Download pdf - GEOMETRIJA V RAVNINI - gimnazija-siska.si · PDF file• Devide, V. (1984). Matematika skozi kulture in epohe . Ljubljana: DMFA. Iz navedene literature so povzete tudi nekatere razlage

GEOMETRIJA V RAVNINI

1

Navodila

V naslednjih urah boš samostojno ali v paru izpolnjeval(a) delovne liste. Pomagaš si lahko s poljubno literaturo. Pri tem upoštevaj navodila učitelja. Če naloga zahteva, da narišeš ali konstruiraš, moraš obvezno uporabljati geometrijsko orodje, to so svinčnik, ravnilo in šestilo. Skice praviloma riši prostoročno in obvezno uporabljaj svinčnik. Če pri računskih nalogah ni navedena zahteva o natančnosti rezultata, zaokroži na stotinko natančno. Priporočam, da gradiš delčke svojega novega znanja tudi ob pomoči naslednjih virov:

• Kavka, D., idr. (2001). Linea: matematika za prvi letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan. • Pavlič, G., idr. (2011). Linea nova: matematika za prvi letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan. • Kavka, D., idr. (2001). Planum: matematika za drugi letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan; • Legiša, P. (1994). Matematika: prvi letnik: geometrija v ravnini. Ljubljana: DZS; • e-um: začneš lahko tukaj http://www.e-um.si/index.php; • Pavliha, I., idr. (2000). Geometrija v ravnini: zbirka nalog za srednje šole: matematika.

Ljubljana: DZS; • Pavlič, G. (1998). Slikovni pojmovnik: matematika. Ljubljana: TZS; • Devide, V. (1984). Matematika skozi kulture in epohe. Ljubljana: DMFA.

Iz navedene literature so povzete tudi nekatere razlage ali slike.

Zahvale

Ideje za razlage in nekatere naloge so prispevali tudi člani aktiva matematike Gimnazije Šiška. Za hitro odpravo jezikovnih napak je zaslužen Matjaž Apat. Naslovnico je ilustrirala Liza Zavrl.


2

Uvod

Beseda geometrija je nastala iz besed gea = zemlja in metros = merjenje, torej pomeni »zemljemerstvo«. Začetki geometrije segajo v Egipt in Mezopotamijo, kjer so več tisoč let pred našim štetjem poplave rek prisilile prebivalce, da so velikokrat ponovno risali meje zemljišč. Zato je bila koristna natančnost, ki je spodbudila začetke geometrije. Geometrija, kot jo poznamo danes, je svoje temelje dobila v stari Grčiji. Matematik Evklid je približno 300 let pred našim štetjem zbral in sistematično uredil večino dotedanjega matematičnega znanja v trinajstih knjigah. Geometrijo je zgradil na aksiomih, izrekih, dokazih, definicijah, in po njem ima še danes tisti del geometrije, ki jo obravnavamo v srednji šoli, ime evklidska geometrija. Kaj so aksiomi, izreki in definicije? K besedi iz prvega stolpca pripiši črko pred pravilnim nadaljevanjem iz drugega stolpca. Aksiom ____ Izrek ____ Definicija ____

A je opis novega pojma, ki enolično določi poimenovanje novega pojma s pomočjo osnovnih pojmov in prej definiranih pojmov. B je trditev, ki je ne dokazujemo, ampak jo običajno oblikujemo tako, da se ujema z našimi izkušnjami. C je trditev, ki jo dokažemo (izpeljemo) s pravili sklepanja iz aksiomov in prej dokazanih izrekov.

Nekaj aksiomov, izrekov in definicij bomo letos spoznali.


3

Osnovni pojmi

Začeli bomo z osnovnimi pojmi, ki jih ne moremo strogo matematično definirati, temveč se pri tem opremo na naše predstave. Osnovni pojmi geometrije so točka, premica, ravnina in prostor. Letos bomo spoznavali samo geometrijo v ravnini, prostor bomo obravnavali kasneje. Razmisli in opiši, kaj zate pomenijo točka, premica in ravnina. Točka je ___________________________________________________________________________ Premica je _________________________________________________________________________ Prostor je __________________________________________________________________________ Tukaj so Evklidovi opisi osnovnih pojmov:

• točka je tisto, kar nima delov; • premica je dolžina brez širine; • ravnina je tisto, kar ima samo dolžino in širino.

Označevanje:

• točke označimo z velikimi tiskanimi črkami A, B, C ...; • premice označimo z malimi tiskanimi črkami p, q, r ...; • ravnine označimo z velikimi grškimi črkami ΨΣΠ ,, .

Vse ostale geometrijske pojme bomo definirali s pomočjo teh osnovnih pojmov.

Medsebojna lega premice in točk v ravnini Označi točke in premico na sliki, tako da bo veljalo:

točka C ne leži na premici p; točki A in B ležita na premici p. Koliko točk in kakšnih potrebujemo za določitev premice? Aksiom: __________ ________________________ ____________ določata natanko eno premico. Kako imenujemo točke, ki ležijo na isti premici? Definicija: Točke, ki ležijo na isti premici, so ________________________.

Medsebojna lega premic v ravnini Koliko skupnih točk imata lahko dve premici? Zapiši in skiciraj vse tri možnosti.

a) ____________

b) ______________

c) ______________

Definicija: Skupno točko dveh premic imenujemo ____________________________ premic.


4

Kdaj rečemo, da sta dve premici v ravnini vzporedni? Definicija: Premici, ki ležita v isti ravnini, sta vzporedni, če nimata ________________________ skupne ___________________ ali če imata _____________________ ___________________ skupne.

Katere lastnosti ima vzporednost? K imenu lastnosti zapiši lastnost z matematičnim zapisom in jo ponazori s skico. 1. refleksivnost____________________________________ 2. simetričnost____________________________________ 3. tranzitivnost____________________________________ Dve od teh lastnosti smo že srečali pri deljivosti. Zapiši lastnosti deljivosti z matematičnim zapisom. 1. refleksivnost___________________________________________________ 2. antisimetričnost____________________________________________________ 3. tranzitivnost____________________________________________________ O vzporednosti govori tudi najslavnejši Evklidov aksiom. Pred približno 200 leti so z izpustitvijo tega aksioma dobili neevklidsko geometrijo. Dopolni. Evklidov aksiom o vzporednici: K dani ___________________________ obstaja skozi dano _________________ natanko ena vzporednica. S skico ponazori aksiom o vzporednici. Vaja 1: V ravnini imamo različne premice p, q in r. Premica p je vzporedna q in premica p seka premico r. Kaj lahko poveš o medsebojni legi premic q in r? Napiši in skiciraj. Omenili bomo še dva aksioma, ki omogočata definicije v naslednjem poglavju. Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, ena vedno leži med drugima dvema. Aksiom: Če sta A in B različni točki na premici p, potem na premici p ležita vsaj še dve različni točki; ena leži med točkama A in B in druga leži tako, da ni med točkama A in B. Iz tega aksioma sledi, da je med dvema točkama na premici neskončno mnogo točk.


5

Definicije nekaterih pomembnejših geometrijskih objektov

Daljica, poltrak in polravnina

Označi točke A, B na premici p in točko O na premici r na naslednji sliki, tako da bo slika ilustrirala definicije. Nato dopolni definicije. Definicija:

Množico točk premice p, ki ležijo med točkama A in B, imenujemo _____________________ s krajiščema A in B.

