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Integrales multiples

Integrales dobles sobre rectángulosIntegrales dobles sobre regiones más generalesIntegrales dobles en coordenadas polaresAplicaciones de las integrales dobles

Gilberto Arenas Díaz

Escuela de MatemáticasUniversidad Industrial de Santander

Segundo semestre de 2011

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos

De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de unavariables, se va a considerar una función de dos variables de�nida sobre unrectángulo cerrado

R = [a; b]� [c; d] =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

y se supone inicialmente que f (x; y) � 0.

La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:





y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).

Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:





y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:





y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:


El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.

[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

�ij

�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.


El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:

[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.


�ij



�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.


El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:

Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.


�ij



�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.


El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.


�ij



�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.




�ij



�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.




�ij



�ij

�

es f�x�ij ; y

�ij

��A.




�ij



�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.


Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor, luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:


La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor,

luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:



V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:


De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij), en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.



R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A



�x�ij ; y

�ij

�en Rij .


�ij



R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:


R




R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A



�x�ij ; y

�ij

�en Rij .


�ij


ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij),

en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:


R




R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A



�x�ij ; y

�ij

�en Rij .


�ij



R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:


R




R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A



�x�ij ; y

�ij

�en Rij .


�ij



R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:


R




R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A



�x�ij ; y

�ij

�en Rij .


�ij



R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:


R



Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:

y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZR

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA �

f�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A

+f�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A

+f�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A

+f�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=

�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12

= � 958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA �

f�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A

+f(1; 2)�A+f�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A

+f�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A

+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=

�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12

= � 634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Ejemplo


�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].


Solución.


R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:


R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:


Valor promedio de una función en un rectángulo

El valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:


Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.

Si f (x; y) � 0, la ecuaciónA (R)� fprom =

ZZR

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo




altura 4 que yace sobre el rectángulo R.

LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA

=1

8� 2� = �

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2�

=�

4:



fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA


A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;


Ejemplo





R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:


Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).



1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:




1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:




1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:




1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:




1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j.

Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:




1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:




1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.

Esta condición puede ser debilitada por (�).



1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA


f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

��ZZR

f (x; y) dA

�� ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1


ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:



Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.


Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy


R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:



Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy


R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:



Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy


R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:



Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy


R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:



Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy


R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx

=

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx

=

�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:


2 y el plano xy.

R = [0; 1]��0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx

=

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx

=

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx

= 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:



Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:



�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:

Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.


Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy

=

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy

=

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy

=

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy

=

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy

=

�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:



Ejemplo


R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:


0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo


R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0


2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y),

entonces el teorema de Fubini quedaZZR

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:


En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx

=

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx

=

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx

=

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�

=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�

=135

4:



R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:


Integrales dobles sobre regiones más generales

Sea D una región acotada de R2 y sea

f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)

una función de dos variables.

Sea R un rectángulo tal que D � R yde�namos la función

F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =

�f (x; y) si (x; y) 2 D0 si (x; y) 2 RnD




f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)

una función de dos variables.Sea R un rectángulo tal que D � R yde�namos la función

F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =





f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)


F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =





f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)


F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =



Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I



D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD.

Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen


R


por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.





D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:


comportamiento�,

entonces se puede demostrar queZZ

R


por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.





D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:



R


por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.





D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:



R


por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I.

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :




D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:



R


por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.





D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:



R


por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.




A �n de evaluarZZ

D

f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un

rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D.

Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D. Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:


A �n de evaluarZZ

D


rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx


c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:


A �n de evaluarZZ

D



D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx


c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:


A �n de evaluarZZ

D



D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D.

Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:


A �n de evaluarZZ

D



D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx


c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:


En consecuencia se tiene que:

Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar queZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.


En consecuencia se tiene que:Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:



f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy




D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo II


f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy




D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:



f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy




D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:


Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar que

ZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy




D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:



f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :

Solución. ZZD

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx

=

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx

= [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0

= �:

Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo


R xx2xy dy dx:

Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx

=

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx

=1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemplosEjemplo


D


D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0


Ejemplo



)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:


EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy

=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4

dx.

Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental.

Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.

Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g

=�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx

=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx

=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx

=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:



0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo


R 23pyex

4


evaluarRex

4


D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:


0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:


EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx:

Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx

=

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx

=1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y.

Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx

=

Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx

=

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:



R 10


)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:


V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:


Propiedades en regiones más generales

Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidaspara regiones más generales.

Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, laintegral tiene dos interprestaciones a saber. Si = f(x; y; z) j 0 � z � 1; (x; y) 2 Dg, entoncesZZ

D

1 dA = V ol () = A (D) :

Si D es del tipo I, entoncesZZD

1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :

Si m � f (x; y) �M para todo punto (x; y) 2 D, entonces

m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :





D

1 dA = V ol () = A (D) :


1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :


m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :





D

1 dA = V ol () = A (D) :


1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :


m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :





D

1 dA = V ol () = A (D) :


1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :


m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :


Ejemplo

Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:

Puede observarse que�1 � cosx sen y � 1;

y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que

e�1 � ecos x sen y � e:

En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D

ecos x sen ydA � e �A (D) :

Como A (D) = 4�, entonces

4�

e�ZZ

D

ecos x sen ydA � 4�e:


Ejemplo

Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:Puede observarse que

�1 � cosx sen y � 1;



En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D



4�

e�ZZ

D



Ejemplo



y dado que la función exponencial es creciente,

se tiene que


En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D



4�

e�ZZ

D



Ejemplo





En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D



4�

e�ZZ

D



Ejemplo





En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D



4�

e�ZZ

D



Ejemplo





En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D


Como A (D) = 4�,

entonces

4�

e�ZZ

D



Ejemplo





En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D



4�

e�ZZ

D



EjemploHalle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x2 y losplanos z = 1� y y z = 0.

Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados

V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:


EjemploHalle el volumen de la cuña formada por el cilindro parabólico y = x2 y losplanos z = 1� y y z = 0.Iniciemos dibujando el cilindro parabólico y los planos dados

V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:



V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:



V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx

=

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:



V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:



V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx

=

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:



V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:



V =

Z 1

�1

Z 1

x2(1� y) dy dx =

Z 1

�1

�y � y

2

2

�1x2dx

=

Z 1

�1

�1

2� x2 + x

4

2

�dx =

�1

2x� 1

3x3 +

1

10x5�1�1

=8

15:


Integrales dobles en coordenadas polaresSi se desea evaluar una integral doble sobre una región R de tipo circular, ladescripción de R en términos de coordenadas rectangulares es complicada,mientras que en coordenadas polares es más sencilla.

R = f(r; �) j 0 � r � 1; 0 � � � 2�g R = f(r; �) j 1 � r � 2; 0 � � � �gEs de recordar que las coordenadas polares (r; �) de un punto se relacionancon las coordenadas rectangulares (x; y) mediante las ecuaciones8>>>><>>>>:

r2 = x2 + y2

x = r cos �

y = r sen �




r2 = x2 + y2

x = r cos �

y = r sen �




r2 = x2 + y2

x = r cos �

y = r sen �



R = f(r; �) j 0 � r � 1; 0 � � � 2�g

R = f(r; �) j 1 � r � 2; 0 � � � �gEs de recordar que las coordenadas polares (r; �) de un punto se relacionancon las coordenadas rectangulares (x; y) mediante las ecuaciones8>>>><>>>>:

r2 = x2 + y2

x = r cos �

y = r sen �



R = f(r; �) j 0 � r � 1; 0 � � � 2�g R = f(r; �) j 1 � r � 2; 0 � � � �g

Es de recordar que las coordenadas polares (r; �) de un punto se relacionancon las coordenadas rectangulares (x; y) mediante las ecuaciones8>>>><>>>>:

r2 = x2 + y2

x = r cos �

y = r sen �




r2 = x2 + y2

x = r cos �

y = r sen �


Las regiones anteriores son casos especiales de rectángulos polares

R = f(r; �) j a � r � b; � � � � �g :

Para calcular la integral dobleRRRf (x; y) dA, donde R es un rectángulo polar,

se divide el intervalo [a; b] en m subintervalos [ri�1; ri] de amplitud�r = (b� a) =m y se divide el intervalo [�; �] en n subintervalos [�j�1; �j ] deamplitud �� = (� � �) =n. Como se ve en la �gura, los círculos r = ri y losrayos � = �j dividen al rectángulo polar R en pequeños rectángulos polares.



