Download pdf - III 4 Matriks dan Sistem Persamaan Linier Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier Darpublic Nopember 2013 Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh

1/21

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Matriks dan Sistem Persamaan Linier

Konsep Dasar Matriks

Matriks. Matrik dalam matematika adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam

baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan

sebagai suatu kesatuan. (Istilah matriks kita jumpai pula dalam bahasan tentang material).

Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatu kurung siku (ataupun dengan kurung biasa)

seperti contoh berikut.

123

421

302

;

4

2 ; [ ]423 ;

203

142 (1)

Dalam contoh matriks ini, banyaknya baris matriks yang pertama sama dengan

banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriks bujur sangkar. Yang kedua terdiri

dari dua baris dan satu kolom, disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri

dari satu baris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yang keempat adalah

matriks persegi panjang dengan dua baris dan tiga kolom.

Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga suatu matrik akan

terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemen matriks ini dapat berupa bilangan riil

maupun kompleks, akan tetapi dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat

matriks dengan elemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secara

umum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam matriks. Jika b (b

= 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalah nomer kolom, maka b dan k digunakan

sebagai subscript-ganda elemen matriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama

matriks adalah huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan sebagai

notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut.

A =

123

421

302

; B =

203

142 ; a =

4

2 ; b = [ ]423 (2)

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan

[ ]bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

=

=

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

A (3)

Posisi elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama matriks. Banyaknya baris dan

kolom merupakan ukuran matrik. Dalam contoh (1), berturut-turut kita mempunyai matriks

dengan ukuran 3×3, 2×1, 1×3, dan 2×3. Matriks dengan m = n disebut matriks bujur sangkar,

dan kita katakan matriks ini berordo n. Matriks A pada contoh (2) adalah matriks bujur

sangkar berordo 3.

2/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier


Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan

sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatu matriks. Sebagai contoh, matriks

B =

203

142

mempunyai dua anak matriks 1× 3 , yaitu [ ]142 , [ ]203 ;

tiga anak matriks 2× 1, yaitu

3

2 ,

0

4 ,

2

1;

enam anak matriks 1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

enam anak matriks 1×2 yaitu [ ]42 , [ ]12 , [ ]14 , [ ]03 , [ ]23 , [ ]20 ;

tiga anak matriks 2×2 yaitu

03

42 ,

23

12 ,

20

14.

Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapat memandang matriks sebagai

tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks

A=

123

421

302

dapat kita pandang sebagai matriks

=

3

2

1

a

a

a

A

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris [ ]3021 =a , [ ]4212 =a , [ ]1233 =a .

Dengan cara pandang ini matriks A mirip bentuknya dengan vektor kolom.

Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA = dengan anak-anak

matriks

=3

1

2

1a ,

=2

2

0

2a ,

=1

4

3

3a yang berupa vektor-vektor kolom. Dengan cara ini

matriks A terlihat seperti vektor baris.

Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi Matriks

Kesamaan Matriks. Dua matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika berukuran

sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan kesamaan ini A

= B.

Jika A =

03

42 maka haruslah B =

03

42.

Penjumlahan. Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang

berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua matriks tersebut sama).

Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah

matriks C berukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen

matriks A dan B yang posisinya sama.

Jika A=

03

42 dan B=

22

31, maka C= A + B =

25

73

Penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

3/21


a. ABBA +=+

b. ( ) ( )CBACBA ++=++ (4)

Matriks Nol. Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n

dengan semua elemennya bernilai nol.

Matriks Negatif. Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n

yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1).

Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatif adalah

a). A0A =+

b). 0AAAA =−=−+ )( (5)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar. Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan

matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a

kali. Kita menuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA = Aa.

=

=

646

462

244

2

323

231

122

323

231

122

2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

a. ( ) BABA aaa +=+

b. ( ) AAA baba +=+ (6)

c. [ ] ( )AA abba =

Perkalian Matriks dengan Matriks. Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB

(dalam urutan perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriks A

sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran

p×q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa

matriks yang berukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k merupakan

hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari

matriks B (matriks A dipandang sebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor

baris dan matriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi

jika [ ]baA = dan [ ]kbB = maka [ ] [ ]kbbkc baABC •===

Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kita sebut

menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihat bahwa menggandaawalkan A ke

B tidak selalu sama dengan menggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA.

• Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris [ ]32=a dan

vektor kolom

=

3

4b . Banyaknya kolom a adalah 2, sama dengan banyaknya baris

b, maka perkalian internal bac •= dapat kita lakukan, yaitu



[ ] [ ] [ ]1733423

4 32 =×+×=

=•= bac .

Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan banyaknya baris a,

maka. kita dapat melakukan perkalian

[ ]

=

××××

=

=•=

96

128

3323

342432

3

4abD

Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya operasi demikian ini dapat

dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matriks tidak komutatif.

• Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan

=

43

12A dan

=

3

2b .

Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka perkalian Ab dapat

dilakukan. Matriks A kita pandang sebagai

=

2

1

a

aA , yaitu matrik dengan anak

matriks berupa vektor baris [ ]121 =a dan [ ]432 =a . Perkalian AbC = adalah

=

×+××+×

=

••

=

==

18

7

3423

3122

2

1

2

1

ba

bab

a

aAbc

Jika urutan perkalian dibalik bAD = , perkalian tak dapat dilakukan karena b

terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

• Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan

=

43

12A dan

=

35

24B .

Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B; oleh karena itu kita dapat

melakukan perkalian ABC = . Matriks A kita pandang sebagai

=

2

1

a

aA , yaitu

matrik dengan anak matriks berupa vektor baris [ ]121 =a dan [ ]432 =a . Matriks

B kita pandang sebagai [ ]21 bbB = , yaitu matriks dengan dua anak matriks

berupa vektor kolom

=

5

41b dan

=

3

22b . Perkalian ABC = adalah

[ ]

=

×+××+××+××+×

=

••••

=

==

1832

713

34235443

31225142

2212

211121

2

1

baba

bababb

a

aABC

• Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan

=

231

342A dan

=32

34

21

B . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan banyaknya baris B.

5/21


Kita dapat melakukan perkalian

=

×+×+××+×+××+×+××+×+×

=

==

1717

2525

323321224311

333422234412

32

34

21

231

342ABC

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada perhitungan di atas adalah sebagai

=

2

1

a

aA , [ ]21 bbB = , sehingga [ ]

••••

=

==

2212

211121

2

1 baba

bababb

a

aABC .

Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak

matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari

anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian

dari baris ke kolom.

Sifat Perkalian Matriks. Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut.

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==

( ) ( )CABBCA =

( ) BCACCBA +=+ (7)

( ) CBCABAC +=+

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada

umumnya AB ≠ BA

c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

Matriks-Matriks Khusus

Melihat pada nilai-nilai elemen dari matriks, terdapat beberapa bentuk matriks

khusus.

• Matriks Segitiga. Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga

bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang

elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah

matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan

contoh berikut.

Matriks segitiga bawah :

−=343

011

002

1T

Matriks segitiga atas :

−=

300

310

122

2T

• Matriks Diagonal. Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di

atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh :



=000

010

002

D

• Matriks Satuan. Matriks satuan, disebut juga matriks identitas, adalah

matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Matriks ini dilambangkan

dengan I.

=100

010

001

I

Suatu matrik jika dikalikan dengan matriks satuan akan kembali pada matriks asalnya.

AIAAI == (8)

Putaran Matriks

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks

AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti

pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT.

Jika [ ]bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

=

=

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

A maka [ ]pq

mnnn

m

m

a

aaa

aaa

aaa

=

=

L

LLLL

L

L

21

22212

12111

TA (9)

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

• Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akan menjadi

vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

[ ]

=⇒=3

4

2

342 Taa ; [ ]345

3

4

5T =⇒

= bb

• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor baris sama

dengan jumlah putaran masing-masing vektor.

Jika [ ] [ ]231dan 342 == ba maka [ ]573=+ ba

( ) TTT

2

3

1

3

4

2

5

7

3

baba +=

+

=

=+ .

Secara umum : ( ) TTT baba +=+ (10)

• Putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Putaran hasil kali vektor

baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan

hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik.

