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INTEGRALESTRIPLES

Ing. Gabriela Marijan

Sea f una función continua de tres variables en una región sólida acotada B

Supongamos primero que B es una caja rectangular (paralelepípedo rectangular)

RRS:f 3 →⊂

( ){ }qzp,dyc,bxa/z,y,xB ≤≤≤≤≤≤=

[ ] [ ] [ ]q,pd,cb,aB ××=

Matemática III - S.R.T.-

Primero dividamos el rectángulo B en n subcajas . Para esto dividamos los tres lados en n partes iguales.

El intervalo [a,b] quedará dividido en n subintervalos, con una ancho igual a

[c,d] quedará dividido en n subintervalos con ancho igual a y el intervalo [p,q] en subintervalos con ancho igual a

x∆[ ]i1i x,x −

[ ]j1j y,y − y∆[ ]k1k z,z − z∆


Cada subcaja Bijk tiene un volumen .zyxV ∆⋅∆⋅∆=∆

( )( ) ijkijkijkijk

n

1i

n

1j

n

1k

ijkijkijk

B en está z,y,x muestra punto el donde

Vz,y,xf ∆⋅∑∑∑= = =

Si formamos la suma triple de Riemann

Definimos la integral triple como el limite de las sumas triples riemannianas, para cuando la norma de la partición tiende a cero

Sea f una función continua de tres variables, definida en una región sólida acotada B, si

existe, decimos que f es integrable en B. Además la

llamada la integral triple de f en B, está dada entonces por

( ) Vz,y,xflimn

1i

n

1j

n

1k

ijkijkijk0

∆∑∑∑= = =→∆

Definición: “ La integral triple”

dV)z,y,x(fB

∫∫∫

( ) ( ) A z,y,xflimdVz,y,xfn

1i

n

1j

n

1k

ijkijkijk0

B

∆= ∑∑∑∫∫∫= = =→∆


No toda función de tres variables es integrable en una región sólida B.

“Si f está acotada en la región sólida B y si es continua ahí, excepto en un número finito de superficies suaves ( es decir sus discontinuidades están confinadas en gráficas de funciones continuas como x=α(y,z),

y=β(x,z), z=γ(x,y) ) entonces f es integrable en B. En particular si f es continua en todo B, entonces f es integrable ahí”

“Integrabilidad”


Sean f y g funciones integrables región sólida B, y sea c una constante. Entonces f + g y cf son integrables y

“Propiedades de la integral triple”

[ ] ∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ +=+B BB

dV)z,y,x(gdV)z,y,x(f)z,y,x(g)z,y,x(f

∫∫∫∫∫∫ =BB

dV)z,y,x(fcdV)z,y,x(cf

Donde B es la unión de dos regiones sólidas B1 y B2 sin solapamiento.

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ +=B BB 21

dV)z,y,x(fdV)z,y,x(fdV)z,y,x(f


“Cálculo de integrales triples ”

Teorema de Fubini para las integrales triples”“Si f es continua en una caja rectangular

entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral triple”

[ ] [ ] [ ]q,pd,cb,aB ××=

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫

=

=

==

b

a

q

p

d

c

q

p

b

a

d

c

q

p

d

c

b

aBB

dydzdx)z,y,x(f

dydxdz)z,y,x(f

dxdydz)z,y,x(fdxdydz)z,y,x(fdV)z,y,x(f

Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas

Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)Matemática III - S.R.T.-

1-Evalúe la integral triple donde B es la caja rectangular dada por

2-Integrar sobre la caja

Ejercicios

∫∫∫B

2dVxyz

zyxe ++

( ){ }3z0;2y1;1x0/z,y,xB ≤≤≤≤−≤≤=

[ ] [ ] [ ]1,01,01,0 ××


Sea S un conjunto cerrado y acotado en el espacio tridimensional. Sea B cualquier caja que contiene a S

Dada f definida y continua en S, definimos una nueva función F con dominio B mediante

Definición:“La integral sobre regiones elementales”

∈∉=

By)(x,y S z)y,(x, si0

S en está)z,y,x(si)z,y,x(f)y,x(F


Definición:“La integral sobre regiones elementales”

Si la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la integral triple de f sobre S como

Nota: Esta integral existe si f es continua y la frontera de S es razonablemente suave.

