Download pdf - Forme -- Ghidul elevului

Această primă ediţie (pilot) este finanţată de Uniunea Europeană.

MINISTERUL EDUCAŢIEI ȘI CERCETĂRII

NICOLAE PELLEGRINI

MATEMATICĂModulul 2FormeGhidul elevului

Proiect Phare „Acces la educaţie pentru grupuri dezavantajate”Programul „A doua șansă”

© Ministerul Educaţiei și Cercetării

Aceste materiale – publicate în cadrul Proiectului Phare „Acces la educaţie pentru grupuridezavantajate” 2003 – au fost realizate de o echipă de experţi ai Ministerului Educaţiei și Cercetării,pentru a fi folosite în primul an de aplicare experimentală a programului educaţional revizuit „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior.

Membrii echipei care a elaborat materialele sunt:Lucia Copoeru, coordonatoarea componentei „A doua șansă”– învăţământ secundar inferiorDorina Kudor, autoare „Limba și literatura română”Carmen Costina, autoare „Limba engleză”Ariana-Stanca Văcăreţu, autoare „Matematică”Nicolae Pellegrini, autor „Matematică”Luminiţa Chicinaș, autoare „Știinţe”Ioana Mihacea, autoare „Știinţe”Mihai Stamatescu, autor „Istorie”dr. Horaţiu Popa-Bota, autor „Geografie”dr. Doina-Olga Ștefănescu, autoare „Cultură civică”Paul Vermeulen, expert U.E., componenta „Elaborare curriculum și materiale educaţionale”

Ghidul este realizat în conformitate cu programa școlară pentru disciplina Matematică din cadrulprogramului „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior, aprobată de Ministerul Educaţiei și Cercetării prin Ordinul nr. 5375/29.12.2005 și este distribuit gratuit cursanţilorînscriși în acest program educaţional.

Toate materialele din cadrul programului educaţional „A doua șansă” vor fi modificate, conformsugestiilor de îmbunătăţire formulate în urma utilizării lor în școală.În acest sens, trimiteţi comentariile și sugestiile dumneavoastră pe [email protected]

Coordonator editorial: Laura CodreanuDesign copertă, layout: Elemér KönczeyDesign și dtp: András TánczosIlustraţii: Levente SzekeresCorectură: Mirabela Mitrică

Acest material este publicat în scopuri educaţionale, non-profit, pentru a fi folosit în primul an deaplicare experimentală a programului educaţional „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior.Autorii s-au străduit să intre în legătură cu proprietarii imaginilor pentru a obţine permisiunea de a lefolosi în această ediţie. Îi rugăm pe aceia pe care nu i-am putut contacta să ia legătura cu noi [email protected].

Această publicaţie face parte din Programul Phare 2003 „Acces la educaţie pentru grupuridezavantajate”, componenta „A doua șansă”.Editorul materialului: Ministerul Educaţiei și CercetăriiData publicării: februarie 2006

Conţinutul acestui material nu reprezintă în mod necesar poziţia oficială a Uniunii Europene.

PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 3

CuprinsIntroducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Capitolul I. Puncte, drepte ºi figuri geometrice . . . . . . . . . . . . . 71. Cum se nasc liniile din puncte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Cum se nasc figurile din linii? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Dreptele ºi unghiurile – cãrãmizile geometriei . . . . . . . 124. Figuri plane, pretutindeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. Unde priveºti, numai corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166. Realitate sau desen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Capitolul II. Fenomene geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. Asemãnarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228. Un fenomen de mare importanþã: congruenþa . . . . . . . . 249. Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Capitolul III. Mãsuri ºi unitãþi de mãsurã . . . . . . . . . . . . . . . . 2910. Timpul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212. Lungimea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413. Mãsura unghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Capitolul IV. Proprietãþi metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914. Perimetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015. Arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216. Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417. Triunghiul sub lupã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618. Încep problemele: din nou despre relaþii metrice . . . . . 48

Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Capitolul V. Recapitulare ºi aplicaþii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119. Surprize, în loc de recapitulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5220. În final, recapitulare în loc de surprize . . . . . . . . . . . . . 54

FORME

Introducere

MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI4

Te invitãm la o incursiune în lumea formelor, ceea ce, în modobiºnuit, se cheamã Geometrie. Ghidul tãu este mai mult decât ocarte de geometrie, dar ºi mai puþin.

De ce? Pentru cã vom încerca împreunã este o aventurã îngeometrie, nu o prezentare riguroasã ºi completã a ei. Vom puneaccent numai pe ce este cu adevãrat important, dar vom cãutamereu sã deschidem ferestre ºi uºi spre o lume mai largã, spreceea ce se aflã dincolo de geometrie.

Geometria este una dintre cele mai bãtrâne ºtiinþe. Ne-auparvenit încã din Antichitate o serie impresionantã de cunoºtinþecare, secole de-a rândul, au rãmas baza geometriei. Este adevãratcã, azi, ºtiinþa geometriei s-a schimbat radical ºi se dezvoltã cupaºi repezi. Noi nu vom putea vedea realizãrile recente, pentruacest lucru nu ºtim destul. Vom vedea însã principii ºi conceptecare îºi au locul ºi în cele mai recente dezvoltãri.

Mai degrabã, vom face cunoºtinþã cu fundamentele geometriei ºicu acele aspecte care se leagã de viaþa noastrã de zi cu zi. Vomîncerca sã contemplãm lumea formelor cu interes ºi curiozitateºi sã schimbãm punctul nostru de vedere, câteodatã ignorant ºisuperficial.

Vom descoperi cã geometria ne permite sã privim mediul nostruînconjurãtor cu alþi ochi. Vom exersa gândirea vizualã, atât deutilã în practica fiecãruia dintre noi.

Scopul nostru este triplu:– sã îmbogãþim cunoºtinþele de geometrie (ºi nu numai!);– sã exersãm deprinderi legate de geometrie;– sã aplicãm cele învãþate în interes personal.

Aceste trei aspecte nu se pot separa; vei vedea cã lecþiile sunt unamestec din fiecare.

Ne aºteptãm sã fructifici aceastã învãþãturã în mai multe feluri.Vei fi mai informat, mai acasã în lumea ta, vei realiza miciproiecte (sau mai mari?) ºi vei fi capabili sã priveºti prin altãprismã lumea din jur. Te vom ajuta sã îþi formezi o gândire maieficientã ºi mai corectã.

Nu e un exerciþiu foarte uºor, trebuie sã recunoaºtem. Vom mergeînsã, pas cu pas, de la simplu la complex, dupã ce toate aspectelesunt lãmurite. În acest demers, tu va trebui sã ajuþi: trebuie sã fiisincer cu tine însuþi, cu colegii ºi cu profesorul. A nu înþelegeceva nu este o ruºine, de aceea trebuie sã întrebi mereu. Vipetrece câte douã ore sãptãmânal cu studiile de geometrie, maimult exersând, discutând ºi lucrând cu colegii. De învãþat efectiv,vei vedea, ai foarte puþin. Vrem însã ca învãþarea sã fietemeinicã, în adâncime. În aceasta direcþie te va ajuta ºi ghidul.

ªtim bine cã geometria nu e complet strãinã pentru nimeni, aimulte cunoºtinþe ºi deprinderi ºi ai ºi aplicat câte ceva dinacestea. Contãm pe tot ceea ce cunoºti, din ºcoalã, dinexperienþa pe care o ai de acasã, de la locul de muncã. Teinvitãm sã faci propriile comentarii.

Vom parcurge 20 de teme grupate în lecþii. Lecþiile fac parte dinunitãþi mai mari, ordonate, tot tematic, în 5 capitole.

Acestea sunt:– Puncte drepte ºi figuri geometrice (6 lecþii);– Fenomene geometrice (3 lecþii);– Mãsuri ºi unitãþi de mãsurã (4 lecþii);– Proprietãþi metrice (5 lecþii);– Recapitulare ºi aplicaþii (2 lecþii).

Fiecare lecþie ocupã douã pagini ºi are aceeaºi structurã, maipuþin ultimele douã, care conþin doar idei ºi problemerecapitulative. Lecþiile încep cu câteva fraze explicative, apoiurmeazã textul propriu-zis. Aici gãseºti ideile principale, darprezentate succint, pentru cã vrem sã le dezvolþi ºi sã leprelucrezi împreunã. În acest sens, te ajutãm cu câteva întrebãriaºezate în al treilea bloc. Dacã lucrurile sunt înþelese, cel puþinîn linii mari, poþi trece la exerciþii. Acestea pot lua timp maiîndelungat, unele chiar au statut de mici lucrãri, sau proiecte.

Bogãþia aplicaþiilor, extinderile ºi legãturile temei prezentate cualte domenii sunt amintite, cu titlu informativ, în secþiuneaurmãtoare, sub întrebarea „ºtiaþi cã…?”

Penultimul pasaj serveºte pentru pregãtirea viitoarelor extinderiîn interiorul matematicii.

Lecþiile se sfârºesc cu o scurtã invitaþie la reflecþie. Credem cãeste bine sã se noteze întrebãrile rãmase fãrã rãspuns, dar ºicomentariile proprii. Orice se poate nota: aºteptãri, propuneri,îndoieli, mulþumiri etc. Important este sã îþi exprimi pãrerea,pentru cã ea conteazã. A-þi exprima pãrerea, desigur, într-un modadecvat, este la urma urmei un act de curaj.

Cel mai important element este participarea ta activã. Ai în toatelecþiile o serie de sarcini prin care vrem sã îþi facilitãmînþelegerea ºi învãþarea. Deseori ai de cãutat informaþii ºimaterial de pornire, dupã care urmeazã rolul tãu efectiv. Spreexemplu, vei lucra de mai multe ori cu un plan (schiþã, proiect)desenat al unei case ºi îl veþi îmbogãþi cu noi elemente. Ceea cevei realiza este un produs al muncii tale, un proiect.

Tot ce apare în ghid este doar o provocare. Cât ºi în ce modexploatãm aceste oportunitãþi depinde de fiecare. Reflecteazãasupra fiecãrei propoziþii ºi cautã toate conexiunile: cu ceea ceºtii deja ºi cu ceea ce urmeazã sã înveþi.

Succes, veþi reuºi sigur!


Puncte, drepte și figuri geometrice I

• Cum se nasc liniile din puncte?

• Cum se nasc figurile din linii?

• Dreptele și unghiurile – cărămizile geometriei

• Figuri plane, pretutindeni

• Unde privești, numai corpuri

• Realitate sau desen?

Capitolul I este o introducere în geometrie și o trecere în

revistă a principalelor elemente cu care vom lucra.


PUNCTE, DREPTE ȘI FIGURI GEOMETRICE


Despre ce va fi vorba…?Avem cu toþii, cel puþin intuitiv, multe cunoºtinþe de geometrie. Acestea devin folositoaredoar dacã le organizãm într-un sistem, pornind de la bazele geometriei. De aceea, ne vomuita mai atenþi sã vedem din ce „construieºte” geometria ºi vom face ordine încunoºtinþele noastre.

Adică…

Sã observãm imaginea alãturatã ºi sã descoperim din ce este ea compusã. Despre imaginiºi fotografii vom mai vorbi, acum sã ne gândim însã puþin la puncte.

Avem în jurul nostru o serie de lucruri pe care le considerãm punctiforme: vârful unui ac decusut, o stea foarte îndepãrtatã ori urma pe care o lasã un stilou pe hârtie. Uneori, obiectelepunctiforme pot fi atât de mici, încât ochiul omenesc nu le mai vede. Nu avem cum sãpercepem un atom, un fragment minuscul de cristal, sau punctele mãrunte care alcãtuiesc ofotografie bunã. Existã ºi organisme vii care ne rãmân invizibile? Putem enumera câteva?

Punctul geometric este imaginat astfel încât sã nu aibã nici o dimensiune. El este creat deimaginaþia noastrã, cu scopul sã reprezinte tot ceea ce este punctiform.

Aºa cum fotografia ascunde o mulþime mare de puncte, obiectele geometrice mai complexese pot imagina ca ºi cum ar fi construite din puncte. Construite, dar nu oricum, ci dupãanumite reguli.

Un punct care se miºcã descrie o linie, mai mult sau mai puþin complicatã.

Observã imaginea alãturatã ºi discutã despre ea.

O linie poate fi dreaptã sau curbã, iar combinându-le putem obþine diverse desene ºiimagini. În imaginaþia noastrã, liniile geometrice nu au decât lungime, nu ºi lãþime saugrosime.

Cum se nasc liniile din puncte? 1

Cum…?– Ce alte exemple de obiecte punctiforme mai putem da?– Cum înþelegem faptul cã punctul geometric nu are dimensiuni?– Dar lipsa lãþimii la o linie, cum s-ar putea imagina?

Încercăm…?– Identificã, in imaginile vãzute, punctele pe care le percepem în

miºcare!– Descrie traiectoria parcursã de aceste puncte. Este greu sã faci

asemenea descrieri, în cuvinte?– Observã atent ºi interpreteazã imaginea care sugereazã cercul în

miºcare. Pentru a interpreta desenul, facem apel la imaginaþianoastrã.

– Coloreazã punctele de intersecþie a douã linii cu o culoare ºiporþiunile de linii astfel delimitate, cu altã culoare.

– Cautã punctele în care se intersecteazã mai multe linii, nudoar douã.

– Numãrã liniile distincte din figurã ºi punctele de intersecþie.Foloseºte notaþii pentru elementele deja numãrate: noteazãpunctele cu A, B, C,…, iar liniile cu literele a, b, c,…

Stiaţi că?Imaginea produsã pe monitorul unui calculator este formatã dinpixeli. Un pixel este elementul unitar, punctul de pe ecran, carepoate fi controlat în ceea ce priveºte culoarea ºi luminozitatealui. Cu cât numãrul de pixeli este mai mare într-o unitate de arie,cu atât imaginea are calitate mai bunã. Spunem cã are rezoluþiemai bunã.

