Download pdf - HARMONIJSKO_TITRANJE - skripte

fizika –gradivo 3. razreda HARMONIJSKO TITRANJE

Nina Obradović, prof. 1

fT

22

3. razred – HARMONIJSKO TITRANJE

1. Osnovni pojmovi - titranje Titranje je periodično (opetovano, ponavljano) gibanje oko ravnotežnog položaja, u dva suprotna smjera, zbog djelovanja elastične sile. elastična (povratna, harmonijska) sila

– sila koja vraća tijelo u ravnotežni položaj ( 0x ) – odgovorna za elastično titranje – formula za elastičnu silu : kxF F ~ x , sila je proporcionalna pomaku x

x – pomak iz položaja ravnoteže, elongacija ( često se koristi oznaka y ili s )

harmonijski oscilator ( titrač ) – tijelo koje harmonijski titra

harmonijsko titranje - ( harmonija = sklad ) gibanje pod djelovanjem elastične sile idealizirano titranje : 1) nema gubitaka energije ( na trenje, otpor zraka .... )

2) pomaci iz ravnotežnog položaja su mali

elastično sredstvo – sredstvo čije su čestice vezane elastičnim silama SLIKE : primjeri titrajnih sustava uteg na opruzi njihalo izmjena dana i noći, gibanje planeta LC-krug i dr.

Jedna od veličina koje opisuje titranje je frekvencija. Obilježava se sa f i znači broj titraja N u jednoj sekundi. Jedinica za frekvenciju je hertz ( Hz ) :

1 Hz = 1 s-1

frekvencija, f – broj periodičnih događaja u jedinici vremena Nft

Hz

period, T – vrijeme jednog titraja 1Tf

titraj – to je titranje koje traje vrijeme T Jedan titraj sadrži 4 amplitudna pomaka. njihaj – pola titraja položaj ravnoteže ( ravnotežni položaj ) : 0x x – elongacija, pomak iz ravnotežnog položaja A – amplituda, najveći pomak iz ravnotežnog položaja

kutna brzina ili kružna frekvencija, opisani kut u jedinici vremena

t

srad



GFel

1

Energija pri titranju mehaničkih titrajnih sustava – sastoji se u načelu od 3 člana; pri tome vrijedi zakon očuvanja energije : .konstEuk

ukE ukupna energija elpkuk EEEE J kE kinetička energija pE potencijalna energija elE elastična potencijalna

2

21 mvEk mghE p 2

21 kxEel

Primjer jednog titrajnog sustava : UTEG ovješen ne OPRUGU

kxFel

xFk

mN

mgkx k

mgx

Za vrijeme jednog titraja titrač prijeđe put jednak četverostrukom iznosu amplitude titranja.

Grafikon energija : U promatranom slučaju nema trenja (tijelo i opruga čine zatvoreni sustav) pa je ukupna energija sustava konstantna te je jednaka zbroju kinetičke energije utega i potencijalne energije opruge. Ukupna energija sustava je onolika koliko smo energije uložili u sustav pomičući tijelo iz ravnotežnog položaja tj. tijelo smo povukli za amplitudu A.

Iz toga slijedi da je : 2

21 kAEEE pk

2. Ovisnost x(t) – jednadžba harmonijskog titranja

Harmonijsko titranje usporediti ćemo sa jednolikim gibanjem po kružnici. Ono se može predočiti kao projekcija jednolikog gibanja po kružnici :

sinsin rxrx

0 Ar

t iz t



tT

Atx 2sin

tAtx sin

t

TAtx 2sin

Jednadžba harmonijskog titranja glasi : tAtx sin

Postanak sinusoide :

Zbog veze koju znamo : T 2

, jednadžba harmonijskog titranja se može pisati i kao :

