Download pdf - Hydrodynamique radiative en physique stellairestephane.brull.pagesperso-orange.fr/Oceane.pdfHydrodynamique radiative en physique stellaire Oc eane Saincir Laboratoire de Math ematiques

Hydrodynamique radiative en physique stellaire

Océane Saincir

Laboratoire de Mathématiques de Reims - URCALaboratoire Univers et Théories - Observatoire de Paris

Co-direction : Laurent Di Menza et Claire Michaut

Modèles aux moments en théorie cinétique

Bordeaux, le 09 novembre 2018

Océane Saincir Hydrodynamique radiative en physique stellaire Bordeaux, le 09 novembre 2018 1 / 36

Plan de la présentation

1 Introduction

2 Equations de l’hydrodynamique radiative

3 Milieux optiquement mince et optiquement très épais

4 Méthodes numériques dans le régime de la diffusion

5 Résultats numériques


Introduction


1 Introduction






Introduction


Jets stellaires

Accrétion de la matière environnanteautour de la proto-étoileEjection d’une partie de la matièrechutant sur l’étoile sous forme de jetsTrajets présentant une succession dechocs et de noeuds

Vents stellaires

Flux continu de matière provenant de lasurface des étoilesDe quelques dizaines à plusieurs milliersde kilomètres par seconde

Jets stellaires c©NASA, ESA, & M. Livio

Vents stellaires c©NASA, ESA, Y. Nazé & Y.-H. C̃huOcéane Saincir Hydrodynamique radiative en physique stellaire Bordeaux, le 09 novembre 2018 4 / 36

Introduction


Chocs d’accrétion

Système binaire : naine blanche + étoilecompagnonNaine blanche arrache de la matière aucompagnonMatière en chute libre à des vitessessupersoniques : onde de choc

Explosions de supernovae

Principales sources d’énergie entretenantl’agitation du milieu interstellaireResponsables de l’enrichissement dumilieu interstellaireOnde de choc qui favorise la formationde nouvelles étoiles

Colonne d’accrétion c©CEA/Animea-F Durillon

RSN c©Digitized sky Survey, ESA/ESO/NASAOcéane Saincir Hydrodynamique radiative en physique stellaire Bordeaux, le 09 novembre 2018 5 / 36

Introduction

Comment étudier ces phénomènes ?

Approche observationnelles

Utilisation d’instruments plus oumoins sophistiqués pour étudierles astres (télescopes)

Astrophysique de laboratoire

Utilisation de laser de puissanceEtudes de chocs, d’instabilités,champs magnétiques, etc.

Approche numérique

Utilisation de codes de calculAu LUTH : code HADES pourl’hydrodynamique radiative

ALMA c©ESO/C. Malin

Laser européen XFEL c©D Nölle/DESY


Equations de l’hydrodynamique radiative


1 Introduction







Modèle hydrodynamique

Système des équations d’Euler :

∂tρ+∇ · (ρu) = 0∂t (ρu) +∇ · (ρ (u⊗ u) + pI) = 0

∂tE +∇ · (u (E + p)) = 0

Décrit l’écoulement d’un fluide de densité ρ, de champ de vitesse u, de pression pet d’énergie totale E.

Relation de fermeture (équation d’état de type gaz parfaits) :

p = (γ − 1)(E − 1

2ρ‖u‖2

)avec γ l’indice adiabatique (γ = 53 pour les gaz monoatomiques).



Transfert radiatif

Equation du transfert radiatif :(1

c

∂

∂t+ n · ∇

)I(t, x;n, ν) = η(t, x;n, ν)︸︷︷︸

Emission

−χ(t, x;n, ν)I(t, x;n, ν)︸︷︷︸Absorption

Trois premiers moments sur l’espace des fréquences et des directions

ER(t, x) =1

c

∫ +∞0

∫S2I(t, x;n, ν) dΩ dν,

FR(t, x) =

∫ +∞0

∫S2I(t, x;n, ν)ndΩ dν,

PR(t, x) =1

c

∫ +∞0

∫S2I(t, x;n, ν) (n⊗ n)dΩ dν,

où ER est l’énergie radiative totale, FR le flux radiatif total et PR la pressionradiative totale.



