Transcript
Page 1: Fattorizzazione dei numeri interi

1

Fattorizzare i numeri interi

������������� � ������� ��� ��� ������������ ��� ������� �� �!#"%$�&�&�'�!�( )*)�$�!� ,+�- .� �!�(/( +�&% �!�(� 0.�'�1 &�(�2�'�+�',(�&% /23&�(�4/'�5� 76,��'�2�28( 9/( 1 7&�!�'�5�$�!% :-�+�$

;=<?>�@�A B�CED:CGF�D�C�C�D�HJI < K�BML8N�A A O D�F%P�<Q>RB K�CE<�SUTVN/I�W�</P A I D?>�<X@/F�<�@�< FEF�B,Y/B I Z8[ Z]\�^ _�[�`�[ aMb�c�de\�^:c f/f�c�Z3\�c�a�g*c,h dE[ i [ a�c�j [�^lk%h d�Z�^

mon p q�rGs t�q?uvn�w�r�n�t�n�p x�y�s?u�q,z3n�w�{*qMw�n�z*z8|�w�q}�mon�r%n�z�q�~/q}�q�mer%nw�x/z3r�m�q/��}�n�m�y=n�m�y*q mon:~Qs�rGmox�t�q�m�n,s��oq�r%rEx�m�s�~ s�|�wMw/| u�n�m�x

� ���%�����,�=�?�0�����E�/� ��� � ��������� �����:�����J� � �v�������,������� �Q�R�����%����� � � � �M�/�X�v�����������,�*� � �=� � ���%�����Q�U�=� � �������:�J�?������� ���l�Q����� � �

� ���G������������������� � ��� �����������%���J��� �=�����=���%�  =¡ ¢¤£R¥�¦�¦ § ¡�¨�§�©�¨�¡�ª�¥�ª�§ « § ¬%­®« ¯�°*¡�« ±�²J§ ¡?¢/§´³,µQ¯�« « ¥¶¨E§  =¯�¨% =¥¸·�¯�« « ¯�°=¡�« ±�²J§ ¡ ¢�§

¹/º�»�¼�½ ¾ ¿?ÀRÁ¹/º�¾ ¼�ÃJ¾ ¹�¿�Ä�À�»�¼�Å%»Æ¾ ¼Ç»�È�¿?ÀR»ÉÈ�Á Ä ÁÇÊ�¿�Ä Á ºE¾X¾ ¼�Å%» ºE¾¹�Á�È*¾ ÅG¾ Ê�¾Ë�»�¼�Ã�Ì�Íƾ ¼ÎÄ ¾ ¼�»�¿Ç½ ¾X¹/º�¾ ¼�Ã�¾ ¹/¾ ÁϹ�Á�Å�ºo» ÀlÀ�Á

Ð=Ñ�Ò�Ó8Ô Õ�Ö�×�Ø�×�ÖÙØ Ò�Ð�Ú�ÖÛÔÜÒ�Ö/Ý/Ø�ÞGÔ ß�ÔàÕ�Ø�áãâ�Ñ?â�Ö Ò�ÞEÑäÐ�Ú�Öäå¸æèç�é�çêæìë í î�ï�ð�ñ í ò�ó3ô�õJö�÷=ø�ù�ú�ûýü?þ ÿ�ö�ÿ�ø��������Gþ ü�� þàö�� ü û ÿEþ ���þÜþ ù

��� ���� � ��� ����������������� ��� ���������� � � � �"!��#�$ %�'&'�� ���()��� ��*+� �����,� �-���.�/��0 %���� !��214365����#��� 5��� � ���7�8()�� ����9�:�� �������'����� ��;<���

=�>'?@?�A�A�B C DE?'F+C G�>'HJI)D+K$C L L�?MC >@N�O)N0PQP�GMC >SR<TVU�WXO)YVAZA'H�KVB ?\[�H]I^L$C G�>]H\_�H�C�[�K�?�>'_.C�>�=�`�H�K$C

Considerazione preliminare (algoritmo 0)

acb'd�eZf�g g�f�h7i�j�e k@l�b@m�b�d%d�e�j�n opo)b�j%i l�n�g\qrn m�j%i@s\m%b�q+n t iMk�j�e]u'b�j%i@q+v]i\b�t9hwi�g'eZf�g:m%b'd�d�e�j�ixl�i'u�iJi]ypy)i�j�i\l�i�t t z e�j�l�n g]i\l.n

12

int

10−

=n

W {r| }]~@�����]�@���'�����@��� �7����} �����E�E�0�.�#�������^���M���0� � �������'��� �x ���¡X� ¢M� �@£�¤��]¥<� ¦��'¢M ���¡X��¢M� �'� ¢�¡��@§.�r� ¨

©]ª «�¬®­0¯ °<±�² ³�´4µ ¶�·�¸7¹�º�»�¼�º�»9¸:»�½�¾ ¾ ¿ À%Á@Â�Ã'Ä$À%Á�Å:Æ�Ç]Ç�È�Á�Ä%Ä�É�À Ç'Ê)É�Ã�É@Â�Ã�ÄËÀ�Á.Å:Æ�Ç�Å7Á'Ì�Ì�Ç É�À Ç'Í.ÇrÎÐÏrÇ É�Ñ\Ä Á�Ò Ç�Ó]Â�À0Ï�Ô�Ç

Õ�ÖØ×ÚÙ4Û�ÖÜ× ÝrÞ ß�à áVâÜã4äwå8æ®çéè êËë@ì�í'î�ïñð�òZó'ô�õXð�ö ÷Eò�ø ô�õ%î@÷pô�ï)òMó]ò�ïpïpö ô�ùwòSó]ò�õ�õ�îJô�ë�÷�ú�î

= 2int

10n

W

Page 2: Fattorizzazione dei numeri interi

2

û�ü�ý�þEÿ �������������rÿ� ��������$ÿ �Eü�� ��������ý��������$ÿ � ��������ý���ü�����������ÿ ���7ü��.ÿ �!����ý���ÿ �.ÿ"�#��ý]þ<ÿ ü�ý�ÿ$�������&% '��Eü!�(�*)$����������ü

