Download pdf - I. Fundamentos matemáticos - laplace.us.eslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/T1/Leccion_I_5_10_11.pdf · Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I) Fuentes vectoriales

I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos

Di i i l Di i i l5. Divergencia y rotacional5. Divergencia y rotacional

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticosI. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos

1.1. Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y Divergencia y rotacionalrotacional

Divergencia. Teorema de Gauss Significado físico de la divergencia

g yg y

g g Fuentes escalares de un campo vectorial

Rotacional. Teorema de Stokes

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

Significado físico del rotacional Fuentes vectoriales de un campo vectorial

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos

® G

a®

Ga

2

Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorialA(r) continuo y derivable (en general)

=i Ai (q1,q2,q3) uiA(r) continuo y derivable (en general)

definición intrínseca: “divA(P)” es flujo de A por unidad de volumen en torno a P

d d

AAn

p

0( )

1lim

P

dd

d

A S div ( )=PA

dS=dSn

()A

P

mide variación neta por unidad de longitud de An

expresión en coordenadas ortogonales:

( )At

r(q1,q2,q3)

Z

O(A·dS)/=(|An|dS)/

expresión en coordenadas ortogonales:3

1 2 3

11 2 3

1 div ( ) i

i i i

h h hA

h h h q h

A r A X

Y

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

Teorema de GaussTeorema de Gaussl fl j d ( ) d i l l

11 2 3 i i ih h h q h

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“el flujo de A(r) a través de es igual a la

integral de div A(r) en el volumen ”


® G

a®

Ga

3

( ) d d

A r S A

Interpretación física del flujo: caso particularInterpretación física del flujo: caso particular

Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad m constante), se mueve

Interpretación física del flujo: caso particularInterpretación física del flujo: caso particular

j p j p ( ),según una distribución de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determínese la masa de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.

Solución:es igual al flujo del campo vec-es igual al flujo del campo vectorial A(r)=mv(r) a través de la superficie .

( )dm

ddt

rA S

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

flujo neto en el sentido de dS:

(dm/dt) > 0

dt

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G (dm/dt)> 0

flujo neto contrario a dS:

(d /dt) < 0


® G

a®

Ga

4

(dm/dt)< 0

Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)

Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)

“perturbaciones escalares” que actúan como causas del campo vectoriallas líneas de campo divergen o convergen en loslas líneas de campo divergen o convergen en los

puntos donde existen fuentes escalares

div A(r)=·A(r) proporciona la distribución de las fuentes escalares de A(r)densidad volumétrica de fuentes escalares

C ) i d f lCaso a) ausencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto Pd id d d t t 1 / 3

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 densidad de masa constante: m=1 gr/cm3

en entra y sale la misma cantidad de agua

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

(( )( )

)dm

ddt

A S 0 div ( )= 0P

dP

d

APP


® G

a®

Ga

5

Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)


Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)

A(r)=mv(r)

Caso b) presencia de fuentes escalares agua fluyendo en torno a un punto F donde

ddSS

agua fluyendo en torno a un punto F donde hay un reactor que actúa como “manantial”H2+O2 H2O (líquida) HH22 OO22

las líneas de A(r) divergen desde F

l á ( )

OO

en sale más agua que entra (m cte.):

ddm

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

FF0 div ( )= 0F

dF

d

A(

( )( ))

dmd

dt

A S

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“div A(F) 0” indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas


® G

a®

Ga

6

Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)


Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)

A(r)=mv(r)

Caso c) presencia de fuentes “negativas” agua fluyendo en torno a un punto S donde

ddSS agua fluyendo en torno a un punto S donde

hay un “sumidero”:H2O (líquida) H2+O2 HH22 OO22

las líneas de A(r) convergen en S

á l ( ) en entra más agua que sale (m cte.) :

di ( ) 0d

S

Adm

d

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

SS0 div ( )= 0S

dS

d

A(

( )( ))

dmd

dt

A S

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“div A(F) 0” indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas


® G

a®

Ga

7

Fuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplosFuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplos

ZFuentes de un “vórtice”Fuentes de un “vórtice”Fuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a)

ZZ

2

1( ) rr

A r u ( ) rA r udS

r r, cte. dSz

r

rP(r,,)

dSr

v v u

YO

C

P(,,z)

dS

X

( )C

v r u

O

dS

cil

( )v u

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

( ) 4 δ( )rA r ( ) 0v r 4d d

A A S

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G ( ) 4 δ( )rA r ( ) 0v rr

0d d v v S fuentes escalares en fuentes escalares en OO

(d id d i fi it )(d id d i fi it )no tiene fuentesno tiene fuentes

ll


® G

a®

Ga

cil

(densidad infinita)(densidad infinita) escalaresescalares

Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)

Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial

Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)

A( )|A=A(r) continuo y derivable en P

definición intrínseca de rotacional:

rot A(P)A(r)|()

( )P rot A 3

( )( )d

S A r 1

0lim

P dSA|()

“rot A(r)” mide la variación neta por unidad de longitud de las componentes r(q1,q2,q3)

Z

O

de A(r) tangenciales a (At

dSA=dSAt ; |dSA|/=|At|dS/A

XY

div A(r)

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

en coordenadas ortogonales:

1 1 2 2 3 31

h h hu u u ()dS=dSn

AnA

div A(r)

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

1 2 3

1 2 3

1 2 31 2 3

1 ( ) q q q

h h hA A Ah h h

rotA r AAt

dSA

t A( )


® G

a®

Ga

9

rot A(r)

Rotacional.Teorema de Stokes (II)Rotacional.Teorema de Stokes (II)

Significado del rotacional: circulaciónSignificado del rotacional: circulación

Rotacional.Teorema de Stokes (II)Rotacional.Teorema de Stokes (II)

n·rotA(P)t A(P)

la circulación por unidad de superficie de A(r) alrededor de S n, es la proyección d ( ) b l di i