7/21


Jika [ ]

==2

3

1

dan 342 ba maka [ ]233412 ×+×+×=ab

⇒ [ ] [ ] TTT

3

4

2

231233412 abab =

=×+×+×=

Jika [ ]231dan

3

4

2

=

= ba maka

×××××××××

=233313

243414

223212

ab

⇒ ( ) [ ] TTT 342

2

3

1

232422

333432

131412

abab =

=

×××××××××

=

Secara umum : ( ) TTT abab = (11)

• Putaran matriks persegi panjang.

Jika

=

231

342A maka

=23

34

12TA

Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dsri vektor baris

=

ma

a

A L

1

maka

putarannya adalah [ ]TT1

TmaaA L= . Di sini terlihat jelas bagaimana baris-baris di

A menjadi kolom-kolom di AT. Sebaliknya, jika matriks A dinyatakan dengan vektor

kolom [ ]maaaA L21= maka putarannya akan berbentuk matriks dengan

anak-anak matriks berupa vektor baris.

• Putaran jumlah matriks. Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah

putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor

baris.

( ) TTT BABA +=+ (12)

Jika [ ]maaA L1= dan [ ]mbbB L1= maka [ ]mm babaBA ++=+ L11 .

Dengan demikian ( )( )

( )TT

T

T1

T

T1

TT

T1

T1

T

T11

T BA

b

b

a

a

ba

ba

ba

ba

BA +=

+

=

+

+=

+

+=+

mmmmmm

LLLL .

• Putaran hasil kali matriks. Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil

kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada

putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

( ) TTT ABAB = (13)



Jika

=

ma

a

A L

1

dan [ ]nbbB L1= maka

••

••=

nmnm

n

baba

baba

AB

L

LLL

L 111

. Dengan

demikian maka [ ] TT1

1111T ABaa

b

b

baba

baba

AB =

=

••

••= m

nnmnm

n

LL

L

LLL

L

• Matriks simetris. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal

kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya

sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila AA =T .

Jika BB −=T dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam

putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak berubah nilai, maka matriks

simetris miring dapat terjadi jika elemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu

set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum sistem persamaan

linier ini adalah

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

=++

=++=++

L

L

L

11

22121

11111

. . . . . . . . . . . (14)

Sistem (14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1

….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan

bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-

bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh b bernilai

nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen.

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1, …xn

yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi

trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul

tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah sebagai berikut.

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi

tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

Memperhatikan sistem persamaan (14) kita dapat melakukan operasi-operasi yang kita

sebut operasi baris sebagai berikut.

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor

bukan nol yang sama tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan

tersebut.

9/21


b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang

lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu

keseluruhan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan

sistem persamaan.

Sistem persamaan (14) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan

pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

=

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

LL

L

LLLL

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

(15)

atau secara singkat bAx = (16)

dengan

=

=

=

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

LL

L

LLLL

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

; ; bxA (17)

Dari (17) kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan,

yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

=

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

|

|

|

|

~

21

222221

111211

L

LLLLL

L

L

A (18)

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier (14) secara lengkap. Operasi-

operasi baris pada sistem persamaan (14) kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan

(18) menjadi sebagai berikut.

a). Setiap elemen dari baris yang sama (18) dapat dikalikan dengan faktor bukan nol

yang sama.

b). Satu baris dari (18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks gandengan baru

ini kita sebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Operasi baris

dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan

yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang

lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan

yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks

gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan

asalnya.



Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem

persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu

sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lihat melalui contoh berikut ini.

Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut.

0234

8253

024

8

=+−+−=−+−

=−+−=−

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

(19)

Sistem persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai

=

−−−−

−−−

0

8

0

8

2341

2531

0241

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

dengan matriks gandeng

−−−−

−−−

0|2341

8|2531

0|0241

8|0011

Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah

mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan

menghilangkan suku pertama baris-baris berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan

menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan

menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

1 baris

1 baris

baris1

pivot

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

+−+

−−−

−−

Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru

saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan

dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3,

dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah

2 baris

2 baris 2/3

pivot

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

−+

−−−

−−

⇒ 3

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

×

−−

−−

Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan menghilangkan

suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11

kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11

pivot

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

+×

−−

−

(20)

11/21


Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:

1616

16611

823

8

==−

=−=−

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xx

yang dengan substitusi mundur akan memberikan: 12 ; 4 ; 2 ; 1 ==== ABCD xxxx .

Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihan

Sistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukan eliminasi Gauss

di atas kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem

tertentu terjadi jika banyaknya unsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya

persamaan dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknya

persamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, maka sistem itu menjadi

kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan

tetapi banyak solusi. Jika banyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang tak

diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang tertentu selalu

mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa

memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi. Berikut ini akan kita lihat contoh

sistem yang memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi

• Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lihat persamaan berikut.

823

024

8

−=+−=−+−

=−

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

(21)

Matriks gandeng dari sistem ini adalah

−−−−

−

8|230

0|241

8|011

Eliminasi Gauss dari matriks gandeng ini kita lakukan seperti pada contoh di atas, yang

akan menghasilkan

−−−

−

8|230

8|230

8|011

⇒

−−

0|000

8|230

8|011

(22)

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

00

823

8

==−

=−

CB

BA

xx

xx

(23)

Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan 3/)28( cb xx += yang kemudian memberikan

3/)28(8 ca xx ++= . Karena xc tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi.

Kita hanya akan memperoleh nilai xa dan xb jika kita menentukan nilai xc lebih dulu.



• Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistem persamaan berikut.

1023

024

8

−=+−=−+−

=−

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

(24)

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

−−−−

−

10|230

0|241

8|011

⇒

−−−

−

10|230

8|230

8|011

⇒

−−

−

2|000

8|230

8|011

(25)

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

20

823

8

−==−

=−

CB

BA

xx

xx

(26)

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu

kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir (26). Hal Ini menunjukkan bahwa

sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti matriks pada (20), (22) dan

(25) disebut bentuk eselon. Dari (25) misalnya, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks

gandengannya adalah

−−

000

230

011

dan

−−

−

2|000

8|230

8|011

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

′′

′

+

m

r

rrnrr

n

n

b

b

bkk

bcc

baaa

|0

|

|0

|

|

|0

|

1

2222

111211

M

L

M

LLL

LLL

(27)

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

13/21


m

r

rnrnrrr

nn

nn

b

b

bxkxk

bxaxc

bxaxaxa

′=

′=′=++

′=++=+++

+

0

0

1

22222

11212111

M

L

M

LLLL

LLLL

(28)

dengan 0 , 0 ,0 2211 ≠≠≠ rrkaa , dan r ≤ n. Kita perhatikan (28) ini.

a). Jika nr = dan mr bb ′′+ ,,1 K sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan

ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika nr < dan mr bb ′′+ ,,1 K sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan

ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika nr = ataupun nr < dan mr bb ′′+ ,,1 K tidak sama dengan nol atau mempunyai

nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika mr bb ′′+ ,,1 K sama dengan nol atau

tidak ada. Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi

jika nr = ; jika nr < akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriks

gandengan pada (27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam

matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor

Misalkan maaa , , 21 L adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita

tinjau suatu persamaan vektor

02211 =+++ mmccc aaa L (29)

Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c1 … cm) bernilai nol, maka

vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat

dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada

satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari

vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini

dapat dimengerti karena dalam persamaan (29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektor-

vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (29) (atau setidak-tidaknya

sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari

vektor yang lain; misalnya vektor a1 dapat dinyatakan sebagai

01

21

21 =−−−= m

m

c

c

c

caaa L (30)

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol

Kita ambil contoh dua vektor baris

[ ]21321 =a dan [ ]26242 =a

Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena



[ ] [ ] 026242132 212211 =+=+ cccc aa hanya akan terjadi jika 021 == cc

Ambil vektor ketiga [ ]42643 =a . Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat

menyatakan a3 sebagai [ ] [ ]4264213222 13 === aa . Vektor a1, a2 dan a3 juga

tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

[ ] [ ] [ ]42642624 02132 202 213 =+=+= aaa

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

Kita lihat vektor lain yaitu [ ]55764 =a . Vektor a4 , a1 dan a2 tidak bebas linier karena

kita dapat menyatakan a4 sebagai

[ ] [ ] [ ]55762624 5.02132 25.02 214 =+=+= aaa

Rank matriks. Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank

matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank

matriks A disingkat rank A. Rank matriks B = 0 adalah nol.

Bagaimanakah menentukan rank suatu matriks? Kita mengetahui bahwa operasi baris

menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa

rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris

tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris,

yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung

vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.

