Download doc - III Generación de Variables Aleatorias

Unidad IIIGeneración de variables aleatorias.

Introducción

Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice. Edited by J. Banks Copyright © 1998 John Wiley & Sons, Inc.

Una vez aceptadas las pruebas de media, varianza, uniformidad e independencia sobre los números aleatorios con distribución uniforme entre 0 y 1, se puede hacer uso de esos números para generar variables aleatorias con otro tipo de distribución.

VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.

VARIABLE ALEATORIA: Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad. Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente electrónica, etc. Para entender mejor lo anterior, consideremos el numero de clientes que llegan a un banco cada hora, este depende de la hora del día, el día de la semana y otros factores. Por lo general, la afluencia de clientes es mayor al mediodía que a las primeras horas del día; la demanda de servicio es mayor el inicio y el fin de semana que el resto de los días; habrá más clientes un día de pago que un día normal, etc. Dadas las características de las variables aleatorias, estas deben cumplir las siguientes reglas de distribución de probabilidad:

La suma de las probabilidades asociadas todos los valores posibles de la variable aleatoria X es igual a uno.

La probabilidad de que un posible valor de la variable X se presente siempre es mayor o igual a cero.

El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la población.

Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria esta definida por más de un parámetro, estos parámetros pueden obtenerse mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la población σ2 puede ser estimada usando la varianza de una muestra s2. De la misma manera, la desviación estándar de la población, σ, puede estimarse mediante la desviación estándar de una muestra s.

3.1 Variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.

o La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.o El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.o Número de circuitos en una computadora.

o El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos

Este tipo de variables deben cumplir con los parámetros siguientes:

Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeométrica, la de Poisson y la binomial. Por ejemplo, si el propósito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles valores y por lo tanto se puede asociar a una distribución de Bernoulli. Por otro lado, si lo que queremos es modelar el número de usuarios que llamaran al teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede parecerse a una distribución de Poisson. También puede ocurrir que el tipo de comportamiento de la variable no se parezca a ninguno de los mencionados, podría entonces utilizarse un tipo de distribución empírica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad.

3.2 Variables aleatorias continuas.

Variable aleatoria continua es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

o La estatura de un alumno de un grupo escolar.o El peso en gramos de una moneda.o La edad de un hijo de familia.o Las dimensiones de un vehículo.

Este tipo de variables se representan mediante una ecuación que se conoce como función de densidad de probabilidad, por lo que se cambia el termino sumatoria por una integral y deben de cumplir con las condiciones siguientes:

Para este tipo de distribuciones de probabilidad se utilizan la uniforme continua, la exponencial, la triangular, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang. Por ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribución de probabilidad semejante a la exponencial, o que el tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de una manera muy similar a la dispersión que presenta una distribución triangular.

3.3 Métodos para generar variables aleatorias.

Existen varios métodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La elección del método adecuado se puede basar en una serie de factores como:

Exactitud. Es preferido un método exacto frente a métodos aproximados, como soluciones numéricas.

Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideración es el tiempo de generación de la variable.

Espacio. Necesidades de memoria del método utilizado. En general, los métodos no consumen mucha memoria.

Simplicidad. El método debe ser fácil de entender.

La mayoría de las técnicas utilizadas para la generación se pueden agrupar en:1. Método de la transformada inversa 2. Método de aceptación y rechazo; y3. Método de convolución.

3.3.1. Método de la Transformada Inversa

El método de la transformada inversa utiliza la densidad de probabilidad acumulada (cdf) F(x) de la función de densidad de probabilidad (pdf) f(x) que se va a simular.

Puesto que F(x) esta definida en el intervalo (0-1), se puede generar un número aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue un distribución de probabilidad f(x), se determina al resolver la siguiente ecuación.

F(x) = R ó x = F-1 (R)

La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones no es tan simple encontrar la transformada inversa. Sin embargo si esta función inversa ya ha sido establecida, generando números aleatorios uniformes se podrán obtener valores de la variable aleatoria que sigan la distribución de probabilidad deseada.

Esta técnica se explicara en detalle para las distribuciones uniforme, exponencial y la triangular, posteriormente se aplicara a otras distribuciones, como la de Weibull.