Transfert radiatif

Intégration de l’équation du transfert sur toutes les directions et fréquences :

∂tER +∇ · FR =∫ +∞0

∫S2

(η − χI

)dΩ dν := −cκP

(E

(0)R − aRT

4)

1

c2∂tFR +∇ · PR =

1

c

∫ +∞0

∫S2

(η − χI

)ndΩ dν := −κRF (0)R /c

Opacités moyennes de Planck etde Rosseland :

κP =

∫νκ(ν)B(ν, T ) dν∫νB(ν, T ) dν

,

κ−1R =

∫νχ−1(ν)∂TB(ν, T ) dν∫ν∂TB(ν, T ) dν

.

Bν(T ) =2hν3

c21

ehνkBT − 1

.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

Longueur d’onde (µm)L

um

inan

ce

(kW

.m−

2.s

r−1.n

m−

1)

T = 5000 K

T = 4000 K

T = 3000 K

Figure – Fonction de Planck.



Relation de fermeture :

P(0)R = DE

(0)R .

Tenseur d’Eddington :

D = 1− χ̄2

I +3χ̄− 1

2

f ⊗ f‖f‖2

avec f =F

(0)R

cE(0)R

.

C. D. Levermore, JQSRT, 1984.

Le facteur d’Eddington χ̄ est obtenu en minimisant l’entropie radiative :

χ̄ =3 + 4‖f‖2

5 + 2√

4− 3‖f‖2.

B. Dubroca and J. Feugeas, CRASM, 1999. G. N. Minerbo, JQSRT, 1978.

On obtient le modèle M1 pour le transfert de rayonnement.



Transfert radiatif

Couplage hydrodynamique avec le modèle M1 :

∂tρ+∇ · (ρu) = 0

∂t (ρu) +∇ · (ρ (u⊗ u) + pI) = κRF (0)R /c

∂tE +∇ · (u (E + p)) = cκP(E

(0)R − aRT 4

)∂tER +∇ · FR = −cκP

(E

(0)R − aRT 4

)∂t(c−2FR

)+∇ · PR = −κRF (0)R /c.

Modèle multigroupe : découpage en fréquences

Grandeurs radiatives ER,g, FR,g et PR,g définiespar intégration sur chaque intervalle[νg−1/2, νg+1/2]Autant de système d’équations pour le transfertque de groupe de fréquencesModèle plus coûteux mais plus précis



Transformations de Lorentz

Relations entre les deux repères :

ν = γν0

(1 +

n0 · uc

)n =

(ν0ν

)[n0 + γ

(1 +

γn0 · u/cγ + 1

)u

c

],

avec γ ≡ 1/(√

1− (‖u‖/c)2).

I(n, ν) = (ν/ν0)3I0(n0, ν0)

η(n, ν) = (ν/ν0)2η0(ν0)

χ(n, ν) = (ν0/ν)χ0(ν0)

ν dΩ dν = ν0 dΩ0 dν0

A l’ordre 1 en (u/c) :

E(0)R = ER − 2

(c−2FR · u

),

F(0)R = γFR − uER − PRu,P

(0)R = PR − u ·

(c−2FR

)T − (c−2FR) · uT .Ainsi que :

G0 = κP(ER − aRT 4

)+ (κR − 2κP ) u ·

(c−2FR

),

G = κRFR/c−[(κR − κP )ER + κPaRT 4

] uc− κRPR

u

c.


Milieux optiquement mince et optiquement très épais


1 Introduction







Transfert radiatif : deux cas asymptotiques

λ : libre parcours moyen des photons,

L : longueur caractéristique du phénomène physique.

Milieu optiquement mince : λ� LFaible interaction entre les photons et le milieuPerte d’énergie mesurée par une fonction de refroidissement

Λ(ρ, p) = Λ0ρ�pζ .

Equations dans un milieu optiquement mince :

∂tρ+∇ · (ρu) = 0

∂t(ρu) +∇ · (ρ(u⊗ u) + pI) = 0

∂tE +∇ · (u(E + p)) = −Λ(ρ, p).

Description du transfert radiatif plus simple.



