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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CENTRO DE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS

“Guía para Análisis y Diseño Estructural de Edificios de Hormigón Armado”

Por: Patricio Marcelo Vasco López

AGOSTO 2003

Agradecimiento

Deseo expresar mi sincero agradecimiento al Ing. Miguel Mora M. Sc. Decano de la Facultad de Ingeniería Civil, y al Ing. Vinicio Jaramillo Ph. D. Subdecano, por su valiosa colaboración para desarrollar el presente trabajo, al Ing. Francisco Fernández Ph. D. quien me ayudo oportunamente para la presentación del mismo, y al Ing. Wilson Medina Pazmiño, por los conocimientos entregados a mi persona en mi carrera de pregrado.

A los Estudiantes de Ingeniería Civil de La Universidad Técnica de Ambato

CONTENIDO

Agradecimiento I

Dedicatoria II

Contenido III

1.- Ingeniería de Estructuras 1

1.1.-Introducción

1.2.- Ingeniería Estructural Conceptual

1.3.- Ingeniería Estructural Básica

1.4.- Ingeniería Estructural de Análisis y Diseño

1.5.- Ingeniería Estructural de Detalle

1.6.- Redacción del Proyecto de Ingeniería Estructural

1.7.- Guía de Ingeniería Estructural para el Diseño de un Edificio

2.- Predimensionamiento y Cuantificación de Cargas 5

2.2.- Carga Viva

2.3.- Cargas Sísmicas

2.4.- Cargas de Viento

2.5.- Prediseño de Elementos

2.5.1.- Prediseño de Losa

2.5.1.- Carga Muerta de Losa

2.5.2.- Carga Muerta de Paredes

2.6.- Preparación de Pesos por Piso

2.7.- Carga de Sismo

2.8.- Cargas actuantes sobre las Vigas

2.8.1.- Cargas sobre las Vigas

3.- Opciones de Cálculo Estructural con el Programa Sap2000 18

3.1.- Cálculo Estático

3.2.- Cálculo Dinámico

3.2.1.- Análisis de Respuesta bajo Carga Sinusoidal.

3.2.2.- Cálculo de Frecuencias y Modos de Vibración

3.2.3.- Análisis Mediante Vectores de Ritz

3.2.4.- Análisis por Espectros de Respuesta.

3.2.5.- Integración Directa de la Ecuación Dinámica.

3.3.- Modelación de Estructuras en SAP 2000

3.3.1.- Modelación Pórtico Eje C

4.- Combinaciones de Carga 58

5.- Prediseño según las Disposiciones especiales para el diseño Sísmico ACI 318-99 58

5.1.- Prediseño de Vigas

5.2.- Prediseño de Columnas

6.- Análisis Estático Espacial del Edificio en Estudio 65

6.2.- Determinación del Centro de Masas.

6.3.- Determinación del Centro de Rigideces CR

6.4.- Corte Sísmico por Torsión

7.- Modelación Estructura Tridimensional 70

8.- Características de Deformación de los Elementos Resistentes 117

8.1.- Análisis para el Periodo Verdadero de la Estructura

8.2.- Efecto P-∆ y Derivas Máximas

9.- Diseño en Hormigón Armado 120

10.- Análisis Modal Espectral 129

10.1.- Modelación Análisis Espectral

11.- Bibliografía 142

Anexo 1

Anexo 2

Anexo 3

Por: Patricio M. Vasco L. Pág. 1

Guía para Análisis y Diseño Estructural de Edificios de Hormigón Armado


1.- Ingeniería de Estructuras 1.1.-Introducción

Todas las estructuras deben ser Diseñadas y Construidas para que, con una seguridad aceptable, sea capaz de soportar todas las acciones que la puedan solicitar durante la construcción y el período de vida útil previsto en el proyecto así como la agresividad del medio.

El análisis estructural consiste en la determinación de los efectos originados por las acciones sobre la totalidad o parte de la estructura, con el objeto de efectuar comprobaciones en sus elementos resistentes.

Para la realización del análisis y diseño estructural, se idealizan tanto la geometría de la estructura como las acciones y las condiciones de apoyo mediante un modelo matemático adecuado. El modelo elegido debe ser capaz siempre de reproducir el comportamiento estructural dominante.

Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso-deformacionales de los materiales resultan difíciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente, siempre que sean equilibradas y que se satisfagan a posteriori las condiciones de ductilidad apropiadas.

1.2.- Ingeniería Estructural Conceptual

La ingeniería estructural conceptual es la elaboración de propuestas de solución en términos de conceptos generales, es decir ideas que permitan resolver el problema de la existencia de la estructura. Se refiere a la posibilidad del equilibrio y de la estabilidad que debe existir mucho antes de cualquier comprobación numérica.

En esta etapa se definen los sistemas resistentes, eligiendo los tipos estructurales y organizándolos en el espacio. Es la etapa más importante del proceso de análisis y diseño, pues una vez definido el sistema resistente el resto del proceso es una consecuencia. También es la etapa que más experiencia requiere, lo que deja descolocados a los alumnos. De todos modos la única manera de adquirir experiencia en este campo es intentar un diseño y luego criticarlo, es decir, analizarlo para estudiar sus ventajas e inconvenientes.

Otra cuestión relacionada con este tema es la coherencia entre la estructura y la arquitectura. Es un error frecuente adoptar estructuras que tienen características incompatibles con las del edificio: el ejemplo más típico es la utilización de estructuras relativamente flexibles por ejemplo: pórticos con vigas y columnas de ciertas dimensiones, ubicados dentro del edificio, en construcciones con cerramientos muy rígidos como mampostería, y así son casi todas las construcciones de la zona central.

Otro error es utilizar estructuras que compiten por el espacio físico con los espacios funcionales del edificio. Es lo que sucede si se pretende utilizar pórticos internos cuando la altura disponible para



las vigas o el espacio para las columnas está muy limitado por las necesidades funcionales.



Existe una tendencia a considerar la estructura como algo separado, que se apoya en la fundación y a su vez esta se apoya en el suelo el que se considera indeformable o, en todo caso, que sus deformaciones no influyen sobre la estructura. De ningún modo esto es así y menos para acciones horizontales importantes. La estructura es una sola: superestructura, fundación y suelo forman un único sistema resistente que debe ser estudiado unitariamente. Por lo tanto desde el principio se debe considerar cada tipo estructural en relación con las posibilidades de fundación y la interacción con el suelo.

1.3.- Ingeniería Estructural Básica

Es el momento de iniciar los análisis estructurales que pueden ser eficaces pero que deberían poner en evidencia las interacciones entre los distintos sistemas que componen la estructura. La dificultad más grande que se encuentra es modelar la estructura, ya que es aquí donde se trata de definir las dimensiones de los componentes estructurales con una precisión adecuada para garantizar la compatibilidad final de la solución estructural.

La solución elegida debe ser viable desde el punto de vista funcional, que garantice el equilibrio, las dimensiones de los componentes estructurales deben ser aceptables para los espacios funcionales de la construcción al igual que para su economía. Se supone que cuando se realicen el análisis y la verificación detallados de la estructura las dimensiones de los componentes serán confirmadas con variaciones poco significativas

1.4.- Ingeniería Estructural de Análisis y Diseño

La principal causa de esa dificultad es el concepto “determinístico” que se tiene del análisis y que convierte en receta lo que debe ser fruto de la interpretación física. Si se sabe como funciona la estructura se puede encontrar un modelo analítico que resuelva ese funcionamiento. Saber como funciona una estructura es saber como se deforma.

Hay un solo camino para aprender a modelar: modelando e interpretando los resultados, en particular las deformaciones. Por otra parte es un hecho que no se puede enseñar a modelar, se aprende, es decir, en situación de modelar e interpretar resultados. Una cuestión que debe tenerse siempre presente es que con frecuencia no hay un solo modelo que permita describir todos los aspectos del funcionamiento de la estructura.

Con frecuencia hay que emplear más de uno y obtener resultados “envolventes” que permitan estimar el funcionamiento probablemente intermedio de la estructura real. Es obvio que las técnicas de modelado varían con los medios auxiliares de cálculo disponibles y que cada vez hacen posible mayor precisión en la descripción de los fenómenos físicos.

Una vez superada la etapa de análisis de solicitaciones de los sistemas y componentes se puede entrar en el Diseño de Hormigón Estructural. Existen algunas dificultades prácticas para los alumnos en esta etapa: falta agilidad para los análisis de cargas, falta agilidad para el dimensionado y especialmente la verificación de secciones de hormigón armado sometidas a distintas solicitaciones.



1.5.- Ingeniería Estructural de Detalle

Hay muchas maneras de armar una estructura, algunas son buenas y no todas son adecuadas para un caso especifico; sin embargo hay muchísimas mas maneras de armar mal una estructura.

Ese arte debe ser practicado con constancia y, sobre todo, con sentido crítico, mirando mucho los problemas de obra (para lo cual hay que visitar las obras), como una actividad creativa de aprendizaje personal. También hay que estudiar planos de detalles de armado, buenos y malos; para aprender a distinguir unos de otros.

1.6.- Redacción del Proyecto de Ingeniería Estructural

Es la preparación de todos los documentos literales y gráficos necesarios para que todos los interesados en el proceso de la construcción puedan comprender cabalmente la idea del diseñador y verificarla. Además es necesaria para que en el futuro la obra pueda ser mantenida apropiadamente y, si es el caso, renovada o modificada.

También este aspecto es muy descuidado. Se presentan hojas de salidas de computadora con poca o ninguna información útil para la obra, a veces acompañadas de hojas casi en borrador, sin identificación adecuada de los pasos o de los procesos; por lo que es necesario redactar documentos entre los que podemos citar:

Memoria descriptiva de los procesos de análisis: lista de normas empleadas, descripción de los procedimientos de análisis, hipótesis de análisis: vínculos, acciones, etc., información que permita interpretar los aspectos analíticos del proyecto.

Memoria de análisis: todos los resultados del análisis y verificación de los componentes de la estructura. Es aconsejable que las salidas de los programas, que suelen ser voluminosas, se presenten en anexos a la misma.

Las especificaciones técnicas particulares: es aconsejable remitir la especificación a las normas en todo lo posible, para evitar documentos extensos que nadie lee.

En toda la preparación de la documentación se debe tener presente que es necesario presentar toda la información del modo más claro posible. No es cuestión de producir documentos extensos sino completos y claros.

La Memoria de todos los Proyectos Estructurales deben constar de un Anexo de Cálculo, en donde se justifique razonadamente, el cumplimiento de las condiciones que exigen a la estructura en su conjunto y a cada una de las partes en las que puede suponerse dividida, con objeto de garantizar la seguridad y el buen servicio de la misma.

1.7.- Guía de Ingeniería Estructural para el Diseño de un Edificio

En la presente guía se pretende agrupar todos los conceptos de ingeniería estructural antes expuestos, y de una manera lógica y ordenada dar ciertas recomendaciones para el análisis estructural de edificaciones; sujetas a sugerencias y



comentarios por parte de los lectores.



3.2

0

4.6

0

2.4

0

1.6

0

0

60

2.6

0

0.6

0

0.2

0

0.2

0

3.0

0

1.4

0

3.2

0

0.2

0

3.2

0

4.6

0

2.4

0

1.6

0

0

60

2.6

0

0.6

0

0.2

0

SU

B E

N

15

B A

JAN

1

5

0.1

8

0.2

0

3.0

0

1.7

0

2.9

0

0.2

0

Para el desarrollo de la presente guía se plantea definir la estructura de un Edificio de Hormigón Armado de 5 niveles, mediante el Cálculo, Análisis y Diseño Estructural Sismorresistente, utilizando los criterios establecidos en el Código Ecuatoriano de la Construcción, lo establecido en el Building Code Requirements for Structural Concrete ACI 318-99 para el diseño y usando los Programas SAP 2000 y ETABS para el Análisis la Figura 1.1 indica la arquitectura del proyecto.

A B C D A B C D 4.90 4.50 5.00 4.90 4.50 5.00

0.30 4.60 0.30 4.20 0.30 4.70 0.30 0.30 4.60 0.30 4.20 0.30 4.70 0.30

A A

3 3

B

DORMITO RIO 1

BAÑO

NIVEL - 0. 18

POZO DE LUZ COCINA

0. 80 / 2. 10

COMEDOR

B

NIVEL - 0. 18

PO RCHE

B

DORMI TORIO 1

BAÑO

PO ZO DE LUZ

COCI NA

0. 80 / 2. 10

B

COM EDOR

0. 90 / 2. 10

0. 70 / 2. 1 0

0. 80 / 2. 1 0

0. 80 / 2. 10

0 .9 0 / 2.1 0

0. 70 / 2. 10

0.8 0 / 2.10

0. 80 / 2.1 0

NIVEL + 0.00

0. 90 / 2. 30

NIVEL + 2.70

0. 70 / 2.1 0

BAÑO

2 0 .9 0 / 2.1 0 0. 90 / 2.1 0

NIVEL + 0.00

2 0. 90 / 2. 10

0. 90 / 2.1 0

1. 10 / 2.1 0

1. 10 / 2.10

SALA SALA

DORM ITORIO 2 DORM ITORIO 3 DO RMITORIO 2 DO RM ITORIO 3

S

1. 10 / 2.1 0

1

BAÑO

0. 70 / 2. 1 0

s

NIVEL + 2.70 b

1

A A

1.00 0.30 2.70 1.90 1.30 1.10 0.40 0.60 0.40 0.70 0.30 0.70 3.00 1.00 0.30

1.00 0.30

2.70

1.90

1.50

0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.30 0.70

3.00

1.00 0.30

PLANTA BAJA NIVEL + 0.00

PLANTA ALTA NIVELES +2.70, +5.40, +8.10, +10.80

ESC : 1 : 50 ESC : 1 : 50

3 2 1 3.20 4.60

0.20

1.85

0.20

1.00

16.20

0.40 4.90 4.50 5.00

0.85

0.20

1.65

1.30

0.18 13.50

1.47

0.85

0.20

1.65

TERRAZA

0.85 0.85

0.20 0.20

0.70

1.45

TERRAZA

0.85

0.20

1.65

13.50

0.10

0.75

0.20

1.65

CO CINA

0.85

0.18

0.27 10.80

1.43

0.85

0.20

1.65

DORM ITORIO 1

BAÑO

1.80 0.20

0.10

0.75

0.20 0.20

0.70

1.45

COCI NA

CO MEDOR

0.85

0.20

1.65

10.80

16.40

0.10

0.75

0.20

CO CINA

0.82

0.18

0.27 8.10

0.85

0.20

DORM ITORIO 1

BAÑO

1.80 0.20

0.10

0.75

0.20 0.20

0.70

COCI NA

CO MEDOR

0.85

0.20

8.10

1.65 1.43

14.53 1.65

1.45 1.65

0.10

0.75

0.20

1.65

0.10

0.75

0.20

1.65

CO CINA

CO CINA

0.82

0.18

0.27 5.40

1.43

0.82

0.18 0.18 2.70

1.49

0.85

0.20

1.65

0.85

0.20

1.65

DORM ITORIO 1

DORM ITORIO 1

BAÑO

BAÑO

1.80 0.20

0.10

0.75

0.20 0.20

0.70

1.45

1.80 0.20

0.10

0.75

0.20 0.20

0.70

1.45

COCI NA

COCI NA

CO MEDOR

CO MEDOR

0.85

0.20

1.65

0.85

0.20

1.65

5.40

2.70

0.85

0.18

CO CINA

0.67

0.18

0.18 0.00

0.85

0.18

DORM ITORIO 1

BAÑO

1.80 0.20

0.10

0.75 POZO DE LUZ

0.18 0.18

COCI NA

COM EDOR

PORCHE

0.85

0.00

CORTE TRANSVERSAL A - A

CORTE LONGITUDINAL B - B

ESC : 1 : 50 ESC : 1 : 50

FACHADA LATERAL IZQUIERDA FACHADA LATERAL DERECHA ESC : 1 : 50 ESC : 1 : 50



Figura 1.1 Arquitectura del Proyecto Para Ejemplo de Análisis



2.- Predimensionamiento y Cuantificación de Cargas Debemos definir como punto de partida el sistema estructural idealizado para el cálculo, para lo cual debemos calcular dimensiones tentativas para evaluar preliminarmente las diferentes solicitaciones, que exigen funcionalidad de la estructura, esto debido al peso propio de la misma, de los elementos no estructurales, el peso de sus ocupantes y efectos del medio.

La Estructura debe diseñarse para que tenga resistencia y rigidez adecuada ante las cargas mínimas de diseño, es decir debe diseñarse para resistir todas las cargas aplicables tales como cargas vivas, cargas muertas y efectos sísmicos y de viento. Se debe prestar especial atención a los efectos de las fuerzas debidas al preesfuerzo, cargas de grúa, vibración, impacto, contracción, relajamiento, expansión del concreto de contracción, cambios de temperatura, fluencia y asentamientos desiguales de los apoyos.

2.1.- Carga Muerta

De acción gravitatoria se considera los elementos físicos constitutivos de la estructura. Son todas las cargas de los elementos permanentes de construcción, a continuación se anotan algunas pesos volumétricos de algunos materiales.

Mampostería de Piedras Naturales

Basalto Recino Areniscas Piedra brasa

2200 Kg/m3. 1900 Kg/m3. 1800 Kg/m3. 1800 Kg/m3.

Mamposterías de Piedras Artificiales

Concreto simple Concreto reforzado Adobe Ladrillo rojo macizo prensado Ladrillo rojo macizo hecho a mano Ladrillo rojo hueco prensado Ladrillo ligero de cemento macizo Ladrillo ligero de cemento hueco Ladrillo rojo hueco hecho a mano Bloque hueco de concreto Ladrillo delgado rojo prensado Ladrillo delgado rojo común Azulejo o loseta

2200 Kg/m3. 2400 Kg/m3. 1400 Kg/m3. 1800 Kg/m3. 1500 Kg/m3. 900 Kg/m3.

1200 Kg/m3. 900 Kg/m3. 800 Kg/m3.

1200 Kg/m3. 1800 Kg/m3. 1500 Kg/m3. 1800 Kg/m3.

Morteros para Acabados

Mortero de cemento y arena Mortero de cal y arena Mortero de yeso

1800 Kg/m3. 1500 Kg/m3. 1500 Kg/m3.



Madera

Pino Oyame Encino

600 Kg/m3. 600 Kg/m3. 950 Kg/m3.

Hierro y Acero

Hierro laminado y acero Hierro fundido

7600 Kg/m3. 7200 Kg/m3.

Vidrio Estructural

Tabiques de vidrio para muros Prismáticos para Tragaluces

1800 Kg/m3. 2000 Kg/m3.

Tierras ,Arenas, Gravas

Tierra suelta seca Tierra suelta húmeda Tierra apretada seca Tierra apretada húmeda Arena y grava suelta y seca Arena y grava apretada y seca Arena y grava mojada

1200 Kg/m3. 1300 Kg/m3. 1400 Kg/m3. 1600 Kg/m3. 1600 Kg/m3. 1650 Kg/m3. 1700 Kg/m3.

2.2.- Carga Viva

Son aquellas cargas producidas por el uso y ocupación de la edificación, las cargas vivas que se utilicen en el diseño de la estructura deben ser las máximas cargas que se espera ocurran en la edificación debido al uso que esta va a tener; a continuación se anotan algunas cargas recomendadas para utilizarlas como sobrecarga.

