Download pdf - Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

1/44

GEOMETRIJA BRODAGEOMETRIJA BRODA

12. 2D OPISIVANJE BRODSKIH FORMIB-SPLINE I NURB-SPLINE

FUNKCIJAMA

SVEUILITE U SPLITUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE


2/44

2

SADRAJ:SADRAJ:1. POVIJESNI RAZVOJ,

2. B-SPLINE,

3. POVEZANOST BEZIEROVOG I B-SPLINE-,

!. NURB-SPLINE.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE


3/44

3

1. POIJESNI RA!OJ1. POIJESNI RA!OJ

C. "# B$$%, 1&'2 (. G$%"$), R*+%" F. R*##)#/", 1&'!

L%%0 L. S+#%, T$ L0+#, N*% D0).



4/44

!

ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"



5/44

4

RACIONALNE BE!IEROE KRIULJERACIONALNE BE!IEROE KRIULJE

BEZIEROVE KRIVULJE KOJIMA SU DODANI TE5INSKI

KOEFICIJENTI wiKAO6

TONO OPISUJU UNJOSJENICE 7KRIVULJE 2. STUPNJA8.

( ) 10,

)(

)(

0

0

=

=

= t

wtB

wtBP

tQ

i

n

i

ni

n

i

inii


( )

( )

( )

10,

1

1

0

0

=

=

=

t

wttin

wtti

nP

tQn

i

iini

n

i

iini

i


6/44

9

2.2. BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)

BEZIEROVE KRIVULJE6

ELEGANTNIJE SU, ALI ZAHTIJEVAJU PUNO KONTROLNIH TOAKA,

VE:A GLATKOST ; VIE KONTROLNIH TOAKA ; VII STUPANJ POLINOMA,

NEPO5ELJNO6 SVAKA KONTROLNA TOKA UTJEE NA CIJELU KRIVULJU.

BASIS SPLINE6

PROJEKTIRAN DA PONITI NEPO5ELJNA SVOJSTVA BEZIEROVIH KRIVULJA,

GLATKE FUNKCIJE IZGLA


7/44

'

BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)

SVOJSTVA6

POOP:ENJE 7GENERALIZACIJA8 BEZIEROVOG SPLINE-A,

POTREBAN JE MANJI BROJ TOAKA NEGO KOD BEZIEROVOG SPLINE-A,

OMOGU:UJE LOKALNU PROMJENU KRIVULJE,

PRIJELAZ OPISIVANJA S KRIVULJA NA PLOHE JE JEDNOSTAVAN.

=

=m

i

ii puBup0

)()(

B-SPLINE FUNKCIJE IZGLAIVANJA, 2. REDA



8/44

>

MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

STUPANJ BEZIEROVE KRIVULJE JE

ODRE


9/44

&



POVEZATI MNOGO BEZIEROVIH

KRIVULJA NI5IH STUPNJEVA U CJELINU

7SLIKA8

ALI ZADR5AVANJE KONTINUIRANOSTI

DERIVACIJA 5ELJENOG REDA U

SPOJNIM TOKAMA NIJE LAKO I MO5E

BITI TEKO IZVEDIVO I NEPO5ELJNO.



10/44

1@



POMICANJE KONTROLNE TOKE UTJEE

NA OBLIK CIJELE KRIVULJE 7SVOJSTVO

GLOBALNOG UTJECAJA8 TO JE

NEPO5ELJNO.

KOD B-SPLINE-A STUPANJ FUNKCIJE NEOVISI O BROJU KONTROLNIH TOAKA,

T.J., B-SPLINE KRIVULJA 3. STUPNJA JEODRE KONTROLNIH TOAKA.



