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Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

INTEGRALES MULTIPLES

Sergio Stive Solano Sabie 1

Diciembre de 2012

1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III



INTEGRALES MULTIPLES

Sergio Stive Solano Sabie 1

Diciembre de 2012

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Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado

R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}y primero suponemos que f(x, y) ≥ 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir

S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.

Sergio Solano Sabie CALCULO III















Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.

Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]

Cada uno con area igual a ∆A = ∆x∆y, donde ∆x = (b−a)/my ∆y = (d− c)/n.Si elegimos un punto muestra (x∗ij , y

∗ij), en cada Rij , entonces

podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(x∗ij , y

∗ij). El volumen de esta caja es f(x∗ij , y

∗ij)∆A.

Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:

V ≈m∑i=1

n∑j=1

f(x∗ij , y∗ij)∆A





Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]





∗ij)∆A.


V ≈m∑i=1

n∑j=1






Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]





∗ij)∆A.


V ≈m∑i=1

n∑j=1






Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]





∗ij)∆A.


V ≈m∑i=1

n∑j=1





Volumenes e integrales dobles

Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es∫∫

R

f(x, y)dA = lımm,n→∞

m∑i=1

n∑j=1





Volumenes e integrales dobles

Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es∫∫

R

f(x, y)dA = lımm,n→∞

m∑i=1

n∑j=1





Propiedades de las integrales dobles

1 ∫∫R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫R

f(x, y)dA+

∫∫R

g(x, y)dA.

2 ∫∫R

cf(x, y)dA = c

∫∫R

f(x, y)dA donde c es una constante.

3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en R, entonces∫∫R

f(x, y)dA ≥∫∫R

g(x, y)dA.





1 ∫∫R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫R

f(x, y)dA+

∫∫R

g(x, y)dA.

2 ∫∫R

cf(x, y)dA = c

∫∫R




g(x, y)dA.





1 ∫∫R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫R

f(x, y)dA+

∫∫R

g(x, y)dA.

2 ∫∫R

cf(x, y)dA = c

∫∫R




g(x, y)dA.




Integrales iteradas

Utilizamos la notacion∫ dc f(x, y)dy para dar a entender que x se

mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada∫ b

a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx

significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy =

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy.

significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.




Integrales iteradas



a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx


c

∫ b

af(x, y)dxdy =

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy.





Integrales iteradas



a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx


c

∫ b

af(x, y)dxdy =

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy.





Integrales iteradas



a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx


c

∫ b

af(x, y)dxdy =

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy.





Integrales iteradas



a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx


c

∫ b

af(x, y)dxdy =

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy.





Integrales iteradas

Ejemplo 2.1Evalue las integrales iteradas:(a)

∫ 30

∫ 21 x

2ydydx

(b)∫ 21

∫ 30 x

2ydxdy

Teorema de FubiniSi f es continua en el rectanguloR = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, entonces∫∫

R

f(x, y)dA =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy.




Integrales iteradas

Ejemplo 2.1Evalue las integrales iteradas:(a)

∫ 30

∫ 21 x

2ydydx

(b)∫ 21

∫ 30 x

2ydxdy

Teorema de FubiniSi f es continua en el rectanguloR = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, entonces∫∫

R

f(x, y)dA =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy.




Integrales dobles sobre regiones generales

Para integrales sencillas, la region sobre la que integramos siem-pre es un intervalo. Pero para las integrales dobles, resultarıadeseable que pudieramos integrar no solo sobre rectangulos,sino tambien sobre regiones D con una forma mas general. Su-ponemos que D es una region acotada, lo que significa que unaregion rectangular R puede abarcarla.





Se dice que una region plana D es de tipo I si esta entre lasgraficas de dos regiones continuas de x, es decir

D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

donde g1 y g2 son continuas en [a, b]. Por ejemplo:





Integrales dobles sobre regiones Tipo I

Si f es continua sobre una region D tipo I, tal que

D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

entonces ∫∫D

f(x, y)dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f(x, y)dydx

Ejemplo 3.1

Evalue∫∫D(x+ 2y)dA, donde D es la region acotada por las

prabolas y = 2x2 y y = 1 + x2.