R = f(r; �) j a � r � b; � � � � �g :





R = f(r; �) j a � r � b; � � � � �g :





R = f(r; �) j a � r � b; � � � � �g :


se divide el intervalo [a; b] en m subintervalos [ri�1; ri] de amplitud�r = (b� a) =m y se divide el intervalo [�; �] en n subintervalos [�j�1; �j ] deamplitud �� = (� � �) =n.

Como se ve en la �gura, los círculos r = ri y losrayos � = �j dividen al rectángulo polar R en pequeños rectángulos polares.



R = f(r; �) j a � r � b; � � � � �g :




El subrectángulo polar Rij = f(r; �) j ri�1 � r � ri; �j�1 � � � �jg tienecomo �centro�el punto

r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :

Utilizando el hecho de que el área de un sector circular de radio r y ángulo �es 1

2r2�, se encuentra que el área de Rij es la restar de dos sectores de esta

clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central �� = �j � �j�1, esto es

�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a

f (r cos �; r sen �) r dr d�:



r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :



clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central �� = �j � �j�1,

esto es

�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a




r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :




�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1��

= 12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a




r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :




�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)��

= r�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a




r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :




�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a




r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :




�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a




r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :




�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a




r�i =12 (ri�1 + ri) ; ��j =

12 (�j�1 + �j) :




�Ai =12r2i�� 1

2r2i�1�� =

12 (ri + ri�1) (ri � ri�1)�� = r

�i�r��:

ZZR

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

��Ai

= l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�r�i cos �

�j ; r

�i sen �

�j

�r�i�r��

=

Z �

�

Z b

a



Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 � a � r � b, � � � � �,donde 0 � � � � � 2�, entoncesZZ

R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z b

a


Regiones más generales en coordenadas polares

Si f es continua en una región polar de la forma

D = f(r; �) j � � � � �; h1 (�) � r � h2 (�)gentonces ZZ

R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z h2(�)

h1(�)



Cambio a coordenadas polares en una integral dobleSi f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 � a � r � b, � � � � �,donde 0 � � � � � 2�, entoncesZZ

R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z b

a





R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z h2(�)

h1(�)




R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z b

a





R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z h2(�)

h1(�)




R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z b

a




D = f(r; �) j � � � � �; h1 (�) � r � h2 (�)g

entonces ZZR

f (x; y) dA =

Z �

�

Z h2(�)

h1(�)




R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z b

a





R

f (x; y) dA =

Z �

�

Z h2(�)

h1(�)



EjemploEncuentre el volumen del sólido que está abajo del paraboloide z = 4� x2 � y2y arriba del plano z = 0.

Al igualar las dos ecuaciones para z, se obtiene 4� x2 � y2 = 0, lo que esequivalente a x2 + y2 = 4, y que corresponde a la región de integración

D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA

=

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d�

= 2� (8� 4) = 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4)

= 8�:




D =�(x; y) j x2 + y2 � 4

= f(r; �) j 0 � r � 2; 0 � � � 2�g :

V =

ZZD

�4� x2 � y2

�dA =

Z 2�

0

Z 2

0

�4� r2

�r dr d�

=

Z 2�

0

�2r2 � 1

4r4�20

d� = 2� (8� 4) = 8�:


EjemploCalcular el volumen del sólido que se encuentra por encima del conoz =

px2 + y2 y debajo de la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

Al reemplazar la ecuación del cono en la esfera se obtiene

x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :

La región de integración es D =n(r; �) j 0 � r �

p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA

=

ZZD

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d�

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:





x2 + y2 +�x2 + y2

�= 1) x2 + y2 = 1

2 ) r2 = 12 ) r =

p22 :


p22 ; 0 � � � 2�

o:

V =

ZZD

(zM � zm) dA =ZZ

D

�p1� x2 � y2 �

px2 + y2

�dA

=

Z 2�

0

Z p2=2

0

�p1� r2 � r

�r dr d� =

Z 2�

0

Z p2=2

0

�rp1� r2 � r2

�dr d�

= 2�

�1

3

��1� r2

�3=2 � r3��p2=20

=�

3

�2�

p2�:


EjemploEncuentre el área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r = cos 2�.

Del bosquejo de la curva se ve que el pétalo está dado por la región

D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:

Así que el área es

A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA

=

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d�

=

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d�

=1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d�

=1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:




D =�(r; �) j ��

4 � � ��4 ; 0 � r � cos 2�;

:


A (D) =

ZZD

dA =

Z �=4

��=4

Z cos 2�

0

r dr d� =

Z �=4

��=4

�1

2r2�cos 2�0

d�

=1

2

Z �=4

��=4cos2 2� d� =

1

4

Z �=4

��=4(1 + cos 4�) d� =

1

4

�� +

1

4sen 4�

��=4��=4

=�

8:


Aplicaciones de las integrales dobles

Densidad y masaUna lámina ocupa una región D del plano xy y � (x; y) es la densidad (unidadde masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D. � es una función continua,esto signi�ca que

� (x; y) = l��m�m

�A:

La masa total m de la lámina se aproxima por

m �mXi=1

nXj=1

� (xij ; yij)�Aij

y en consecuencia se tiene que

m = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

� (xij ; yij)�Aij =

ZZD

� (x; y) dA;


Aplicaciones de las integrales doblesDensidad y masaUna lámina ocupa una región D del plano xy y � (x; y) es la densidad (unidadde masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D.

� es una función continua,esto signi�ca que

� (x; y) = l��m�m

�A:


m �mXi=1

nXj=1



m = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


ZZD

� (x; y) dA;


Aplicaciones de las integrales doblesDensidad y masaUna lámina ocupa una región D del plano xy y � (x; y) es la densidad (unidadde masa / unidad de área) en el punto (x; y) de D. � es una función continua,esto signi�ca que

� (x; y) = l��m�m

�A:


m �mXi=1

nXj=1



m = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


ZZD

� (x; y) dA;



� (x; y) = l��m�m

�A:


m �mXi=1

nXj=1



m = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


ZZD

� (x; y) dA;



� (x; y) = l��m�m

�A:


m �mXi=1

nXj=1



m = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1


ZZD

� (x; y) dA;


Análogamente, si � (x; y) da la densidad de carga eléctrica (unidad decarga / unidad de área) en un punto (x; y) de D, entonces la carga total Qviene dada por

Q =

ZZD

� (x; y) dA:

Momentos y centros de masaBusquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del planoxy, con densidad � (x; y). Encontremos primero los momentos respecto a losejes coordenados

My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:

El centro de masa es (�x; �y), de�nido por �x =My

my �y =

Mx

m.

Los momentos de inercia alrededor de los dos ejes coordenados son

Ix =

ZZD

y2� (x; y) dA y Iy =

ZZD

x2� (x; y) dA:

Momento polar de inercia I0 =

ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:

Momentos y centros de masaBusquemos el centro de masa de una lámina que ocupar la región D del planoxy, con densidad � (x; y).

Encontremos primero los momentos respecto a losejes coordenados

My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:


My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:


My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:


My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:


My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:


My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:



Q =

ZZD

� (x; y) dA:


My =

ZZD

x� (x; y) dA y

Mx =

ZZD

y� (x; y) dA:


my �y =

Mx

m.


Ix =

ZZD


ZZD

x2� (x; y) dA:


ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA:


EjemploHallar la masa y el centro de masa de una lámina que ocupa la región Dlimitada por la parábola y = 9� x2 y el eje x y cuya densidad en el punto(x; y) es � (x; y) = y.

2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA

=

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx

=

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx

=1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:



2 2

5

10

m =

ZZD

y dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y dy dx =

Z 3

�3

�1

2y2�9�x20

dx =1

2

Z 3

�3

�9� x2

�2dx

=1

2

Z 3

�3

�81� 18x2 + x4

�dx =

1

2

�81x� 6x3 + x

5

5

�3�3

=648

5:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA

=

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx

=

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx

= 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA

=

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx

=

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx

=1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0;

�y =Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:


Ejemplo

My =

ZZD

xy dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

xy dy dx =

Z 3

�3

�1

2xy2

�9�x20

dx

=1

2

Z 3

�3x�9� x2

�2dx = 0:

Mx =

ZZD

y2 dA =

Z 3

�3

Z 9�x2

0

y2 dy dx =

Z 3

�3

�1

3y3�9�x20

dx

=1

3

Z 3

�3

�9� x2

�3dx =

1

3

Z 3

�3

�729� 243x2 + 27x4 � x6

�dx

=1

3

�729x� 81x3 + 27

5x5 � 1

7x7�3�3

=23 328

35:

�x =My

m= 0; �y =

Mx

m=

5

648� 23 32835

=36

7:
