Transcript

172

IX.MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

Dintre mişcările particulare ale corpurilor rigide, cele mai frecvent

întâlnite sunt cele înscrise în tabelul 9.1 Tabelul 9.1

Familia de

mişcare

Mişcări particulare Exemple Definiţie

Translaţie curbilinie

Un solid este în mişcare de translaţie într-un reper R, dacă tot timpul mişcării o dreaptă oarecare a solidului rămâne paralelă cu poziţia ei iniţială.

Translaţie rectilinie

Toate punctele solidului se deplasează după linii paralele între ele. Tr

ansla

ţia

Translaţie circulară

Toate punctele solidului se deplasează după curbe geometrice identice ori superpozabile.

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

173

Familia de mişcare

Mişcări particulare Exemple Definiţie

Rotaţia

Rotaţie cu axă

fixă

Toate punctele solidului descriu cercuri concentrice cu centrele pe axa de mişcare.

Mişc

are

plan

ă

Mişcare plan-

paralelă

Toate punctele solidului se deplasează în plane paralele între ele.

Alte mişcări ale rigidului întâlnite în studiul cinematicii corpurilor şi

sistemelor de corpuri, sunt:

• mişcarea elicoidală; • mişcarea rigidului cu punct fix; • mişcarea generală.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

174

174

9.1 Mişcarea de rotaţie cu axă fixă

9.1.1 Studiul general al mişcării. Grade de libertate

Un rigid efectuează o mişcare de rotaţie cu axă fixă, dacă două

puncte ale sale O1 şi O2 (deci o axă a sa ), rămân fixe tot timpul mişcării, (fig.9.1). Axa fixă se numeşte axă de rotaţie.

Fig.9.1 Mişcarea de rotaţie cu axă fixă Deoarece poziţia rigidului la un moment dat este complet precizată

cu ajutorul unghiului θ =θ(t), rezultă că în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rigidul are un singur grad de libertate.

De asemenea, deoarece: 0 a ; 0v o0 == (9.1)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

175

iar conform fig.9.1: kωω = şi kεε = (9.2)

Rezultă că în cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă, ω este un vector dirijat după axa de rotaţie iar modulul său este viteza unghiulară ω = θ& . De asemenea, se remarcă faptul că vectorii ω şi ε sunt coliniari tot timpul mişcării.

9.1.2 Studiul distribuţiei de viteze

Distribuţia de viteze în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă din relaţia generală a lui Euler pentru distribuţia de viteze :

r x ωvv o +=

(9.3)

în care se ţine seama de relaţiile (9.1) şi (9.2), obţinându-se : r x v ω= (9.4) Din relaţia (9.4) rezultă că vectorul viteză v este perpendicular pe planul definit de vectorii ω şi r şi are modulul : d d sin r v ⋅=⋅=⋅⋅= θωαω &

(9.5) unde braţul d se află în planul definit de vectorii ω şi r iar vectorul v este perpendicular de O’M. Aceste rezultate, similare cu cele din mişcarea circulară a punctului material, justifică sensul fizic al vectorului ω , ca vector ce caracterizează mişcarea de rotaţie a rigidului şi denumirea acestuia de vector viteză unghiulară.

Expresiile analitice ale vitezei se obţin din dezvoltarea determinantului :

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

176

176

z y x

0 0 k j i

r x v ωω ==

(9.6) de unde: ; 0 v ; x v ; y - v zyx === ωω (9.7)

9.1.3 Studiul distribuţiei de acceleraţii

Distribuţia de acceleraţii în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă din relaţia generală a lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii:

) r x ( x r x aa o ωωε ++=

(9.8)

în care se ţine seama de relaţiile (9.1) şi (9.2), obţinându-se : ) r x ( x r x a ωωε += (9.9) unde r x ε , reprezintă componenta tangenţială a acceleraţiei, iar ) r x ω x ( ω reprezintă componenta normală a acesteia (axipetă).