Pisos Según su Uso

Pisos en lugares de habitación residencias, departamentos, viviendas, cuartos de hotel y similares 150 Kg/m² Dormitorios de internados de escuela, cuarteles, cárceles, hospitales, correccionales y similares 200 Kg/m² Pisos en lugares de reunión Templos, salones de espectáculos, teatros, cines, auditorios, etc. 350 Kg/m² Gimnasios, arenas, plazas de toros, estadios, salones de baile, pistas de patinar y similares 450 Kg/m² Bibliotecas, museos, aulas, baños públicos, restaurantes, salas de espera, salas de juego,casinos 300 Kg/m²

Pisos en lugares de uso público

Pasillos, escaleras, rampas, banquetes, pasajes, lugares donde existe aglomeración de personas 500 Kg/m² Garajes, lugares de estacionamiento de vehículos y similares 350 Kg/m².

Pisos en lugares de trabajo

Despachos Oficinas Laboratorios

200 Kg/m². 200 Kg/m². 300 Kg/m².



Pisos para comercio al mayoreo Ligeros Semipesado Pesado

300 Kg/m². 450 Kg/m². 500 Kg/m².

Pisos para comercio

Ligeros Semipesado Pesado

350 Kg/m². 450 Kg/m². 550 Kg/m².

Pisos en fabricas, talleres

Ligeros Semipesado Pesado

400 Kg/m². 500 Kg/m². 600 Kg/m².

Pisos en bodegas

Ligeros Semipesado Pesado Azoteas

250 Kg/m². 550 Kg/m². 450 Kg/m². 100 Kg/m².

2.3.- Cargas Sísmicas

Son inciertas tanto en magnitud, distribución e inclusive en el momento en que pueden actuar. Por hallarse en la zona central del país una zona de alto riesgo sísmico también se somete a la estructura a estos esfuerzos; para Ambato Zona 4. Para el diseño por sismo se utiliza lo establecido en la normativa del CEC 2000 el mismo que indica requisitos mínimos de cálculo y diseño sismorresistente, para el cortante basal de diseño y el cálculo de las fuerzas horizontales además del control de derivas de piso y otros efectos.

2.4.- Cargas de Viento

Al igual que los cargas sísmicas son inciertas, y dependen de la presión dinámica del viento, esta presión depende de la velocidad que tenga el viento y de coeficientes eólicos de incidencia, pero en nuestro caso no se lo considera por no estar ubicados geográficamente en zonas expuestas.

2.5.- Prediseño de Elementos

Iniciamos definiendo el sistema de piso que utilizaremos en el Edificio, para la mayoría de edificaciones se utilizan sistemas de losa en dos direcciones apoyadas sobre vigas. Luego definimos los pórticos tanto en el sentido XX como en el sentido YY para realizar el prediseño de los elementos que conforman la Estructura es decir vigas y columnas.



(

3.20

2.5.1.- Prediseño de Losa.- Definimos el tablero que servirá para diseñar la losa, considerando las condiciones o solicitaciones más desfavorables para el mismo; para este ejemplo el tablero que se encuentra entre los ejes (1-2) (A-B), es el que se analiza.

A B

4.90

2

1

Fig. 2.1.- Tablero de Losa en Análisis Para el prediseño de la altura de losa utilizaremos la ecuación 9.11 asumiendo el valor de 0.2 para el promedio de la relación de rigidez a la flexión de la sección de una viga a la rigidez a la flexión de un ancho de losa αm .

ln× 0.8 + fy h =

36 + 5β × α

14000 m − 0.12)

Eq. 9.11

490 × 0.8 + 4200

h = 14000 = 14.72 cm. 36 + 5 × 4.90

× (0.2 − 0.12) 3.20

Asumo un peralte de 20 cm. por que es un espesor que permite realizar instalaciones en el interior del piso.



Pared = 272.00 Kg/m Ventana = 26.50 Kg/m CM Pared 2 = 298.50 Kg/m

2.5.1.- Carga Muerta de Losa

La carga muerta de losa se calcula para cada metro cuadrado, esta cuantificación contiene el peso de los materiales para construirla.

Peso de Loseta de Piso = 120.00 Kg/m2 Peso de Nervios de Losa = 129.60 Kg/m2 Peso de Alivianamientos = 64.00 Kg/m2 Peso de Alisado de Piso = 95.00 Kg/m2 Peso de Acabado de Piso = 19.50 Kg/m2

CM = 428.10 Kg/m2

Fig. 2.2.- Corte Típico de Losa

2.5.2.- Carga Muerta de Paredes

La carga muerta de paredes se calcula para cada metro lineal de pared, esta cuantificación debe diferenciarse asociando a las paredes en paredes tipo.

1.65

Pared = 800.00 Kg/m CM Pared 1 = 800.00 Kg/m

2.50

0.85

1.00 1.00

0.20 0.20

Fig. 2.3.- Paredes Tipo en el Edificio

2.6.- Preparación de Pesos por Piso

De las cargas calculadas adopto los siguientes valores:

CARGA MUERTA CM = 0.43 Tn/m2 CARGA VIVA CV = 0.15 Tn/m2 CARGA PARED 1 CMP1 = 0.80 Tn/m2 CARGA PARED 2 CMP2 = 0.30 Tn/m2



Preparación de Pesos por cada nivel de piso.

Tapagrada Nivel + 16.20

Área = 16.32 m2

CM= 16.32 x 0.43 = 7.02 Tn Peso = 7.02 Tn Masa = 0.72 Tn s2/m

Piso del Nivel + 13.50

Área Planta = 123.30 m2

Área Pozo de Luz = 6.00 m2

Pared 1 = 7.300 m Pared 2 = 49.40 m

CM= 117.30 x 0.43 = 50.44 Tn CMP1= 7.30 x 0.80 = 5.84 Tn CMP2= 49.40 x 0.30 = 14.82 Tn

CMPAREDES= 0.18 Tn/m2 Si se supone distribuida

Peso = 71.10 Tn Masa = 7.26 Tn s2/m Piso del Niveles + 10.80, + 8.10, + 5.40, + 2.70

Área Planta = 123.30 m2

Área Pozo de Luz = 6.00 m2

Pared 1 = 58.10 m Pared 2 = 26.60 m

CM= 117.30 x 0.43 = 50.44 Tn CMP1= 58.10 x 0.80 = 46.48 Tn CMP2= 26.60 x 0.30 = 7.98 Tn

Peso = 104.90 Tn Masa = 10.70 Tn s2/m

CMPAREDES= 0.46 Tn/ m2 Si se supone distribuida



S

2.7.- Carga de Sismo

Para el diseño por sismo se utiliza lo establecido en la normativa del CEC 2000 el mismo que indica requisitos mínimos de cálculo y diseño sismorresistente, para el cortante basal de diseño y el cálculo de las fuerzas horizontales se procede:

Zona Sísmica IV Z= 0.4 Importancia Estructuras I= 1.0 Perfil de Suelo S3 S= 1.5 Respuesta Estructural R= 10 ConFiguración Elevación ConFiguración Planta

Φ P = 1.0 Φ E = 1.0

V = Z I C W

R Φ P ΦE

T = Ct × (hn)3/ 4 T = 0.65 seg.

C = 1.25 × S

T C = 2.40 C ≤ 2.80

V = 0.4 × 1× 2.40 W 10 × 1.0 × 1.0 V = 47.95 Ton.

Fx = (V − Ft) × Wx × hx ∑ Wi × hi

T = 0.65 Ft = 0 Los cálculos anteriores pueden agilitarse usando el archivo “Fuerzas por Sismo.xls” que se incluye con esta guía, el cual es de fácil comprensión y uso. La Tabla 2.1 contiene las fuerzas sísmicas, las cuales deben distribuirse entre los elementos del sistema resistente a cargas laterales en proporción a sus rigideces, considerando la rigidez del piso.

Tabla 2.1.- Determinación de Fuerzas Horizontales de Sismo

Piso Nivel hi (m)

Peso Wi (Tn)

Wi x hi (Tn-m)

Fx (Tn)

6 16,20 7,02 113,72 1,62 5 13,50 71,10 959,85 13,70 4 10,80 104,90 1132,92 16,17 3 8,10 104,90 849,69 12,13 2 5,40 104,90 566,46 8,08 1 2,70 104,90 283,23 4,04

∑ 497,72 3905,87 55,74



−

VIG

A CO

RTA

Al no contar con secciones para las columnas y vigas, realizamos una distribución de estas fuerzas de acuerdo al número de pórticos en cada sentido, la Tabla 2.2 contiene dicha distribución.

Tabla 2.2.- Distribución de Fuerzas Horizontales de Sismo

Piso Nivel hi (m)

Fx (Tn)

F X-X

F Y-Y

6 16,20 1,62 0,81 0,81 5 13,50 13,70 4,57 3,43 4 10,80 16,17 5,39 4,04 3 8,10 12,13 4,04 3,03 2 5,40 8,08 2,69 2,02 1 2,70 4,04 1,35 1,01

2.8.- Cargas actuantes sobre las Vigas

Las cargas que reciben las vigas es el área tributaria de cada una, la Fig. 5 indica un mosaico de cargas en donde la viga corta AC tiene una máxima carga transmitida por el área triangular ACE, la viga larga AB tiene una máxima carga transmitida por el área trapezoidal AEFB. Se indica además la carga equivalente para cada una de ellas.

L

C VIGA LARGA D

S/2 m = S

E F L

S

Tn

w = C arg a Distribuida 2

S/2 45°

m

A B

S/2 L-S S/2

w × S 2 w × S

3

CARGA ACTUANTE CARGA EQUIVALENTE

w × S 2

w × S 3

(3 − m2 ) 2

CARGA ACTUANTE CARGA EQUIVALENTE

Fig. 2.4.- Análisis de Cargas para Vigas



3.20

4.

60

Para el prediseño de vigas cualquiera de los conceptos anteriormente expuestos para la aplicación de cargas es válido sean estas trapezoidales y triangulares ó cargas equivalentes. Definimos los pórticos que calcularemos para el prediseño de secciones estructurales, debemos además tomar muy en cuenta el o los pórticos que tengan las condiciones o solicitaciones más desfavorables para cada sentido; para este ejemplo se analizan los pórticos P2 en XX y PC en YY para prediseñar elementos interiores y los pórticos P3 en XX y PD en YY para prediseñar elementos exteriores o de borde.

El mosaico de cargas para los pórticos que calcularemos en nuestro edificio en análisis, es el indicado en la Fig. 2.5

A B C D

4.90 4.50 5.00

3

2

1

Fig. 2.5.- Mosaico de cargas para los Pórticos P2 y PC

Tanto para las cargas permanentes como para las sobrecargas estimaremos la carga actuante ó la carga equivalente. La Tabla 2.3 indica las cargas que fueron calculadas y asumidas para realizar el análisis para el prediseño estructural del edificio en estudio.

Suponer que la carga de paredes es uniformemente distribuida en el piso, tiene ciertas ventajas sin que esto produzca un sobredimensionamiento, ya que brinda un margen de seguridad para todas las vigas por si existen modificaciones en la arquitectura del proyecto. En el caso que no se acoja esta suposición la carga calculada por metro lineal de pared se ubicará en las vigas correspondientes.

Tabla 2.3.- Cargas y Sobrecargas utilizadas en el Análisis Estructural

Piso Nivel hi (m)

Carga Muerta (Kg/m2)

Carga Viva (Kg/m2)

CMPARED

(Kg/m2)

6 16,20 430 150 0 5 13,50 430 150 180 4 10,80 430 150 460 3 8,10 430 150 460 2 5,40 430 150 460



1 2,70 430 150 460



2

2

2.8.1.- Cargas sobre las Vigas

Viga del Eje C Nivel + 16.20 [Tn/m]

CM = 0.918 CV = 0.320

3.20

1 2

CM = w × S + w × S CV = w × S

+ w × S 3 3 3 3

CM = 0.43 × 3.20 + 0.43 × 3.20 CV = 0.15 × 3.20

+ 0.15 × 3.20 3 3 3 3

CM = 0.918 Tn/m CV = 0.320 Tn/m Viga del Eje C Nivel + 13.50 [Tn/m]

CM = 1.302 CV = 0.320

CM = 1.839 CV = 0.452

3.20 4.60

1 2 3

CM = w × S + w × S CM =

w × S ×

3 − m + w × S

3 3 3 2 3

CM = 0.61× 3.20 + 0.61× 3.20

CM = 0.61× 3.90 3 − (0.847)2 × + 0.61× 4.60

3 3 3 2 3

CM =1.302 Tn/m CM =1.839 Tn/m

CV = w × S + w × S w × S 3 −

m2 CV = ×

+ w × S

3 3 3 2 3

CV = 0.15 × 3.20 + 0.15 × 3.20 CV = 0.15 × 3.90

× 3 − (0.847) + 0.15 × 4.60 3 3 3 2 3

CM = 0.320 Tn/m CM = 0.452 Tn/m



2

2

2

Viga del Eje C Nivel + 10.80, + 8.10, + 5.40, +2.70 [Tn/m]

CM = 1.898 CV = 0.320

CM = 2.685 CV = 0.452

3.20 4.60

1 2 3

CM = w × S + w × S CM =

w × S ×

3 − m + w × S

3 3 3 2 3

CM = 0.89 × 3.20 + 0.89 × 3.20 CM = 0.89 × 3.90

× 3 − (0.847) + 0.89 × 4.60 3 3 3 2 3

CM =1.898 Tn/m CM = 2.685 Tn/m

CV = w × S + w × S w × S 3 −

m2 CV = ×

+ w × S

3 3 3 2 3

CV = 0.15 × 3.20 + 0.15 × 3.20 CV = 0.15 × 3.90

× 3 − (0.847) + 0.15 × 4.60 3 3 3 2 3

CM = 0.320 Tn/m CM = 0.452 Tn/m Estas cargas distribuidas son las que se utilizarán en el pórtico para un análisis preliminar a la definición de las secciones de la estructura. Para los otros pórticos que vamos a prediseñar procedemos de la misma manera, como resultado cada pórtico deberá tener las solicitaciones por carga muerta, por carga viva y por sismo, como se indica en los pórticos mostrados a continuación.



0.81 CM= 1.170 CV= 0.408

2.70

4.57

CM= 1.728 CV= 0.425

CM= 1.660 CV= 0.408

CM= 1.741 CV= 0.428

2.70

5.39

CM= 2.520 CV= 0.425

CM= 2.421 CV= 0.408

CM= 2.539 CV= 0.428

2.70

4.04

CM= 2.520 CV= 0.425

CM= 2.421 CV= 0.408

CM= 2.539 CV= 0.428

2.70

2.69

CM= 2.520 CV= 0.425

CM= 2.421 CV= 0.408

CM= 2.539 CV= 0.428

2.70

1.35

CM= 2.520 CV= 0.425

CM= 2.421 CV= 0.408

CM= 2.539 CV= 0.428

2.70

4.90 4.50 5.00 A B C D

PÓRTICO EJE 2 ESC : 1 : 100



0.81 CM= 0.918 CV= 0.320

2.70

3.43

CM= 1.302 CV= 0.320

CM= 1.839 CV= 0.452

2.70

CM= 1.898

4.04 CV= 0.320 CM= 2.685 CV= 0.452

2.70

CM= 1.898 3.03 CV= 0.320

CM= 2.685 CV= 0.452

2.70

CM= 1.898

2.02 CV= 0.320 CM= 2.685 CV= 0.452

2.70

CM= 1.898 CM= 2.685

1.01 CV= 0.320 CV= 0.452

2.70

3.20 4.59 1 2 3

PÓRTICO EJE C = EJE B ESC : 1 : 100



3.- Opciones de Cálculo Estructural con el Programa Sap2000 Los cambios acordes a la actualidad en el contenido de los cursos de análisis y diseño estructural, han venido eliminando algunos de los llamados “métodos clásicos” del análisis de estructuras los cuales se pueden resolver “a mano” estructuras simples.

Estos cambios se llevan a cabo para poder dar énfasis a los “métodos modernos”, que se basan en la resolución de los problemas mediante una herramienta computacional. Los cambios tecnológicos en la educación en general y en ingeniería estructural son inevitables e irreversibles, y dominar un programa computacional de resolución de estructuras ubica a los ingenieros a la vanguardia.

Para esto un ingeniero estructural debe conocer las capacidades de solución numérica que ofrece el paquete computacional; SAP 2000 permite realizar varios análisis, a continuación se detalla los métodos de cálculo aplicados para resolver el problema y su solución.

3.1.- Cálculo Estático

El cálculo estático se ejecuta por defecto, a menos que se especifiquen parámetros dinámicos en la Sección SYSTEM y se introduzca la masa dinámica, sea en la definición de los elementos o en la Sección MASSES de masas concentradas, el problema estático se plantea en los siguientes términos:

[K]n×n ×[U]n×m =[F]n×m

En donde: n: Número de grados de libertad del sistema m: Número de hipótesis de carga K: Matriz de rigidez de la estructura U: Vector de movimientos nodales, es matriz, si hay varias hipótesis de carga. F: Vector de cargas, es matriz, si hay varias hipótesis de carga.

El programa construye la matriz de rigidez K de la estructura a partir de las matrices de rigidez elementales, forma el vector o matriz de cargas estático F y resuelve el sistema de ecuaciones.

3.2.- Cálculo Dinámico

3.2.1.- Análisis de Respuesta bajo Carga Sinusoidal.

Esta opción permite analizar un problema dinámico particular, el cálculo de la componente estacionaria de la respuesta, cuando la carga varía sinusoidalmente con el tiempo y el amortiguamiento estructural es nulo. La ecuación que define este problema será por lo tanto la siguiente:

M × ü+K × u=F(t) =F × sen(wt) En donde:

u: Vector de movimientos nodales



ü: Vector de aceleraciones nodales



M: Matriz de masas de la estructura K: Matriz de rigidez de la estructura F(t): Vector espacial de cargas que define las componentes de las acciones independientes del

tiempo. Para un caso tan especial como éste, en el que la variación temporal de la carga dinámica es sinusoidal y está concentrada en el término sen (wt) sin afectar al vector F, la solución es del tipo:

u = U × sen(wt) donde U es un vector espacial de desplazamientos, cuyas componentes, al igual que en el vector F, son independientes del tiempo.

La aceleración viene dada por la expresión:

ü = w2 × U × sen(wt) Por tanto, el vector U lo obtendremos como solución al siguiente sistema de ecuaciones lineales;

[K - w2 - M]×U = F El término w debe definirse Sección SYSTEM, a través de la frecuencia expresada en ciclos/seg.