∫∫∫∫∫∫ =BS

dV)z,y,x(FdV)z,y,x(f


Regiones:“Tipo 1 o z-simples”Se dice que una región sólida B es de tipo 1 si se halla entre las gráficas de dos funciones continuas de x e y , es decir

donde Dxy es la proyección de S en el plano XY. La frontera superior del sólido es la superficie deecuación en tanto quela frontera inferior es la sup. de ecuación

“La integral triple sobre regiones elementales: Regiones tipo 1

( ) ( ){ })y,x(z)y,x(,Dy,x/z,y,xS 21xy φ≤≤φ∈=

)y,x(z 2φ=

)y,x(z 1φ=S


Entonces si S es una región tipo 1

Además, si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una región tipo1

la ecuación anterior se convierte en

∫∫ ∫∫∫∫

=

φ

φxy

2

1D

)y,x(

)y,x(S

dAdz)z,y,x(fdV)z,y,x(f

( ){ })y,x(z)y,x(),x(gy)x(g,bxa/z,y,xS 2121 φ≤≤φ≤≤≤≤=

∫ ∫ ∫∫∫∫φ

φ=

b

a

)x(g

)x(g

)y,x(

)y,x(S

2

1

2

1

dydxdz)z,y,x(fdV)z,y,x(f

y=g2(x)y=g1(x)

S


Ejercicio-Evalúe la integral triple

donde S es el tetraedro sólido acotado por los cuatro planos x=0 , y=0 , z=0 y x+y+z = 1

Si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una región tipo2

la ecuación anterior se convierte en

( ){ })y,x(z)y,x( ),y(hx)y(h ,dxc/z,y,xS 2121 φ≤≤φ≤≤≤≤=

∫ ∫ ∫∫∫∫φ

φ=

d

c

)y(h

)y(h

)y,x(

)y,x(S

2

1

2

1

dxdydz)z,y,x(fdV)z,y,x(f

S∫∫∫S

zdV


Una región sólida S es de tipo 2 si es de la forma

Donde Dyz es el proyección sobre el plano YZ.

La superficie de atrás es , la superficie de enfrente es así que tenemos

Regiones tipo 2

)z,y(x 1φ=

( ) ( ){ })z,y(x)z,y(,Dy,x/z,y,xS 21yz φ≤≤φ∈=

)z,y(x 2φ=

∫∫ ∫∫∫∫

=

φ

φyz

2

1D

)z,y(

)z,y(S

dAdx)z,y,x(fdV)z,y,x(f


Una región sólida S es de tipo 3 si es de la forma

Donde Dxz es el proyección sobre el plano YZ.

La superficie de la izq. es , la superficie de la derecha es así que tenemos

Regiones tipo 3

)z,x(y 1φ=

( ) ( ){ })z,x(y)z,x(,Dy,x/z,y,xS 21xz φ≤≤φ∈=

)z,x(y 2φ=

∫∫ ∫∫∫∫

=

φ

φxz

2

1D

)z,x(

)z,x(S

dAdy)z,y,x(fdV)z,y,x(f


1-Evalúe la integral Trazar la región de integración S e interpretar.

2-Calcular

3- Calcular

Ejercicios

∫ ∫ ∫ +

1

0

x

0

2

yx 22dzdydx

∫ ∫ ∫π π

2

0

2

x

3

1

2 dzdydx y sen

∫ ∫ ∫+

+2

0

x

0

yx

0

x dzdydx)z2y(e


1- La región del primer octante acotado superiormente por el cilindro y comprendida entre los planos verticales x+y=1 e x+y=3.

2- El hemisferio superior dado por

3- La región limitada inferiormente por el paraboloide

y superiormente por la esfera

Determinación de los límites de integración

2y1z −=

22 yx1z −−=

22 yxz += 6zyx 222 =++


Para una región sólida simple S se define su volumen como

Aplicación geométrica: Volumen

∫∫∫ ∫∫∫==S S

dVdxdydz)S(V

Ejercicios1-Calcular el volumen de

2- Calcular el volumen del sólido

NOTA:

( ){ }2x4z0 ,6y0 ,2x2/z,y,xS −≤≤≤≤≤≤−=

0z ,0y ,0x ,yx9z 22 ≥≥≥−−=

() ∫+ + − − = −Ca

uarcsen

8

a3u a u2 a5

8

udu ) u a(

42 2 2 2 2

3 2 2


En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta ordenadadonde r y son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P.

Las ecuaciones para pasar de coordenadas cilíndricas a rectangulares son:

Como resultado la función f (x,y,z) se trans-forma en :

)z,,r( θθ

Coordenadas cilíndricas:Revisión

zzrsenycosrx =θ=θ=

)z,,r(F)z,rsen,cosr(f)z,y,x(f θ=θθ=Matemática III - S.R.T.-

Para expresar en coordenadas cilíndricas una integral triple, supongamos que S es una región sólida y f es continua en S.

Dividamos S por medio de una cuadrícula cilíndrica, donde el elemento de volumen típico tiene la forma de una “cuña cilíndrica” cuyo volumen es

Y la suma que aproxima la integral tiene la forma

entonces, al tomar el límite cuando l:KKKk

n

1k

kkk zrr)z,,r(F ∆θ∆∆θ∑=

KKKkK zrrV ∆θ∆∆=∆

Integrales triples en coordenadas cilíndricas

Sea f una función continua de tres variables, definida en una región sólida acotada S

cuya proyección DXY en el plano XY puede describirse en coordenadas

polares, es decir DXY es una región plana r-simple o θ-simple, entonces

donde la integral doble se calcula en polares.. Si DXY es r-simple

la integral triple en coordenadas cilíndricas es

NOTA:Esto es uno de los seis posibles ordenes de integración.

