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Universidad Nacional de La Matanza - Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas

Análisis Matemático II (1033) – Comisión: 05 – 1959

Prof.: Lic. Ricardo Baloni.

Integrales Triples

Transformación cilíndrica

Transformación esférica

Práctica sobre

▪ Integrales triples sobre prismas rectos de base rectangular.

▪ Integrales triples sobre regiones más generales.

▪ Cálculo del volumen de un sólido aplicando Integrales

triples.

▪ Fórmula de cambio de variables en integrales triples.

▪ Transformación cilíndrica aplicada al cálculo de integrales

triples sobre regiones con simetría cilíndrica.

▪ Transformación esférica aplicada al cálculo de integrales

triples sobre regiones con simetría esférica.




Integrales triples sobre prismas rectos de base rectangular

Teorema (de condición suficiente integrabilidad para funciones continuas sobre prismas rectos de

base rectangular). Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ3 → ℝ, una función definida en el conjunto abierto no vacío 𝑈 de

ℝ3, y el prisma recto de base rectangular

𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ∧ 𝑝 ≤ 𝑧 ≤ 𝑞} = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑝, 𝑞]

tal que 𝑅 ⊂ 𝑈. Se cumple que si 𝑓 es continua en 𝑅, entonces 𝑓 es integrable sobre 𝑅.

Prisma rectangular

Teorema (de Fubini para funciones continuas sobre prismas rectos de base rectangular). Sea

𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ3 → ℝ, una función continua en el conjunto abierto no vacío 𝑈 de ℝ3, y el prisma

𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ∧ 𝑝 ≤ 𝑧 ≤ 𝑞} = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑝, 𝑞]

tal que 𝑅 ⊂ 𝑈. Se cumple que el valor de la integral triple de 𝑓 sobre 𝑅 se puede obtener mediante

integración sucesiva según la fórmula

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧)

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦]

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥

Así como en el caso de las integrales dobles, vale la permutación del orden de integración, que en

esta situación se corresponde con seis ordenes distintos, a saber




𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧)

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦]

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧)

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥]

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦)

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧]

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦)

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥]

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥)

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧]

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [ ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥)

𝑦=𝑑

𝑦=𝑐

𝑑𝑦]

𝑧=𝑞

𝑧=𝑝

𝑑𝑧




Ejemplo 1. Calcular la integral triple

𝐼 =∭𝑧𝑒2𝑥+𝑦

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Sobre el prisma rectangular

𝑅 = [0,3] × [1,2] × [1,3]

Integrando en el orden 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥, se tiene


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑧𝑒2𝑥+𝑦𝑧=3

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝑦=2

𝑦=1

𝑑𝑦)

𝑥=3

𝑥=0

𝑑𝑥

𝐼 = ( ∫ ( ∫ 𝑒2𝑥+𝑦

𝑦=2

𝑦=1

𝑑𝑦)

𝑥=3

𝑥=0

𝑑𝑥)( ∫ 𝑧

𝑧=3

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝐼 = ( ∫ 𝑒2𝑥𝑥=3

𝑥=0

𝑑𝑥)( ∫ 𝑒𝑦

𝑦=2

𝑦=1

𝑑𝑦)( ∫ 𝑧

𝑧=3

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝐼 = ∫ 𝑒2𝑥 ( ∫ 𝑒𝑦

𝑦=2

𝑦=1

𝑑𝑦)

𝑥=3

𝑥=0

𝑑𝑥 ( ∫ 𝑧

𝑧=3

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝐼 = ( ∫ 𝑒2𝑥𝑥=3

𝑥=0

𝑑𝑥)( ∫ 𝑒𝑦

𝑦=2

𝑦=1

𝑑𝑦)( ∫ 𝑧

𝑧=3

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝐼 = (1

2𝑒2𝑥

|𝑥=0

𝑥=3

)(𝑒𝑦 |𝑦=1

𝑦=2

)(𝑧2

2

|𝑧=1

𝑧=3

)

𝐼 =1

2(𝑒6 − 1)(𝑒2 − 𝑒) (

9

2−1

2) =

1

2(𝑒6 − 1)(𝑒2 − 𝑒)4 = 2(𝑒6 − 1)(𝑒2 − 𝑒)


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 2(𝑒6 − 1)(𝑒2 − 𝑒)





𝐼 =∭cos(𝑦 − 𝑧)

𝑅


Sobre el prisma rectangular

𝑅 = [0,𝜋

2] × [0,

𝜋

2] × [0,

𝜋

2]

Integrando en el orden 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥, se tiene


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫

(

∫

(

∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑦 − 𝑧)

𝑧=𝜋2

𝑧=0

𝑑𝑧

)

𝑦=𝜋2

𝑦=0

𝑑𝑦

)

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥


𝑅


(

∫ (−sen(𝑦 − 𝑧)

|𝑧=0

𝑧=𝜋2)

𝑦=𝜋2

𝑦=0

𝑑𝑦

)

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥


𝑅


(

∫ (−sen (𝑦 −𝜋

2) + sen(𝑦))

𝑦=𝜋2

𝑦=0

𝑑𝑦

)

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ((cos (𝑦 −𝜋

2) − cos(𝑦))

|𝑦=0

𝑦=𝜋2)

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ((cos(0) − cos (𝜋

2)) − (cos (−

𝜋

2) − cos(0)))

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ((1 − 0) − (0 − 1))

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥 = ∫ 2

𝑥=𝜋2

𝑥=0

𝑑𝑥


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 2 ∫ 1 𝑑𝑥

𝑥=𝜋2

𝑥=0

= 2(𝑥 + 𝑐0

|𝑥=0

𝑥=𝜋2) = 2((

𝜋

2) − (0)) = 𝜋

Es decir que


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜋




Otra manera de resolver la integral consiste en aplicar la siguiente relación

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = cos(𝑦 − 𝑧) = cos(𝑦) ⋅ cos(𝑧) + sen(𝑦) sen(𝑧)

De este modo, la integral se puede expresar de la siguiente manera


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭[cos(𝑦) ⋅ cos(𝑧) + sen(𝑦) sen(𝑧)]

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =


𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭cos(𝑦) ⋅ cos(𝑧)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +∭sen(𝑦) sen(𝑧)

𝑅


𝐼 =

(

∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

𝑦=𝜋2

𝑦=0

𝑑𝑦

)

(

∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑧)

𝑧=𝜋2

𝑧=0

𝑑𝑧

)

(

∫ 1 𝑑𝑥

𝑥=𝜋2

𝑥=0)

+

(

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑦)