Régime de la diffusion

Milieu optiquement très épais : λ� LFluide opaque aux photonsPhénomènes radiatifs locaux

F(0)R = −

1

3

c

κR∇E(0)R , P

(0)R =

1

3E

(0)R I, ∂t(c

−2FR) négligeable.

Equations du transfert radiatif dans le régime de la diffusion :

∂tρ+∇ · (ρu) = 0

∂t(ρu) +∇ · (ρ(u⊗ u) + pI) = −1

3∇ER

∂tE +∇ · (u(E + p)) = cκP (ER − aRT 4)

∂tER +∇ ·(4

3uER

)= ∇ ·

(c

3κR∇ER

)− cκP (ER − aRT 4)

Description du transfert radiatif plus simple.



Structure des chocs radiatifs dans les deux régimes

(a) Structure d’un choc radiatifoptiquement mince.

(b) Structure d’un choc radiatifoptiquement très épais.


Méthodes numériques dans le régime de la diffusion


1 Introduction







Méthodes numériques

Forme générale des équations (forme conservative) :

∂U

∂t+∇ · F (U) = S(U),

avec

U = (ρ, ρu, E,ER)T, F (U) =

(ρu, ρ (u⊗ u) + pI,u (E + p) , 4

3uER

)T,

S(U) =

(0,−1

3∇ER, cκP

(ER − aRT 4

),∇·

(c

3κR∇ER

)−cκP

(ER − aRT 4

))T.

Résolution numérique sur un maillage cartésien en dimension 2 d’espace

Splitting pour traiter alternativement la partie homogène et la partie nonhomogène à chaque pas de temps δt



Résolution de la partie homogène ∂tU +∇ · F (U) = 0Approche de type volumes finis et splitting directionnel pour résoudrealternativement en x et en y

Intégration de ∂tU + ∂xF (U) = 0 sur Ij =[xj− 12 , xj+

12

]et entre tn et tn+1

Valeur moyenne de U sur la maille Ij au temps tn :

Unj =1

δx

∫ xj+1

2

xj− 1

2

U(tn, x) dx

Flux à l’interface xj+ 12 :

F (Unj , Unj+1) =

1

δt

∫ tn+1tn

F (U(t, xj+ 12 )) dt

Forme générale :

Un+1j = Unj −

δt

δx

[F (Unj , U

nj+1)− F (Unj−1, Unj )

]Océane Saincir Hydrodynamique radiative en physique stellaire Bordeaux, le 09 novembre 2018 20 / 36


Résolution de la partie homogène ∂tU +∇ · F (U) = 0

Schéma MUSCL-Hancock

Uj(x) = Unj +

x− xjδx

∆j , x ∈[xj− 12 , xj+

12

].

Calcul des valeurs aux extrémités Ugj et Udj , puis

évolution sur δt/2⇒ Ūdj et Ūgj+1.

Calcul des flux

Problème de Riemann à chaque interface avec états constants Ūdj et Ūgj+1.

Approximation de la solution : solveur de type HLLC auquel nous ajoutons la qua-trième contribution portant sur ER.



Partie non homogène

Système à résoudre :

∂t(ρu) = −1

3∇ER

∂tE = cκP (ER − aRT 4)

∂tER = ∇ ·(

c

3κR∇ER

)− cκP (ER − aRT 4)

Résolution implicite :

ρn

δt

(un+1 − un

)+

1

3∂xE

n+1R = 0

1

δt

(ρncv(T

n+1 − Tn) + ρn

2

((un+1)2 − (un)2

))=cκP

2

(En+1R − aR(T

n+1)4)

1

δt

(En+1R − E

nR

)= ∂x

(c

3κnR∂xE

n+1R

)− cκP

2

(En+1R − aR(T

n+1)4).




On utilise : (un+1)2 ' −(un)2 + 2unun+1 et (Tn+1)4 ' −3(Tn)2 + 4TnTn+1

Système matriciel pour ER :[1 +

cκP2δt− ∂x

(c

3κnR∂x

)− 2cκPaRδt(T

n)3

ρncvδt + 2aRcκP (T

n)3

(1

3(un∂x) +

cκP2

)]En+1R

=2cκPaRδt(T

n)3

ρncvδt + 2aRcκP (T

n)3

(ρncvδt

Tn +3

2aRcκP (T

n)4)− 3

2aRcκP (T

n)4 + EnR

Discrétisation de ∂x(

c3κnR

∂x

):

∂x

(c

3κnR∂xf

n+1i

)≈ 1

3

(1

κR

)i+ 12

fn+1i+1 − fn+1i

δx2− 1

3

(1

κR

)i− 12

fn+1i − fn+1i−1

δx2

où (κR)i+ 12= (κR)i+1+(κR)i2 et (κR)i− 12 =

(κR)i+(κR)i−12 .