Distribución uniforme

Considerar que la variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en el intervalo [a, b]. Una expresión razonable para generar X esta dada por:

Recordando que R siempre es un numero aleatorio en [0, 1]. La pdf esta dada por:

Para derivar la cdf de la ecuación de la distribución uniforme, se aplica la integral ya mencionada, de manera que:

Para la aplicación de esta distribución se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Calcule la cdf de la variable aleatoria deseada X. Para la distribución uniforme, la cdf es F(x), como se obtuvo arriba.

Paso 2. Hacer F(X)=R, en el rango de X. Para esta distribución, se tiene:

Paso 3. Resolver X en términos de R, de manera que se obtiene la ecuación dada al inicio X=a+(b-a)R, en el rango de [a, b].

Ejercicio:

Aplicar el método al conjunto de números aleatorios generados por el método congruencial lineal. Considerando a=70 y b=100.

Como ejemplo de obtención de los valores de X a partir de los números aleatorios, se muestra la siguiente tabla:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ri 0.1306 0.0422 0.6597 0.7965 0.7696 0.1208 0.0388 0.6711 0.7795 0.7589Xi 73.918 71.266 89.791 93.895 93.088 73.624 71.164 90.133 93.385 92.767

Distribución exponencial

En este tipo de distribución, la función de densidad de probabilidad esta dada por:

Y la función de densidad acumulada, esta dada por:

El parámetro λ puede ser interpretado por el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo. Por ejemplo, si los tiempos entre llegadas X1, X2, X3,… tienen una distribución exponencial con razón λ, entonces λ podrá ser interpretada como el numero promedio de llegadas por unidad de tiempo o la razón de llegadas. Observe que para toda i:

Tal que 1/ λ es el tiempo medio entre llegadas. El objetivo es desarrollar un procedimiento para generar valores X1, X2, X3,…, los cuales tengan una distribución exponencial.

La técnica de la transformada inversa puede ser utilizada, al menos en principio, para cualquier distribución, pero es más útil cuando la cdf es de manera tan simple, que su inversa puede ser fácilmente calculada. Un procedimiento paso a paso para esta técnica, utilizando una distribución exponencial, es como sigue:

Paso 1. Calcule la cdf de la variable aleatoria deseada X. Para la distribución exponencial, la cdf es F(X), que se obtuvo antes.


Ya que X es la variable aleatoria para esta distribución exponencial, se sigue que toda la expresión exponencial es también una variable aleatoria, aquí llamada R, la cual tendrá una distribución uniforme en el intervalo [0, 1].

Paso 3. Resolver la ecuación F(X)=R para X en términos de R. La solución obtenida es:

Esta ecuación es llamada el generador de variable aleatoria para la distribución exponencial. Generando una secuencia de valores que es completada en el paso 4.

Paso 4. Generar (como se necesite) números aleatorios uniformes R1, R2, R3,…,y calcule la variable aleatoria deseada X1, X2, X3,…, por:

para i=1, 2, 3,…,N

Ejercicio:

Aplicar el método al conjunto de números aleatorios generados por el método congruencial lineal. Considerando λ=1.


i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ri 0.1306 0.0422 0.6597 0.7965 0.7696 0.1208 0.0388 0.6711 0.7795 0.7589Xi 0.1400 0.0431 1.0779 1.5921 1.4679 0.1287 0.0396 1.1120 1.5119 1.4225

Distribución triangular

Considerar una variable aleatoria X dada por la pdf de forma triangular con valor mínimo a, máximo b y moda c:

Como se muestra en la figura siguiente:

Para esta distribución, la cdf esta dada por:

Para el intervalo de x [a, c], y despejando X de la expresión:

de donde:

Para el intervalo de x (c, b], y despejando X de la expresión:

de donde:

Donde el dominio para cada expresión de X será de [0, (c-a)/(b-a)] para la primera y de ((c-a)/(b-a), 1] para la segunda.