𝑦=𝜋2

𝑦=0

𝑑𝑦

)

(

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑧)

𝑧=𝜋2

𝑧=0

𝑑𝑧

)

(

∫ 1 𝑑𝑥

𝑥=𝜋2

𝑥=0)

= 𝜋

Integrales triples sobre regiones más generales

Definición (Región 𝒙𝒚 −proyectable). Sean las funciones reales de dos variables

𝜑1: 𝑈 → ℝ: 𝑧 = 𝜑1(𝑥, 𝑦) y 𝜑2: 𝑈 → ℝ: 𝑧 = 𝜑2(𝑥, 𝑦)

continuas en todo el conjunto abierto 𝑈 ⊆ ℝ3 y tales que

𝜑1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜑2(𝑥, 𝑦), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷

Siendo 𝐷 una región del plano 𝑥𝑦. Se llama región 𝑥𝑦 −proyectable, a la región acotada Ω ⊂ 𝑈,

definida como

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝜑1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜑2(𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}

La región 𝐷 del plano 𝑥𝑦 de la que se habla en la definición anterior es una región del tipo I, tipo II

o la unión de este tipo de regiones, tal como las que se han considerado a lo largo del estudio de las

integrales dobles.




Región 𝒙𝒚 −proyectable 𝛀

Región 𝒙𝒚 −proyectable 𝛀

Teorema (de Fubini para funciones continuas sobre regiones 𝒙𝒚 −proyectables). Sea

𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ3 → ℝ

una función continua en el conjunto abierto no vacío 𝑈 de ℝ3 y la región 𝑥𝑦 −proyectable

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝜑1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜑2(𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}

Totalmente incluida en 𝑈. El valor de la integral triple de 𝑓 sobre Ω se puede obtener mediante

integración sucesiva según la fórmula

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∬( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧

𝑧=𝜑2(𝑥,𝑦)


)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

El resultado establece que el valor de la integral triple se puede obtener mediante integración

sucesiva o iterada, integrando respecto de la variable 𝑧 en el primer momento, según los límites




𝜑1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜑2(𝑥, 𝑦)

Y finalmente calcular una integral doble de lo que resulta de esta primera operación, sobre la región

𝐷 del plano 𝑥𝑦, es decir, sobre la proyección del sólido Ω sobre el plano 𝑥𝑦.

Nótese que el resultado de la primera integración sobre la variable 𝑧 resulta ser una función, a lo

sumo, de las variables 𝑥𝑦. Utilizando la escritura

𝜔(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧



Se tienen entonces que la integral triple de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre el sólido Ω es exactamente igual a la

integral doble de 𝜔(𝑥, 𝑦) sobre la región 𝐷, esto es

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬𝜔(𝑥, 𝑦)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦


𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧

Sobre el sólido xy-proyectable

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥 − 𝑦 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ [0,1] × [0,1]}

Representación gráfica del sólido 𝛀

Se tiene entonces




𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∬( ∫ 2𝑧

𝑧=2−𝑥−𝑦

𝑧=0

𝑑𝑧)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 = ∬(𝑧2 |𝑧=0

𝑧=2−𝑥−𝑦

)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬(2 − 𝑥 − 𝑦)2

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

Teniendo en cuenta que

𝐷 = [0,1] × [0,1]: {0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ≤ 𝑦 ≤ 1

Aplicando la escritura tipo I, queda

𝐼 = ∫ ( ∫ (2 − 𝑥 − 𝑦)2

𝑦=1

𝑦=0

𝑑𝑦)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥 = ∫ (−(2 − 𝑥 − 𝑦)3

3

|𝑦=0

𝑦=1

)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥

Nótese que la integral interior se puede calcular de la siguiente manera:

∫ (2 − 𝑥 − 𝑦)2

𝑦=1

𝑦=0

𝑑𝑦 2 − 𝑥 − 𝑦 = 𝑤(𝑦) 𝑑𝑦 = −𝑑𝑤

∫ (2 − 𝑥 − 𝑦)2

𝑦=1

𝑦=0

𝑑𝑦 = − ∫ 𝑤2𝑤=1−𝑥

𝑤=2−𝑥

𝑑𝑤 = −𝑤3

3

|𝑤=2−𝑥

𝑤=1−𝑥

=(2 − 𝑥)3

3−(1 − 𝑥)3

3

𝑦 = 0 → 𝑤(0) = 2 − 𝑥

𝑦 = 1 → 𝑤(1) = 1 − 𝑥

O, sin tener en cuenta los límites y solamente con el objetivo de encontrar una primitiva:

2 − 𝑥 − 𝑦 = 𝑤 𝑑𝑦 = −𝑑𝑤

∫(2 − 𝑥 − 𝑦)2

𝑑𝑦 = −∫𝑤2

𝑑𝑤 = −𝑤3

3= −

(2 − 𝑥 − 𝑦)3

3

∫ (2 − 𝑥 − 𝑦)2

𝑦=1

𝑦=0

𝑑𝑦 = −(2 − 𝑥 − 𝑦)3

3

|𝑦=0

𝑦=1

= −(1 − 𝑥)3

3+(2 − 𝑥)3

3




En cualquiera de los dos casos, se tiene

𝐼 = ∫ ((−(1 − 𝑥)3

3) + (

(2 − 𝑥)3

3))

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥

Y, luego

𝐼 = ((1 − 𝑥)4

3 ⋅ 4−(2 − 𝑥)4

12)

|𝑥=0

𝑥=1

= (04

12−14

12) − (

(1)4

12−24

12) = −

1

12−1

12+16

12

𝐼 = −1

12−1

12+16

12=14

12=7

6

Esto quiere decir que la integral triple de 𝑓 sobre Ω es

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =7

6


𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω


Sobre el sólido

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ [0,1] × [0,2]}

Representación gráfica del sólido 𝒙𝒚 −proyectable 𝛀

Se tiene




𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∬( ∫ (𝑥 + 𝑧)

𝑧=2−𝑥

𝑧=0

𝑑𝑧)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 = ∬( ∫ (𝑥 + 𝑧)

𝑧=2−𝑥

𝑧=0

𝑑𝑧)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 =∬((𝑥 + 𝑧)2

2

|𝑧=0

𝑧=2−𝑥

)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 = ∬((𝑥 + 𝑧)2

2

|𝑧=0

𝑧=2−𝑥

)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 =∬(((𝑥 + 2 − 𝑥)2

2) − (

(𝑥 + 0)2

2))

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 = ∬(((𝑥 + 2 − 𝑥)2

2) − (

(𝑥 + 0)2

2))

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 =∬(2 −𝑥2

2)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

Teniendo en cuenta ahora que

𝐷 = [0,1] × [0,2]

Adoptando la escritura tipo I, se tiene

𝐼 = ∫ (2 −𝑥2

2)( ∫ 𝑑𝑦

𝑦=2

𝑦=0

)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥 = ( ∫ (2 −𝑥2

2)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥)( ∫ 𝑑𝑦

𝑦=2

𝑦=0

)

𝐼 = (2𝑥 −𝑥3

6

|𝑥=0

𝑥=1

)(𝑦

|𝑦=0

𝑦=2

) = (2 −1

6) (2) = 4 −

1

3=11

3

En definitiva

𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω


3

En la definición de región 𝑥𝑦 −proyectable las letras son completamente intercambiables y se

puede así considerar otros tipos de regiones proyectables. A saber, las regiones 𝑥𝑧 −proyectables y

𝑦𝑧 −proyectable.