11/44

11


PRIMJER6

4 SEGMENATA BZIER-OVE KRIVULJE

3. STUPNJA ZAJEDNO TVORI B-SPLINE

KRIVULJU, ODRE


12/44

12

DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A

ZA DEFINIRANJE B-SPLINE KRIVULJE POTREBNO JE

ODREDITI6

SKUP KONTROLNIH TOAKA 7#)=. CONTROL POINTS8,

SKUP VOROVA 7#)=. KNOTS POINTS8, I

STUPANJ KRIVULJE 7#)=. CURVE DEGREE8.



13/44

13

B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA

DEFINICIJA6

(u0


14/44

1!

B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA

DEFINICIJA6

(u0


15/44

14

DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A

JEDNOLIKI RAZMAK 7#)=. UNIFORM8 VEKTORA VOROVA6

POJEDINANI VOR JE JEDNAKO RA!MAKNUT 7#)=.

EVENL SPACED8 KAO NPR.6

7@, 1, 2, 3, !8,

A ZATIM NORMALIZIRAN NA RASPON @, 16

7@, @.24, @.4, @.'4, 1.@8.

NORMALIZACIJA6 DIJELJENJE VRIJEDNOSTI SKUPA S NEKOM 7NAJVE:OM8

VRIJEDNOSTI.



16/44

19

TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA

NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8

PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8

PRVI I ZADNJI VOR SEPONAVLJAJU kPUTA6

NPR.6 7@,@,@,1,2,2,28

KRIVULJA PROLAZI KROZ PRVU IZADNJU KONTROLNU TOKU.


PRVI I ZADNJI VOR SE NEPONAVLJAJU ? ISTI DOPRINOS6

NPR.6 7@, 1, 2, 38

KRIVULJA NE PROLAZI KROZ KRAJNJEKONTROLNE TOKE,

KORISTI SE ZA OPISIVANJEZATVORENIH KRIVULJA, KOD KOJIH JE

PRVA TOKA JEDNAKA ZADNJOJ.


17/44

1'

7ZATVORENI VOROVI8

TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA


NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8

PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8


18/44

1>

OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1,1

1

1,

, ++

+

+

+

+

=

iki

ki

ki

iki

ki

ikiuu

uNuu

uu

uNuuuN

0

1

11,

= +iiiuuu

N

GDJE SU6

VRIJEDNOSTI U NAZIVNIKU MOGU IMATI VRIJEDNOST @, A ZA

@@ SE UZIMA DA JE @,

AKO JE STUPANJ B-SPLINE- @, STUPANJ ODNi,1(u)JEJEDNAK 1 ZAuUNUTARi? $= RASPONA VOROVA[ui, ui+1).





19/44

1&

NPR.6 ZA ! VORA u0= 0, u1= 1, u2= 2I u3= 3, RASPONI

IZME


20/44

2@




21/44

21



GLATKOST ; STUPANJ ? VIESTRUKOST


22/44

22

OSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOGOSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOG

B-SB-SPLINE-"PLINE-"


ZVONOLIKE FUNKCIJE ZA SVAKU KONTROLNUTOKU

PREKLAPAJU:E OSNOVNE FUNKCIJE KONTROLNE TOKE ODGOVARAJU TOKAMA VOROVA


23/44

23

ZA PRORAUNNi,k(u)ZA kVE:I OD 0, KORISTI SE TROKUTNA

7TRIANGULARNA8 PRORAUNSKA SHEMA,

TE REKURZIJA.




24/44

2!

SOJSTASOJSTA B-B-SPLINE-"SPLINE-"

APROKSIMACIJSKO SVOJSTVO6

NE INTERPOLIRA DE BOOR-$# TOKE,

KONVEKSNOST,

AFINA INVARIJATNOST,

KONTROLA PROMJENJIVOSTI 7#)=. VARIATION DIMINISHING8,

C2? KONTINUIRANOST,

LOKALNA KONTROLA KRIVULJE6

ZA KUBNE OSNOVNE FUNKCIJE, SVAKI SEGMENT JE ODRE


25/44

24

&. E!A I!ME'U RA!LI%ITI&. E!A I!ME'U RA!LI%ITITIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH

PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,

ONI IMAJU RAZLIITA GRA


26/44

29

A-A-OKIRI I KONTINUIRANOSTOKIRI I KONTINUIRANOST

KONTINUITET IZME


27/44

2'

I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"

UMJESTO DEFINIRANJA BEZIEROVIH KONTROLNIH TOAKA,POTREBNO JE ODREDITI KUTEVE A-OKVIRA U SVRHUIZGRADNJE SPLINE- S C2KONTINUITETOM.