Expresiile analitice ale acceleraţiei rezultă din dezvoltarea

determinanţilor :

0 x -yω

ω 0 0 k j i

zy x

ε0 0 k j i

a ω

+=

(9.10) de unde: 0 a ; y - x a ; x - y- a z

2y

2x === ωεωε

(9.11)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

177

Din studiul distribuţiei de viteze şi de acceleraţii rezultă că în mişcarea de rotaţie cu axă fixă, vectorii viteză şi acceleraţie aparţin unor plane paralele cu planul xOy, iar punctele situate pe axa de rotaţie au viteze şi acceleraţii nule. Observaţie: În construcţia de maşini, pentru maşinile rotative, în mod curent se dă turaţia exprimată în rot/min. Relaţia de legătură între viteza unghiulară şi turaţie se obţine considerând că mişcarea este efectuată într-un minut:

30

n ⋅=

πω unde ω se măsoară în rad/s iar rotaţia în rot/min.

9.2 Mişcarea elicoidală

9.2.1 Studiul general al mişcării. Grade de libertate

Un rigid efectuează o mişcare elicoidală, dacă două puncte ale

sale O1 şi O2 (deci o axă a sa ), rămân tot timpul mişcării pe o dreaptă presupusă fixă, (fig.9.2) numită axa mişcării elicoidale.

Fig.9.2 Mişcarea elicoidală

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

178

178

Mişcarea elicoidală se poate considera ca fiind compusă din următoarele mişcări :

• translaţie de-a lungul axei mişcării, originea sistemului mobil deplasându-se pe axa Oz după legea:

zo = zo(t) (9.12)

• rotaţie în jurul axei mişcării, definită de parametrul : θ=θ(t)

(9.13) Astfel, corpul înaintează şi se roteşte simultan faţă de axa notată Oz

în fig.9.2, iar poziţia rigidului este definită cu ajutorul parametrilor independenţi zo = zo(t) şi θ = θ (t), rezultând că în această mişcare, rigidul are două grade de libertate.

Analog cu mişcarea de rotaţie cu axă fixă şi în acest caz :

k şik εεωω == (9.14)

iar viteza şi acceleraţia originii sistemului mobil sunt :

ka k z a ; k v k z v ooooo ⋅==⋅== &&&0 (9.15) Rezultă că în cazul mişcării elicoidale, vectorii ov şi ω sunt coliniari, tot timpul fiind dirijaţi după axa mişcării.

9.2.2 Studiul distribuţiei de viteze

Distribuţia de viteze în mişcarea elicoidală rezultă din relaţia generală (9.3) în care se ţinea seama de (9.14) şi (9.15), rezultând expresiile analitice ale vitezei :

z y x

0 0 k j i

kv r x vv oo ωω +=+=

(9.16)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

179

de unde : ; v v ; x v ; y - v ozyx === ωω (9.17)

9.2.3 Studiul distribuţiei de acceleraţii

Distribuţia de acceleraţii în mişcarea elicoidală rezultă din relaţia

generală (9.8) în care se ţinea seama de (9.14) şi (9.15), rezultând expresiile analitice ale acceleraţiei :

0 x y-

0 0 k j i

z y x

0 0 k j i

kaa o

ωωωε ++=

(9.18)

de unde : oz2

y2

x a a ; y - x a ; x - y- a === ωεωε (9.19)

Din studiul vitezelor şi acceleraţiilor unor puncte aparţinând rigidului în mişcare elicoidală, rezultă că distribuţia de viteze şi acceleraţii se obţine prin suprapunerea unui câmp de rotaţii efectuate în jurul axei mişcării, peste un câmp de translaţii, efectuate în lungul aceleiaşi axe.

9.3 Mişcarea plan-paralelă 9.3.1 Studiul general al mişcării. Grade de libertate

Un rigid efectuează o mişcare plan-paralelă dacă trei puncte

necoliniare ale sale (deci un plan P al său), rămân tot timpul mişcării, conţinute în acelaşi plan P1 , fix în spaţiu, (fig.9.3).