Ejercicio:

Aplicar el método al conjunto de números aleatorios generados por el método congruencial lineal. Considerando la distribución triangular.


i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ri 0.1306 0.0422 0.6597 0.7965 0.7696 0.1208 0.0388 0.6711 0.7795 0.7589Xi 0.51108 0.29052 1.175 1.362 1.3212 0.49153 0.27857 1.189 1.3359 1.3056

Distribución Weibull

Este tipo de distribución se llega a utilizar como un modelo para el tiempo de falla en maquinas o componentes electrónicos. Para el caso más simple la pdf esta dada por la ecuación:

Donde α>0 y β>0 son los parámetros de escala y de forma respectivamente para esta distribución. La cdf se obtiene a partir de la integral, como se indica a continuación:

Para obtener la variable de Weibull se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. La cdf de la variable aleatoria deseada X esta dada por:


Paso 3. Resolver la ecuación F(X)=R para X en términos de R. La solución obtenida es:

Comparando la ecuación obtenida para la distribución exponencial, se puede ver que si X es una variable Weibull, entonces Xβ es una variable exponencial con media αβ. Inversamente, si Y es una variable exponencial con media μ, entonces Y1/α es una variable Weibull con parámetro de forma β y parámetro de escala α=μ1/β. Se deja al lector para que desarrolle el grafico correspondiente.

Ejercicio:

Aplicar el método al conjunto de números aleatorios generados por el método congruencial lineal. Considerando α =1 y β=2.


i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ri 0.1306 0.0422 0.6597 0.7965 0.7696 0.1208 0.0388 0.6711 0.7795 0.7589Xi 0.3741 0.20764 1.0382 1.2618 1.2116 0.35881 0.19893 1.0545 1.2296 1.1927

El método de la transformada inversa también puede utilizarse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como la distribución Bernoulli, binomial, Poisson, discreta uniforme, etc. El procedimiento es similar al continuo pero el valor de F(x) se encuentra acumulando las probabilidades de los eventos individuales p(x). También en este caso, F(x) está definida en el intervalo 0 a 1; se genera un número aleatorio ri y se determina el valor de la variable aleatoria cuya distribución acumulada es igual a ri. El método consiste en:

1. calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar.

2. Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x).3. Generar números pseudo-aleatorios ri ~ U(0,1).4. Comparar con el valor de P(x) y determinar que valor de x corresponde a P(x).

En la figura siguiente se muestra en forma gráfica el procedimiento anterior para una función cualquiera p(x) discreta. La dificultad de este método radica en que no existe una expresión final sencilla, como en el caso de la continua.

3.3.2. Método de Aceptación y Rechazo

El método de aceptación y rechazo es otro procedimiento para generar números al azar de distribuciones de probabilidad no uniformes. Este método consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se esta analizando. Para comprender mejor este método, supóngase que un analista necesita elaborar un método para generar variables aleatorias, X, uniformemente distribuidas entre ¼ y 1. Una forma de proceder podría ser siguiendo los pasos que a continuación se indican:

Paso 1. Generar un numero aleatorio R.Paso 2. Si R ≥ ¼ , se acepta X=R, va al paso 4.

Paso 3. Si R < ¼ , se rechaza R, va al paso 1.

Paso 4. Si se requiere otra variable aleatoria uniforme en [1/4, 1], se repite el procedimiento iniciando en el paso 1. Si no, se detiene.

Cada vez que el paso 1 es ejecutado, un nuevo número aleatorio debe ser generado. El paso 2 es una “aceptación” y el paso 3 es un “rechazo” en esta técnica de aceptación-rechazo. Para resumir la técnica, las variables aleatorias (R) con alguna distribución de probabilidad (aquí utilizamos una de tipo uniforme en [0, 1]) son generados hasta que alguna condición (R ≥ ¼) se cumple. Cuando la condición finalmente se cumple, la variable aleatoria deseada (aquí de tipo uniforme en [0, 1]), puede ser calculada (X=R). Este procedimiento puede mostrarse que es correcto al reconocer que los valores aceptados de R están condicionados; esto es, el R propiamente no tiene la distribución deseada, pero R condicionada en el hecho de (R ≥ ¼) tiene la distribución deseada.

Para mostrar esto, tomar ¼ ≤ a < b ≤ 1, entonces:

La cual es la probabilidad correcta para una distribución uniforme en [1/4, 1]. La ecuación anterior dice que la distribución de probabilidad de R, dado que R esta entre ¼ y 1 (todos los demás valores de R no son considerados), es la distribución deseada. Por lo tanto, si ¼ ≤ R ≤ 1, sea X=R.

