ 2(, )
1((, , ), (, , )) ≤ (, , ) ≤ 2((, , ), (, , ))
Pero como en este caso las funciones = 1(, ) = 1 y = 2(, ) = 4 son constantes, queda
1 ≤ ≤ 4
Así, el sólido Ω´ asociado se define como
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤
2 ∧ 1 ≤ ≤ 4}
La función (, , ) transforma el prisma ´ del espacio en el sólido de espacio
Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples, resulta
= (2 + 2)
| (, , )
=0
Al existir la posibilidad de separar las variables y ser los límites constantes, se puede escribir
= (2 + 2)
= (2 + 2)
=
Sobre el sólido
Ω = {(, , ) ∈ 3: 2 + 2 ≤ ≤ 8 − 2 − 2}
Representación gráfica del sólido sobre el que se ha de calcular la integral
Según la definición de Ω, la variación de se obtendrá a partir de las desigualdades
2 + 2 ≤ ≤ 8 − 2 − 2
Ahora bien, para determinar el recinto circular se suele encontrar primero su curva frontera
que en este caso resulta ser la proyección en el plano de la curva intersección entre los
paraboloides
Y
Esta curva está dada del siguiente modo
: { 1: =
Igualando las dos ecuaciones, se obtiene la siguiente igualdad
2 + 2 = 4
Esta ecuación se puede “leer” de dos maneras. Una tiene que ver con lo que representa en el
espacio, que es donde está el sólido Ω. Se trata del cilindro
3: 2 + 2 = 4
La curva está totalmente incluida en el cilindro
Lo que ocurre es que la curva , así como está totalmente incluida en los paraboloides 1 y 2,
también está completamente incluida en el cilindro 3.
O bien, en el plano, con relación a la curva
∗: 2 + 2 = 4
Esto significa que la proyección en el plano de la curva es ∗. Entonces, esto permite concluir
que, en este caso, ∗ frontera de la región de integración . O sea que esta región es un círculo de
centro en el origen y radio 0 = 2. Esto es
: 2 + 2 ≤ 4
Aplicar la transformación cilíndrica significa sustituir según las fórmulas de transformación
(, , ) = cos()
(, , ) = sen()
(, , ) =
Donde se tiene que
(, , ) =
A su vez, dado que la proyección del sólido Ω sobre el plano es el círculo
= {(, ) ∈ 2: 2 + 2 ≤ 4}
Se tiene que el rango de variación de las variables y es
0 ≤ ≤ 2
0 ≤ ≤ 2
2 + 2 ≤ ≤ 8 − 2 − 2
O bien
Aplicando las fórmulas de transformación
(, , ) = cos() (, , ) = sen() (, , ) =
Resulta
( cos())2 + ( sen())2 ≤ ≤ 8 − ( cos())2 + ( sen())2
2((cos())2 + (sen())2) ≤ ≤ 8 − 2((cos())2 + (sen())2)
2 ≤ ≤ 8 − 2
Luego, el sólido asociado a Ω en las coordenadas cilíndricas es
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 2 ≤ ≤ 8 − 2 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ 2}
O brevemente
2 ≤ ≤ 8 − 2
Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples
=
(, , ) |
=2
=8−2
2 )
=
Es decir que
O sea
=
=√2 + 2
Ω = {(, , ) ∈ 3: 2 + 2 ≤ ≤ 4}
Aplicar la transformación cilíndrica significa sustituir según las fórmulas de transformación
(, , ) = cos()
(, , ) = sen()
(, , ) =
Donde se tiene que
(, , ) =
A su vez, dado que la proyección del sólido Ω sobre el plano es el círculo
= {(, ) ∈ 2: 2 + 2 ≤ 4}
Se tiene que el rango de variación de las variables y es
0 ≤ ≤ 2
0 ≤ ≤ 2
2 + 2 ≤ ≤ 4
Aplicando las fórmulas de transformación
(, , ) = cos() (, , ) = sen() (, , ) =
Resulta
2((cos())2 + (sen())2) ≤ ≤ 4
2 ≤ ≤ 4
Luego, el sólido asociado a Ω en las coordenadas cilíndricas es
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 2 ≤ ≤ 4 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ 2}
O brevemente
Ω´: { 0 ≤ ≤ 2 0 ≤ ≤ 2 2 ≤ ≤ 4
La función (, , ) transforma el sólido ´ del espacio en el sólido de espacio
Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples
= √2 + 2
=√2 + 2
(, , ) |
=2
=0
Teniendo en cuenta que 2 es constante para la integración respecto de , se escribe
=√2 + 2
Separando esta integral doble como el producto de integrales simples
=√2 + 2
15 = 128
15
Esto significa que la integral triple de (, , ) = √2 + 2, sobre el sólido Ω es
=√2 + 2
=2
Sobre el sólido cónico
Ω = {(, , ) ∈ 3: √2 + 2 ≤ ≤ 1 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0}
Aplicando la transformación cilíndrica
(, , ) =
(, , ) =
Se tiene que la región asociada en el espacio "" es el sólido
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: ≤ ≤ 1 ∧ 0 ≤ ≤ 1 ∧ 0 ≤ ≤
2 }
Luego, a partir de la fórmula de cambio de variables en integrales triples queda
=2
(, , ) |
=1
=2
=2
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ ≤ 2 ∧ ≥ √2 + 2}
En este caso, el sólido Ω no es – proyectable, ya que, si bien su proyección en el plano es el
círculo de centro en el origen y radio 0 = 2, o sea
= {(, ) ∈ 2: 2 + 2 ≤ 4}
Y respecto de este conjunto, se encuentra limitado inferiormente por dos superficies distintas,
según el sector del recinto que se considere.
Sin embargo, aun así, resulta que Ω se puede descomponer en dos sólidos Ω1 y Ω2, siendo ambos
– proyectables. En concreto, se trata del sólido cilíndrico
Ω1 = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ ≤ 2 ∧ 2 + 2 ≤ 1}
De proyección circular en el plano
1 = {(, ) ∈ 2: 2 + 2 ≤ 1}
Y del sólido cónico
Ω2 = {(, , ) ∈ 3: √2 + 2 ≤ ≤ 2 ∧ 1 ≤ 2 + 2 ≤ 4}
De proyección circular en el plano
2 = {(, ) ∈ 2: 1 ≤ 2 + 2 ≤ 4}
De esta manera, la integral triple inicial se puede calcular como sigue
=2
=2
(, , ) |
(, , ) |
Siendo
Ω´1 = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ 1 ∧ 0 ≤ ≤ 2}
O brevemente
Ω´1: { 0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 2 1 ≤ ≤ 2
Es sólido asociado a Ω1, y
Ω´2 = {(, , ) ∈ 3: ≤ ≤ 2 ∧ 1 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ 2}
O brevemente
Ω´2: { 1 ≤ ≤ 2 0 ≤ ≤ 2 ≤ ≤ 2
Es sólido asociado a Ω2.
Luego, solamente queda por calcular las integrales
=2
=2
=2
Ω = {(, , ) ∈ 3: √2 + 2 ≤ ≤ 2 ∧ 2 + 2 ≥ 1 ∧ ≥ ||}
Aplicando la transformación cilíndrica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, se
tiene
(, , ) |
Ω´