Como se puede observar por lo expuesto anteriormente, este problema, aunque estrictamente es de tipo dinámico, puesto que interviene la matriz de masa M, y la carga y la respuesta varían en el tiempo, no lo es en el sentido de que es conocida la variación temporal de la componente estacionaria de la respuesta, necesitando únicamente determinar su variación espacial. Por lo tanto, la formulación resultante es de tipo estático, debiendo resolver un único sistema de ecuaciones lineales, mientras que en un problema típico de integración directa de la ecuación dinámica es necesario determinar previamente las frecuencias y modos propios y la precisión del cálculo es proporcional al número de incrementos de tiempo.

3.2.2.- Cálculo de Frecuencias y Modos de Vibración

En la Sección SYSTEM se especifica el número de frecuencias y modos de vibración que se desea calcular. La determinación de las frecuencias naturales es un requisito previo para cualquier otro cálculo dinámico, como integración directa o análisis espectral. Como ya se ha comentado anteriormente, el análisis de respuesta bajo carga sinusoidal es, a efectos de cálculo, equivalente a un caso estático, no estando sujeto a este requisito previo.

Para los casos de integración directa y análisis espectral existe, como alternativa el cálculo de frecuencias y modos propios, el uso de vectores de Ritz. Por otro lado, el cálculo de frecuencias y modos propios puede ser de interés por sí solo, por el significado físico que tienen, sin necesidad de recurrir a la integración directa de la ecuación dinámica para justificar su realización.



El programa utiliza un método de iteración de subespacios modificado, para obtener los períodos y vectores propios de la estructura. La iteración de subespacios es un método muy utilizado para resolver problemas de autovalores en grandes estructuras, cuando sólo interesa calcular un número



u j

λ

q relativamente pequeño de autovalores del total de n autovalores posibles, donde n coincide con el número de grados de libertad del sistema, el problema que se desea resolver es el siguiente:

K - u j - w j2 × M × u j = 0

j = 1…q

K × U = M × U × e En donde: K: Matriz de rigidez de la estructura, de dimensiones nxn, siendo n el número total de grados

de libertad, coincidente con el número total de autovalores. M: Matriz de masa de la estructura, de dimensiones nxn. uj: Vector propio o modo de vibración, asociado a la frecuencia wj.

U: Matriz de vectores propios que se desean calcular, de dimensiones nxq. q: Número de frecuencias naturales a obtener y dimensión del subespacio de iteración. e: Matriz diagonal de autovalores λ j , frecuencias naturales al cuadrado, de dimensiones q x q

2 λ j = w j .

El número q de autovalores y autovectores que el programa realmente calcula siempre es mayor que el número especificado por el usuario de la Sección SYSTEM. En los métodos iterativos de cálculo de autovalores, siempre es deseable calcular más autovalores de los que quiere obtener con cierta precisión, debido a que los autovectores asociados a los modos de número de orden más bajo se obtienen con mayor precisión que los de número de orden más alto.

Los llamados métodos de iteración inversa de cálculo de autovalores consisten en expresar de forma iterativa la ecuación de equilibrio dinámico, de manera que en la misma aparezcan simultáneamente la matriz U(i) que se va a calcular en una iteración dada i, junto con la matriz U(i-1)

y la matriz de autovalores e(i-1) de la iteración anterior i-1, tal como se expresa en la siguiente ecuación:

K × U(i) = M×U(i-1) × e(i-1)

(i-1) λ (i-1) = j × K × u (i-1)

j u (i-1) × M × u (i-1)

j j En donde:

U(1): Matriz de vectores propios de la i-ésima iteración.

(i-1) j : Autovalor j de la (i-1)-ésima iteración.

A medida que i tiende a ∞; e(i) y U(i) se aproximan a los autovalores y autovectores solución del problema.

El método de iteración de subespacios incorpora esta idea, pero introduce la variante consistente en



iterar con un subespacio de vectores en lugar de con un solo vector. Es decir, si la estructura tiene n grados de libertad y se quieren obtener q autovalores y autovectores, el objetivo del método es



converger iterativamente hacia el subespacio definido por los q autovectores para, posteriormente, mediante un método convencional, determinar los autovalores y autovectoes. Es importante insistir sobre la importancia del concepto de subespacio en este método.

3.2.3.- Análisis Mediante Vectores de Ritz

Una de las razones principales por las que se calculan los períodos naturales y los modos de vibración de una estructura es la conveniencia de desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales asociado al problema dinámico, para la solución del mismo por integración directa y superposición modal. De esta forma, se convierte un problema dinámico de n grados de libertad en n problemas dinámicos de un solo grado de libertad. Durante mucho tiempo se había asumido que los autovectores constituían la mejor base para ese análisis; sin embargo, se ha demostrado que para algunos problemas dinámicos los autovectores no proporcionan la mejor base para el análisis por superposición modal. El método de los vectores de Ritz proporciona un sistema de vectores ortogonales, basados en la distribución espacial de las cargas y, por tanto, distintos de los autovectores, cuyo cálculo es mucho menor que el de estos últimos, permitiendo también el desacoplamiento y solución del sistema de ecuaciones dinámicas.

El programa permite seleccionar en la Sección SYSTEM el tipo de modos deseado, autovectores o vectores de Ritz, así como su número.

Dadas las matrices M y K, la matriz de amortiguamiento C, el vector espacial de cargas G(s), que define la distribución espacial de las mismas, y la función de tiempo f(t), que modula su evolución temporal, el problema dinámico queda descrito por la siguiente ecuación:

M × ü = +C × ü + K × ü = G(s) × f(t) Como es habitual en muchos métodos de cálculo dinámico, la matriz de amortiguamiento C se supone ortogonal a los autovectores del problema, definidos por K y M.

En general, el método de los vectores de Ritz proporciona resultados más precisos que la superposición modal con autovectores, a igualdad de número de los mismos, con la ventaja adicional de que el tiempo invertido por el método de Ritz es sensiblemente menor. Esta mejora de los resultados se debe a que el método tradicional utiliza los q primeros autovectores, independientemente de si los modos correspondientes son excitados por la carga dinámica, mientras que los métodos de los vectores de Ritz utiliza exclusivamente vectores excitados.

Como se ha dicho anteriormente, el método de los vectores de Ritz constituyen una alternativa al cálculo de los autovectores para el desacoplamiento de las ecuaciones dinámicas, previo a su solución por integración directa.

3.2.4.- Análisis por Espectros de Respuesta.

El análisis por espectros de respuesta es una alternativa de análisis dinámico a la integración directa de la ecuación dinámica. El espectro de respuesta de una determinada acción dinámica que actúa en un intervalo de tiempo representa el valor máximo, en dicho intervalo, de la respuesta de un sistema de un grado de libertad en funciones de su período, para un



coeficiente de amortiguamiento dado.



2

La respuesta puede ser un desplazamiento, una velocidad o una aceleración. El análisis de un sistema de múltiples grados de libertad mediante espectro de respuestas permite obtener los valores máximos de la misma o a lo largo del tiempo, en cada uno de dichos grados de libertad. Para ello, es necesario aplicar alguna técnica de superposición modal que permita la obtención de la respuesta máxima de un grado de libertad global mediante la superposición de las respuestas máximas de los grados de libertad modales.

El método no proporciona información acerca de la simultaneidad de los valores máximos correspondientes a cada modo, por lo que aparecen varias técnicas aproximadas para estimar el valor final resultante.

La técnica más sencilla de superposición modal es la SRSS (Square Root of the Sum of Squares), que como su nombre indica obtiene la máxima respuesta global como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las máximas respuestas modales. Sin embargo, esta técnica no es recomendable cuando los períodos de los distintos modos tienen valores próximos entre sí, puesto que en este caso resulta bastante probable la simultaneidad de los valores máximos, con lo que este método infravaloraría la respuesta.

El programa utiliza para la superposición modal el método CQC (Complete Cuadratic Combination), que es una generalización del método SRSS.

F = ‡” ‡” fn ×pnm × fm n m

En donde:

F: El valor máximo de una fuerza típica del máximo de valores modales del método. fn: Es la fuerza modal asociada con el modo n. pnm: Coeficiente de interacción entre el modo n y el m para amortiguamiento constante es:

p = 8ξ × (1+r) × r 3/2 mn (1- r2 )2 + 4ξ2 × r × (1+ r2)

r = wn

wm

¡Ü1

ξ : Factor de amortiguamiento

El método SRSS es un caso particular del CQC en el que pnm =

δnm . El método CQC trata

conveniente el caso de períodos-próximos, cosa que no puede hacer el método SRSS.

Otro problema adicional constituye la superposición de las respuestas máximas de un grado de libertad global, debido a espectros en distintas direcciones.

3.2.5.- Integración Directa de la Ecuación Dinámica.



La integración directa de la ecuación dinámica, tal como se plantea en la Sección TIMEH del programa, supone determinar un vector de movimiento u, tal que satisfaga la siguiente ecuación:

.



M×ü+C ×u +K ×u = ‡”Gi× fi(t) En donde:

M: Matriz de masa de la estructura, de nxn, donde n es el número total de grados de libertad. C: Matriz de amortiguamiento de la estructura de dimensiones nxn. Se define al especificar

los coeficientes de amortiguamiento modales en la Sección TIMEH. K: Matriz de rigidez de la estructura, de dimensiones nxn. ü. : Vector de aceleraciones nodales. u: Vector de velocidades nodales. u: Vector de desplazamiento nodales. Gi: Vectores espaciales de carga, con valores independientes del tiempo y dimensiones nx1

que han de ser definidos en la Sección LOADS. fi(t): Funciones que modulan la variación temporal de las cargas, con un valor para cada uno de

los incrementos de tiempo en que está definido el problema. Estas funciones se definen en la Sección TIMEH.

Existe un vector de dimensiones nx1 por cada uno de los incrementos de tiempo en que se ha discretizado el problema.

Se trata, por tanto, de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. El programa realiza la resolución en tres etapas fundamentales:

1. Desacoplamiento de las ecuaciones y paso de coordenadas globales a coordenadas modales. 2. Integración directa de las ecuaciones desacopladas en coordenadas modales. 3. Transformación de la solución obtenida en la etapa 2 de coordenadas modales a coordenadas

globales. SAP2000 ofrece dos opciones para realizar la primera etapa, mediante vectores propios o mediante vectores de Ritz. Tanto los vectores propios como los vectores de Ritz son, obviamente, sistemas de vectores ortogonales, basándose en dicha propiedad la posibilidad de desacoplamiento del sistema de ecuaciones. En ambos casos, se debe especificar en la Sección TIMEH el número de vectores que se desea utilizar en el análisis.

La segunda etapa de proceso descrito anteriormente, queda resuelto mediante un método que supondría la solución exacta de la ecuación diferencial, si la fuerza dinámica variara linealmente entre los tiempos correspondientes a cada par de valores consecutivos. Supongamos una cualquiera de las ecuaciones desacopladas:

m × y + C × y + K × y = h(t)

Siendo:

f − f

h(t) = Rfn + n+1 n × (t − tn ) ∆t



En donde: fn: Valor de la función f(t) para el instante tn.



2 C

∆t : Incremento de tiempo ∆t = tn + 1-tn. R: Coeficiente que dependerá del vector propio o de Ritz a que esté asociada la

ecuación desacoplada considerada. La solución a la ecuación anterior será del tipo:

y(t) = G − C × t (A × sen w

2m a × t + B × cos w a × t) + D × t + E (tn < t < t n −1)

En donde:

2

w = w − W = K

a 2× m m

D y E constituyen las constantes de la solución particular y son función de los coeficientes de la ecuación diferencial (m, C, K, R,…), mientras A y B corresponden a la solución de la homogénea y se obtendrá imponiendo las condiciones de contorno: Y(tn)=y e Y(tn)= Y n. Una vez determinadas las constantes se obtienen los valores Yn +1 e Y(tn)= Y n + 1 que sirve de condiciones iniciales para el siguiente intervalo. Tendremos, por tanto, expresiones del tipo:

Yn + 1= f1× (Yn, YnC1, C2...)

Y n +1= f2 × (Yn , YnC1, C2...) Las expresiones anteriores son del mismo tipo que las de cualquier sistema de integración explícito de ecuaciones diferenciales. La diferencia entre el método utilizado por el SAP2000 y otros sistemas de integración radica en que al utilizar la solución exacta para fuerza dinámica con variación lineal, las funciones f1 y f2 incluyen funciones trigonométricas (senos y cósenos), mientras que los correspondientes a los métodos de integración clásicos (Newmark, Wilson-G, etc), sólo utilizan funciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y división). Como consecuencia, el método del SAP2000 es computacionalmente mejor pero no tiene problemas de estabilidad numérica, como ocurre frecuentemente en alguno de los métodos clásicos.

Otra consecuencia de lo anterior es que, en el método utilizado, la solución es igualmente precisa para cualquier intervalo de integración menor o igual que el de discretización de la fuerza puesto que las cargas dinámicas varían linealmente en cada intervalo. Sin embargo, en los métodos clásicos podría darse el caso de que conviniera, por razones de estabilidad y precisión, escoger intervalos de integración menores que el de discretización de la fuerza.

Un caso particular de carga dinámica que permite analizar el programa es el de la carga sísmica descrita mediante acelerogramas. El problema consiste en analizar la respuesta de una estructura sustentada por una base rígida, cuando dicha base experimenta unas aceleraciones predeterminadas. La ecuación que rige el problema es la siguiente:

. M × ü+C × u +K × u = M × R a × Ug (t)

En donde:



Ug(t): Vector de aceleraciones de la base rígida. En el caso más sencillo tendrá una sola componente, aceleración horizontal, por ejemplo:



En general, podría llegar a tener 6 componentes, 3 aceleraciones rotacionales y 3 traslacionales. Sin embargo, el programa es capaz de analizar únicamente 3 aceleraciones traslacionales.

Ra: Matriz de arrastre representa las aceleraciones de arrastre causadas en los

grados de libertad activos del sistema, por aceleraciones unidad de la base rígida. Tendrá por dimensiones nxng donde n es el número de grados de libertad activos de la estructura y ng

es el número de aceleraciones de base rígida considerados. La carga sísmica no constituye sino un caso particular de carga dinámica variable con el tiempo, y por lo tanto, es también posible, aunque más laborioso, darle este tratamiento. En este caso el usuario tendría que calcular la matriz de arrastre e introducir, por una parte, el producto -M-Ra como carga estática G y; por otra, el acelerograma Ug(t) como función de modulación temporal f(t).

3.3.- Modelación de Estructuras en SAP 2000

Las capacidades de modelación del programa son múltiples y representan las últimas investigaciones en técnicas de simulación numéricas y algoritmos de solución. Hay muchas ventajas en el uso de esta herramienta de cálculo en ingeniería estructural. El uso de la computadora permite optimizar el diseño al ser factible considerar diversos sistemas estructurales, geometrías o secciones para una misma estructura en un tiempo razonable

En la siguiente Figura se observan las barras de herramientas, proveen un acceso rápido a las operaciones utilizadas con mayor frecuencia, en las Barras de Menú están la mayoría de comandos que permiten un acceso rápido a algunas opciones.





3.3.1.- Modelación Pórtico Eje C

Utilizando la ruta File/New Model aparece la ventana mostrada a continuación, verificamos las unidades con las que ingresaremos datos al programa en este ejemplo Ton,m,C

Escojemos la opción Grid Only, en ese momento aparece:

En esta ventana podemos ingresar los vanos en las direcciones X como en Y, a espaciamientos iguales, además de el número de pisos que necesitemos. Como no es nuestro caso presionamos “OK”. Aparece la pantalla con la malla que viene por omisión en la ventana “Coordinate System Definition”. En esta ventana pulsamos un “doble click” con el puntero del mouse sobre una de las líneas y se nos aparece la ventana “Modify Grid Lines”.



Aquí ingresaremos las coordenadas necesarias para conFigurar la estructura, a lo largo del eje X, el eje Y y el eje Z este último es el eje vertical o de altura, ingresados los valores presionamos “OK”.

Utilizando la ruta Options/Windows/One trabajaremos en una sola ventana, luego utilizamos el botón yz de la barra de tareas.



Así procedemos a guardar el archivo que tenemos hasta el momento, con la ruta File/Save AS..; con el nombre “Pórtico C”

Empezamos a dibujar nuestra estructura, con el comando Define/Quick Draw Frame Cable, el cual muestra la ventana Propierties Object



Utilizamos el puntero del mouse indicando todo el sector donde se dibujará la estructura.

Automáticamente esta opción traza Elementos Frame en cada espacio de la malla, luego podemos editar este dibujo rápido borrando los elementos innecesarios.



Luego indicamos las restricciones de los nudos de la edificación señalándolos con el mouse como se indica en la Figura a continuación.

Después de que estos son marcados escogemos la opción Assing/Joint/Restraints



En el cuadro que aparece, “Joint Restraints” podemos escoger el tipo de apoyo de los que están ya predefinidos, o definir las características de alguno en particular; en nuestro caso todos tienen la condición de empotramiento.

Después definimos las propiedades mecánicas de los materiales que se utilizaran en la Estructura.

En Define Material/CONC/Modify/Show Material.. para el Hormigón estructural indicamos que sus propiedades según la Tabla 3.1 indicada a continuación; para el Módulo de Elasticidad se aplica lo descrito en la sección 8.5 del ACI.

Tabla 3.1.- Propiedades del Hormigón

Masa por unidad de Volumen m = γ/g = 2.49 E-7 Kg seg2/cm4

Peso por unidad de Volumen γ = 0.0024 Kg/cm3 Módulo de Elasticidad E = 15100 f' c = 218820 Kg/cm2 Relación de Poisson µ = 0.20



La Masa por piso es un valor que nosotros calculamos y la integraremos al análisis más adelante el valor asignado en “Material Property Data” es igual a cero, para que no se incluya por omisión.

Definimos las secciones que asignaremos a los elementos frame para realizar el análisis previo al prediseño de las mismas.



Por no tener secciones definitivas para el modelo estructural, y nuestro interés es calcular los esfuerzos que permitan dimensionar a las mismas, escogemos en la ventana “Frame Properties” la opción Add General o Add Rectangular para asignar secciones iguales a los miembros frame de la estructura.

Luego de escoger Add Rectangular pulsamos “Add New Property” , en la ventana “Rectangular Section” en nombre de sección ponemos uno de fácil identificación, es aquí también en donde se define el material de la sección y sus dimensiones, más adelante cuando tengamos secciones definitivas entraremos en detalles específicos de reforzamiento.

Después de definir una sección cuadrada se presiona con el puntero del mouse “OK” dos veces; en ese instante la sección creada ha sido añadida a la lista de secciones del programa, ahora procedemos a asignar las propiedades de sección para los elementos frame.



Seleccionando los elementos del pórtico y por la ruta Assing/Frame/Cable/Sections asignaremos la sección a todos los elementos frame seleccionados.

Escogiéndola de la lista “Frame Properties” y luego presionando “OK” las secciones son asignadas a los elementos seleccionados en este caso son todos.



Después definimos las cargas que están cuantificadas para él, en el análisis de predimensionamiento.

Para identificar rápidamente en los reportes del análisis, indicaremos los nombres de las cargas en “Define Loads” en este ejemplo CM para carga muerta, CV carga viva y SY el sismo en el sentido YY.



Las nuevas versiones del programa SAP 2000 permiten calcular la fuerza lateral de acuerdo a parámetros de reglamentos utilizados por el programa, en nuestro caso esas fuerzas laterales han sido determinadas por la normativa ecuatoriana y en la opción “Auto Lateral Load” escogemos User Loads.

El multiplicador por peso propio “Self Weight Multiplier” es un factor que incrementa a la carga muerta el peso de los elementos estructurales, para lo cual debemos tener cuidado de no duplicar las cargas muertas , esto lo verificamos en la cuantificación de cargas realizada anteriormente.

Concluidos los pasos anteriores procedemos a ingresar las cargas para nuestro análisis preliminar. Con la opción Select/Intersecting Line señalamos rápidamente los elementos frame que tengan el mismo valor de carga, sea esta carga cualquiera de las definidas anteriormente.



Seleccionamos entonces los elementos frame que en este ejemplo tienen igual carga viva.

Por el camino Asing/Frame Loads/Distribuited.. ingresamos los valores de carga para los elementos seleccionados.



En “Frame Distributed Loads” escogemos el tipo de carga en “Load Case Name”, las unidades, la dirección, si es uniformemente distribuida o trapezoidal.

El programa nos presentará al instante el modelo de carga asignado a cada elemento frame seleccionado, con su valor en la parte izquierda de la representación grafica de la carga si es uniformemente distribuida, y en el caso de cargas trapezoidales en la parte del incremento o decremento de carga. De esta manera procedemos para ingresar todo tipo de cargas distribuidas en elementos frame.

Así se indica el pórtico luego del ingreso de la carga viva en todos los elementos cargados, de igual manera procedemos para la carga muerta.



Para asignar la carga horizontal primero seleccionamos el o los nudos que están solicitados a carga, utilizando el puntero del mouse; el nudo seleccionado nos indicará si está o no seleccionado entonces utilizamos la ruta “Asing/Joint Loads/Forces..

En “Joint Forces” escogemos el tipo de carga en “Load Case Name”, las unidades, y la dirección de la fuerza.

Al igual que en los elementos frame, el programa nos presentará al instante la fuerza asignada a cada nudo seleccionado, con su valor en la parte izquierda superior.



El pórtico luego del ingresos de la carga horizontal en los nudos cargados por esta solicitación.

Entonces hasta aquí el modelo esta listo para ser analizado en el programa a las solicitaciones de carga ingresadas. Como es un análisis para prediseñar elementos estructurales no hemos realizado ningún perfeccionamiento a la estructura, estos los haremos al analizar la estructura definitiva.



Para el análisis definimos los grados de libertad del pórtico por la ruta Analyze/Set Análisis Options

En la ventana “Análisis Options” escogemos los grados de libertad para el análisis del pórtico en el plano YZ, el mismo que no consta en la plantilla Fast DOFs, permitimos el desplazamiento UY, el desplazamiento UZ y la rotación RX, los cuales serán calculados.



Definimos también los casos de análisis por la ruta Define/AnalysisCases.. para los cuales el programa entregará los resultados del calculo.

En la ventana “Analysis Cases” nos aparecen los casos que por omisión los incluye SAP 2000, pero en esta etapa de prediseño de elementos estructurales no necesitaremos el análisis de P-Delta, y tampoco el análisis Modal.

Para la estructura definitiva estos deben ser tomados muy en cuenta para incluir efectos que en un análisis en 2 dimensiones son omitidos. Entonces borramos los mencionados análisis con el botón “Delete Case” y al final presionaremos “OK” para que sean borrados definitivamente.



Por la Ruta Analize/Run Analysis o presionando F5 del Teclado escogemos todos los casos a ser analizados por el programa y pulsamos “Run Now”

Una vez analizada la estructura revisamos el reporte de análisis “Analysis Complete” para verificar si durante el proceso existieron errores luego de haber completado el análisis.



Luego del análisis por la ruta Show Element Forces/Stesses/Frames podemos ver los diagramas de Axial, Corte, Torsión y Momento para elementos frame para todos los casos de carga.

Por ejemplo deseamos observar el diagrama del momento principal o “Mayor” producido por la acción de carga viva, para que se presenten los valores, a más del diagrama debemos escoger en “Options” la opción “Show Values on Diagram”; con la opción Scaling podemos ingresar un factor de escala para agrandar o disminuir el diagrama, el programa escoge una escala ponderada por omisión en la opción “Auto”.



Presionando “OK” se presenta el diagrama de momentos, por carga viva, seleccionando.

Seleccionando con el botón izquierdo y el puntero del mouse cualquier miembro frame, y luego haciendo “click” en el botón derecho, el programa nos presenta en detalle la información de ese elemento.



Por la ruta Show Element Forces/Stesses/Joints podemos ver las reacciones y los desplazamientos en los nudos. Seleccionando con el botón izquierdo y el puntero del mouse cualquier nudo, y luego haciendo “click” en el botón derecho; el programa nos presenta en detalle la información de ese nudo para el estado de carga antes escogido.

Para prediseñara las secciones de los elementos vigas y columnas se necesita un reporte del análisis sea por pantalla, en un archivo de texto o impreso.

Para controlar la salida de datos en el análisis debo asignar cuantos datos requiero para cada elemento frame, es así que para elementos viga asignaremos un número de 3 y para elementos columnas un número de 2, y sigo la ruta Assing/frame/Cable/Output Stations..



La ventana del programa se actualiza a:

Para imprimir el análisis sea en un archivo o por impresora, sigo la ruta File/Print Tables/Analysis Output.



En la ventana que se despliega escojo todos los datos que necesito, para este caso solo requiero las fuerzas en los elementos “Frame Forces”, el botón “Check/UnchecK All” selecciona todos los resultados automáticamente.

Es muy importante revisar el botón “Select Analysis Case”.

Aquí escogemos los casos de carga y combinaciones de existirlas que deseamos se impriman en el reporte. Una recomendación para el documento de reporte es activar “RTF File”, luego “Print to File”, después “Open File When Done” no olvidado ubicar en “Page Orientation” la opción “Landscape” y finalmente el botón “OK”, de esta manera podremos modificar fácilmente el tamaño y el ancho de las columnas.

Para este ejemplo el archivo se guardó como “Pórtico C.rtf”, de este archivo sacaremos los momentos por Carga Muerta, Carga Viva y Sismo, luego aplicamos lo descrito en la sección 9.2 del ACI 318-99 para prediseñar los elementos estructurales. Los valores de carga, corte, torsión y momento de este análisis se debe escoger de acuerdo a la numeración de los elementos frame.



Este proceso para prediseño es mejor que hacer prediseño de elementos estructurales por métodos antes utilizados tales como: El Método de los Giros Adelantados, La doble Cadena Abierta, El método de la Rigidez a Corte Equivalente de Columnas y más métodos que son demorados y sujetos a más errores.



3.3.2.- Reporte del Análisis del Pórtico C

Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3 Text m Text Text Ton Ton Ton Ton-m Ton-m Ton-m

1 0.00000 CM LinStatic -18.7610 0.0000 -0.3293 0.00000 -0.35552 0.00000 1 2.70000 CM LinStatic -18.3560 0.0000 -0.3293 0.00000 0.53355 0.00000 1 0.00000 CV LinStatic -2.9307 0.0000 -0.0518 0.00000 -0.05596 0.00000 1 2.70000 CV LinStatic -2.9307 0.0000 -0.0518 0.00000 0.08386 0.00000 1 0.00000 SY LinStatic 20.4841 0.0000 4.5378 0.00000 8.25012 0.00000 1 2.70000 SY LinStatic 20.4841 0.0000 4.5378 0.00000 -4.00192 0.00000

10 0.00000 CM LinStatic -0.0898 -6.6243 0.0000 0.00000 0.00000 -4.88946 10 2.30000 CM LinStatic -0.0898 -0.1038 0.0000 0.00000 0.00000 2.84776 10 4.60000 CM LinStatic -0.0898 6.4167 0.0000 0.00000 0.00000 -4.41218 10 0.00000 CV LinStatic -0.0111 -1.0545 0.0000 0.00000 0.00000 -0.77571 10 2.30000 CV LinStatic -0.0111 -0.0149 0.0000 0.00000 0.00000 0.45417 10 4.60000 CV LinStatic -0.0111 1.0247 0.0000 0.00000 0.00000 -0.70703 10 0.00000 SY LinStatic -0.4426 3.0258 0.0000 0.00000 0.00000 6.56464 10 2.30000 SY LinStatic -0.4426 3.0258 0.0000 0.00000 0.00000 -0.39474 10 4.60000 SY LinStatic -0.4426 3.0258 0.0000 0.00000 0.00000 -7.35412 11 0.00000 CM LinStatic -11.8579 0.0000 -0.5984 0.00000 -0.78815 0.00000 11 2.70000 CM LinStatic -11.4529 0.0000 -0.5984 0.00000 0.82744 0.00000 11 0.00000 CV LinStatic -1.9763 0.0000 -0.0955 0.00000 -0.12550 0.00000 11 2.70000 CV LinStatic -1.9763 0.0000 -0.0955 0.00000 0.13246 0.00000 11 0.00000 SY LinStatic 9.2506 0.0000 3.3511 0.00000 4.14228 0.00000 11 2.70000 SY LinStatic 9.2506 0.0000 3.3511 0.00000 -4.90559 0.00000 12 0.00000 CM LinStatic -30.4166 0.0000 -1.0299 0.00000 -1.36774 0.00000 12 2.70000 CM LinStatic -30.0116 0.0000 -1.0299 0.00000 1.41294 0.00000 12 0.00000 CV LinStatic -5.2892 0.0000 -0.1678 0.00000 -0.22166 0.00000 12 2.70000 CV LinStatic -5.2892 0.0000 -0.1678 0.00000 0.23129 0.00000 12 0.00000 SY LinStatic -4.3016 0.0000 5.3042 0.00000 6.86022 0.00000 12 2.70000 SY LinStatic -4.3016 0.0000 5.3042 0.00000 -7.46112 0.00000 13 0.00000 CM LinStatic -18.5831 0.0000 1.6283 0.00000 2.18222 0.00000 13 2.70000 CM LinStatic -18.1781 0.0000 1.6283 0.00000 -2.21405 0.00000 13 0.00000 CV LinStatic -3.0681 0.0000 0.2633 0.00000 0.35113 0.00000 13 2.70000 CV LinStatic -3.0681 0.0000 0.2633 0.00000 -0.35978 0.00000 13 0.00000 SY LinStatic -4.9489 0.0000 2.6547 0.00000 3.15845 0.00000 13 2.70000 SY LinStatic -4.9489 0.0000 2.6547 0.00000 -4.00934 0.00000 14 0.00000 CM LinStatic 0.0173 -3.1652 0.0000 0.00000 0.00000 -1.65426 14 1.60000 CM LinStatic 0.0173 0.1116 0.0000 0.00000 0.00000 0.78858 14 3.20000 CM LinStatic 0.0173 3.3884 0.0000 0.00000 0.00000 -2.01146 14 0.00000 CV LinStatic 8.075E-05 -0.4962 0.0000 0.00000 0.00000 -0.26232 14 1.60000 CV LinStatic 8.075E-05 0.0158 0.0000 0.00000 0.00000 0.12192 14 3.20000 CV LinStatic 8.075E-05 0.5278 0.0000 0.00000 0.00000 -0.31304 14 0.00000 SY LinStatic -2.1082 4.5339 0.0000 0.00000 0.00000 7.60126 14 1.60000 SY LinStatic -2.1082 4.5339 0.0000 0.00000 0.00000 0.34705 14 3.20000 SY LinStatic -2.1082 4.5339 0.0000 0.00000 0.00000 -6.90716 15 0.00000 CM LinStatic 0.0030 -6.5988 0.0000 0.00000 0.00000 -4.80840 15 2.30000 CM LinStatic 0.0030 -0.0783 0.0000 0.00000 0.00000 2.87036 15 4.60000 CM LinStatic 0.0030 6.4422 0.0000 0.00000 0.00000 -4.44803 15 0.00000 CV LinStatic -0.0135 -1.0503 0.0000 0.00000 0.00000 -0.76072 15 2.30000 CV LinStatic -0.0135 -0.0107 0.0000 0.00000 0.00000 0.45953 15 4.60000 CV LinStatic -0.0135 1.0289 0.0000 0.00000 0.00000 -0.71130 15 0.00000 SY LinStatic -0.6945 2.4736 0.0000 0.00000 0.00000 5.36802 15 2.30000 SY LinStatic -0.6945 2.4736 0.0000 0.00000 0.00000 -0.32137 15 4.60000 SY LinStatic -0.6945 2.4736 0.0000 0.00000 0.00000 -6.01077 16 0.00000 CM LinStatic -8.2877 0.0000 -0.6157 0.00000 -0.82682 0.00000 16 2.70000 CM LinStatic -7.8827 0.0000 -0.6157 0.00000 0.83551 0.00000 16 0.00000 CV LinStatic -1.4802 0.0000 -0.0956 0.00000 -0.12986 0.00000 16 2.70000 CV LinStatic -1.4802 0.0000 -0.0956 0.00000 0.12832 0.00000 16 0.00000 SY LinStatic 4.7167 0.0000 2.4293 0.00000 2.69567 0.00000 16 2.70000 SY LinStatic 4.7167 0.0000 2.4293 0.00000 -3.86343 0.00000



Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3 Text m Text Text Ton Ton Ton Ton-m Ton-m Ton-m 17 0.00000 CM LinStatic -20.0244 0.0000 -1.0155 0.00000 -1.38400 0.00000 17 2.70000 CM LinStatic -19.6194 0.0000 -1.0155 0.00000 1.35798 0.00000 17 0.00000 CV LinStatic -3.7110 0.0000 -0.1542 0.00000 -0.21639 0.00000 17 2.70000 CV LinStatic -3.7110 0.0000 -0.1542 0.00000 0.19989 0.00000 17 0.00000 SY LinStatic -2.2414 0.0000 3.8905 0.00000 4.81406 0.00000 17 2.70000 SY LinStatic -2.2414 0.0000 3.8905 0.00000 -5.69028 0.00000 18 0.00000 CM LinStatic -11.7359 0.0000 1.6312 0.00000 2.23397 0.00000 18 2.70000 CM LinStatic -11.3309 0.0000 1.6312 0.00000 -2.17034 0.00000 18 0.00000 CV LinStatic -2.0392 0.0000 0.2498 0.00000 0.35152 0.00000 18 2.70000 CV LinStatic -2.0392 0.0000 0.2498 0.00000 -0.32294 0.00000 18 0.00000 SY LinStatic -2.4753 0.0000 1.9602 0.00000 2.00143 0.00000 18 2.70000 SY LinStatic -2.4753 0.0000 1.9602 0.00000 -3.29113 0.00000 19 0.00000 CM LinStatic 0.0817 -3.2380 0.0000 0.00000 0.00000 -1.75620 19 1.60000 CM LinStatic 0.0817 0.0388 0.0000 0.00000 0.00000 0.80322 19 3.20000 CM LinStatic 0.0817 3.3156 0.0000 0.00000 0.00000 -1.88024 19 0.00000 CV LinStatic 0.0338 -0.5215 0.0000 0.00000 0.00000 -0.29652 19 1.60000 CV LinStatic 0.0338 -0.0095 0.0000 0.00000 0.00000 0.12823 19 3.20000 CV LinStatic 0.0338 0.5025 0.0000 0.00000 0.00000 -0.26621 19 0.00000 SY LinStatic -2.7877 2.9098 0.0000 0.00000 0.00000 4.87970 19 1.60000 SY LinStatic -2.7877 2.9098 0.0000 0.00000 0.00000 0.22406 19 3.20000 SY LinStatic -2.7877 2.9098 0.0000 0.00000 0.00000 -4.43157 2 0.00000 CM LinStatic -51.5570 0.0000 -0.6192 0.00000 -0.61198 0.00000 2 2.70000 CM LinStatic -51.1520 0.0000 -0.6192 0.00000 1.05993 0.00000 2 0.00000 CV LinStatic -8.5034 0.0000 -0.0998 0.00000 -0.09847 0.00000 2 2.70000 CV LinStatic -8.5034 0.0000 -0.0998 0.00000 0.17108 0.00000 2 0.00000 SY LinStatic -9.5488 0.0000 5.7640 0.00000 9.33801 0.00000 2 2.70000 SY LinStatic -9.5488 0.0000 5.7640 0.00000 -6.22466 0.00000