Oxyz – sistem de referinţă mobil ; O1x1y1z1 – sistem de referinţă fix.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

180

180

Fig.9.3 Mişcarea plan-paralelă

Poziţia rigidului la un moment dat este complet determinată de vectorul de poziţie j)t(y i)t(x)t(r ooo 11 ⋅+⋅= şi de unghiul θ=θ(t) dintre axele sistemului mobil şi ale sistemului fix. Rezultă că pentru definirea mişcării plan-paralele sunt necesare trei funcţii scalare independente

(t) ; )t(y y ; )t(xx oooo θθ === şi deci, rigidul are trei grade de libertate.

Vectorii o0 a v şi , aferenţi originii O a sistemului mobil, sunt conţinuţi în planul xOy şi, în consecinţă, se poate scrie că :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

=+=

0)

0)

OzOyOxo

OzOyOxo

a(ja iaa

v(jv ivv

(9.20)

iar conform fig.9.3: k şik εεωω == (9.21)

Rezultă că în cazul mişcării plan-paralele, vectorii ω şi ε au direcţia perpendiculară pe planul mobil xOy, ca în cazul mişcării de rotaţie, iar vectorii ω v şi0 sunt ortogonali.

9.3.2 Studiul distribuţiei de viteze 9.3.2.1 Studiul analitic al vitezelor

Distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă rezultă din relaţia lui Euler pentru distribuţia de viteze în mişcarea generală în care, ţinând seama de (9.20) şi (9.21), se obţine :

zy x

0 0 k j i

jvivr x vv OyOxo ωω ++=+=

(9.22) de unde rezultă expresiile analitice ale proiecţiilor vectorului viteză pe axele sistemului mobil :

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

181

; 0 v ; x vv ; y -v v zOyyOxx =+== ωω (9.23) Analizând relaţiile (7.4) se observă că, în mişcarea plan-paralelă, distribuţia de viteze poate fi considerată ca fiind obţinută prin compunerea unui câmp de viteze specific mişcării de translaţie, cu un câmp de viteze specific mişcării de rotaţie în jurul unei axe perpendiculare pe planul în care s-a efectuat translaţia. Compunerea celor două câmpuri de viteze în acelaşi plan, presupune existenţa unor puncte de viteză nulă, analog mişcării de rotaţie a rigidului. Dacă se notează ζηξ , , coordonatele punctelor pentru care se anulează proiecţiile vitezei, rezultă :

⎩⎨⎧

=+=−

0 v v

Oy

Ox

ξωηω 0

(9.24)

adică : arbitrar ; v

; v

- OxOy === ζω

ηω

ξ

(9.25) respectiv, rezultă că în planul mobil există un punct );(I ηξ de viteză nulă, numit centru instantaneu de rotaţie ( C.I.R. ) iar în general, aceste puncte de viteză nulă sunt situate pe o dreaptă Δ, perpendiculară în I pe planul xOy, numită axa instantanee de rotaţie. Punctul I şi dreapta Δ nu sunt fixe, deoarece ω, vOx şi vOy sunt funcţii de timp. Cea mai importantă proprietate a centrului instantaneu de rotaţie este aceea că faţă de acest punct, mişcarea plan-paralelă se reduce la o mişcare de rotaţie.

Deci, la un moment dat, faţă de C.I.R. distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă este identică cu cea din mişcarea de rotaţie, ca şi cum planul mobil s-ar roti în jurul punctului I cu viteza unghiulară ω.(fig.9.4)

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

182

182

Fig.9.4 Centrul instantaneu de rotaţie în mişcarea plan-paralelă

Din fig. 9.4 rezultă că poziţia C.I.R. se poate determina şi grafic, acest punct fiind situat la intersecţia perpendicularelor pe direcţiile vitezelor unor puncte ce aparţin rigidului aflat în mişcare plan-paralelă.