Y así como en una región 𝑥𝑦 −proyectable se integra primero respecto de la variable 𝑧. O sea, según

dos órdenes posibles

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

En una región 𝑥𝑧 −proyectable primero se integra respecto de 𝑦, es decir, según los órdenes

𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧




y en una región 𝑦𝑧 −proyectable, se integra primero respecto de 𝑥, esto es, con los dos órdenes

posibles

𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

En el ejemplo anterior, calcular la integral triple

𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω


Sobre el sólido

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ [0,1] × [0,2]}

Integrando primero respecto de la variable 𝑦, es necesario conseguir la escritura del sólido Ω

correspondiente a una región 𝑥𝑧 −proyectable. Para esto, hay que determinar la proyección de Ω

sobre el plano 𝑥𝑧, llámese por ejemplo 𝐷∗, y luego determinar las superficies

𝑆1: 𝑦 = 𝜓1(𝑥, 𝑧) 𝑆2: 𝑦 = 𝜓2(𝑥, 𝑧)

Que limitan lateralmente a Ω.

La escritura será de este modo

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝜓1(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓2(𝑥, 𝑧) ∧ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷∗}

En el caso particular del sólido Ω de este ejercicio, se tiene

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 ∧ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷∗}

Siendo 𝐷∗, el cuadrilátero de vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1) y (0,0,2)

El sólido 𝛀 es una región 𝒙𝒛 −proyectable




El sólido 𝛀 es una región 𝒙𝒛 −proyectable

Ahora, adoptando la escritura tipo I del cuadrilátero 𝐷∗, esto es

𝐷∗: {0 ≤ 𝑥 ≤ 1

0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥

Resulta entonces

𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬( ∫ (𝑥 + 𝑧)

𝑦=2

𝑦=0

𝑑𝑦)

𝐷∗

𝑑𝑥𝑑𝑧

𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ (𝑥 + 𝑧)

𝑦=2

𝑦=0

𝑑𝑦)

𝑧=2−𝑥

𝑧=0

𝑑𝑧)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥

𝐼 = ∫ ( ∫ (𝑥 + 𝑧)( ∫ 𝑑𝑦

𝑦=2

𝑦=0

)

𝑧=2−𝑥

𝑧=0

𝑑𝑧)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥

𝐼 = ( ∫ ( ∫ (𝑥 + 𝑧)

𝑧=2−𝑥

𝑧=0

𝑑𝑧)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥)( ∫ 𝑑𝑦

𝑦=2

𝑦=0

)

𝐼 = ( ∫ ((𝑥 + 𝑧)2

2

|𝑧=0

𝑧=2−𝑥

)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥)(𝑦

|𝑦=0

𝑦=2

)

𝐼 = ( ∫ (((𝑥 + 2 − 𝑥)2

2) − (

(𝑥 + 0)2

2))

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥)2

𝐼 = 2 ∫ (2 −𝑥2

2)

𝑥=1

𝑥=0

𝑑𝑥 = 2(2𝑥 −𝑥3

6

|𝑥=0

𝑥=1

) = 2 (2 −1

6) = 4 −

1

3=11

3




Es decir que resulta

𝐼 =∭(𝑥 + 𝑧)

Ω


3

Tal como se obtuvo al calcular la integral en el orden 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥.


𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


Sobre el sólido

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑧 ≤ 4 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 0}

Representación gráfica del sólido 𝒙𝒚 −proyectable 𝛀

Se tiene

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


𝐼 = ∬( ∫(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

𝑧=4

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦




𝐼 = ∬(𝑥2 + 𝑦2) ( ∫1

𝑧

𝑧=4

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬(𝑥2 + 𝑦2) (ln(𝑧)

|𝑧=1

𝑧=4

)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬(𝑥2 + 𝑦2)(ln(4))

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ln(4)∬(𝑥2 + 𝑦2)

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

Ahora, teniendo en cuenta que la proyección del sólido Ω sobre el plano 𝑥𝑦 es una región circular,

en efecto, se tiene

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 0}

Representación gráfica de la región 𝑫, proyección del sólido 𝛀 sobre el plano 𝒙𝒚

para calcular la integral doble final, se aplica la transformación polar.

𝑇:𝐷´ → ℝ2: 𝑇(𝑟, 𝜃) = (𝑥(𝑟,𝜃), 𝑦(𝑟,𝜃)) = (𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sen(𝜃))

Siendo

𝐷´ = {(𝑟, 𝜃) ∈ ℝ2: 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2}

Resulta entonces




𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 =

Recuérdese que, según la transformación polar, se tiene

𝑥2 + 𝑦2 = (𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2 = 𝑟2 ((cos(𝜃))2 + (sen(𝜃))2)⏞ 1

= 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ln(4)∬𝑟2 ∙ |𝑟|

𝐷´

𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ln(4)∬𝑟3

𝐷´

𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ln(4)( ∫ 𝑟3𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)

(

∫ 1 𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0)

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ln(4) (𝑟4

4

|𝑟=0

𝑟=2

)(𝜃

|𝜃=0

𝜃=𝜋2)

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ln(4) (24

4−04

4)(𝜋

2− 0) = ln(4) ∙ 4 ∙

𝜋

2

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ln(4) ∙ 2𝜋

Entonces, se obtiene el valor de la integral triple

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 2𝜋 ∙ ln(4)




Fórmula de cambio de variables en integrales triples

Teorema (Cambio de variables en integrales triples). Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ3 → ℝ, una función continua en

el conjunto abierto no vacío 𝑈 de ℝ3, y se la región Ω ⊂ 𝑈. Sea, además, la función

