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LECCIN 9 Toluca Guadalajara Monterrey Distrito Federal Acapulco 3 6 4 2 18 7 20 0 13 29 2 9 1 4 21

a) En cul ciudad se registr la temperatura ms baja a las 7 de la maana? b) En cul ciudad se registr la temperatura ms baja a las 10 de la noche? c) Cunto aument la temperatura en cada ciudad entre las 7 de la maana y las 3 de la tarde? d) Cunto disminuy la temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la noche?D F1 .b lo gs po t.c om

Leccin 9: Fracciones decimalesSistema de numeracinNo siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo. En esta leccin veremos una manera de expresar partes de una unidad a travs del sistema de numeracin decimal, que ya hemos empezado a estudiar. Recuerde que nuestro sistema de numeracin es decimal porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qu tamao son los grupos que estamos contando. Paraw w w .L IB R

O

SP

93

GUA

DE

MATEMTICAS I R tres dcimos

}?

un entero

R

w

w

w

.L

IB

Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes se llama dcimo. Si con una primera particin noR O SP D

F1

.b

lo

contar cuntos grupos de cada tamao tenemos, este sistema utiliza diez smbolos, que son los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.gs po t.c om

tres dcimos

} sietecentsimos

un entero

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LECCIN 9 podemos todava expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez partes, etc. Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de rea que tenemos sombreada en la siguiente figura, utilizando como unidad el cuadrado R. El rea sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qu parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectngulo, partimos el rectngulo en diez partes. Cada una de esas rebanadas es un dcimo del rea. Tenemos 3 dcimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es ms chico que un dcimo. Para saber de qu tamao es el pedazo que nos falta medir, partimos los dcimos en diez partes cada uno. El rectngulo nos queda partido en 10 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centsimo. Con siete de ellos, ahora s abarcamos exactamente el rea sombreada. Sabemos entonces que toda esa rea es: 1 unidad, 3 dcimos y 7 centsimos. Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamao empezando con los pedazos ms grandes, los dcimos, y luego los centsimos. En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres dcimos y siete centsimos: entonces escribimos 1.37. Este nmero lo podemos leer tambin como un entero treinta y siete centsimos. Observe en el ltimo dibujo que los tres dcimos que contamos inicialmente quedaron partidos en 30 centsimos. Si partimos los centsimos en diez partes iguales cada uno, la unidad nos queda dividida en 100 10 = 10 10 10 = 1000 pedacitos y cada uno de ellos se llama milsimo. La cantidadw w w .L IB R O SP D F1 .b lo gs po t.c om

95

GUA

DE

MATEMTICAS I de milsimos que tengamos se escribe a la derecha de los centsimos y leemos esa parte fraccionaria como si fuera un entero pero al final decimos el nombre de los pedazos ms chicos, es decir del menor orden que tenemos. Por ejemplo, trescientas cuarenta y dos unidades, 4 dcimos, 6 centsimos y 9 milsimos se escribe 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milsimos. Si partimos en milsimos el rectngulo de nuestro ejemplo, el rea sombreada ser equivalente a 1.370, es decir, una unidad con trescientos setenta milsimos. Observe que entonces tenemos que 1.37 = 1.370. Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en cuntas partes se dividi el entero. Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aqu vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene entonces.b lo gs po t.c om

10 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104 100 000 = 105 1 000 000 = 106 10 000 000 = 107 100 000 000 = 108

w

w

.L

IB

10 100

R

Si se parte en

el entero queda dividido enw

cada parte se llama

su lugar a la derecha del punto decimal es el 1o. 2o. 3o. 4o. 5o. 6o. 7o. 8o.

SP

D

F1

se escribe

O

dcimo centsimo milsimo diezmilsimo cienmilsimo millonsimo diezmillonsimo cienmillonsimo

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001

1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000

detenernos un momento para hacer un acuerdo de notacin.

