L uncion¿s csruLonerdus
csr.\anze,mos dtp\.r\anAo [As rqq\qñes qn lo-s q De Oal¡o.:
fitxrel.onc,s da¡",,idol , souü [o.a to¡cr.ks [\.reg rerrerrres.ür. .acxerng$l,o erL m3 dOno-rcrdo psr (\
, oa de6i*.í.¡o carnco\ po^ooucao" c-qrrqÉic-,rnó do óss ttrcr\o-[os de lft I córr\o ]n c T. ,
Ai, : In^Ir :1,^, t )errS/ xel , A yt f" l
drchss rnrqrruLot puae\cn Ber &biccros ¡ eorco-dos , c-tc . biI,,.- loi t"1 c I.-- [c l d] q-rrü) r\e-ccs
e -- Lu,bl *[c,d] -- { tx,vl
e rn3 | ,n [o- ib1 , \ y a Lc"df]
t!ri "'¡'
toronlutn [qlbJ " Lt; dl
Hagomos L:n¡ porriLloc\¿s de los inrcrrtcr-Los rn'¿ I-" , as(
P,r -- { o:Xo{X,
QL-- { .=
y"<g^1
onroncaó t¡. porrtutdn p de\ ra.ráng,-tlo & e6t ,,
p=P^"P,-{ ,^t t , |^reP ^ ) jeP, ¡ i . . l ¡2; . ;n; i .4, , r , - ;nJ
un Lo c,¡ul- obser{s!^nos n-r\ at-rbratrdnglbs don-sqo-do¡ por
Q¡ L^¿, ,xr ]^ [X'-n 'Y; l
d,\
,;
9:,J-1
b.xn
q5col*qo-dc* doprnido- eru cttstú dtsidiüo c\ nrr\ racxanSulosF¡¡ tx;y) : c¿i ár dcprne Lo.. .
-
Ftx,vl sobre. q\ recro"n¡uto O-
c¿j ( xi - xr-n) (l; - Yl. ^ )
Urro- ¡unddn ocorqdo- F' 6. e Kf *fR es irr"¿qrqbtt, sobrc ArS'r Oxis.fc c\ núrrArO L TA\
?UO
t'( f , nL = Jj
,,^,,,d*dy = ,l#*. E Ft^.'v5) dx¡ dY¡
A
do"da b. nocrno- \lpt\ da.' \o* por'ricrdn P = Pn ^P" cCImc t.o- Longlttrd da
to, Ñagone,l r\ds t.6.T* do los su.breclqrtqut€s .
Propredo.des
l" sr t-q. puncrdn F Qc-nf + Kl. qó tor\{{nuor cr\ tor rogion
Ccrredo- 1 cr\TQtcoss .F es ra.t-¿tro-btr cr\ A
,.. Si [a pwcion F : Nc_ tRt - f{ 6 rnlc"$robLe cn ls- rcpiafigsrro-dor U c\Tonccs k F ts \nregcc}.b\é t^ A ; Ke te i -/
r rt t f ,
/ / r rcx, .v)dxdYt l
K
r f
IJf\q
i
t l
v/at i , r -" - - ',,Wú,.l_
_
--
ag$S\sissgo- F r 0- . 1rf - 1q u\c^* p-unuénrocxdnq,-,Lo A . Oiqo-rnos qpa R
^ ¡d ¡ d a ü
¿tr i j -Lxi-1 ,KTJTLYJ- ' ;7 iJ, y. l t ietttslq.o\ dob\a d¿ l-0* ptrntron
í lJJ f r . rv) dxdy =
Aq
\--?
¿^;- r
mi------7
t \j .a
3, St to-s Futcion¿s t;9tn- regteír. Lqtreldcr- 6.
I f , "JJ I t
(r;v) 1 9t^'yrl drc dyo
t' S¿on G psnclonas É[lo. regtoh cerro-do- ñ
' CI. c- !(t -------- {Q 6On irtrtqrabLrs e\err.r-erLets F t-g q5 \mcü..Otu en G.
€ [ [ r rx,y)dxdy t i IS,^ 'udxdyJ ] JJqa
4
,$ r G. c- F{- - \R , sarA \\TaC\nclbLA.S cn
y ,,F'tx,irl- ),. 9(xiv) i \ (r ¡vt e 6. I eñTorlLqs
l.f r.",r1 dr c\y >, flgr^,rr dx d¡EA
6. Sr t"t punüdn F , Q c- rÉ --b R , 6 tcn'r\rr.uerr q.N 1.,0. ¡qq\oncc.rs.,óc* CIr y & - t{UQ, , .uBiQetua cq,rrc¡-dcr-o dir¡u.¡-¡ss", c.l:-ortc¿ó
ffn r r l f r [ f " r r
JJt,. . ,r1 J*Jy =JJ[,r, ,r d^Jy + JJfu,vrdxd]0- o. 0,
6. B\ !0. ¡u..clon P, Q-<- rú -lf{ üe6rñ{c. sobre o q^ e\ rcer¿r.\q1r(o8'-* lqibJ " [e ta] . es
"*a{inuo. t crr<ron c-só ¿¡ , in.ra3,. os[a ée- tu naptLp '
^u ¡ \ . T, i \l l ( (* ,v)dxdy = / { / l , r ,v1 óx)üy = l ( / t* ,v idy)dxJJ J \J t J \J ' /O.cGo\L
*. Si Ftx,v) >ro i \* tx;v) e O )
q c- {I aftEonees
l ' f ¡ , f [ " | |I I [ txrv ldxdy ( | I Lc.uy¡dxdy
JJ J JAJ].
g* St \n puncidn [ -e . rq-* - f{ , Gb con{-\nuer en tCI- reg\dqecrro.éo* .gr\xqrLcoó
I r r I r r ,| / /Ék;y ldxdy | ( | | l l t r ,yr ldxóvLJL ' I l l ' " ' - '
ra
\!Cn-fncL unr% ¿,qry'\pt,¡:; ds, I\ f r
{türrto\ :¿) {L
t f / \ ,l t ¡ . - - f
I { i I t '+y ' )dxJt \yJ \J I40
? ts-r)?
rL{:r{cl.nqtJ{.4) -
e\ {ccrctnl u Lb
'/ + \ l - it t
trif ogroJ. c\ob\,r.- LoL,ro tin
i /C" ' rY')ürdy so\¡ru. ) .J
A
r \4
i , t '
I t I t¡ , ' ¡ ' ) , ly \cj ,j \J ' /ül
l td I I
l l l^ '+Y' ' )e,xOy --JJ
'\
2t '^
t f 1(
- t t I t3I
il
rC)ut
. ta
|L. .2 r l t/ Y\ l * \ , ,t . ' l l \Jy
l l I
JI
\
l í ft l . i -t t -1¡ \U
1
l tz t ) |3
q\
d, \,t¡
s, tq
'ü
^l ¡ 't t
0u
d
"Lo
n^.7)
< r l [¿u'- J ¡,..