𝑇: 𝑉 ⊂ ℝ2 → ℝ2: 𝑇(𝑢, 𝑣, 𝑤) = (𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤))

que aplica de manera inyectiva (salvo en conjuntos de medida nula) la región Ω´ ⊂ 𝑉 del espacio

𝑢𝑣𝑤, en la región Ω del espacio 𝑥𝑦𝑧. Supóngase que 𝑇 es de clase 𝒞1 en 𝑉 y que el jacobiano de 𝑇

𝐽𝑇(𝑢, 𝑣, 𝑤) =𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)=|

|

𝜕𝑥

𝜕𝑢(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑥

𝜕𝑣(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑥

𝜕𝑤(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑦

𝜕𝑢(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑦

𝜕𝑣(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑦

𝜕𝑤(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑧

𝜕𝑢(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑧

𝜕𝑣(𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝜕𝑧

𝜕𝑤(𝑢, 𝑣, 𝑤)

|

|≠ 0

en Ω´ (salvo en conjuntos de medida nula). Se tiene así, la fórmula de cambio de variables en

integrales dobles

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)) ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)|

Ω´

𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤

Este resultado indica cómo obtener el valor de la integral triple, a partir de aplicar un cambio de

variables según una cierta transformación que verifique las condiciones establecidas.




Transformación cilíndrica

La transformación cilíndrica define una posición 𝑃 del espacio a partir de las tres coordenadas

(𝑟, 𝜃, 𝑧)

Según como se muestra en la siguiente figura

Interpretación geométrica de las coordenadas cilíndricas

Las tres coordenadas 𝑟, 𝜃 y 𝑧 son las llamadas coordenadas cilíndricas asociadas a la posición 𝑃,

según el sistema cilíndrico.

La definición de la transformación cilíndrica es la siguiente

𝑇: 𝑉 → ℝ3: 𝑇(𝑟, 𝜃, 𝑧) = (𝑥(𝑟,𝜃,𝑧), 𝑦(𝑟,𝜃,𝑧), 𝑧(𝑟,𝜃,𝑧)) = (𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sen(𝜃) , 𝑧)

Donde

𝑉 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑟 ≥ 0 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ}

Ciertamente no se trata de una transformación inyectiva en todo 𝑉, pero pierde la inyectividad en

conjuntos de medida nula.

En el caso de las integrales triples, esta transformación es útil cuando el sólido de integración posee

simetría cilíndrica. En una situación tal, la proyección 𝐷 del sólido Ω sobre el plano, por ejemplo, el

𝑥𝑦, es una región circular, la que será recorrida a partir de las coordenadas 𝑟 y 𝜃. Luego, la variación

de 𝑧, deberá tomarse según las inecuaciones




𝜑1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜑2(𝑥, 𝑦)

Pero reemplazando las fórmulas de transformación, es decir

𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 cos(𝜃)

𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 sen(𝜃)

𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Resulta así, la desigualdad que muestra la limitación de 𝑧 según las coordenadas cilíndricas

𝜑1(𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧), 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧)) ≤ 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) ≤ 𝜑2(𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧), 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧))

𝜑1(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sen(𝜃)) ≤ 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) ≤ 𝜑2(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sen(𝜃))

Que bien se puede expresar como:

𝛿1(𝑟, 𝜃) ≤ 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) ≤ 𝛿2(𝑟, 𝜃)

Jacobiano de la transformación cilíndrica

Como se muestra en la fórmula de cambio de variables en integrales triples, así como ocurría en las

integrales dobles, interviene el jacobiano de la transformación. Para el caso de la transformación

cilíndrica

𝑇: 𝑉 → ℝ3: 𝑇(𝑟, 𝜃, 𝑧) = (𝑥(𝑟,𝜃,𝑧), 𝑦(𝑟,𝜃,𝑧), 𝑧(𝑟,𝜃,𝑧)) = (𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sen(𝜃) , 𝑧)

se tiene

𝐽𝑇(𝑟, 𝜃, 𝑧) =𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)=|

|

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑟

𝜕𝑧

𝜕𝜃

𝜕𝑧

𝜕𝑧

|

|

(𝑟,𝜃,𝑧)

= |cos(𝜃) −𝑟 sen(𝜃) 0sen(𝜃) 𝑟 cos(𝜃) 00 0 1

| = 𝑟

Es decir que el jacobiano de esta transformación es

𝐽𝑇(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟




Según la fórmula de cambio de variables en integrales triples, a partir de la transformación cilíndrica,

se tiene la siguiente expresión para la integral triple:

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑓(𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧), 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧), 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧)) ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´

𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

𝐼 =∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑓(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sen(𝜃) , 𝑧) ∙ |𝑟|

Ω´



𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


Sobre el sólido

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑧 ≤ 4 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 0}

Aplicando la transformación cilíndrica.

Aplicar la transformación cilíndrica, significa aplicar las fórmulas de transformación



𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Ahora, para el cálculo de la integral triple hay que considerar el correspondiente jacobiano, como

así también el sólido Ω´ asociado a l sólido Ω inicial. Respecto del jacobiano, del apartado anterior,

se sabe que


Con relación a la región Ω´ asociada, los rangos de variación de 𝑟 y 𝜃 se obtienen a partir de la

proyección de Ω sobre el plano 𝑥𝑦, tal como en la transformación polar. Resulta entonces que

0 ≤ 𝑟 ≤ 2

0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2

Y como se mencionó más arriba, para la variable 𝑧, ocurre que

𝜑1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜑2(𝑥, 𝑦)




𝜑1(𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧), 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧)) ≤ 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) ≤ 𝜑2(𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧), 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧))

Pero como en este caso las funciones 𝑧 = 𝜑1(𝑥, 𝑦) = 1 y 𝑧 = 𝜑2(𝑥, 𝑦) = 4 son constantes, queda

1 ≤ 𝑧 ≤ 4

Así, el sólido Ω´ asociado se define como

Ω´ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2∧ 1 ≤ 𝑧 ≤ 4}

La función 𝑻(𝒓, 𝜽, 𝒛) transforma el prisma 𝛀´ del espacio 𝒓𝜽𝒛 en el sólido 𝛀 de espacio 𝒙𝒚𝒛

Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples, resulta

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭((𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2)

𝑧∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´


𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑟2

𝑧∙ |𝑟|

Ω´


𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω


𝑧

Ω´


𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫𝑟3

𝑧

𝑧=4

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0

Al existir la posibilidad de separar las variables y ser los límites constantes, se puede escribir