Gãsim puncte (obiecte punctiforme) aflate în miºcare în foartemulte domenii. Astfel, moleculele, atomii sau particuleleelementare studiate în fizicã reprezintã exemple bune în acestsens. În imaginea de mai jos avem traiectoria descrisã de oasemenea particulã elementarã.

De altfel…


Observã cã douã drepte distincte nu pot avea decât un singur punct de intersecþie. S-ar putea sã nuexiste punct de intersecþie, aºa cum vom vedea în curând.

Vom vedea ºi faptul cã natura unei linii depinde de suprafaþa pe care o desenãm sau o imaginãm.De exemplu, este esenþial sã ºtim dacã ne aflãm pe o suprafaþã planã sau pe o sferã.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încã rãspuns.



Despre ce va fi vorba…?De multe ori nici nu mai vedem punctele, pentru cã figurile mai complexe sunt interpretate cafiind formate din linii. Acum ne vom ocupa de linii ºi de primele lor proprietãþi. Liniile secontopesc cu figurile ºi corpurile pe care le vedem în jurul nostru. Noi încercãm însã sã decupãmliniile, sã le vedem distincte.

Adică…

Cum se nasc figurile din linii? 2

Liniile drepte sau curbele, combinate în nenumãrate moduri, daunaºtere la desene ºi figuri diferite. Desenele ºi figurile potreprezenta ceva din naturã, din mediul nostru înconjurãtor sau,dimpotrivã, pot fi creaþii doar ale fanteziei noastre.

Imaginea de mai sus este fotografia din avion a unui „desen”celebru din Peru. Liniile sunt drumuri, care aveau o destinaþienecunoscutã nouã: unii cercetãtori cred cã desenul are legãturãcu presupuse civilizaþii extraterestre.

O figurã geometricã desenatã de noi este, de fapt, un model, osimplificare ºi o esenþializare a realitãþii.Am vãzut cã distingem între (linie) dreaptã ºi (linie) curbã.

Dreapta geometricã este drumul cel mai scurt care leagã douãpuncte distincte.

Bucata de dreaptã dintre cele douã puncte se numeºte segment ºiîl vom studia în curând. Segmentele pot forma linii frânte.

Cea mai cunoscutã ºi simplã traiectorie curbã este cercul sau unfragment de cerc, ce se numeºte arc de cerc.

Desenele ºi figurile pot fi deseori hazlii, aºa cum suntcaricaturile sau imaginea alãturatã.

Cum…?– Ce percepem ca figurã mai simplã: dreapta sau cercul?– Oare ce lungime sã atribuim unei drepte, finitã sau infinitã?– Dar cercului? Dar arcului de cerc?– De ce sã discutãm aceste aspecte?

Încercăm…?– Comparã dreapta cu cercul: ca formã, ca lungime, ca traiectorie

(de unde pleci ºi unde ajungi).– Deseneazã douã puncte, A ºi B. Câte drepte poþi duce prin ele?

Dar linii curbe?– Încearcã acelaºi exerciþiu cu tei puncte distincte. Câte drepte ai

de data aceasta, care unesc punctele douã câte douã?– Copiazã desenul de mai jos. Încearcã sã duci o linie curbã

continuã (fãrã sã ridici creionul de pe hârtie) care sã nu seintersecteze ºi sã treacã exact o datã prin fiecare pod.Aceasta este problema podurilor din Königsberg, propusã demarele matematician Leonhard Euler (1707 – 1783).

Știaţi că…?Liniile curbe sunt greu de desenat cu mâna liberã. Multã vremes-au folosit ºabloane speciale pentru a trasa fragmente de curbã.Un astfel de ºablon este cel „franþuzesc”, redat în desenulalãturat. Astãzi, desenele sunt fãcute cu ajutorul calculatoarelor.

Deseori, un desen format din linii se repetã periodic, dupã oanumitã regulã. Un astfel de desen repetitiv se numeºte pattern, cuun cuvânt de origine englezã, care poate înseamna ºablon, model,tipar. Încearcã sã recunoºti ce reprezintã desenul de mai jos.

Mintea noastrã are proprietatea remarcabilã prin care, pe bazaexperienþei pe care a acumulat-o, completeazã cu uºurinþãdesenele, figurile incomplete. Încearcã!

De altfel…Nu tot ceea ce pare a fi o problemã are ºi soluþii. Important estesã încercãm gãsirea soluþiilor, chiar dacã nu suntem convinºi deexistenþa acestora. Uneori, noi nu ºtim sã rezolvãm problema,alteori însã, putem dovedi cã ea nici nu are soluþie. Aºa e ºi cuproblema podurilor, deci… capul sus!

(Nu) Sunt de acordFã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de temã la care nu ai încã rãspuns.




Despre ce va fi vorba…?Poate ne-am convins deja cã avem ce vorbi despre drepte. Acum vom privi lucrurile puþin maigeometric ºi vom învãþa ºi câteva expresii pe care le vom folosi în continuare. Una este sã priveºtiun desen ºi alta sã încerci sã îl cercetezi.

Adică…

Dreptele și unghiurile – cărămizile geometriei 3

Unde douã drepte se intersecteazã, se formeazã unghiuri.În imagine avem notaþiile folosite în mod uzual.

Dacã vrem sã comparãm douã segmente sau douã unghiuri, vomfi nevoiþi sã le ataºãm anumite mãsuri. În cazul segmentului,aceasta este lungimea, iar în cazul unghiului, mãrimea„deschizãturii” dintre laturi. Unitatea de mãsurã pentru unghiurieste gradul, notat cu °, adicã un cerculeþ în dreapta sus. Scriem,de exemplu, 30° sau 180° etc.

Mai jos vedeþi douã unghiuri vecine, alipite, care se numescunghiuri adiacente.În acest caz este firesc sã facem adunãri sau scãderi cu mãsurile lor.

Am vãzut cã imaginile, desenele se pot descompune în elemente mai simple. O asemenea componentãeste dreapta, reprezentând ideea de dreaptã geometricã. Vom nota dreptele geometrice cu litere mici:a, b, …, d, …, t etc. Le vom imagina ca drepte incluse în plan. Planul apare în gândirea noastrã cafiind cea mai simplã ºi uzualã suprafaþã, o suprafaþã perfect netedã, de dimensiuni infinite.

În reprezentãrile noastre desenate apar doar bucãþi de dreaptã. Dreapta întreagã este gânditã caavând lungime infinitã; partea vãzutã o prelungim în fantezia noastrã.

Pãrþile, fragmentele dreptei se numesc semidrepte, respectiv segmente. Le veþi studia prinexerciþii simple.

Dacã un punct se aflã pe o dreaptã, spunem cã aparþine dreptei. Apartenenþa înseamnã, invers, cãdreapta „trece” prin respectivul punct. Scriem, de exemplu, A ∈ d dacã punctul A se aflã pe dreapta d.

O – vârful unghiuluiOA, OB – laturi

Cum…?– Vã este cunoscutã imaginea unui cod de bare? La ce serveºte un cod de bare?– Câte unghiuri se formeazã la intersecþia a douã drepte?– Încearcã sã descrii imaginea unghiurilor adiacente!– Dacã douã unghiuri adiacente au 30°, respectiv 51°, ce mãsurã vom ataºa sumei lor?– Câte drepte credeþi cã putem trasa printr-un punct dat? Dar prin douã puncte date? Dar prin trei?

Încercăm…?


– Ce se întâmplã cu dreapta d, dacã fixãm un punct A pe ea?– În câte semidrepte se descompune dreapta? Cum am putea

sã le notãm?– Ce se întâmplã cu dreapta d dacã fixãm douã puncte, A ºi B, pe ea?– În ce se descompune acum dreapta? Care este deosebirea dintre o

semidreaptã ºi un segment?– Deseneazã o dreaptã cu trei puncte distincte pe ea ºi numãrã câte

segmente se obþin acum. Foloseºte notaþii.– Încearcã sã reflectezi asupra întrebãrii: Capetele segmentului

aparþin sau nu segmentului? Poartã o discuþie cu profesorul tãupe aceastã temã.

Știaţi că…?Dreptele pot avea poziþii diferite una faþã de alta. Avem douãsituaþii deosebite: paralelismul ºi perpendicularitatea. Dacã douãdrepte sunt paralele, ele nu au nici un punct comun. Dacã douãdrepte sunt perpendiculare, unghiurile din jurul punctului deintersecþie sunt toate de 90°. Sunt unghiuri drepte.

Douã drepte perpendiculare, aºezate ca în desen ºi prevãzute cusens ºi unitate de mãsurã, ne vor folosi în viitor pentru a localizacu exactitate punctele în plan. Ele formeazã un sistem de referinþã,numit sistemul cartezian de axe. Cuvântul „cartezian” provine de lanumele marelui savant francez René Descartes (1596 – 1650). De lael provine celebrul „cogito, ergo sum”, adicã „gândesc, deci exist.

În arhitecturã, construcþiile respectã, de regulã, verticalitatea,perpendicularitatea. Excepþia bine cunoscutã este Turnul din Pisa.Despre corpuri însã, mai târziu.

De altfel…Ne întâlnim frecvent cu unghiuri, de exemplu pe drumurile demunte. Despre panta acestora, ºoferii sunt avertizaþi cuindicatoare rutiere speciale, aºa cum vedeþi mai jos. 10% indicãmãrimea unghiului pe care-l face drumul faþã de orizontalã.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãrile legate de aceastã temã la care nu ai încãrãspuns. Despre ce va trebui sã discutãm mai în amãnunt?



Despre ce va fi vorba…?Recapitulãm cele mai cunoscute ºi simple figuri geometrice plane. Acestea se regãsesc sub o formãsau alta în jurul nostru, în obiectele noastre, în decoraþiunile pe care le folosim, dar ºi în naturã.Oriunde privim, le putem observa cu uºurinþã.

Adică…

Figuri plane, pretutindeni 4

Dacã privim atent ilustraþia de alãturi, pare firesc sã grupãmfigurile în douã categorii: figuri mãrginite numai de segmente dedreaptã ºi figuri mãrginite de linii curbe. Desenul este artificial,serveºte ca inventar pentru scopurile noastre.

Sã încercãm sã denumim fiecare figurã reprezentatã pe desen.

Din prima categorie, a poligoanelor, fac parte: triunghiul,patrulaterele, pentagoanele etc.

Poligoanele sunt mãrginite de laturi, iar intersecþiile acestorasunt vârfurile poligonului.

Unele poligoane au toate laturile de aceeaºi lungime ºi toateunghiurile la fel de mari. În acest caz, ele se cheamã poligoaneregulate. Cele mai simple sunt triunghiul echilateral, pãtratul,pentagonul regulat, hexagonul regulat º.a.m.d. (Penta înseamnãcinci, iar hexa, ºase.)

Dintre figurile mãrginite de linii curbe, cele mai cunoscute suntcercul ºi elipsa. Acestea nu au laturi, nici vârfuri. La cerc, spreexemplu, vorbim despre razã ºi diametru. Cercul are un centru,iar elipsa, douã focare. Orice punct al cercului se aflã la aceeaºidistanþã de centru. Orice punct al elipsei are suma distanþelorsale la cele douã focare constantã.

Cum…?– Existã vreo relaþie între numãrul de vârfuri ºi de laturi ale unui poligon?– Care ar fi legãtura dintre raza ºi diametrul cercului?– De ce este triunghiul echilateral cel mai simplu poligon regulat?– Ai auzit despre clãdirea Pentagonului din Washington, D.C.? Oare de ce se numeºte astfel?– Câte laturi, respectiv vârfuri poate avea un poligon?

Încercăm…?


– În orice triunghi, suma unghiurilor este de 180°. Ai putea aflamãrimea unghiurilor la un triunghi echilateral?

– În orice patrulater (convex), suma unghiurilor este de 360°. Cemãsurã au unghiurile pãtratului? Ce poziþie au laturile vecine?

– Deseneazã un hexagon regulat ºi împarte-l în triunghiuriechilaterale. Aflã, astfel, cât de mari sunt unghiurile hexagonuluiregulat. Foloseºte pentru desen compasul ºi cere ajutorulprofesorului.

– Discutã ºi cautã sens pentru expresiile: perimetru ºi arie.– Realizeazã desene în care poligoanele regulate sunt înscrise în

cerc ºi invers, cercul este înscris în poligonul regulat. Ai mai josun model pentru pãtrat.

Știaţi că…?Figurile geometrice simple sunt frecvent folosite ca elementedecorative, în folclor, în arhitecturã ºi în multe alte domenii. Unasemenea desen superb este cel de pe Templul lui Osiris dinEgipt, cunoscut sub numele de Floarea vieþii, utilizat apoi caelement decorativ ºi în arta italianã, încã din secolul al XIII-lea.

La intersecþia a douã strãzi vedem frecvent tabla pe care scrie„STOP”. Aþi observat ce formã are? Ce fel de poligon regulat sefoloseºte la aceastã tablã, peste tot în lume?

Elipsa este o figurã geometricã destul de complicatã, cuproprietãþi interesante. ªtim cã planetele, inclusiv Pãmântul, semiºcã în jurul Soarelui pe orbite în formã de elipsã. Soarele seaflã într-unul dintre focarele elipsei.

