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Matemáticas Matemáticas Geometría AnalíticaGeometría Analítica

1

Coordenadas RectangularesCoordenadas Rectangulares

2

Distancia entre dos puntosDistancia entre dos puntos

3

2122

12 yyxxd )(

Punto medioPunto medio

4

22

1

11

2121

2121

2

1

2

11

yyyxxx

r

rryyy

rrxxx

rPP

PPxxxx

PNMP

;

;

Pendiente de una rectaPendiente de una recta

5

12

12

xxyytgm

Si 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales

Si 2 rectas son perpendiculares la pendiente de una será el recíproco de la otra con el signo contrario

Línea RectaLínea Recta

6

Representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables.

Formas de la ecuación de una recta

a) PUNTO-PENDIENTERecta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m

)( 11 xxmyy

b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGENRecta de pendiente m que corta al eje en y en el punto P1(0, b) y cuya

bmxy


7


c) CARTESIANA

Recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

21

21

1

1

xxyy

xxyy

d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGENRecta que corta a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b)

1by

ax


8


e) GENERAL

Ecuación lineal o de primer grado

BAm

0 CByAx

BCb


9


f) NORMAL

Recta que queda determinada si se conoce la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que forma dicha perpendicular con el eje x. La distancia p positiva a cualquier valor del ángulo

sencosgcottg

sen;cos

1

11

m

pypx

0

11

pyx

pxpy

xxyy

sencos

)cos(sencossen

gcot


10

Reducción de la forma general a la normal

0 pyx sencos0 CByAx

0

1

1

222222

222222

22

2222

BACy

BABx

BAA

BACp

BAB

BAA

BAk

BAk

kCpkBkA

kCp

BA

;sen;cos

)(sencos

;sen;cos

sencos

2

Distancia de un punto a una Distancia de un punto a una rectarecta

11

0 pyx sencos

0 dpyx sencos 011 dpyx sencos

pyxd sencos 11

Ecuación para L:

Ecuación para L1:

Secciones CónicasSecciones Cónicas

12

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante se define como cónica o sección cónica.

El punto fijo se llama foco.

La recta fija se llama directriz.

La relación constante se llama excentricidad.


13

Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse y círculo (B) e hipérbola (C).


14


15

Excentricidad: en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias exactas, es un parámetro que determina el grado de

desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad en secciones cónicas:

Circunferencia e = 0Elipse 0 < e < 1Parábola e = 1Hipérbola e > 1

CircunferenciaCircunferencia

16

Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio.

Ecuación una circunferencia con centro en el origen y radio

r2ryx 22

Ecuación una circunferencia de centro (h,k) y radio r

2rkyh-x 22

La ecuación queda completamente determinada si se

conoce el centro y el radio


17

Ecuación general de una circunferencia

0FEyDxyx 22

4FED21

r

2D

44FED

2E

y2D

x

F4

E4

D4

EEyy

4D

Dxx

0FEyyDxx

22

2222

2222

22

22

2E,

Reordenando

Completando cuadrados

Se tiene la ecuación

Con centro en el punto

y radio igual a


18

04FED

04FED

04FED

22

22

22

La circunferencia es real si:

La circunferencia es imaginaria si:

La circunferencia representa un punto si:

•Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:


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diámetro

Diámetro: es el segmento de mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia; la longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; la cuerda de longitud máxima es el diámetro.Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.Tangente: es recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.

ParábolaParábola

20

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo (foco).

PMPF

ax0yax 2 2

ParábolaParábola

21

PMPF

ax0yax 2 2

axx

axy

axy

aaxxyaaxx

4

4

4

22

2

2

2

22222

Si el foco pertenece al eje y

Si el foco está a la izquierda

de la directriz

Elevando al cuadrado

Simplificando

ParábolaParábola

22

Si el vértice de la parábola tiene coordenadas (h,k), de eje paralelo al eje de las x y foco a la derecha del vértice a una distancia a

ahaxkkyy

ahxkyahx

442 22

22

ax0yax 2 2

kyahx

kyahx

hxaky

hxaky

4

4

4

4

2

2

2

2

ParábolaParábola

23

cbxaxy

cbyayx

2

2

Excentricidad

Latus rectum

1e

a4

ElipseElipse

24

Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.

ElipseElipse

25

222 cba

2aPFPF'

Eje mayor = 2a

Eje menor = 2b

Distancia focal = 2c

ElipseElipse

26

222 cba

2aPFPF'

222222

2

2

2

2

222

22

2

2

2

222

22222222

222

2222

2222

1

1

0

00

00

bayaxb

by

ax

bca

cay

ax

caa

caayaxca

ycxaacx

ycxycx

ycxycx

-

-2a

2a

Haciendo que

Dividiendo por

Elevando al cuadrado y reduciendo términos

Elevando al cuadrado y simplificando

ElipseElipse

27

12

2

2

2

ay

bx

12

2

2

2

by

ax

Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x

Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las y

ElipseElipse

28

00 eay;

eay

Excentricidad

Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x

Latus rectum

aba

ace

22

ab22

00 eax;

eax

Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y

ElipseElipse

29

Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje x

12

2

2

2

bky

ahx

12

2

2

2

aky

bhx

Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje y

Ecuación general de una elipse siempre que A y B del mismo signo

022 FEyDxByAx

HipérbolaHipérbola

30

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

aPFPF 221


31

C: punto central de la hipérbola donde se cruzan las asíntotas.

Eje transversal: línea que une los puntos focales (F1 y F2).

a : distancia del vértice al centro sobre el eje transversal.

Eje conjugado: línea perpendicular al eje transversal de distancia 2b.

b: punto de corte del eje conjugado con la circunferencia de centro a y radio c.

Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje conjugado.

Latus rectum: cuerda que pasa por el foco en forma paralela a la directriz.

222 cba


32

aPFPF 221 Por definición

aycxycx 200 2222 )()(


33

1

020

200

2

2

2

2

22

22222

222

22222222

222

2222

2222

by

ax

ba

baayxb

bac

acayaxac

ycxaacx

ycxaycx

aycxycx

)(

)(

)()(

)()(

Dividiendo por

Haciendo que

Elevando al cuadrado y reduciendo términos

Elevando al cuadrado y simplificando

aPFPF 221 222 cba


34

12

2

2

2

bx

ay

12

2

2

2

by

ax

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x

122 ByAx

Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen yfocos sobre los ejes de coordenadas

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y


35

xbayx

aby ;

Excentricidad

Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x y cuando están sobre el eje y

Latus rectum

Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x

y cuando el eje transversal es el eje y

ace

ab 22

eay

eax ;


36

Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje x

12

2

2

2

b

kya

hx

12

2

2

2

b

hxa

ky

Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje y

Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) yejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo

signo

022 FEyDxByAx


37

hxbakyhx

abky ;

Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x

y cuando el eje transversal es el eje y

Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y

xbayx

aby ;