Definicija: Množico točk premice r, ki ležijo na premici r na isti strani glede na točko O, imenujemo __________________________ z izhodiščem O.

Kaj je nosilka daljice ali poltraka? Izberi pravi zaključek definicije. Definicija: Nosilka daljice ali poltraka je

• točka, skozi katero poteka daljica ali

poltrak. • premica, na kateri leži daljica ali

poltrak. • ravnina, na kateri leži daljica ali

poltrak.

Definicija: Premica p deli ravnino na dve ___________________________ z robom p. Če od polravnine odvzamemo premico p, dobimo breg premice p. Vaja 1: Nariši točki A in B, ki ležita na istem bregu dane premice, in točko C, ki leži na drugem bregu premice.

Konveksna množica

Kdaj je množica točk konveksna? Definicija: Množica točk je konveksna, kadar s poljubnima __________________ iz dane množice leži v množici tudi ________________________, ki povezuje ti dve _________________. Ponazori definicijo na primeru konveksne in na primeru nekonveksne množice Skiciraj. Presek konveksnih množic je konveksna množica. Ponazori na skici.


6

Kot Nariši dva različna poltraka s skupnim izhodiščem v točki B. Na enem poltraku izberi točko A in na drugem poltraku točko C, ki naj bosta obe različni od točke B.

Poltraka z izhodiščem v B imenujemo dva __________________ kota, točka B pa je ___________ kota. S tem je ravnina razpadla na dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je eden od kotov konveksen in drugi nekonveksen. V mislih zavrti krak, ki poteka skozi A, okoli vrha kota v smeri proti drugemu kraku kota po najkrajši poti. Del ravnine, ki si ga pri tem pokril, je kot ABC. Pri označevanju kota s točkami vedno zapišemo vrh v sredini, točki na krakih pa v poljubnem vrstnem redu in s tem mislimo na konveksen kot, ki ga dobimo. V primeru nekonveksnega kota to posebej povemo. Vaja 2: Poimenuj kot na sliki, tako da uporabiš točke s slike.

E V F Kotu lahko določimo tudi orientacijo kota: če si kraka sledita v nasprotni smeri urinega kazalca, pravimo, da je orientacija pozitivna, če si sledita v smeri urinega kazalca, je orientacija negativna. Ponazori na skici. Kaj pomenijo izrazi polni, ničelni, iztegnjeni, sosednji, pravi, sovršni kot in sokot? Skiciraj in dopolni definicije. polni kot ničelni kot iztegnjeni kot Definicija: Ničelni kot je kot, ki ga določata poltraka, ki se _________________. Drugi kot, ki ga določata ista poltraka, je polni kot. Enega od krakov zavrtimo okoli vrha in pri tem opiše polni kot. Definicija: Kraka, ki se dopolnjujeta v _______________, določata dva enaka konveksna kota, ki ju imenujemo iztegnjena kota.


7

sosednja kota sokota sovršna kota Za vsako od treh definicij izberi pravilni zaključek. Za eno od definicij sta možna dva pravilna zaključka. Definicija:

• Sosednja kota sta

• Sokota sta

• Sovršna kota sta

• kota s skupnim vrhom in praznim

presekom notranjosti. • kota, ki skupaj tvorita iztegnjeni kot • kota z dvema skupnima krakoma. • kota z enim skupnim krakom in

praznim presekom notranjosti. • kota, ki skupaj tvorita pravi kot. • kota s skupnim vrhom, njuna kraka pa

se paroma dopolnjujeta v premico. • kota z enim skupnim krakom in dvema

drugima krakoma, ki se dopolnjujeta v premico.

Definicija: Pravi kot je kot, ki je enak svojemu _____________________. Ponazori definicijo.


8

Merjenje

Merjenje dolžin Osnovna enota za dolžino je ________________. Potem ga delimo naprej na ______, _______ … Ali veš, kje in kako so si izmislili meter? Ko si izberemo daljico, ki bo naša enota merjenja in jo imenujemo enotska daljica, lahko izmerimo dolžino poljubne daljice, tako da nanjo polagamo enotsko daljico dokler moremo, nato desetino enotske daljice ... Tako poljubni daljici priredimo število. Enotska daljica meri 1 enoto, kakšna druga daljica pa npr. 3 enote ali 4,2 enoti ali 0,5 enote. Ko smo izmerili daljico, smo izmerili tudi razdaljo med njenima krajiščema. To zapišemo

),( BAdAB = . In preberemo: dolžina daljice AB je enaka razdalji od točke A do točke B.

Lastnosti razdalje:

• za poljuben par točk A in B velja d(A,B) ≥ 0; • enakost d(A,B) = 0 velja natanko tedaj, ko A = B; • simetričnost: za poljuben par točk A in B velja d(A,B) = d(B,A); • za poljubne tri točke A, B, C velja trikotniška neenakost: d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C).

Vaja 1: Od točke A do točke B je 5 cm, od točke A do točke C je 8 cm. Utemelji in skiciraj, ali je lahko razdalja med B in C enaka (namig: razmisli o različnih možnih legah točk A, B in C): • 14 cm. • 13 cm. • 7 cm. • 3 cm. • 2 cm. Iz zadnje vaje lahko vidimo še eno lastnost razdalje. Če sta A in B različni točki v ravnini in za točko C velja d(A,C) = d(A,B) + d(B,C), potem točka ___ leži na daljici skozi A in ______. Vaja 2: Daljica je razdeljena na dva dela, tako da je razmerje njunih dolžin 5 : 3. Daljši del je za 4 cm daljši od krajšega dela. Izračunaj, koliko merita oba dela. (Skiciraj, na skici označi neznanke in zapiši sistem dveh enačb z dvema neznankama.)

Merjenje kotov Osnovna enota za merjenje kotov je kotna _______________________. Za večjo natančnost jo razdelimo na __________ delov in dobimo kotno __________________; če še enkrat razdelimo, dobimo kotno ________________. Velikosti kotov označujemo z malimi grškimi črkami ϕδγβα ,,,, .


9

Vaja 3: Dopolni preglednico. Pomagaj si z računalom.

stopinje stopinje in minute stopinje, minute in sekunde

43,58031̊

34˚45′

43̊ 20 ′35″

32,17523˚

27̊ 22′12″ Zapiši vsaj dva računa za primer. Definicija: Ostri kot je kot, ki meri manj kot _____________. Definicija: Topi kot je kot, ki meri več kot _________ in manj kot _______________. Definicija: Kota sta suplementarna, če skupaj merita _________. Definicija: Kota sta komplementarna, če skupaj merita _________. Ponazori:

• kota s paroma vzporednimi kraki sta skladna ali suplementarna.

• kota s paroma pravokotnimi kraki sta skladna ali suplementarna. Vaja 4: Razlika dveh sokotov je 32 stopinj in 15 minut. Izračunaj, koliko merita kota? Vaja 5: Od dveh suplementarnih kotov je eden za četrtino iztegnjenega kota večji od drugega. Koliko merita kota? Zapiši v stopinjah in minutah.