De altfel…Poligoanele regulate sunt de multe ori forme preferate în pavãri.Pe lângã aspectul estetic, folosirea unor dale de formã regulatãuºureazã „umplerea” planului, fãrã sã rãmânã porþiunineacoperite. Studiazã ºi comenteazã imaginea de mai jos.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încãrãspuns. Roagã-þi pe profesorul sã-þi explice semnificaþiacuvântului „convex”.



Despre ce va fi vorba…?În lumea noastrã tridimensionalã, suntem înconjuraþi de corpuri. Noi înºine suntem corpuri, la felca un microorganism invizibil sau o stea de pe bolta cereascã. Geometria încearcã, prin metodelesale specifice, sã facã ordine în lumea corpurilor.

Adică…

Unde privești, numai corpuri 5

Figurile plane, aºa cum reiese din aceastã denumire, sunt obiecte bidimensionale, aºezabile într-unplan. Corpurile nu, deorece ele nu încap în douã dimensiuni. Un corp are lungime, lãþime ºi înãlþime.

Varietatea corpurilor, mai exact a formelor, dimensiunilor ºi a culorilor este uimitoare, la fel ca ºi asubstanþelor din care le-a creat natura sau mâna omului.

Dupã formã, cele mai simple corpuri sunt poliedrele, numele lor însemnând corpuri cu mai multefeþe. La fel de uzuale sunt ºi cele mai simple corpuri rotunde. Ele, spre deosebire de poliedre, suntmãrginite ºi de suprafeþe curbe, rotunde, nu doar de suprafeþe plane.

Poliedrele importante sunt prismele ºi piramidele, iar printrecorpurile rotunde gãsim cilindrul, conul ºi sfera. Identificaþi-le îndesenul urmãtor!

Poliedrele au vârfuri, muchii ºi feþe. Dacã una dintre feþe esteprivitã ca bazã a corpului, atunci deosebim muchiile bazei(bazelor) de muchiile laterale. Feþele care nu sunt considerate bazese numesc feþe laterale. Dupã natura bazei, prisma sau piramidapoate fi triunghiularã, patrulaterã etc. Sunt fireºti aceste denumiri?

Cilindrul ºi conul se pot imagina ca fiind descrise de o dreaptã înmiºcare. Aceasta se numeºte generatoare. Sfera se poate obþine, deexemplu, rotind complet un cerc în jurul unui diametru al acestuia.

În afara sferei, toate corpurile vãzute se pot desfãºura pe plan.Aceastã desfãºurare se obþine dacã se taie corpurile de-a lungulunor muchii, respectiv generatoare, ºi feþele astfel despãrþite senetezesc pe un plan. În imagine avem desfãºurarea unei prismetriunghiulare.

O prismã particularã, foarte des întâlnitã, este cubul. Dupã cumbine ºtiþi, el are toate feþele pãtrate.

Cum…?


– Încape o dreaptã întreagã într-un poliedru? De ce?– Ce se întâmplã cu elementele unui poliedru dacã acesta este rãsturnat? Se schimbã rolurile?

Discutã cu ceilalþi despre aceste întrebãri!– În multe jocuri de noroc se foloseºte ca zar cubul. De ce nu ar fi la fel de bunã o prismã oarecare?– În câte regiuni împarte un corp spaþiul în care este aºezat?– Toate corpurile sunt atât de simple sau reductibile la aceste corpuri elementare? Ce pãrere aveþi?

Încercăm…?– Pentru poliedrele reprezentate pe pagina precedentã, identificã vârfurile, muchiile ºi feþele acestora.– Deseneazã desfãºurarea corpurilor, alãturi de desenele lor iniþiale.– Discutã despre diagonalele corpurilor ºi încearcã sã le identifici, acolo unde este cazul.

Ce poþi spune despre lungimile lor, în cazul aceluiaºi corp?– Discutã ºi cautã sens pentru expresiile: arie totalã, arie lateralã ºi volum.– Alege un corp preferat. Încearcã sã-l confecþionezi dintr-un material, de exemplu din

carton, folosind cele învãþate despre desfãºurare.

Știaţi că…?Printre toate poliedrele existã doar cinci poliedre regulate. Acesteaau toate feþele poligoane regulate, de aceeaºi mãrime ºi de acelaºitip. Poliedrele regulate au fost cunoscute deja de cãte Platon,marele filozof grec care a trãit, probabil, între anii 429 ºi 347 î.Hr.

Tot din Antichitate ne-au rãmas celebrele piramide din Egipt,mãrturii ale unei tehnologii arhitecturale uimitoare, neelucidatecomplet nici în zilele de azi.

Epoca modernã se poate mândri cu construcþii mult mai rafinateºi mai complexe.

De altfel…Avem, oare, o formã dominantã în naturã?Sã mai amintim o formã deosebit de interesantã: ºaua. O ºa areun punct de echilibru în care eºti, în acelaºi timp, „cel mai jos”ºi „cel mai sus”.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încãrãspuns.


Realitate sau desen? 6


Despre ce va fi vorba…?Când încercãm sã redãm obiectele lumii reale prin desen, suntem nevoiþi deseori sã deformãmliniile ºi unghiurile. Cum altfel s-ar putea desena un corp tridimensional pe foaia de hârtie? Dacãdesenul este doar o ficþiune, surprizele pot fi ºi mai mari. Vom face câteva convenþii.

Adică…

De cele mai multe ori, desenele noastre sunt reprezentãrisimplificate ale realitãþii, aºa cum vedem ºi pe harta de mai sus.Mai toate desenele reproduc fragmentele din lumeaînconjurãtoare cu distorsiuni, mai mult sau mai puþin evidente.Când vrem sã redãm pe hârtie imaginea unui corp sau, îngeneral, în geometria în spaþiu, admitem câteva reguli de desen.Convenim sã reprezentãm planul în felul urmãtor:

Din context se va înþelege cã nu este vorba de un paralelogram, cidespre schiþa unui plan. Sã aºezãm acum câteva elemente pe acestplan. Alãturi am redat o dreaptã inclusã în plan ºi o altã dreaptãperpendicularã pe plan. Cea de-a treia dreaptã este perceputã cafiind paralelã cu planul nostru.

Sã desenãm acum, spre exemplu, un cub. Desenul vã indicãpaºii.

Cum…?– De ce am desenat în anumite locuri linii întrerupte?– În înþelegerea noastrã, planul geometric sau dreapta geometricã au doar dimensiunile de pe desen?

Am mai vorbit despre acest lucru?– Cum am putea reda pe desen douã drepte în spaþiu, care nu au nici un punct comun, dar care nu

sunt nici paralele? Gãsiþi exemple de asemenea drepte în sala de clasã!– De ce este utilã o hartã? Dar desenele, în general?

Încercăm…?– Construieºte desenul (schiþa sau planul) locuinþei sau al altei clãdiri. Nu mãsura exact, poþi doar

aproxima dimensiunile. Discutã despre paºii care trebuie fãcuþi ºi stabileºte câteva reguli care sevor respecta.

– Dupã modelul vãzut, realizeazã desenele corpurilor amintite: prismã, con, cilindru, sferã. Foloseºteinstrumente cum ar fi liniarul ºi compasul. Profesorul te va ajuta.

– Deseneazã apoi, cu linii întrerupte, câteva diagonale ale corpurilor sau, dupã caz, axa de rotaþie.Întreabã profesorul despre axa de rotaþie.

– Încearcã sã redai prin desen douã plane paralele. Încearcã sã redai douã plane care seintersecteazã. Ce este intersecþia a douã plane?


Știaţi că…?De multe ori interpretãm cu anumitã dificultate un desen saualtul. Chiar ºi simplul cub ne încurcã, dacã ne întebãm care estefaþa ºi care este spatele pe desenul de mai jos. Cu cât neconcentrãm mai mult, cu atât vom fi mai nesiguri.

Dacã tot suntem la cub, priviþi desenul care urmeazã ºi întrebaþi-vãce reprezintã el, o figurã planã sau o „scarã” în spaþiu? Aceastãiluzie, numitã ºi cubul lui Necker, apare în multe lucrãri de artã,dar se folosea ca pavaj chiar ºi în casele din celebrul Pompei,distrus la începutul erei nostre de vulcanul Vezuviu.

Multe desene sunt absurde, reprezintã corpuri sau fenomeneimposibile. Iatã celebrul exemplu al scãrii lui Penrose. Ce anumeeste imposibil pe acest desen?

De altfel…Desenatorii profesioniºti învaþã mult despre persepectivã, adicãdespre redarea obiectelor spaþiale în plan, din diverse unghiuri,pãstrând însã iluzia spaþialitãþii.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã, la care nu ai încã rãspuns.


Evaluare I


Despre ce a fost vorba…?Am fãcut cunoºtinþã cu trei elemente de bazã ale geometriei: punctul, dreapta ºi planul, apoi cucele mai simple figuri geometrice plane ºi cu câteva din corpurile uzuale.

1. Reprezintã pe desen urmãtoarele situaþii:

2. Completeazã textul:

Un poligon regulat este un asemenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . care are toate . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ºi toate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de aceeaºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Dovedeºte printr-un desen cã douã puncte nu sunt suficiente pentru a determina un singur cerc.

4. Deseneazã o linie frântã delimitatã de 7 puncte: capetele liniei ºi 5 puncte intermediare.

5. În desenul de mai jos, înþelegem prin drum orice ºir de paºi spre dreapta sau în sus.

Câte drumuri diferite avem de la O la A? Putem spune ceva despre lungimile lor?

6. ªtim cã suma unghiurilor unui patrulater este de 360. Cât este suma unghiurilor la celelaltepoligoane învãþate? (Încearcã sã desenezi ºi sã desparþi poligoanele în triunghiuri.)

7. Deseneazã un cub ºi foloseºte notaþii. Gãseºte perechi de

– drepte perpendiculare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– drepte paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situaþie Desenul tãupunctul A aparþine dreptei d

dreapta g intersecteazã dreapta h

punctul M aparþine dreptelor d ºi g

dreptele f ºi t sunt paralele

Fenomene geometrice II

• Asemănarea

• Un fenomen de mare importanţă: congruenţa

• Simetria

Capitolul II prezintă trei fenomene de geometrie importante și

o serie de proprietăţi legate de acestea.


FENOMENE GEOMETRICE

Asemănarea 7


Despre ce va fi vorba…?Utilitatea unui desen ce reproduce un obiect real este datã ºi de „fidelitatea” lui faþã de ceea cereprezintã. Precizia reprezentãrii presupune ca imaginea produsã sã fie asemãnãtoare cu originalul.În matematicã vom spune „asemenea”.

Adică…

Tot ceea ce se vede pe fotografie seamãnã perfect cu obiectelereale fotografiate, dincolo de imperfecþiunea datã de faptul cãlumea tridimensionalã s-a transpus în douã dimensiuni.

Ce este, de fapt, asemãnarea în sens geometric se poate vedeamai clar pe desene sau reproduceri mai simple. Priveºte desenulalãturat.

Asemanãrea se produce prin micºorare sau mãrire. Aceastaînseamnã modificarea de acelaºi numãr de ori a tuturorlungimilor laturilor, a tuturor dimensiunilor. Dacã nu toateelementele se modificã la fel, asemãnarea nu mai are loc.

Asemãnarea, privitã ca transformare geometricã, nu pãstreazãdistanþele; acestea se modificã, dupã cum s-a vãzut deja.Numãrul care ne aratã de câte ori s-au mãrit, respectiv s-aumicºorat segmentele se numeºte raport de asemãnare, notat, deregulã, cu k. În cazul precedent aveam k = 2, apoi, la triplare,k = 3. Sã observãm cã puteam alege k = 1/2, respectiv k = 1/3, încazul în care consideram cã s-a produs o micºorare, nu o mãrire.

Asemãnarea pãstreazã totuºi ceva: mãrimea unghiurilor. Spunemcã unghiurile rãmân invariante la o transformare prin asemãnare.

În cazul triunghiurilor, avem criterii pentru asemãnarea lor, numitecazuri de asemãnare. Cel mai simplu caz spune cã asemãnarea areloc dacã triunghiurile în cauzã au douã unghiuri la fel de mari.

Un fapt sigur: dacã într-un triunghi ducem o linie dreaptãparalelã cu una din laturile triunghiului, triunghiul mic astfelobþinut este asemenea cu triunghiul original. Avem alãturi undesen corespunzãtor ºi notaþiile care se folosesc în acest caz.


Cum…?– Gãsim figuri geometrice plane care sunt sigur asemenea cu orice altã figurã din aceeaºi clasã?– Ce s-ar întâmpla atunci când am avea k = 1?– Oare în cazul hãrþilor avem un „k”? ªtiþi cum se numeºte acest numãr la hãrþi?– Când este o hartã mai detaliatã: când are „k” mai mare sau mai mic?

Încercăm…?– Putem nota raportul de asemãnare, de exemplu, astfel: 1:2, sau 1:100, sau 1:4 etc. Explicã înþelesul

acestor notaþii.– Pe o hartã scrie 1:100.000. Îþi dai seama ce lungime are în realitate, pe teren, 1 cm de pe hartã? Dar

6 cm ce distanþã realã înseamnã?– Ce crezi cã înseamnã o reproducere de 1:1?– Reia primul exerciþiu din tema Realitate sau desen? Încearcã un plan cu scara 1:100. Poþi folosi

hârtie milimetricã.

Știaţi că…?Dacã tãiem o piramidã cu un plan paralel cu baza, mai obþinemo piramidã micã. Aceasta este, evident, asemenea cu corpuloriginal. La fel ºi în cazul unui con. Interesant, dacã secþiuneaeste dusã exact la jumãtatea înãlþimii, volumul corpului mic nueste jumãtate din volumul corpului original.