Discrétisation de un∂x :

(un∂xfn+1)i ≈

1

2unifn+1i+1 − f

n+1i−1

δx− 1

2|uni |

fn+1i+1 − 2fn+1i + f

n+1i−1

δx

Résolution d’un système linéaire tridiagonal.Matrice non symétrique ⇒ décomposition LU.

Mise à jour des grandeurs hydrodynamiques :

un+1 = un − δt3ρn

∂xEn+1R[

ρncvδt

+2aRcκP (Tn)3]Tn+1 =

[1

3(un∂x)+

cκP2

]En+1R +

ρncvδt

Tn+3

2aRcκP (T

n)4

En+1 = ρncvTn+1 +

1

2ρn(un+1)2


Résultats numériques


1 Introduction







Comparaison modèle M1 avec régime de la diffusion

Conditions initiales :

ρg = 168 kg.m−3, ug = 2.10

4 m.s−1, T = 1 eV sur 20 mailles.ρd = 0.168 kg.m

−3, ud = 0 m.s−1, T = 1 eV sur 1080 mailles.

Libre parcours moyen λ = δx = 1.10−6 m, γ = 5/3, µ = 1 et tf = 4.10−8 s.

0 0.5 1 1.5 2

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Distance (m)

Te

mp

era

ture

(K

)

0 0.5 1 1.5 2

x 10−3

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

5

Distance (m)

Ra

dia

tive

En

erg

y (

J.m

−3)

Temps de calcul : 12h sur 16 procs avec le modèle M1 VS 28 min sur 1 proc avecle régime de la diffusion.



Test du tube à choc

A. S. Almgren et al., ApJ, 2010


Deux états constants sur [0, 1] séparés par une discontinuité en x = 0.5.ρg = 1.10 kg.m

−3, ug = 0 m.s−1, T = 1.5× 106 K.

ρd = 1.10 kg.m−3, ud = 0 m.s

−1, T = 3.105 K.Rayonnement en équilibre thermique avec le gaz : ER = aRT

4.

Paramètres :

κP = 108 m−1 et κR = 10

10 m−1, δx = 2.5× 10−3, γ = 5/3 et µ = 1.tf = 2.5× 10−7, 5.10−7 et 1.10−6 s.

Remarque : grandes opacités ⇒ système très proche de l’équilibre sans diffusion(ER ≈ aRT 4 et κR →∞).



Test du tube à choc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Distance (m)

Density (

kg/m

3)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Distance (m)

X v

elo

city (

m/s

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15x 10

8

Distance (m)

Pto

t (P

a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

9

Distance (m)

Radia

tive e

nerg

y (

J/m

3)



Chocs sous-critiques et surcritiques

L. Ensman, ApJ, 1994

Soient T− and T+ les températures observées avant et après le choc. Deux cas :

Vitesse du fluide suffisamment petite, T+ � T− ⇒ choc sous-critiqueVitesse du fluide suffisamment grande, T+ ∼ T− ⇒ choc surcritique


Milieu froid sur[0, 7.108

]m avec ρ1 = 7.78× 10−7 kg.m−3 et T1 = 10 K.

Choc sous-critique : u1 = −6× 103 m.s−1.Choc surcritique : u1 = −2× 104 m.s−1.Rayonnement en équilibre thermique avec le gaz : ER = aRT

4.

Paramètres :

κP = κR = 3.1× 10−8 m−1, 300 mailles, γ = 1.4, µ = 1.

Conditions de bord réflexives pour la vitesse sur le bord gauche.



Chocs sous-critiques et surcritiques

A Gauche : choc sous-critique aux temps 1.7× 104 s, 2.8× 104 s et 3.8× 104 s.