Donde
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: ≤ ≤ 2 ∧ 1 ≤ ≤ 2 ∧
4 ≤ ≤
=2
=2
Sobre el sólido cilíndrico Ω limitado superiormente por el plano
1: =
: 2 + 2 = 4
O sea
Ω = {(, , ) ∈ 3: − ≤ ≤ ∧ 2 + 2 ≤ 4}
O lo que es lo mismo
Ω = {(, , ) ∈ 3: || ≤ ∧ 2 + 2 ≤ 4}
Aplicando la transformación cilíndrica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, se
tiene
(, , ) |
Ω´

Donde
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: − sen() ≤ ≤ sen() ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ }
O brevemente
− sen() ≤ ≤ sen()
Es decir
=2
=2
=0
Transformación esférica
Así como se tiene la transformación cilíndrica y aplicada al cálculo de integrales sobre sólidos con
simetría cilíndrica, también se define la transformación esférica en la que se establece la posición
del espacio a partir de las coordenadas esféricas
(, , )
En lo que respecta a su utilidad a la aplicación de integrales triples, resulta conveniente cuando se
trabaja sobre regiones con simetría esférica. En las siguientes figuras se muestra la interpretación
geométrica de estas coordenadas
Interpretación geométrica de las coordenadas esféricas
Relación entre las coordenadas cartesianas (, , ) y las coordenadas esféricas (, , )
La coordenada se interpreta como la distancia al origen del punto . La variable angular se llama
variable azimutal y se toma exactamente como en las transformaciones polar y cilíndrica, y la
variable angular , llamada colatitud, es la que mide el ángulo formado por la parte positiva del eje
vertical y el segmento que une el origen de coordenadas con el punto .
La transformación esférica se define del siguiente modo
: → 3: (, , ) = ((, , ), (, , ), (, , ))
= ( cos() sen() , sen() sen() , cos())
Donde
= {(, , ) ∈ 3: ≥ 0 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ }
Considerando > 0, las fórmulas se deducen de la siguiente manera
cos() =
Esto es
Observación: Algunas relaciones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas,
útiles en cuanto al cálculo de integrales triples, son las siguientes
= √2 + 2 + 2
Es natural ya que se definió como la distancia al origen del punto (, , ).
= sen() = √2 + 2
Recuérdese que es la variable radial en la transformación cilíndrica y que, precisamente, la relación
con las coordenadas cartesianas es
= √2 + 2
Y así como se deduce de la representación geométrica de las coordenadas esféricas, se tiene la
relación mencionada, a saber
= | sen()| = sen() = √2 + 2
El hecho de extraer las barras de valor absoluto se corresponde con que
sen() ≥ 0
En el intervalo de variación de la variable angular . Recuérdese que
0 ≤ ≤
Jacobiano de la transformación esférica
Como se muestra en la fórmula de cambio de variables en integrales triples, así como ocurría en las
integrales dobles, interviene el jacobiano de la transformación. Para el caso de la transformación
esférica se tiene
(, , ) = ((, , ), (, , ), (, , )) = ( cos() sen() , sen() sen() , cos())
Entonces
(, , ) = |
cos() 0 − sen() |
Es decir que el jacobiano de la transformación esférica es
(, , ) = −2 sen()
Ejemplo 10-a. Calcular la integral triple
=(2 + 2 + 2)
Cálculo de la integral aplicando la transformación esférica:
(,,) = cos() sen()
(,,) = sen() sen()
(, , ) = −2 sen()
Ahora bien, es necesario determinar la región Ω´ del espacio que la transformación esférica
convierte en el sólido Ω del espacio . En este caso, tratándose de un sólido esférico de centro
en el origen y radio 3, queda claro que el rango de variación de es
0 ≤ ≤ 3
Y teniendo en cuenta que es el sólido esférico completo, debe ser entonces
0 ≤ ≤ 2
0 ≤ ≤
Es decir que Ω´ se define como
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 3 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ }
La función (, , ) transforma el prisma ´ del espacio en el sólido esférico de espacio
Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples, resulta
=(2 + 2 + 2)
2 + ((, , ))
Ω´
=
=(( cos() sen())2 + ( sen() sen())2 + ( cos())2) |−2 sen()|
Ω´