La eficiencia de la técnica de aceptación y rechazo depende en gran medida de su capacidad para minimizar el número de rechazos. En este ejemplo, la probabilidad de un rechazo es P(R<1/4)=1/4, tal que el numero de rechazos es una variable aleatoria distribuida geométricamente con probabilidad de “éxito” p=3/4 y un numero promedio de rechazos (1/p – 1) = 4/3 – 1 = 1/3. El numero promedio de números aleatorios R requeridos para generar la una variable X es uno mas el numero de rechazos, es decir, 4/3 = 1.333. En otras palabras, para generar 1000 valores de X, requeriría aproximadamente 1333 números aleatorios R.

Distribución Poisson

Una variable aleatoria Poisson, N, con media α > 0 tiene función de masa de probabilidad (pmf)

Pero lo más importante, N puede ser interpretado como el número de llegadas, para un proceso de arribo Poisson, en una unidad de tiempo. Recordad que los tiempos inter-arribos, A1, A2, … entre clientes sucesivos son distribuidos exponencialmente con razón α (es decir, α es el numero promedio de llegadas por unidad de tiempo); además, una variable exponencial puede ser generada como ya se vio anteriormente. Así, hay una relación directa entre la distribución Poisson (discreta) y la distribución exponencial (continua), a saber:

N=n

Si y solo si:

A1 + A2 + … + An ≤ 1 < A1 + A2 + … + An + An+1

La primera ecuación dice que fueron exactamente n llegadas en una unidad de tiempo y la segunda dice la n-ésima llegada ocurrió antes del tiempo 1, mientras que la (n+1)-ésima llegada ocurrió después del tiempo 1. Claramente estos dos enunciados son equivalentes. Proceda ahora a generar tiempos de ínter-arribo exponenciales hasta que alguna llegada, llámese n+1, ocurra después del tiempo 1, entonces haga N=n.

Para aplicaciones de generación eficiente, la relación obtenida es simplificada usando la ecuación Ai=(-1/α)lnRi, de manera que se obtiene:

Que si multiplicamos toda la desigualdad por –α, los signos de la misma se invierten, quedando:

Y aplicando la propiedad de los logaritmos, que la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto, queda:

Y para eliminar el ln se aplica la exponencial e a la expresión anterior, y finalmente:

El procedimiento para generar variables aleatorias tipo Poisson, N, esta dado por los siguientes pasos:

Paso 1. Hacer n=0, P=1.Paso 2. Generar un numero aleatorio Rn+1 y sustituya P por P*R n+1.

Paso 3. Si P < e-α, se acepta N=n. Caso contrario, se rechaza el n actual, se incrementa n por uno y se regresa al paso 2.

Observe que al final del paso 2, P representa el lado derecho de la desigualdad obtenida. Se vuelve a manifestar la idea de la técnica de rechazo en el paso 3, para los valores de P mayores del valor de la exponencial dada.

Para obtener la cantidad de números aleatorios que se deben generar, en promedio, para generar una variable aleatoria tipo Poisson, N, se considera que para N=n es necesario generar n+1 números aleatorios, de manera el número promedio esta dado por:

E(N+1)= α +1

La cual es bastante grande si el promedio, α, de la distribución Poisson es grande.

Ejemplo 1:

Generar tres variables Poisson con media α=0.2. Primero se calcula e-α, que es igual a 0.8187. Después se obtiene la secuencia de números aleatorios R obtenidos por el método congruencial y siguiendo los pasos 1 a 3 ya mencionados:

Paso 1. Hacer n=0, P=1.Paso 2. R1 = 0.4357, P=1* R1=0.4357.

Paso 3. Ya que P= 0.4357 < e-α = 0.8187, se acepta N=n.