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ( ∫ 𝑟3𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)

(

∫ 𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0)

( ∫1

𝑧

𝑧=4

𝑧=1

𝑑𝑧)




Entonces, tal como en el Ejemplo 5, se verifica

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 4 ∙𝜋

2∙ ln(4) = 2𝜋 ∙ ln(4)

O sea

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 2𝜋 ∙ ln(4)


𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω


Sobre el sólido

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑥2 − 𝑦2}

Representación gráfica del sólido 𝛀 sobre el que se ha de calcular la integral

Según la definición de Ω, la variación de 𝑧 se obtendrá a partir de las desigualdades

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑥2 − 𝑦2




Ahora bien, para determinar el recinto circular 𝐷 se suele encontrar primero su curva frontera 𝜕𝐷

que en este caso resulta ser la proyección en el plano 𝑥𝑦 de la curva 𝐶 intersección entre los

paraboloides

𝑆1: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

Y

𝑆2: 𝑧 = 8 − 𝑥2 − 𝑦2

Esta curva 𝐶 está dada del siguiente modo

𝐶: {𝑆1: 𝑧 = 𝑥

2 + 𝑦2

𝑆2: 𝑧 = 8 − 𝑥2 − 𝑦2

Igualando las dos ecuaciones, se obtiene la siguiente igualdad

𝑥2 + 𝑦2 = 4

Esta ecuación se puede “leer” de dos maneras. Una tiene que ver con lo que representa en el

espacio, que es donde está el sólido Ω. Se trata del cilindro

𝑆3: 𝑥2 + 𝑦2 = 4

La curva 𝑪 está totalmente incluida en el cilindro 𝑺𝟑

Lo que ocurre es que la curva 𝐶, así como está totalmente incluida en los paraboloides 𝑆1 y 𝑆2,

también está completamente incluida en el cilindro 𝑆3.

O bien, en el plano, con relación a la curva

𝐶∗: 𝑥2 + 𝑦2 = 4




Esto significa que la proyección en el plano 𝑥𝑦 de la curva 𝐶 es 𝐶∗. Entonces, esto permite concluir

que, en este caso, 𝐶∗ frontera de la región de integración 𝐷. O sea que esta región es un círculo de

centro en el origen y radio 𝑟0 = 2. Esto es

𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4


Aplicar la transformación cilíndrica significa sustituir según las fórmulas de transformación



𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Donde se tiene que


A su vez, dado que la proyección del sólido Ω sobre el plano 𝑥𝑦 es el círculo

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}

Se tiene que el rango de variación de las variables 𝑟 y 𝜃 es

0 ≤ 𝑟 ≤ 2

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

Por otra parte, teniendo en cuenta que

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑥2 − 𝑦2

O bien

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − (𝑥2 + 𝑦2)




Aplicando las fórmulas de transformación

𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 cos(𝜃) 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 sen(𝜃) 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Resulta

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − (𝑥2 + 𝑦2)

(𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − (𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2

𝑟2((cos(𝜃))2 + (sen(𝜃))2) ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑟2((cos(𝜃))2 + (sen(𝜃))2)

𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑟2

Luego, el sólido asociado a Ω en las coordenadas cilíndricas es

Ω´ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑟2 ∧ 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}

O brevemente

Ω´: {0 ≤ 𝑟 ≤ 20 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑟2


Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑒𝑧 ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´


𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑒𝑧 ∙ |𝑟|

Ω´


𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑟𝑒𝑧

Ω´





𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑟𝑒𝑧𝑧=8−𝑟2

𝑧=𝑟2

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟 (𝑒𝑧 |𝑧=𝑟2

𝑧=8−𝑟2

)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟(𝑒8−𝑟2− 𝑒𝑟

2)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = [(−1

2𝑒8−𝑟

2−1

2𝑒𝑟

2)

|𝑟=0

𝑟=2

] (𝜃

|𝜃=0

𝜃=2𝜋

)

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = [−1

2(𝑒8−𝑟

2+ 𝑒𝑟

2)

|𝑟=0

𝑟=2

] (𝜃

|𝜃=0

𝜃=2𝜋

)

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −1

2[(𝑒4 + 𝑒4) − (𝑒8 + 𝑒0)](2𝜋 − 0)

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −[2𝑒4 − 𝑒8 − 1]𝜋

Es decir que

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (𝑒8 − 2𝑒4 + 1)𝜋 = 𝜋(𝑒4 − 1)2

O sea

𝐼 =∭𝑒𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜋(𝑒4 − 1)2




Ejemplo 8-a. Calcular la integral triple

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω


Sobre el sólido

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4}


Aplicar la transformación cilíndrica significa sustituir según las fórmulas de transformación



𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Donde se tiene que


A su vez, dado que la proyección del sólido Ω sobre el plano 𝑥𝑦 es el círculo

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}

Se tiene que el rango de variación de las variables 𝑟 y 𝜃 es

0 ≤ 𝑟 ≤ 2

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

Por otra parte, teniendo en cuenta que




𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4

Aplicando las fórmulas de transformación

𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 cos(𝜃) 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 sen(𝜃) 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Resulta

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4

(𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2 ≤ 𝑧 ≤ 4

𝑟2((cos(𝜃))2 + (sen(𝜃))2) ≤ 𝑧 ≤ 4

𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 4

Luego, el sólido asociado a Ω en las coordenadas cilíndricas es

Ω´ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 4 ∧ 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}

O brevemente

Ω´: {0 ≤ 𝑟 ≤ 20 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 4

La función 𝑻(𝒓, 𝜽, 𝒛) transforma el sólido 𝛀´ del espacio 𝒓𝜽𝒛 en el sólido 𝛀 de espacio 𝒙𝒚𝒛

Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭√(𝑟 cos(𝜃))2 + (𝑟 sen(𝜃))2 ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´


𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑟 ∙ |𝑟|

Ω´





𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω


Ω´


𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑟2𝑧=4

𝑧=𝑟2

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

Teniendo en cuenta que 𝑟2 es constante para la integración respecto de 𝑧, se escribe

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑟2𝑧=4

𝑧=𝑟2

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟2( ∫ 𝑑𝑧

𝑧=4

𝑧=𝑟2

)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟2 (𝑧

|𝑧=𝑟2

𝑧=4

)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟2(4 − 𝑟2)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

Separando esta integral doble como el producto de integrales simples

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ( ∫ (4𝑟2 − 𝑟4)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)( ∫ 𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

)

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (4

3∙ 𝑟3 −

𝑟5

5

|𝑟=0

𝑟=2

)(𝜃

|𝜃=0

𝜃=2𝜋

)