10

Vaja 6: Sovršna kota merita skupaj 42°38′. Kolikšen je njun komplementarni kot (izrazi v stopinjah na tri mesta natančno)? Vaja 7: Na sliki velja CD || AB || EF. Oba kota sta podana v stopinjah. Izračunaj kot x.

Razdalja od točke do premice Poglejmo še, kako izmerimo razdaljo od točke do premice. Za to moramo najprej poznati pravokotno projekcijo. S skico na desni ponazori obe spodaj zapisani definiciji. Definicija: Pravokotna projekcija T1 točke T na premico p je presečišče pravokotnice na premico p skozi točko T s premico p. Definicija: Razdalja d točke T od premice p je razdalja točke T od njene pravokotne projekcije T1 na premici p. Definicija:Pravokotna projekcija daljice na premico p je množica projekcij vseh točk daljice na premico p. V praksi to pomeni, da projiciramo le krajišči daljice. Pravokotna projekcija daljice je daljica, ki povezuje pravokotni projekciji krajišč prvotne daljice. Skiciraj pravokotno projekcijo daljice AB na premico p. Vaja 8: Skiciraj množico točk, ki so: a) za 2 cm oddaljene od točke A.

A


11

b) za 1 cm oddaljene od premice p. p c) enako oddaljene od točk A in B. A B

Kako imenujemo to množico točk? ____________________ daljice AB.

d) enako oddaljene od krakov danega kota.

Kako imenujemo to množico točk? _____________________ kota

e) v danem kotu od obeh krakov kota oddaljene za 1 cm.

Taka točka je le ena in leži na vzporednici h _________________ kota, ki je od kraka oddaljena 1 cm in hkrati na _________________________ kota.


12

Toge preslikave in skladnost

Definicija: Toga preslikava je preslikava ravnine vase, ki ohranja razdalje.

),(),(, , 1111 BAdBAdBBAA =→→ Vrste togih preslikav ponazori (skiciraj) s preslikavo točke A v točko A1:

• vzporedni premik za dano usmerjeno daljico (vektor).

A

• vrtenje za dani konveksni kot okoli dane točke S (v pozitivni smeri). A

S

• zrcaljenje čez dano premico. A

• zrcaljenje čez dano točko S. A S Definicija: Množici točk v ravnini L1 in L2 sta skladni, če obstaja toga preslikava, ki množico L1

preslika v množico L2.

Zapiši z matematičnimi znaki, da je množica L1 skladna z množico L2: __________________ Zdaj vzemi obvezno v roke šestilo in ravnilo, začeli bomo s konstrukcijami. Tako prenašamo razdalje: Nariši (s šestilom) k daljici AB skladno daljico A1B1, ki leži na premici: A B A1


13

Tako prenašamo kote: Nariši k danemu kotu skladen kot, ki ima en krak na danem poltraku in vrh v točki S:

S Vaja 1: Konstruiraj kote: 600, 900, 450, 300, 750 . Ne pozabi: uporabiš lahko le šestilo, ravnilo in svinčnik. En krak vseh kotov naj bo skupen, pri drugem kraku pa zapiši število stopinj, ki si jih narisal. Konstruiraj še kota 22,50 in 1050. Vaja 2: K dani premici p nariši točko A, ki ne leži na premici. Konstruiraj pravokotnico na premico p skozi točko A in vzporednico k premici p skozi točko A. Uporabiš lahko le šestilo in eno ravnilo. Namig: vzporednica je pravokotnica na pravokotnico. V prihodnje velja, da lahko vzporednice rišeš kar z uporabo dveh trikotnikov ali ravnila in trikotnika.


14

Krožnica, krog in lok

Definicija: Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke (središče). Razdalja med središčem in poljubno točko na krožnici je polmer r.

Definicija: Krog je množica točk v ravnini, ki so od izbrane točke (središče) oddaljene za največ

r (polmer). Nariši sliko, na kateri boš ponazoril pojme: krožnica, polmer r in premer d. Nariši sliko, na kateri boš ponazoril pojme: sekanta, tangenta, mimobežnica, polmer. Kakšen je kot med polmerom in tangento v dotikališču? ____________________ Nariši sliko, na kateri boš ponazoril pojme: tetiva t, lok l, središčni kot α . Vaja1: Nariši krožnico in označi središče S ter izbrano točko A na krožnici. Konstruiraj tangento na krožnico skozi izbrano točko (namig: uporabi konstrukcijo pravega kota na polmer).


15

Vaja 2: Nariši točki S in T v ravnini, oddaljeni 4 cm. Nato nariši množico točk, ki so od S oddaljene za največ (kvečjemu) 2 cm in hkrati od T oddaljene vsaj za 3 cm. Vaja 3: Nariši krožnico k s polmerom 2 cm in točko A na krožnici k. Nato nariši dve krožnici s polmerom 1 cm, tako da se prva dane krožnice k dotika v točki A od zunaj, druga pa od znotraj.

Medsebojna lega dveh krožnic v ravnini Kakšna je lahko medsebojna lega dveh krožnic v ravnini? Opisali bomo vse možnosti, ki se bistveno razlikujejo med seboj, tako da bomo upoštevali število presečišč in lego v notranjosti oziroma v zunanjosti. Dopolni preglednico, na skicah označi polmera obeh krožnic (večji R, manjši r) in razdaljo (d) med njunima središčema. število skupnih točk

skica zveza med R, r in d opis

0

d < R - r ena krožnica je v notranjosti druge

R – r = d < R + r ena krožnica se druge dotika od znotraj


16

R – r < d < R + r krožnici se sekata

d = R + r

d > R + r

d = 0 krožnici sta koncentrični (istosrediščni)

∞

R = r, d = 0 krožnici sovpadata

Vaja 4: Trikotnik ima stranice 3, 4 in 6. Skiciraj trikotnik in krožnice s središči v ogliščih trikotnika, tako da se krožnice paroma dotikajo z zunanje strani. Izračunaj polmere teh krožnic. Zapiši sistem enačb.


17

Radian Definicija: Središčni kot nad lokom AB je kot, ki ima vrh v ________________________, njegova kraka pa sekata ___________________ v točkah A in B. Skiciraj. Definicija: Središčni kot meri 1 radian, če je kotu pripadajoči lok enak polmeru. Dva radiana sta torej kot, pri katerem je lok enak dvojni dolžini polmera; splošno velja, da je število

radianov tem večje, čim večji je lok v primerjavi s polmerom, in sicer velja:r

l=α

Izračunajmo, koliko radianov meri polni kot, torej kot 360 stopinj. Če za lok vstavimo obseg kroga,

bomo dobili polni kot, torej: ππα 22 ===r

r

r

l.

Torej polni kot, kot 360 stopinj, meri π2 radianov. S pomočjo tega lahko s sklepanjem dopolnimo preglednico. stopinje radiani 360 π2 180 π 90 45 60 30 Iz preglednice poskušaj sklepati, koliko stopinj je približno en radian. ______________________ Če želimo kateri koli kot iz radianov preračunati v stopinje, ga delimo s ____________ in množimo s ______________. Za preračun iz stopinj v radiane moramo deliti s ____________ in množiti s ______________. Zapiši še z obrazcem: Vaja 5: Dopolni preglednico (na 3 mesta natančno), zraven zapiši vsaj en račun. stopinje radiani 1,2

4

100 Vaja 6: Loku 3 cm pripada središčni kot 120 stopinj. Natančno izračunaj polmer kroga.


18

Obodni in središčni kot

Ponovimo definicijo središčnega kota iz prejšnjega poglavja. Definicija: Središčni kot nad lokom AB je kot, ki ima vrh v ________________________, njegova kraka pa sekata ___________________ v točkah A in B. Definicija: Obodni kot nad lokom AB je kot, ki ima vrh na ________________________, njegova kraka pa sekata ______________________ v točkah A in B. Oba kota, središčni in obodni, odrežeta na krožnici lok. Nariši obodni in središčni kot, ki ležita nad istim lokom l. Kakšna zveza velja med njima? __________________________________________________ Primerjaj med seboj velikosti obodnih kotov nad istim lokom. _______________________________ Talesov izrek o kotu v polkrogu pove, da je vsak kot, ki ima _________ na krožnici in katerega kraka potekata skozi krajišči _________________ te krožnice, ________________ kot. Nariši in utemelji z računom. Vaja 1: Središčni kot je za 35o večji od obodnega. Koliko merita kota? Vaja 2: Izračunaj obodni kot v krožnici s polmerom 2 cm, ki pripada loku 5 cm. Izrazi ga v stopinjah in radianih.


19

B B B

A

C

D

A

C

B

B

Vaja 3: Izračunaj obodni kot nad lokom, ki je 11/27 obsega krožnice. Izrazi ga v stopinjah in radianih. Vaja 4: Loku 3 cm pripada obodni kot 120 stopinj. Izračunaj polmer kroga. Vaja 5: Pri prvi skici poznamo konveksni kot CDA, ki meri 35 stopinj, pri drugi skici pa poznamo konveksni kot ASC, ki meri 50 stopinj. S označuje središče krožnice. Pri vsaki od spodnjih skic izračunaj kot ABC. Zapiši svoj razmislek. Vaja 6: Tetiva deli krožnico v razmerju 4 : 7. Koliko merita obodna kota, ki pripadata tema lokoma? Rezultat naj bo podan v radianih na tri mesta natančno, nato pa še v stopinjah, minutah in sekundah.

S


20

Vaja 7: Nariši krožnico s polmerom 2 cm in točko A, ki je od središča krožnice oddaljena 7 cm. Nato konstruiraj tako tangento na krožnico, ki poteka skozi točko A. Koliko je možnih tangent? ____________ Opiši potek konstrukcije. Vaja 8: Na sliki velja: ACFGABEFEFG ,,160°=∠ , S je središče kroga.

Izračunaj: BSCBAC ∠∠ , . Zapiši in utemelji račune. (Označi nekatere kote na skici s črkami, da boš laže zapisal račune.)

C

B A

F

G

S E


21

Trikotnik

Definicija: Tri nekolinearne točke A, B, C določajo daljice AB, BC in AC. Množica točk v ravnini, ki je omejena s temi tremi daljicami, je trikotnik ABC. Točke A, B, C imenujemo __________________ trikotnika ABC, daljice AB, BC in AC pa imenujemo _____________________ trikotnika ABC. Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si oglišča A, B in C sledijo v tem vrstnem redu v _________________ smeri urinega kazalca. Nariši trikotnik ABC, tako da bo njegova orientacija pozitivna. Označi oglišča, stranice in kote. Vaja 1: Ali obstaja trikotnik s stranicami dolžin 3, 5 in 6 centimetrov?__________ Kaj pa s stranicami 3, 5, 8? _______________ Vaja 2: Trikotnik ima stranici z dolžinama 3 in 5 centimetrov. Koliko je lahko največ in koliko najmanj dolžina tretje stranice? Kakšni morajo biti odnosi med tremi števili, da obstaja trikotnik, pri katerem so ta tri števila dolžine stranic? ___________________________________________________________________________ Kaj lahko poveš o kotih, ki ležijo tem stranicam nasproti? Nasproti večje stranice leži _________________ ______________. Vsota notranjih kotov trikotnika je _________. Utemelji na skici. Koliko topih notranjih kotov ima lahko trikotnik? Zakaj? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ Zato imenujemo topokotni trikotnik tisti trikotnik, ki ima en topi notranji kot.


22

Vaja 3: Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika, če so v razmerju 3:2:1:: =γβα .

Definicija: Zunanji kot trikotnika je sokot k notranjemu kotu. Vsota zunanjih kotov trikotnika je _____________. Če znaš, utemelji z računom, pri katerem upoštevaš vsoto notranjih kotov trikotnika. Definicija: Višina trikotnika je razdalja ______________ od nosilke nasprotne stranice. Nariši dve skici. Skiciraj za ostrokoti trikotnik (označi vse tri višine) in za topokoti trikotnik, kjer označi le višino na najkrajšo stranico. Včasih pa rečemo tudi, da je višina daljica, ki poteka od oglišča trikotnika pravokotno do nosilke nasprotne stranice. Definicija: Višinska točka je presečišče nosilk vseh treh višin. Definicija: Težiščnica je daljica, ki povezuje ______________ z razpoloviščem ____________ stranice. Vse tri težiščnice se sekajo v isti točki, ki ji rečemo ________________________. Presečišče simetral trikotnikovih stranic je središče trikotniku _________________ krožnice. Presečišče simetral trikotnikovih notranjih kotov je središče trikotniku _________________ krožnice.


23

Vaja 4: Nariši trikotnik ABC s stranicami a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm in njegovo težišče. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Vaja 5: Nariši trikotnik ABC s podatki c = 5cm, b = 7 cm, °= 45α in mu včrtaj krog. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.


24

Vaja 6: Nariši trikotnik ABC s podatki c = 4 cm, °=°= 105,30 βα in mu očrtaj krog. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Za katere trikotnike je središče očrtanega kroga izven trikotnika? Vaja 7: V trikotniku ABC poznamo °=°= 30,45 βα in polmer očrtanega kroga R = 5 cm. Izračunaj dolžine lokov, ki jih na krožnici določajo oglišča.


25

Skladnost trikotnikov

Definicija: Trikotnika sta skladna, če obstaja togi premik, ki en trikotnik preslika na drugega. Označimo: ABC ≅≅≅≅ A/B/C/. Če sta trikotnika skladna, se ujemata v vsem: stranicah, kotih ... Izreki o skladnosti trikotnikov (kriteriji za skladnost) povedo, kateri so zadostni pogoji, da sta trikotnika skladna: Izrek 1: (sss) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh ________________________. Izrek 2: (ksk) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v eni stranici in njej __________________ ___________. Izrek 3: (sks) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in ___________________ kotu. Izrek 4: (ssk) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti ___________. Vaja 1: V prejšnjem poglavju Trikotnik si v vajah 5, 6, in 7 konstruiral trikotnike. Pri vsaki od teh treh vaj si dobil eno samo rešitev. Navedi izreke o skladnosti trikotnikov, ki zagotavljajo enoličnost rešitev. Pri vaji 5 enolično rešitev zagotavlja izrek številka ______. Pri vaji 6 enolično rešitev zagotavlja izrek številka ______. Pri vaji 7 enolično rešitev zagotavlja izrek številka ______. Vaja 2: Nariši trikotnik ABC. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

• a = 4 cm, b = 5 cm, °= 45β


26

• a = 5 cm, b = 4 cm, °= 45β

• Pri eni od zgornjih konstrukcij sta možni dve rešitvi. Preveri, ali si narisal obe. Zakaj sta pri enem kompletu podatkov dve rešitvi, pri drugem kompletu pa ne? Namig: poveži svoj odgovor z enim od izrekov o skladnih trikotnikih.