rt
tII
"l
I.,, =
\ 4
It = l \ tJt
4rI t ,
_ l l^I l -
I \ '2t '
t tt l
J)a
4 C-olur\-¿ [r irrrqrul dobLa
A [,r'a¿ = , -u
F\ncuqn
,1
i l1 vy| -----
"i {+x-+) 't l
-n
Lt* ,Y\ - : xl prr' l t tx t+y¿
. nr¡Z\ I lnI ¿Y lR{tr I vT / , tvy - \ t
/ / '1,
\ , \ , ' )1, .2.
f } t " ( { rx" r i " ) )
* Cslc¡[a [o i",tc,qra-lrüLrq-nqu\3 t= Lo'r l
I l -_"1 . ü ' \ lJ J rrx)+y2
A
r1
=) l' nr é,r,J 2i*
Qfi t$rrcc,S:
Lrr ¡^.
A
dx
b= Lf 7-t \ ttl,# = Yc!
--¡-I- dxdo{+ x{ +Y" I
nv {. / cJyi +y2 '
-1"-
b¡z,oól
K Ln (r+x'))C xLJ
I
Lrr(a + {" yt) )
44i ' . ' , t I
= | L l - r , la,+/1i ' t7 / ¡ l r ,J1 J7
^.
(4rv ' ) dz
Y.,.$o*or 1r¡i¿grcr-r,idrr por pü(.\ {,Ír i.le¡o du ur\ ctrvlb\o dc" vo,n ic,S\t
d!22
"oo-r plc,-"{!ndc TQruomos
I f r - c^ l t ñ \ - . /
I / x v -* dxdv = I I r 'z t , r1(Ln,n{-*) * ^) [4tvu-) ( ' . ( ' i !x^, - , ) ' i
Jl l fxz+Yz ' ' ' l ' , lot \
r. - | i tnuidp
aj
Clr=j t ( r , r , \ ,S(\L\ pL\ \c\ q\ f - r { - rO
¡r : rLL
. \ t i f , "Lr,¡ . ró i , r = l - ( ,uLnlu - lc l i ¡ - ) = ü { l -n/ü-^) 4 ,¿i_t ikrr :+r ' )*r)
t i 1 ) I q \ / ' r{
== l f 3 l r rb-3 -zLrr2+'L - ' r1-rr1 +z - , r \1\ /
: ,{- I Lrrzr - Ln at\ : ¡- \.rr T +1\ / ' i . {h
''lI
f\
It / r^ , , ^ t= * i r r r ,u.u
'I "1
{Il = Lrlr l [
oiil .= q-$
l.t
IA- / -
'1
= *( u( tns -r) - L\Ln1-{) - i z( l " r - -4 ' ) - ' (1-n
' - ' ) )1\ \ /
= \ |
atrn ' ¡ - t ) - 2(Lqz-¡ . ) - r - (LniL- n) - ^ )
Rqq\oftes dol Ttoo tf. )
5eo,n F, i9, [o.rü ---------¡ 1Q ,c¡rrri{\uc.ó , du modo gua, potx) { 6r*)V x e [ait'1 , Co nsi der u, r',gs L,c. regi.dn Ot üa,\ p(,tno dCct por
Dr= \ t* ,n l / o.<x(b , S, tx)(Y( S,(^r1qÉxo- ra¿tcín 95 u.stadtl* ¡ c-on etlo dar;r'''.os
?p¿ [qs !-og\o'ncs de\
tipo ! son. rattOnas Lrrn,'rodqs por :
. 'Lar Lo-ll.-o._
. Lo.
.y_- pLcK)
i=p,tx.|
ra,(ro- t{q,rric&(
ro,cfo- rt0rr- i coúx.u. por {.o,t tzc}t.jtardct
x -- b por [o., dar¿chc.r
¡undcín {uo i ) :F^k) 0or dcbSo
Füncrdn {p, x ," y: Srtxl por aúrq"^
ba,&\ Sr'i\: Lelcl * s?. , esñri\uc.ó , óq. c',oAo gur \tvt ( XrU] ,tY e[.ld].(o{\.s\der¿nss lo. a¡\drr q, .do\ p\cno de¡inidh po{-
srr={tuvl / \* ,<x< s, tv) ; c( t*¿\
¿o". [a- $rrrirrutdod ü¿ tttn\rrt ) \,(Y] en Lc¡üf Snnurtr\zo.rnos @ w
Vt)@ O", 5Q-ó- cr.*roÁc" y es{aí region *=io. L\rnt"rcdq:
Por [o- (ccrcL hori¿onto( Y-L p6r debc,,iohr t¡. rectcL ttqori zoftrcú
" Y - d por enitrolqPor le qrií¡-tca dq Lq e-'sndon du y i X--$,\tY\ po. Lot \ztL\iqcdc*Pqr \q gut.ii,cc' de tor ¡ünciorr do y 'i x: \u[y¡ p.; Lo- de.Jdror
X = tP¿ tY)
Rt$\ones dqt ttpo $tD
Esros rc¿ioncs s$n o-grr\\crs Xutr ó0 p uaden ds"co*Ñ^u. y
l.lcgo rmia.r\os eorrto s\ p*icrair ce,gtoncs Ao \os srcss Tipoi.
€¡m , cor.¿tdQrqrr$s a\ puo.\e[s $rrr¡¡ cr]yoó ld,r'r iccs sonA=[oi t ¡ ) ;b--(srr) rL--( t ; r r ) j u-(( i3)
podarnos Ner *ua lo. rc.qión ( purert¿to grurno) cse dichc,.s mocdcnedescro &S' d¿\ ripo t n\
'- Il por-o s\ Trqzqntos ruqTcrs do\ 'ripox -- roY\sr({\\c. , Sbta,ndr iqwtgs Trs6 ro-S\oa6 da\ 'ripo L , f{sl
I
tr¡ \ioncst l
D. = \ [ r ;y\ /
b* = {Lxrv) /
D* = l t* iv lvl
¡,or(qn
0(x( l
^ ( x <3
I
/3{x( t
\I
I tx+e)]_álul
Y 1 1¡x+8
X( V{:- \ . \,A
X, V¡J\ /
^\D
, 1X-
vx
8a ) , }
Bero 5qn\D\dn ho¡bicro.ff\ós -t-ro-zerdo
pqrq !ue30 Obraacr ro$\or\aó da\ T*po/
ricn
(x( i / ; 0(
x r +(y+s) ) ¡
re.e-T&ó de\ Tiq:olI , A:{ '.
y= cotut\e\rwCI
(xiy) 'Rc n<** lR
lq,s
OrYor rogionas ó
R,r =
Rq. =
v<t" [ ,I\
r y(3J
r /\ tx;v) I Y.