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω


3∙ 23 −

25

5) (2𝜋 − 0)

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 2𝜋 ∙ 32 (1

3−1

5) = 64𝜋 ∙

2

15=128

15𝜋

Esto significa que la integral triple de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2, sobre el sólido Ω es

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω


15𝜋




Ejemplo 8-b. Calcular la integral triple

𝐼 =∭2𝑧

Ω


Sobre el sólido cónico

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: √𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 0}


Aplicando la transformación cilíndrica



𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

Cuyo jacobiano es


Se tiene que la región asociada en el espacio "𝑟𝜃𝑧" es el sólido

Ω´ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2}

O brevemente

Ω´: {

0 ≤ 𝑟 ≤ 1

0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1





Luego, a partir de la fórmula de cambio de variables en integrales triples queda

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭2𝑧 ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´


𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭2𝑧 ∙ |𝑟|

Ω´

𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 =∭2𝑧𝑟

Ω´


O sea

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 2𝑧𝑟

𝑧=1

𝑧=𝑟

𝑑𝑧)

𝑟=1

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟 (𝑧2 |𝑧=𝑟

𝑧=1

)

𝑟=1

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟(1 − 𝑟2)

𝑟=1

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0

Y efectuando los cálculos, resulta finalmente que

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =𝜋

8




Ejemplo 8-c. Calcular la integral triple

𝐼 =∭2𝑧

Ω



Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 𝑧 ≥ √𝑥2 + 𝑦2}


En este caso, el sólido Ω no es 𝑥𝑦 – proyectable, ya que, si bien su proyección en el plano 𝑥𝑦 es el

círculo de centro en el origen y radio 𝑟0 = 2, o sea

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}

Y respecto de este conjunto, se encuentra limitado inferiormente por dos superficies distintas,

según el sector del recinto que se considere.

Sin embargo, aun así, resulta que Ω se puede descomponer en dos sólidos Ω1 y Ω2, siendo ambos

𝑥𝑦 – proyectables. En concreto, se trata del sólido cilíndrico

Ω1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}

De proyección circular en el plano 𝑥𝑦

𝐷1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}




Y del sólido cónico

Ω2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: √𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}

De proyección circular en el plano 𝑥𝑦

𝐷2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}

De esta manera, la integral triple inicial se puede calcular como sigue

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭2𝑧

Ω1

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +∭2𝑧

Ω2


Luego, aplicando la transformación cilíndrica en cada término, queda

𝐼 =∭2𝑧

Ω


𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´1

𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 +∭2𝑧 ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´2





Siendo

Ω´1 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}

O brevemente

Ω´1: {0 ≤ 𝑟 ≤ 10 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋1 ≤ 𝑧 ≤ 2

Es sólido asociado a Ω1, y

Ω´2 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}

O brevemente

Ω´2: {1 ≤ 𝑟 ≤ 20 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 2

Es sólido asociado a Ω2.

Luego, solamente queda por calcular las integrales

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 2𝑧𝑟

𝑧=2

𝑧=1

𝑑𝑧)

𝑟=1

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

+ ∫ ( ∫ ( ∫ 2𝑧𝑟

𝑧=2

𝑧=𝑟

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=1

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

De lo cual resulta que

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 3𝜋 +9

2𝜋 =

15

2𝜋

Es decir

𝐼 =∭2𝑧

Ω


2𝜋




Ejemplo 8-d. Calcular la integral triple

𝐼 =∭2𝑧

Ω



Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: √𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1 ∧ 𝑦 ≥ |𝑥|}


Aplicando la transformación cilíndrica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, se

tiene

𝐼 =∭2𝑧

Ω


𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´

𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 =∭2𝑧𝑟

Ω´


Donde

Ω´ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧𝜋

4≤ 𝜃 ≤

3

4𝜋}

O brevemente

Ω´: {

1 ≤ 𝑟 ≤ 2𝜋

4≤ 𝜃 ≤

3

4𝜋

𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 2




Es decir

𝐼 =∭2𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 2𝑧𝑟

𝑧=2

𝑧=𝑟

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=1

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=34𝜋

𝜃=𝜋4

Desarrollando los cálculos correspondientes queda

𝐼 =∭2𝑧

Ω


8𝜋


𝐼 =∭𝑥2

Ω


Sobre el sólido cilíndrico Ω limitado superiormente por el plano

𝜋1: 𝑧 = 𝑦

Inferiormente por el plano

𝜋2: 𝑧 = −𝑦

Y lateralmente por el cilindro

𝑆: 𝑥2 + 𝑦2 = 4

Para

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4

O sea

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: −𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}

O lo que es lo mismo

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: |𝑧| ≤ 𝑦 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}





Aplicando la transformación cilíndrica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, se

tiene

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭(𝑟 cos(𝜃))2 ∙ |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)|

Ω´

𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 =∭𝑟2 cos2(𝜃) |𝑟|

Ω´


Donde

Ω´ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3: −𝑟 sen(𝜃) ≤ 𝑧 ≤ 𝑟 sen(𝜃) ∧ 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋}

O brevemente

Ω´: {0 ≤ 𝑟 ≤ 20 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

−𝑟 sen(𝜃) ≤ 𝑧 ≤ 𝑟 sen(𝜃)

Es decir

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑟3 cos2(𝜃)

Ω´


Luego

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑟3 cos2(𝜃)

𝑧=𝑟 sen(𝜃)

𝑧=−𝑟 sen(𝜃)

𝑑𝑧)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋

𝜃=0




𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟3 cos2(𝜃) (𝑧

|𝑧=−𝑟 sen(𝜃)

𝑧=𝑟 sen(𝜃)

)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 𝑟3 cos2(𝜃) (2𝑟 sen(𝜃))

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ 2𝑟4 cos2(𝜃) sen(𝜃)

𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)𝑑𝜃

𝜃=𝜋

𝜃=0

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ( ∫ cos2(𝜃) sen(𝜃)𝑑𝜃

𝜃=𝜋

𝜃=0

)( ∫ 2𝑟4𝑟=2

𝑟=0

𝑑𝑟)

𝐼 =∭𝑥2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (−cos3(𝜃)

3

|𝜃=0

𝜃=𝜋

)(2

5𝑟5 |𝑟=0

𝑟=2

)

Finalmente, resulta que

𝐼 =∭𝑥2

Ω


3⋅64

5=128

15

Esto es

𝐼 =∭𝑥2

Ω


15




Transformación esférica

Así como se tiene la transformación cilíndrica y aplicada al cálculo de integrales sobre sólidos con

simetría cilíndrica, también se define la transformación esférica en la que se establece la posición