Vaja 3: Nariši naslednje trikotnike. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Morda je možnih več rešitev.

• °=== 30,3,4 γbvb (Prezrcali trikotnik čez simetralo enega od notranjih kotov.)


27

• °=== 60,3,5 αcva (Zavrti trikotnik za minus 30 stopinj okoli oglišča B.)

• °=== 45,4,5 γata


28

• °=== 45,5,3,3 βatc

• °=== 45,3,5,3 βatc


29

• 3,2,4 === cc tvc

• 4,4,6 === ca vvc


30

*Vaja 4: Nariši trikotnik ABC s podatki: °=== 120,4,3 βγsa . Pri tem pomeni γs odsek simetrale

kota od oglišča C do stranice c. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Vaja 5: Nariši naslednji trikotnik. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Namig: uporabi izrek o kotu v polkrogu.

• °=== 90,2,6 γcvc


31

Vrste trikotnikov

Enakokraki trikotnik je trikotnik z dvema _________________ _______________________. Skladni stranici imenujemo kraka, preostalo stranico pa osnovnica, skupno točko obeh krakov imenujemo vrh trikotnika. Lastnosti enakokrakega trikotnika Kota ob osnovnici sta __________________. Višina na osnovnico razpolavlja kot ob __________________ in ____________________. Nariši skico in ponazori zapisane lastnosti. *Vaja 1: Uporabi lastnosti enakokrakega trikotnika, za dokaz izreka o središčnem in obodnem kotu, ki ležita nad istim lokom. Enakostranični trikotnik je trikotnik s tremi ____________________ ______________________. Iz tega sledi, da so skladni tudi vsi trije notranji ____________, zato vsak notranji kot meri ________. V enakostraničnem trikotniku ležijo težiščnice na simetralah kotov in hkrati na simetralah stranic. Zato se pokrijejo štiri karakteristične točke trikotnika: središče __________________ _________________, središče _________________ ________________ , ____________________ in višinska točka. Nariši skico in ponazori zapisane lastnosti.


32

Pravokotni trikotnik je trikotnik, v katerem je en kot _______________. Stranica nasproti pravega kota je najdaljša in jo imenujemo _______________________. Preostali stranici imenujemo ____________________. Zakaj je stranica nasproti pravega kota najdaljša? Ker leži nasproti __________________ ________. V pravokotnem trikotniku leži središče očrtanega kroga na _________________________, zato je hipotenuza enaka premeru očrtane krožnice. To velja zaradi izreka o kotu v _____________________. Nariši skico pravokotnega trikotnika z očrtanim polkrogom. Zapiši enakost treh dolžin v trikotniku, ki je vidna s te skice. Kako je z višinami v pravokotnem trikotniku? Zakaj višino na hipotenuzo c označujemo kar v in ne

cv ? ______________________________________________________________________________ Vaja 2: Na skici velja BC≅CD. Oba kota sta podana v stopinjah. Izračunaj kot x. Zapiši račune.

Vaja 3: Zunanji kot ob vrhu enakokrakega trikotnika meri 3

π.

Izračunaj notranje kote trikotnika (natančno v radianih).


33

Vaja 4: V enakokrakem trikotniku ABC notranji kot trikotnika ob vrhu C meri 28 stopinj. Izračunaj preostala notranja kota in kot, pod katerim seka simetrala notranjega kota pri A krak BC. Nariši skico, označi kote in zapiši račune. Vaja 5: Kaj lahko poveš o trikotniku, če je eden od njegovih kotov

• enak vsoti drugih dveh?

• večji od vsote drugih dveh? Vaja 6: V enakokrakem trikotniku je simetrala kota pri osnovnici pravokotna na nasprotno stranico. Kakšen trikotnik je to? Skiciraj in utemelji odgovor z računom.


34

*Vaja 7: Nariši naslednje trikotnike. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Namig: uporabi izrek o središčnem in obodnem kotu.

• °=== 30,3,5 γcvc

• °=== 30,6,5 γctc


35

Podobnost trikotnikov

Trikotnika sta podobna, če obstaja podobnostna preslikava ravnine, ki preslika enega v drugega. Pri podobnostnih preslikavah se ohranjajo koti in razmerja dolžin. Primer take podobnostne preslikave je središčni razteg. Definicija: Središčni razteg s središčem S in faktorjem k (k je realno število) je preslikava ravnine

nase, ki poljubno točko A v ravnini preslika v točko 1A , tako da velja enakost: SAkSA ⋅=1 in da

velja tudi: če je k pozitiven, leži 1A na poltraku iz S skozi A , če je k negativen, leži 1A na dopolnilnem poltraku k poltraku iz S skozi A . Ponazori središčni razteg z dvema skicama, za pozitiven in za negativen faktor. Zapiši faktor raztega. Vaja 1: Nariši poljuben trikotnik, v njegovi notranjosti izberi točko S in trikotnik preslikaj s središčnim raztegom s središčem v S in faktorjem 1,5. Za trikotnike poenostavimo definicijo takole. Definicija: Trikotnika sta podobna, če imata paroma skladne kote. Označimo: ABC ∼∼∼∼ A/B/C/. (Dovolj je že, da imata paroma skladna dva kota, ker se potem zagotovo ujemata tudi v tretjem kotu. Razmisli, zakaj!) Nariši podobna trikotnika ABC in A/B/C/ in označi stranice in skladne kote.

Za trikotnike lahko naštejemo tudi kriterije za podobnost trikotnikov: trikotnika sta podobna, 1. če se ujemata v razmerju treh enakoležnih stranic ali 2. če se ujemata v razmerju dveh enakoležnih stranic in imata skladen kot med njima ali 3. če se ujemata v razmerju dveh enakoležnih stranic in imata skladen kot nasproti daljše stranice.


36

Če sta trikotnika ABC in A/B/C/ podobna, za njune stranice velja:

kc

c

b

b

a

a ===///

(k je koeficient podobnosti) oziroma a/ = ka, b/ = kb, c/ = kc.

Za obseg zato velja o/ = ko, za ploščino pa S/ = k2S. Vaja 2: Razdeli dano daljico v razmerju 2 : 3 : 4.

Vaja 3: Na skici velja: 4,5,3,9, ==== BDCDCEACABCD . Izračunaj yDExAB == , .

Vaja 4: Trikotnik ima stranice dolge 8, 12 in 16 cm, obseg podobnega trikotnika pa meri 45 cm. Izračunaj stranice podobnega trikotnika. Vaja 5: Konstruiraj trikotnik ABC ( 5,4,3 === cba ) in njemu podobni trikotnik, če je a/= 4. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

A B

C D

E


37

Vaja 6: Navijač spremlja tek na 100 m s sedeža, ki je v liniji ciljne črte. Ko je najboljši domači tekmovalec na 7. progi 10 m pred ciljem, ima tuji sprinter na 8. progi že nekaj prednosti, in sicer ravno toliko, da gledalcu zakrije pogled na domačega šampiona. Tekmovalca tečeta po sosednjih progah, ki sta medsebojno oddaljeni 1 m, tujčeva proga je od gledalca oddaljena 20 m. Izračunaj, koliko manjka do cilja tujcu. Nariši skico.