2

Os apscisa može biti izražena preko kuta ili preko vremena t : tT

t 2 ~t

Grafički prikaz harmonijskog titranja bez faznog pomaka :

x 0 /s 0

Jednadžbe (1) i (2) vrijede u slučaju kada titranje počinje iz ravnotežnog položaja ( x = 0 ), tj. kada jednoliko gibanje po kružnici počinje iz točke O na gornjem crtežu. Kada titranje počinje općenito, iz bilo koje točke putanje, tada jednadžba harmonijskog titranja ima oblik : ili

početni fazni kut ( početna faza, fazni pomak ) faza titranja Često se za početni fazni kut koristi i oznaka φ0. faza titranja – položaj tijela koje titra određenom elongacijom i brzinom ( po veličini i smjeru )



Grafički prikaz harmonijskog titranja sa faznim pomakom :

x

0 t

3. Ovisnost brzine o vremenu, v(t) Titranje je nejednoliko UBRZANO gibanje → elongacija i brzina su promjenjive veličine (a vidjet ćemo kasnije i akceleracija je promjenjiva)

BRZINA : tvtv cos)( 0 T 2

0v amplituda brzine (maksimalna brzina) TAv 2

0 ili Av 0

v v0

T/2 T t

-v0

4. Ovisnost a(t), F(t) a akceleracija ( ubrzanje )

Sila koja uzrokuje harmonijsko titranje je elastična sila. Za nju vrijedi 2. Newtonov zakon :

kxF kxma : a

maF tmkAx

mka sin gdje je tAtx sin)( , elongacija

0a amplituda akceleracije



Konačni oblik jednadžbe koja opisuje ovisnost ubrzanja kod harmonijskog titranja, dakle, ima oblik :

tata sin0

2sm gdje je Aa 2

0 Također se može pisati : )()( 2 txta

Grafički prikaz vidi se na slici dolje : a a0

t T/2invbnvbnbbgT t

- a0 Već spomenuti 2. Newtonov zakon ( temeljna jednadžba gibanja ) daje : tmatamtF sin0

Kada se uzme da je : 00 Fma dobije se : tFtF sin0 N

0F maksimalna sila ( amplituda sile ) 1sin00 tAxaaFF tada je, zbog svojstva funkcije sinus :

,.....3,2,1,02

122 nnt

T

5. Elastična opruga - titranje Jedan primjer mehaničkog titrajnog sustava je UTEG mase m ovješen na OPRUGU konstante elastičnosti k. Za titranje ovog sustava odgovorne su elastična sila Fel i inercija tijela.

kxFel , elastična sila

xFk

mN k – konstanta elastičnosti opruge

GFel m – masa utega

mgkx k

mgx , elongacija



IZVOD FORMULE ZA PERIOD TITRANJA T :

Polazimo od 2. Newtonovog zakona i formule za elastičnu silu : maF (1)

kxFel (2)

Budući da znamo formule koje opisuju ovisnost ubrzanja kod harmonijskog titranja o vremenu : taa sin0 Aa 2

0 xtAa 22 sin što uvršteno u jednadžbu (1) daje : xmF 2 ( 1*)

Izjednačenjem (1*) i (2) dobijemo : kxxm 2 mk

2

Poznata nam je veza : 2

T , pa dobivamo : kmT 2

Dakle, dobili smo formulu za period titranja mase m na opruzi konstante k.

6. Zakon očuvanja energije ( Z.O.E. )

- kod titranja mase na opruzi

Zakon očuvanja energije kaže : u zatvorenom fizikalnom sustavu ukupna energija je očuvana. ( zatvoreni sustav – onaj za koji vrijedi da je suma vanjskih sila i momenata sila jednaka nuli )

U promatranom slučaju nema trenja ( tijelo i opruga čine zatvoreni sustav ) pa je ukupna energija sustava konstantna, te je jednaka zbroju kinetičke energije utega i potencijalne energije opruge.

Z.O.E. primijenjen na slučaj harmonijskog titranja ima matematički oblik :

potkinuk EEkonstE .

Da biste rastegnuli oprugu za pomak x od ravnotežnog položaja, treba savladati elastičnu silu i izvršiti rad, zbog kojega se potencijalna energija opruge poveća za iznos jednak uloženom radu. Kada je opruga najviše rastegnuta, ima maksimalnu potencijalnu energiju.