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Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3 Text m Text Text Ton Ton Ton Ton-m Ton-m Ton-m 24 0.00000 SY LinStatic -2.5511 1.3049 0.0000 0.00000 0.00000 2.20877 24 1.60000 SY LinStatic -2.5511 1.3049 0.0000 0.00000 0.00000 0.12097 24 3.20000 SY LinStatic -2.5511 1.3049 0.0000 0.00000 0.00000 -1.96683 25 0.00000 CM LinStatic -1.8903 -4.6942 0.0000 0.00000 0.00000 -3.28376 25 2.30000 CM LinStatic -1.8903 -0.1195 0.0000 0.00000 0.00000 2.25189 25 4.60000 CM LinStatic -1.8903 4.4552 0.0000 0.00000 0.00000 -2.73428 25 0.00000 CV LinStatic -0.3740 -1.0763 0.0000 0.00000 0.00000 -0.75985 25 2.30000 CV LinStatic -0.3740 -0.0367 0.0000 0.00000 0.00000 0.52008 25 4.60000 CV LinStatic -0.3740 1.0029 0.0000 0.00000 0.00000 -0.59107 25 0.00000 SY LinStatic -0.9968 0.8242 0.0000 0.00000 0.00000 1.80631 25 2.30000 SY LinStatic -0.9968 0.8242 0.0000 0.00000 0.00000 -0.08928 25 4.60000 SY LinStatic -0.9968 0.8242 0.0000 0.00000 0.00000 -1.98487 26 0.00000 CM LinStatic -2.0856 0.0000 -0.2510 0.00000 -0.12637 0.00000 26 2.70000 CM LinStatic -1.6806 0.0000 -0.2510 0.00000 0.55142 0.00000 26 0.00000 CV LinStatic -0.5027 0.0000 -0.0749 0.00000 -0.03858 0.00000 26 2.70000 CV LinStatic -0.5027 0.0000 -0.0749 0.00000 0.16358 0.00000 26 0.00000 SY LinStatic 0.5021 0.0000 0.2981 0.00000 0.04711 0.00000 26 2.70000 SY LinStatic 0.5021 0.0000 0.2981 0.00000 -0.75767 0.00000 27 0.00000 CM LinStatic -2.1420 0.0000 0.2510 0.00000 0.03598 0.00000 27 2.70000 CM LinStatic -1.7370 0.0000 0.2510 0.00000 -0.64181 0.00000 27 0.00000 CV LinStatic -0.5213 0.0000 0.0749 0.00000 0.00867 0.00000 27 2.70000 CV LinStatic -0.5213 0.0000 0.0749 0.00000 -0.19350 0.00000 27 0.00000 SY LinStatic -0.5021 0.0000 0.5119 0.00000 0.53328 0.00000 27 2.70000 SY LinStatic -0.5021 0.0000 0.5119 0.00000 -0.84893 0.00000 28 0.00000 CM LinStatic -0.2510 -1.6806 0.0000 0.00000 0.00000 -0.55142 28 1.60000 CM LinStatic -0.2510 0.0282 0.0000 0.00000 0.00000 0.77042 28 3.20000 CM LinStatic -0.2510 1.7370 0.0000 0.00000 0.00000 -0.64181 28 0.00000 CV LinStatic -0.0749 -0.5027 0.0000 0.00000 0.00000 -0.16358 28 1.60000 CV LinStatic -0.0749 0.0093 0.0000 0.00000 0.00000 0.23106 28 3.20000 CV LinStatic -0.0749 0.5213 0.0000 0.00000 0.00000 -0.19350 28 0.00000 SY LinStatic -0.5119 0.5021 0.0000 0.00000 0.00000 0.75767 28 1.60000 SY LinStatic -0.5119 0.5021 0.0000 0.00000 0.00000 -0.04563 28 3.20000 SY LinStatic -0.5119 0.5021 0.0000 0.00000 0.00000 -0.84893 3 0.00000 CM LinStatic -32.1588 0.0000 0.9485 0.00000 0.78662 0.00000 3 2.70000 CM LinStatic -31.7538 0.0000 0.9485 0.00000 -1.77436 0.00000 3 0.00000 CV LinStatic -5.1059 0.0000 0.1516 0.00000 0.12585 0.00000 3 2.70000 CV LinStatic -5.1059 0.0000 0.1516 0.00000 -0.28353 0.00000 3 0.00000 SY LinStatic -10.9352 0.0000 4.0383 0.00000 7.79787 0.00000 3 2.70000 SY LinStatic -10.9352 0.0000 4.0383 0.00000 -3.10542 0.00000 4 0.00000 CM LinStatic 0.2757 -2.9562 0.0000 0.00000 0.00000 -1.34849 4 1.60000 CM LinStatic 0.2757 0.3206 0.0000 0.00000 0.00000 0.75995 4 3.20000 CM LinStatic 0.2757 3.5974 0.0000 0.00000 0.00000 -2.37450 4 0.00000 CV LinStatic 0.0436 -0.4621 0.0000 0.00000 0.00000 -0.21205 4 1.60000 CV LinStatic 0.0436 0.0499 0.0000 0.00000 0.00000 0.11767 4 3.20000 CV LinStatic 0.0436 0.5619 0.0000 0.00000 0.00000 -0.37181 4 0.00000 SY LinStatic -0.4439 5.5705 0.0000 0.00000 0.00000 9.39160 4 1.60000 SY LinStatic -0.4439 5.5705 0.0000 0.00000 0.00000 0.47877 4 3.20000 SY LinStatic -0.4439 5.5705 0.0000 0.00000 0.00000 -8.43407 5 0.00000 CM LinStatic 0.7695 -6.6920 0.0000 0.00000 0.00000 -4.97226 5 2.30000 CM LinStatic 0.7695 -0.1715 0.0000 0.00000 0.00000 2.92087 5 4.60000 CM LinStatic 0.7695 6.3490 0.0000 0.00000 0.00000 -4.18316 5 0.00000 CV LinStatic 0.1228 -1.0660 0.0000 0.00000 0.00000 -0.79027 5 2.30000 CV LinStatic 0.1228 -0.0264 0.0000 0.00000 0.00000 0.46610 5 4.60000 CV LinStatic 0.1228 1.0132 0.0000 0.00000 0.00000 -0.66861 5 0.00000 SY LinStatic -0.9409 2.9605 0.0000 0.00000 0.00000 6.34562 5 2.30000 SY LinStatic -0.9409 2.9605 0.0000 0.00000 0.00000 -0.46343 5 4.60000 SY LinStatic -0.9409 2.9605 0.0000 0.00000 0.00000 -7.27249 6 0.00000 CM LinStatic -15.3998 0.0000 -0.6050 0.00000 -0.81493 0.00000 6 2.70000 CM LinStatic -14.9948 0.0000 -0.6050 0.00000 0.81844 0.00000 6 0.00000 CV LinStatic -2.4686 0.0000 -0.0954 0.00000 -0.12818 0.00000



Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3 Text m Text Text Ton Ton Ton Ton-m Ton-m Ton-m

6 2.70000 CV LinStatic -2.4686 0.0000 -0.0954 0.00000 0.12948 0.00000 6 0.00000 SY LinStatic 14.9135 0.0000 3.9717 0.00000 5.38968 0.00000 6 2.70000 SY LinStatic 14.9135 0.0000 3.9717 0.00000 -5.33400 0.00000 7 0.00000 CM LinStatic -40.8626 0.0000 -1.1131 0.00000 -1.53783 0.00000 7 2.70000 CM LinStatic -40.4575 0.0000 -1.1131 0.00000 1.46756 0.00000 7 0.00000 CV LinStatic -6.8755 0.0000 -0.1790 0.00000 -0.24738 0.00000 7 2.70000 CV LinStatic -6.8755 0.0000 -0.1790 0.00000 0.23593 0.00000 7 0.00000 SY LinStatic -6.9388 0.0000 6.2610 0.00000 8.55503 0.00000 7 2.70000 SY LinStatic -6.9388 0.0000 6.2610 0.00000 -8.34956 0.00000 8 0.00000 CM LinStatic -25.4048 0.0000 1.7181 0.00000 2.40880 0.00000 8 2.70000 CM LinStatic -24.9998 0.0000 1.7181 0.00000 -2.22995 0.00000 8 0.00000 CV LinStatic -4.0927 0.0000 0.2744 0.00000 0.38508 0.00000 8 2.70000 CV LinStatic -4.0927 0.0000 0.2744 0.00000 -0.35589 0.00000 8 0.00000 SY LinStatic -7.9748 0.0000 3.0973 0.00000 4.16707 0.00000 8 2.70000 SY LinStatic -7.9748 0.0000 3.0973 0.00000 -4.19567 0.00000 9 0.00000 CM LinStatic -0.0066 -3.1369 0.0000 0.00000 0.00000 -1.60659 9 1.60000 CM LinStatic -0.0066 0.1399 0.0000 0.00000 0.00000 0.79107 9 3.20000 CM LinStatic -0.0066 3.4167 0.0000 0.00000 0.00000 -2.05416 9 0.00000 CV LinStatic 1.106E-04 -0.4923 0.0000 0.00000 0.00000 -0.25498 9 1.60000 CV LinStatic 1.106E-04 0.0197 0.0000 0.00000 0.00000 0.12305 9 3.20000 CV LinStatic 1.106E-04 0.5317 0.0000 0.00000 0.00000 -0.31812 9 0.00000 SY LinStatic -1.3993 5.6629 0.0000 0.00000 0.00000 9.47628 9 1.60000 SY LinStatic -1.3993 5.6629 0.0000 0.00000 0.00000 0.41557 9 3.20000 SY LinStatic -1.3993 5.6629 0.0000 0.00000 0.00000 -8.64514

El resultado de nuestro análisis entrega para el pórtico las solicitaciones de momento, carga axial, corte y torsión por carga muerta, por carga viva y por sismo, como se indica en los pórticos mostrados a continuación.



MOMENTOS POR CARGA VIVA [Kg-m]

-0.164 0.231

-0.194

2.70

-0.220 0.100

-0.399 -0.760

0.520

-0.591

2.70

-0.296 0.128

-0.266 -0.757

0.446

-0.742

2.70

-0.262 0.122

-0.313 -0.761

0.460

-0.711

2.70

-0.255 0.123

-0.318 -0.776

0.454

-0.707

2.70

-0.212 0.118

-0.372 -0.790

0.466

-0.669

2.70

3.20 4.59 1 2 3




MOMENTOS POR CARGA MUERTA [Kg-m]

-0.551 0.770

-0.642

2.70

-1.089 0.499

-1.630 -3.283

2.252

-2.734

2.70

-1.756 0.803

-1.880 -4.769

2.844

-4.540

2.70

-1.654 -2.011 -4.808 0.788

2.870

-4.448

2.70

-1.606 0.791

-2.054 -4.889

2.848

-4.412

2.70

-1.348 0.760

-2.374 -4.972

2.921

-4.183

2.70

3.20 1 2

4.59 3




MOMENTOS POR CARGA DE SISMO [Kg-m]

0.757 -0.850

2.70

2.209 -1.967 1.806 -1.985

2.70

4.880 -4.432 3.598

-4.000

2.70

7.601 -6.907 5.368 -6.011

2.70

9.476 -8.645 6.564 -7.354

2.70

9.392 -8.434 6.345

-7.272

2.70

3.20 4.59 1 2 3




MOMENTOS POR COMBINACIONES DE CARGA [Kg-m]

-1.850 1.471

-2.111

2.70

-4.521 0.870

-4.978 -6.950

4.037

-6.408

2.70

-9.066 1.342

-8.529 -11.018

4.740

-11.319

2.70

-12.732 1.311

-12.198 -13.547

4.800

-14.007

2.70

-15.303 1.317

-14.687 -15.330

4.759

-15.848

2.70

-14.858 1.264

-14.796 -15.128

4.882

-15.444

2.70

3.20 4.59 1 2 3




w

4.- Combinaciones de Carga Las combinaciones de carga que se utilizaron para el prediseño de elementos son las descritas en los literales 9.2.1 los de 9.2.2 y 9.2.3 del ACI 318 –99, aplicando los criterios descritos en esos artículos.

1. 1.4D+1.7L 2. 0.75(1.4D+1.7L+1.87E) 3. 0.75(1.4D+1.7L+1.87E) 4. 0.9D +1.43E 5. 0.9D -1.43E

Considerando que para las vigas utilizaremos las combinaciones así: Para Flexión Momentos Positivos 1ª Combinación de Carga. Para Flexión Momentos Negativos 2ª y 3ª Combinaciones de Carga que comparadas con la 1ª

no deben ser menores. Para las columnas debemos utilizar las combinaciones así: Para Flexo compresión Biaxial 1ª Combinación de Carga. Para Flexo compresión Biaxial 4ª y 5ª Combinación de Carga que comparadas con la 1ª

no deben ser menores. Estas combinaciones de carga están incorporadas en las opciones de diseño en concreto en SAP 2000 por la ruta Desing/Concrete Frame Desing, pero en lo personal creo que las combinaciones de carga estamos obligados a realizarlas manualmente en esta etapa; para además de verificar los resultados, analizar su comportamiento ante carga viva, carga muerta y efectos por sismo.

5.- Prediseño según las Disposiciones especiales para el diseño Sísmico ACI 318-99 Elementos sujetos a Flexión porcentajes máximos y mínimos:

Asmin = 0.8

fy f' c

× b ×

d Eq. 10.3

Asmin = 14 × b ×

d fy w

ACI 21.3.2.1

0.8 f' c ρmin = fy

ρ = 14 min fy

ρmáx = 0.75 × ρb ACI 10.3.3

ρb =

0.85 × β1× f' c fy

× 6100 6100 + fy Eq. 8.1



ρmáx = 0.025 ACI 21.3.2.1



Elementos sujetos a Flexión dimensiones máximas y mínimas:

b w ≥

0.3 d

ACI 21.3.1.3

b w ≥ 25 cm

ACI 21.3.1.4

b ≤ 3 × d w 4 ACI 21.3.1.4

Resistencia Nominal y resistencia última:

Mn = q × f' c × b w × d2 × (1− 0.59 × q)

Mu = ø × q × f' c × b w × d2 × (1− 0.59 × q)

ø = 0.9 ACI 9.3.2

q = ρ × fy f' c

Elementos sujetos a Flexión y Carga Axial porcentajes máximos y mínimos:

0.01≤ ρ ≤ 0.06 ACI 21.4.3.1

Elementos sujetos a Flexión dimensiones máximas y mínimas:

b ≥ 30 cm

ACI 21.4.1.1

b ≥ 0.4

h ACI 21.4.1.2 Resistencia Nominal y resistencia última:

Pn ≤

1 Pox

1 +

1 −

1 Po y Po

Pu ≤ Ag × f' c

10 ACI 21.4.1

Pn = Pu ø

ø = 0.75 Refuerzo con Espirales ACI 9.3.2



ø = 0.70 Refuerzo con Estribos ACI 9.3.2



5.1.- Prediseño de Vigas

Viga Eje C Nivel + 2.70 = Nivel + 5.40

Momento máximo de Prediseño Mu= 15.848 Tn-m

Calculo los porcentajes mínimo y máximo permitidos:

ρmin =

0.8 fy

f' c = 0.0028 ρ =

14 min fy = 0.0033

ρb =

0.85 × β1× f' c fy

× 6100 =

6100 + fy 0.0214 ρmáx = 0.75 × ρb = 0.016

Asumo un porcentaje de acero que puede ser menor o igual que el máximo:

ρmáx = 0.016

Calculo el índice de refuerzo para ese porcentaje y obtengo:

qmáx = ρmáx × fy f' c

qmáx = 0.320 De la ecuación de momento último resistente despejo la sección buscada:

Mu = ø × q × f' c × b w × d2 × (1− 0.59 × q)

b w × d2 = Mu

ø × q × f' c × (1− 0.59 × q)

b w = 25 cm

d = Mu

ø × q × f' c × b w × (1− 0.59 × q)

15.848 × 105 d =

0.9 × 0.32 × 210 × 25 × (1− 0.59 × 0.32)

d = 35.94 cm

Asumo una sección: bW=25 cm H =40 cm





b w × d2 = Mu

ø × q × f' c × (1− 0.59 × q)

b w = 25 cm

d = Mu

ø × q × f' c × b w × (1− 0.59 × q)

14.007 × 105 d =

0.9 × 0.32 × 210 × 25 × (1− 0.59 × 0.32)

d = 33.79 cm




b w × d2 = Mu

ø × q × f' c × (1− 0.59 × q)

b w = 25 cm

d = Mu

ø × q × f' c × b w × (1− 0.59 × q)

6.950 × 105 d =

0.9 × 0.32 × 210 × 25 × (1− 0.59 × 0.32)

d = 23.80 cm




Viga Eje 2 Nivel + 2.70 = Nivel + 5.40


b w × d2 = Mu

ø × q × f' c × (1− 0.59 × q)

b w = 25 cm

d = Mu

ø × q × f' c × b w × (1− 0.59 × q)

15.453 × 105 d =

0.9 × 0.32 × 210 × 25 × (1− 0.59 × 0.32)

d = 35.50 cm


Viga eje 2 Nivel + 8.10 = Nivel + 10.80


b w × d2 = Mu

ø × q × f' c × (1− 0.59 × q)

b w = 25 cm

d = Mu

ø × q × f' c × b w × (1− 0.59 × q)

13.503 × 105 d =

0.9 × 0.32 × 210 × 25 × (1− 0.59 × 0.32)

d = 33.18 cm




Viga eje 2 Nivel + 13.50 = Nivel + 16.20


b w × d2 = Mu

ø × q × f' c × (1− 0.59 × q)

b w = 25 cm

d = Mu

ø × q × f' c × b w × (1− 0.59 × q)

5.839 × 105 d =

0.9 × 0.32 × 210 × 25 × (1− 0.59 × 0.32)

d = 21.82 cm




5.2.- Prediseño de Columnas

Columna C2

Pu= PC + P2

PuCM= 51.557 + 64.956 Tn PuCV= 8.503 + 10.979 Tn

Pu= 196.24 Tn

Calculo el área de concreto Ag:

Pn = Pu ø

Ag × f' c = Pu ø

Ag = Pu

ø × f' c

Ag = 196.24 × 1000 0.7 × 210

Ag = 1334.96 cm2 Escojo una sección cuadrada: ρ = 0.01

b = Ag

b = 9344.76

b = 36.54 cm

b = 35 cm b ≥ 30 cm OK


El lector debe predimensionar los pórticos P1 en el sentido XX y PD en el sentido YY y comprobar que las dimensiones a continuación anotadas están asumidas dentro de un rango de tolerancia aceptable de acuerdo con los cálculos. Para este fin deberá elaborar los archivos en SAP 2000, imprimir el reporte, y luego de realizar la combinación de cargas predimensionar los elementos.



6.- Análisis Estático Espacial del Edificio en Estudio Para realizar el análisis espacial del edificio utilizamos las secciones obtenidas mediante el análisis estático en el plano, la Tabla 6.1 indica las secciones obtenidas en el predimensionamiento antes descrito, estas secciones son las que se someterán al análisis y verificación del comportamiento de la estructura, en máximo rigor deberíamos calcular los pesos adicionales de las columnas y vigas que ya no fueron considerados en la preparación de pesos por piso para el prediseño.

Tabla 6.1.- Resumen de Secciones Obtenidas del Predimensionamiento

Piso Viga EJE 1 = EJE 3

Viga EJE 2

Viga EJE A = EJE D

Viga EJE B = EJE C

COLUMNAS TIPO

Nivel + 16,20 25 x 25 25 x 25 - 25 x 25 35 x 35 Nivel + 13,50 25 x 25 25 x 25 25 x 25 25 x 25 40 x 40 Nivel + 10,80 25 x 25 25 x 35 25 x 25 25 x 35 40 x 40 Nivel + 8,10 25 x 25 25 x 35 25 x 25 25 x 35 40 x 40 Nivel + 5,40 25 x 30 25 x 40 25 x 30 25 x 40 40 x 40 Nivel + 2,70 25 x 30 25 x 40 25 x 30 25 x 40 40 x 40

Las cargas muertas y sobrecargas que se indican en la Tabla 6.2 son las calculadas anteriormente, y que también se incluyen en el modelo de análisis, más cabe indicar que no ingresaremos para el análisis la carga muerta, ya que ingresaremos un factor de multiplicación de peso propio igual a uno.

Tabla 6.2.- Cargas y Sobrecargas para el Análisis Estático Espacial

Piso Carga Muerta (Kg/m2)

Carga Viva (Kg/m2)

CMPARED

(Kg/m2) Peso (Tn)

Masa (Tn s2 /m)

6 430 150 0 7.02 0.72 5 430 150 180 71.10 7.26 4 430 150 460 104.90 10.70 3 430 150 460 104.90 10.70 2 430 150 460 104.90 10.70 1 430 150 460 104.90 10.70

6.2.- Determinación del Centro de Masas.

El centro de masas de cada piso del edificio debe ser ubicado, para así colocar en planta el punto donde se supone concentrado el corte sísmico que actúe en ese nivel según 6.4.2 CEC 2000.