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LECCIN 9 Recuerde que si multiplicamos un nmero por s mismo, para abreviar la escritura, escribimos un 2 pequeo en la parte superior del nmero. Por ejemplo 10 10 = 102. Si multiplicamos un nmero por s mismo varias veces podemos abreviar la escritura de esta operacin haciendo lo mismo. Se pone en la parte superior derecha del nmero la cantidad de veces que multiplicamos en pequeo. Por ejemplo, 10 10 10 = 103, 10 10 10 10 = 104, etc. Se dice que obtuvimos la tercera potencia de 10, la cuarta potencia de 10, etc. Tambin se dice que elevamos 10 a la tercera potencia, etc. El nmero pequeo, nos indica cuntas veces se multiplica el nmero que tenemos por s mismo, se llama exponente. Regresemos a las fracciones decimales. Para recordar los nombres, significados y escritura de los rdenes ms usuales de las fracciones decimales, ponemos una tabla y algunos ejemplos. Observe que un dcimo es igual a diez centsimos y a cien milsimos y a mil diezmilsimos, etc: 0.1 = 0.10 = 0.100 = 0.1000 = 0.10000 = . Anlogamente, un centsimo es igual a diez milsimos y a cien diezmilsimos y a mil cienmilsimos, etc: 0.01 = 0.010 = 0.0100 = 0.01000 = 0.010000 = . En general, podemos agregar todos los ceros que queramos a la derecha de la ltima cifra de un nmero decimal sin alter ar el nmero. Combinando las partes que aparecen en la tabla y contando cuntas tenemos de cada tamao podemos escribir y leer cualquier nmero decimal. Por ejemplo, 13.765438 se lee trece unidades setecientos sesenta y cinco mil cuatrocientos treinta y ocho millonsimos. Aunque no sepamos cmo se llaman las partes en que se divide el entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimalesw w w .L IB R O SP D F1 .b lo gs po t.c om

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GUA

DE

MATEMTICAS I

Recuerde que en cada posicin slo podemos escribir un dgito. Si juntamos diez partes de un mismo tamao las agrupamos para formar una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, si tenemos quince centsimos, los reagrupamos y tenemos un dcimo y cinco centsimos. Si tenemos 56 dcimos, los reagrupamos y formamos 5 unidades y 6 dcimos, etc. Escriba con notacin decimal los nmeros que le damosw w w .L IB R O SP D F1 .b lo

en espaol: a) doce unidades doce centsimos b) cuarenta y siete dcimos c) doscientos treinta y cinco milsimos d) dos unidades quince milsimos

98

gs

po

t.c

con cualquier cantidad de cifras. Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto decimal de un nmero se llama la expansin decimal del nmero. Hay nmeros que tienen una expansin decimal que no se termina; se dice que tienen expansin decimal infinita. Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este nmero significan que sigue 3 un nmero infinito de veces. Cuando la expansin decimal de un nmero se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expansin decimal finita. Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751. Esto ltimo no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la ltima cifra; por ejemplo, 6.7705000000 es un nmero con expansin decimal finita, porque es igual a 6.7705.om

LECCIN 9 e) ciento seis milsimos f) diecinueve milsimos g) cinco centsimos h) cinco dcimos i) dos diezmilsimos

j) ciento treinta centsimos k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonsimos l) seis millones setecientas unidades, un milln veintisiete mil once diezmillonsimosom

Orden en los nmeros decimalesPara saber si un nmero decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera es mayor, el nmero es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fijamos en los dcimos, que son las fracciones decimales ms grandes. El nmero que tiene ms dcimos es ms grande. Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.w

w

w

.L

d) 9.777

R

h) 0.550

O

c) 302.07

g) 2791.579SP IB

D

F1

b) 32.007

f) 4702.0934

.b

lo

gs

a) 354.7

e) 123.321

po

t.c

Escriba en espaol los siguientes nmeros: i) .00315 j) .772 k) .039 l) .630038

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GUA

DE

MATEMTICAS I 12.8 es mayor que 12.299; escribimos 12.8 > 12.299. 52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4. Si tanto la parte entera como los dcimos de dos nmeros son iguales, nos fijamos en los centsimos. El nmero que tiene ms centsimos es ms grande. Por ejemplo: 3.12 es mayor que 3.11; escribimos 3.12 > 3.11. 98.567 es mayor que 98.5589; escribimos 98.567 > 98.5589. 47.547 es menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06. 16.28 es mayor que 16.2, porque 16.2 = 16.20; escribimos 16.28 > 16.2. Este proceso de comparacin se puede seguir siempre. A continuacin lo planteamos para todos los nmeros decimales: Para saber si un decimal es mayor que otro, cuando sus partes enteras son iguales, nos fijamos en la primera cifra de izquierda a derecha en la que son distintos y el nmero que tiene esa cifra ms grande es el mayor de los dos. Recuerde que si faltan cifras decimales para poder hacer esta comparacin, siempre se pueden agregar ceros a la derecha sin alterar el nmero, como en el ltimo ejemplo. Tambin los nmeros decimales se representan en la recta numrica, partiendo cada unidad en el dibujo en diez, cada dcimo en diez, etc. Por ejemplo: para representar en la recta el nmero 3.7, dividimos la unidad que va de 3 a 4 en diez partes iguales y en la sptima divisin estar 3.7.w w w .L IB R O SP D F1 .b lo gs po t.c om

3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

4.1 4.2

100

LECCIN 9 Si queremos representar en la recta el nmero 12.43, dividimos en diez partes el segmento que va de 12 a 13, localizamos 12.4 y la siguiente divisin, 12.5; dividimos en diez partes el segmento que va de 12.4 a 12.5 y en la tercera divisin estar 12.43.