9.3.2.2 Studiul vectorial al vitezelor Se consideră punctele A şi B, (fig.9.5), ce aparţin planului mobil P al

unui rigid aflat în mişcare plan-paralelă. O relaţie între vitezele celor două puncte se poate stabili aplicând formula (7.3), în care vectorul de poziţie r este considerat ca fiind mai întâi OA , apoi OB :

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

OB x vv

OA x vv

oB

oA

ω

ω

(9.26) Scăzând membru cu membru cele două relaţii, se obţine : )OA-OB( x vv AB ω=− (9.27) de unde se deduce relaţia lui Euler pentru distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă : vvv AB x vv BAABAB +=+= sauω (9.28)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

183

BAAB vvv +=

Fig.9.5 Studiul vectorial al vitezelor în mişcarea plan-paralelă

Viteza AB x v BA ω= este perpendiculară pe AB şi reprezintă viteza punctului B faţă de A (sau viteza punctului B în raport cu A), ca şi cum punctul A ar fi fix.

9.3.3 Studiul distribuţiei de acceleraţii

9.3.3.1 Studiul analitic al acceleraţiilor

Distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă rezultă din relaţia lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii în mişcarea generală, ţinând seama de (7.1) şi (7.2) :

) r x ( x r x aa o ωωε ++= =

0 x y-

0 0 k j i

z y x

0 0 k j i

jaia OyOx

ωωωε +++=

(9.29) de unde se obţin proiecţiile acceleraţiei pe axele sistemului mobil :

022 =−+=−−= zOyyOxx a ; yxaa ; xyaa ωεωε (9.30) Analog cu concluziile rezultate la studiul analitic al vitezelor, se pune

problema determinării punctului de acceleraţie nulă din planul xOy, numit centrul (polul) acceleraţiilor.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

184

184

Dacă se notează cu ) ;;(J 0ηξ ′′ centrul acceleraţiilor, din relaţiile (7.11) rezultă :

0a

0a

Oy

Ox

⎪⎩

⎪⎨⎧

=′−′+

=′−′−2

2

ωηεξ

ωξεη

(9.31)

iar în urma rezolvării sistemului se obţin coordonatele centrului acceleraţiilor :

42

2

42

2

ωεεω

ηωε

εωξ

+

+=′

+

−=′ OxOyOyOx aa

; aa

(9.32)

Cea mai importantă proprietate a centrului acceleraţiilor este aceea că faţă de acest punct, la un moment dat, distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă este identică cu cea din mişcarea de rotaţie ca şi cum planul mobil s-ar roti în jurul punctului ) ;;(J 0ηξ ′′ cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε .

9.3.3.2 Studiul vectorial al acceleraţiilor Se consideră două puncte, A şi B, (fig.9.6), ce aparţin planului mobil

P al unui rigid aflat în mişcare plan-paralelă. O relaţie între acceleraţiile celor două puncte se poate stabili aplicând formula (7.10), în care vectorul de poziţie r este considerat ca fiind mai întâi OA , apoi OB :

OB - )OB ( OB x a) OB x ( x OB x aa

OA - )OA ( OA x a) OA x ( x OA x aa2

ooB

2ooA

ωωωεωωε

ωωωεωωε

⋅++=++=

⋅++=++= (9.33)

Scăzând membru cu membru cele două relaţii, se obţine : )OAOB( x )OA-OB( aa AB −+−=− εω2 (9.34) de unde se deduce relaţia lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă :

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

185

AB x AB aa

sau )OAOB( x )OA-OB( aa

AB

AB

εω

εω

+−=

−+−=2

2

(9.35) care se mai poate scrie : aaaa

tBA

nBAAB ++=

(9.36)

aaaaaatBA

nBAABAAB ++=+=

Fig.9.6 Studiul vectorial al acceleraţiilor în mişcarea plan-paralelă

Vectorii din relaţia (9.36), reprezentaţi şi în fig.9.6, au următoarele caracteristici :