Kita ambil contoh matriks pada (20), (22) dan (25).

• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (20), yaitu dari sistem

persamaan yang memberikan solusi tunggal, adalah

−−

−

16000

61100

0230

0011

dan

−−

−

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4.

Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu

4.


persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah

−−

000

230

011

dan

−−

0|000

8|230

8|011

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2.

Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.


persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

15/21


−−

000

230

011

dan

−−

−

2|000

8|230

8|011

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank

matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak

samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Kita melihat

bahwa

(a) agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus

sama dengan rank matriks gandengannya;

(b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien

harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

(c) jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka

akan diperoleh banyak solusi.

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari sistem seperti

(14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem

persamaan homogen berbentuk

0

. . . . . . . . . . .

0

0

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

L

L

L

(31)

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

=

0|

|

0|

0|

~

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLLL

L

L

A ( 32)

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

′

′′′′′

=′

0|000

|

0|0

0|

~ 222

11211

mn

n

n

a

aa

aaa

LLLLL

L

L

A (33)

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r

= n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk



0

0

0

2222

1212111

=′

=′++′=′++′+′

nmn

nn

nn

xa

xaxa

xaxaxa

M

L

L

(34)

Dari (34) terlihat bahwa 0=nx dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x

bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan

bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika nr < . Kita akan melihat beberapa

contoh.

• Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivial

0234

0253

024

0

=+−+−=−+−

=−+−=−

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

(35)

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

−−−−

−−−

0|2341

0|2531

0|0241

0|0011

⇒ eliminasi Gauss ⇒

−−

−

0|16000

0|61100

0|0230

0|0011

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem

persamaan liniernya menjadi

016

0611

023

0

==−

=−=−

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xx

⇒ yang akhirnya memberikan 0==== ABCD xxxx (36)

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr = .

• Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivial

06134

0253

024

0

=+−+−=−+−

=−+−=−

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

(37)

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

−−−−

−−−

0|61341

0|2531

0|0241

0|0011

⇒eliminasi Gauss ⇒

−−

−

0|0000

0|61100

0|0230

0|0011

dan sistem persamaan menjadi

17/21


00

0611

023

0

==−

=−=−

DC

CB

BA

xx

xx

xx

(38)

Jika kita mengambil nilai 1=Dx maka akan diperoleh 33

12 ;

33

12 ;

11

6 === ABC xxx . Solusi

ini membentuk vektor solusi

=

1

11/6

33/12

3312

1

/

x yang jika digandaawalkan dengan matriks

koefisiennya akan menghasilkan vektor nol b = 0.

=

−−

−

=

0

0

0

0

1

6/11

12/33

12/33

0000

61100

0230

0011

1Ax (39)

Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya 33=Dx akan diperoleh vektor solusi

yang lain, yaitu 12 33

33

18

12

12

xx =

= , yang jika digandaawalkan dengan matriks koefisiennya

juga menghasilkan vektor nol.. Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi

sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai

sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1xx cc = (40)

dengan c adalah skalar sembarang.

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor

solusi, misalnya x1 dan x2.

111213 3433

33

18

12

12

1

11/6

33/12

33/12

xxxxxx =+=

+

=+= (41)

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan

hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan

menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

∑= cj xx (42)

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen

membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu

vektor solusi dengan skalar (40) dan penjumlahan vektor-vektor solusi (42). Kita katakan

bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor. Dalam

sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk

adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali



skalar dengan vektor x1 walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana

terlihat pada (41).

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan

berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank

matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak

diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kita akan melihat kasus

yang lain.

• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihat sistem berikut.

04107

0254

0254

0

=+−+−=−+−

=+−+−=−

DCBA

DCBA

DCBA

BA

xxxx

xxxx

xxxx

xx

(43)

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

−−−−

−−−

0|41071

0|2541

0|2541

0|0011

⇒ eliminasi Gauss ⇒

−−

0|0000

0|0000

0|2530

0|0011

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan

menjadi

00

00

0253

0

==

=+−=−

DCB

BA

xxx

xx

(44)

Jika kita memberi nilai 0dan 1 == DC xx , kita akan mendapatkan 5/3 ; 3/5 == AB xx .