( )

P

rot A(P)

de rot A(P) sobre la dirección n

0

1Zlim ( )S S

dd

dS A r r ( )P n rot A dr

PA(P)

0 ( S)SP SdS ( )

Teorema de StokesTeorema de Stokes “el flujo del rot A(r) a través de una superfi-

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 cie es igual a la circulación de A(r) a lo largo de su perímetro ”

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

( )d d

A S = A r r


® G

a®

Ga

10

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial“perturbaciones vectoriales” que actúan como P

n

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)

perturbaciones vectoriales que actúan como causas del campo vectoriallas líneas de campo “giran” en torno a los puntos

P

p g pdonde existen fuentes vectoriales

rot A(r)=A(r) proporciona la distribución de l f i l d A( )

B(r) I

las fuentes vectoriales de A(r)densidad volumétrica de fuentes vectoriales

Ejemplo 1: hil d i t lé t ihil d i t lé t iQ

Ejemplo 1: un hilo de corriente eléctrica es un hilo de corriente eléctrica es fuente vectorial de un campo magnético fuente vectorial de un campo magnético BB((rr))

las líneas del campo son circunferencias

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 las líneas del campo son circunferencias concéntricas alrededor del hilo de corriente

en un punto donde hay corriente (P) 0( )I

PS

rot B n

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

( )Q rot B 0

p y ( )

en un punto donde no hay corriente (Q)

PS


® G

a®

Ga

11

( )Qrot B 0en un punto donde no hay corriente (Q)

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)

ZZFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)

eje de Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería

di ib ió d l id d

eje de simetría

distribución de velocidades: no uniforme A(r)=mv(r)

simétrica respecto del eje longitudinal simétrica respecto del eje longitudinal

ausencia de fuentes vectorialesdistribución simétrica de A(r) en torno a O:

SO

OO

distribución simétrica de A(r) en torno a O:el “molinillo” en O no es movido por el fluido

las líneas de A(r) no giran en torno a O n

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 ( ) gcirculación nula de A(r) en torno a O:(proyección del) rotacional nulo

n

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

( S )

ZO

d

A r 0Z

0( )O

d

dSO n = rot AOO


® G

a®

Ga

12

( S )O O

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)ZZ eje de

simetríaFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)

Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería

f t t i l iti fuentes vectoriales positivas A(r) no es simétrico respecto de P: el “molinillo” en P gira en sentido el “molinillo” en P gira en sentido antihorario

las líneas del campo A(r) “giran” en torno

SP

n

las líneas del campo A(r) giran en torno a P en sentido positivo (respecto de n)

circulación de A(r) en torno a P:

PP

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 circulación de A(r) en torno a P:

( S )Z

Pd

A r 0

Z0( ) d

dSP n = rot APP

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“n·rot A(P) 0” indica presencia de fuente vectorial positiva (con el sentido de n)

( S )PP

PdS


® G

a®

Ga

13

vectorial positiva (con el sentido de n)

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)ZZ eje de

simetríaFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial

Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)

Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería

f t t i l ti fuentes vectoriales negativas A(r) no es simétrico respecto de Q: el “molinillo” en Q gira en sentido horario el “molinillo” en Q gira en sentido horario

las líneas del campo A(r) “giran” en torno a Q en sentido negativo (respecto de n)

SQ

na Q en sentido negativo (respecto de n)

circulación de A(r) en torno a Q:QQ

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

( S )Z

QQ

d

A r 0Z

0( )Q

d

dSQ n = rot AQQ

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“n·rot A(Q) 0” indica presencia de fuente vectorial negativa (con sentido opuesto a n)


® G

a®

Ga

14

g ( p )

Fuentes Fuentes vectorialesvectoriales: ejemplos: ejemplosFuentes Fuentes vectorialesvectoriales: ejemplos: ejemplosFuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a) Fuentes de un “vórtice”Fuentes de un “vórtice”

Z

2

1( ) rA r u ( ) rA r u

dSz , cte.

z, cte.

Z

r

2( ) rr

( ) r

P(r,,)

v v u

, cte.

dS dr|

YO

P(,,z)

v v uz, cte.

dSz

dr|

dr|

X

( )C

v r u ( )v u

O

dr|

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

no tiene fuentesno tiene fuentes

X O

( ) 2d d C v S= v r r( ) 2 δ( )C

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G no tiene fuentes no tiene fuentes

vectorialesvectoriales

( ) A r 0 ( ) 0d d A S= A r r

( )

fuentes vectoriales en fuentes vectoriales en OZOZ

(d id d i fi it )(d id d i fi it )

( ) 2 δ(ρ) zC v r u


® G

a®

Ga

15

( ) A r 0

(densidad infinita)(densidad infinita)

Fuentes Fuentes escalares y vectorialesescalares y vectoriales: ejemplos: ejemplosFuentes Fuentes escalares y vectorialesescalares y vectoriales: ejemplos: ejemplos

Fuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a) Fuentes de un “vórtice”Fuentes de un “vórtice”Z

Z

2

1( ) rr

A r u ( ) rA r u

r

rP(r,,)

YO

( )C

( )

P(,,z)

X

( )

v r u ( )v u

O

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

AA((rr), generado por ), generado por perturbación perturbación escaesca--l ll l OO

X

vv((rr), producido ), producido por perturbaciónpor perturbación

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G lar puntual en lar puntual en OO

( ) A r 0

por perturbación por perturbación vectorial en vectorial en OZOZ ( ) 2 δ(ρ) zC v r u( ) 4 δ( )rA r

( ) 0v r


® G

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Ga

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( )A r 0 ( ) 0v r