De la misma manera se procede para todos los números aleatorios, obteniéndose una tabla como la siguiente:

n Rn+1 P Aceptación/Rechazo Variable resultante0 0.4357 0.4357 P < e-α (se acepta) N=00 0.4146 0.4146 P < e-α (se acepta) N=00 0.8353 0.8353 P ≥ e-α (se rechaza)1 0.9952 0.8313 P ≥ e-α (se rechaza)2 0.8004 0.6654 P < e-α (se acepta) N=20 0.7945 0.7945 P < e-α (se acepta) N=0

Se observa que 6 números aleatorios, R, se generan cuatro variables Poisson (N=0, N=0, N=2, N=0), pero en una corrida larga, para generar por ejemplo 1000 variables Poisson con media α=0.2, se requerirán aproximadamente 1000(α +1) o sea 1200 números aleatorios.

Ejemplo 2:

Los autobuses llegan a la parada de Profra. Fajardo y Diego José Abad de acuerdo a un proceso Poisson con media de un autobús cada 15 minutos. Generar una variable aleatoria, N, la cual represente el número de autobuses llegando durante el lapso de 1 hora de tiempo. Así, N es la distribución Poisson con media de 4 autobuses por hora. Primero se calcula e-α = e-4, que es igual a 0.0183. Después se obtiene la secuencia de 12 números aleatorios R obtenidos por cualquier método, obteniéndose una tabla como la siguiente:

n Rn+1 P Aceptación/Rechazo Variable resultante0 0.4357 0.4357 P ≥ e-α (se rechaza)1 0.4146 0.1806 P ≥ e-α (se rechaza)2 0.8353 0.1508 P ≥ e-α (se rechaza)3 0.9952 0.1502 P ≥ e-α (se rechaza)4 0.8004 0.1202 P ≥ e-α (se rechaza)5 0.7945 0.0955 P ≥ e-α (se rechaza)6 0.1530 0.0146 P < e-α (se acepta) N=60 0.9834 0.9834 P ≥ e-α (se rechaza)1 0.7075 0.6957 P ≥ e-α (se rechaza)

2 0.0556 0.0387 P ≥ e-α (se rechaza)3 0.3091 0.0119 P < e-α (se acepta) N=30 0.5542 0.5542 P ≥ e-α (se rechaza)1 0.7137 0.3955 P ≥ e-α (se rechaza)2 0.9367 0.3705 P ≥ e-α (se rechaza)3 0.7406 0.2744 P ≥ e-α (se rechaza)4 0.8488 0.2329 P ≥ e-α (se rechaza)5 0.0461 0.0107 P < e-α (se acepta) N=50 0.2125 0.2125 P ≥ e-α (se rechaza)1 0.5156 0.1095 P ≥ e-α (se rechaza)2 0.5843 0.0604 P ≥ e-α (se rechaza)3 0.1406 0.0090 P < e-α (se acepta) N=3

Se observa que 21 números aleatorios, R, se generan cuatro variables Poisson (N=6, N=3, N=5, N=3), pero en una corrida larga, para generar por ejemplo 1000 variables Poisson con media α=4, se requerirán aproximadamente 1000(α +1) o sea 5000 números aleatorios.

3.3.3 Procedimientos Especiales

Están basados en características de familias particulares de distribuciones de probabilidad. Ejemplos de ellos son la transformación directa y el método de convolución.

3.3.3.1 Transformación Directa

Es utilizada principalmente para distribuciones de probabilidad Normal y Lognormal, de la manera siguiente:

Distribución Normal

Este método se basa en el Teorema de Pitágoras, las variables involucradas en él se muestran en la figura siguiente:

Geométricamente,

La suma de ν variables aleatorias normales sigue una distribución Chi-cuadrada con ν grados de libertad, así:

La función de densidad de una variable aleatoria Chi-cuadrada con 2 grados de libertad es equivalente a una distribución exponencial con media de 2. En consecuencia, utilizando la ecuación obtenida por el método de la transformada inversa para generar variables aleatorias exponenciales, que sustituida en la ecuación anterior, se obtiene:

Se generan valores aleatorios uniformes del ángulo θ entre 0 y 2π, también mediante el método de transformada inversa:

Y sustituyendo se obtiene:

Para cualquier variable aleatoria normal N,

Al despejar N y sustituir el valor de z previamente desarrollado, se llega a la expresión final para la generación de variables aleatorias normales:

Este procedimiento puede iniciarse también a través de la generación de la variable aleatoria z1, lo cual dará lugar a la ecuación:

De manera que con cada par de números aleatorios se puede generar variables aleatorias normales con la media y la desviación estándar conocidas.