Asemãnarea, în sens mai larg, se poate uºor observa în naturã.Organismele vii reproduc o serie de caracteristici, printre care ºiforme, micºorate sau mãrite, dar similare cu originalul. Discutãdespre aceastã temã ºi cautã exemple pentru a-þi susþine ideile.

Este foarte interesant modul în care un poligon se poate, eventual,descompune în copii micºorate ale lui însuºi. ªi aici se produceasemãnarea, aºa cum poþi vedea în imaginea de mai jos.

De altfel…Cazul particular al asemãnãrii „perfecte”, de raport 1:1, esteextrem de important în geometrie. Vom denumi acest lucru congruenþã.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici. Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încã rãspuns.

FENOMENE GEOMETRICE


Despre ce va fi vorba…?Am amintit deja cã asemãnarea poate fi perfectã, în sensul cã raportul de asemãnare este 1. Atuncifigurile se numesc congruente. Despre congruenþã încercãm sã învãþãm în continuare.

Adică…

Un fenomen de mare importanţă: congruenţa 8

În cazul cel mai general, douã figuri geometrice se considerãcongruente dacã existã o asemenea miºcare prin care una dinfiguri se transformã perfect în cealaltã figurã.

Asemenea miºcãri sunt rotaþiile, translaþiile paralele sausimetriile axiale, respectiv compunerile acestora. Este importantsã observãm cã o asemenea miºcare, o asemenea deplasare înplan (sau în spaþiu) lasã forma figurii invariantã.

În cel mai simplu caz, spunem cã segmentele AB ºi CD suntcongruente ºi scriem AB ≡ CD exact atunci când mãsurile lor,adicã lungimile lor, sunt egale. La fel, douã unghiuri <ABC ºi<MNP sunt considerate congruente atunci când mãsurile lor suntegale. În acest caz, scriem <ABC ≡ <MNP.

Mai departe, congruenþa se poate extinde ºi pentru triunghiuri.Avem rABC ≡ rGHF, dacã ºi numai dacã au laturile ºiunghiurile douã câte douã congruente. În practicã, congruenþatriunghiurilor se verificã folosind aºa-numitele cazuri decongruenþã.

Cazurile de congruenþã afirmã cã douã triunghiuri suntcongruente dacã au:

– laturile lor, douã câte douã congruente (cazul LLL);– douã perechi de laturi ºi unghiurile cuprinse între aceste

laturi respectiv congruente (cazul LUL);– o pereche de laturi ºi cele douã perechi de unghiuri de pe

aceste laturi respectiv congruente (cazul ULU).

În problemele practice, congruenþa se decide prin mãsurarealaturilor sau a unghiurilor. Matematic, congruenþa se deduceprin diverse raþionamente, în baza altor congruenþe date dejade problemã.

Cum…?– Discutã cu profesorul vostru despre translaþii, rotaþii ºi simetrii axiale. Cãutã exemple pentru

ilustrarea acestor miºcãri.– Discutã despre înþelesul expresiei „dacã ºi numai dacã”.– De ce folosim expresia „congruent” ºi nu obiºnuitul „egal”?– Comparã din nou asemãnarea cu congruenþa. Discutã despre ele, pe baza unor desene pe care

le vei realiza.

Încercăm…?– Deseneazã o dreaptã d ºi punctele A,B ºi C aparþinând dreptei, în aºa fel încât:

a) AB ≡ BC; b) AC ≡ AB– Avem un unghi de o anumitã mãrime. Cum s-ar putea descompune unghiul dat cu ajutorul unei

semidrepte, în douã unghiuri congruente? Semidreapta care realizeazã aceasta se numeºtebisectoare. Cere ajutorul profesorului.

– Construieºte un triunghi în care ai douã unghiuri congruente. Acesta se numeºte triunghi isoscel.Construieºte acum un triunghi în care toate unghiurile sunt congruente. Un asemenea triunghi senumeºte echilateral. Cât de mari sunt unghiurile triunghiului echilateral?

– Un triunghi dreptunghic are douã laturi perpendiculare, deci un unghi de 90°. Ce poþi afirmadespre celelalte unghiuri ale unui triunghi dreptunghic, dacã el este ºi isoscel?

– Poate exista un triunghi echilateral care sã fie ºi dreptunghic? De ce?


Știaţi că…?Dacã ducem diagonala DB într-un pãtrat ABCD, cele douãtriunghiuri astfel formate sunt congruente. Ne putem convingedoar prin raþionament, fãrã nici o mãsurãtoare. Comparândtriunghiurile ABD ºi BCD, avem AB ≡ CD ºi AD ≡ BC, ca laturiale pãtratului. (Observaþi cã AB ºi AD sunt laturi ale primuluitriunghi considerat, pe când CD ºi BC aparþin celui de-al doilea.)Evident cã ºi <A ≡ < C, ambele fiind unghiuri drepte. Cazul decongruenþã LUL ne asigurã despre congruenþa triunghiuriloralese.

Ochii noºtri se înºealã uºor atunci când comparã lungimi. Priviþidesenul alãturat ºi formulaþi o pãrere despre înãlþimea oamenilor.Ce constataþi dacã mãsuraþi lungimea segmentelor respective?

De altfel…Congruenþa unor figuri mai complicate se reduce la congruenþatriunghiurilor. Poligoanele, de exemplu, se pot despãrþi cuuºurinþã în triunghiuri ºi astfel se studiazã congruenþa acestorpãrþi. Vom mai discuta…


FENOMENE GEOMETRICE

Simetria 9


Despre ce va fi vorba…?Dacã privim spre lumea care ne înconjoarã, gãsim la orice pas aspecte de geometrie de tot felul.Forma corpurilor ºi a figurilor, dimensiunile lor ºi deferitele relaþii dintre ele sunt toate chestiunide geometrie. Printre relaþiile geometrice foarte des întâlnite se numãrã ºi simetria. Sã vedemdespre ce este vorba…

Adică…

Natura este foarte bogatã în simetrii. Exemplulde mai sus este doar unul, ales la întâmplare. Na-tura ne-a obiºnuit atât de mult cu simetria, încâtmediul nostru artificial s-a construit tot„simetric”. Noi înºine suntem, mai mult sau maipuþin, corpuri simetrice. Ce este deci simetria?

Dacã privim desenul de mai jos, observãm cãputem vorbi despre douã tipuri de simetrii:simetria centralã (faþã de un punct) ºi simetriaaxialã (faþã de o dreaptã).

În ambele cazuri, avem douã figuri legate prinsimetrie, ºi ele sunt congruente. Putem imaginasimetria ca pe o corespondenþã sau o transfor-mare care face ca unei figuri sã-i corespundãcealaltã figurã, prin intermediul unui punct saual unei drepte.

Punctul respectiv se numeºte centru desimetrie, iar dreapta – axã de simetrie.

Câteodatã ºi cele mai simple figuri geometri-ce pot fi simetrice, adicã pot avea o axã desimetrie sau centru de simetrie. De exemplu, untriunghi isoscel are ca axã de simetrie chiar unadin înãlþimi. Alte figuri geometrice simple potavea mai multe axe de simetrie sau, dimpotrivã,nici una.

Simetria, ca transformare geometricã, pãstrea-zã distanþele ºi dreptele.

Evident, nu toate figurile prezintã simetrii. Untriunghi oarecare nu este o figurã simetricã, totuºiare extrem de multe proprietãþi interesante.

Imaginea simetricã a unei figuri se poateconstrui uºor, faþã de un centru de simetrie datsau faþã de o axã de simetrie datã. Practic, trebuierespectatã congruenþa segmentelor ºi aunghiurilor ºi rolul axei sau al centrului desimetrie.

Cum…?– Gãsim alte exemple de simetrii din naturã?– Este simetria un fenomen de geometrie planã, sau ea se poate manifesta ºi în spaþiu? Gãsim exemple?– Discutã din nou despre cuvântul „transformare”. Cãutã sensurile acestei expresii ºi dã exemple din

propria experienþã.– Cautã exemple de obiecte care sunt simetrice ºi obiecte care nu au aceastã proprietate. Avem

printre noi stângaci?– Folosim cuvântul „simetric” în afara matematicii?

Încercăm…?– Considerã, pe rând, figurile geometrice studiate: triunghiul, paralelogramul,

dreptunghiul etc. Cerceteazã care dintre ele are axe de simetrii ºi câte.Construieºte desene!

– Care este situaþia cu cercul, din acest punct de vedere? Dar cu elipsa?– Considerã, pe rând, cele mai simple corpuri învãþate, de exemplu cubul, sfera ºi cilindrul.

Cerceteazã dacã au sau nu plane de simetrie.– Construieºte imaginea unui trapez, simetricã faþã de baza mare a trapezului.– Construieºte imaginea unui triunghi, simetricã faþã de vârful A al triunghiului.

Profesorul te va ajuta sã foloseºti corect instrumentele.


Știaţi că…?Dacã privim în oglindã, vedem o imagine simetricã a corpuluinostru. Aceastã imagine este virtualã, adicã este doar o senzaþiecã în spatele oglinzii s-ar afla cineva. Totuºi, dacã oglinda nudistorsioneazã, figura simetricã cu noi o percepem ca fiindcongruentã cu originalul. Aþi vãzut oglinzi care „îngraºã” saucare „slãbesc”? Ele nu au suprafaþa planã, sunt suprafeþe convexesau concave.

Simetria a fost un element central ºi în artele vizuale, din celemai vechi timpuri. În special în arta decorativã, oamenii aucãutat sã obþinã simetria pentru a încânta ochii, aºa cum putemvedea ºi în imaginea acestui labirint.

În multe cazuri se preferã asimetria. Spre exemplu, sunt multeconstrucþii moderne realizate în mod asimetric, ceea ce era deneimaginat în stiulurile arhitectonice din trecut. Puteþi cãutaimagini cu asemenea case? Gãsiþi exemple de asimetrii ºi în stilulmodern de mobilã sau în modã, în special în cea femininã.

De altfel…Cu oglinzile de tot felul ºi cu conceptul general de simterie seocupã, în special, fizica. Foarte important este studiul simetriilorîn cazul cristalelor. Chiar ºi clasificarea lor þine cont de existenþadiferitelor simetrii din construcþia cristalelor.


FENOMENE GEOMETRICE

Evaluare II


Despre ce a fost vorba…?În ultimele trei lecþii am discutat despre trei fenomene de geometrie de cea mai mare importanþã:asemãnarea, congruenþa ºi simetria.

1. Deseneazã un triunghi ABC ºi un alt triunghi MNP asemena cu primul, dacã raportul lor deasemãnare este k= 1/3.

2. Completeazã textul:

Dacã într-un triunghi ducem o linie . . . . . . . . . . . . . . cu una din laturi, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

astfel format este . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cu triunghiul dat.

3. O hartã are scara de 1:15000. Câþi metri înseamnã în realitate 3 cm mãsuraþi pe hartã?

4. Deseneazã pe rând un dreptunghi ABCD, apoi un paralelogram MNPQ. Completeazã tabelul de maijos:

5. Construieºte imaginile simetrice ale figurilor, în urmãtoarele cazuri:a) triunghi ABC, faþã de vârful A;b) triunghi ABC faþã de o perpendicularã în C pe latura BC.

6. Copiazã pe o foaie de hârtie ºi copleteazã urmãtorul tabel:

7. Douã figuri congruente sunt ºi asemenea. Este adevãratã afirmaþia inversã: douã figuri asemenasunt ºi congruente?

8. Gãseºte un caz de congruenþã pentru triunghiuri echilaterale.

Figura Laturi congruente Unghiuri congruenteDreptunghiul ABCD

Paralelogramul MNPQ

Simetria axialã Descrierea în cuvinte

Exemplu din naturã Un desen geometric

Măsuri și unităţi de măsură III

• Timpul

• Masa

• Lungimea

• Măsura unghiului

Capitolul III adună la un loc cele mai importante cunoștinţe

despre măsuri și unităţi de măsură folosite în calculele

matematice uzuale.


MĂSURI ȘI UNITĂŢI DE MĂSURĂ

Timpul 10


Despre ce va fi vorba…?Mãsurarea timpului este una dintre cele mai vechi probleme ale omenirii. Semnele mai mult decâtevidente ale trecerii timpului, ca de exemplu alternanþa zilelor ºi a nopþilor, succesiuneaanotimpurilor sau îmbãtrânirea au determinat omul sã încerce sã mãsoare ºi sã înregistrezetrecerea timpului.

Adică…Timpul trece ireversibil ºi într-un singur sens, dinspre trecut spreviitor. Despre trecut avem amintiri, despre viitor – doarprognoze, eventual. Încercãm sã controlãm aceastã scurgerecontinuã a timpului, fragmentându-l în diferite unitãþi de timp.

Unitatea de bazã pentru mãsurarea timpului este secunda (s).Alte unitãþi de mãsurã la fel de des folosite sunt: minutul (min),ºi ora (h). Pe cadranul unui ceas se pot vedea ora, minutele ºisecundele momentului în care se face citirea.

Toatã lumea ºtie cã 1 min = 60 s ºi 1 h = 60 min.

24 de ore compun o zi, iar 7 zile – o sãptãmânã. Calendarul continuã cu luna, unitate de mãsurãcare înseamnã 30 sau 31 de zile, iar în februarie – 28. Din patru în patru ani, februarie are 29 dezile. Un asemenea an se numeºte an bisect. În 2008 vom avea din nou an bisect.

Ca unitãþi de timp mai mari vorbim despre an, adicã 365 (sau 366) de zile sau 12 luni. Lunile audenumiri specifice, foarte asemãnãtoare în multe limbi.