(4i
f t^ , r l I ; ,
3 ( \ { q l' |< 'J
6¿ cur"vrp\qo\sneto R u*
n
d q.o),FI I
dx 1: I lFt t 'v ,JJ"
y^(vl
6E,CL
Uf\g.
t-ót
dx dy
Lo. ¡urre-ton É crrvl = sor\ tx + v)
R, = l t^ ,v l f ay-B {
Fo.ru c.sTos Trc6 Tipssuro. funudn e$r\.r i nuer-crli onos do\ Tt p0 t
f f , \ \ ?Jj t ,* iY)dxs'
= jRI
[\nmcdcs lwregrertas
% *r, caluu Lontos fuc'ragion o.cotcr-do- por
0 dt.\,o. v'cgidrr cor!.\c d¿\ 'ri,po f
1t " ., , i r :v\ / 0¡ x i 3TI-
^ x (Y ,r 31t '1
- i ' r r Ti- , . r ,. / /É,^,r l e)ax = | l¿trr(x+v)d)d*
JI J Jf ¡DX
\oc|lv\ss
l"{, .¿
on\or\Lg
,nr ,3'n
= / ( tc 's tx+ y¡ )J ' 'X
'
. t * ,, r= i [ -ccl tx
J\0
.c,l x1 e\x ' ls¿,f\ 2X
9-sr l r r6tr t ¡anstr - ?"5<-n C" * ¡(Lr\c -L i
, l , " - (x tan) - ccstzx) 'Ox
siCC 3eo-\
5\- ',.c- l)irrqr\eS LCI{y\C L\ncL fe¡ión d¿l
,Y) 1 o i \ . . . v os y !3n- l
II
cy
3rtl
\ t
+ ¡utrx) \It
n
\urb r" t -sz
Ti or: lL
¡1 t ,ra =1tK
t t l ' ¡ ) c lxt \ ¡
x{+ vt -- ,l
fi- Q's
x2+ Ya:
.\or, ciaf ft lJJ
€¡n : uo.L ru le tcr \ rr.(ug rcr\
Lcl. r o5 r ót.. qn\'rlt
en a\ p v itn6¡ c¡ e,-{"Clnx- e
Tipo Ia\df,0$ronCs8ndiriir\ir*.s's [a r{-$tan a sn f\ I R,
,1 4 -x' { )<
V<
nTIr- ,1 I
J9- x. I
0tK{{ , . .i t * ,u l 1
\ tx;vr I
+
" t t¡ \ tv) ,3rdV
r" l c ly dx
2r
+ / (x) +J'
'L ,v\
/ l
Tl
!
J
I
I
t
{
- \ t f " lJt-x" ' ) dx + I tu, *
J(\
3xj + f ,L.,
Jo ,
\ 3
I r l \ . I q- s-3/t \ G
'jtn "!-
x')- , I (4-xr f 'r -a
, jit
3 I l fL. t\ - - \ \ ,
2\ó
r . )ntr - -
TanCli\(A
{ { x Et nl (L_
r r+ / / t r -y; dxd¡
t tVJ
I t r
i;Ir ?r i ' ,I / , * ryrr ixdy
¿ Ji--?i II i (x+vrdydx
40
r i t [ , , , , , rdxÁ,¡lJu, , r r r lvr \y - lJ ,
f?- &t
+
[t ¿o) _ x Jr_¡l _ t¡J)) dxzzl i,rF ¡ ru41) clx
i+ / tx' / '
t
(^, +
[ ' I t , j| - r t t
ta.
jr;P" l
üX
,llF
¿1 -"t ', . i . , \L ) clxLe
flxI
I
r i l
u tr l- -=--z
t:I Í r---:1= i \ X"/1-x ' +
J'
.ffi'.t tu:l) dx
4-x.2
XÜX
2
, l-Ftt ,
,,l
.1
\ - iII t
t, It ,
_ [ \ \e))
'io r i c¡.b\e:u. yL
xc{
,{
l l= 1X\Jt{-xz
I '
Jo
tqor bio é¿'I¡ -r'
*ci't't'2
'3:,
( t - x ' ' \ ' ,
\5, | ''\-'
I
tui (
lqarg.ng
i . \
- ie(r i- ' $1 c i l- I" - ¡ü L\i l& l*¡t," irórr ,-Crrr;r iJcr ,Jo ic*,- '{üri(. t-L)[e S
x , Y c\vql*r i J{I- Err lq r t lrórr f \ Scct F ' nt c 11-r" -_- ¡ i1.2 l
i : Ix* i , )11r. ' ¡ .q¿fLl- \ r \7 At l \VLi- (C-:
i ) \ . ' r " (c l= ( .u, r ' f ) do {<. , l r¿.c. , i f j , , i i
¡ 0(r (C:.
f rurracs . (1, v) dt rn ,n: 'ú f ] . dt \ .6r \ .1110 \ v 5 ü¡- '0rr . \ i ' . \ - t i d, ,
efcr :q L ' l y E[q ?t , .11. .c¡- : i . t t ¡o dr [ - - ' ( ] r , v) + C: ' . i ' (c( \ ( , : iq-
oL,'r\\cs (.lt: I \ ¿l\ ll. . €rrrorrr-c,s '-
l^ i/ : , r - r - l ñ l ' l \ '
1 \ ' .1 , , r ' " , /
Qlcrrr¡t\0ó i
& ttt i¡lcrrtu ro. \ i ¡ r1) tX'- : \
I l-c\(\!c l0 r r.,,¡,ndc
,u
= ) tx
( rr r '"-r, i rí.,. 11\L\ l ( ( j \L. \ l , \ ( r - .
¡ l? '1 l \L . \ =2,
'2 )
\ i\1 k cil (\l (1 Q)
( ,n\ \ io.r 'Jc.