Vektor

=

0

1

3/5

3/5

1x adalah salah satu vektor solusi; jika kita gandaawalkan matriks koe fisien

dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor 0b =

=

+−+−

=

−−

=

0

0

0

0

0

0

0550

3/53/5

0

1

3/5

3/5

0000

0000

2530

0011

1Ax

Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan 0xA =11k , 0xA =12k , dan

0)( 111211211 ==+=+ xAxAxAxA ckkkk . Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi,

maka )( , , 12111211 xxxx kkkk + adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita

tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai 0dan 1 == DC xx .

19/21


Jika 1dan 0 == DC xx akan kita peroleh 3/2−=Bx dan 3/2−=Ax yang membentuk

vektor solusi

−−

=

1

0

3/2

3/2

2x . Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-

vektor solusi yang lain seperti )( , , 22212221 xxxx llll + .

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

21 xxx lk += (45)

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwa solusi sistem

persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan

membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).

Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan

Pengertian tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan

pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan

untuk matriks bujur sangkar n × n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika

digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A

dituliskan sebagai A−1

sehingga definisi ini memberikan relasi

11 −− == AAIAA (45)

Jika A berukuran n × n maka A−1

juga berukuran n × n dan demikian pula matriks

identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki

kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut

matriks singular.

Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain

kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A

mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal

ini hanya mungkin terjadi jika P = Q.

QQIAPQQAPPAQIPP ====== )()( (46)

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu

sistem persamaan linier tak homogen, yaitu

bAx = (47)

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan (47), akan kita

peroleh

bAxIxbAAxA 111 −−− ==→= (48)

Persamaan (48) menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem

persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi

persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak

singular dan bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.



Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A pada (47)

adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama

dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada (48) dapat kita peroleh jika rank A−1

sama

dengan n. Dengan perkataan lain

matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A sama dengan n dan

akan singular jika rank A lebih kecil dari n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan.

Metoda ini didasari oleh persamaan (47). Jika X adalah kebalikan matriks A maka

IAX =

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan [ ]IAA =~ dan kita lakukan eliminasi Gauss

pada A~

sehingga matriks gandengan ini berubah menjadi [ ]HU dengan U berbentuk

matriks segitiga atas. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [ ]HU dengan

mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.

Langkah akhir ini akan menghasilkan [ ]XI . Perhatikan contoh berikut.

Kita akan mencari kebalikan dari matriks

−−=

142

223

221

A

Kita bentuk matriks gandengan [ ]IA

[ ]

−−=

100|142

010|223

001|221

IA

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2

1 baris3

pivot

102|580

013|480

001|221

×+×−

−−− ⇒

2 baris

pivot

111|100

013|480

001|221

+

−−−−

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)8/1(

111|100

08/18/3|2/110

001|221

−×

−− ⇒ baris35.0

3 baris2

111|100

2/18/58/7|010

223|021

×−×−

−−−−−

2 baris2

111|100

2/18/58/7|010

18/68/10|001 ×−

−−−

−−

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu :

−−−

−−=−

111

2/18/58/7

18/68/101A

Hasil ini dapat kita teliti balik dengan menggandaawalkannya dengan matriks A

21/21


=

++−+−−−+−−−−++−

−−−++−=

−−

−−−

−−=−

100

010

001

122422231

2/18/108/1428/108/1418/158/7

18/128/2048/128/2028/188/10

142

223

221

111

2/18/58/7

18/68/101AA

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan

matriksnya

=

−−

0

0

8

142

223

221

3

2

1

x

x

x

vektor solusinya adalah

−=

−−−

−−=

−−=

−

8

7

10

0

0

8

111

2/18/58/7

18/68/10

0

0

8

142

223

221

1

3

2

1

x

x

x

Kebalikan matriks diagonal. Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita

peroleh.

=

−

nnnn a

a

a

a

/100

00

00/1

00

00

00 111

11

LL (49)

Kebalikan dari kebalikan matriks. Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu

sendiri.

( ) AA =−− 11 (50)

Kebalikan dari perkalian matriks. Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah

perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

( ) 111 −−− = ABAB (51)

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

( )( ) 1−= ABABI

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 111111

11

111111

−−−−−−

−−

−−−−−−

===

=

===

ABABIABBBAB

ABBA

ABIBABBAAABABAIA