Vaja 7: Krožnici s polmeroma r1 = 2 cm in r2 = 3 cm ter središčema S1 in S2 se dotikata zunaj in imata skupno tangento, ki se dotika večje krožnice v točki B in manjše krožnice v točki C (točki B in C sta različni točki). Premica skozi središči krožnic seka skupno tangento v točki A. Nariši skico. Izračunaj dolžino daljice AS1. Vaja 8: V trikotniku ABC leži točka D na stranici AC, tako da je notranji kot trikotnika ABC pri oglišču B skladen s kotom BDC. Izračunaj dolžino stranice b, če meri stranica a 5 cm in razdalja od D do C 4 cm. Nariši skico, označi skladne kote in zapiši podobne trikotnike.


38

Izreki v pravokotnem trikotniku V pravokotnem trikotniku ABC nariši višino v na hipotenuzo c, označi stranice in kote. Z a1, b1 označi pravokotni projekciji katet na hipotenuzo, z D označi pravokotno projekcijo oglišča C na hipotenuzo (točki D rečemo tudi nožišče višine). Označi skladne kote in zapiši podobne trikotnike.

Trikotnika ACD in ABC sta podobna, zato velja (dopolni): =b

b1 in =a

a1

iz tega pa dobimo Evklidova izreka: cbb 12 =

caa 12 =

Če oba Evklidova izreka seštejemo, dobimo Pitagorov izrek. Izpelji. Tudi trikotnika ACD in CBD sta podobna.

Iz enačbe za podobnost teh dveh trikotnikov dobimo (dopolni): =1b

v

In v naslednjem koraku višinski izrek 11

2 bav =

Vaja 9: Kateta pravokotnega trikotnika meri 4 dm, njena projekcija na hipotenuzo pa 2 dm. Natančno izračunaj preostali stranici in višino na hipotenuzo pravokotnega trikotnika.


39

*Vaja 10: Ena kateta v pravokotnem trikotniku je za 4 cm daljša od svoje projekcije na hipotenuzo, projekcija druge katete na hipotenuzo pa meri 9 cm. Koliko merijo stranice trikotnika? Vaja 11: Hipotenuza pravokotnega trikotnika meri 20 cm, razmerje projekcij katet na hipotenuzo pa je 9 : 16. Koliko merita kateti in koliko višina tega trikotnika?


40

* Poglejmo še, kako s pomočjo Evklidovega ali višinskega izreka konstruiramo nekatera iracionalna števila, če seveda prej določimo dolžino enote. Verjetno se spomniš, da smo že risali korene s pomočjo Pitagorovega izreka in da je bilo to za nekatere korene precej zamudno.

Narišimo 15 cm z uporabo višinskega izreka. Za pravokotni trikotnik ABC naj merita pravokotni projekciji katet na hipotenuzo: ena 3 cm in druga 5 cm. Izračunaj višino po višinskem izreku. Torej moraš le še konstruirati pravokotni trikotnik, ki ima projekciji katet na hipotenuzo dolgi 3 cm in

5 cm, pa bo njegova višina daljica, ki bo dolga točno 15 cm. Namig: najprej nariši obe projekciji, ki se združita v hipotenuzo AB trikotnika ABC, potem razpolovi hipotenuzo, da dobiš središče trikotniku očrtanega kroga (zaradi izreka o kotu v polkrogu) in nariši očrtan polkrog skozi A in B. Potem nariši nosilko višine trikotnika. Kjer nosilka višine seka krožnico, je oglišče C. Razdalja od C do hipotenuze

je ravno 15 cm. Prepričaj se tudi tako, da izmeriš višino in to primerjaš s približkom, ki ga s kalkulatorjem dobiš za

15 . *Vaja 12: Uporabi višinski izrek za konstrukcijo korena po svoji izbiri. Zapiši tudi predpostavke in račun.


41

*Vaja 13: Uporabi Evklidov izrek za konstrukcijo korena po svoji izbiri. Zapiši tudi predpostavke in račun. Vaja 14:

• Dokaži, da za kvadrat s stranico a izračunamo diagonalo po formuli 2ad = .

• Dokaži, da za enakostranični trikotnik s stranico a izračunamo višino po formuli 2

3av = .


42

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku

Nariši pravokotni trikotnik s kotom α = 60o. Dolžine stranic si poljubno izberi. Označi oglišča in kote ter izračunaj preostali kot. _______________________________________________

Označi in izmeri stranice. Izračunaj =c

a

Primerjaj rezultat s sošolcem. Kaj ugotoviš? ___________________________________________ Zakaj je razmerje kotu nasproti ležne katete in hipotenuze v pravokotnem trikotniku neodvisno od tega, kako velik pravokotni trikotnik narišemo, če le uporabimo isti kot? Ker so vsi taki pravokotni trikotniki med seboj ___________________________.

Vrednost c

abi se spremenila le, če bi spremenili kot α, zato pravimo, da je razmerje

c

afunkcija kota

in jo imenujemo sinus α. Definicija: Sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu ______________________

katete in __________________. Zapišemo na primer: sin α = c

a.

Definicija: Kosinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu _______________ katete in ________________. Zapišemo: __________________________________ Nariši skico in na njej poudari kot in stranici, ki si jih uporabil. Definicija: Tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu ___________________ in kotu __________________ katete . Zapišemo: _______________________________________ Nariši skico in na njej poudari kot in stranici, ki si jih uporabil. Definicija: Kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu __________________ in kotu __________________ katete . Zapišemo: ______________________________________


43

Nekaj vrednosti kotnih funkcij Izračunajmo vrednost sinusa za kot α =60o. Nariši enakostranični trikotnik s stranico a. Nariši tudi eno izmed višin in označi velikosti kotov na sliki. Izrazi dolžino višine v tem trikotniku s stranico a. Uporabi rezultat iz vaje 14 (stran 42). Zapiši sinus kota α =60o in vstavi podatke za stranico in višino ter natančno izračunaj vrednost sinusa. Preveri svoj rezultat v preglednici vrednosti kotnih funkcij (na naslednji strani). Iz zgornje skice izračunaj še kosinus kota β =30o. Primerjaj sinus 60o in kosinus 30o. Kaj ugotoviš? _________________________ Poišči na naslednji strani zvezo med kotnimi funkcijami, ki potrjuje tvojo ugotovitev (namig: kolikšna je vsota kotov, za katera si računal sinus in kosinus?). _______________________ Na podoben način kot prej izračunaj še vrednosti sinusa za kot 30o in kot 45o .