2

21 kxE pot - elastična potencijalna energija opruge ( x – elongacija )

2max 2

1 kAE - maksimalna potencijalna energija ( A – amplituda )

Kod titranja elongacija ( pomak ) ovisi o vremenu : tAx sin

Zbog toga će i energija ovisiti o vremenu : tkAtE pot 22 sin21)( J 2

0max 21 kAEE (4)

Tijelo koje harmonijski titra ima i kinetičku energiju, koja je također vremenski ovisna funkcija :

2

21 mvEkin tvtv cos0 tmvtEkin 22

0 cos21

J 200max 2

1 mvEE (5)



Sada jednadžba (1) poprima oblik : .cos21sin

21 2

022 konsttmvtkAEEE kinpotuk

Zbog (4) i (5) dobivamo : 20

2222

21

21)cos(sin

21 mvkAttkAEuk

Maksimalna kinetička energija je u točci 0x ( tamo je 0potE ) : 020max 2

1 EEmvE uk

Maksimalna potencijalna energija je u točci 0A ( tamo je 0kinE ) : 02

max 21 EEkAE uk

Z.O.E. kod harmonijskog titranja

Ukupna energija sustava je onolika koliko smo energije uložili u sustav pomičući tijelo iz ravnotežnog položaja, tj. tijelo smo povukli za amplitudu A. Iz toga slijedi da je :

20

2

21

21 mvkAEEE potkinuk

Kod harmonijskog titranja dolazi do periodične pretvorbe energije, ali tako da je njihov zbroj uvijek jednak ukupnoj energiji sustava. U ravnotežnom položaju potencijalna energija tijela je nula ( x = 0 ), a kinetička energija je

maksimalna ( v = v0 ) i jednaka je ukupnoj energiji.Tada možemo pisati : 220 2

121 kAmv

Pomoću gornje formule je moguće izračunati npr. maksimalnu brzinu, ako su nam ostale veličine poznate.

7. Matematičko njihalo ( jednostavno njihalo )

Matematičko njihalo je model ( ne postoji realno ), koji ima ove pretpostavke :

1. nit je nerastezljiva, duga i zanemarive mase 2. masa m je tzv. materijalna točka ( nema volumen – ima masu ) 3. otkloni njihala su mali ( 100 – 150 )

Sila koja ima ulogu elastične ( povratne, harmonijske ) sile je tangencijalna komponenta ( sastavnica ) gravitacijske sile, 1F

:

lx

sin i gF

F1sin mgFg

sinsin1 mgFF g (1)



gdje je : m – masa tijela

g – akceleracija slobodnog pada ( 210 msg ) l – duljina njihala gF

- gravitacijska sila 21 FFFg

1F

- tangencijalna ( duž tangente na putanju ) komponenta gravitacijske sile 2F

- radijalna komponenta gravitacijske sile

Za tijelo koje titra vrijedi jednadžba gibanja: maF (2)

Kako je kod matematičkog njihala sila koja podržava titranje upravo sila 1F , izjednačavanjem jednadžbi (1) i (2) dobit ćemo : mamg sin

xg 2sin

xlxg 2

lg

2

Otprije znamo da je : T 2

, pa formula za period jednostavnog njihala glasi : glT 2 s

Kratki izvod : g

lTlg

Tlg

T

22

2

22 442

Gdje se sve može iskoristiti teorija o jednostavnom njihalu : ( primjena matematičkog njihala )

1. već je G. Galilei koristio njihalo kao mjerilo vremena ( ura njihalica )

2. mjerenje akceleracije slobodnog pada ( zapravo se mjeri T, a g se računa ) - ustanovljene su male razlike za g na različitim mjestima na Zemlji

- g raste s geografskom širinom ( smanjuje se udaljenost njihala od središta Zemlje ) - g ovisi o gustoći prirodnih objekata ( na području mora g je veći nego na kopnu )