=(2 cos2() sen2() + 2 sen2() sen2() + 2 cos2()) |−2 sen()|
Ω´

Ω´

Ω´

Ω´

Como se comentó en la observación de más arriba, se cumple que
= √2 + 2 + 2
Luego, resulta
=(2 + 2 + 2)

O bien, separando las variables, la integral se puede calcular según la factorización:
=(2 + 2 + 2)
=(2 + 2 + 2)
O sea que, el valor de la integral triple es
=(2 + 2 + 2)
=√2 + 2 + 2
Sobre el sólido esférico
Ω = {(, , ) ∈ 3: 2 + 2 + 2 ≤ 9 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0}
Aplicando transformación esférica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, resulta
=√2 + 2 + 2
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 3 ∧ 0 ≤ ≤
2 ∧ 0 ≤ ≤
=√2 + 2 + 2
=√2 + 2
Ω = {(, , ) ∈ 3: 2 + 2 + 2 ≤ 9 ∧ ≥ 0 ∧ ≤ √3 ∧ ≥ 0}
Representación gráfica del sólido esférico sobre el que se ha de calcular la integral
Nótese que la proyección del sólido Ω en el plano está dada por la expresión
D = {(, ) ∈ 2: 2 + 2 ≤ 9 ∧ ≥ 0 ∧ ≤ √3}
Aplicando transformación esférica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, y
teniendo en cuenta que
resulta
2 ≤ ≤
=√2 + 2
=√2 + 2 + 2
Ω = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ 2 + 2 + 2 ≤ 9 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0 ∧ ≥ 0}
=√2 + 2 + 2
Ω´

Donde
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 1 ≤ ≤ 3 ∧ 0 ≤ ≤
2 ∧ 0 ≤ ≤
=√2 + 2 + 2
=√2 + 2 + 2
Ω = {(, , ) ∈ 3: 2 + 2 + 2 ≤ 9 ∧ ≥ √2 + 2}
=√2 + 2 + 2
Ω´

Donde
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 3 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤
4 }
Luego
=√2 + 2 + 2
4 (2 − √2)
Ejemplo 11. Calcular el volumen del sólido esférico limitado por la esfera de centro en el origen y
radio 0, es decir
Ω = {(, , ) ∈ 3: 2 + 2 + 2 ≤ 0 2}
Esta tarea fue realizada en el Ejemplo 1. Pero en tal situación, la integral triple a partir de la que se
calcula el volumen de Ω, a saber
(Ω) =1
Ω

Fue evaluada, integrando en primer lugar respecto de , y finalmente aplicando la transformación
polar para el cálculo de la última integral doble.
En este caso, se aplicará la fórmula de cambio de variables según la transformación esférica para
obtener el volumen de este sólido.
Entonces, para calcular la integral triple
(Ω) =1
(,,) = cos() sen()
(,,) = sen() sen()
(, , ) = −2 sen()
Integrando sobre el sólido
Ω´ = {(, , ) ∈ 3: 0 ≤ ≤ 0 ∧ 0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤ }
Nótese que el rango de variación de se obtiene a partir de saber que es el sólido esférico de radio
0 completo. Y por la misma razón, así como en el ejemplo anterior
0 ≤ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ≤
Queda entonces
(Ω) =1
Ω´

Separando las variables, la integral se puede calcular del siguiente modo
(Ω) =1
3