• acceleraţia normală a punctului B faţă de A :

ABanBA

2ω−= este un vector, în general complet cunoscut, ce are:

- modulul : ABva BAn

BA

2

= ,

- direcţia : paralelă cu AB

- sensul : de la punctul B spre punctul A.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

186

186

• acceleraţia tangenţială a punctului B faţă de A : AB x atBA ε= , este

un vector, în general parţial cunoscut, ce are :

- direcţia : perpendiculară pe AB, cunoscută;

- modulul : AB atBA ⋅= ε =ε .AB şi sensul, dependente de sensul

acceleraţiei unghiulare ε , de obicei necunoscute.

9.3.4 Metode de determinare a distribuţiei de viteze şi de acceleraţii. Metoda ecuaţiilor vectoriale, aplicată în cazul mecanismelor plane

9.3.4.1 Studiul distribuţiei de viteze

Metoda ecuaţiilor vectoriale şi a planului vitezelor este o metodă

grafo-analitică ce se bazează pe relaţia lui Euler pentru distribuţia de viteze: vvv AB x vv BAABAB +=+= sauω (9.37) în care : • Av reprezintă vectorul viteză al unui punct A ce aparţine mecanismului

în mişcare plan-paralelă, vector ce este, în general, complet cunoscut (modul, direcţie, sens);

• AB x v BA ω= reprezintă vectorul viteză al unui punct B al mecanismului, faţă de punctul A (sau în raport cu punctul A) ca şi cum punctul A ar fi fix. Acest vector este, în general, parţial cunoscut, deoarece are cunoscută doar direcţia, perpendiculară pe AB, iar modulul şi sensul său sunt necunoscute.

Vitezele diferitelor puncte ce aparţin unui mecanism în mişcare plan-paralelă, se reprezintă într-un plan arbitrar, numit planul vitezelor, ca vectori concurenţi, echipolenţi cu vectorii viteză ai punctelor respective, la o anumită scară notată kv şi numită scara vitezelor. Originea comună a vectorilor din acest plan se numeşte polul vitezelor, se notează pv şi corespunde centrului instantaneu de rotaţie al corpului.

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

187

În planul vitezelor se reprezintă grafic relaţii de forma ecuaţiilor vectoriale (7.18), a căror rezolvare se efectuează pe cale grafică. Deoarece în plan fiecare ecuaţie vectorială este echivalentă cu două ecuaţii scalare, rezultă că se pot determina cel mult două necunoscute aferente mărimilor caracteristice vectorilor (de obicei, modul, direcţie).

În metoda ecuaţiilor vectoriale şi a planului vitezelor se utilizează teorema asemănării (Burmester şi Mehmke), ce se enunţă astfel :

Figura obţinută în planul vitezelor, prin unirea extremităţilor vectorilor viteză ai unor puncte date, este asemenea şi rotită cu π/2 în sensul lui ω, faţă de figura obţinută prin unirea punctelor corespunzătoare aparţinând rigidului aflat în mişcare plan-paralelă. (fig.9.7)

Astfel, pentru figura plană ABC, vectorii viteză CBA v,v,v corespunzători punctelor A, B şi C, (fig.9.7), sunt reprezentaţi în planul vitezelor prin vectorii ,cp ,bp ,ap vvv cu originile în polul vitezelor pv .

Pentru simplificarea demonstraţiei teoremei, scara lungimilor, kl,

respectiv scara vitezelor, kv, pot fi considerate egale cu unitatea . În triunghiurile vectoriale formate în planul vitezelor, se pot scrie

relaţiile :

Fig.9.7 Teorema asemănării ((Burmester şi Mehmke)

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

188

188

BAABvv v v v ap bp ab =−=−= (9.38) deci : AB x v ab BA ω== şi analog, BC x v bc CB ω== , CA x v ca AC ω== (9.39)

Din relaţiile (7.20) rezultă că vectorii ca ,bc ,ab sunt perpendiculari pe vectorii CA ,BC ,AB , respectiv că triunghiurile abc şi ABC sunt asemenea, primul fiind rotit faţa de al doilea cu π/2 în sensul lui ω.