Zece ani formeazã un deceniu, o sutã de ani sunt un secol, iar o mie de ani se numesc mileniu. Acesteunitãþi de mãsurã mãsoarã timpul la scarã istoricã. Momentul iniþial în lumea creºtinã este anulnaºterii lui Hristos. Momentul 0 desparte „era noastrã” de perioada numitã „înaintea erei noastre”.

Cum…?– Ce înseamnã expresia „ireversibil”? Cautã exemple de fenomene reversibile ºi ireversibile!– Este vreo legãturã între expresia „lunã” a calendarului ºi numele „Luna” a

satelitului nostru natural?– Un eveniment sportiv internaþional deosebit are loc tot din patru în patru ani. Despre ce eveniment

este vorba?– Cum se explicã existenþa anilor bisecþi? Discutã aceastã problemã cu profesorul vostru.– Cautã denumirile lunilor în câteva limbi de circulaþie internaþionalã. Poþi folosi un calendar de

perete sau o agendã!

Încercăm…?– Calculeazã câte secunde sunt într-o orã!– Câþi ani a trãit marele filozof Aristotel, dacã s-a nãscut în 384 î.Hr. ºi a murit în 322 î.Hr.– Care a fost ultima zi a secolului XX? Dar prima zi a secolului nostru, adicã a mileniului III?– Rãspunde prin calcul la urmãtoarea problemã: între oraºele japoneze Tokyo ºi Osaka pornesc

trenuri de mare vitezã din 30 în 30 de minute, în ambele sensuri. Durata unei cãlãtorii estede 3 ore. Cu câte trenuri din sens opus se va întâlni acel tren care pleacã din Tokio la ora13:30 (ºi care va sosi la Osaka la 16:30)?

– Calculeazã, din curiozitate, câte minute ai trãit pânã în momentul când vei termina acestcalcul! (Alege o anumitã orã exactã pentru momentul naºterii tale.)


Știaţi că…?Determinarea exactã a timpului este esenþialã în multe situaþii.De exemplu în marinã, între determinarea poziþiei navei peocean ºi cunoaºterea timpului exact este o legãturã exactã. La felstau lucrurile ºi în aviaþie ºi în multe alte domenii. Mulþi oamenisunt dispuºi sã plãteascã sume mari de bani pentru un ceas bun.În diferitele colþuri ale lumii ceasul indicã timpi diferiþi. De ce?

„Time is money”, spune celebra zicalã englezã. Oare ce ne învaþãpe noi acest „timpul costã bani”? O muncã efectuatã în timp ºi latimp este mãsura eficienþei noastre, a punctualitãþii ºi aseriozitãþii. Întârzierea poate costa ºi la propriu, nu numai lafigurat. De exemplu, pentru neplata la timp a unei facturi plãtimpenalizãri zilnice cum ar fi 0,5% din suma datoratã. La o facturãde 100 de lei, acest lucru înseamnã 0,5 lei zilnic, ceea ce într-osãptãmânã este deja de 3,5 lei pierdere.

Avem intervale de timp extrem de mici, dar ºi extrem de mari.Spre exemplu, timpul în care lumina strãbate un atom esteaproximat la 1/1024 (altfel spus 10–24), ceea ce este inimaginabil depuþin. Iatã o altã extremã: se presupune cã vârsta Universului arfi de 15 miliarde de ani.

De altfel…Alegerea unitãþii de mãsurã în mod adecvat este foarte importantã. Ce pãrere ai despre rezultatulgãsit în ultimul exerciþiu? Acest sfat este valabil nu numai în cazul mãsurãrii timpului.

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încã rãspuns.Noteazã aici eventualele nelãmuriri.


Masa 11


Despre ce va fi vorba…?Corpurile au masã, aceasta fiind una dintre principalele caracteristici fizice ale lor. Mãsurareamaselor, cântãrirea, este o activitate pe care o facem, poate, zilnic. Vom încerca sã adunãm la unloc cele mai semnificative cunoºtinþe legate de masã.Pluralul de la masã este, în cazul nostru, mase!

Adică…

Masa corpurilor este mãsura inerþiei lor, adicã afaptului cã ele îºi pãstreazã starea de repaus saude miºcare rectilinie ºi uniformã, atâta timp câtnu sunt supuse unor forþe exterioare. Un corp demasã mai mare are ºi inerþie mai mare decât unulde masã mai micã. Dar aceasta e fizicã…

Instrumentul de mãsurã pentru masã este cân-tarul. În prezent se folosesc cântare electronice,de mare precizie, dar ºi o balanþã obiºnuitã, cudouã talere, este bunã pentru a compara masele.

Unitatea principalã de mãsurã este gramul (g),dar, aºa cum este de aºteptat, în practicã utilizãmmultipli ºi submultipli ai gramului.

Aceºtia sunt:1000 g = 1 kilogram (kg) 100 g = 1 hectogram (hg)10 g = 1 decagram (dag) 0,1 g = 1 decigram (dg)

0,01 g = 1 centigram (cg)0,001 g = 1 miligram (mg)

Mai sunt utilizate ºi quintalul (q) ceea ce în-seamnã 100 kg ºi tona (t), adicã 1000 kg. Desigur,situaþia în care ne aflãm ne va indica ce unitateeste mai potrivitã. Într-o farmacie nu prea calcu-lãm în tone, aºa cum pentru exprimarea maseiunei recolte de grâu nu vom folosi miligramele.

Unitãþile de mãsurã mai mari sau mai mici sepot transforma unele în altele. De exemplu, 7 kg =7000 g sau 430 cg = 4,3 g. Ar fi bine sã exersaþi câtmai atent aceste transformãri!

Sã observãm cã transformãrile se fac prin în-mulþiri sau împãrþiri cu puterile lui 10. Aceastadepinde de natura transformãrii, ºi anume dacã setransformã o unitate de mãsurã mai mare în unamai micã sau invers. Desenul de mai jos sugereazãaceastã regulã, atunci când exprimãm o unitatemai micã cu ajutorul unei unitãþi mai mari.

Cum…?– Discutã în clasã despre inerþie. Aminteºte ºi sensul uzual al cuvântului ºi cere explicaþii

profesorului vostru.– Cautã exemple de situaþii de folosire a unitãþilor de mãsurã pentru masã. Precizeazã care unitate

este cea mai adecvatã pentru respectiva situaþie.– Reprezentaþi unitãþile de mãsurã de mai sus în diverse forme: în tabel, în scarã sau în alt mod

grafic. Lucraþi în perechi!– Ce am schimba pe desenul de mai sus, dacã sãgeþile ar indica „de la mare la mic”?

Încercăm…?– Transformã 43,5 g, pe rând, în toate celelalte unitãþi de mãsurã, de la mg la kg!– Cautã o reþetã de bucãtãrie, de exemplu reþeta unui tort. Gãseºte din text toate cantitãþile

exprimate în unitãþi de masã. Încearcã sã le transformi în unitãþi de mãsurã „vecine”, mai mici, apoi mai mari.

– Avem nouã bile, care aratã exact la fel, dar una este mai grea decât celelalte opt. Imagineazã-þi cãai o balanþã simplã ºi poþi face doar trei mãsurãtori. Vei putea afla care este bila mai grea?

– Construieºte o listã conþinând 10 obiecte diferite din jur. Estimeazã masa acestor obiecte ºi scrievalorile propuse în dreptul lor. Schimbã lista ta cu colegii ºi discutã cu ei despre pãrerile voastre.


Știaţi că…?De multe ori confundãm masa cu greutatea, deºi este vorba dedouã noþiuni diferite. Greutatea unui corp exprimã forþa cu carePãmântul îl atrage, forþã care depinde ºi de masa respectivuluicorp. Dacã spunem cã „greutatea mea este de 85 kg”, nu ne-amexprimat corect, cu toate cã în limbajul cotidian este acceptat ºise înþelege ce am vrut sã zicem. Chiar ar fi ciudat sã spunem cã„masa mea este de 85 kg”, deºi aceastã afirmaþie este cît se poatede corectã. Ce vrea sã ne aminteascã imaginea alãturatã?

În naturã gãsim valori extrem de mari sau mici pentru mase.Astfel, un elefant african poate cântãri pânã la 6 t ºi are nevoiezilnic de peste 200 kg de hranã. Cautã date pentru a ilustra valorifoarte mici gãsite de cercetãtori. Discutã cu ceilalþi despreexemplele gãsite.

De altfel…Vom vedea cã masa ºi volumul corpurilor sunt caracteristici strâns legate între ele. În multeprobleme însã, facem abstracþie de corpul fizic propriu-zis ºi investigãm doar forme, lãsând fizicasã se ocupe de mase ºi mãsurãtori.



Lungimea 12


Despre ce va fi vorba…?Mãsurarea timpului ºi a masei sunt, poate, mai aproape de fizicã, decât de matematicã. Lungimile(despre care vom discuta în cele ce urmeazã) ºi calculele care implicã lungimi sunt însã nelipsitedin geometrie.

Adică…

Unitatea de bazã prin care se mãsoarã lungimeaeste metrul (m). Dacã aceasta se dovedeºte a fiprea mare sau micã, folosim submultipli saumultipli ai metrului. În denumirile acestora uti-lizãm aceleaºi prefixe ca la unitãþi de mase, spreexemplu. Ce înþeles aveau: mili-, centi-, deci-,deca-, hecto- ºi kilo-?

Pentru lungimi avem:1000 m = 1 kilometru (km) 100 m = 1 hectometru (hm) 10 m = 1 decametru (dam) 0,1 m = 1 decimetru (dm)

0,01 m = 1 centimetru (cm)0,001 m = 1 milimetru (mm)Transformãrile se fac prin înmulþiri, respectiv

împãrþiri cu puterile lui 10. Desenul de mai jos

sugereazã aceastã regulã, atunci când exprimãm ounitate mai mare cu ajutorul unei unitãþi mai mici.

Se folosesc multe instrumente de mãsurãpentru lungimi: liniarul, metrul de croitor,metrul de tâmplar, ruleta etc. Pentru mãsurãtoriprecise ne stau la dispoziþie diverse aparate demãsurã, de la microscop pânã la radiotelescoape.

Cum…?– Discutã în clasã despre transformãrile unitãþilor de lungime, încercând sã înþelegi când înmulþim

ºi când împãrþim, ºi cu cât! Profesorul vostru vã va ajuta!– Exemplificã situaþii din viaþa cotidianã când mãsurãm lungimi ºi cautã unitãþile de mãsurã cele

mai adecvate respectivelor situaþii.– Reprezentaþi unitãþile de mãsurã de mai sus în diverse forme: în tabel, în scarã sau în alt mod

grafic. Lucraþi în perechi!– Ce am schimba pe desenul de mai sus, dacã sãgeþile ar indica „de la mic la mare”?

Încercăm…?– Deseneazã o dreaptã d ºi trei puncte pe ea: A, B ºi C. Mãsoarã distanþele dintre ele cu ajutorul

liniarului. Are sens sã aduni, respectiv sã scazi lungimile segmentelor formate? În ce caz?– Regândeºte primul exerciþiu de la lecþia 6. De data aceasta, mãsoarã lungimile pentru a face un

plan cât mai bun ºi cât mai precis.– Cautã într-o revistã planul unei case. Studiazã dimensiunile puse pe desen ºi încearcã sã calculezi

câteva costuri, presupunând cã se cunosc preþurile unor materiale de construcþii. Formulaþiîmpreunã probleme de acest tip!

– Lumina Soarelui are nevoie de 8 minute ºi 20 de secunde ca sã ajungã pe Pãmânt. La ce distanþã seaflã Soarele faþã de noi, dacã viteza luminii este de 300.000 km/s? Privind spre Soare, vedem„trecutul” sau „prezentul” stelei?


Știaţi că…?Liniile geometrice au numai o singurã dimensiune: lungimea.Figurilor geometrice plane le ataºãm deja douã dimensiuni,lungime ºi lãþime. Corpurile mai au ºi o a treia dimensiune, pecare o putem numi înãlþime. Sã ne imaginãm o cãrãmidã. Ce vomînþelege prin lungimea, lãþimea ºi înãlþimea acestui corp este ochestiune de convenþie ºi depinde de cum îl þinem aºezat. Putemda exemple de corpuri în cazul cãrora este indiferentã aºezarealor, din punctul de vedere al celor trei dimensiuni?Am mai putut observa cã percepþia noastrã ne înºalã deseori,chiar ºi în cazuri extrem de simple. Priviþi desenul de alãturi!Care segment vi se pare mai lung? Ce ar arãta o mãsurare exactã?

Calculul distanþelor este foarte important, de exemplu, întransporturi. Cautã o hartã rutierã a României ºi determinãlungimea unor drumuri, de exemplu pentru rutaArad – Bucureºti – Cluj Napoca – Arad. Cât ar costa acest drum,dacã socotim cu 3,5 lei pentru un litru de combustibil ºi dacãmaºina consumã 7 l la fiecare 100 km?

De altfel…ªtim din geografie cã mãsuratul lungimilor mari pe suprafaþa Pãmântului nu este foarte simplu.Simplificat, fãrã sã sã þinem cont de relief, drumul Bucureºti – New York imaginat pe glob este unarc de cerc, nu un segment de dreaptã!

(Nu) Sunt de accord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încã rãspuns. Ce a rãmas nelãmurit?


Măsura unghiului 13


Despre ce va fi vorba…?În lecþia 8 am putut observa cã ideea congruenþei se baza pe existenþa lungimii segmentelor,respectiv pe mãsura pe care o atribuiam unghiurilor. Acum vom dezvolta puþin cunoºtinþelenoastre despre mãsurarea ºi mãsura unghiurilor.