DOBIJAMO B-SPLINE. TOKE BiSE ZOVU DE BOOR-*+ TO%KE.

V0

V1 V2

V3



28/44

2>

KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-" ZA CIJELI B-SPLINE6

KOJE SU BEZIER-$# KONTROLNE TOKE 7V8, DOBIVENE

POMO:U DE BOOR-$* TOAKA 7B82/3 1/3

1/3 2/3

2/3 1/31/2 1/22/31/3

1/6 1/64/6

1/6 1/64/6


V0

V1 V2

V3


29/44

2&

KONSTRUIRANJE BEZIER-$* TOAKA DOBIVENIH IZDE BOOR-$* TOAKA SE MO5E PRIKAZATI KAO6

KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-"


V0

V1 V2

V3


30/44

3@

KRAJEIKRAJEIB-B-SPLINE-"SPLINE-"

B-SPLINE NE INTERPOLIRA DE BOOR-$# TOKE.

DA BI SE TO POSTIGLO KRAJNJE TOKE SE

PONAVLJAJU nPUTA, JEDNAKO STUPNJU OSNOVNE

FUNKCIJE 7ZA KUBINU FUNKCIJU 3 PUTA8.



31/44

31

!ATARANJE KRIULJE!ATARANJE KRIULJE

AKO 5ELIMO ZATVORITI KRIVULJU POTREBNO JEKRU5NO PONOVITI nTOAKA OVISNO O STUPNJUOSNOVNE FUNKCIJE

B5=

B6= B7=



32/44

32

E!A I!ME'U RA!LI%ITIE!A I!ME'U RA!LI%ITI TIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH

PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,

ONI IMAJU RAZLIITA GRA


33/44

33

KOMPAKTNI PRIKA!KOMPAKTNI PRIKA!

PRIKAZ KOEFICIJENATA POLINOMA U MATRINOM OBLIKU6


GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE


34/44

3!

MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!

CSE MO5E NAPISATI KAO UMNO5AK MATRICE OSNOVNIH

FUNKCIJA MI VEKTORA OBLIKAG (+. GEOMETR VECTOR8.




35/44

34

MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI BE!IER- KUBI%NI BE!IER

MBezier G




36/44

39

MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI B-SPLINE- KUBI%NI B-SPLINE

TRANSFORMACIJA B-SPLINE- U BEZIER-$ SPLINE SEMO5E NAPISATI KAO6

BEZIER-$ ZAPIS JE6

UVRTAVANJEM 718 U 728, DOBIJAMO B-SPLINE OPIS 6B0

B1

B2

B3

(1)

(2)




37/44

3'

MATRICA OSNONI FUNKCIJAMATRICA OSNONI FUNKCIJA B-B-SPLINE-"SPLINE-"

ZA KUBINI B-SPLINE FORMIRA SE 19

JEDNAD5BI S 19 NEPOZNANICA,

TIH 19 JEDNAD5BI OSIGURAVA C0, C1, I C2

KONTINUITET IZME


38/44

3>

B-SB-SPLINE U MATRI%NOM OBLIKUPLINE U MATRI%NOM OBLIKU

[ ]