Raportul de asemănare al celor două figuri se determină scriind modulul vectorilor din relaţiile (7.20), adică :

2πωω sinABAB x v ab BA ⋅⋅===

(9.40) de unde rezultă că :

ω=AB

ab şi analog, ωω ==

CA

ca ,

BC

bc

(9.41) respectiv raportul de asemănare :

ω===CA

ca

BC

bc

AB

ab

(9.42) Obs.: Dacă scările kl şi kv sunt diferite de unitate, raportul de

asemănare este l

v

kk

k k

=ωω

ωunde .

Din cele prezentate, rezultă că fiecărui punct din planul vitezelor îi corespunde un punct omolog în planul corpului, astfel: punctului a îi corespunde punctul A, lui b îi corespunde B, iar polului vitezelor pv, centrul instantaneu de rotaţie I .

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

189

9.3.4.2 Studiul distribuţiei de acceleraţii Metoda ecuaţiilor vectoriale şi a planului acceleraţiilor o metodă

grafo-analitică ce se bazează pe relaţia lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii : aaaa

tBA

nBAAB ++=

(9.43) în care s-au utilizat notaţiile :

• ABanBA

2ω−= , pentru acceleraţia normală a punctului B faţă de

punctul A, vector ce are modulul ABva BAn

BA

2

= , direcţia paralelă cu

BA şi sensul de la punctul B spre punctul A. Acest vector este, de obicei, complet cunoscut.

• AB x atBA ε= este acceleraţia tangenţială a punctului B faţă de A,

vector ce are cunoscut doar suportul său, care este perpendicular

pe direcţia BA.

Acceleraţiile diferitelor puncte ce aparţin rigidului în mişcare plan-paralelă, se reprezintă într-un plan arbitrar, numit planul acceleraţiilor, ca vectori concurenţi, echipolenţi cu vectorii acceleraţie ai punctelor respective, la o anumită scară notată ka şi numită scara acceleraţiilor.

Originea comună a vectorilor din acest plan se numeşte polul acceleraţiilor şi se notează pa .

În planul acceleraţiilor se reprezintă grafic relaţii de forma ecuaţiilor vectoriale (8.6), a căror rezolvare se efectuează pe cale grafică. Deoarece în plan, fiecare ecuaţie vectorială este echivalentă cu două ecuaţii scalare, rezultă că se pot determina cel mult două necunoscute, dintre mărimile caracteristice vectorilor (modul, direcţie).

În metoda ecuaţiilor vectoriale şi a planului acceleraţiilor, se utilizează teorema asemănării (Burmester şi Mehmke), care se enunţă astfel :

Figura obţinută în planul acceleraţiilor, prin unirea extremităţilor vectorilor acceleraţie ai unor puncte date, este asemenea şi rotită cu π−ϕ în sensul lui ε, faţă de figura obţinută prin unirea punctelor corespunzătoare aparţinând rigidului aflat în mişcare plan-paralelă. (fig.9.8)

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

190

190

Fig.9.8 Teorema asemănării ((Burmester şi Mehmke) Astfel, pentru figura plană ABC, vectorii acceleraţie CBA a,a,a

corespunzători punctelor A, B şi C, (fig.9.8), sunt reprezentaţi în planul acceleraţiilor prin vectorii ,cp ,bp ,ap vvv ′′′ cu originile în polul acceleraţiilor pa.

Pentru simplificarea demonstraţiei teoremei, scara lungimilor kl, respectiv scara acceleraţiilor ka, s-au considerat egale cu unitatea .

În triunghiurile vectoriale formate în planul acceleraţiilor, se pot scrie

relaţiile :

τBA

nBABAABaa aaa a a ap bp ba +==−=′−′=′′

(9.44) deci : e42

BAn2BA AB ABAB aa ba εωεωτ +=+=+=′′ 2242

şi analog, (9.45) e4e4 CA ac ; BC cb εωεω +=′′+=′′

Din relaţiile (9.45) rezultă că triunghiurile a’b’c’ şi ABC, având laturile

proporţionale, sunt asemenea iar raportul de asemănare al celor două figuri este:

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

191

2εω +=′′

=′′

=′′ 4

CA

ac

BC

cb

AB

ba

(9.46)

Observaţie:

Dacă scările kl , kv şi ka sunt diferite de unitate, raportul de

asemănare este 22

224

ωεε

εω kkk

kk

k k l

v

l

a ===+

unde .

Din cele prezentate, rezultă că fiecărui punct din planul acceleraţiilor îi corespunde un punct omolog în planul corpului rigid aflat în mişcare plan-paralelă, astfel: punctului a’ îi corespunde punctul A, lui b’ îi corespunde B, iar polului acceleraţiilor pa, centrul acceleraţiilor, J , al corpului respectiv .

9.3.5 Aplicaţie. Determinarea distribuţiei de viteze şi de acceleraţii pentru mecanisme plane Determinarea distribuţiei de viteze şi de acceleraţii prin metoda

ecuaţiilor vectoriale şi a planului vitezelor respectiv al acceleraţiilor, este exemplificată în continuare pentru un mecanism plan, respectiv mecanismul bielă–manivelă din fig. 9.9, pentru care se cunosc :

- lungimile barelor : OA=0,3m şi AB=0,45m ; AM=0,30m. - unghiul de înclinare al barei OA faţă de orizontală : θ = 60o : - viteza unghiulară ω=14rad/s, a barei conducătoare OA. a. Reprezentarea mecanismului la scară

Mecanismul se desenează la o scară convenabilă a lungimilor, kl ,

(de exemplu, în fig.9.9, kl=1/10, adică bara OA de lungime 0,3m s-a reprezentat printr-un segment cu lungimea de 3 cm).

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

192

192

Fig.9.9

b. Distribuţia de viteze :

Viteza punctului A este un vector complet cunoscut, având : • modulul, vA= ω OA=14 rad/ s . 0,3m=4,2 m/s; • direcţia, perpendiculară pe OA ; • sensul, este dat de sensul vitezei unghiulare ω. Viteza punctului B este un vector parţial cunoscut, având : • modulul, necunoscut; • direcţia, cunoscută, paralelă cu x x’ ; • sensul, necunoscut. Ecuaţia vectorială aferentă vitezei punctului B se scrie, aplicând

relaţia (9.28), sub forma :

(9.47)

unde cu o singură linie s-au subliniat vectorii parţial cunoscuţi şi cu două linii, vectorul complet cunoscut. De asemenea, sub fiecare vector s-au înscris, fie ca şi cunoscute, fie ca necunoscute, modulul şi direcţia (în această ordine), corespunzătoare vectorului respectiv.

Rezolvarea ecuaţiei (9.47) se efectuează pe cale grafică, în planul vitezelor (fig.9.10b), pentru construirea căruia se parcurg următoarele etape :

- se alege punctul pv în care se reprezintă, la o scară aleasă a vitezelor kv, vectorul viteză al punctului A, adică Av , extremitatea lui

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

193

notându-se cu a ( de exemplu, în fig.9.10, modulul vectorului vA = 4,2 m/s a fost reprezentată cu lungimea de 4,2 cm.).

- prin punctul a se duce o perpendiculară pe direcţia AB şi prin pv, o paralelă la direcţia x x/ , iar intersecţia celor două drepte se notează b.