y + X =7
11l - (k;Y) = x
i -X: /1
tci
R
SO!¡r<:
\ i \')
wd t r .A \, - l
/ . / ! l . l ./ - -2
Llr\ r...( J.r..Au [O óA,}
D -- ( f . : ) , f i r { . r\ ,
( ¡ j la ' ,
(b=( l ;o\
-Turrü c(<- l t r loa
( r
tx
(c¡ l ) + ( t ; ' \ )
I r ,o\ ( - l , t ¡(7 ' , , t n( 4\ '2)
( t4;str) - ( r t2)
II
a
{ i: . / , i¡r'
f {xr i r ; , , ) ;y {ü¡t) , l f f i f Ou,fv
{-.ü reoiotr i{ TQ_na-nro¡.-1
,>: J- l l,-
\c^ l r r r t t iOr\pO,- (..C,'*= \ ¿il:r-:*l
+ F(/1.¡ i i ="n; l ) * (
\úrrr eQ-S A
ql p\oirC , i lV
. : : .cr1 lOs r l ¿r-r i tos a( l q\. / . l
f ' r ,q ic irr (d c 'ü¡cr- pCr
I 'J ={ ' /={
t ! - - lI
Yf\
v-
pic"nc' ÁrV e.\e [ct
\t -- /-
-. ?,
,X (A1v) ; y tJ.,\ ;v),\ r{,u dv
^1-\ ) !'Tr\ns;cr rrr.Ac\Oir 0s
x üv
¡ondq t\
?1!vJa(u.; \ )
Ltt , ' t tc \^,J/
" TJ"./
Cll¡ 6q.r vcfrLc\ a
csbii qi\O
?¡ 'ai:?,u' a\
'e) L.''¡A)" 'DtJ
3i\ ;v))( / .^ ,v)
- - ,.\--2
\l - \'l
a\
lr. rn\'\tr,rr
f l= l l t r
. t l^tl{
\.i¡ eo D
{ ft t i I
/ i l (x, , t ¡ c l
¡ l
r i .11,l l rt t \
' t L
t ' I\ t lAtl
-,1 ,t
ttJ]
f"-
- rtrn"i i) \uzuqdct2
t.z
t . ,\ t)-
_L7
¡.L
\Gt_ '
= L / r . :1¿^ -) | 2 l r
,.i
'f tc'i\rr.tc.v tE lr\r¿qr d .\qf-irn
'r-cur,J¿:. pO.' X) '.1 , X) = i.'
c\ [)r'i i l\er- er-rLtc!{'cLr\'f¿ i
_tTtc\f \¿ [()r
cnr¡r1 ¡J¡¡ f ] . T(¿nefr- \crar
¡\¡i d'.i
.4, .1 t
/ t r ' ' V\ Arr| + 1- I v/v\\2 /
t
s$br q.
^¡ :3x
t
_/i (rc\ (Üil tr'<
" l
s i" 'rc ctU Q- kt\
^) I I IN-1.\-___]-- t1)
! r / l { )
v +¡.\ {" , t
4r
i /\ i
l
2-!,,I
4 l
Lcr-
-1
.2 .2-^.v
V
/-
cr ri (: /{
=€2
¡ l,t',,r}
I r* .-r ), /
"tfrl) GvtrCr r\ e¿S
fl r '\ v,r\%rrrc¡S
xV
I t i - l 'ut t - t i ,c t \ r¿ c( - - q r ik' f
P,: A , $= 7- v=3
!+ R' '=
¿sTO- fe
AV
Lo{YLO
(.1 \l l¿r
u\rort r
A--4 . I r -L i \ f :
esTc\ c.qor 0-do
;V:3-\
sbt'o por
TU{v) |
dvr ft
tI
q\r l
7l
foc-\-c\s e(\ <r\ pklrrO
I=á
lu" püolToó Ar , d. , c' , D' EQq"n. C,, t+vrr,bi o de vqr to.b\c
F \ , [ [ rl - ( t ,^v)0xuy -=
| l r -R'
/l¡€ 4 )L--2-
r ft tt t
R
p uce\cr\I o. tv)
UI-'Y)'o(¡ ; v)
Vr.a\\rr(
d¡.dv =
d¿ to ¿nu..dqüox) ¿\ \; x. / / '+-7
f f I
/ /li '(n,v\ ;)(|r;v)) I 4tl I d¡ d/' / J
'a( ' r ' t lv) [ - 'f{'
I( r¡¡ ;v'r) I
I
?AIvylayl?yl
Ery-=Xl ,
l*/*
IA¡v) ;
óa.\
=A
"AXxAlDx
_)<
t//^
Y(|r . ;v)) = (m, jTt).\¿s pale (r\ (#,.)
luo-o b ha\to-cenosF (x i y) - (A(x¡\ )
= (^t i
2d
-{deF
v(x; y)) .v\>'
X/
ltaJl =?( x, 'Y ¡
-1to,r\-': Uú ; f
'¡f¡¡-L) .nrc)*\ccsa( u; ' r ) \ 'D (x;Y¡ ¡
?-LxJ) = [ -' ¡ ( r . r ; v) 2v
rttrl ij' czo-n Ác,L3
I | 1/ | \\dA - lAl l {c i , \c,ur, . t '2 \ . l r /,V,
^ly"dxc{¡ , l l , ' i . *1+,. ,1.1 - f ¡^d
r1ü).tf^tr, ie r^r-.,1 5¿r {e t' TQ-otc.*.-i\ da.. cc.lll'óic de- q'cr"ric.L.\¿ ?r.
e-oo"C¿,^,crCo*1-. ¡;ol.arts " lrt¡qtln c\ ' c*h-C 'Teür¿t^rro. 'Te,1q"niCs
{ [ ' r , I f ' , , , , l r (x:j | [ (x;y) ü xtr ] : ,1 J {-r . r r¡ , ,v) i ) (^^,v)) i i+^l l f dudvJ¿ Rr
te coor-da.rc.Ccus po\ares Tc¡tr ¡¿rne-rs
r r - l ' r "| | | r ; , : ' ¡ :drCy : I i I t r t t ,e\ , ) t r ;e i )JJ JJ
A ia'
R'ál l
i {t t.1 J
fd
f .3 ' l l t l r ¡ l t l= [ +'(L"vi r\¡,. I +' LnL dp : L+ / A',1¡..J ) ' 'r,
' J 2 2 |141
: " l- Ll\ bb
I 3 r 'z= Llr t lA)2\J/ \
l i ' . . v) dr t \e?lr ie)
" Jo, , .dn_, F( r le) . - - ( .x, ' r ) -= ( , x( . is) ; Y(r ' l e) , \ = ( i -o.10 ;* 'óQ,1€)
. put.5 ¡ -: rr-0S€! ^
y .= rSQ-qe
cr\ror\r€,s { l ( r t r - ¡e) \ = [ t^(r ;e ' ) iY(r¡e¡\ ] : F t tcCIss i rs¿Qe)
?x a_X, l=crrnbrén ' r ) ( t ,Y) = I ar ?B
D(' re) | a- \ aY
Lrise - *-*lrfg Il= '
ú)r\g ¡'cerSe I?r a€
R@npLt a*re\o :
[ f i ,^ ;v) dx c\y = l I f , r (ors, rsci . r rs) I , ' ldrdeIJ I JJ
r r \ [ [ r ,/J
C-,y) doe\y : J l I l r ' * io;
t ' roar€) r d 'der?. f{'
g*"r&ti¿crno5 ( urnbro 0. e-oordwro.dqs po\cr cr5 g a.r'IG rzu[izo-dus)
X : e\rcCISg , y: bf- S€Ag
?jr .Y) =t f r ;o)
eLca8o _(l(-sor\e
!: so,rre gr- cos €= etbr
QnTonces La pOtrnotct de c-Urrrh¡\ o de- \'qrto.b\E ñ€. V¿nt,r. c0rt\O
r t " r r (1, .I l f r r , v¡ dx dy : / / É (o.rcoss i br s ' ,ne) | uur l dr de
JJ JJRR'
rf , , f r ",I I t r^¡vr dxdy =*0/ / l (*r tb- \s i brsone) rdrde
r t , {\-/ A R'
€¡wr ,.
* rhra,qro¡ [o- ptr^üdr^r Écr ¡v,) - ,E\Jt ' !a?8
r rl l [cx¡y) dxdy
JJR
Sobro {.o. ra¿ioÁ Ltrrrir-odo. po,- Ls- cLt'psz .# o
B' : 4
r l
ho-s^endo X:rctcoÁe , \ y- br ;q-n€ =+ F={
y cotvrO O(1 É t ^ ' 0<€ <21i-
üb /fr:;'
n deJ r
l \ Ar
0r Cl y =- u-b r de dr 4 2n-(b
r-{- t r t -*
- e v-dn
rdr ¿
Q-IT o.b € '?: Kcl.v¿
\o\í rncnts de urer fos en e[ e.spqc.in
Ea¡. t .RctC - fR c-om{nue. v no noqos- i1 'cLel voLurncn ds,\ ¿oUdo b\\o l-u supeí ¡1.* 'A¿ Lo.óp- cqltr:Lo-
Nit l =
r ft li tt t
\JJ
R
,t 2tf¡ r \I / ,m¡JJ
A
I r - - r| - t
^
v^<
I V t t -o
.,1r 'dr
n1- drur
- .1152
3/^ ^
l - j t , ( t - t ' ) ' '
\\3 l ,
l l ¡ I t '
/ / f tx; \ ) oxcJ)JJ
R
!
r Snror\cqs
5*t-, "o
É0-o. orrq frrrrcién 3 t Rc t{1.'----+ lR1-&\ +uc 9(x¡vl ( C(xtv) r cr\ tor\ces
[oa d'"= su¡rar¡: ictes F (x;v) y 9c*iyi
V(r) = /f a Écx¡v) - 9c*,rr) do d/
R
co(tri'eLfe ) YtO nA,qA'riVC
e\ tfotswra.n &rccrp odi ¿rYr(t6a, e-q\erto.. :
r-ñnsidsrcrr\os Lu putrCdn z -- ftrty) : \ , cLut us c¡:nrinuor Vpos\rnvu ssb{-e R- ( p , ra c- rn3 --. * \RJ ,o Olrtuno*o. a\ vor**{flrd,L\ ciundro da ba*:o R / slTurü- 4 , Xuc cs iquel ct úi-eor éR, R
Atnl : JI dx dy
0 lt'r"' '-ü
# cnlcu Lo.r-Stmi¿-bFq-.r's-
o\ voUJ (\\cv\ d qt'-- -:: . ----
z: i . , : - \ - i - \ :
t)etfct Qy\c gr\r( (^Cr{-
u.qui.crcctcs Lcrs
/ t<\ :lc I
I
I /..
\\i r. ,,, , r , . )
[u rn.gtó'rr sobru¿t¡ &t-Ló ftts
lcr-
Lri eücr[ v&\r\üs cr, \n"rogrcLr
toore\ftnc rio I P¡l-ru-l"a:-j
| \ r
Luor po eC'tr\pt tr't'\ S i(-\t: _l:r\Tt-q"y c( CéI1C Z : orxt + Yil
= .f7;7 ? \'+)-' =
¡ : l " l
= l., ,*.Y ) 1 x' + \ ' ( , t }
[ t ,cqc
i l , , ! ¡_*xr_y¿ " 'k" ' , r . ' ) O\ dy
Yitirr,:rnt\c, X -,
t c-osta Y .. 1 srlf\Cl (
I l , -
\ r II l lo)--r ' - r ) r crde¡t l
l"(
CISr ' . ( A t \sG<
t . ¡ t r i r, t , r ' - t ) f c: f r :C
\
\ \cs l
* c-ctLculctr
t ir f,r-. * 11 \'= j - : ' \ \¿
3
L):¡- rl L \\ \\\ "
-l
2n \ lI
.1. f i -- 4 t t
| | , r . . ,e i I
| ',n"=/ l (JJ( )a
, J/ ,
'2 i i [ ¡ , - ¡a- ' . ' t -
e\ ú-cu ü¿ Lci " Ls,,rt,. ió ccirCr- ün,
( xt f .i 't )"' : ,¿,.1 (.,y. - fo )
r l/ f t ( r i l e l l t fFrr ie ' i ) rd ' - ,1e ' r ( r r ;o l ) :4
JJri
¡,i :: a d ( r..¿ (cos,,g _ ss_ri¿g))
r ' \ a Ñ t 'L ct ,s 2€
t*
\^ z &v,2toS2€
voi'i4-oli 1,,.}a ,., e {^b-b-rr i rr C1-e, c\ Y- [ao,- e Ée so t¡ tn¡-ociro.rCIfi.*rs
err A\ p r r. {\ Of criu (\r c\n tC . u
[r.rC q O r
R- \ t " ;n> 1 c, s r - : <, [ r . i ,s ' r . .= ' . . ó3 er : ,yr , ]
haronc<-sfrlq aúrc¿¡zE nlt
,^ r f f '2 \ . .'J iU_ | I v ürcs .=
/ } i "JZte-- i i C€qJJJ¿
000
: c i 'J .*r '¿edo
'LQ =f) ' \ f fo c,0 =dirr :) | * t zg ag . I '9gsl:dnt z | (- sc,n n) ' f e
oÉ ={{ J J 2 ' 2,L
l'crco1lr-s -"s X.- 1 'cs¡0 ^ v=t-6e1\S
( r.r,rf e, .+ r'r¡*.r,re')t *- ,t rl ( t',r,r:gtE _ ro ra..ie )
t/1
:. el i t- so,r "
* )Oo\ . : - /o
/) trl ? É:t1 z
Al. iguo-\Trip\ede-pi n i c\Aa tr{ i
[ ¡rtg.eqA,t Es.
\trc c\ \ ntcclro-\es dobtes , de pincrrnos [c:- \rrreg rn[üe
opunci.ona:: 'o.r.a*\..ngdc.s , [ '. 'A c lÑ - ${
crs l,a p ro Au c:ros csr'{-¿s ictnos de Trcs inrarvct[Osln\ -t -l- Tio\
soern 5 n -- laruf , la= L.iAl , Iu:[c,3] , -l-¿nr-nros
e = \c*¡v¡z) /
xe l , r lü, y € L ' rd l , z elntgl \
un rqcrdn Q u [o cn [{i ( to ?uu
'¡cn(ct \]n po-ro-\e\a p (pedo)
sna perrricidn ? da A os a\ p"oóoc{<: c,üt.rcs\qno .¡a\ T\Pó
P = trr ^ ?, ^ ?u an a\ ?,rz pn tr .iu pe-rrtc'ón ,P¿\ \n{¿r ve\o J-i?., as [c. porrtcjóq da\ \nTccr*¡ti-\o T-"P" cr-s l.o. pcrr-T i cjdn ic\ \n{¿r Vcrlo T,
Dtq o.rlrcs qu0 Pr üil 'tét a\ trtr er riu[o f 1
) "q.ro Pu
t, P3 tlivtda,rr ol [os \rrrorvntgs
¿,rbthrar vql-cs {^qspa,c-r ( \ct\\QrtT€ , eftTsne es
ü1, f,r1rw1. sul, ntc-rótgutos ¿\ tQ3 donAq.,
A¡j , . * [x¡- , , rK, . l " [ ] ¡n;) ; f *LZ*-, i?ol
s\Jb reüro-h gulo d¿ t,:- 0err tcrcín p $e A I4(Ktm{
0n f\\ ¡ubiqr¿c^io-[osI, a. \3 c.r\ ü\, ) il¡P
- di.ri {-c G ñ. ur.
t> a\ ¡ j t -d¡ inro
{<l l r r r r I a{ i<¡nz
as$$.sst i l*".f i l f ' Q c-rn]* R dc¡tnrdo, cn c\ .¿crC.nqu[o 0!Ae'nf , 0S uir .o- punüOn ¿seotLonqdo- , Et q.x i5\€. ( . ! i1q-
po.rr rüd,r , p ds ,
0. i üi3Urt.or qua on ñ, flr1"hs osb rtc-.td.nqtu \os
hrr* , dn modo quu. f r¿str inqido. os con-1To-n' \a q- coda
uno da cároí¡ .uu b.Árocrg utls ? dl ^Dtgetwrls
e \n .,,. : c¿i* € R
6¿ dapt tra Lo. (nr aqr.a-\ Trt 0[¿ da lti p*r ncrón
f s.obrc 6 , e\tr n CIro-dó- por
r f l '
l l l f(x"v¡ *rq
ff\^ tYle {})g
_r. \ . I f f \ - c. . | ¡ r . , , , . \ íu. _2, . . \dx c ly elz : l_ L_ | **ro \x¿ - X¡-n)(Y; -) ; - r ) \ rn - ¿\<-1/
i= l J=\ K--4
FÜr1üd,'l (so"¡ ( r\uc¡-e5 irrr Q-cr r cl \": l.e ?'¡ \, )
c-< inrclrerb\e Cn \c"
luo $'1 Lcr- i nrqq rci.\
r r ióct c( \ \e.
r0qión f)-e \p:
\c ip\e dt f
cs{rr intrtus dt6-irrtc\crs
¿) ( f l Q-rtr Ci f t ( a5
Y, z) c i rd ¡ O,z
\daPt
JL
, - iR bira
En'rorr ccó F
Tsg¡gingécc F: Clctd
{}¿,-qiq(( jl c tl{:5 i
'OCeJnteiejn
,n¡\ . \ Fr. in i tL0 {-
Si C Xi STE L\O
,at \ r -
ÓQüñ
Cr\ fl
OcrÑ--\P
rrürvr-c¿t-c L
[* f ( r ,v;z¡ t f¿ 3 ( \ iy¡2,) Á^c\yCz = a / i ¡ r r ' iy ,z\dxdydz to[ f f l , r , ' t , t )dxr,y 'z, JJJ {-_ JJJ'1l J)-
. \ : 5,
I lIntJt
s_
i \ tx iY;
r | "I I i ) (*. ) . t ,1
Jt
L¡ . i [ ( r ¡y;z-) >/
r t lI I I ¡ ( ,x;) ,2)
JJJn
et1,'T$t\tz:--t,
, ' , , \ ILf [ l ¡ ' i ,= , l [ - ' r \ '¿,1, ' \ ¡ , lz + l f f j (o,y,z)c lxctycl r
i l t JJJS. lL
\ . i
\ -7" f " j =l " Í tl l l t , ,
$
quaT
t\ -
5iq\Y\p{ c c K i5'rc\ ?\ [ i rrr\ te
f0FI o c ltt3
t . { ' }I t \
JJ" ' ^ ) [ - (x^, ; \ i ,2.) \ t t r ¡ )
l r ^
r ' f \ . - -tPlr-€i
. ¡-y S ._\or\ Ao'. n'jnrt ro; rcci-\ts
9(x,y iz)
Oxoy oz >t
.cL, u .[L ¿
v;"-)dndtdz
: \ gL:
í ' : i ,i l : ¡ t r
Jul 't\
St puedert
Pr{f ü ú-¡r)
l \ - = i l t to
ocrr.de d, , ü*[cr
. r rc1\oir
\a:b\r:>
qll"[t-oi-aii Le,-s{4tfiQ,ñ Zú-trro3
\rr'ft3 r'ICS
&,pt n,,¿".d"rrr-i¿ c rq\es i*,sr':td0-.Tri plns pot
.Ct
, =) / (r'.;v )
.. t1c- [tll. A¿, i1{
e {i i
\ e:'{c\
f i^ tx;v) < Z
¡_tin tlC,nes
f€Qton
Is f l " (x;v) Y
cc,ttti(\ur\s e\ej-i n rdcr-¡ t:r\Lc. col\ac¿ {y\c "7¡ cCS.{c
'1{\f0,t)r¿{Q-5
[,n f(]r\e-fró F(x¡v¡z) c!x c\yciz z
[cr-: Lu&it-s *ae'(\ \ttf¿r cettxrb\tül\ts "
'{.t-t'tlt I
U
ür l*r t )
ut t IJ J | /
r ir ' ;y z-; ..1zl dyR fr,{x;t1
r i il l rl i l
JI
y'r( t ( t )
- ,=z - &n(x¡t)
Cq tL"rVi2)=
¡¡Letno S cac r"
( r+rv t 3z) ' c( \ ct .dcnade s y a\ pt t. t"¡
dx
* Cc,'[cu \'ar (s. i nrE rc.( -r i i ¡l\a1.s.. {"eqien Li.wol tadc. Por Lo s> ' '1
"- z --k
8irir1l1q¡^,."¿ tcl [-'-r,^,i.res drz. ]'L
i t - { ( r , ' t ;z) ! o, . r r , , I c, ! /< 1-¡ vliCI(z
er$snres '"
I I I t r^¡y i , r r . lx i lyc!z --JJ J
r t II | / t^rzY.f ;=f , \=,1ydrJJI
')." (-ot)
dx
! t-x {-X-I
+¿z)?c,= i ,u"d4 = 6t*O
4-xf r . , - \ 3* l r/ I ( , u' + *i{ 4- . .-y)\-- r. : l ! - ' 3.¡t\ 'dt id¡
J\ /b
f . r , r - c +?'z f r/ t c ,1zt- dz
{ l =
l , l * s Jtc% = cL
I [x ru\¡ ' l
f f , 3(-^ ' , l r t= | I ( ! (n 'zv+¡ziJ dodx = | |JJ\ct ' /o '1 Jo*u ó
I l -xi r . , \
I / I ( r r , -Lv - ' / \ ' - ( , r ' , - ' / ' ) r )¿ v dx11./ \ /
'o ¡ ' . - , ) rc¡
L- ' i = l \ 4 ["
J _ aj^-_ oy J
sg6;
Obó'a
+l<
t-l*t +d
I, . , -1
- L9:Za--Y-)-1
t.1
{ t '+ K
irt(xrzY) . t - K
L. = t" ' , '21 i ^ :
L=óy i J i ' '+ = |?=L
8
t , l
= - l [ ( ,u-h),-(a-r .o) l )d* - + l ' ( , r , . -x) '1 -x l )d¿" J( J ' " - - ' / I ?z Jt '
\"1, l
- . r , \ í ,Ll:
3f.c / I')-
I I ( r , . . \ - '
- t ' - ' \1 / \ lI 11^'
\ r 'u
I . l
i (n +ly;"c) fi
dl" ( -r, - 2x)s ¡
r=
tf\$o.ó ccr\ Ot crrso üc los 'tntc,,qra\os dob\.as qcrn.bi dn hgyurr( Forrr\o. de f¡,rr"U'z(lF ur.rnbtds de rtan\cr.b[s" .
fcr ir\co. qerrc,r-al srd eqmb\ur tus vcr\q\o\ts x y z da [o- pttntúf en {s. " irwagr-ol Tc\p\r,
f r r
| | I f (x;Y;zr dxdYdz, ro,
Lcr e-¡¡o-\ 5¿ hcrc¿ sobr¿ [o rog\ón fa de \Rt ( ¡r , ceqién üu\ cspo.oo)poc oTco.s Traó nuc{cLs vartcr!¡\,es , q.ü¿ l\errncreÑ.* ulÁ I \l i W derv.odo qüq 6a tgrlc$\e Lo. inraqfol crn:r-¿{'ior tnr€gcer-ne\c oee\
\- / nue\o, npunelón
Q(nt!rr r ' ] ) nhoiu sobra" [o. rogión"C(Aa\aspq.erqÑ an dbnde tss ptlr¡ros éa. t.scnLt¿ctn Gn -st-:: **t ckn sc\qs tn;v¡rr)
tua \ei.wrurcrr,cs " cspcclo ltv w" )
.. rl c ¡,¡i' * 1113 de\ Trpo
Y (Atrj r w) i z ( it¡ ¡ \r ¡ w1) punddn dc TceinsFsr Ao'-
Llno- F$nerón de cLcuc C ,"lnY tcr tvo' f qs¿
o.nu\e crr -et' dorrde e\ ¿orobio.nó e's
?¡ ?-4?v ?\|,
?) ?Ibv ?\lJ
&W?v aui
[ { [ r ,^¡v¡z)dxdvdz = t [ [Xrt¡ ;v,wr)JIJ JJJ
Jr Jil
la¡ItrluorcEI rH
TeoR¿r.-t_
Sq-ü ufto- ¡-unciein F
F(¡r ;v;w\ = [ X1¡1'v¡w\ iütín da usrdencr.dars
su ¡aeobtcno no €€.
r¿(xiy i¿) ea(¡¡ v;ur)
E¿ T\(nE
E dot ( F 'c ¡ ; t r ; ur \ )
slrura I du du d=2(¡¡v ¡e) [
dcrr, e\e
0( x +=-a t \
*. t r :x-Z({
X.: L(P,+tru)a
\e * V - i - ( .v¡-¡r . lt -2
**: l - (v l - / l . l2
L
| - \ ! l i t . { i1 . c{ .1(r_
?x "0I?^\ aY
?V ?)
"¡ , t ?V
Ar
^Z1^ AV.'' J" -
" i , , \ | |i x-ü \cv 3=
j j jf]
* irltt¡[ur
rL -- { r^,r ;=r1
hut-t,r\OL<. :
/ . i= x-v IV ' - Y tZ I\ r \ f z \ , r7- )
- ¿i I I / , , . ,á ¡L _- \ ' , ¡ r ' ' ; r } l ,I
I i ldwdvd,r t
A<"{ 1<t j ,f
rK
cn\r¡\ctnos C\ ler(-L\.r iC\Ilc t r t , t f ; r t ' ¡ r f r f ) = ( , \ , Y, '*)
Ial
I,L
; i'.r
Idi¿
ax? \.1
avaw
!=!::-
?W
rl
a
I
a- t"z
i
2
41-4r r r
= I I l l ( ,u+w) ' 'dwt lvt i ¡8 JIJ,* l s o
, lz{r r i '
= | | | t+(ntw. l ) ' Il l l " / z
_,{co
a,
AA-fil l- KiJ
| .lti r- r,v j
ll 4
l=f 1 ¡
f I (1A+r) ' - ,u ' ) {vd¡t =t l
Í\\J
Xri ! , "1)
t ( , r ,1¡V¡ lv)
tf\Io nccs
t \ r r i ; il l i ^" . j rüvür
: | | l l fFr¡ ;vIJJ ' JIJ
I \Jt -4 s o
, 'N) )
LtLt- l
d\ üv d, [
et$ ? A = c+w I o Frt¡¡ = ow 4
"f rc + wi'dw = J tfapf =
i rüV r lu -<
r , t
FÉ'
- I I t fR t l \
YJ
- l o
.: ,{tgiu)'\
'\ ,1/ u
n
f r f \
f if*'xdvdz : ^I It,^r-^f- É ) dr = 5
J J J 4( J
J\- - {
Vc.crrv\Os Lus op\tco. Lr0ftas dL\ c¡.rrrbto dc gcrtrrerb\C o* :
en urr purffó cn lf¿- P = (xi\ ¡ z) o. coordanelr)els c-i V.ndri c-o"¡6¿ \rq, co (}\o
x- rccs€ ¡ | - 16ai1€. ^, z:-z
rs^ e\!o lq punelón do tccns psrrntt-rén 6¿ rra. c-ornoF I ft *.:--.'t fA3
Ftr ig¡z\ : Ix(r le i¿),V(r¡€¡z); z (rqO¡u)) = (rccSg ;rsú.r1$; Z)
eoy\ J i = l t ( r ¡o¡ z) | q, s r t f { . . ; 6nto sgr i ?r t z 3 =" 1
i.\o,\sfiro: o[ Js-col¡iarro dg trCrlg i z\
I tss$ "-réa,e$ 6 tt t<;v.-z) l_.^- |?(r ;* iá
=f t : . c.Úso : | : r
lc o 4 |
er\rorc sE o[ Tq.ora-rng d¿ cñw\b\CI de vrr-r tcl)a\c Xutdorio.. o-*to t
r r r . r f r "/ I I C(r , 'y¡z)dreivdz = | | | Lt . \s i r -sor\s;z) rdr ded=
JJJ JI-JlL i.ft
ü tqle,:\o.r f l f ,f +v') drdy d = do",d a. rt e¡rá tirniqsdo Po{-JJ J
?: l - ( . '&+v') ; z --22
c{\Tof\Lcs
-r t = i . ( t ,s ;d I L l { . r - -<2 . L\s 6 t r - l t ^ ! - ' ! 7. t ' \I
e. ,-f )-' ¡ - , . . 1 r f \ r r r f - , , { : - \
t*r , t 'C x' ju C.,= = | | t^ - , r^ 1z cg t \r-j l l l
. i ' i ' ,J J J
t t ' )út ;a
.¡ til- ,1
f l ' . , | " , z\= I Ér '1 - l ' l -c¡r : i 1n [ - ' (1-{-- )0f-
¡ I 1 \ ' - - ; /uu " ' I -,i J
-'! "lo
\)üs(il\Os ü eñCi'dotl citrtr*: ct \l¡f d I ic-L\
.k -- rc,{i\(') , Y = r{.uñt} "z :=z
NorrC,s \ ,* k ' - ' \ - (>?+'¡ ' ' ' , = ,
' ^ r : '=L : i r=L
'1 [ (F(f ;e; ¿)) '= [ i r .e, , t f , i rLc,rr t ; , 7 ) . { ' ' (Ó(t ' iorrcr¿<;
. - ,2 ' ' , { f Ei i "= t .r l
o{\ un pu{\To t) * (x, Y , 'a) c\ c{)CIr datrcr.dns espil',t \ LcL-S aa. !'e, crs(
\ = l -cÓéÚó' ' r r \Cj Y= YvL(\ É'5{LnC ?-.- lcc6,p{
i-¡,¿r¡1 lC., [r-: irc:i{¡ ' t,t I {C\r\¡f-Ot {rt(r ( iórl OA CC:O I t\te fieiCrr: lcr tC\1/
-{
I : -n ' - - i1{-
[ ( . ,€\ ,ñ) . (X(r iq l , ( r ) ;y(r i [ r ,Q), t tn;€, ; f l ) )=(rs. ie&n¿' , t ,cnescnd;rcü:p,)
q¡cl . tü. qr .e ór-c\ in lCer ivU'g \ -zÓ I 0ÉSizrr ;ÓiÉ (n
eon C =\tr ¡e,p¡ / , t . ' . r (R: ; €. i 0 -<o, ; É' 1 ñ i É. 1
l.{c.\tonc. q\ ¿accbt ano dr Fr-r i0¡o)
- i-óong s,rrrd
f c$so >¿n6 = _ ¡"so ftÉ
dq irUbio de r,'o.rierb\e $u Cüo.ritt as{
; tseftescnd ,,rcCIsg) r 'ts¿,nÉ dt dg dg
'¿l-¡;),-¿l?( r ' ¡e i0 )
* itrl.cr',lctr t\
¡Es€ gl{\d
5ünO s¿rr.ñ
C6S E
t'fTsq rcr-l
rc-l:se cas/
r^ s¿,rrg cosf
- ' f í )cnd
JIt,-***,ono
QTI\OnLCS L\ 'feOrCnro
r f ' f , f fI / / t t* ; \ , a){¡ f 'yJ,) J
U= = JJ
Jr l I
a jq-tt
t rt t.i _ivú
,tq-.,¿:Tl r r
/ d:-e-!ü_._J x ' rV'+z'
V't,rY\Os
¡ t 7.-
r . ,< v(\ r \ t \_
( i1x i
ss - / : (
J t t - x ' - y '
2r --;-r
l ' l Y '
' )
X .= j-,t -7 x2 + Yt - 4
Yo t ur3p
¡Xlcr'O { @=
Y ',''')1- t { , r rQ,stc ly ' : ) -
6ri,r\p : t
6=Í2
fi,!
LI
-u. , t
TT\t t
LÉ1 -d __ I , [ r . ro;p¡ 1 o i r . r 0ie< . - / . / a, .r u\ L) I
T¿ rl Vz Yz/ ; ' r rw'r' \ t l , . r \ " { I I= , t (s3r l6r \CCt e .= / ( -zcr 'sg{)-c{¡o = | . r , !O : r r
"r J Jt ' /b - J,súO
\o\tS [nanas da *ar pos an at a.Va e
S:rcr. | : íl c- \í¿3 - -* \i, C,(co¡y;z)- '1 v ix¡y;T' l : ' [ ]5: ; : :X : i - t ; : iu,c^cn dcrL
es d,aC'c l)(\(
* c¡i-Lcr¡lcrr t\ rc(ulrr(ri crrc¡,r 'ro.dC pe r c( c{t6rsc it\r i/ ), ,L¡ . , /a l^.) :- J- -i_ : = ,. (!)
3i Li: ;L
cnlü\\eQs
i r i^ \ , n '1^
/ ' t i ,^ .* n/ l /At ;v¡¿)Croyóz= t l I t { ! ! .9 dt-dr¿'rc\o"/ . , r / J j . / r '
Jtoop
rÜ\ to)-- / l / c \ü 'ycz
JJJ_rr
&l\t¡lt tvrg\ c${\ cc,C,r c\Orr-Ctdcc5 As 6-.i r i cE_.s
X= (t\^ clr lg s,Lt\É ; Y=br^s¡lng ¡¡ lr\6 ¡ -L = Cr. CSS€I
f f-e.'ffi p\Uzrr'nOO tl) @ p -- 'r' .m.l-rsqcs.j;
j t= i ( r ¡e;G) i c.rr i r i c--ei2TT ; CI(ü ' - :TT
' l i
, ' ' " ' L \ r I T I I .l , l \ - 'B.bC-ñl- i r6drc\ t r \g z. c\ \ ¡c j I f r 's : . ' rÉdrddue" t . i , l J J J
6Jr- v
2Y I 2tl
r - qbc , lsanB{cjooü
. : Glcf t -*rg¡trde = { \ rCrbcJ J 3 3 , i
' ' /o 3ocr)
g
Recommended