A droite : choc surcritique aux temps 4.0× 103 s, 7.5× 103 s et 1.3× 104 s.

0 1 2 3 4 5

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

Distance (m)

Te

mp

era

ture

(K

)

0 2 4 6 8 10

x 108

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Distance (m)

Te

mp

era

ture

(K

)

Ligne pleine : température T du gaz ; ligne en pointillés : température radiative

TR = (ER/aR)14 .



Cas-test 2D (ondes de choc)


ρ2 = 5.065× 10−8 u2 = 8.939× 103 ρ1 = 1.1× 10−7 u1 = 0v2 = 0 p2 = 3.5 v1 = 0 p1 = 11

ρ3 = 1.1× 10−7 u3 = 8.939× 103 ρ4 = 5.065× 10−8 u4 = 0v3 = 8.939× 103 p3 = 11 v4 = 8.939× 103 p4 = 3.5

κ = 10−1 m−1, tf = 2.5× 103 s, 400 mailles en x et y et γ = 5/3.

(a) Densité (hydro) (b) Densité (diffusion) (c) Energie radiative (diffusion)



Cas-test 2D (ondes de détente)


ρ2 = 2.0× 10−7 u2 = −7.5× 103 ρ1 = 1.0× 10−7 u1 = −7.5× 103v2 = 5.0× 103 p2 = 10 v1 = −5.0× 103 p1 = 10

ρ3 = 1.0× 10−7 u3 = 7.5× 103 ρ4 = 3.0× 10−7 u4 = 7.5× 103v3 = 5.0× 103 p3 = 10 v4 = −5.0× 103 p4 = 10

κ = 10−1 m−1, tf = 2.3× 103 s, 400 mailles en x et y et γ = 5/3.

(a) Densité (hydro) (b) Densité (diffusion) (c) Energie radiative (diffusion)Océane Saincir Hydrodynamique radiative en physique stellaire Bordeaux, le 09 novembre 2018 32 / 36


Chocs optiquement mince et optiquement très épais

Problème de Riemann :

Deux états constants sur[0, 109

]séparés par une discontinuité en x = 108.

ρg = 10−5 kg.m−3, ug = 10

5 m.s−1, T = 1000 K.ρd = 10

−5 kg.m−3, ud = 0 m.s−1, T = 1000 K.

tf = 104 s, 1000 mailles et γ = 5/3. κ = 10−4 m−1, Λ(ρ, p) = 105ρ3/2p1/2.

0 2 4 6 8 10

x 108

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

−5

Distance (m)

De

nsité

(kg

/m3)

Optiquement épais

Optiquement mince

Hydro pur

0 2 4 6 8 10

x 108

0

2

4

6

8

10

12x 10

4

Distance (m)

Te

mp

éra

ture

(K

)

Optiquement épais

Optiquement mince

Hydro pur

Temps de calcul : hydro 6.30 s, diffusion 24 s, cooling 8.5 s.Océane Saincir Hydrodynamique radiative en physique stellaire Bordeaux, le 09 novembre 2018 33 / 36


Simulations avec le modèle M1

κR = 10−4 et κP = 10

−10 m−1 tf = 4.103 s tf = 10

4 s

κR = 10−5 et κP = 10

−9 m−1 tf = 4.103 s tf = 10

4 s

0 2 4 6 8 10

x 108

1

2

3

4

5

6

7x 10

−5

Distance (m)

De

nsité

(kg

/m3)

0 2 4 6 8 10

x 108

0

5

10

15x 10

4

Distance (m)

Tem

péra

ture

(K

)

Temps de calcul : plus de 12 heures sur 32 processeurs (4000 mailles).Morphologies des chocs complètement différentes.



Conclusion et perspective

Conclusion :

Simulations du transfert radiatif : processus compliqués et coûteux en tempsde calcul

Dans des cas optiquement très épais : modèle de diffusion plus simple àappréhender

Stratégie de discrétisation implicite donnant des temps de calcul satisfaisants

Résultats similaires à ceux obtenus avec la méthode M1 et en accord avecdes résultats existants dans la littérature

Perspective :

Effectuer des simulations numériques dans des configurations astrophysiquesréalistes



Merci pour votre attention !


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