Distribución Lognormal

Este método se basa en el anterior, las variables involucradas en él se obtienen respecto del resultado anterior, es decir:

Por lo que se necesita obtener la variable de tipo normal y el valor obtenido se usa como exponente de la exponencial.

3.3.3.2 Método de Convolución

En algunas distribuciones de probabilidad la variable aleatoria a simular, Y, puede generarse mediante la suma de otras variables aleatorias X, de manera mas rápida que a través de otros métodos. Entonces, el método de convolución puede expresarse como:

Las variables aleatorias de dos de las distribuciones mas conocidas (de Erlang y Binomial) se pueden generar a través de este método, como se vera en lo siguiente:

Distribución de Erlang

La variable aleatoria k-Erlang con media 1/λ, puede producirse a partir de la generación de k variables exponenciales con media 1/kλ:

Lo cual significa que cada valor de la variable tipo k-Erlang se obtiene por medio del producto de k términos 1-Ri.

Ejemplo 1:

El tiempo de proceso de cierta pieza sigue una distribución 3-Erlang con media 1/λ=8 minutos/pieza. Una lista de números pseudo-aleatorios Ri ≈U(0, 1) y la ecuación de generación de valores de variable aleatoria tipo Erlang:

A partir de esta ecuación y el conjunto de números pseudo-aleatorios ya mencionados, se obtiene la siguiente tabla:

Pieza 1-R1 1-R2 1-R3Tiempo de Proceso

(min/pieza)1 0.5165 0.6228 0.7721 3.71432 0.8062 0.2442 0.8767 4.68483 0.4798 0.9392 0.6304 3.35604 0.3396 0.3872 0.4477 7.55325 0.4965 0.6488 0.6659 4.1051

6 0.8378 0.3692 0.2092 7.30107 0.4636 0.2276 0.3399 8.87478 0.4268 0.1442 0.7607 8.16409 0.2736 0.2344 0.3857 9.8654

10 0.2636 0.7716 0.7834 4.897911 0.3085 0.1828 0.2185 11.723612 0.9258 0.4495 0.695 3.308213 0.6976 0.8555 0.912 1.622114 0.2256 0.0305 0.007 26.509015 0.3952 0.4217 0.557 6.338716 0.3752 0.9625 0.8594 3.1201

Distribución Binomial

La variable aleatoria binomial con parámetros N y p puede ser generada a través de la suma de N variables aleatorias con distribución de Bernoulli con parámetro p.

Ejemplo 1:

Al inspeccionar lotes de tamaño N=5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.20. Simular el proceso de inspección para determinar el numero de piezas defectuosas por lote.

Este proceso sigue una distribución binomial con N=5 y p=0.20 y será simulado mediante la generación de variables aleatorias de Bernoulli con p=0.20, de acuerdo con el procedimiento señalado en esta sección, donde BEi=0 representa una pieza en buen estado y BEi=1 a una defectuosa.

Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Lote Ri BE1 Ri BE2 Ri BE3 Ri BE4 Ri BE5Piezas

Defectuosas1 0.8302 1 0.9232 1 0.2298 0 0.2808 0 0.8848 1 32 0.2871 0 0.2426 0 0.8854 1 0.3933 0 0.4684 0 13 0.9398 1 0.3224 0 0.3941 0 0.5314 0 0.2385 0 14 0.6882 0 0.3619 0 0.0971 0 0.9428 1 0.8871 1 25 0.6946 0 0.2469 0 0.0959 0 0.9196 1 0.5664 0 16 0.0808 0 0.6528 0 0.6147 0 0.7856 0 0.7167 0 07 0.3658 0 0.3809 0 0.5084 0 0.847 1 0.7409 0 18 0.8932 1 0.7806 0 0.9336 1 0.1608 0 0.5856 0 29 0.2927 0 0.5673 0 0.1829 0 0.3452 0 0.9163 1 1

10 0.9605 1 0.256 0 0.5536 0 0.6472 0 0.8867 1 2

EJERCICIOS:

0 UTILIZANDO EXCEL, GENERE 100 VALORES DE VARIABLES ALEATORIAS PARA

1. Exponencialmente distribuidas con λ=3.2. Normalmente distribuidas con media 10 y varianza 4.3. Uniformemente distribuidas con limite inferior de 10 y limite superior de 30.4. Triangularmente distribuidas con limite inferior de 5, valor mas probable de 10 y

limite superior de 15.5. Con distribución binomial y parámetros N=5, p=0.3, q=0.7.6. Con distribución Poisson, con α =3.

I APLICAR EL METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

1. Desarrollar un generador de variable aleatoria para una variable X con pdf:

2. Desarrollar un generador de variable aleatoria para una variable X con pdf:

3. Desarrollar un esquema de generación para una distribución triangular con pdf:

4. Desarrollar un generador para una distribución triangular con rango (1, 10) y una media de 4.

5. Dada la siguiente cdf para una variable continua con rango de -3 a 4, desarrollar un generador para la variable X.

6. Dada la cdf siguiente, desarrollar un generador para esta distribución:

7. Dada la pdf siguiente, desarrollar un generador para esta distribución:

8. Desarrollar un generador de variable aleatoria X cuya pdf es:

II APLICAR EL METODO DE ACEPTACION Y RECHAZO

1. La demanda semanal, X, de un artículo de poco movimiento se ha encontrado que tiene una distribución Poisson con una demanda media semanal de 2.5 artículos. Generar 10 valores de X, demanda por semana, usando los números aleatorios de la tabla siguiente:

0.03125 0.48438 0.375 0.95313 0.468750.17188 0.3125 0.14063 0.90625 0.859380.25 0.32813 0.34375 0.54688 0.18750.51563 0.78125 0.23438 0.125 0.703130.21875 0.92188 0.0625 0.89063 0.656250.60938 0 0.078125 0.09375 0.29688

2. Los plazos de entrega se han encontrado que tienen una distribución de Poisson con media de 3.7 días. Generar 10 plazos de entrega aleatorios para esta distribución.

3. El mantenimiento regular de una línea de producción se encontró que varía y puede ser modelada con una distribución de Poisson con una media de 33 minutos. Generar 10 tiempos de mantenimiento aleatorios para esta distribución.

III EJERCICIOS ADICIONALES

Para los siguientes ejercicios, deberán entregarse de manera escrita, utilizando como números aleatorios los obtenidos mediante su programa de generación de números aleatorios con semilla=2*k+1, donde k son los dos últimos números de su numero de control. Incluir dicha lista en la solución del problema.

1. Los tiempos de falla de un proceso de producción automatizado se encuentra que están distribuidos de acuerdo a una distribución Weibull con parámetros beta=2 y alfa=10. Derivar la ecuación correspondiente y utilizarla para generar 10 valores de la variable aleatoria para esta distribución.

2. Los siguientes datos han sido recopilados de tiempos de servicio en la ventanilla de un auto banco en la Cd. de Guadalajara. Los datos están agrupados en intervalos como se indica.

Intervalo (segundos) Frecuencia15-30 1030-45 2045-60 2560-90 3590-120 30120-180 20180-300 10

Estructurar la tabla como en la Tabla siguiente para generar 10 tiempos de servicio aleatorios para este tipo de distribución, utilizando números aleatorios de 4 dígitos.

PRACTICA

Obtener tabla de 20 valores de la variable aleatoria con diferentes valores de alfa, 2 fraccionarios y 3 enteros, indicando en cada caso la cantidad de números aleatorios requeridos para obtener los valores deseados.

α 20( α +1) Números aleatorios requeridos Valores de la Variable aleatoria0.25 24 Mas de 24 0 0 0 1

0 0 0 20 0 0 00 1 0 00 1 1

0.5 30 28 0 0 0 10 0 0 20 0 0 00 1 0 11 1 1 0

2 60 57 0 3 1 12 2 2 03 3 0 02 5 3 31 2 2 2

5 120 116 1 3 3 36 2 5 95 7 5 107 3 7 27 5 3 3

10 220 219 5 7 8 1213 12 16 109 10 8 76 10 9 1612 15 10 4

Semilla = 2*(2 últimos dígitos de tu número de control) +1