- se notează vectorii BAv şi Bv obţinuţi şi apoi se măsoară, ţinând seama de scara vitezelor, rezultând : vBA=2,25 m/s şi vB=4,9 m/s.

- se calculează modulul vitezei unghiulare aferentă barei AB,

rad/s 0,45

,ABvBA 5252

2 ===ω , iar sensul acesteia se marchează pe mecanism,

ca în fig.9.10a (ω 2 are sensul în care vectorul vBA antrenează în rotire punctul B în raport cu punctul A, considerat fix ). Observaţie : Viteza unui punct M a cărui poziţie este cunoscută (situat, de exemplu, pe bara AB, la distanţa cunoscută AM faţă de punctul A), se determină utilizând teorema asemănării pentru calculul poziţiei punctului m, situat pe segmentul ab din planul vitezelor:

AB

AMabam amAM

abAB ⋅

=⇒=

Se construieşte apoi vectorul Mv vmp = , care se măsoară, la scara kv a vitezelor.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

194

194

Fig.9.10

c. Distribuţia de acceleraţii :

Acceleraţia punctului A este un vector complet cunoscut, având : • modulul, aA= ω2 OA=142 . 0,3 = 58,8 m/s2; • direcţia paralelă cu OA; • sensul, de la punctul A spre punctul O ; Acceleraţia punctului B este un vector parţial cunoscut, având : • modulul, necunoscut; • direcţia, cunoscută, paralelă cu x x’ ; • sensul, necunoscut. Ecuaţia vectorială aferentă acceleraţiei punctului B se scrie,

aplicând relaţia (9.36), sub forma :

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

195

(9.48)

În ecuaţia (9.48),cu o singură linie s-au subliniat vectorii parţial cunoscuţi şi cu două linii, vectorii complet cunoscuţi. De asemenea, sub fiecare vector s-au înscris, fie ca şi cunoscute, fie ca necunoscute, modulul, direcţia şi sensul (în această ordine), corespunzătoare vectorului respectiv.

Rezolvarea ecuaţiei (9.48) se efectuează pe cale grafică, în planul acceleraţiilor (fig.9.10c), pentru construirea căruia se parcurg următoarele etape :

- se alege punctul pa din care se reprezintă, la o scară aleasă a acceleraţiilor ka, vectorul acceleraţie al punctului A, adică Aa iar extremitatea lui se notează cu a/ (de exemplu, în fig.9.10c, modulul vectorului aA=58,8 m/s2 s-a reprezentat cu lungimea de 29,4 mm).

- prin punctul a/ se duce o paralelă la direcţia AB, pe care se măsoară în sensul de la punctul B spre punctul A, vectorul acceleraţie normală a punctului B în raport cu A, ABan

BA ⋅= 22ω =11,25 m/s2.

- din extremitatea acestui vector se duce direcţia perpendiculară pe AB şi prin polul acceleraţiilor se construieşte direcţia paralelă cu xx’. Punctul de intersecţie al acestor două drepte se notează b/.

- se marchează ca în fig.9.10c toţi vectorii obţinuţi şi se măsoară, ţinând seama de scara acceleraţiilor.

- se calculează acceleraţia unghiulară ABat

BA=2ε , aferentă barei AB,

iar sensul acesteia se marchează pe mecanism, ca în fig.9.10a ( ε 2 are sensul în care vectorul atBA antrenează în rotire punctul B în raport cu punctul A, considerat fix ).

Observaţie: Acceleraţia unui punct M a cărui poziţie este cunoscută (situat, de exemplu, pe bara AB, la distanţa cunoscută AM faţă de punctul A), se determină utilizând teorema asemănării pentru calculul poziţiei punctului m’, situat pe segmentul a’b’ din planul acceleraţiilor:

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

196

196

AB

AMbama ma

AMba

AB ⋅′′=′′⇒

′′=

′′

Se construieşte apoi vectorul Ma amp =′ , care se măsoară, la scara ka a acceleraţiilor.


Recommended