+�,�-!. / 0�120�3�-�. / 4�. 5�6�/ 4�. -�0�67/ 58+/�1&/$9�:$;�4�/ :�5�4�6�,<4<5�6�0�=$4�6�,�>�,�/$. /"+*/ 58/$9�,�6?/&@�4�5�5A0�67/�>�4�67/ 1B,�6�124�6�,�C

LISTATO IN C++

DFE G�H&I J�K�LNM?OQPAK!E RTSVU!WDFE G�H&I J�K�LNMFX#Y�P�U�SVU�WDFE G�H&I J�K�LNMZE R�O[P�\�L�Y!X]S^U�W

_ `�acb�d�_ `�e8_ `�afd�g�h�ikj�i�l�d�gnm�d�g�h�o!pAq�rst u�v�w�x�u�y�z�t {|$}n~$�� �����N�������� ���f� � �7������2�������F����� �$�����7� ���&�$� �������������]�����&� �7���<���������!������� � �����������8¡�&� �N¢�¢£�&� �7����¡�2�������F�¤�c� �$�����7� ���&�$� �������������]��¥<��¥$�����!�A� ¦�¦B¥������8¡�&� �N¢�¢�§�¡¨ ©«ª�¬$­�®B¯2°$±n² ³ ´�®7µ¶² ·�¸�¹¶ºB»�¼ ½ ¯�¼�¾¿ ¬�À¨ ©Á¨ÃÂį¶¾²�©Å²�Âį¶¾ÆÈÇ�É�Ê Ë Ì�Í8Ê Î�Ï7Í8жÑQÒ$Ó#ÔÖÕ�Í8жÑ8Ò�Ó�Ó�×Ø2Ù�Ú Ï�ÛFÛ�Ü Ú ÎÝ�Þ$Ï�Ï Ù!ß Ì�Ì�à�ÜáÛFÛÁÒ�×Ø2Ù�Ú Ï�Û âäãFå�æ$çBçkè é�è�ê�ë æ�ì�í�î�æ$ï¶è í�ð$êTñTãÈâ�â�è òó è ðNô�ôõã ö7ö7ö�ö7öAö�ö7öAö ã8òî�ê$÷�ø�î7ð�ù�òú

Page 3: Fattorizzazione dei numeri interi

3

LISTATO IN PARI/GP

û�ü�ý þ�ÿ�������� ������ ý ÿ��Bü�ý �������������������� �!��"�# $%��&('*),+-'�)�.�/0� �����!��"1#2$3��&('4)0+3'*5�.76���8'*),+9&;:�< =�=>";&�?�# :�"�4@(5�. A '4.76BDC # < ��&1:�< =�=>"1&7�*@E��.-FG� &7�*@7��.�H,�>���0I-'*.!6��"�# � ��&;��.E6��"�# � ��&!J A1A�A�A1A J!.76��"�# � ��&7� @E��.76"K����L�"��M&('*.76�N

Primo algoritmo (AL-1) (variante della fattorizzazione alla Fermat)

21xxp = &7# �8O0��� �0"P�< �Q� =,�SR8T�� �;�;=U? C �S?�#DV*# P�� =WVX=,< =ST>L��8:;P��;�1=0"�#�?Y=Z$3�Q� ��< < [ \,] ^_$3PW# <3�0"=�?Y� TZ# $3�0� �;=`T>#

:P ��;=>"�# a(aXP�a*# =,� �b��L c���V(Vd�0"��"�# ��� �!L��;=e����"f=�O>�,L�� =�T��0# TgL �h:P��;�1=0"�# ��"K=�i P��!# :�# ��? C�j � =,�hV*#�P�"�"�# i�PhPk:;P ��1=,"1#�? C � C P,��� =

T���?(=Z$l��=�V*# a*# =0���hm P���P,< �n?�# =�Rk? C �oVd=Z��=���"�#2$p# .Xq

0

2,

2,1

2

11

><

<>

x

px

pxpx

WORxx >21T�= i �or�\�Vs�1PkP�T�# � T># ?YP�"�k? C �h< Ph"K�,< P�a4# =,���pi P,< �M����"tL�� Ph"P�T># ?(�o=u� ��"v�0���!"KPZ$lm �

w(xgwsw(yzyZ{|x|}�~|�dygyK{Zwd~z�syz�Z�g�0y w � ���Z�s�Z�Z�������X�����|�!�����z�g�e�Z�����z�E�u�7�>�s�s���K�����g�|�e���g���g�z�g�����|���u���|�z�v�E��7�v�g�|�|���

�f�s�s v¡>¢,£�¤v¡g �¥ ¦�§�¨ ©bª¬«�­�®s«e¯�°E±v²g³v´oµ·¶Y¸g¹ º�» ¼�½h» ¾�¿0À,Á3Â�Ã;¼kÄ0Â�»�Å�Ã�»2Ál»0Ál» ¿�¼0Ã�»�ÄZ» © ½kÆ0Å�Å0ü�Ç(Ç*»2ÁDÆ È�» É Æ>Á3Â�¿�È;¸zÊ,­�«z¯�¶*¸z¹

Page 4: Fattorizzazione dei numeri interi

4

LISTATI IN C++ E IN VISUAL BASIC .NET

ËÍÌzÎ,Ï�ÐZÑÒÎ�Ï�Î>Ó ÐvÔ7Õ|ÌzÖZ×(ÎzÎGÖ�ØÍÙ%Ù Ú�ÛgÜ�Ý�Ü>ÞÒßzà�ágà âzãåägæ�ç>èXãåéGê ë>æ�ì|íEë>æ æ�î�ã�ïzë�ê2îKïZè(ð(ì|ñ�ò�ó4ê0ìZëzífæ ë|ô�ìzéGî�õ�î�èdöhè(äZèdèsç,÷|î�ç

ø�ù|úEûzüvüZûeý¬û>þÒÿ����bø��gø��������Gúdÿ�ù�� ��¬ÿ�ù������bû>ø�ù����sùeø �����dù�������� ù|ýeû���dû �dÿ����vú����7ù|ü>ø������! "�"$#