44

Zveze med kotnimi funkcijami a) Izpelji vsaj dve zvezi izmed naslednjih zvez med kotnimi funkcijami komplementarnih kotov: sin (90o - α) = cos α cos (90o - α) = sin α tg (90o - α) = ctg α ctg (90o - α) = tg α

b) Izpelji vsaj dve zvezi izmed naslednjih zvez med kotnimi funkcijami istega kota:

1cossin 22 =+ αα , ααα

cos

sin=tg , ααα

sin

cos=ctg , 1=⋅ αα ctgtg ,

αα

22

cos

11 =+ tg ,

αα

22

sin

11 =+ ctg

Preglednica vrednosti kotnih funkcij Dopolni preglednico natančnih vrednosti kotnih funkcij. Pri tem si pomagaj z zgornjimi zvezami.

Račune zapiši na naslednji strani. Zgled: cos 30o = sin (90o - 30o) = sin 60o = 2

3

30o = π/6 45o = π/4 60o = π/3

sin α 2

1

2

2

2

3

cos α

tg α

3

3

3

ctg α


45

Tukaj zapiši svoje račune, s pomočjo katerih si izpolnil prejšnjo preglednico. Vaja 1: Z računalom izračunaj vse štiri kotne funkcije danega kota.

α sinα cosα tgα ctgα 10o 89o 31o21/ 83o12/17//

4

π

1,4

Kako dobiš kotangens? Pomisli na zveze med kotnimi funkcijami.

Vaja 2: Z računalom izračunaj kot, če imaš podano kotno funkcijo. Kot zapiši na tri načine: prvič v stopinjah na stotinko stopinje natančno, drugič v stopinjah, minutah, sekundah, in tretjič v radianih na dve mesti natančno.

vrednost kotne funkcije

kot α v stopinjah na stotinko stopinje natančno

kot α v stopinjah, minutah, sekundah

kot α v radianih

sinα = 0,5 cosα = 0,217

tgα = 1+ 2

ctgα = 2,5 Poskusi z računalom izračunati kot, če za sinus uporabiš sinα = 2,5. Kaj si ugotovil? _____________ Kakšne vrednosti lahko zavzameta funkciji sinus in kosinus?________________________________ _________________________________________________________________________________ Zapiši, zakaj. ______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Kaj pa tangens in kotangens?__________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________


46

Vaja 3: V pravokotnem trikotniku ABC s pravim kotom pri C in danimi podatki izračunaj iskano količino.

• ?,301540,10 ''' =°== ba β

• ??,,5,10,4 ==== βαca

• ??,,40,10 ==== βαba

Vaja 4: V enakokrakem trikotniku meri krak 10 m, osnovnica pa 310 m. Natančno izračunaj notranje kote trikotnika. Skiciraj.


47

Vaja 5: Enakokrakemu trikotniku ABC z osnovnico c = 6 cm je očrtan krog s središčem v točki S. Kot ASB meri 100°. Skiciraj. Izračunaj polmer trikotniku očrtanega kroga in krak trikotnika. Vaja 6: V enakokrakem trikotniku ABC z osnovnico c = 3,5 cm in krakom a = 7,2 cm narišemo višino na osnovnico z nožiščem D. Skiciraj. Izračunaj razdaljo od točke D do kraka trikotnika.


48

Štirikotniki

V ravnini izberemo štiri točke A, B, C, D, od katerih nobene tri niso kolinearne. Te štiri točke povežemo zaporedoma z daljicami AB, BC, CD, DA, ki so stranice štirikotnika. Štirikotnik je del ravnine, omejen s stranicami. Nariši konveksen štirikotnik ABCD in nekonveksen štirikotnik EFGH. V štirikotniku ABCD označi razen oglišč še stranice, kote in diagonali. Obravnavali bomo samo konveksne štirikotnike. Kolikšna je vsota notranjih kotov štirikotnika?________________ Zakaj? Pokaži s skico in računom. (Namig: za kateri lik že poznaš vsoto notranjih kotov? Uporabi.)

Paralelogram Definicija: Paralelogram je štirikotnik, ki ima _________ para ______________________ ___________________. Nariši paralelogram in označi oglišča, stranice, kote in diagonali. Višina paralelograma je razdalja med nosilkama vzporednih stranic. Paralelogram ima dve višini. Označi ju na naslednji skici.


49

Lastnosti paralelograma 1. Nasprotna kota sta ___________________ . Zapiši z enakostjo, uporabi oznake na prejšnjih skicah. _________________________ 2. Kota ob isti stranici sta _____________________. Zapiši z enakostjo, uporabi oznake na prejšnjih skicah. _________________________ 3. ____________________(kateri) stranici sta skladni. *Skiciraj paralelogram in zapiši skladna trikotnika, s katerima to dokažeš: 4. Diagonali druga drugo _________________________. *Skiciraj paralelogram in zapiši skladna trikotnika, s katerima to dokažeš: *Zapiši še tri karakteristične lastnosti paralelograma. Dve govorita o stranicah, tretja o diagonalah.

Štirikotnik, ki ima skladni __________________ stranici, je paralelogram. Štirikotnik z dvema paroma skladnih nasprotnih ___________________, je paralelogram. Štirikotnik, v katerem se diagonali _____________________, je paralelogram.

Vaja 1: Nariši naslednje paralelograme. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

• 8,3,7 === fba

• 3,4,5 === bvba


50

• °=∠== 30,4,3 CABba Vaja 2: Točka P leži na stranici BC paralelograma ABCD in je od točke C oddaljena 3 enote. Premica skozi D in P seka nosilko stranice AB v točki T. Nariši skico. Izračunaj razdaljo od B do T, če poznaš stranici paralelograma 4,7 ==== bADaAB .

Vaja 3: Natančno izračunaj obe višini paralelograma ABCD s podatki: °=== 60,4,5 αba .


51

*Vaja 4: Nariši trikotnik ABC ( °=== 75,5.4,4 βbta ) s pomočjo paralelograma ABCD. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

Posebne vrste paralelogramov Definicija: Romb je paralelogram s _______________________ _________________stranicama. Skiciraj romb. Lastnosti romba Diagonali se sekata _____________________________. Diagonali razpolavljata ___________________. (*Zapiši skladna trikotnika, s katerima to dokažeš: ________________________________) Romb ima samo eno višino. Definicija: Pravokotnik je paralelogram, ki ima pravi notranji kot. Zakaj je dovolj, da to zahtevamo za en kot? Pojasni razmišljanje. Definiraj kvadrat. Pazi, da boš v definiciji zahteval le nujno potrebno. Ne naštej vseh lastnosti kvadrata. Definicija: Kvadrat je_______________________________________________________________. Bi ga znal definirati tudi drugače? Poskusi.


52

Vaja 5: Nariši romb ABCD z danimi podatki. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

• °== 105,4 αe

• 4,3 == fe

Vaja 6: V rombu s stranico 6=a in kotom °= 60α natančno izračunaj diagonali.

Trapez Definicija: Trapez je štirikotnik, ki ima _____ par ________________ ___________________. Vzporedni stranici imenujemo __________________, preostali dve pa ________________. Skiciraj trapez. Lastnost trapeza Kota ob istem kraku sta ________________________.


53

Definicija: Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči _________________________. Srednjica je vzporedna osnovnicama in meri __________________. *Poskusi to dokazati, tako da uporabiš premik enega kraka trapeza in podobnost trikotnikov. Višina trapeza je razdalja med _________________________. Definicija: Enakokraki trapez je trapez, z enakima ________________________. Skiciraj enakokraki trapez. Enakokraki trapez ima tudi skladni ________________ in skladna para __________ ob isti osnovnici . Ali se diagonali razpolavljata? __________ Vaja 7: Nariši trapez ABCD z danimi podatki. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

• °==== 45,7,5,4,6 βfea

• 5,5,4,9 ==== dcba


54

• 7,9,5,9 ==== feca

• * °=∠=== 45,3,4,6 BCAcva (Namig: obodni in središčni kot.)