𝑃 del espacio a partir de las coordenadas esféricas

(𝜌, 𝜃, 𝜑)

En lo que respecta a su utilidad a la aplicación de integrales triples, resulta conveniente cuando se

trabaja sobre regiones con simetría esférica. En las siguientes figuras se muestra la interpretación

geométrica de estas coordenadas

Interpretación geométrica de las coordenadas esféricas

Relación entre las coordenadas cartesianas (𝒙, 𝒚, 𝒛) y las coordenadas esféricas (𝝆, 𝜽, 𝝋)




La coordenada 𝜌 se interpreta como la distancia al origen del punto 𝑃. La variable angular 𝜃 se llama

variable azimutal y se toma exactamente como en las transformaciones polar y cilíndrica, y la

variable angular 𝜑, llamada colatitud, es la que mide el ángulo formado por la parte positiva del eje

vertical 𝑧 y el segmento que une el origen de coordenadas con el punto 𝑃.

La transformación esférica se define del siguiente modo

𝑇: 𝑉 → ℝ3: 𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑) = (𝑥(𝜌, 𝜃, 𝜑), 𝑦(𝜌, 𝜃, 𝜑), 𝑧(𝜌, 𝜃, 𝜑))

= (𝜌 cos(𝜃) sen(𝜑) , 𝜌 sen(𝜃) sen(𝜑) , 𝜌 cos(𝜑))

Donde

𝑉 = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 𝜌 ≥ 0 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋}

Considerando 𝜌 > 0, las fórmulas se deducen de la siguiente manera

cos(𝜑) =𝑧

𝜌 → 𝑧 = 𝜌 cos(𝜑)

sen(𝜑) =𝑟

𝜌 → 𝑟 = 𝜌 sen(𝜑)

𝑥 = 𝑟 cos(𝜃) = 𝜌 sen(𝜑) cos(𝜃)

𝑦 = 𝑟 sen(𝜃) = 𝜌 sen(𝜑) sen(𝜃)

Esto es

𝑥(𝜌,𝜃,𝜑) = 𝜌 cos(𝜃) sen(𝜑)

𝑦(𝜌,𝜃,𝜑) = 𝜌 sen(𝜃) sen(𝜑)

𝑧(𝜌,𝜃,𝜑) = 𝜌 cos(𝜑)

Observación: Algunas relaciones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas,

útiles en cuanto al cálculo de integrales triples, son las siguientes

𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Es natural ya que 𝜌 se definió como la distancia al origen del punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧).

𝑟 = 𝜌 sen(𝜑) = √𝑥2 + 𝑦2




Recuérdese que 𝑟 es la variable radial en la transformación cilíndrica y que, precisamente, la relación

con las coordenadas cartesianas es

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

Y así como se deduce de la representación geométrica de las coordenadas esféricas, se tiene la

relación mencionada, a saber

𝑟 = |𝜌 sen(𝜑)| = 𝜌 sen(𝜑) = √𝑥2 + 𝑦2

El hecho de extraer las barras de valor absoluto se corresponde con que

sen(𝜑) ≥ 0

En el intervalo de variación de la variable angular 𝜑. Recuérdese que

0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

Jacobiano de la transformación esférica

Como se muestra en la fórmula de cambio de variables en integrales triples, así como ocurría en las

integrales dobles, interviene el jacobiano de la transformación. Para el caso de la transformación

esférica se tiene

𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑) = (𝑥(𝜌, 𝜃, 𝜑), 𝑦(𝜌, 𝜃, 𝜑), 𝑧(𝜌, 𝜃, 𝜑)) = (𝜌 cos(𝜃) sen(𝜑) , 𝜌 sen(𝜃) sen(𝜑) , 𝜌 cos(𝜑))

Entonces




𝐽𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑) =𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜑)= |

cos(𝜃) sen(𝜑) −𝜌 sen(𝜃) sen(𝜑) 𝜌 cos(𝜃) cos(𝜑)

sen(𝜃) sen(𝜑) 𝜌 cos(𝜃) sen(𝜑) 𝜌 sen(𝜃) cos(𝜑)

cos(𝜑) 0 −𝜌 sen(𝜑)|

Es decir que el jacobiano de la transformación esférica es




𝐽𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑) =𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜑)= −𝜌2 sen(𝜑)

Ejemplo 10-a. Calcular la integral triple

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω


Sobre el sólido esférico

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 32}

Cálculo de la integral aplicando la transformación esférica:




Cuyo jacobiano

𝐽𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑) =𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜑)= −𝜌2 sen(𝜑)

Ahora bien, es necesario determinar la región Ω´ del espacio 𝜌𝜃𝜑 que la transformación esférica

convierte en el sólido Ω del espacio 𝑥𝑦𝑧. En este caso, tratándose de un sólido esférico de centro

en el origen y radio 3, queda claro que el rango de variación de 𝜌 es

0 ≤ 𝜌 ≤ 3

Y teniendo en cuenta que es el sólido esférico completo, debe ser entonces

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

Es decir que Ω´ se define como

Ω´ = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋}




La función 𝑻(𝝆, 𝜽, 𝝋) transforma el prisma 𝛀´ del espacio 𝝆𝜽𝝋 en el sólido esférico 𝛀 de espacio 𝒙𝒚𝒛

Aplicando la fórmula de cambio de variables en integrales triples, resulta

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω


=∭((𝑥(𝜌, 𝜃, 𝜑))2+ (𝑦(𝜌, 𝜃, 𝜑))

2+ (𝑧(𝜌, 𝜃, 𝜑))

2) ∙ |

𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜑)|

Ω´

𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 =

𝐼 =∭((𝜌 cos(𝜃) sen(𝜑))2 + (𝜌 sen(𝜃) sen(𝜑))2 + (𝜌 cos(𝜑))2) ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´

𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑

𝐼 =∭(𝜌2 cos2(𝜃) sen2(𝜑) + 𝜌2 sen2(𝜃) sen2(𝜑) + 𝜌2 cos2(𝜑)) ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


𝐼 =∭𝜌2(cos2(𝜃) sen2(𝜑) + sen2(𝜃) sen2(𝜑) + cos2(𝜑)) ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


𝐼 =∭𝜌2((cos2(𝜃) + sen2(𝜃)) sen2(𝜑) + cos2(𝜑)) ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