8. LC – krug ( Thomsonova formula )

Električni titrajni krug Električni titrajni krug sastoji se od kondenzatora ( kapacitora ) i zavojnice. Shematski prikaz LC-kruga je na slici dolje :

C kapacitet kondenzatora faradF , L induktivnost zavojnice henriH ,

U LC – krugu nastaju električni titraji. Kako ? Početni uvjet je da se kapacitor napuni električnim nabojem, koji se dovedi iz nekog vanjskog strujnog kruga. Prekidač u LC – krugu je pri tome otvoren. Ako nakon nabijanja kondenzatora zatvorimo prekidač, dolazi do pojave slobodnih električnih titraja :



LCT 2

Struja počinje teći sa + ploče (gornje ploče) kapacitora (kapacitor se prazni) prema zavojnici, gdje zbog pojave samoindukcije postepeno raste prema maksimalnoj vrijednosti. Nakon izlaska iz zavojnice ( također postepeno – zbog samoindukcije) struja puni kapacitor (donja ploča postaje + nabijena). Time je opisano pola titraja. Dalje se nastavlja slično. Struja počinje teći sa donje ploče prema zavojnici .... itd.

Značenje veličine L : Da nema zavojnice u strujnom krugu, struja bi „odmah“ poprimila maksimalnu vrijednost. Induktivnost L ovdje predstavlja nešto poput „tromosti“ sustava u mehaničkim titrajnim sustavima.

Osim što naboj na kondenzatoru periodično mijenja svoju vrijednost (titra), titraju također i napon i jakost struje. To se može prikazati grafički kao na slikama dolje :

tQQ cos0

kružna frekvencija, pulsacija struje

Q naboj kulonC, 0Q amplituda naboja

tuu cos0

0u maksimalni napon ( amplituda napona )

tii sin0 i jakost električne struje amperA,

0i maksimalna jakost struje ( amplituda struje )

Formula za period titranja LC - kruga

Period titranja LC – kruga ili tzv. Thomsonovu formulu dobit ćemo iz činjenice da induktivni i kapacitivni otpor kruga moraju biti jednaki. Tada je ukupni otpor kruga najmanji, pa je struja koja teče krugom maksimalna.

CL

RR CL

1

12 LC

LC12

Budući nam je otprije poznata veza : 2

T Thomsonova formula

f 2

Kod slobodnog titranja običaj je veličinu f obilježavati sa 0f i zvati : vlastita ili rezonantna frekvencija LC – kruga



U LC – krugu se periodično mijenjaju energija električog polja i energija magnetskog polja. Za vrijeme titranja dolazi do pretvorbe energije, tj. do periodične izmjene električne i magnetske energije. U početnom trenutku nabijeni kondenzator sadržava električnu energiju. Njegovim izbijanjem nastaje struja koja u zavojnici stvara magnetsku energiju. U daljnjem koraku struja nabija kondenzator suprotnim nabojima od početnih. Tako se magnetska energija pretvara opet u električnu i cjelokupni se proces ponavlja. Ovo titranje analogno je mehaničkom harmonijskom oscilatoru u kojem se u početnom trenutku uspostavi otklon iz položaja ravnoteže i zatim ga se pusti da slobodno titra. Pritom se početna potencijalna energija pretvara u kinetičku i zatim obrnuto te nastaje titranje.

CQEE

2

21

- energija električnog polja 2

21 LiEB - energija magnetskog polja

Zakon očuvanja energije (Z.O.E.) kaže da ukupna energija sustava mora biti stalna :

.konstEEE BEuk

I električna i magnetska energija su sinusne funkcije vremena :

2 2 2

01 1 cos

2 2E tE Q Q tC C

J t

Qi 00

2 2 2

01 1 sin2 2B tE Li Li t J

tQi

9. Prisilno titranje U realnim titrajnim sustavima disipativne sile ( sile otpora ) prigušuje titranje, što ima za posljedicu gubitak energije, pa tijelo nakon nekog vremena prestaje titrati. Da bi se nadoknadila energija titranja, na sustav treba stalno djelovati vanjska (periodična) sila. Posljedica djelovanja takve sile biti će titranje sustava frekvencijom vanjske sile, nakon prijelaznog vremena. Pri prisilnom titranje sustav počne titrati vlastitom frekvencijom 0 i pritom nastoji slijediti titranje vanjskog oscilatora: rezultantno titranje je superpozicija (zbroj) tih dvaju titranja. Nakon određenog vremena vlastito titranje zbog prigušenja utrne i sustav titra frekvencijom vanjskog oscilatora, bez obzira na početne uvjete i vlastitu frekvenciju. Da bi prijenos bio optimalan, frekvencija vanjske sile mora biti jednaka vlastitoj frekvenciji titrajnog sustava (titrača). U tom slučaju kažemo da je nastupila rezonancija.

Dakle, za 0 REZONANCIJA ( 00 2 f , 0f vlastita ili rezonantna frekvencija ) rezonancija – pojava maksimalnog (optimalnog) prenošenja energije s jednog titrajnog sustava (davatelj, predajnik) na drugi ( primatelj, prijemnik ) kada su im vlastite frekvencije jednake.

E

EE

0 +Q

EB –Q



0Q

Grafički prikaz krivulje rezonancije

Sljedeća slika prikazuje ovisnost amplitude titranja o frekvenciji vanjske sile. Nacrtano je nekoliko rezonantnih krivulja za isti sustav, ali za različite otpore sredstva.

Rezonantne karakteristike danog titrajnog sustava su bolje izražene što je rezonantna krivulja uža i viša. Ako se sa označi širina rezonantne krivulje na polovici njezine visine, možemo reći da je rezonancija to oštrija što je manji.

Naime, nije svejedno je li, na primjer, =10 1s za titrajni sustav koji ima 0 =1 000 000 1s ili za sustav za koji je 0 =100 1s . U prvom slučaju iznosi samo stotisući dio vlastite frekvencije, a u drugom slučaju čak deseti dio. Očito je u prvom slučaju rezonancija mnogo oštrija. Zato se, kao veličina koja karakterizira kvalitetu rezonancije, uvodi takozvani Q-faktor ili faktor dobrote. On se za slučaj rezonancije definira omjerom :

širina rezonantne krivulje na polovini amplitude

Pokazuje se da tako definirani faktor-Q u cijelosti odgovara faktoru-Q definiranom u prigušenom titranju. Što je Q veći, rezonantne karakteristike su bolje.

To znači da titrajni sustav lakše apsorbira energiju iz okoline ako je ona dana titrajima frekvencija približno jednake 0 . Q-faktor je to veći što je manja sila otpora sredstva. Prisilne oscilacije, a pogotovo pojava rezonancije, imaju značajnu ulogu u znanosti i tehnici i u mnogim praktičnim slučajevima.



Primjeri : mehanička rezonancija

ljuljačka (pokus sa metronomom na ljuljački) ili Bartonovo njihalo :

ugađanje glazbenih instrumenata – akustična rezonancija

električna rezonancija biranje radio stanica

U praksi, vezano za faktor-Q, ponekad je dobro da je on što manji, a ponekad što veći : Q-faktor treba biti što manji u sljedećim primjerima

o kada u radu stroja dođe do pojave prisilnih titraja dijelova stroja o kod visokih zgrada, mostova i tornjeva postoji velika opasnost od urušavanja

za vrijeme potresa Q-faktor treba biti što veći u komunikacijskim sustavima ( antena je otvoreni LC-krug )

o jer je poželjno da sustav što lakše apsorbira energiju, tj. da titra što dulje

10. Otpori u krugu izmjenične struje Ohmov zakon za izmjeničnu struju

Omski otpor – otpor koji pružaju metalni vodiči i istosmjernoj izmjeničnoj struji - uzrok postojanja otpora su sudari slobodnih elektrona sa defektima kristalne

rešetke metala i sa fononima ( izraz za kvante titranja u metalima)

- omski otpor

struja i napon su u fazi

tR

UR

tURui

sinsin maxmax

ti sinmax



CfCRC

2

11

LfLRL 2

Induktivni otpor – otpor koji ima zavojnica u izmjeničnom strujnom krugu

- postoji zbog samoindukcije zavojnice

Induktivna struja zaostaje za jednu četvrtinu perioda iza napona ( ili za 2 ).

Za induktivnu struju vrijedi Ohmov zakon :

Kapacitivni otpor – otpor koji izmjeničnoj struji pruža kapacitor ( kondenzator ) - postoji jer kapacitor treba vremena za punjenje i pražnjenje ( zbog odbojne sile između istoimenih naboja na pločama )

Naboj i napona na pločama kapacitora :

Napon kasni za strujom za 2 ili se može reći da kapacitivna struja (struja koja prolazi kapacitorom)

prethodi naponu za jednu četvrtinu perioda.

Za kapacitivnu struju vrijedi Ohmov zakon : RLC - krug Kada je na jedan izvor napona priključeno više pasivnih elemenata ( R, L, C ) dobiven je složeniji strujni krug izmjenične struje. Elementi strujnog kruga mogu se prikazati shematski, jednadžbama i vektorskim dijagramima. Sada ćemo vidjeti kako se računa ukupni otpor ( tzv. IMPEDANCIJA ) u serijskom spoju RLC – kruga :

RLC – krug , osim zavojnice i kapacitora u njemu sa nalazi još i omski otpor

2sinmax

ti

LU

maxmax

LRU

UCQ tUu sinmax

tUCi cosmax

2sinmax

tUCi

2sinmax

ti

cRU



22CL RRRZ

RRRtg CL

cosUIP

Kako se vidi sa slike, ukupni napon sastoji se od 3 člana : RLC UUUU Ukupni otpor čitavog LCR – kruga nazivamo impedancija, i računa se prema formuli :

Električna impedancija je omjer napona i struje : ZUI

Gornja formula je poznata kao Ohmov zakon za izmjeničnu struju. Struja koju sinusoidalni napon daje iz izvora u ma kakvu kombinaciju linearnih elemenata R, L i C bit će također sinusoidalna, ali će između struje i napona postojati fazna razlika, a to je kut faznog pomaka .

Vektorski dijagram napona i struje za neko induktivno opterećenje izvora Zaostajanje u fazi se računa prema sljedećoj relaciji :

Snaga izmjenične struje : Zbog pomaka u fazi struje prema naponu, snaga pri nekom opterećenju neće uvijek biti jednaka umnošku jakosti struje I i efektivnog napona U . Za snagu izmjenične struje, koja se još naziva stvarna snaga, vrijedi formula :

00 707,02

II

I , efektivna struja 00 707,02

UU

U , efektivni napon

Umnožak UI zove se kod potrošača izmjenične struje prividna snaga. Ona se (za generatore, motore, transformatore) izražava u volt-amperima ( VA, kVA, MVA ), a stvarna snaga u watima (W, kW, MW ).

11. Snaga izmjenične struje Zbog pomaka u fazi struje prema naponu, snaga pri nekom opterećenju neće uvijek biti jednaka umnošku jakosti struje I i efektivnog napona U . Za snagu izmjenične struje, koja se još naziva stvarna snaga, vrijedi formula :

cosUIP R

RRtg CL

fazni pomak između struje i napona cos faktor snage



00 707,02

II

I , efektivna struja

00 707,02

UU

U , efektivni napon

U ovisnosti o faktoru snage, snaga može biti : 1. potpuno iskorištena ( 0 ) ; čisto radno (omsko) opterećenje 2. djelomično iskorištena ( 0900 ) 3. potpuno neiskorištena ( 090 ) ; čisto induktivno ili čisto kapacitivno opterećenje

Efektivna vrijednost struje ( ief = Ief = I ) ili napona ( uef = Uef = U ) je vrijednost koju ima istosmjerna struja ili napon da proizvede isti toplinski učinak kao i odgovarajuća izmjenična struja.