Solucion. La parabolas se cruzan cuando 2x2 = 1+x2; es decirx2 = 1, ası que x = ±1.

D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ 1 +x2} es una region tipo I.Sergio Solano Sabie CALCULO III




Entonces∫∫D

(x+ 2y)dA =

∫ 1

−1

∫ 1+x2

2x2(x+ 2y)dydx

=

∫ 1

−1

[xy + y2

]y=1+x2

y=2x2dx

=

∫ 1

−1

[x(1 + x2) + (1 + x2)2 − x(2x2)− (2x2)2

]dx

=

∫ 1

−1(−3x4 − x3 + 2x2 + x+ 1)dx

=

[−3

x5

5− x4

4+ 2

x3

3+x2

2+ x

]1−1

=32

15.





Consideremos ahora, las regiones planas de tipo II, las cualespueden expresarse como

D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}donde h1 y h2 son continuas.





Integrales dobles sobre regiones Tipo II

Si f es continua sobre una region D tipo I, tal que

D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

entonces ∫∫D

f(x, y)dA =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)f(x, y)dxdy.

Ejemplo 3.2

Evalue∫∫D xydA, donde D es la region acotada por la recta

y = x− 1 y la parabola y2 = 2x+ 6.





Solucion. D = {(x, y) | −2 ≤ y ≤ 4, 12y2 − 3 ≤ x ≤ y + 1} es

una region tipo II. De modo que∫∫D

xydA =

∫ 4

−2

∫ y+1

12y2−3

xydxdy

=

∫ 4

−2

[x2

2y

]x=y+1

x= 12y2−3

=1

2

∫ 4

−2y

[(y + 1)2 − (

1

2y2 − 3)2

]dy

=1

2

∫ 4

−2

(−y

5

4+ 4y3 + 2y2 − 8y

)dy

=1

2

[−y

6

24+ y4 + 2

y3

3− 4y2

]4−2

= 36




Propiedades de las integrales dobles sobre regionesgenerales

1 ∫∫D

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫D

f(x, y)dA+

∫∫D

g(x, y)dA.

2 ∫∫D

cf(x, y)dA = c

∫∫D


3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en D, entonces∫∫D

f(x, y)dA ≥∫∫D

g(x, y)dA.





1 ∫∫D

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫D

f(x, y)dA+

∫∫D

g(x, y)dA.

2 ∫∫D

cf(x, y)dA = c

∫∫D




g(x, y)dA.





1 ∫∫D

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫D

f(x, y)dA+

∫∫D

g(x, y)dA.

2 ∫∫D

cf(x, y)dA = c

∫∫D




g(x, y)dA.




Integrales dobles en coordenadas polaresRecordemos que las coordenadas polares (r, θ) de un punto serelacionan con las coordenadas rectangular (x, y) mediante lasecuaciones

Coordenadas polares

r2 = x2 + y2 x = r cos θ y = r sen θ

El rectangulo polar es la region

R = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}




Integrales dobles en coordenadas polares

Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si f es continua en un rectangulo polar R dado pora ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β, donde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces∫∫

R

f(x, y)dA =

∫ β

α

∫ b

af(r cos θ, r sen θ)rdrdθ

Ejemplo 4.1

Evalue∫∫R

(3x+ 4y2)dA, donde R es la region del semiplano

superior acotado por los cırculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.





Solucion. La region R es el semianillo que se muestra en lafigura:

y en coordenadas polares esta dada por

R = {(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}





Ası que, por la formula del cambio a coordenadas polares enuna integral doble,∫∫

R

(3x+ 4y2)dA =

∫ π

0

∫ 2

1(3r cos θ + 4r2 sen2 θ)rdrdθ

=

∫ π

0

∫ 2

1(3r2 cos θ + 4r3 sen2 θ)drdθ

=

∫ π

0

[r3 cos θ + r4 sen2 θ

]r=2

r=1

=

∫ π

0(7 cos θ + 15 sen2 θ)dθ =

15π

2.




GRACIAS POR SU ATENCION