Adică…

Sã ne imaginãm douã drepte perpendiculare ºi sã admitem cãunghiurile pe care ele le formeazã sunt, prin definiþie, de 90°.Astfel, ne putem da seama cam cât reprezintã 1°. Dacã privim ununghi ºi ne referim la mãsura lui, lungimile laturilor nu au nici osemnificaþie în acest caz. Priviþi desenul!

Un unghi de 180° se numeºte unghi alungit. El are laturile sale înprelungire. Dacã unghiul are mãsura mai micã de 90°, el senumeºte unghi ascuþit, iar dacã mãsura lui depãºeºte 90°, atuncipoartã denumirea de unghi obtuz.

Dacã douã drepte se intersecteazã, se formeazã patru unghiuri înjurul punctului de intersecþie. Desenul vã sugereazã cã acesteanu sunt toate de mãsuri diferite. Cele patru unghiuri formeazãperechi de unghiuri opuse la vârf.

Instrumentul de mãsurã pentru mãsurarea unghiurilor esteraportorul, pe care îl vedeþi în imaginea alãturatã.

Un grad este compus din 60 de minute (60´), iar un minut sedescompune în 60 de secunde (60´´). Iatã un exemplu de calcul, carese referã la scãderea mãsurilor a douã unghiuri adiacente.(Denumirile nu au nici o legãturã cu unitãþile de mãsurã de timp!)

17° 37´ 23´´ –11° 27´ 52´´ 16° 39´ 31´´

Cum…?– Discutã în clasã despre înþelesul expresiei „prin definiþie”.– Formuleazã ce ai observat la unghiurile opuse la vârf.– Încearcã sã lãmureºti dacã putem vorbi sau nu despre unghiuri mai mari decât 180°.– Fã exerciþii de folosire a raportorului, mãsurã diferite unghiuri desenate în diferite poziþii.

Profesorul îþi va arãta cum se foloseºte raportorul.– Discutã cu ceilalþi modul de calcul folosit în exemplul de mai sus. Construiþi împrunã alte

asemenea exemple.

Încercăm…?– Deseneazã patru drepte concurente într-un punct. Determinã unghiurile adiacente astfel formate ºi,

dupã mãsurarea lor cu raportorul, adunã valorile primite. Cât rezultã? Repetã experimentul!– Deseneazã un cerc ºi douã raze în el, care vor determina un unghi ºi un arc de cerc. Un asemenea

unghi se numeºte unghi la centru. Ce poþi afirma despre mãsura unui unghi la centru ºi mãsuraarcului de cerc cuprins, dacã facem convenþia cã cercul întreg este un arc de 360°?

– Discutã despre legãtura dintre mãsura unghiurilor ºi a arcelor de cerc!– Deseneazã un poligon convex, mãsoarã unghiurile sale ºi calculeazã suma acestora.

Repetã experimentul!


Știaţi că…?Unghiurile apar pe ascuns în multe situaþii cotidiene. La fotbal,de exemplu, unghiurile influenþeazã ºansa de a înscrie gol. ªtiþicum? Puteþi discuta ºi despre biliard.

Unghiurile sunt foarte utile în determinarea paralelismului adouã drepte. Ele se taie cu o a treia dreaptã, numitã secantã, ºi sestudiazã congruenþa perechilor de unghiuri astfel formate.Profesorul vã va arãta cum.

E bine sã ºtim cã, în anumite cazuri, unghiul de incidenþã esteegal cu unghiul de reflexie. Lumina, spre exemplu, se reflectãastfel de pe o oglindã sau de pe suprafaþa unui ape liniºtite.Acelaºi lucru se întâmplã ºi în exemplul biliardului.

De altfel…Este interesant de ºtiut cã, unind douã puncte ale unui cerc,coarda astfel formatã se vede sub acelaºi unghi, din orice punctal cercului, aflat de aceeaºi parte a coardei. Cereþi profesorului sãte lãmureascã! Are acest lucru legãturã cu fotbalul?

(Nu) Sunt de acord…Fã propriile comentarii aici.Formuleazã întrebãri legate de aceastã temã la care nu ai încãrãspuns sau legate de ceea ce nu ai înþeles.


Evaluare III


Despre ce a fost vorba…?În acest capitol am trecut în revistã unitãþile de mãsurã pentrutimp, masã, lungime ºi mãsura unghiurilor ºi am exersattransformãrile care se fac între acestea.

1. Exprimã durata unei zile în minute. Câte minute avem într-o zide lucru, adicã într-un interval de 8 ore?

2. Valoarea unui contract de execuþie a unei lucrãri este de 7000 delei. Pentru eventuale întârzieri, contractul prevede penalizãri de0,1% din valoarea contractului, pe zi. Cât va plãti executantulpentru o întârziere de o sãptãmânã?

3. Avem 750 g de zahãr. Aceastã cantitate este– mai mare decât 1 kg? o da o nu– mai micã decât 1/2 kg? o da o nu– mai mare decât 0,75 mg? o da o nu

4. Un teren dreptunghiular are lungimea de 100 m ºi lãþimea de 4ori mai micã. Câþi dm are lãþimea terenului?

5. Un unghi de 120° este despãrþit de o semidreaptã ce trece prinvârful unghiului în douã unghiuri mai mici, unul dintre ele fiindjumãtate din celãlalt. Poþi afla mãsurile acestor unghiuri?

6. Calculeazã: 41° 19’ 50’’ + 37° 28’ 42’’.

7. Un camion poate transporta 16 t la fiecare drum. Câte drumuri vorface 3 camioane pentru a transporta o cantitate de 490 t de nisip?

8. Aranjeazã în ordine crescãtoare urmãtoarele cantitãþi:12 dg, 121 g, 1199 mg, 1 kg.

9. Aranjeazã în ordine descrescãtoare distanþele urmãtoare:430 m, 4,31 km, 432000 mm, 43,01 dam.

10. Un arc de cerc reprezintã 1/6 din toatã circumferinþa cercului.Câte grade va avea acest arc de cerc?

11. Un unghi la centru este de 45°. A câta parte din cerc o vareprezenta arcul corespunzãtor acestui unghi la centru?

12. Câte minute înseamnã 1,2 ore? Dar 1 orã ºi 20 de minute?

Proprietăţi metrice IV

• Perimetre

• Arii

• Volume

• Triunghiul sub lupă

• Încep problemele: din nou despre relaţii metrice

Capitolul IV este o introducere în cele mai cunoscute

proprietăţi metrice ale figurilor geometrice și o prezentare

mai detaliată a triunghiului.


PROPRIETĂŢI METRICE

Perimetre 14


Despre ce va fi vorba…?Vom cãuta sã gãsim aplicaþii pentru mãsurarea lungimilor. În mai toate meseriile mãsurãm câteceva, deseori lungimi, distanþe. Fie cã eºti croitor, zidar, ºofer sau altceva, nu poþi sã nu lucrezi cu lungimi.

Adică…Am discutat despre figuri geometrice plane ºi am vãzut cã ele auo frontierã descrisã de niºte linii. Vine de la sine ideea de aparcurge o asemenea figurã planã de-a lungul frontierei ºi de acãuta lungimea drumului astfel parcurs. Nici nu este atât desimplu pe cât pare la prima vedere, dacã frontiera este compusã(ºi) din linii curbe.

La poligoane, situaþia este simplã. Pornind dintr-un vârf ºiparcurgând toate laturile poligonului pânã ajungem înapoi lapunctul de pornire, am parcurs perimetrul figurii.

Acesta este deci suma mãsurilor tuturor laturilor poligonului.

Iatã o situaþie tipicã: avem un teren pe care vrem sã-lîmprejmuim cu un gard, de exemplu ca în desenul urmãtor. Neîntrebãm în mod firesc cât material ne este necesar ºi cât ne vacosta delimitarea terenului nostru. Ce gard sã folosim? O plasã desârmã, elemente de beton, scânduri, panouri de plastic? Înaintede orice, trebuie sã aflãm perimetrul terenului.

În anumite cazuri, nu vom mãsura chiar toate laturile, pentru cãunele lungimi s-ar putea sã se repete. Analizaþi cazul pãtratuluiºi al dreptunghiului. Ce reguli simple am putea deduce pentrugãsirea perimetrelor lor?

Perimetrul figurilor mãrginite de linii curbe nu mai este oproblemã simplã. Doar în câteva cazuri avem formule de calculpentru lungimile acestor linii. În cazul cercului, lungimea seexprimã prin relaþia L = 2πR, în care L înseamnã lungimeacercului, R raza cercului, iar simbolul π (pi) este o valoareconstantã, aproximativ egalã cu 3,14. Valoare exactã nu avempentru π, el este un aºa-numit numãr iraþional. Comparândlungimea mãsuratã a cercurilor cu diametrul lor, s-a constatatdeja încã din Antichitate cã acest raport este constant.

Avem mai jos o valoare mai bunã pentru „pi”:π = 3,141592653589793238462643383279502884197…

Cum…?– Aflã perimetrul pentagonului folosit în text.– Continuã exerciþiul, propunând preþuri rezonabile pentru materialul pe care intenþionãm sã-l

folosim pentru împrejmuire. Putem calcula acum costurile?– Discutã cu ceilalþi puþin despre numãrul „pi”. Profesorul tãu îþi va spune lucruri interesante.

Încercăm…?– Deseneazã un trapez, un romb ºi un paralelogram. Mãsoarã lungimile laturilor acestor figuri ºi

gãseºte perimetrul fiecãreia. Cere ajutor dacã ai uitat cum aratã aceste poligoane.– Acoperiºul unei case noi are forma a douã dreptunghiuri cu dimensiunile de 15 m ºi 6 m fiecare.

Leaþurile de susþinere a þiglelor se pun la 45 cm distanþã între ele. Câþi metri liniari de leaþuri suntnecesari? O schiþã te va ajuta mult!

– Raza unui cerc este de 10 m. Calculeazã lungimea cercului ºi rotunjeºte rezultatul la un numãrîntreg de metri.

– Raza unui cerc este de 6 m. Ai putea afla lungimea unui arc de cerc de 60°? Încearcã sã deduci oregulã generalã!


Știaţi că…?O problemã veche cere sã împrejmuim un teren, în ce formãvrem noi, cu condiþia ca perimetrul sã fie constant, de exemplude 100 m. Oare ce formã sã ne alegem, ca sã obþinem o suprafaþãcât mai mare? Faceþi câteva schiþe, pentru a gãsi rãspunsul bun,dar despre arii vom mai discuta în detaliu.

Ce se întâmplã cu perimetrul unei figuri dacã ea se modificã prinasemãnare? Dacã, de exemplu, dublãm laturile unui triunghi,cum se va modifica perimetrul? Ce putem spune atunci cânddeformãm figura, fãrã sã obþinem o figurã asemenea?

De altfel…Corpurile nu au perimetru. Veþi vedea în curând cã în cazul corpurilor vorbim despre arie lateralãsau arie totalã, ceea ce generalizeazã într-un fel ideea de perimetru.Ar mai fi de gândit ce înseamnã prefixul „peri-”, prezent ºi în cuvântul perimetru. Gãseºte altecuvinte care încep cu „peri-”. Atenþie, nu tot ce începe cu „peri-” este din aceeaºi familie.De exemplu, periniþa nu are nici o legãturã cu contextul nostru!



Arii 15


Despre ce va fi vorba…?O bucatã datã a unei suprafaþe acoperã o anumitã arie. Evident, mãsurarea ariilor sau calculul lorsunt deosebit de importante ºi în viaþa de toate zilele. Dacã ai moºtenit 1 hectar de pãdure sau 10hectare nu este totuna. Oare ce este important sã ºtim despre arii?

Adică…

Ataºãm o anumitã arie unei figuri plane, ori princalcul, ori prin mãsurare. De regulã, se mãsoarãdiferite lungimi, apoi se gãseºte aria prin calcul.Exemplul banal este al dreptunghiului. Îþi maiaduci aminte: dacã ºtim lungimea ºi lãþimeadreptunghiului, gãsirea ariei nu mai e o proble-mã. Atenþie, unitatea de bazã pentru mãsurareaariei este metrul pãtrat, notat cu m2.

Un m2 poate fi ori prea mare, ori prea mic.Astfel, folosim ºi în acest caz unitãþi mai micisau mai mari. Acestea sunt, cum era de aºteptat,mm2, cm2, dm2, dam2, hm2 ºi km2. Transformãrilese fac însã prin înmulþiri sau împãrþiri cu puteriale lui 102. De ce? Studiazã puþin o coalã dehârtie milimetricã! Deseneazã pe ea un pãtrat culaturile de 10 cm ºi socoteºte câþi cm2 încap înpãtratul de arie egalã cu 1 dm2.

Un decametru pãtrat se mai numeºte un ar,iar un hectometru pãtrat poartã denumirea obiº-nuitã de un hectar (ha).

Redãm mai jos regulile de calcul pentru ariilefigurilor geometrice simple.

Ne intereseazã aria cercului? Formula pentruaceasta este A = π · R2, unde A semnificã aria, iar

R, dupã cum ºtim, raza cercului. Ca în cazullungimii cercului, în practicã, aria se aproximea-zã, pentru cã apare numãrul iraþional π înacest calcul.

Aria figurilor geometrice mãrginite de liniicurbe nu se exprimã foarte uºor. Chiar ºi la cercsau elipsã, formulele de calcul se deduc prinraþionamente destul de complicate.

În cazul corpurilor vorbim despre arie late-ralã ºi arie totalã. Cel mai simplu exemplu esteal cubului. Încearcã sã gãseºti ºi alte arii laterale.Calculeazã, de exemplu, aria lateralã a clasei încare înveþi.