20UUU ef

20III ef

Maksimalna vrijednost struje ( i0 = Imax ) ili napona ( u0 = Umax ) je najveća vrijednost koju izmjenična struja postigne za vrijeme jednog perioda T.

Grafički prikaz : Napomene :

1. I dalje vrijedi Ohmov zakon ( R je omski otpor zavojnice ) : R

UI 00

RUI

RU

I efef

2. Umnožak UI zove se kod potrošača izmjenične struje prividna snaga. Ona se (za generatore, motore, transformatore) izražava u volt-amperima ( VA, kVA, MVA ), a stvarna snaga u watima (W, kW, MW ). 3. Djelotvornost (korisnost) nekog trošila ne možemo prosuđivati samo na osnovi napona i struje što ih trošilo prima, jer umnožak tih veličina daje samo prividnu vrijednost snage. Djelatnu (radnu) snagu daje samo struja u fazi sa naponom, a ostatak snage, tj. energija vraća se natrag u izvor.

12. Prigušeno titranje

Kod dosadašnjeg razmatranja harmonijskog titranja zanemarili smo djelovanje sredstva u kojem je tijelo titralo.

a) neprigušeno titranje - nema gubitaka energije ( idealno titranje, sile otpora nema , omski otpor je nula kod LC - kruga) x )sin()( 0 tAtx

t mk

0 , (vlastita) kružna frekvencija



teAtA 0

Ako postoji otpor sredstva u kojem se tijelo giba, on uzrokuje prigušenje titranja, odnosno postupno smanjivanje amplitude. I neprigušeno i prigušeno titranje pripada grupi tzv. slobodnog titranja. To je takvo titranje kod kojega je sustav jedanputa pobuđen na titranje i dalje prepušten sam sebi. b) prigušeno titranje - energija se gubi na savladavanje sile trenja; amplituda titranja se smanjuje

Postoji jače i slabije prigušenje (slike dolje ) : x

ili t

Amplituda je vremenski ovisna funkcija. Kod slabog prigušenja vremensku ovisnost amplitude možemo predočiti slijedećim grafom ( plavo) : x

- koeficijent prigušenja Jednadžba prigušenog titranja : t

A (t) , amplituda prigušenog titranja

mk

20 , 00 2 f , vlastita frekvencija titrajnog sustava

kružna frekvencija ( kutna brzina ) prigušenog titranja 220

Q – faktor

Prigušeno titranje opisuje se Q - faktorom, koji se često naziva i faktor kvalitete ili dobrote. Faktor kvalitete definiran je omjerom elastične sile i sile otpora sredstva, tj. to je veličina koja pokazuje koliko puta je elastična sila veća od sile otpora sredstva :

max

.max

otp

el

FF

Q ili se definira kao omjer : 1

nn

n

WWWQ

nW energija titrajnog sustava pri n-tom titraju 1nW energija sustava pri (n+1) -om titraju

)( 1nn WW energija koja se izgubi u jednom titraju = gubitak energije u jednom titraju

Q - faktor je veći što je prigušenje manje, tj. što je titrajni sustav bliži idealnom. U konkretnim primjerima to izgleda kao što je navedeno dolje. Sila otpora sredstva razmjerna je trenutačnoj brzini tijela v, što u amplitudnom položaju vodi na proporcionalnost sa maksimalnom brzinom :

AvFotp 0 koeficijent otpora sredstva

0( ) sin( )tx t A e t



Tada je : mkmm

AAm

AkxQ

2

za mehaničke titrajne sustave mkQ

ili za LC– krug CL

RQ

1 ( vidi tablicu u dolje )

DODATAK : Pri usporedbi mehaničkih i električnih titrajnih sustava postoji analogija prikazana u tablici :

Npr. za RLC – krug imamo : 220

2

20 2

LR

L

R2

Mehanički titrajni sustavi

Električni titrajni sustavi

x, pomak Q, naboj m L v i

k C1

potE elE

kinE magE

F ui , ( )

0 0 R

m2

LR

2