55

Vaja 8: Nariši enakokraki trapez ABCD z osnovnico a = 5 cm, kotom °= 60α in višino v = 2 cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije. Vaja 9: V trapezu ABCD merita osnovnici a = 6 cm, c = 4 cm in krak b = 3 cm. Nosilki krakov se sekata v točki S. Izračunaj razdaljo od C do S. Namig: podobni trikotniki.


56

Vaja 10: V trapezu ABCD sta kota ∠ BCD in ∠ BDA skladna. Izračunaj dolžino diagonale BD, če stranica a meri 63 cm, stranica c pa 28 cm. Namig: zapiši podobne trikotnike. Vaja 11: V enakokrakem trapezu je a = 10 cm, c = 6 cm, v = 3 cm. Izračunaj krak, notranje kote in diagonalo trapeza. Vaja 12: V trapezu ABCD (a = 10 cm, c = 6 cm, d = 4 cm, v = 3 cm) izračunaj b in notranje kote.


57

Deltoid Definicija: Deltoid je štirikotnik z dvema paroma ________________ ________________ stranic. Skiciraj deltoid ABCD s simetralo BD in potem še deltoid s simetralo AC. Če ni drugače zahtevano, bomo uporabljali deltoid s simetralo BD. Lastnosti deltoida Diagonali se sekata pod __________________ ___________. Ena od diagonal razpolavlja drugo ______________________ in oba notranja _________. Preostala kota sta med seboj _________________. Ali druga diagonala tudi razpolavlja kote? ____________ Vaja 13: Nariši deltoid ABCD z danimi podatki. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.

• °=== 75,8,3 δfd


58

• °=== 45,6,2 δfe

• * °=== 90,5,7 αef (kot v polkrogu)


59

Vaja 14: V deltoidu ABCD poznamo °=== 30,8,3 βfa . Izračunaj preostale stranice, kote in diagonalo.

*Tetivni in tangentni štirikotnik Definicija: Tetivni štirikotnik je štirikotnik, katerega stranice so ________________ nekega kroga. Skiciraj tetivni štirikotnik ABCD v krogu in označi notranje kote. Središče kroga označi S. Lastnost tetivnega štirikotnika: nasprotna kota sta suplementarna. Zapiši s simboli:_______________ Utemeljitev: Na skici nariši daljici BS in SD. Koliko merita središčna kota, ki si ju dobil na skici? Namig: uporabi povezavo središčnega in obodnega kota. Vsota obeh središčnih kotov pa je polni kot. To zapišemo: °=+ 36022 γα Ko to enačbo delimo z dve, dobimo _____________________________. Torej sta α in γ suplementarna. Enako bi lahko dobili tudi za drugi par nasprotnih kotov. Velja tudi obrat te lastnosti: če sta v štirikotniku nasprotna kota suplementarna, mu lahko očrtamo krog.


60

D

B C

A

* Vaja 15: Izračunaj konveksni kot DAB na skici, če meri kot BCD 80 stopinj. Vaja 16: Utemelji, zakaj je enakokraki trapez tetivni štirikotnik (lahko mu očrtamo krožnico). Skiciraj. Definicija: Tangentni štirikotnik je štirikotnik, katerega stranice so odseki na ________________ nekega kroga. Skiciraj tangentni štirikotnik ABCD in krog. Označi le oglišča in stranice štirikotnika. Lastnost tangentnega štirikotnika: vsota nasprotnih dveh stranic je za dani štirikotnik konstantna. Zapiši s simboli. Utemeljitev: Na skici označi skladne tangentne odseke z enakimi črkami, x, y, z, u (tangentni odsek je tisti del tangente, ki ima eno krajišče na krožnici, drugo pa v oglišču štirikotnika). Zdaj izrazi vsoto stranic a in c s tangentnimi odseki, ki sestavljajo ti dve stranici. Enako še za stranici b in d. Primerjaj rezultata. Vaja 17: V tangentnem štirikotniku ABCD poznamo stranice a = 5, b = 6, c = 3. Izračunaj d.


61

N-kotnik

Definicija: Točke A1, A2, … An v ravnini, od katerih nobene tri zaporedne ne ležijo na isti premici in za katere velja, da se daljici AnAn+1 in An+1An+2 sekata le v An+1, razen An=A1, določajo n-kotnik. Točke A1, A2, … An so oglišča, daljice, ki povezujejo sosednji oglišči, so stranice, daljice, ki povezujejo nesosednji oglišči pa so diagonale n-kotnika. Del ravnine, ki ga omejujejo stranice, imenujemo n-kotnik. Obravnavali bomo samo konveksne n-kotnike. Koliko diagonal ima n-kotnik? ___________________ Utemeljitev: Vsota notranjih kotov n- kotnika: ( )2180 −⋅° n Utemeljitev: Vaja 1: Izračunaj število diagonal petkotnika. Rezultat preveri tako, da skiciraš petkotnik in prešteješ diagonale. Vaja 2: Izračunaj, kateri večkotnik ima 44 diagonal. Kolikšna je vsota njegovih notranjih kotov?


62

Vaja 3: Izračunaj, kateri večkotnik ima štirikrat toliko diagonal kot stranic? Vaja 4: Če v n-kotniku podvojimo število stranic, se število njegovih diagonal pomnoži s pet. Izračunaj, kateri n-kotnik je to.

Pravilni n-kotnik Definicija: Pravilni n-kotnik je n-kotnik z vsemi skladnimi _______________ in vsemi skladnimi notranjimi _____________________. Lastnosti: Pravilnemu n-kotniku lahko včrtamo in očrtamo krog. Oba kroga imata isto središče, zato rečemo, da sta __________________________. Skiciraj pravilni n-kotnik (npr. 7-kotnik) z včrtanim in očrtanim krogom. Označi oba polmera: R in r. Nato razdeli n-kotnik na enakokrake trikotnike, ki imajo vrhove v središču obeh krogov. Izračunaj velikost kota ob vrhu narisanega enakokrakega trikotnika:


63

Enakokraki trikotnik na desni skici naj bo le povečava enega od trikotnikov iz n-kotnika. Označi na njem polmer očrtanega kroga R, včrtanega r, kot ob vrhu naj bo ϕ , stranica pa a. Polmer včrtanega kroga je hkrati višina enakokrakega trikotnika. Na kolikšna dela razdeli r stranico a?____________ Notranji kot n-kotnika bomo označevali z α . Zapiši vsaj tri povezave med količinami R, r, α ,ϕ in a, tako da uporabiš kotne funkcije. Vaja 5: V pravilnem n-kotniku poznamo dva podatka, ostale pa je potrebno izračunati. Nariši skico.

• ?,,,,10,3 === αϕ ranR


64

• ?,,,,2

23,6 === αϕ nRra

Vaja 6: Krogu s polmerom 22 m včrtamo pravilni 9-kotnik. Izračunaj dolžino stranice.


65