Cum…?– Organizeazã „familia” metrului pãtrat într-un tabel, pe o scarã sau în alt mod, uºor de înþeles

ºi de reþinut!– Câþi ari formeazã un hectar? Unde folosim aceste unitãþi de mãsurã?– Discutaþi, pe rând, despre „formulele” de mai sus. Înþelegem semnificaþia lor?– Ce pãrere ai, expresia „suprafaþã” ºi „arie” au aceeaºi semnificaþie?– Cât este aria lateralã ºi aria totalã a unui cub cu latura de 5 cm?

Încercăm…?– Folosind hârtie milimetricã ºi desenând la întâmplare câteva poligoane, determinã ariile obþinute.

Mulþumeºte-te cu valori aproximative.– Cum s-ar putea gãsi aria unui poligon oarecare, dacã se cunoaºte regula de calcul pentru aria

triunghiurilor?– Cautã planul unei locuinþe, unde se dau ºi dimensiunile. Exprimã ariile diferitelor încãperi ºi aria

totalã utilã. Ce înþelegem prin arie utilã?– Sã presupunem cã un metru pãtrat construit costã 500 de Euro. Cât ar costa locuinþa pe care ai

studiat-o mai sus?– Dacã raza unui cerc este de 10 m, poþi afla aria cercului?– Impozitul pe un metru pãtrat de teren agricol este de 0,01 lei/an. Cât vom avea de plãtit anual

pentru un teren de 7,3 ha?


Știaţi că…?În geografie ne-am obiºnuit sã avem date suprafeþele diferitelorþãri sau continente.

Cautã într-un atlas geografic suprafeþele a 10 þãri din Europa.Aranjeazã în ordine crescãtoare datele citite.

Dacã descompunem o figurã geometricã complicatã în figuri maisimple, ariile nu se modificã. În cazul unor asemenea„parcelãri”, se pune ºi problema inversã. Cum putem recompuneo anumitã figurã din bucãþile acesteia? Exemplul tipic este aljocului Tangram. Folosind desenul de mai jos, îl puteþi realizadin carton, de exemplu, apoi puteþi încerca sã vã jucaþi cu el.

De multe ori este bine ca un corp sã aibã aria cât mai mare. De cecredeþi cã un calorifer are forma pe care o are? Dar radiatorulunei maºini?

De altfel…Despre ariile laterale ºi ariile totale vom mai discuta în clasele mai mari. Pentru unele corpuri,aceste arii se exprimã uºor, pentru altele – mai complicat. Acum e important doar sã deosebeºtiaria lateralã de cea totalã. Reuºeºti? Toate corpurile au arie lateralã ºi totalã? Discutã cu ceilalþidespre aceastã întrebare.



Volume 16


Despre ce va fi vorba…?Vom discuta din nou despre corpuri. Faþã de lecþia 5, interesul nostru este sã vedem acum câtevaaspecte de naturã metricã. Volumul este, fãrã îndoialã, una dintre caracteristicile metrice cele maiimportante ale corpurilor.

Adică…

Volumul unui corp ne indicã întotdeauna capacitatea sa, adicãmãsura acelei pãrþi din spaþiu pe care o ocupã corpul.

În cazul corpurilor simple se cunosc formulele de calcul pentruvolumele acestora. Sã le luãm pe rând, folosindu-ne de desenelealãturate. Observãm cã:

– determinarea volumului necesitã calculul ariei bazei,excepþie fãcând doar sfera;

– „baza” poate fi aleasã în mai multe moduri (corpul poate fiaºezat în mai multe poziþii);

– baza, odatã aleasã, determinã înãlþimea corpului;– înãlþimea este perpendicularã pe bazã.

Unitatea de mãsurã principalã pentru volume este metrul cub, notat cu m3. Acesta îl poþi imaginaca fiind volumul unui cub de laturã 1 m. Depinde ce volum vrem sã exprimãm, pentru cã m3 poatefi ori prea mic, ori prea mare.

În viaþa de zi cu zi folosim ca unitate de mãsurã de bazã ºi litrul, notat cu l. Este important sã ºtim cã1l = 1 dm3, adicã volumul unei cutii în formã de cub, cu laturile de 10 cm (ceea ce este 1 dm, de fapt).

Volumul ºi masa aceluiaºi corp nu sunt mãrimi independente. Acestea se leagã prin aºa-numitadensitate, notatã cu ρ (litera greceascã „ro”), dupã relaþia:

ρ = masã/volum.

Astfel, masa unui litru de apã curatã este de 1 kg, dar la ulei, lapte, benzinã etc. nu mai este aºa,pentru cã densitatea acestor substanþe este alta decât a apei.

Cum…?– Discutã formulele prezentate ºi cautã exemple numerice pentru exersarea lor.– Reuºiþi sã gãsiþi împreunã multipli ºi submultipli ai metrului cub? Dar factorul de multiplicare,

utilizat în transformãri?– Gândeºte-te acum la multipli ºi submultipli ai litrului.– Organizeazã aceste unitãþi de mãsurã în tabele, scãri etc., dupã preferinþã.– Cum am putea determina volumul unui corp mai complicat?

Corpul se poate . . . . . . . . . . . . . . în corpuri mai simple, cunoscute ºi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Încercăm…?– Citeºti, într-o revistã, cã motorul unei maºini sport este de 5 l. I se mai spune ºi capacitate

cilindricã. Înþelegi despre ce este vorba?– Construieºti o casã, cunoºti din plan dimensiunile pereþilor ºi dimensiunile unei cãrãmizi. Poþi

calcula câte cãrãmizi vor fi necesare? Ai þinut cont de volumul mortarului?– Casa este gata, urmeazã sã te ocupi de încãlzirea ei în timp de iarnã. Pentru aceasta, trebuie sã

aflãm volumul total al încãperilor. Cautã planul unei case (sau deseneazã o asemenea schiþã) ºi, pebaza dimensiunilor date, aflã volumul total al încãperilor.

– Un metru cub de apã menajerã costã 1,35 lei. Dacã vrei sã umpli bilunar un bazin de dimensiunile10 m x 4 m x 2 m, cât vei plãti pe perioada 1 mai – 1 septembrie?

– O sticluþã de sirop medicinal este de 100 ml, ºi pe cutie scrie: „clorhidrat de ambroxol 30 mg/5 ml”. Poþi calcula masa substanþei active conþinute în sticluþã?


Știaţi că…?Lumea din jur oferã exemple de volume uriaºe, dar ºi incredibilde mici. Sã ne gândim, de exemplu, la volumul Pãmântului,care este de aproximativ 1083 × 108 km3, o valoareimpresionantã. La celãlalt capãt, volumul unui atom, spreexemplu, este determinat de raza acestuia, cu o valoareaproximativã de 1/1010 cm.

În multe cazuri practice avem formule aproximative pentruvolumul unor corpuri. Astfel, capacitatea unui butoi se poateaproxima cu V = 0,262 · m · (2D2 + d2), dacã suprafaþa lateralãeste elipsoidalã.

Imaginaþia noastrã poate crea corpuri foarte ciudate. Priveºtedesenul de alãturi! Va trebui sã continui în fantezia ta gãurirea ºiscobirea cubului, dupã aceeaºi regulã care se vede în imagine.

De altfel…Volumul ºi mãsuratul volumului au mare importanþã ºi în alte ºtiinþe, de exemplu în fizicã,biologie, chimie etc. Existã metode matematice, destul de complicate, prin care volumul corpurilorse poate determina cu exactitate. Despre aceste lucruri, în clasele mai mari…



Triunghiul sub lupă 17


Despre ce va fi vorba…?Triunghiul este o figurã geometricã extrem de simplã, dar numai la prima vedere. În lecþiileprecedente am aflat câte ceva despre el. Acum vom studia alte aspecte remarcabile legate de triunghi.

Adică…

O paralelã dusã la una dintre laturi (am mai vãzut acest lucru!)determinã un triunghi asemenea celui dat. Dacã paralelarespectivã înjumãtãþeºte laturile pe care le uneºte, ea se cheamãlinie mijlocie a triunghiului. Încearcã sã arãþi, fãrã mãsurãtoare,numai pe baza unui raþionament, cã lungimea liniei mijlocii estejumãtate din lungimea laturii cu care este paralelã.

În orice triunghi mai avem ºi alte linii însemnate. Le vezi pedesenele de mai jos, împreunã cu denumirile lor ºi a acelorpuncte unde ele se întâlnesc. Dacã trei (sau mai multe drepte)trec printr-un punct comun, ele se numesc drepte concurente.(Faptul cã liniile însemnate sunt concurente se poate demonstra,prin diverse raþionamente.)

Cum…?

Dacã desenãm în plan trei puncte la întâmplare,ele s-ar putea sã se afle pe o aceeaºi dreaptã. Înacest caz, avem trei puncte coliniare. Dacã nusunt coliniare, punctele noastre vor forma sigurun triunghi. Curios este faptul cã aceleaºipuncte determinã univoc ºi un cerc. Triunghiul,odatã desenat, are laturi ºi unghiuri de anumitemãrimi, mãrimi între care existã tot felul derelaþii. Acestea se mai numesc ºi relaþii metrice.Acum ne intereseazã însã câteva proprietãþicalitative ale triunghiului.

– Încearcã sã îþi reaminteºti tot ce ai învãþat deja despre triunghiuri.– Ce înseamnã expresia „proprietate calitativã”, în comparaþie cu „proprietate metricã”?

Cautã exemple!– Încearcã o clasificare a triunghiurilor, în funcþie de laturile lor, apoi în funcþie de unghiurile lor.

Discutã acest aspect în clasã ºi cere ajutorul profesorului vostru. Fã desene!

Încercăm…?– Deseneazã toate liniile mijlocii ale unui triunghi ºi cerceteazã cu atenþie figura astfel formatã. Ce

observaþii poþi formula?– Cerceteazã în ce fel de triunghiuri coincid anumite linii mijlocii?– Deseneazã trei drepte în acelaºi plan. Din punctul de vedere al paralelismului ºi al concurenþei, în

ce situaþii se pot afla aceste trei drepte?– Studiazã, pe un desen, liniile însemnate ale unui triunghi dreptunghic.– Cum ai putea dovedi cã orice punct de pe mediatoarea unui segment se aflã la aceeaºi distanþã de

capetele segmentului? Cere profesorului sã-þi explice ce este mediatoarea segmentului, dacã nudescoperi singur.


Știaţi că…?Triunghiul este o esenþializare (ºi o metaforã) pentru multesituaþii ºi relaþii din viaþa de toate zilele. Gândeºte-te la„triunghiul” tata-mama-copilul, sau la relaþia el-eaprietenul(preietena), sau alte asemenea configuraþii cusubordonaþi, ºefi, în general oameni. Adicã noi.

În istoria culturii omenirii „trei” avea dintotdeaunao conotaþie magicã, de multe ori învãluitã în mister. Începândcu Sfânta Treime, continuând cu mituri ºi legende pânã în zilelenoastre, „trei” are o semnificaþie deosebitã. Ne-am obiºnuit dejacu acest rol deosebit, din primele poveºti pe care le auzim încopilãrie.

ªi încã n-am vorbit despre triunghiul Bermudelor…

Vei vedea cã, deseori, legile de bazã ale fizicii stabilesc relaþiiîntre trei cantitãþi. De exemplu, toatã lumea ºtie, în formulare nuchiar ºtiinþificã, faptul cã „viteza este raportul dintre drum ºitimp”.

De altfel…Existã o ramurã a matematicii, numitã trigonometrie, care studiazã proprietãþile metrice aletriunghiului, relaþiile dintre laturile ºi unghiurile sale. Trigonometria se învaþã în clasele mai mari,dar câteva idei de trigonometrie vom aminti ºi împreunã.




Despre ce va fi vorba…?Calculul are ca „materie primã” nu numai numerele. De multe ori, în geometrie se fac calculespecifice, raþionamente ºi deducþii, plecând de la proprietãþi ºi fapte deja cunoscute, spre noi ºinoi relaþii. Vom încerca sã exemplificãm puþin acest aspect, prin câteva relaþii simple.

Adică…O serie de proprietãþi ale figurilor geometrice nu se vãd, nu se pot obþine intuitiv. Acestea se deducîn baza unui raþionament, din proprietãþi mai simple, cunoscute.

Sã începem cu triunghiul dreptunghic. Este evident cã mediana corespunzãtoare ipotenuzei estejumãtate din ipotenuzã? Dacã nu, atunci putem judeca astfel:

– dublãm triunghiul ºi avem acum un dreptunghi în faþa noastrã;– mediana se dubleazã ºi ea ºi devine o diagonalã a dreptunghiului.

Încep problemele: din nou despre relaţii metrice 18

ªtiind însã cã diagonalele dreptunghiului sunt congruente ºi seînjumãtãþesc, ajungem imediat la ceea ce am afirmat mai sus.Desigur, raþionamentul nostru se poate scrie mai formal, cusimboluri matematice.

Tot la triunghiul dreptunghic se referã ºi urmãtorul fapt: catetaopusã unui unghi de 30° este jumãtatea ipotenuzei.

De ce ar fi aºa?– sã ducem repede mediana corespunzãtoare ipotenuzei

(despre care tocmai am aflat ceva);– observãm cã s-a format un triunghi mai mic, isoscel, dar

care are ºi un unghi de 60°, adicã un triunghi echilateral.Atunci cateta cãutatã de noi este jumãtatea ipotenuzei.

Nu toate deducþiile noastre sunt atât de simple, nu toate au doardoi-trei paºi! Cu cât reþinem mai multe asemenea proprietãþi, cuatât raþionamentul nostru va fi mai flexibil ºi mai eficient. Sigur,existã mii de asemenea relaþii, unele mai importante, altele maipuþin importante, ºi acestea se întrepãtrund într-un tot.