𝐼 =∭𝜌2(sen2(𝜑) + cos2(𝜑)) ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


𝐼 =∭𝜌2 ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


𝐼 =∭𝜌2 ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´





Como se comentó en la observación de más arriba, se cumple que

𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Es decir

𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Además, dado que

0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

Se cumple que

sen(𝜑) ≥ 0

Entonces

|𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜑)| = |−𝜌2 ⋅ sen(𝜑)| = 𝜌2|sen(𝜑)| = 𝜌2 sen(𝜑)

Luego, resulta

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝜌2 ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝜌2 ∙ 𝜌2 sen(𝜑)

Ω´


Es decir

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝜌4 ∙ sen(𝜑)

Ω´


Seleccionando, por ejemplo, el orden "𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑", queda

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝜌4 ⋅ sen(𝜑) 𝑑𝜌

𝜌=3

𝜌=0

)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

)

𝜑=𝜋

𝜑=0

𝑑𝜑

O bien, separando las variables, la integral se puede calcular según la factorización:

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ( ∫ 𝜌4𝑑𝜌

𝜌=3

𝜌=0

) ⋅ ( ∫ sen(𝜑)

𝜑=𝜋

𝜑=0

𝑑𝜑) ⋅ ( ∫ 𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

)

Luego




𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (𝜌5

5

|𝜌=0

𝜌=3

)(− cos(𝜑)

|𝜑=0

𝜑=𝜋

)(𝜃

|𝜃=0

𝜃=2𝜋

)

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω


5) (− cos(𝜋) + cos(0))(2𝜋 − 0)

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω


5) 4𝜋

O sea que, el valor de la integral triple es

𝐼 =∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

Ω


5𝜋

Ejemplo 10-b. Calcular la integral triple

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω



Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑧 ≥ 0}


Aplicando transformación esférica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, resulta

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝜌 ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


Donde




Ω´ = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2∧ 0 ≤ 𝜑 ≤

𝜋

2}

Luego

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


(

∫

(

∫ ( ∫ 𝜌3 sen(𝜑)𝑑𝜌

𝜌=3

𝜌=0

)𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0)

𝜑=𝜋2

𝜑=0

𝑑𝜑

)

Realizando los cálculos correspondientes, resulta

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


8𝜋

Ejemplo 10-c. Calcular la integral triple

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω



Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≤ √3𝑥 ∧ 𝑧 ≥ 0}

Representación gráfica del sólido esférico 𝛀 sobre el que se ha de calcular la integral

Nótese que la proyección 𝐷 del sólido Ω en el plano 𝑥𝑦 está dada por la expresión

D = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≤ √3𝑥}





Aplicando transformación esférica y la fórmula de cambio de variables en integrales triples, y

teniendo en cuenta que

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = 𝜌 sen(𝜑)

resulta

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝜌sen(𝜑) ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´


Siendo

Ω´ = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 ∧ −𝜋

2≤ 𝜃 ≤

𝜋

3∧ 0 ≤ 𝜑 ≤

𝜋

2}

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω


(

∫

(

∫ ( ∫ 𝜌3 sen2(𝜑) 𝑑𝜌

𝜌=3

𝜌=0

)𝑑𝜃

𝜃=𝜋3

𝜃=−𝜋2 )

𝜑=𝜋2

𝜑=0

𝑑𝜑

)

Realizando los cálculos correspondientes, se concluye que

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2

Ω


32𝜋2




Ejemplo 10-d. Calcular la integral triple

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω



Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9 ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑧 ≥ 0}







𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


Ω´


Donde

Ω´ = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝜌 ≤ 3 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2∧ 0 ≤ 𝜑 ≤

𝜋

2}

Luego

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


(

∫

(

∫ ( ∫ 𝜌3 sen(𝜑)𝑑𝜌

𝜌=3

𝜌=1

)𝑑𝜃

𝜃=𝜋2

𝜃=0)

𝜑=𝜋2

𝜑=0

𝑑𝜑

)


𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 10𝜋

Ejemplo 10-e. Calcular la integral triple

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω



Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9 ∧ 𝑧 ≥ √𝑥2 + 𝑦2}






𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


Ω´


Donde

Ω´ = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤𝜋

4}

Luego

𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


(

∫ ( ∫ ( ∫ 𝜌3 sen(𝜑) 𝑑𝜌

𝜌=3

𝜌=0

)𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

)

𝜑=𝜋4

𝜑=0

𝑑𝜑

)


𝐼 =∭√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ω


4(2 − √2)𝜋

Ejemplo 11. Calcular el volumen del sólido esférico limitado por la esfera de centro en el origen y

radio 𝜌0, es decir

Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 𝜌02}

Esta tarea fue realizada en el Ejemplo 1. Pero en tal situación, la integral triple a partir de la que se

calcula el volumen de Ω, a saber

𝑣𝑜𝑙(Ω) =∭1

Ω


Fue evaluada, integrando en primer lugar respecto de 𝑧, y finalmente aplicando la transformación

polar para el cálculo de la última integral doble.

En este caso, se aplicará la fórmula de cambio de variables según la transformación esférica para

obtener el volumen de este sólido.

Entonces, para calcular la integral triple


Ω


Se aplican las fórmulas de transformación







el jacobiano correspondiente

𝐽𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑) =𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜑)= −𝜌2 sen(𝜑)

Integrando sobre el sólido

Ω´ = {(𝜌, 𝜃, 𝜑) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌0 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋}

Nótese que el rango de variación de 𝜌 se obtiene a partir de saber que es el sólido esférico de radio

𝜌0 completo. Y por la misma razón, así como en el ejemplo anterior

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

Queda entonces


Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭1 ∙ |−𝜌2 sen(𝜑)|

Ω´



Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝜌2 ∙ sen(𝜑)

Ω´


Separando las variables, la integral se puede calcular del siguiente modo


Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ( ∫ 𝜌2𝑑𝜌

𝜌=𝜌0

𝜌=0

)( ∫ sen(𝜑)

𝜑=𝜋

𝜑=0

𝑑𝜑)( ∫ 𝑑𝜃

𝜃=2𝜋

𝜃=0

)

Así, se tiene


Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (𝜌3

3

|𝜌=0

𝜌=𝜌0

)(−cos(𝜑)

|𝜑=0

𝜑=𝜋

)(𝜃

|𝜃=0

𝜃=2𝜋

)


Ω

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =𝜌03

3∙ 2 ∙ 2𝜋

Es decir que


Ω


3𝜋𝜌0

3

Que es el volumen del sólido esférico de radio 𝜌0, tal como se sabía de lo realizado en el Ejemplo 1.