%'& (�)+* ,�-�.0/21�34-�& 576�8�9%'& (�)+* ,�-�.0/:& 5 1�3<;=.�>�?@6�8�9%'& (�)+* ,�-�.0/'?A>�3B8C6�8�9

& (�3D?E>�& ( FG& (�3H>�;JI�)$K�)�8�>C;ML >�;=I�N�O4P<QR* 5�(�I�- 5�,�S * .UT KMV!W* 5 X�Y0Z [�\^]\`_bac]d$ecf�g'h`hji Z X�k�lCm4Z k d Z Z n�X fCo lcm eqpcrUsJr�g=g4e m4Z t�t r m=l i ]d Z Xvu'uxw!]s4e m4yDZc_xZ X g y<k{zCm g yGw!|B|G]}Z h _xZ X g yGw�~���|G]�Z��'�2|�\`_v\:�A�$]Z s yGZ X g yGw�~�Z |�_'_xyGw$~�Z |B|�d�eCf�g'h`hji^s=r�gJg4e m=l�� iAh'h Z h`hbi � �!������C���'�`�j����� ���$���7� �`�v�`�'�j� � � �G������ � �`�j� �4�<�<�4�<�^�4�^�B�^�4�^�<�^�^�<� �

�=� �B� � �q�c��

� � �� �¡����!¢v£�¤�¥�¢M¦�§� �¨v¢ª©�«7¬v¡�����¡�¦G¡v§�¨ª©�¤�¡7¨­¡�®� �£7 �¢ª§�®@¯°§�� «7£�¤7±£7� §�²@³J´D¡� °«7��£�®�µ�¢ ¶!·�¸2¹ º@¸^» ¼�·�¸J¼�ºq½�·c»�¾=º�¿=¿JÀ�¸^»Á Âqà ·  ·c¸Äº!¿JÀc¸J·Å½�» ®«�¨­¡�¦�§�²�£7� «7£�¤�§ Æ�Ç È@É<Ê Ë�Ì�ÉJË�ÈÎÍ$Ê É4Ê Ç Ì�Ï�ÈÑÐEÒcÇ ÓJÒÕÔ Ê Ö×Ï�ÌCÇ Ò�Ë�Ì�Æ

ØDÙ!Ú�Û Ü ÝÕØDÙ Ú�Û�Ü Ý�Þ

ß Û àÕØDá�â ã ä<åæHâ�çéèUê ëìæÝ�í+â�çEá�ÜæHâ�çïî�Ýcã�Ý�ðJá�ñJÙ�ð7ê�ëìò�Ý�óéô�á�ã!Ú�Ù�çæHâ�çïáUêëEæÝ�í�â çAáCÜæHâ�çéâ�êëAõBã�ñJÝ î ÝcðâCöj÷ø Ù�ã�ë�ÙCÜ Ý�ù ú­ð4â ñ4ÝCû�â ã�ÝcäBü�â ã�ë{Ý�ð^â ë{í+â!â Ü!ãcÛ�çAÝcð=ÙÎÚ�áÅý=á�ñJñJÙcð<â þ�þ�ácð=Ý�üBåèÕö ø Ùcã!ë{Ù�Ü Ý�ù�ôcÝ�á!Ú7û+â ã!Ýcä<åæ�Ùá0öbî ÝCã�ÝcðÄá!ñJÙcð�ù�ò7Ý�ÿ�ñ4ä����õBã�ñ<ä�Ø á�ñ���ù ß�� ðÄñ^äGè åBåBå

Page 5: Fattorizzazione dei numeri interi

5

����� �������������� � ��������� ��!#"%$'&)(+*)����� ��!�!, ��(.-/�0� �21 �435� *5����6)78�.*8*9��3:�<;=6�!, ��(.-/�0� �21 �435� *5���>��!, ��(.-/�0� �21 �435� *5����6?�+��-@-A�B;<6�!, ��(.-/�0� �21 �435� *5����� !, ��(.-/�0� �21:C��.��D=�E� (+���)!

F�G.HJI0K�L

F�G.HNMPO�H�K�Q R

LISTATI IN PARI/GP

SAT R�U�VXW�Y>Z�[.\^]_Q O�`�W�Q Zba�\�cad] T Q O�O0U5Z)egf�U:Y>Z�[�\�\�chXi�j Q RkZ T Q O�O0U9Z�[El?a�\Xm:]Z�[Al�a�\)n0a o>o \�c[�U j G.Y>Z9a�\pc[�U j G+Y>Z�q o5o)o)o q�\�c[�U j G+Y>Z�[rlpa�\�cUbR�Y)K�U>GkZ/sA\�c)t

uAv8w�x�yXz�{>|�}�~�� �� ����z�� }>z������2�.���z���v>� ���0x5})�@�2xb{>}�~�������d��xbz��.����y�}>z�����d��~�x8w��E~�x)� yXw�}9���)��X� � � wk}5v)� ���0x9}�~E�?���X�:�}�~A�����)� �d�x8z��.���2y�}>z����:�d�~�xbw��E~�x5��yXw�}9�������~�x>� �+{>}9�����~�x>� �+{>}�� �5�)�)� �����~�x>� �+{>}�~r�p�����xbw�{)��x>�k}/�A���)�

uAv8w�x�yXz�{>��}�~�� �� ����z�� }>z������2�.���z���v>� ���0x5})�@�2xb{>}�~�������d��xbz��.����y�}>z�����X� � � wk}5v)� ���0x9}�~E�?���X�:�}�~A�����)�0�d�'x9z��.���=y�}>z������~�x>� �+{>}9�����~�x>� �+{>}�� �5�)�)� �����~�x>� �.{>}�~E�p�����xbw�{)��x>�k}/�A���)�

Page 6: Fattorizzazione dei numeri interi

6

�A�8�+   9¡�¢b£�¤�¥p¦�§%¨P© ¡�ª���© ¥)«/¬�­.§�®«�¨¯ )¢)°�±.ª��+ 5£�¥)«g²�¢: >¥�¦�§�§�®­d¨�¦�¢8£�ªE¦�¢)³ ´X£�¥)«/§�®µX¶ ³ © £k¥5 )¢)°�±�ª��+ 9£�¥�¦A·p­�§#¸:¨¹¥�¦r·�­�§)¬« º5º ®­d¨�¦�¢8£�ªE¦�¢)³ ´X£�¥)«/§�§�®¦�¢>³ ±. >¥9­�§p®¢b£� )°�¢>±k¥/»A§�®)¼

�A�8�+ 5 9¡�¢8£�½�¥�¦�§g¨'© ¡�ª���© ¥�«g¬0­�§�®«¾¨À¿�®­d¨�±+£+­¾ �¦�¢)³ ´�£�¥)«g§p®µX¶ ³ © £k¥5 )¢)°�±�ª��+ 9£�¥�¦A·p­�§#¸:¨¹¥�¦r·�­�§)¬«rÁ%Á®­d¨�±+£+­¾ �¦�¢)³ ´�£�¥)«g§�§�®¦�¢>³ ±. >¥ ­�§p®¢b£� )°�¢>±k¥/»A§�®)¼

ÃAÄ8Å+Æ5Æ9Ç�È8É�Ê0Ë�Ì�ÍgÎÐÏ Ç�Ñ�Å�Ï Ë)Ò/Ó0Ô�Í�ÕÒ¾ÎÖÆ)È)×�Ø+Ñ�Å.Æ5É�Ë�ÌEÙ/Ú�Í�ÕÔdÎ�Ì�È8É�ÑEÌ�È)Û ÜXÉ�Ë)Ò/Í�ÕÝXÞ Û Ï ÉkË5Æ)È)×�Ø�Ñ�Å+Æ9É�Ë�ÌAÙpÔ�Í#ß:ιË�ÌrÙ�Ô�Í)ÓÒ à5à ÕÔdÎ�Ì�È8É�ÑEÌ�È)Û ÜXÉ�Ë)Ò/Í�Í�ÕÌ�È>Û Ø.Æ>Ë9Ô�ÍpÕÈbÉ�Æ)×�È>ØkË/áAÍ�Õ)â

ãAä8å+æ5æ9ç�è8é�ê�ë�ì�ígî'ï ç�ð�å�ï ë�ñgò0ó�í�ôñ¾îÖæ)è)õ�ö+ð�å.æ5é�ë�ìE÷/ø�í�ôódî�ö+é+ó¾æ�ì�è)ù ú�é�ë)ñgípôûXü ù ï ékë5æ)è)õ�ö�ð�å+æ9é�ë�ìA÷pó�í#ý:î¹ë�ìr÷�ó�í)òñrþ%þÂôódî�ö+é+ó¾æ�ì�è)ù ú�é�ë)ñgí�í�ôì�è>ù ö.æ>ë9ó�ípôèbé�æ)õ�è>ökë/ÿAí�ô��

Page 7: Fattorizzazione dei numeri interi

7

Secondo algoritmo (Al-2)

����� � ����� ������� ����� ����

02 =+− psxx

21 xxs +=

21xxp =

242

2,1

pssx

−±=

psps 2,2 −<>

������� ���� �������� �!�"��� �#�%$&'���&� ��������� � � �%��� � � $& � ��'(�� ���)�+* �,.-�� � ���'� �+/ �0�1�� �� � �32"�4���"'�"����5�760�8� $ � ���'�9�����"�

� �:� � ���'�; � �'�"�<��=�!������.� �>�1��?�9�@���A� � � � �B�C�7� - � � �����A���A� � �:� � �)���"�<��� � � ���B�CDFE��'�;$ / � �'�9G�'��H���� $I� �1�=��� �:� �

J"K L&M�J�L&NPO�M�K4Q�N�R�R S'J�KTU1N�VO�S3W X M�W M Y9M�V4R"S[Z]\�J�M�L&MO�M�V4R"M'Y)M�V�R"MPO�MU1LIJBK R R S_^

Wpss

x >−−

=2

42

1Y7K�\4S'J`RBN[NPO�S�a�M�JbJ"K U1S�W aM�J�M�K W4U1M�c T�M�VdRBM?U&K U!R"M�Y�Nfe

WpW

s

psps

+<

−<>2

2 oppure 2

Wpss

x >−+

=2

42

2Y7K�\�S�J;R"N[NPO�S�a�M'JgJBK U1S'W aM�J�M�K W4U1M�c T�M�V4R"M?U&K U!R M�Y�N�e

Page 8: Fattorizzazione dei numeri interi

8

04

022 >−

<−ps

sW h�i�j k l�m�n n o?p!l n hq�j l�i�jdr�o�n�p8j p!kBo's9m

WpW

s

sW

ps

+>

>−>−

2

2

0204

tvu�u4wfxzy { |�}�~<�_w

�8�042 >− ps ������ �4�'� �P�'� � �������?��� ��� ��� ���� ����� xy

yx >

+ 2

2

� �F� �2s

d = �'� � ����� pddx −±= 22,1 ��� � �7�4���'�d���4� ��� ����������'� ���'�9�?����� � �B�?�&� � � �

LISTATO IN C++

� � �4�I� �����#� � �"��� �_������ � �4�I� �����#�������z�'��� �� � �4�I� �����#�F� � � ����������� � �� �4�¡� ��� � � � ���<����¢��8£f�I����g¤��� ¢��¥"¦ �§� �'�4¢���� ����� � � £ ¨�£�©£ �1ª� �'�4¢#� ª�&���4�«���:¬�� � � ���B� � �I�� �����'�9��� �����[������ ���"� �1�=������¬ ª�I� �#�«� � ª�)­ � ¤®� �d� � � ����� �¯� �z�¯ª� ­G°�ª��� §¨ ­ � �)±:� ���`� �¯� �² � � £ � � ³ ´ ¤ � �z��µ � ª© ­ � � ³ � ���;� �¯� ��² � � £ � � ³ ´ ¤ � �z��µ � ª�)­:�I±v�Iª� ­ � ±v�Iª¶ ²9��� � � �z� � �4� �¯� µ ¨ ��·`­ ¸¯¹�º¯»�¼z¼7½�½'¸¯¾ ¿4À�¸¯¹�º�Á�¼vÂ;à ¸¯¹�ºzÁ�¼z¼z¼FÄ_ºzº Å8¾�¹�ÆÇ3È)É�À�À É'Ê;É ËÌË.Í"Î�Ï�Ð�ÑÌÎ�Ò�Ó4Ô�Õ!Ö Ô�Ð'×AØzØ Í�ÙÛÚ�Ñ Ü9Î�Ý�Ï�ÎÐ�Þ'Ò Ò ÞPÐ'ÝÞß Ô�Ý4Ö«à�à:á�Ý�Ï7â�ÎÖ�Ö Ô�ã;Þ?Þ�ä4áåàÛà5æ%à¡àGá ç Ïá¯è é¯é1Õ!Ô'Ò Ý�ê�× Ô�Ï�×dÖzã�Ô4ëÎ4Ö"Þ�Ó4Ô�Ö�ã�Þ�ì�ì4Þ®Ï4Ô'Ï[ÞÕ8Õ1Þ�ã;Þ®× Ï4Ö"Þ�ã�Îß Ô�Ý4Ö«à�à:á�Ý�Ï7â�ÎÖ�Ö Ô�ã;Þ?Þ�ä4áåàÛà5í%à¡àGá ç Ïá¯èß Ô�Ý4Ö«à�à:á Ó�Î�Õ1Õ8×ïî áåà�à × èß × Ï#ð«ðGá ñ"ñ�ñ�ñBñ"ñ�ñBñ"ñzñBñ"ñBñ�ñ�ñ"ñ�ñBñ"ñ�ñ á¯èã Þ4ÖzÝ�ãBÏ[ò'èó

Page 9: Fattorizzazione dei numeri interi

9

LISTATI IN PARI/GP

ô8õ�ö4÷"÷ ø�ù¯ú�ûÛüÌý ø�þ=ö�ý ù�ÿ�����û��ÿ)ü���[÷���� �þ&ö4÷���ù�ÿ���`÷zù¯ú�ûzû���3ü.ù�ÿ � ÿ���;÷�ùBö���ÿ1ù¯ÿ���� � ����úûzû�û���������� ý ��ù"÷!!�� þ&ö4÷"��ù¯ú#�$��û&%`üGù¯ú'���û!�fÿ'(�(Ìû��ú� �÷Bù"�û$�)�÷!��� �ù�*8û��!+

ô�ö�ý ,�ø-*dù¯ú�ûÛü ý ø�þ&ö�ý ùbÿ��-.��/� ��0û$�ÿ)ü���[õ�ý øø�"ù�ÿ��1`÷�ù¯ú�ûzû��.0ü>ÿ����÷BùBö���ÿ=ùzÿ2�3� � ���'ú�ûzû���3ü.ù�ÿ4(5.�û������03ü.ù�ÿ � .'û����6����� ý ��ù"õ�ý ø�ø/ ù¯ú7�8�û�%`ü.ù¯ú#����û:9;9>õBý ø�ø/"ù¯ú7�$0�û<%�üGù�ú7��0û��ÿ'(3(=�.0ü>ÿ����÷BùBö���ÿ=ùzÿ2�3� � ���'ú�ûzû���3ü.ù�ÿ4(5.�û������03ü.ù�ÿ � .'û����û��ú� �÷Bù"�û$�ú� �÷Bù�> �?�!�!� >¯û��ú� �÷Bù"0û$�)�÷!��� �ù�*8û��!+

ô�ö�ý ,�ø-*dù¯ú�ûÛü ý ø�þ&ö�ý ù�ÿ��@.��1�A�10û��ÿ)ü>õBý ø�ø�"ù�ÿ���`÷zù¯ú�ûzû��.0ü>ÿ����÷BùBö���ÿ=ùzÿ2�3� � ú�ûzû���3ü.ù�ÿ4(5.�û!�03ü.ù�ÿ � .'û������ ý ��ù"õ�ý ø�ø/ ù¯ú7�8�û�%`ü.ù¯ú#����û:9;9>õBý ø�ø/"ù¯ú7�$0�û<%�üGù�ú7��0û��ÿ)ü:ÿ'(B*'�.0ü>ÿ����÷BùBö���ÿ=ùzÿ2�3� � ú�ûzû���3ü.ù�ÿ4(5.�û!�03ü.ù�ÿ � .'ûzû��ú� �÷Bù"�û$�ú� �÷Bù�> �?�!�!� >¯û��ú� �÷Bù"0û$�)�÷!��� �ù�*8û��!+

Page 10: Fattorizzazione dei numeri interi

10

C7D�E F�G�H I6J�K�L<M E G6N2D�E J�I6O-P�O1Q6O/R6L�SITMVU�E G�G�W�J!X�Y�W)Z�J�K6L�L�SP[M\X�Y�W�Z�J�D�I�X�J$I�]^H _ K6L�L�SQTM`IbacP�SRTM`I _ P�Sd�e�f E gJ?U!E G�G/W"J�K7h8Q6L�ijM�J�K#h�Q�L:k;k\U�E G�G/W?J�K7h$R�L<i�M J�K7h�R�L!OI�a<a SP[M\X�Y�W�Z�J�D�I�X�J$I�]^H _ K6L�L�SQTM`IbacP�SRTM`I _ P/L�SK�W f l Z�J"Q6L$SK�W f l Z�J�m _?_!_!_ m�L�SK�W f l Z�J"R6L$SW)g6Z!n�W l J�o#L�S!p

qsrBt=u�r&v=w:x

ps 42 > xypaaps =>+= ,0,42 ybz�{/|~}��"�b�6y����6�6}����'������� ���?}��)}/zA��y��/�A�/{6}z�{�|4}��?����y��?�� � �������)�?y�y�� � � }���{Ay��7� �1zA}���� �/{6y/�)yA��� �2y

0)2( 224 =++− ppaxx

242 2

2,1

apapax

+±+=

Page 11: Fattorizzazione dei numeri interi

11

LISTATO IN C++

�3� �A�'� �������:�8 ?��� ¡@¢¤£�¥�3� �A�'� �������3¦�§� �£/¢¤£1¥�3� �A�'� �������s� ¡��� !¨�� §/¦¢¤£�¥� �A ^¦~§�� ��©�� �A ª§�¨"«��#¬1�A£A§/¨®­�§�¨�«�¯�°?±!²³´ � ¡�§A ª§6¬�µ6¬�¶�¬®·6¸� ¡��A«b��¡���¹�� �b� ¸�#¡��� 3���cº$� �����/¨?� ���7��� �����/¦~��¨"¡���§ ´ §� � ?¡/¨?� »�»�§�¨�� º�¸�¼� �½¥3¥�·6¸§½¾5¿�¸��¾5¿�¸��¡ ³µ�¾5��À�¨) !©=©�§�Á:Â�­/·�Á=��À/¨) !©�·A¡�Ã~©�§6¬)Â6²�Á:Ä�­6§6­�·6²�²�Å�Â�²�¸¶�¾5��À�¨) !©=©�§�Á:Â�­/· Æ ��À�¨j �©�·A¡AÃ~©�§6¬jÂ�²�ÁªÄ/­�§�­�·�²�²�Å�Â6²�¸§�¾5§/ÁBÇ'¸��¾�� Á&Ç'¸È Ã4£�� � �b©�©�� �A �©�·7Å8µ6²�Éj¾ ©�·7Å�µ�²!²ËÊ�Ê�©�� �¼ �©�·#Å$¶�²&Éj¾ ©�·2Å$¶�²�²�² ¸ Å!ÅB�2��·���Ì�¦~�A " ?��¨�� Í=Íc©?§�����²=§��6·�¡��� ?¡����ÎÊ�Ê1©!Ï<Ð/² ¦~§�����§

�#¡��� 3���cº ´ §A ? "¡�¨��-Ñ@º&�3�VµT���5º Ò ��º�¸ Å�Å ����� � ���/�6����¡�� �6»#� ¡/���' !¨"¡A¯�§6 "�b·�¡� �¨���¹�¹6���¡/�����2����¨��b� �A "�/¨)§�#¡��� 3���cº ´ §A ? "¡�¨��-Ñ@º&�3�V¶T���5º Ò ��º�¸�#¡��� 3���cº$·�§6���#�ÓÑ@º&�3�=�����5º Ò ��º�¸�¼� �½¥3¥cº Æ?Æ!Æ!Æ?Æ º�¸¨"�A ���¨���¿/¸È

LISTATO IN PARI/GP

³ §�� «�¡�Ô�©�·�²<¾`� ¡��2§�� ©�§�¬�µA¬1¶6¬-��²�¸§�¾5¿�¸�[¾\��À�¨� �©�§�¹���©!§�Õ3Â/Á:Ä�­6§�­�·6²�²�¸µT¾c��À�¨) �©�§/¹��2©�©�§�Á^Â6­�·�Á=��²�Å�Â�²�²�¸¶T¾c��À�¨) �©�§/¹��2©�©�§�Á^Â6­�· Æ ��²�Å�Â�²�²!¸Ã�£�� � �© ´ � ¡�¡/¨"©�· Å$µ�²&Éj¾�©�·7Å�µ6²=ÍªÍ ´ � ¡6¡�¨?©�·'Å$¶6²BÉ)¾c©�·7Å�¶�²!¬§/Á�Á=¸�[¾\��À�¨� �©�§�¹���©!§�Õ3Â/Á:Ä�­6§�­�·6²�²�¸µT¾c��À�¨) �©�§/¹��2©�©�§�Á^Â6­�·�Á=��²�Å�Â�²�²�¸¶T¾c��À�¨) �©�§/¹��2©�©�§�Á^Â6­�· Æ ��²�Å�Â�²�²�²�¸·�¨�� �� �©"µ6²$¸·�¨�� �� �©�º Æ?Æ!Æ!Æ º�²�¸·�¨�� �� �©"¶6²$¸¨)�6 !��¨��©�Ç#²�¸ È

Page 12: Fattorizzazione dei numeri interi

12

Terzo algoritmo (Al-3)

ÖÎ×�Ø Ø Ù�Ú^Û�Û�Ù�ÜjÝ6×�Þ7ß à�á�ß6â�Ü)Ù6ã2Ù�ä�Ù�áAå!ßAä�Ù�ä1æ�ã'ß ×1ç~à�ã'è�Ù

pms =

22

22ä�à�Ý�Ù éëê�ì)í1î�ï-ð�ñ

222ms

x −=221ms

x +=

ò�ó ó ô�õ"ò

0121 =−− pmxx ö 02

22 =−+ pmxx

÷ ò�ø¼ù�ú�û#ú6ü/ù�ý�ü�ò�õjþ�ú õ�ÿ ÷ ú õ�ÿAþ?þ"ò��~ÿ���þ"ÿ ÷ ò é ü6ÿ�õ þ!õ)ô���ò�õ"ÿó ÿû�ô�ó ù��7ú ô���ú

242

1

pmmx

++=

242

2

pmmx

++−=

ø2ô�� psm 42 −±= ö psms 2, >>

���� � �� ������������ �� ����������������� ���"! �� ���! #�$%� �����&����'���()� *��+��� ,.-%/0,21+3�#���! ! �+�����4� !� ���'���� 5 ��*�*������

242

1

pmmx

+−=

242

2

pmmx

+−−= �6�"� !&���&'�� �������6���7(��8 �������9�9��"� ������(:� ���+�+30#���! ! �4'�� ;=<���(>(?�&@

Page 13: Fattorizzazione dei numeri interi

13

A�B0CED�F>B8G�B�H H I J D�K�L?B�M�J7N�J�O�K�G�M�J N�B�F>P�F>B8Q�G�D�F>K�R�H B0CSP+N�J�T>P�L�L�K�F:J UVUWP�U%J K�G�B"X�A�YZQ�M�J P�C6K[J H T>P�L>L�K�F�B+\]D�B�F^P�O�O�B�H B�F�P�F�B8H P

F_J O�B�F>O�P+N�B�H H B�M�K�H Q�U%J K�G�Ja`�b0K�G�M�J N&B�F_J P�C6K[D�B�FcM�B�C=D�H J O J L_d4H B�MWK�H Q�U%J K�G�J&D�K&M�J L:J e�B"C6P8H K4MfL_B�MWM�K4N�J M�O�K�F�M�K+e�P�H B"D�B�Fhg�Q�B�H H B

G�B&i&P�L�J e�B

Wpmm

x >++

=2

42 D�K F�L_PjP"F_J M�K�H e�B�F>B8J H�M�B�i0Q�B�G7L:B+M�J MVL_B�CSP

02042

<−>+

mW

pm Q&G�J L?K+P�H H B4M�K�H Q�U%J K�G&J�N�JW

pWm

Wm

−>

>−2

02

k[l Wpmm

>++−

242 D�K�FmL?PjP+N�K�e�B�F.F_J M�K�H e�B�F>B4J H�M�J MVL_B�C6P

WWp

m

mW

pm

2

2

0204

−<

>+>+

Wpmm

x >+−−

=2

42 P�H H K�F>P

WpW

m

pm

Wm

−<

>+−<

2

2 04

2

Page 14: Fattorizzazione dei numeri interi

14

LISTATO IN C++

npo q�r s t�u�vxw.yfz_u�o {}|�~��npo q�r s t�u�vxwp�S��z)~�|�~0�npo q�r s t�u�vxw�o {&yVz:�>v����4|�~0�o q�z��6��o q&��o q�zc������r��0r�~����^�&���>�����_�:�� s {�q��8u&{�t��&s v[���0�������^�&�s {�q��xo �r�{�t�zpw�w���o q�yVv��_o y�r%o&o s�q&t��6v���{+u��=����z>z_{��_o �W�W���>v ���r7o q��p�������� ���o��¡���u�{ ��x���f�£¢�y�¤���z:����{�¥6�f�6�h¦&� ¢�§������)�m¨W¦���x��� © �£¢�y�¤���z:����{�¥S�V�6�2¦&��¢¡§����&�:�>¨W¦���ª�«�+¢­¬%�o���o ¢­¬ �® ¥�~&o s v8�.��o q�z:���%¨����S¯�� ���%¨)���)�=°)°���o q7z)����¨��&�­¯m� ���%¨��&�)�)�)� ¨)¨±y�o&��t�²x�6v�z�z_v��>v ³´³��?��q�u��.��s���{�yVz_{�u�oµ°)°0�:¶±·�� ���"t�q��r�{�t�zpw�w��?�>��z_z�{��>v2¸}�­wpwZ�[w�w¡� ¹ q&��� ¨)¨ u�v�s s v+u�t�v y�{�s t��%o {�q�o7z:�>{�����z_v4��{�z���v��&��v8q�{�qjv&y�y�v��>v8o q�z_v����r�{�t�zpw�w��?�>��z_z�{��>v2¸}�­wpwZ�[w�w¡� ¹ q&���r�{�t�zpw�w�������yWy�oº¸}�­wpw´o�w�w¡� ¹ q&���r7o q��p��� ©_©:©:©_© �����v�z)t��?qj���®

LISTATO IN PARI/GP

� ��s ��{�§������±�»s {&r���s �f�������0���)����¡���u¼� y�¤��>z?�f�=½p¦�¢.§����&�:��[���f�+¢¾u��>¨W¦&��[��� © ��¢¾u��>¨W¦&�¥S~�o s v4� �?s {&{������%¨��&�­¯�������¨����´³¾³ �?s {&{��_���%¨��&�±¯>� ���%¨)�&�:��+¢p¢ �u¼� y�¤��>z?�f�=½p¦�¢.§����&�:��[���f�+¢¾u��>¨W¦&��[��� © ��¢¾u��>¨W¦�����&�?o q�z?��������&�?o q�z?�)� ©_©:©:© ������&�?o q�z?���������v�z:t&�?q4�W¬���� ®

Page 15: Fattorizzazione dei numeri interi

15

Quarto algoritmo (Al-4)