Definición: “ La integral triple en coordenadas cilíndricas”

∫∫ ∫∫∫∫

θθ=

φ

φxy

2

1D

)y,x(

)y,x(S

dAdz)z,rsen,cosr(fdV)z,y,x(f

( ) ( ){ })y,x(z)y,x(,Dy,x/z,y,xS 21xy φ≤≤φ∈=

( ){ })(hr)(h , /,rD 21XY θ≤≤θβ≤θ≤αθ=

∫ ∫ ∫∫∫∫β

α

θ

θ

φ

φθθθ=

)(2h

)(h

)y,x(

)y,x(S

1

2

1

rdzdrd)z,rsen,cosr(fdV)z,y,x(f

Para visualizar un orden particular de integración conviene interpretar la integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales añade una dimensión al sólido.

Por ejemplo, si el orden de integración es dr dθ dz

*La primera integración tiene lugar en la dirección de r, como si un punto barriera un segmento radial conforme r crece

*Seguidamente, al crecer θ, el segmento recto Barre un sector

*Finalmente al crecer z, ese sector barre una cuña sólida

1-Evalúe la integral en coordenadas cilíndricas. Trazar la región de integración S e interpretar.

2-Calcular en coordenadas cilíndrícas el volumen de una esfera de radio a

3 Aplicando coordenadas cilíndricas calcular el volúmen de la región

Ejercicios

∫ ∫ ∫−

−

−− ++

2

2

x4

x4

2

yx

222

2 22dzdydx)yx(

0z0y0xyx9z 22 ≥≥≥−−=


En el sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta ordenadadonde , es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y es el ángulo entre el eje positivo Z y el segmento de recta OP. Observe que,

Las ecuaciones para pasar de coordenadas esféricas a rectangulares son:

Como resultado la función f (x,y,z) se trans-forma en :

)z,,( θρ

Coordenadas esféricas:Revisión

φρ=θφρ=θφρ= coszsensenycossenx

)z,,(F)cos,sensen,cossen(f)z,y,x(f θρ=φρθφρθφρ=

P a origen del distancia la es OP=ρ θφ

π≤φ≤≥ρ 00

Para expresar en coordenadas esféricas una integral triple, supongamos que S es una región sólida y f es continua en S.

Dividamos S por medio de una cuadrícula esférica,mediante las esferas

los semiplanos y los semiconos El elemento de volúmen típico tiene la forma de una “cuña esférica” con dimensiones , (el arco de un círculo con radio y un ángulo ) y (el arco de un círculo de radio y un ángulo ). De modo que su volúmen será.

Y la suma que aproxima la integral será

φ∆θ∆ρ∆φρ=∆ i2

iK senV

Integrales triples en coordenadas esféricas

φ∆θ∆ρ∆φρφθρ∑=

i2

i

n

1iiii sen),,(F

iρ=ρ

iθ=θ iφ=φρ∆ φ∆ρi

iρ φ∆ θ∆φρ iisen

iisenφρ θ∆

Entonces, al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos la fórmula para la integración triple en coord. esféricas

Donde S es una cuña esférica dada por

NOTA: La fórmula anterior dice que convertimos una integral triple, de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, al escribir

Utilizando los límites de integración adecuados y sustituyendo

φθρφρφρθφρθφρ= ∫ ∫ ∫∫∫∫φ

φ

β

αdddsen)cos,sensen,cossen(fdV)z,y,x(f 2b

aS

2

1

Integrales triples en coordenadas esféricas

{ }21 , ,ba/),,(S φ≤φ≤φβ≤θ≤α≤ρ≤φθρ=

φρ=θφρ=θφρ= coszsensenycossenx

φθρφρ d d d sen con dV 2

Al igual que en coordenadas cilíndricas la integrales triples en coordenadas esféricas se calculan mediante integrales iteradas.

Se puede visualizar un orden particular de integración, interpretando la integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales añade una dimensión al sólido.

Por ejemplo, para la integral iterada φθρφρ∫ ∫ ∫π π

d d d sen22

0

4

0

3

0

1-Calcular la integral iterada

2- Evalúe donde B es la bola unitaria

3- Use las coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido que está encima del cono y debajo de la esfera

Ejercicios

∫ ∫ ∫π π θ

φθρφφρ4

0

4

0

cos

0

2 ddd cos sen

{ } 1zyx/)z,y,x(B 222 ≤++=

∫∫∫ ++

B

)zyx( dVe2

3222

22 yxz +=zzyx 222 =++




