71
Trostruki integrali
1. Izračunaj trostruki integral .
2
0
11
1
)4(2
dzzdydxIx
Rješenje:
3
40
3
410)
3
22(10)
3(10)1(10
10)28(2
4)4(
1
1
31
1
1
1
2
11
1
1 1
1
2
0
2
0
1
1
22
0
111
1 2222
xxdxx
dxydydxdyz
zdxdzzdydxIxxxx
2. Izračunaj trostruki integral G yx
dxdydz
1, gdje je G ograničena ravnima :
a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0; b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4. Rješenja:
a) G
yx
dxdydz
1 x=0, y=0, z=0
Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).
x+y+z=1 1111
zyx
x= 0 je yOz ravan y= 0 je xOz ravan z= 0 je xOy ravan Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa slike desno). x+y+z=1 z= 0
x+y=1 z= 1-x-y
yxz
xy
x
10
10
10 Sa slike projekcije odredimo granice:
2
1
2
11
2
)1())1(1
1(
1
1
11
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xx
dxxdxydydxdyyxyx
dx
dyzyx
dxdzyx
dydx
yx
dxdydz
xxx
yx xyx
x
G
b) G yx
dxdydz
1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.
Skicirajmo oblast G (vidi sliku).
dxxdxx
dxxxtt
dtdx
xty
xty
dtdy
tyx
yx
dydx
yx
dyzdxdz
yx
dydx
x
x
x
x
1
0
1
0
1
0
4
1
1
0
1
0
4
1
1
0
5
2
4
2
1
0
5
2
4
2
1
0
5
2
1ln24ln2
1ln4ln2ln22
45
12
1
12
11
Recommended