1 0.7

7.6 7.53

0

7.5

Como antes, en la recta numrica los nmeros son ms grandes mientras ms se alejan del cero en la direccin del

uno. Con el dibujo en esta posicin, los nmeros son ms grandes si estn ms a la derecha. En algunas ocasiones la recta numrica no se coloca en posicin horizontal sino en posicin vertical, y la direccin del cero hacia el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los nmeros son ms grandes si estn ms arriba, como se muestra en los ejemplos:

w

w

w

.L

IB

12.4 12.41 12.42 12.43 12.44 12.45 12.46 12.47 12.48 12.49 12.5

R

O

SP

D

F1

.b

lo

gs

po

t.c

12

12.1

12.2 12.3

12.4

12.5

12.6

om

12.7

12.8

12.9

13

101

GUA

DE

MATEMTICAS I

En cada par de nmeros indique cul es el mayor: a) 14.27 y 12.98 b) 364.846 y 325.787 c) 90.13 y 90.95 d) 6.328 y 6.32 e) 51.1 y 51.01 f) 0.014 y 0.14 g) 126.44 y 126.4491 h) 8.66 y 8.656 i) 7.02 y 7.002 j) 0.00637 y 0.0063 k) 4.49 y 4.5 l) 87.3 y 87.03

En cada par de nmeros indique cul es el menor: b) 46.793 y 46.79326 c) 518.628 y 192.475 e) 59 y 59.9w .L D

d) 6.57 y 4.75IB R O

f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040 Entre cada par de nmeros coloque el smbolo =, el smbolo > o el smbolo < segn corresponda:w w

a) 2.21 b) 6.12 c) 12.9

2.214 6.1200 12.09

SP

F1

.b

j) 6.14 y 6.104

k) 3.87 y 3.087

i) 27.430000 j) 0.001 k) 2.71013

lo

i) 55.55 y 55.555

gs

po

h) 0.0016 y 0.001

t.c

om

a) 50.4 y 30.43

g) 71.9 y 71.900

27.43 0.0001 2.72

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LECCIN 9 d) 152.09 e) 185.824 f) 0.219 g) 1.13 h) 346.77802 152.1 183.924 0.22 1.0130 346.7782 l) 5.039 m) 0.003314 n) 15.1890 o) 67.44000 5.042 0.0031 15.18 67.44

d) menor que 0.01 e) mayor que 0.2194 y menor que 1 f) dos dcimos mayor que 2.5

w

w

w

.L

IB

R

O

SP

c) menor que 12.33

D

F1

b) mayor que 17.53

.b

lo

a) mayor que 2.1

gs

po

t.c

Escriba un nmero:

om

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GUA

DE

MATEMTICAS I g) un centsimo menor que 0.068 h) tres unidades y un dcimo mayor que 1.42 i) dos dcimos y un centsimo mayor que 9.73 j) un dcimo y un milsimo menor que 9.614 k) un dcimo menor que 9.059 l) entre 3.6 y 3.7 m) entre 0.557 y 0.5572

n) entre 7.88 y 7.808 Dibuje en rectas numricas los nmeros:.b w .L IB R O SP D F1 lo w w om

a) 1.5, 1.7, 1 y 2 d) 1.190, 1.195 y 1.2 b) 100, 50, 70 y 60 e) 8.88, 8.882 y 8.885 c) 22.43, 22.44 y 22.435 f) 0.1, 0.01 y 0.05 a) En una tienda cuesta $2.50 un carrete de hilo y en otra cuesta $2.05. En cul tienda es ms barato el hilo? b) En una casa de cambio venden el dlar en $10.49 y lo compran seis centavos ms bajo. En cunto compran el dlar? c) Para ir a trabajar, Don

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gs

po

t.c

LECCIN Luis puede usar dos rutas distintas. En la primera ruta el recorrido es de 17.7 Kms. y la segunda es dos kilmetros y cinco dcimos ms corta. De cunto es el recorrido en la segunda ruta? Don Pedro reparti un terreno entre sus dos hijos. El terreno que le toc a Lupercio mide de frente 18 m. y 8 dcimos, y el que le toc a Gumesindo tiene un frente de 18 m. y 55 centsimos. a) Exprese con nmeros decimales las medidas de los frentes de los dos terrenos b) A quin le toc el terreno de mayor frente?lo w w w .L IB R O SP D F1 .b gs po t.c om

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