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Diapositiva 20

Diapositiva 21

Masa de una lmina delgada

Si es una funcin densidad continua de una lmina que corresponde a una regin plana R, la masa M de la lmina viene dada por

Momentos y Centro de masa

El momento de Ri con respecto al eje x:yi

El momento de Ri con respecto al eje y:

xiMomentos de primer ordenDistancia al eje xSi es una funcin densidad continua de una lmina plana R. Los momentos respecto de los ejes x e y se definen como

MasaDistancia al eje yMasaCentro de masaSi la masa de la lmina es m, el centro de masa de R es:Si R representa una regin plana en lugar de una lmina ese punto recibe el nombre de centroide de la regin.

Momentos de segundo orden o de inerciaLa masa mide la resistencia de la materia a cambios en su movimiento rectilneo uniforme.El momento de inercia mide la resistencia de la materia a cambios en su movimiento de rotacin.mld

El momento de inercia de R con respecto al eje x es :yiEl momento de inercia R con respecto al eje y:xiMomentos de InerciaCuadrado de la distancia al eje x

MasaCuadrado de la distancia al eje y

MasaEl momento polar de inercia de R, es el momento de inercia con respecto al eje z o con respecto al polo

yixiMomento Polar de InerciaCuadrado de la distancia al polo:r2

Masa

Cambios de variablesEn una integral simple:

Cambios de variables: JacobianosEn una integral doble:

JacobianoJacobianosSi

el jacobiano de x e y respecto deu y v esta dado por:Cambio de variables en integrales doblesSean R y S regiones en los planos xy y uv, respectivamente, relacionadas por las ecuaciones:

tales que cada punto de R es imagen de un nico punto de S. Si f es continua en R, g y h tienen derivadas parciales continuas en S, y el Jacobiano de la transformacin es no nulo, entonces:

Cambio de variables en integrales doblesIntegrales Triples

Volumen del isima cajaIntegrales TriplesDefinicin de integral tripleSi f es continua en una regin slida acotada Q, la integral triple de f sobre Q se define como

siempre que este lmite exista.El volumen de la regin slida Q esta dado por

Propiedades de las integrales triples

Sean f y g continuas en una regin slida acotada Q, y sea c una constante.

sin solapamientos

Evaluacin de integrales iteradasSea f continua en una regin slida Q definida por

donde h1, h2, g1, g2 son funciones continuas. Entonces,

Masa de un slido

Si es una funcin densidad continua de un slido que corresponde a una regin slida Q, la masa M del slido viene dada por

Momentos de primer ordenDistancia al plano yzSi es una funcin densidad continua de un slido que corresponde a una regin slida Q. Los momentos de primer orden respecto de los planos coordenados se definen como

Masa

Primer momento respecto al plano yzIntegrales DoblesOtras AplicacionesCambio de variablesMasa de una lmina delgada