Iatã un nou exemplu foarte simplu. Cum am putea sã ne dãmseama cã mãsura unui unghi exterior triunghiului este egalã cusuma mãsurilor unghiurilor interioare, nealãturate lui? Sau estecumva evident? Avem senzaþia cã însuºi textul nu e clar? Sãîncercãm sã înþelegem despre ce este vorba dupã desen. Desenul(bun) ajutã foarte mult.

Încerci singur o „demonstraþie”? Sã nu uiþi cã suma celor treiunghiuri din interior are întotdeauna mãsura de 180°!În practicã, lungimile ºi unghiurile se mãsoarã efectiv, dar o seriede rezultate se obþin tot prin calcul.

Cum…?– De ce nu este de ajuns doar sã mãsurãm? Sau nu este destul de eficient? Discutã cu ceilalþi despre

acest subiect!– De ce crezi cã proprietãþile triunghiului sunt cele mai studiate?– Câte unghiuri exterioare are un triunghi? Sunt toate de mãsuri diferite?

Încercăm…?– Cum ai putea sã-þi dai seama cã mãsura unui unghi înscris în cerc este jumãtate din mãsura

arcului cuprins?– Considerã, pe rând, patrulaterele particulare pe care le cunoºti. Încearcã sã deduci câteva

proprietãþi pentru laturile, unghiurile ºi diagonalele lor. (De exemplu, ce poþi spune desprediagonalele unui romb?)

– Alege acum un trapez isoscel. Cerceteazã puþin unghiurile sale! (Trapezul isoscel are laturileneparalele congruente.)


Știaţi că…?Relaþiile metrice se folosesc oriunde intervine geometria, într-unfel sau altul. De exemplu:

Dreapta d reprezintã o cale feratã, iar A ºi B – douã localitãþiaflate la distanþe diferite de calea feratã. Unde sã construim ogarã, care sã fie la aceeaºi distanþã de cele douã localitãþi?Desenul vã sugereazã cum ajutã raþionamentul ºi deducþia (numãsuratul!) în gãsirea unei soluþii bune.

De multe ori folosim relaþiile metrice ºi proprietãþile geometricecalitative pentru a obþine valori maxime sau minime. De multeori este important ca un anumit element sã-ºi atingã valoarea saextremã: un drum sã fie cât mai scurt, o cheltuialã cât mai micã,o arie cât mai mare sau un volum cât mai mare. Atenþie, valorileextreme nu sunt automat ºi valori optime. Desenul de jos aratã„umplerea” planului cu un numãr maxim de poligoane regulate.

De altfel…Despre relaþii metrice ºi relaþii calitative vom mai vorbi în altmodul, legat de adevãratele provocãri matematice.



Evaluare IV


Despre ce a fost vorba…?Capitolul privind proprietãþile metrice a prezentat elementelecele mai importante legate de perimetre, arii, volume ºi relaþiimetrice simple în triunghi. Acest capitol constituie o parte foarteimportantã a acestui modul.

1. Un teren are forma unui dreptunghi cu lungimea de 100 m ºilãþimea de 4 ori mai micã decât lungimea. Ce lungime va aveagardul care înconjoarã acest teren?

2. Exprimã aria cercului, dacã raza este de;a) R = 10 cm; b) R = 0,01 m; c) R = π cm.

3. O cutie în formã de paralelipiped are dimensiunile de 35 cm, 20 cm ºi 80 cm. Exprimã volumul cutiei în litri.

4. Lucrãrile necesare pentru a cultiva un hectar de pãmânt costãanual 2100 de lei, iar veniturile realizate prin vânzareaproduselor sunt de 3500 de lei pe hectar. Presupunând cã avemun teren de 11 ha, calculeazã cheltuiala totalã, venitul total ºibeneficiul realizat într-un an.

5. Un cerc are raza de 10 m. Cât este lungimea cercului?

6. Un trapez are baza mare de 20 cm ºi baza micã de 18 cm.Segmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele se numeºtelinie mijlocie. Gãseºte lungimea liniei mijlocii. (Deseneazã dinnou trapezul, rãsturnat ºi lipit de primul…)

7. a)Calculeazã volumul conului, dacã raza bazei este de 0,2 dm ºiînãlþimea este de 3 cm.

b)Calculeazã volumul ºi aria lateralã a cilindrului, dacã razabazei este de 10 cm ºi înãlþimea este de 250 mm.

Exprimã volumele obþinute în cm3 ºi în mm3.

8. Un hexagon regulat are perimetrul de 330 cm. Cât este laturahexagonului?

9. Aria unui triunghi este de 100 m2. Gãseºte aria unui triunghiasemenea cu triunghiul dat ºi care are laturile de douã ori maimari decât cel original.

10. Un corp în formã de piramidã patrulaterã este umplut cu apãpânã la jumãtate. Ce se va întâmpla cu nivelul apei, dacãpiramida se rãstoarnã în aºa fel încât va sta vârful în jos?

11. Un cort în formã de prismã triunghiularã are lungimea de 2,5 m,iar „triunghiul” de la intrarea în cort are aria de 1,1 m2. Cât estevolumul cortului?

Recapitulare și aplicaţii V

• Surprize, în loc de recapitulare

• În final, recapitulare în loc de surprize

Capitolul V își propune o recapitulare succintă a modulului.


RECAPITULARE ȘI APLICAŢII


Despre ce va fi vorba…?Am învãþat o serie de lucruri din geometrie. Desigur, fiecare fapt, fiecare idee se poate completa cuinformaþii noi. Lucrurile pot fi privite ºi din alte puncte de vedere.Sã vedem acum, în loc de recapitulare, câteva aspecte interesante, câteva surprize pe care ni lerezervã geometria.Vom mai adãuga 10 idei la cele prezentate deja. Am avut din ce alege…

Adică…

Surprize, în loc de recapitulare 19

1. Unul dintre cele mai profunde fenomene studiate în geometrieeste paralelismul. Douã drepte din plan sunt paralele dacã nu aunici un punct comun. Cu puþinã fantezie, am putea spune cã seîntâlnesc numai „la infinit”. Priveºte fotografia.

5. Viaþa cotidianã este strâns legatã de forme, atât de cele maisimple, cât ºi de formele complexe, complicate. Formele„vorbesc” mai clar decât cuvintele, limbajul lor este universal.Cine n-ar înþelege imaginile alãturate?

4. Am vãzut cã sunt situaþii când mãsurãm, sunt situaþii când ne putem mulþumi cu aproximãri. Iatãun mic ajutor, în caz cã nu ai liniar la tine.

Poþi face câteva experimente ºi sã „mãsori” astfel obiectele din jurul tãu.

2. Dacã tot suntem aici, sã ne întrebãm: existã paralelism pe sferã?Ce poziþie au „dreptele” sferei, dacã o asemenea dreaptã trece ºiprin „polul Nord”, ºi prin „polul Sud”?

3. Deseori am imaginat elemente de geometrie în miºcare ºi am avutsenzaþia cã urmãrirea miºcãrii nu este chiar simplã. Dacã roatadinþatã de sus are 8 dinþi, cea de jos – 24, câte rotaþii va faceroata micã pânã parcurge circumferinþa roþii mari? Încearcã ºi tucu monede!

6. S-a amintit ºi problema iluziilor, a desenelor care ne înºalãpercepþia. Ce pãrere ai despre urmãtorul caz? Cum interpretãmacest desen?

9. Am avut ocazia sã gãsim probleme imposibil de rezolvat. Elesunt privite drept curiozitãþi, pentru cã avem tendinþa sã credemcã tot ceea ce este problemã are ºi rezolvare. Dar nici în viaþacotidianã nu este aºa! De exemplu, nu putem construi drumuride la trei case la trei fântâni în aºa fel încât drumurile sã nu seintersecteze.

10. Figurile ºi corpurile se nasc unele din altele. Iatã exemplul unuicorp numit tor, care poate fi obþinut în mai multe moduri. Probabilvei descoperi din ce ºi cum se obþine un asemenea colac.ªi am putea continua, mult ºi bine…


7. Nu o datã s-a cãutat legãtura dintre formã ºi artele vizuale. Avemînsã legãturi neaºteptate între forme ºi lumea vie. Imaginea dealãturi ar fi din „geometria peºtelui”?

8. Am urmãrit ºi aspecte mai matematice, recurgând la calcule ºi larelaþii metrice. Mai jos este un desen despre celebra teoremã alui Pitagora, despre care vei mai auzi în viitor. Descoperãsurpriza cu ajutorul profesorului!

Încercăm…?Alege o temã care þi se pare cea mai interesantã. Dezvoltã ideea de pornire, citeºte despre acelaºilucru (de exemplu pe internet) ºi prezintã alte aspecte în portofoliul tãu. Profesorul tãu te vaîndruma!

De altfel…Problemele mai complexe ºi raþionamentele necesare rezolvãrii lor vor fi discutate într-un altmodul. Modulul Forme a fost doar o introducere în aceastã temã.

RECAPITULARE ȘI APLICAŢII


Despre ce va fi vorba…?Credem cã o privire în urmã, la tot ceea ce s-a amintit în acest modul, nu stricã. Nu vom relua tot,doar câteva idei principale. Primeºti mici texte pe care le poþi dezbate, discuta, analiza, comentacu ceilalþi. Vor fi tot 10 puncte, fãrã desene ºi imagini. Completeazã cu schiþele ºi desenele tale!

Adică…1. Elementele de bazã ale geometriei sunt: punctul, dreapta ºi planul geometric. Liniile sunt sau

drepte, sau curbe.Desenul tãu?

2. Deosebim figuri plane ºi spaþiale. Dintre primele ne intereseazã poligoanele, dar ºi cercul, dintreultimele, corpurile geometrice. La desenarea corpurilor în plan trebuie respectate câteva convenþiide desen: deformãri, perspectiva etc.Desenul tãu?

3. Figura cea mai simplã, dar extrem de bogatã în proprietãþi este triunghiul. Îþi aminteºti câtevaînsuºiri ale triunghiurilor? Sunt destul de uºor de înþeles ºi poligoanele.Desenul tãu?

4. Asemãnarea este un fenomen foarte apropiat de înþelegerea noastrã. Fotografiile, schiþele, hãrþile,toate folosesc asemãnarea. Un caz special a fost congruenþa.Desenul tãu?

În final, recapitulare în loc de surprize… 20

5. Asemãnarea ºi congruenþa, dar ºi simetriile se leagã strâns de ideea de transformare ºi de miºcare.În timpul unei transformãri sunt elemente care se modificã, altele rãmân invariante. Ambelecategorii de elemente pot fi interesante.Desenul tãu?

6. Figurile ºi corpurile au proprietãþi calitative ºi proprietãþi metrice. Un cilindru ºi un con suntcalitativ diferite, chiar dacã, de exemplu, au aceeaºi înãlþime.Desenul tãu?

7. Cele mai importante aspecte metrice se leagã de lungimi, arii ºi volume. Acestea se obþin princalcul, pornind de la date mãsurate. Mãsura unghiurilor este altceva decât lungimea laturilor sale.Desenul tãu?

8. Între elementele constitutive ale figurilor existã relaþii metrice. Acestea se deduc treptat, de larelaþii simple la relaþii din ce în ce mai complexe. Aminteºte-þi de o asemenea situaþie legatã, deexemplu, de triunghiuri.Desenul tãu?

9. Unitãþile de mãsurã trebuie utilizate în mod adecvat ºi, astfel, e bine sã ºtim sã le transformãmîntre ele. Ne poate fi de folos o „scarã” pe care o memorãm.Desenul tãu?

10. Geometria este prezentã în viaþa noastrã de toate zilele: în activitãþile noastre, în naturã, în arte, înarhitecturã, în alte ramuri ale cunoaºterii. Îþi aminteºti de o asemenea situaþie?Desenul tãu?

ªi am putea continua, mult ºi bine…Dacã toate acestea nu-þi mai sunt strãine, testele de evaluare nu vor mai fi o problemã!


Index de termeni ii


arc de cerc – 10, 18arie – 14, 42, 54arie lateralã – 17, 42arie totalã – 17, 42

asemãnare – 22asimetrie – 27axã de rotaþie – 19axã de simetrie – 26

A

bisectoare – 25

B

centru – 14centru de simetrie – 26cerc – 10, 14cilindru – 16coardã – 36coliniar – 46con – 16

concav – 27concurent – 46congruent – 23, 24, 54convex – 27cub – 16curbã – 8

C

densitate – 44diagonalã – 17, 18

diametru – 14dreaptã – 8, 12, 17

D

elipsã – 14

E

focar – 14

F

generatoare – 16 greutate – 32

G

inerþie –32infinit – 11invariant – 22, 54

iraþional – 40ireversibil – 30

I


laturã – 14, 24 linie – 8, 12

L

medianã – 48mediatoare – 47

muchie – 16

M

numãr iraþional – 40, 42

N

paralelism – 13, 18paralelogram – 40pattern – 11perimetru – 14, 40perpendicularitate – 13, 18perspectivã – 19

piramidã – 16, 23pixel – 9poliedru – 16poligon – 14, 15, 54prismã – 16, 18punct geometric – 8

P

raport de asemãnare – 22raþionament – 46razã – 14

reflexie – 37romb – 42rotaþie – 24

R

scarã – 23secantã – 37segment – 10, 12

semidreaptã – 12sferã – 16simetrie – 24, 26, 54

S

teoremã – 53tor – 53transformare geometricã – 22, 26, 54translaþie – 24

trapez – 42trigonometrie – 17triunghi – 17, 22, 24, 54

T

unghi – 12, 13, 24

U

valoare extremã – 49valoare maximã, minimã – 49valoare optimã – 49

vârf – 14, 16virtual – 27volum – 16, 54

V