=

=

3

2

1

0

23

0141

03030363

1331

611

)(

p

pp

p

ttt

GMTtP B

3

3

2

2

1

2

0

3

3

33

3

22

3

11

3

00

)1(3)1(3)1(

)()()()()(

bbbb

bbbbp

tttttt

tBtBtBtBt

+++=

+++=

33

3

233

2

233

1

33

0

6

1)(

)1333(6

1)(

)463(6

1)(

)1(61)(

ttB

ttttB

tttB

ttB

=

+++=

+=

=




39/44

3&

UNIFORMNI B-SPLINE-*

APROKSIMIRAJU:I SPLINE-$*,

APROKSIMIRAJU n 1 KONTROLNU TOKU,

P0, P1, , Pn, n

KRIVULJA SE SASTOJI OD n? 2 KUBINA POLINOMSKA SEGMENTA6

Q3, Q4, Qn

VARIRA DU5 B-SPLINE- KAO Qi: uiui< ui+1

ui7i? CJELOBROJNA VRIJEDNOST8 SU TOKE VOROVI KOJI SPAJAJU

SEGMENTE QiDO Qi+1

KRIVULJA JE UNIFORMNA ZATO TO SU VOROVI JEDNOLIKO

RASPORE


40/44

!@

PROBLEMIPROBLEMI B-B-SPLINE OPISASPLINE OPISA

POVE:ANJE STUPNJA OPISA,

SMANJENJE STUPNJA OPISA,

UMETANJE VOROVA,

BRISANJE VOROVA.

Gerald Farin, Cr!e" and #r$a%e" $&r C&'er *ided Ge&'eri% e"in, 4-ed, *%ade'i%Pre"" (16)

/&nald . G&ld'an, &' %-e, edi&r", n& 5n"eri&n and elei&n *l&ri-'" $&r 7#line Cr!e" and #r$a%e", #5*8 (13)




41/44

!1

B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA

UMETANJE %OROAJE DODAVANJE NOVOG VORA U

POSTOJE:I VEKTOR VOROVA BEZ PROMJENE OBLIKA

KRIVULJE.

NOVI VOR MO5E BITI JEDNAK POSTOJE:EM ?POVE:ANJE VIESTRUKOSTI ZA 16

BROJ VOROVA ; ) 1

AKO SE BROJ VOROVA POVE:A ZA 16 ILI STUPANJ ILI

BROJ KONTROLNIH TOAKA MORA BITI MORA TAKO


42/44

!2

B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA

UMETANJE NOVOG VORA ZAHTIJEVA DODAVANJE NOVE

KONTROLNE TOKE.

NEKE KONTROLNE TOKE SE PRITOM BRIU I DODAJU NOVE.


NOVI VORu= 0.9

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE


43/44

!3

4.4. NURBSNURBS

NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES

OSNOVNA DEFINICIJA NURB-SPLINE KRIVULJE6

GDJE SU6

- RACIONALNE OSNOVNE FUNKCIJE,

Ni,k? OSNOVNE FUNKCIJE,

Pi? KONTROLNE TOKE,

wi? TE5INSKI KOEFICIJENTI.


( ) ( )

==

n

i

iki uRuC0

, P

( ) ( )

( )=

=

n

j

jkj

ikiki

wuN

wuNuR

0

,

,,

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE


44/44

NURBSNURBS

NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES

NEJEDNOLIKI 7NEUNIFORMNI, #)=. NON-UNIFORM8 RASPORED VOROVA,

RACIONALNI POLINOM6

POLINOM PODIJELJEN POLINOMOM, MO5E OPISIVATI KONINE KRIVULJE, TJ. KRIVULJE 2. STUPNJA

7KRU5NICE, ELIPSE I HIPERBOLE8

INVARIJATNI ZA PROJEKCIJSKE TRANSFORMACIJE.

NAPOMENA

UNIFORMNI B-SPLINE JE POSEBNI SLUAJ NEUNIFORMNOG B-SPLINE-,

NERACIONALNI B-SPLINE JE SPECIJALNI SLUAJ RACIONANOG B-SPLINE-.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE