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Page 1: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

饾惣饾憗饾憞饾惛饾惡饾憛饾惔饾憗饾憞饾惛饾憜

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENAD POLARES

Cabanillas Tacanga, GuianellaColchado V谩squez, RonaldoInfantes Montero, MiltonMorillo Culquichicom, BrayanPeche Paredes, Diana MaribySalinas Marcos, AnyeloSalinas Marcos, Anyelo

Page 2: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Si deseamos integrar f funci贸n definida dentro de una regi贸n R, generalmente lo har铆amos evaluando la integral doble sobre la regi贸n de integraci贸n que definir铆amos utilizando los m茅todos de coordenadas rectangulares. Que pasar铆a si las regiones son figuras circulares, paraboloides, elipsoides, etc. la definici贸n de su regi贸n de integraci贸n se vuelve algo complicada.

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

鈭潗

饾惙

饾憮 (饾懃 , 饾懄 )饾憫饾惔

Page 3: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo cambiar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares son:

Entonces, haciendo esta transformaci贸n, tendr铆amos que ahora la regi贸n R esta definida como.

El diferencial de 谩rea dA se definir铆a como:

饾憻2=饾懃2+ 饾懄2

饾懃=饾憻饾憪饾憸饾憼胃饾懄=饾憻饾憼饾憭饾憶胃

饾憛={ (饾憻 , 胃 )鈭堭潙2饾憥鈮ゐ潙 鈮ゐ潙 , 伪 鈮の糕墹尾 }

鈪 饾惔=饾憻 鈪嗮潙 鈪嗮潨

Page 4: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Recordando : la relaci贸n entre el radio y la longitud de arco en un sector circular est谩 dada por: tenemos entonces que el diferencial de 谩rea en coordenadas polares est谩 dado por dA = (dr)(rd胃 ) como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir como

s  =  r胃

DIFERENCIAL DE AREA

r

S

饾挃=饾挀 饾溄

饾憫饾憻

饾憻饾憫饾渻r

饾憫饾惔=(饾憫饾憻 )(饾憻饾憫饾渻)饾憫饾惔=饾憻饾憫饾憻饾憫 饾渻

Page 5: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

鈭潗

饾惙

饾憮 (饾憻 ,饾渻 ) 饾憫饾惔=鈭潗

饾惙

饾憮 (饾憻 ,饾渻 ) 饾憻饾憫饾憻饾憫饾渻

鈭潗

饾惙

饾憮 (饾懃 , 饾懄 )鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭潗

饾惙

饾憮 (饾挀 饾憪饾憸饾憼饾渻 ,饾惈 sen饾渻 ) 饾憻 饾憫饾憻饾憫 饾渻

F脪RMULA

Page 6: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES鈥 1er caso Consideremos la regi贸n polar D dada por D={(r,胃)/ 伪鈮の 鈮の 岽 肖(胃) 鈮 鈮 寻(胃)} y sea f: Duna funci贸n continua sobre D.

鈭潗

饾惙

饾憮 (饾憻 ,饾渻 ) 饾憫饾惔=鈭潧

饾浗

鈭柯

驴 驴驴

Page 7: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

2do caso Consideremos la regi贸n polar D dada por D={(r,胃)/ a鈮 r 鈮 岽 肖(r) 鈮の 鈮 寻(r)} y sea f: Duna funci贸n continua sobre D.

鈭潗

饾惙

饾憮 (饾憻 ,饾渻 ) 饾憫饾惔=鈭潙

饾憦

鈭柯

驴 驴驴

Page 8: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

EJEMPLITOS

1: calcular la integral doble , donde D es la cuarta parte del circulo que se halla en el primer cuadrante.

饾懃2+ 饾懄2=1

soluci贸n饾憜饾憭饾憥 饾懃=饾憻饾憪饾憸饾憼饾渻 , 饾懄=饾憻饾憼饾憭饾憶饾渻饾懃2+ 饾懄2=1鈫掟潙2=1鈫掟潙=1

鈭潗

饾惙

鈭1鈭 饾懃2鈭 饾懄2鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭潗

饾惙

鈭1鈭 饾憻2饾憻 饾憫饾憻饾憫 饾渻

鈭潗

饾惙

鈭1鈭 饾懃2鈭 饾懄2鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭0

饾湅 /2

鈭0

1

鈭1鈭掟潙 2饾憻 饾憫饾憻饾憫饾渻

鈭潗

饾惙

鈭1鈭 饾懃2鈭 饾懄2鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭0

饾湅 /2

鈭 13

(1鈭掟潙 )32 驴10驴

鈭潗

饾惙

鈭1鈭 饾懃2鈭 饾懄2鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭 13 鈭

0

饾湅 /2

(0鈭1)饾憫饾渻

鈭潗

饾惙

鈭1鈭 饾懃2鈭 饾懄2鈪 饾懃鈪 饾懄=13 鈭0

饾湅 /2

饾憫饾渻=饾湅6

Page 9: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

鈭潙

饾憛

饾懃饾懄饾憫饾惔=鈭0

饾湅2

鈭2

5

(饾憻饾憪饾憸饾憼 饾渻 ) (饾憻饾憼饾憭饾憶饾渻 ) 饾憻饾憫饾憻饾憫饾渻=鈭0

饾湅2

鈭2

5

饾憻 3饾憪饾憸饾憼饾渻饾憼饾憭饾憶饾渻 饾憫饾憻饾憫 饾渻

鈭潙

饾憛

饾懃饾懄饾憫饾惔=鈭0

饾湅2

饾憪饾憸饾憼 饾渻饾憼饾憭饾憶饾渻 [ 饾憻 44 ]52饾憫饾渻=鈭0

饾湅2

饾憪饾憸饾憼 饾渻饾憼饾憭饾憶饾渻 [ 544 鈭 24

4 ]52饾憫饾渻鈭潙

饾憛

饾懃饾懄饾憫饾惔=6094 鈭

0

饾湅2

饾憪饾憸饾憼饾渻饾憼饾憭饾憶饾渻 饾憫饾渻=6094 [ 饾憼饾憭饾憶2饾渻2 ] 饾湅2

0

鈭潙

饾憛

饾懃饾懄饾憫饾惔=6094 [ 饾憼饾憭饾憶2 饾湅22 鈭 饾憼饾憭饾憶

202 ]

鈭潙

饾憛

饾懃饾懄饾憫饾惔=6094 [ 12 鈭 02 ]=6098 饾憿

2

2

5

5

0

R

Limites de integraci贸n

2: Evaluar la integral donde R es la regi贸n del primer cuadrante comprendida entre los c铆rculos =4 y =25

soluci贸n

r

Page 10: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

3: calcular la integral doble donde D es la regi贸n encerrada por la cardiode sobre el eje X.

饾憻=1+cos饾渻

rD

饾渻x

y

soluci贸n饾憜饾憭饾憥 :饾懃=饾憻饾憪饾憸饾憼 饾渻 , 饾懄=饾憻饾憼饾憭饾憶饾渻

饾惙 { 0鈮 饾渻鈮ゐ潨0鈮ゐ潙 鈮1+饾憪饾憸饾憼饾渻

鈭潗

饾惙

饾懄 鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭潗

饾惙

饾憻饾憼饾憭饾憶饾渻饾憻 饾憫饾憻饾憫 饾渻=鈭潗

饾惙

饾憼饾憭饾憶饾渻饾憻2饾憫饾憻饾憫 饾渻

鈭潗

饾惙

饾懄 鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭0

饾湅

鈭0

1+cos饾渻

饾憻2饾憼饾憭饾憶饾渻 饾憫饾憻饾憫 饾渻

鈭潗

饾惙

饾懄 鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭0

饾湅 饾憻33饾憼饾憭饾憶饾渻 驴1+cos饾渻

0饾憫饾渻 驴

鈭潗

饾惙

饾懄 鈪 饾懃鈪 饾懄=13鈭0

饾湅

(1+cos饾渻)3 饾憼饾憭饾憶饾渻饾憫饾渻=鈭 (1+cos饾渻)4

12驴饾湅0

鈭潗

饾惙

饾懄 鈪 饾懃鈪 饾懄=鈭 112

[0鈭16 ]=1612

=43饾憿

Page 11: Integrales Dobles en Coordenadas Polares

4: Hallar el 谩rea de la regi贸n plana D ubicada en el interior del c铆rculo y en el exterior de la cardioide

饾憻=1+cos饾渻

x

y

饾憻=3饾憪饾憸饾憼饾渻

饾渻=鈭 饾湅3

饾渻=饾湅3

{饾憻=3饾憪饾憸饾憼饾渻饾憻=1+cos饾渻鈫

3饾憪饾憸饾憼饾渻=1+cos饾渻饾憪饾憸饾憼饾渻=1

2鈫掟潨=饾湅

3,鈭 饾湅3

soluci贸n

饾惔饾惙=鈭潗

饾惙

饾憫饾懃饾憫饾懄= 鈭垝饾湅 /3

饾湅3

鈭1+cos饾渻

3饾憪饾憸饾憼饾渻

饾憻饾憫饾憻饾憫饾渻

饾惔饾惙= 鈭垝饾湅 /3

饾湅3 饾憻22

驴 3饾憪饾憸饾憼 饾渻1+cos饾渻

饾憫饾渻=12 鈭垝饾湅 /3

饾湅 /3

驴驴

饾惔饾惙=12 鈭垝饾湅 /3

饾湅/3

[8饾憪饾憸饾憼2鈭2饾憪饾憸饾憼 饾渻鈭1 ]饾憫饾渻=12 鈭垝饾湅/3

饾湅 /3

驴驴

饾惔饾惙=12 鈭垝饾湅 /3

饾湅/3

(4饾憪饾憸饾憼2饾渻鈭2饾憪饾憸饾憼 饾渻+3 ) 饾憫饾渻=12(2饾憼饾憭饾憶2饾渻鈭2饾憼饾憭饾憶饾渻+3 饾渻)驴 饾湅 /3

鈭掟潨 /3驴

饾惔饾惙=饾湅 饾憿2

Calculamos las intersecciones para calcular los limites para

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