El cálculo de la posición del Centro de Masas se puede realizar descomponiendo la Figura de la planta en rectángulos, ubicando los centros de gravedad de cada uno respecto a dos ejes perpendiculares X, Y, y realizando el producto del área del rectángulo por la distancia del centro a cada eje. Las fórmulas que se aplican en este caso son:

X CM =

∑ Ai × Xi ∑ Ai

YCM =

∑ Ai × Yi ∑ Ai



3.73

4

En donde

XCM , YCM: Coordenadas del Centro de Masas.

Xi , Yi: Coordenadas del Rectángulo i

Ai: Área del Rectángulo i Para la planta de este ejemplo el Centro de Masa se calcula con el procedimiento descrito anteriormente, descomponemos la planta en seis rectángulos, para cada uno calculamos su área y determinamos la posición de su centro de gravedad respecto al sistema de coordenadas X,Y. Como se indica en la Figura 6.1.

CM A2 A5 A6

A3 A1

7.085

Fig. 6.1.- Ubicación del Centro de Masas en Planta La Tabla 6.3 indica el cálculo del centro de masas para el edificio en estudio, este centro de masas del caso en particular es igual en todos los niveles de piso.

Tabla 6.3.- Cálculo del Centro de Masas

Área X Y A.X A.Y Nº (m2) (m) (m) (m3) (m3)

A1 4.00 -0.65 1.90 -2.60 7.60 A2 44.80 2.65 3.95 118.73 176.96 A3 9.60 6.45 2.30 61.92 22.08 A4 0.40 6.45 7.80 2.58 3.12 A5 56.80 11.00 3.90 624.81 221.52 A6 1.70 15.05 3.95 25.59 6.72

117.30 831.03 438.00

X CM = 7.085 m YCM = 3.734 m



3.66

7

6.3.- Determinación del Centro de Rigideces CR

El centro de rigideces de cada planta del edificio debe ser ubicado para, así colocar en planta el punto alrededor del cual se supone gira la planta del nivel superior respecto a la planta del nivel inferior.

El cálculo de la posición del Centro de Rigideces se puede realizar considerando la rigidez a cortante de cada elemento sismorresistente según la dirección en que actúa multiplicada por la menor distancia al eje de referencia, la suma de los productos de todos los elementos que actúan en una dirección, dividida por la suma de las rigideces actuantes en esa dirección nos ubica una de las coordenadas del centro de rigideces. Las fórmulas que se aplican en este caso son:

X CR =

∑Ki × Xi ∑Ki

YCR =

∑Ki × Yi ∑Ki

En donde

XCR , YCR Coordenadas del Centro de Rigideces

Xi , Yi Coordenadas del Elemento Sismorresistente i

Ki Rigidez a Cortante del Elemento Sismorresistente i

Para la planta de este ejemplo el Centro de Rigidez Figura 6.2 se calcula con el procedimiento descrito anteriormente, calculando la Rigidez a Cortante de los Elementos Sismorresistentes que en este caso particular todos son columnas, debe tomarse muy en cuenta el sentido de para los cuales calculamos el momento de inercia.

CR

7.175

Fig. 6.2.- Ubicación del Centro de Rigidez en Planta



ey

Para el calculo del Centro de Rigidez se procede:

Rigidez a cortante en Columnas

Para las columnas de 30 x 30

K = 12 × E × I L3

K = 12 × 218820 × 67500

2703

K = 9005 Kg/cm

X CR = (9005 × 4.90) + (9005 × 9.40) + (9005× 14.40) = 7.175 m

4 × 9005

YCR = (9005× 3.2) + (9005× 7.8) = 3.667 m

3 + 9005 Al igual que en el centro de masas para el edificio en estudio, el centro de rigidez de este caso en particular es igual en todos los niveles de piso.

6.4.- Corte Sísmico por Torsión

Al no coincidir, en cada nivel, los centros de rigideces ( CR ) con el centros de masas ( CM ), aparece en cada nivel un Momento Torsional.

El efecto físico se manifiesta como un giro de la planta i respecto a la planta inferior i-1, el giro se produce alrededor del centro de rigideces CR, como se indica en la Figura 6.3.

CR

CM

ex

Li

Fig. 6.3.- Ubicación del Centro de Rigidez en Planta



Según el CEC 6.5.1 el momento Torsional de diseño de un pisos determinado debe calcularse como el momento resultante de las excentricidades entre las cargas laterales de diseño en los pisos superiores al piso considerado, y tomando en cuenta la torsión accidental.

El valor del Momento Torsor se calcula realizando el producto del corte en la planta por la distancia entre el CR y el CM considerando lo estipulado en el CEC 6.4.2. Esta distancia es conocida como excentricidad e.

La excentricidad de cálculo entonces queda definida por:

ei = ex + 0.05 × Li En donde:

ei E excentricidad de cálculo ex Es la distancia entre el centro de giro CR y el centro de masas de CM Li Es la Máxima dimensión en planta del nivel i.

El momento torsor total en el nivel i se calculará usando la expresión:

MTi = FXi × ei MTi Momento torsor en el entrepiso. FXj Fuerzas sísmicas ubicadas sobre el nivel i. ei Excentricidad de cálculo en el nivel i.

A continuación se calculan los momentos torsionantes, para esto utilizamos los cálculos anteriormente realizados, esta excentricidad será igual para todos los niveles de piso, excepto en el nivel 6 en el que coinciden el CR y el CM para ese caso se toma la excentricidad mínima.

Centro de Masas está ubicado en:

X CM = 7.085 m YCM = 3.734 m

Centro de Rigideces está ubicado en:

X CR = 7.175 m YCR = 3.667 m

Las excentricidades se calculan son:

eix = (7.175 − 7.085) + 0.05 × 14.40 eix = 0.81m

eix = (3.734 − 3.667) + 0.05 × 14.40 eix = 0.79 m



La Tabla 6.4 indica los momentos torsores producidos por la acción de un sismo para el sentido XX y el sentido YY.

Tabla 6.4.- Momentos Torsores Generados por Acción Sísmica

Piso Fx (Tn)

ei XX (m)

ei YY (m)

Torsión XX (Tn-m)

Torsión YY (Tn-m)

6 1,62 0.22 0.22 0.36 0.36 5 13,70 0.81 0.79 11.10 10.82 4 16,17 0.81 0.79 13.10 12.77 3 12,13 0.81 0.79 9.83 9.58 2 8,08 0.81 0.79 6.54 6.38 1 4,04 0.81 0.79 3.27 3.19

En este momento tenemos todos los datos necesarios para realizar el análisis, entonces procedemos a realizar la modelación en SAP 2000.

7.- Modelación Estructura Tridimensional Utilizando la ruta File/New Model y verificamos las unidades con las que ingresaremos datos al programa en este ejemplo Ton,m,C escogemos la opción Grid Only, editamos la malla en la ventana “Modify Grid Lines”, que es donde ingresaremos las coordenadas necesarias para conFigurar la estructura, a lo largo del eje X, el eje Y y el eje Z este último es el eje vertical.



Luego de haber ingresado las coordenadas procedemos a guardar el archivo que tenemos hasta el momento, con la ruta File/Save As..; con el nombre “Estático Espacial”

Dibujamos la estructura, con el comando Define/Quick Draw Frame Cable, el cual muestra la ventana Propierties of Object



Utilizamos el puntero del mouse indicando todo el sector donde se dibujará la estructura.

Automáticamente esta opción traza Elementos Frame en cada espacio de la malla, luego podemos editar este dibujo borrando los elementos innecesarios en planta y elevación.



Colocando la vista en el plano XY en Z=0, borramos los elementos frames que no corresponden a nuestro modelo, Luego indicamos las restricciones de los nudos de la edificación señalándolos con el puntero del mouse.

Después de que estos son marcados escogemos la opción Assing/Joint/Restraints



En el cuadro que aparece, “Joint Restraints” podemos escoger el tipo de apoyo de los que están ya predefinidos, o definir las características de alguno en particular; en nuestro caso todos tienen la condición de empotramiento.

Después definimos las propiedades mecánicas de los materiales que se utilizarán en la Estructura, tomando en cuenta las unidades con las que ingresamos estos datos.

En Define Material/CONC/Modify/Show Material.. para el Hormigón estructural indicamos que sus propiedades según la Tabla indicada a continuación; para el Módulo de Elasticidad se aplica lo descrito en la sección 8.5 del ACI.

Tabla 7.1.- Propiedades del Hormigón

Masa por unidad de Volumen m = γ/g = 2.49 E-7 Kg seg2/cm4

Peso por unidad de Volumen γ = 0.0024 Kg/cm3 Módulo de Elasticidad E = 15100 f' c = 218820 Kg/cm2 Relación de Poisson µ = 0.20



La Masa por piso es un valor que ya calculamos y lo integraremos al análisis más adelante por esta razón el valor asignado en “Material Property Data” para le masa es igual a cero.

Definimos las secciones que asignaremos a los elementos frame para realizar el análisis, estas secciones son las que determinamos en el prediseño.



En la ventana “Frame Properties” escogemos la la opción Add Rectangular para definir las secciones de los miembros frame de la estructura.

Luego de escoger Add Rectangular pulsamos “Add New Property”, en la ventana “Rectangular Section” en nombre de sección escribimos uno de fácil y rápida identificación, es aquí también en donde se define el material de la sección y sus dimensiones.

Las dimensiones son definidas perpendicularmente a los ejes locales 2 y 3 que están en el gráfico de “Rectangular Section”, la dimensión t3 que indica la altura del elemento es perpendicular a 3 y la dimensión t2 que indica la base del elemento es perpendicular a 2.

El botón “Section Properties...” contiene las propiedades de la sección tales como el área, inercias, radios de giro y más propiedades que son calculadas por el programa automáticamente.

El botón “Set Modifiers...” sirve para modificar las propiedades de sección que el programa ha calculado, por ejemplo es aquí podemos ingresar los valores para realizar los cálculos con inercias agrietadas, decidir si tomamos o no en cuenta el peso del elemento al cual le estamos asignando propiedades independientemente del multiplicador 1 en la carga muerta.



Para elementos de concreto debemos especificar el acero de refuerzo, el cual identificará si son elementos que trabajan a compresión o elementos que trabajan a flexión, esto lo definimos haciendo click en el botón “Reinforcement...”, aquí escogemos como trabaja nuestro elemento frame.

En la ventana “Reinforcement Data” asignamos propiedades de refuerzo para vigas y columnas, para estas últimas si son rectangulares o circulares, además del refuerzo transversal si son estribos “Ties”, o si es un zuncho “Spiral”.

Como la sección que definimos fue especificada como columna el resultado en la ventana es el indicado, algunas veces los aceros de refuerzo marcados en rojo quedan fuera de la sección en ese caso está mal definido el recubrimiento que se asigna en “Cover to Rebar Center” que se asigna en la ventana anterior.



De manera similar procedemos para los elementos frame restantes, para el caso de vigas el programa no presenta ninguna distribución de acero de refuerzo, pero al igual que en las columnas debemos tener cuidados en el recubrimiento que se asigna en “Concrete Cover to Rebar Center” escogiendo la opción “Beam”.

Luego de ingresar todas las secciones para este ejemplo luego la ventana “Frame Properties” queda como se indica luego, para este modelo modelaremos un diafragma de piso en dos direcciones es por esto que se incluye un Frame denominados NERVIOS.

Después de definir cada sección presiono con el puntero del mouse “OK” dos veces; en ese instante la sección creada ha sido añadida a la lista de secciones del programa.



Para asignar las propiedades al sistema de piso sigo la ruta Define/Area Section aquí asignamos las secciones y propiedades a los elementos Shell.

En la ventana “Area Sections” escogemos la opción “Add New Section...” o podriamos modificar la existente pulsando en “Modify/Show Section...” para modificar el elemento que el programa trae por omisión como área o shell.

Luego de escoger “Modify/Show Section...” aparece la ventana ”Area Section”, en nombre de sección escribimos uno de fácil y rápida identificación, es aquí también en donde se define el material de la placa o membrana y sus dimensiones.

Las dimensiones son definidas por el espesor total del elemento área, además se debe especificar el tipo de elemento resistente que es en las opciones, Shell Cascara; Membrane Membrana; Plate Placa.



Para nuestro caso la loseta viene a ser un elemento Shell de concreto rigidizada con verdaderas viguitas llamadas nervios.

El botón “Set Modifiers...” sirve para modificar las propiedades del área que el programa ha calculado automáticamente.

Hasta el momento ya hemos ingresado todos los elementos que intervendrán en el análisis, nuestro siguiente procedimiento será asignar las secciones para cada uno de estos elementos y las cargas.

Pero antes definimos el modelo incluyendo los sistemas de piso, los volados, los ductos, y más elementos que traten de asemejar el modelo de análisis a la realidad.

Para lo indicado pulsamos botón derecho sobre la pantalla escogemos la ruta Edit Grid Data/GLOBAL/Modify Show Sistem y en la ventana “Modify Grid Lines” y defino las dimensiones de los volados de la estructura, también los pozos de luz en este caso en particular.

Además en este momento es conveniente ingresar también las coordenadas de los centros de masas para cada piso, en este ejemplo todos los pisos son simétricos por lo que la



ubicación en planta de los centros de masa es común.



Ahora debemos definir el sistema de piso que existe en nuestro ejemplo, para lo cual escogemos la vista en el plano XY en Z=2.70, utilizando la opción Draw/Quick Draw Area, dibujamos los tableros que existen.

Luego definimos las condiciones de losa bidireccional para lo cual, dividiremos a cada tablero en los nervios que este tenga, debemos tomar en cuenta que en el prediseño de losa se definió que el espaciamiento entre ejes de nervios es 0.50 m, y para saber en cuantas partes debo dividir mi elemento “Área”, relaciono el largo o ancho del tablero para el espaciamiento entre nervios.



Una vez que he definido en cuantas partes se dividirá el tablero lo selecciono haciendo click con le puntero del mouse y utilizo la ruta Edit/Mesh Areas...

En la ventana “Mesh Selected Shells” ingreso el número de partes en que se dividirá el elemento seleccionado.

En este caso el tablero seleccionado se dividirá en diez partes en el eje XX y en seis partes a lo largo del eje YY, luego este proceso se realiza para todos los tableros que deseamos mallar o que como en este ejemplo servirán para modelara luna losas bidireccional, prestando importancia en que todos los elementos deben estar conectados entre sí por los nudos de conexión.



Luego de dividir el primer tablero obtengo el resultado que se presenta a continuación:

Al final luego de dividir los elementos área de todo el pisos nos queda:



En ese momento definimos los volados aproximadamente, suprimo los elementos área en donde están ubicados en los ductos obteniendo el siguiente modelo de piso.

Es hora entonces de ubicar el centro de masas de este piso Nivel +2.70, siguiendo la ruta Draw/Draw Special Joint



Realizando un Zoom en las coordenadas del centro de masas dibujo mi nudo especial .

Restaurando la vista la pantalla me indica todos los nudos que existen en esa vista.



Definida la malla de piso dibujamos los nervios, para lo cual seguimos la ruta Draw/Draw Frame/Cable, y los dibujamos de extremo a extermo en los dos sentidos.

Una vez dibujados los nervios debemos dividir los miembros en cada conexión o intersección que existe entre nervios para lo cual seleccionamos la planta.



Utilizamos la ruta Edit/Divide Frames...

Nos aparece la ventana “Divide Selected Frames” escogemos la opción “Break at Intersections with Selected Frames and Joints” que como su traducción indica realiza la división de elementos frame en cada conexión o intersección.

Luego pulsamos “OK”



El modelo está listo para asignar las secciones, entonces seleccionando con el puntero del mouse la planta del nivel 2.70 asigno las secciones.

Asigno entonces en ese piso la sección NERVIOS.



Luego replico el piso del nivel +2.70 a todos los pisos comunes, para lo que borramos las vigas de los niveles superiores para que no se dupliquen.

En la ventana “Replicate” indicamos la distancia a la que se replicaran los elementos seccionados y su dirección en ejes globales.

Al ingresar los datos indicados todos los elementos seleccionados se replicarán cada 2.70 en el eje z en un número de cinco, Esta operación puede tardar un poco ya que de pende de la versatilidad del computador.



El modelo completo queda:

Utilizando la vista del plano XY asigno los tipos de secciones para todas las vigas de los diferentes niveles, para lo cual selecciono las vigas comunes de cada eje.



A más de identificar por el nombre a las secciones, en las nuevas versiones de SAP 2000 se las puede identificar por color asignado para cada sección.

Por el camino View/Set Elements.. puedo escoger esta opción.

En al ventana “Set Element Display Option For Active Window” activo “Shade Elements” y escojo la opción Sections en “View by Colors of” y presiono OK.



La ventana activa muestra las secciones de todos los elementos diferenciándolos por colores, de esta manera podemos identificar miembros que han sido mal asignados su sección.

Otras opciones que son importantes para verificar las asignaciones a nuestro modelo, son por ejemplo el tener ocultos algunos elementos.

Por el camino View/Set Elements.. oculto todos los elementos Área; para esto selecciono “Hide All” y presiono OK.



El resultado de la ejecución de este comando oculta todos los elementos área y presenta en la pantalla activa el siguiente resultado.

Por Didáctica también ocultaremos los elementos Frame para lo cual en la ventana “Set Element Display Option For Active Window” selecciono “Hide All”, para los elementos que deseo ocultar.



El resultado es el siguiente, ya que desactivamos Hide All de los elementos Área.

En el modelo podemos incluir además la geometría de la grada, modelar la grada en este archivo, resultaría muy complejo por lo que modelamos la grada en otro archivo y luego la importamos.

Al igual que en los volados ajustaremos la geometría, para que al momento de importar la grada exista conectividad entre los nudos, como referencia consideramos la esquina superior que en el modelo será la columna C2 ubicada en planta en X=9.40 y en Y=3.2, referencia que debo tomar en cuenta para exportar el modelo.



Para realizar el modelo de la grada inicio dando la geometría que tienen la misma.

Por la ruta Draw/Frame Cable grafico la grada grada, ubicando la ventana en un plano que me permita controlar su dibujo.



Las gradas suponemos que son ortopoligonales para eso debo darle esas características; selecciono los elementos frame antes dibujados.

Por la ruta Edit/Extrude/Extrude Lines to Areas indico el ancho que tiene la grada.



En este ejemplo la grada tiene un ancho de 1 metro el valor de “dx”, y aplicaremos el extrude 1 vez en por eso el valor indicado está en “Number”; también escogemos la opción “Delete Source Objects” para borrar los elementos frames.

Al presionar OK y seleccionar una vista 3d, mi modelo es:



Algunos peldaños son triangulares, para definir esto escojo el camino Draw/Draw Quad Area

Esta opción me permite dibujar polígonos irregulares de elementos área.



El modelo de la grada terminada me queda de la manera indicada, selecciono todos los elementos de la grada, y por la ruta Edit/Mesh Areas;

En la ventana “Mesh Selectes Shells” divido las áreas en 4, esto para garantizar la conectividad de nudos con el modelo del edificio.

En la opción “mesh into” indico el número de divisiones que deseo hacer a los elementos área; para este ejemplo 2 por 2.



La grada me queda entonces como se indica, selecciono nuevamente todos los elementos de la grada y por la ruta Edit/Replicate, replico el modelo.

Para este ejemplo la grada debe replicarse cuatro veces en la dirección del eje vertical, a una distancia de 2.7 metros.



La grada está completa y lista para exportarla, por el camino File/Export/SAP2000 V8.s2k Text File procedo a exportarla.

El programa despliega la ventana “Database Input Tables”; en esta ventana debo maracar lo que deseo exportar a un archivo de texto.



En nuestro modelo espacial, por el camino File/Import/SAP2000 V8.s2k Text File importo la grada; abriendo el archivo en el cual se grabó la exportación de la grada.



La importación debe hacerse en el mismo archivo seleccionando la opción “Add to Existing Model”; el programa despliega la ventana “Access Database Import Log”; en la cual reporta datos importantes sobre la importación

Luego procedo a borra todos elementos que obstruirían la comunicación de los pisos por medio de la grada, selecciono cada uno y presiono la tecla Supr.



Esto realizo para cada uno de los pisos, el modelo de la planta me queda así:

Una vista en tres dimensiones del modelo idealizado del edificio es la siguiente:



Ahora colocamos las cargas que están cuantificadas para el en el análisis de predimensionamiento para la estructura, pero a diferencia del pórtico plano esta carga será distribuida uniformemente en cada piso.

Para esto defino las cargas que se involucran en el análisis por la ruta Define/Loads, para identificar rápidamente en los reportes del análisis indicaremos los nombres de las cargas así: CM para denominar la carga muerta, CV para la carga viva, SX para denominar el sismo en el sentido XX y SY para denominar el sismo en el sentido YY.

Como las cargas de sismo las calculamos nosotros ubicamos en cada sentido de sismo SX y SY la opción User Loads, del menú “Auto Lateral Load”.

El factor 1 en “Self Weigth Multiplier” en la carga muerta indica que consideraremos el peso propio de los elementos de la estructura. Seleccionamos los pisos para asignar la carga viva que es común en este caso para todos los niveles, Select/Select/Area Section escogemos LOSA y presionamos OK, por la ruta Assing/Area Loads/Uniform (Sell)...” ubicamos el valor de la carga.



En la ventana”Area Uniform Loads” ubicamos el valor de la carga sea esta CM o sobrecarga CV, teniendo cuidado de no duplicar las mismas o omitir algún piso.

Presionando “OK” los elementos área son cargados con el tipo y valor de carga especificada, luego el programa indica en pantalla en cada elemento cargado el valor de la carga y su sentido para las direcciones globales.

La carga en los elementos área aplicado la carga se presentan en el formato que se indica en la Figura, muestra en que eje global se aplica la carga y su sentido.



Debemos tomar en cuenta que la carga de las gradas es diferente para esto seleccionaremos las gradas, por la ruta Select/Select/Area Sections...

Selecciono los elementos área, en este caso son las gradas.



La selección se muestra automáticamente, ahora procedo a asignarle le carga respectiva, por camino Area Loads/Unifor (Shell)...

En este caso debemos seleccionara la dirección de aplicación de las cargas, la opción “Gravity Proyected” .





Para colocar las cargas de sismo; debo asignar la condición de piso rígido a cada nivel de piso, selecciono el piso del nivel 2.70 y por la ruta Assign/Joint/Constraints..

En la ventana “Constraints” selecciono Diaphragm en el tipo de constricción y presiono Add New Constraint.



Se aparece la ventana “Diapragm Constraint”, escribo el nombre de la constricción, para este ejemplo Piso 1 por ser el primer piso, selecciono el eje de constricción, para modelos espaciales de piso rígido es el eje Z.

Presionando OK y OK se ha creadao la constriccón para el piso del nivel 2.70; procedo de foma igual para los otros pisos. La ventana “Constraints” finalmente me queda así:

Una vez que hemos asignado la propiedad para los pisos ubicamos las cargas por sismo con uno de los tres criterios descritos en el Anexo 1. En este ejemplo se introducen las cargas de sismo en cada nudo del centro de masas; seleccionando el nudo y por la ruta Assing/Joint Loads/Forces.. especificamos la dirección del sismo que ingresamos y su valor además del momento producido alrededor del eje vertical por efectos explicados anteriormente.



Lo indicado realizo para todos los pisos, no debemos olvidar que las cargas son asignadas al centro de masas. Al terminar el modelo esta listo para ser analizado en el programa a las solicitaciones de carga ingresadas.

Para el análisis definimos los grados de libertad del pórtico por la ruta Analyze/Set Análisis Options

En la vantana “Análisis Options” escogemos los grados de libertad para el análisis del pórtico en el espacio, el mismo que consta en la plantilla Fast DOFs.



Definimos también los casos de análisis por la ruta Define/AnalysisCases.. para los cuales el programa entregará los resultados del calculo.

En la ventana “Analysis Cases” nos aparecen los casos que por omisión los incluye SAP 2000 no necesitaremos el análisis de P-Delta, y tampoco el análisis Modal.

Debo también definir las combinaciones de carga para que me el programa me entregue los resultados ya factorizados. Por la ruta Define/Response Combination... defino mis combinaciones de carga, las mismas están descritas en los literales 9.2.1 los de 9.2.2 y 9.2.3 del ACI 318 –99



Selecciono “Add New Combo”, en la ventana “Response Combination Data” ingreso las combinaciones de carga, nombrándola, y seleccionando las cargas y los factores que intervienen en esa combinación.

Luego de realizar todas las combinaciones de carga Obtengo el siguiente resultado en la ventana “Define Response Combinations”

Asigno una combinación más la que me entregará la envolvente de esfuerzos, fuerzas y desplazamientos de las anteriores para lo cual escogemos “Envelope” en Combination Type; aquí intervienen todas las combinacionesdefinidas con un factor igual a uno.



Por la Ruta Analize/Run Analysis o presionando F5 del Teclado escojemos los todos los casos a ser analizados por el programa y pulsamos “Run Now”


Toda esta información se genera en un archivo *.$og, en este caso en particular se llama Estático Espacial.$og




Las deformadas por carga muerta, por carga viva sismo en el sentido XX y sismo en el sentido YY se presentan así:

Para continuar con el análisis sísmico necesito conocer los desplazamientos del centro de masas tanto en el sentido en xx y el yy para lo cual selecciono los centros de masa.



Por la ruta File/Print/Tables/Analysis Output en la ventana “Printed Output Tables” selecciono la información que requiero, en este caso únicamente los desplazamientos en los nudos seleccionados.

La información del reporte solicitado se presenta en una Tabla, guardada en el archivo Desplazamientos CM.rtf

Joint OutputCas

CaseType

Step

U1

U2

U3

R1

R2

R3 e Text Text Text Text cm cm cm Radians Radians Radians 597 Envolven Combination Max 0.690481 0.612756 0.000000 0 0 1.454551E-04 597 Envolven Combination Min -0.686638 -0.619199 0.000000 0 0 -1.27557E-04

1403 Envolven Combination Max 1.879082 1.636098 0.000000 0 0 4.051237E-04 1403 Envolven Combination Min -1.877251 -1.628632 0.000000 0 0 -3.54458E-04 2209 Envolven Combination Max 3.116371 2.685966 0.000000 0 0 6.768337E-04 2209 Envolven Combination Min -3.113644 -2.655850 0.000000 0 0 -5.959732E-04 3015 Envolven Combination Max 4.185130 3.570625 0.000000 0 0 9.115197E-04 3015 Envolven Combination Min -4.161795 -3.544109 0.000000 0 0 -8.053068E-04 3817 Envolven Combination Max 4.939736 4.147208 0.000000 0 0 1.076542E-03 3817 Envolven Combination Min -4.860808 -4.204814 0.000000 0 0 -9.481077E-04 4081 Envolven Combination Max 5.656182 4.616801 0.000000 0 0 1.206179E-03 4081 Envolven Combination Min -5.499775 -4.593908 0.000000 0 0 -1.021189E-03



8.- Características de Deformación de los Elementos Resistentes Con los desplazamientos obtenidos de mi primer análisis determino las características de los elementos resistentes para lo cual me ayudo con la Hoja Electrónica “Fuerzas por Sismo.xls”, esta Tabla 8.1 determina el periodo real de la estructura.

Tabla 8.1.- Características de Deformación de los Elementos Resistentes

Piso dx (cm)

Wi.dx2

(Tn cm2) Fx.dx

(Tn cm) dy

(cm) Wi.dy2

(Tn cm2) Fx.dy

(Tn cm) 6 5.656 224.57 9.18 4.617 149.64 7.49 5 4.940 1735.10 67.67 4.147 1222.75 56.81 4 4.185 1837.24 67.67 3.571 1337.69 57.74 3 3.116 1018.52 37.79 2.686 756.81 32.57 2 1.879 370.36 15.19 1.636 280.76 13.23 1 0.690 49.94 2.79 0.613 39.42 2.48

Ʃ 5235.74 200.29 3787.08 170.32

T = 2π × ∑ Wi × di2

g × ∑Fx × di Método 1 T1= 0.65 seg.

Método 2 T2= 0.99 seg.

Se debe determinar el Cortante Basal de Diseño con el Periodo de Vibración del Edificio Calculado, para esto nos ayudamos con el archivo “Fuerzas por Sismo.xls” en la Hoja "2.- Fuerzas Horizontales" la Tabla 8.2 indica su desarrollo.

T = 0.99 seg. C = 2.80 C ≤ 2.80

V = 46.35 Tn Ft = 11.59 Tn

Tabla 8.2.- Fuerzas Horizontales de Sismo Para el Periodo T2

Piso Nivel hi (m)

Peso Wi (Tn)

Wi x hi (Tn-m)

Fx (Tn)

6 16.20 7.02 113.72 12.60 5 13.50 71.10 959.85 8.54 4 10.80 104.90 1132.92 10.08 3 8.10 104.90 849.69 7.56 2 5.40 104.90 566.46 5.04 1 2.70 104.90 283.23 2.52

Ʃ 497.72 3905.87 46.35



Con las fuerzas anteriormente calculadas realizamos nuevamente un análisis estático, luego verificamos si en la estructura consideramos efectos P – ∆, las cargas para el nuevo análisis son:

Tabla 8.3.- Solicitaciones por Sismo Para el Periodo T2

Piso Fx (Tn)

ei XX (m)

ei YY (m)

Torsión XX (Tn-m)

Torsión YY (Tn-m)

6 12.60 0.22 0.22 2.77 2.77 5 8.54 0.81 0.79 6.92 6.75 4 10.08 0.81 0.79 8.16 7.96 3 7.56 0.81 0.79 6.12 5.97 2 5.04 0.81 0.79 4.08 3.98 1 2.52 0.81 0.79 2.04 1.99

8.1.- Análisis para el Periodo Verdadero de la Estructura

Ahora analizo la estructura para las nuevas cargas calculadas, para esto asigno las mismas en los centros de masa, tomando en cuenta que debemos reemplazar las cargas existentes, seleccionando en la ventana de asignación “Joint Forces”, la opción Replace Existing Loads.

Los nuevos resultados de desplazamiento en los centros de masa son los indicados:

Joint OutputCas

CaseType

Step

U1

U2

U3

R1

R2

R3 e Text Text Text Text cm cm cm Radians Radians Radians 597 Envolven Combination Max 0.583029 0.517039 0.000000 0 0 1.820865E-04 597 Envolven Combination Min -0.579187 -0.523482 0.000000 0 0 -1.649066E-04

1403 Envolven Combination Max 1.611514 1.404570 0.000000 0 0 5.106846E-04 1403 Envolven Combination Min -1.609684 -1.397103 0.000000 0 0 -4.620887E-04 2209 Envolven Combination Max 2.746762 2.370844 0.000000 0 0 8.856573E-04 2209 Envolven Combination Min -2.744036 -2.340729 0.000000 0 0 -8.088913E-04 3015 Envolven Combination Max 3.843642 3.285818 0.000000 0 0 1.270984E-03 3015 Envolven Combination Min -3.820307 -3.259303 0.000000 0 0 -1.17182E-03 3817 Envolven Combination Max 4.804126 4.056259 0.000000 0 0 1.640292E-03 3817 Envolven Combination Min -4.725199 -4.115614 0.000000 0 0 -1.522912E-03 4081 Envolven Combination Max 6.515037 5.294132 0.000000 0 0 2.053693E-03 4081 Envolven Combination Min -6.375471 -5.271239 0.000000 0 0 -1.885321E-03



8.2.- Efecto P-∆ y Derivas Máximas

Con estos desplazamientos obtenidos evalúo la estructura para saber si se requiere considerar los efectos P-∆ y controlara las derivas máximas de piso, otra vez recurro a la hoja Electrónica “Fuerzas por Sismo.xls”,

Tabla 8.4.- Verificación del Efecto P-∆ Sentido XX

Piso

H Piso

(m)

Vi

(Tn)

PiCM

(Tn)

PiCV

(Tn)

d

(cm)

d=dn-dn-1

(cm)

∆

d/H

Pi . ∆ i

Tn-m

Vi . hi

Tn-m

Qi

Cálculo

Fp - ∆

6 2.70 15.09 7.02 2.45 6.515 1.711 0.006 0.16 204.13 0.001 OK 1.00 5 2.70 25.32 78.12 18.50 4.804 0.960 0.004 0.93 285.44 0.003 OK 1.00 4 2.70 37.39 183.02 18.50 3.844 1.097 0.004 2.21 337.26 0.007 OK 1.00 3 2.70 46.44 287.92 18.50 2.747 1.135 0.004 3.48 314.20 0.011 OK 1.00 2 2.70 52.48 392.82 18.50 1.612 1.029 0.004 4.23 236.69 0.018 OK 1.00 1 2.70 55.50 497.72 18.50 0.583 0.583 0.002 3.01 125.15 0.024 OK 1.00

No se requiere considerar el Efecto P-∆

Tabla 8.5.- Verificación del Efecto P-∆ Sentido YY

Piso

H Piso

(m)

Vi

(Tn)

PiCM

(Tn)

PiCV

(Tn)

d

(cm)

d=dn-dn-1

(cm)

∆

d/H

Pi . ∆ i

Tn-m

Vi . hi

Tn-m

Qi

Cálculo

Fp - ∆

6 2.70 15.09 7.02 2.45 5.294 1.238 0.005 0.12 204.13 0.001 OK 1.00 5 2.70 25.32 78.12 18.50 4.056 0.770 0.003 0.74 285.44 0.003 OK 1.00 4 2.70 37.39 183.02 18.50 3.286 0.915 0.003 1.84 337.26 0.005 OK 1.00 3 2.70 46.44 287.92 18.50 2.371 0.966 0.004 2.96 314.20 0.009 OK 1.00 2 2.70 52.48 392.82 18.50 1.405 0.888 0.003 3.65 236.69 0.015 OK 1.00 1 2.70 55.50 497.72 18.50 0.517 0.517 0.002 2.67 125.15 0.021 OK 1.00

No se requiere considerar el Efecto P-∆

Tabla 8.6.- Verificación de las Derivas Máximas de Pisos

Piso

H Piso

dx

dy ∆ M

d=dn-dn-1

Deriva ∆ < 0.01 ∗ M (m) (cm) (cm) X-X Y-Y X-X Y-Y X-X Y-Y X-X Y-Y

6 2.70 6.515 5.294 6.515 5.294 1.711 1.238 0.006 0.005 OK OK 5 2.70 4.804 4.056 4.804 4.056 0.960 0.770 0.004 0.003 OK OK 4 2.70 3.844 3.286 3.844 3.286 1.097 0.915 0.004 0.003 OK OK 3 2.70 2.747 2.371 2.747 2.371 1.135 0.966 0.004 0.004 OK OK 2 2.70 1.612 1.405 1.612 1.405 1.029 0.888 0.004 0.003 OK OK 1 2.70 0.583 0.517 0.583 0.517 0.583 0.517 0.002 0.002 OK OK

* NSR 98 Sección A.6.2

Las secciones de la estructura pasan los requerimientos de sismorresistencia entonces se procede al diseño en Hormigón Armado.



a

9.- Diseño en Hormigón Armado 9.1.- Diseño a Flexión

Secciones simplemente armadas.

b ɛc

0.85 f'c

C c a

d

d - a/2

T

ɛs

Equilibrio de Fuerzas

C = T

0.85 × f' c × b × a = As × fy = ρ × b × d × fy

a = As × fy 0.85 × f' c × b

= ρ × d × fy 0.85 × f' c

Equilibrio de Momentos

Mn = [C ó T]× d −

2

0.5 × ρ × d

fy

Mn = ρ × b × d × fy × d − 0.85

× f' c

El coeficiente de resistencia nominal K se obtienen cuando ambos lados de la ecuación se dividen para b × d2 tenemos:

K = Mn

b × d2

= ρ × fy × 1−

0.5 × ρ × fy 0.85 × f' c

La ecuación anterior puede usarse para determinar la porcentaje de acero ρ dado un valor Mu o vice-versa si las propiedades de la sección b y d son conocidas. Sustituyendo Mn= Mu/ø en la ecuación (3) y dividiendo todo para f´c tenemos:

Mu = ρ × fy 1− 0.5 × p × fy

ø × f' c × b × d2 f' c



0.85 × f' c



Definiendo el índice de refuerzo como

w = ρ × fy

f' c Sustituyendo w en ecuación anterior me queda

Mu ø × f' c × b × d2

= w × (1− 0.59 × w)

Mu = ø × q × f' c × b w × d2 × (1− 0.59 × q) Secciones doblemente armadas.

b ɛc 0.85 f'c

d' Cs ɛs’

c a C

d

d - a/2

T

ɛs Equilibrio de Fuerzas

C + Cs = T

0.85 × f' c × b × a + As'×fy = As × fy

a = (As − As' ) × fy 0.85 × f' c × b

Si el acero Fluye

ρ − ρ' ≥ 0.85 × f' c × d'

× β × fy × d

6100 6100 − fy

Mn = 0.85 × f̀ c × a × b × (d − a /2) + As'×fy × (d − d' )

Mu = ø × 0.85 × f̀ c × a × b × (d − a /2) + As'×fy × (d − d' )



= ρ

Si el acero no Fluye calculo c

c2 + 6100 × As'−As ×

fy 0.85 × f' c × b × β1

6100 × As'×d' c − = 0 0.85 × f' c × b × β1

fs = 6100 × 1−

d' c

Mn = 0.85 × f̀ c × a × b × (d − a /2) + As'×fs'×(d − d' )

Mu = ø × 0.85 × f̀ c × a × b × (d − a /2) + As'×fs'×(d − d' ) Para todas las secciones rectangulares la resistencia de diseño øMn debe ser igual o mayor que el esfuerzo requerido Mu. Además, los requisitos de servicio para deflexiones deben controlarse con ACI 318-99 sección 9.5 y la distribución de refuerzo debe cumplir lo especificado en ACI 318-99 sección 10.6.

Reportes para Diseño Viga del Eje C Nivel + 16.20 [Tn-m]

-5.24 -4.87

0.53

3.20

1 2

Asumo un porcentaje de acero que puede ser menor o igual que el máximo:

ρmáx = 0.016

Calculo el índice de refuerzo para ese porcentaje y obtengo:

qmáx

máx × fy f' c

qmáx = 0.320

Calculo el Momento Último Resistente para le sección de la Viga.

Mu = ø × q × f' c × bw × d2 × (1− 0.59 × q)

Mu = 0.9 × 0.32 × 210 × 25 × 222 × (1− 0.59 × 0.32)

Mu = 593642.65 Kg − cm

Mu = 5.95 Tn − m



Comparo el Momento Resistente con el Momento Solicitante para la viga

Mu > Ms

5.95 > 5.24 [Tn-m]

Viga Rectangular Simplemente Armada

Calculo la constante K para calcular el porcentaje de acero en la sección

K =

Mu ø × f' c × b × d2

5.24 × 105 K = 0.9 × 210 × 25 × 222

K = 0.229 Kmax = 0.424

Calculo el porcentaje de acero, este debe ser menor que el máximo permitido y mayor que el mínimo.

ρ = f́ c

× 1−

fy 1− 2.36 × K 1.18

ρ = 210 4200

× 1− 1− 2.36 × 0.229

1.18

ρ = 0.014

ρmin = 0.0033 ρmáx = 0.016

ρ = 0.014

Calculo el Área de Acero en la sección

As = ρ × b × d

As = 0.014 × 25 × 22

As = 7.70 cm2




K = Mu

ø × f' c × b × d2

4.87 × 105 K = 0.9 × 210 × 25 × 222

K = 0.213 K max = 0.424

ρ = f́ c × 1−

fy 1− 2.36 × K 1.18

ρ = 210 4200

× 1− 1− 2.36 × 0.213

1.18

ρ = 0.012

ρmin = 0.0033 ρmáx = 0.016

ρ = 0.012

As = ρ × b × d

As = 0.012 × 25 × 22

As = 6.60 cm2


K = Mu

ø × f' c × b × d2

0.53 × 105 K = 0.9 × 210 × 25 × 222

K = 0.051 K max = 0.424

ρ = f́ c × 1−

fy 1− 2.36 × K 1.18

ρ = 210 4200

× 1− 1− 2.36 × 0.213

1.18

ρ = 0.0026

ρmin = 0.0033 ρmáx = 0.016

ρ = 0.0033



As = ρ × b × d

As = 0.0033 × 25 × 22

As = 1.82 cm2

Áreas de acero requeridas en la Viga Eje C Nivel + 16.20 en cm2

7.70 6.60

1.82 3.20

1 2

Según el ACI 319-99 en la sección 21.3.2.2, debe cumplirse los siguientes requerimientos de resistencia:

As−

2

+ As ≥ ρ min

As 4

Las áreas de acero en la viga Eje C Nivel + 16.20 que cumplen con lo especificado en el código son:

7.70 1.93 6.60

3.85 1.93 3.30 3.20

1 2

Acero de refuerzo en Varillas comerciales es:

3 ø 14 3 ø 14 2 ø 12 2 ø 12 2 ø 12

2 ø 12 + 1 ø 14 2 ø 12 2 ø 12 + 1 ø 14

3.20

1 2



9.2.- Diseño a Corte

El diseño de secciones transversales sujetas a cortante se basa en la resistencia nominal al cortante calculada debe ser mayor a la fuerza cortante factorizada en la sección considerada.

ø Vn ≥ Vu Eq. 11.1

Vn = Vc + Vs Contribución a Cortante por el refuerzo de Corte Vs = Av × fy × d

s Contribución a Cortante por la sección de Hormigón Vc = 0.55 × f' c × bw × d

Los reporte para cortante en la viga Eje C Nivel + 16.20 están indicados en la figura siguiente.

↑ 4.51 4.19 ↑ 3.20

1 2

Calculo la capacidad de corte del concreto

Vc = 0.55 × f' c × bw × d

Vc = 0.55 × 210 × 25w × 22

Vc = 4383.64 Kg

Vc = 4.38 Tn

Necesita refuerzo para corte calculo el espaciamiento para estribos.

El ø del acero para refuerzo por cortante el ACI recomienda 10 mm

Vs = Vu − Vc ø

Vs = 4.51− 4.38

0.85

Vs = 0.153 Tn



s = Av × fy × d Vs

s = 1.58 × 4200 × 22 153

s = 954.19 cm.

Reviso los espaciamientos mínimos de estribos

d/ 4

5.5 cm

8 dv L

s ≤

s ≤

9.6 cm s = 5 cm

24 dvT

30 cm

24 cm 30 cm

Calculo la capacidad a corte de los estribos

Vs = Av × fy × d s

Vs = 1.58 × 4200 × 22 5

Vs = 29198.40 Kg

Vs = 29,20 Tn

Calculo el cortante último resistente

Vu = øVc + øVs

Vu = 0.85 × 4.38 + 0.85 × 29.20

Vu = 28.54 Tn

Diseño Final de la Viga

0.25

4 ø 12 Mc

0.25 4 ø 14 Mc

E ø 10 @ 5 y 10 El lector debe diseñar los demás elementos estructurales siguiendo el proceso descrito.



Todos los valores tomados para el diseño se han tomado en el tope de los elementos es decir al inicio y al final de la longitud del elemento, según el ACI 318-99 sección 8.7.3 se puede diseñar con los valores de borde.

Esta opción podemos integrarla en el análisis en en SAP 2000, de la manera conocida selección y asignación; seleccionamos los elementos frames y por la ruta Asing/Frame/Cable/End (Length) Offsets... asignaremos los extremos de rigidez infinita a los elementos.

Seleccionando la opción Automatic from Connectivity, rigidizamos los extremos con un valor recomendado en 0.5, así el programa entrega los reportes tomando en cuenta la rigidez indicada en Rigid zone factor, otra opción tambien es ingresar las distancia en el nudo inicial y nudo final.



2

10.- Análisis Modal Espectral El análisis Modal es un procedimiento de análisis dinámico por medio del cual la respuesta dinámica de la estructura se obtiene como la superposición de las respuestas de los diferentes modos de vibración.

El análisis Espectral es un tipo de análisis dinámico, en el cual la respuesta dinámica máxima de cada modo se obtiene utilizando la ordenada de un espectro correspondiente al periodo de vibración del modo.

El análisis Dinámico es un procedimiento matemático para resolver las ecuaciones de equilibrio dinámico, y así obtener las deformaciones y esfuerzos de la estructura a ser sometida a una excitación que varía en el tiempo.

El Espectro expresa las características de los movimientos sísmicos, es la aceleración horizontal en fracción de la aceleración de la gravedad para un periodo de vibración dado; estos se definen por medio de acelerogramas.

Para realizar el análisis modal espectral debemos tomar en cuenta la masa de cada piso y su inercia polar para lo cual realizamos los cálculos de la inercia polar en el CM o trasladarlo ahí.

b b

a CM

a

CM

MI = m × (a + b2 ) MICM = MI + m × d 12

Figura 10.1.- Calculo del Momento de Inercia Polar Figuras Regulares En donde:

MI Momento de Inercia Polar

m Masa de la Figura Rectangular

a y b Dimensiones de la Figura Rectangular

d Distancia al CM



En el caso de Figuras irregulares podemos subdividirla en Figuras regulares y trasladar el momento de Inercia polar al CM tal como se indica en la Figura 10.2; para nuestro caso el cálculo para los entrepisos se realiza con las cargas cuantificadas en el prediseño, así tenemos:

CM 2 5 6

3 1

Figura 10.2.- Figuras para el Cálculo de Momento de Inercia Polar La Tabla 10.1 indica el calculo del Momento Polar de cada subdivisión y su traslación al centro de masas para este ejemplo los valores no se anotaron en la Figura anterior pero son los que se indican.

Tabla 10.1.- Cálculo de Momento de Inercia Polar Nivel de Entrepisos

Nº a

(m) b

(m) Masa

(Tn s2 /m) MI

(Tn s2 m) d

(m) MICM

(Tn s2 m) 1 1.00 4.00 0.365 0.517 8.05 24.163 2 5.60 8.00 4.087 32.477 4.44 113.044 3 2.00 4.80 0.876 1.973 1.94 5.269 4 2.00 0.20 0.036 0.012 3.72 0.517 5 7.10 8.00 5.182 49.402 3.92 129.024 6 1.00 1.70 0.155 0.050 7.97 9.901

10.70 281.918 La Tabla 10.2 contiene los valores de las masas y los momentos de inercia polar en el centro de masas, valores que serán ingresados para el análisis modal espectral.

Tabla 10.2.- Masas y Momento de Inercia Polar por Piso

Piso Masa (Tn s2 /m)

MICM

(Tn s2 m) Nivel + 16,20 0.72 2.08 Nivel + 13,50 7.26 191.14 Nivel + 10,80 10.70 281.92 Nivel + 8,10 10.70 281.92 Nivel + 5,40 10.70 281.92 Nivel + 2,70 10.70 281.92



S

Ace

lera

ción

A

El espectro que utilizamos es el Espectro Inelástico de Diseño, que se encuentra en la hoja electrónica “Fuerzas por Sismo.xls”; el mismo está definido en normativa del CEC 2000, los factores que se utilizan para el calculo y conversión son:

Zona Sísmica IV Z= 0.4 Importancia Estructuras I= 1.0 Perfil de Suelo S3 S= 1.5 Respuesta Estructural R= 10

C = 1.25 S

T

Configuración Elevación Configuración Planta

Φ P = 1.0 Φ E = 1.0

E s p e c t ro In e lá s t ico d e D is e ñ o

1.20

1.00

0.99 0.91

A = Z × I × g × C R × ΦP × ΦE

0.80

0.60

0.40

0.20

0.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

P er iod o T

Fig. 10.2 Espectro Inelástico de Diseño CEC 2000 Los valores de la hoja electrónica deben ser exportados como un archivo de texto, para luego ser ingresados al programa de análisis en este caso el SAP 2000, el archivo Espectro.txt contiene los datos en formato de texto para ser ingresados.

Para escoger el tipo de espectro para el análisis debe tomarse en cuenta las recomendaciones detalladas en los criterios descritos en el Anexo 2.



10.1 Modelación Análisis Espectral

El modelo inicial, lo guardo como Dinámico Espacial.sbd para realizar el análisis modal espectral.

Las masas y los momentos polares deben concentrarse en los centros de masa.



Seleccionado el centros de masa, por la ruta Assing/Joint/Masses.. asignaremos las caragas de masa y los momentos polares para cada piso.

En la ventana “Joint Masses” asigna la masa para la dirección X y la dirección Y, ya que en nuestro análisis consideramos el sismo para esas dos direcciones, el momento de inercia polar actúa alrededor del eje vertical y se asigna en el eje Z.



Una vez que hemos ingresado todos los valores de la masa e inercia en todos los pisos defino mi espectro, por la ruta Define/Response Spectrum Functions..

En la ventana “Define Response Spectrum Funtions” selecciono la opción Spectrum from File, ya que el espectro está definido en el archivo Espectro.txt



En la ventana “Response Spectrum Funtions Definition” selecciono Browse para buscar el archivo Espectro.txt.

Cargado el archivo seleccionamos la opción “Period vs Value” y presionamos “Display Graph”



El programa grafica el espectro que contiene el archivo de texto.

Definiendo el nombre de la función selecciono “Convert to User Defined” y se presenta la siguiente ventana, aquí puedo modificar el espectro añadiendo o borrando valores.



El espectro ya ha sido guardado por el programa, presiono OK y queda definido para utilizarlo en el análisis.

Luego definimos los casos de análisis por la ruta Define/Analysis Cases.. añadiremos nuetros casos para el análisis.



En la ventana “Analysis Cases” selecciono “Add New Case”.

En la ventana “Analysis Case Data – ” agrego un análisis Modal de nombre Modal

Ingresos el número de modos de vibración, en este caso tres por planta y presiono OK



El caso de análisis Modal ha sido añadido al programa, ahora necesitamos ingresar el caso del esoectro de respuesta, para lo cual presiono “Add New Case...”

En la ventana “Analysis Case Data – ” agrego un análisis Response Spectrum de nombre Espectral.

Luego definimos las direcciones en donde se aplicará el terremoto, esto lo definimos en Loads Applied. Como se consideran el sismo en el sentido X y en el sentido Y.

Añadimos las cargas para la dirección U1 y U2, con la función Espectro, el factor de escala es 1 porque estamos trabajando con el espectro de diseño, más información adicional se presenta en el Anexo 2.



Finalmente selecciono la Combinación Modal SRSS y presiono el botón OK

La ventana “Analysis Cases” me queda asi:



Por la Ruta Analize/Run Analysis o presionando F5 del Teclado escogemos los todos los casos a ser analizados por el programa y pulsamos “Run Now”


Toda esta información se genera en un archivo *.$og, en este caso en particular se llama Estático Espacial.$og




11.- Bibliografía

1. Agustín Reboredo, Proyecto de La Estructura de Un Edificio

2. Building Code Requeriments for Reinforced Concrete ACI-318. 1999.

3. Código Ecuatoriano de la Construcción Peligro Sísmico, Espectros de Diseño y Requisitos Mínimos de Calculo para Diseño Sismo-Resistente.

4. Jiménez Montoya P., Hormigón Armado

5. Moisset de Espanés M., Intuición y Razonamiento en el Diseño Estructural

6. Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR 98.

7. Park R., Paulay T., Estructuras de Concreto Reforzado

8. Reitherman R., Arnold C., Configuración y Diseño Sísmico de Edificios

9. SAP 2000 Structural Analysis Program Computers & Structures Inc. 2002.

ANEXO 1 APLICACIÓN DE FUERZAS SÍSMICAS

Se aplican las fuerzas sísmicas calculadas en el centro de masas dando características de piso rígido, luego se utiliza las opciones del programa para verificar sus resultados.

Fig.1 Estructura en Estudio

1.- Al aplicar las fuerzas y el momento torsor en el nudo del centro masas definidos

por el usuario archivo “Ejemplo Sismo CM.sdb”

Fig. 1.1.- Aplicación de Fuerzas y Resultados

2.- Al aplicar las fuerzas y el momento torsor en el nudo del centro masas definidos en fuerzas sísmicas en SAP 2000 archivo “Ejemplo Sismo CM-SAP.sdb”


ANEXO 2 ESPECTRO DE RESPUESTA

Se analiza una estructura con el espectro elástico del código CEC 2000, luego se analiza con el espectro inelástico y finalmente se analiza con el espectro del UBC 94, para la verificación de sus resultados.

1.- Espectro Elástico archivo “Ejemplo Espectro E.sdb”

Fig. 1.1 Ingreso del Espectro de Respuesta

Fig. 1.2 Resultados del Análisis El factor de escala está afectado por el factor que convierte al espectro elástico en espectro de diseño.

2.1.- Espectro Inelástico archivo “Ejemplo Espectro I.sdb”


Fig. 2.2 Resultados del Análisis El factor de escala es 1 ya que el espectro inelástico es el de diseño.

3.- Espectro del UBC archivo “Ejemplo Espectro UBC.sdb”


Fig. 3.2 Resultados del Análisis Para todos los ejemplos los resultados son positivos por escoger la opción SRSS “Square Root of Sum of the Squares”; combinación estadística de las respuestas modales máximas.

Los datos de los espectros inelástico y elástico, han sido calculados en la hoja electrónica “Fuerzas por Sismo.xls”

3.- Al aplicar las fuerzas y el momento torsor en el centro masas incluido por omisión en fuerzas sísmicas en SAP 2000 archivo “Ejemplo Sismo CM-SAP-OM.sdb”


ANEXO

3

3.20

4.

60

2.40

1.

60

0.60

2.

60

0.60

0

.20

0.20

3.

00

1.40

3.

20

0.20

A B C D

4.90 4.50 5.00

0.30 4.60 0.30

4.20

0.30 4.70 0.30

A

3

B DORMITORIO 1

BAÑO

POZO DE LUZ

COCINA

COMEDOR

B PORCHE

2

SALA

DORMITORIO 2 DORMITORIO 3

BAÑO

S

1

A

1.00 0.30 2.70 1.90 1.30 1.10 0.40 0.60 0.40 0.70 0.30 0.70 3.00 1.00 0.30

PLANTA BAJA NIVEL + 0.00

3.20

4.

60

2.40

1.

60

0.60

2.

60

0.60

0

.20

0.20

3.

00

1.70

2.

90

0.20

A B C D

4.90 4.50 5.00

0.30

4.60

0.30

4.20

0.30

4.70

0.30

A

3

B DORMITORIO 1

BAÑO

POZO DE LUZ

COCINA

B COMEDOR

BAÑO

2

SALA

DORMITORIO 2 DORMITORIO 3

s

b

1

A

1.00 0.30 2.70 1.90 1.50 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.30

0.70 3.00 1.00 0.30

PLANTA ALTA NIVELES +2.70, +5.40, +8.10, +10.80

3 2 1 3.20 4.60

0.20 0.20

16.20

1.00

1.85

0.40

0.85 1.30

0.20

0.18 13.50

1.65 1.47

0.10

0.75

0.20

COCINA

0.85

0.18 0.27

10.80

1.65 1.43

0.10

16.40

0.75

0.20

COCINA

0.82

0.18 0.27

8.10

1.65 1.43

0.10

0.75

0.20

COCINA

0.82

0.18 0.27

5.40

1.65 1.43

0.10

0.75

0.20

COCINA

0.82

0.18

0.18

2.70

1.65 1.49

0.85

0.18

COCINA

0.67

0.18 0.18

0.00

CORTE TRANSVERSAL A - A

0.18

A B C D

4.90 4.50 5.00

0.85 TERRAZA

0.85 0.85 TERRAZA

0.85

0.20 0.20

0.70

0.20 0.20 13.50

1.65

1.45

1.65

1.80 0.20 0.10

0.85

DORMITORIO 1 BAÑO

0.75

COCINA COMEDOR

0.85

0.20 0.20

0.70

0.20 0.20 10.80

1.65

1.45

1.65

1.80 0.20 0.10

0.85

DORMITORIO 1 BAÑO

0.75

COCINA COMEDOR

0.85

0.20 0.20 0.20 0.20 8.10

0.70

14.53

1.65

1.45

1.65

1.80 0.20 0.10

0.85

DORMITORIO 1 BAÑO

0.75

COCINA COMEDOR

0.85

0.20 0.20 0.20 0.20 5.40

0.70

1.65

1.45

1.65

1.80 0.20 0.10

0.85

DORMITORIO 1 BAÑO

0.75

COCINA COMEDOR

0.85

0.20 0.20 0.20 0.20 2.70

0.70

1.65

1.45

1.65

1.80 0.20 0.10

0.85

DORMITORIO 1 BAÑO

0.75

POZO DE LUZ

COCINA

COMEDOR

PORCHE

0.85

0.18 0.18 0.18 0.00

CORTE LONGITUDINAL B - B

FACHADA LATERAL IZQUIERDA