))((2221 bababaxxp +−=−==

baxbax +=−= 21 ,

bxx 221 −=− axx 221 =+ ¿ À Á[Â�Ã�Ä>Å�Æ+Æ

02 121 =−+ pbxx Ç 02 1

21 =+− paxx

paax −±= 21 Ç pbbx +±−= 2

1 È Â�Ã�ÉWÉ�À Æ0Ê6Ã+¿�Ã�Ë&ÉWÀ Ì�Í�Ä>Æ�Ä�ÍjÆ�Ë�¿ Î�Í8Ï Æ+É�Ã�Ï Ð�Ñ%À Ã�Ë�Í4Ë�Í�Ò�Æ�Å:À Ó�Æ+Ô�Ð�Í�Ï Ï Æj¿�Ã�Ë

É�Í�Ò�Ë�Ã Õ Ç Â�Í�Ä�Á[Â�Ã�À7Ã�¿W¿�Ã�Ä:Ä�Í+¿�Æ�Ï ¿�Ã�Ï Æ�Ä>Í8À Ï�É�Ð�Ã+Ó�Æ�Ï Ã�Ä>Í+Æ�ÉWÉVÃ�Ï Ð�Å�Ã�Ö

× Ã�Ê�Í8Ë Í�À�¿WÆ�É�À�Â�Ä�Í�¿WÍ�Ì�Í�Ë�Å)ÀWpaax >−+= 2 Â�Ã�Ä�Å_ÆjƵØ

002

<−>−

aW

pa Ð�Ë�À Å�Ã�Æ�Ï Ï Í�É�Ã�Ï Ð�Ñ%À Ã0Ë&À�Ì0À

WpW

a

Wa

papa

+>

<−−<>

2

0

,

Wpaax >−−= 2 Â�Ã�Ä�Å_ÆjÆ�Ï�É�À ÉfÅ_Í�Ê6Æ�Ì�À�¿�Ã�Ë�Ì0À Ñ�À Ã�Ë�À

WpW

a

Wa

papa

+<

>−<>

2

,

Page 16: Fattorizzazione dei numeri interi

16

Wpbbx >++−= 2

allora

002

<+>+

bW

pb Ù�Ú&Û Ü�Ý4Þ

WWp

b

bW

pb

2

00

2

2

−<

>+>+

Wpbbx >+−−= 2 ß Û à"á�Ý�â>Ü�Þ+Þ}ã

WWp

b

pb

Wb

2

02

2

−>

>+−<

osservazione: ä�å 21xxp = æ Ù&Ú8á�â>Ý�ç&è å�é Þxê�ë�ìíÞ�è è Ý�â>Þaxx 221 =+ 21 2 xax −= î Ù�Û Ú�ï�Û

02 222 =+− paxx paax −±= 2

2ß Ý�Ú pa >2

LISTATO IN C++

ð Û Ú ß è Ù�ï åxñ.ä Ü_ï�Û Ý}ò�ó�ôð Û Ú ß è Ù�ï åxñpé Þ�Ü)ó�ò�ó0ôð Û Ú ß è Ù�ï åxñ Û Ý ä Ü:â å Þ é ò�ó0ôÛ Ú�Ü é Þ�Û Ú&õ�Û Ú�ÜcÞ�â�ö ß�÷0ß ó�Þ�â^ø&Þ�â>ö�ù�ú_û:üý è Ý�Ú�ö8ï&Ý0Ù�ç&è å=þ ÷0ÿ�÷ á��è Ý�Ú�ö8Þ��è Ý�Ú�öxÛ������ß Ý�Ù�Ü ñ�ñ�� Û Ú ä�å â_Û ä ß Û�Û è�Ú&Ù é6å â�Ý4ï�Þ_Þ�Ü>Ü_Ý�â_Û ���WÞ�â å � �ß Û Úxô�ô�á��Þ���Û Ú�Ü:õ ä�î â�Ü:õ�á�ü)ü��Þ�� Þ������ï&Ý ýþ �¡Þ�� ä�î â�Ü:õ�á�Ý��­õ?Þ ÷�� ü � á�ü��ÿ �¡Þ � ä�î â>Ü?õ�á�Ý��Sõ?Þ ÷�� ü � á&ü��Þ�� Þ������

Page 17: Fattorizzazione dei numeri interi

17

����� ��!�"#�$&% � ' (�)*)�� +-,.)�/1032�465��7)�/�0�2�484989:)�� +-,.)�/103;�4<5���/10�;�484=" 080�>6��/�?-@BA&(-,�,C(�DE( F*F�)CG�+IH�4*G�'�/-J�>K,LJ H��M989N).OQP�4 A&GR?�+IGH�(�' ' (SH�?�(T J�?-,VUWU�XCYLG-,L,ZJ�D�(\[]X^UWU_2`UWU�X a +�X�" 080�>KJ�' ?�b1� JN+���,.DLJ-cIG�,L(R/IJI,8D�(�d�dI(R+-J�+e(�>�>�(�D�(R� +-,L(�DEGT J�?-,VUWU�XCYLG-,L,ZJ�D�(\[]X^UWU_;BU=U�X a +�X�"T J�?-,VUWU�X3/IG�>�>KG�f�f��g[]X�UWU�� "T � +�hVh�X iCiCi.iCiZi.iCiZi8iCiCiZi X�"�DE(�,.?�D.+kj�" #

LISTATO IN PARI/GP

l G�' f�J�m�)�/I4Q� ' J T G�' )CG�n]H�no2Ino;�4�"G��pYC' J�J�DZ).>KqNDE,C)�/�484�"Hr�s>tqoD�,C)CG�d�>�).G�uWv i /�484."2`��G��wH ";`��G i H�"$<% � ' ( )ZY.' J�J�DL)�/10x2�4<5���)�/y0�2�47FwFsYC' J�J�DZ)�/103;�4Q5���)3/108;�48nG��sG���! "Hr�s>tqoD�,C)CG�d�>�).G�uWv i /�484."2`��G��wHo";`��G i H�4�"/�DC� +I,C)L2�43"/�DC� +I,C)L;�43"DE(�,.?�DC+ )�!y4�" #

LISTATO IN C++

zW� + T ' ?IH�(�U7>x,ZHo� J\{ % hzW� + T ' ?IH�(�UWA<GI, % { % hzW� + T ' ?IH�(�U|� J�>K,.D�(IGoA { % h� +-,=A&G�� +�)�� +-,}G�DLf T n T % G�D�~�G�D�fIco�Z�.4l' J�+-fRH�JN?�d�' (2�n�/�"' J�+-f�d�"' J�+-f�����j�"T J�?-,KUVU�X3� +�>t(�DZ� > T ��� '�+�?�A&(�DEJ H�GYZG-,�,ZJ�DZ� b�b�G�D�( X�"T � +�hVh�/�"d`��� +I,C).>tqoD�,8)�/I484�"d`��do�^!y"H�J l2`� i d`��>tqoD�,.)3/-J $ )�d�n�v�4Q��/I4�"

Page 18: Fattorizzazione dei numeri interi

18

�`���o�^�y�� � � ��������&� � � ���8��� �-�C�����3���6� � ���y�����8�8� ��6��� �V�W���C�L�-�L� ��� �\�]�^�W�_�`�W��� � ��� ��6��� �V�W���C�L�-�L� ��� � �]���W�_ B�W�s� � ��� ��6��� �V�W���3�I��¡�¡K��¢�¢��g�]���W��� �� � ��£V£�� ¤C¤C¤.¤C¤Z¤.¤C¤Z¤8¤C¤C¤Z¤ � �� ��� ��� �k¥ �7�

LISTATO IN PARI/GP

¦1§�¨ ©�ª�«�¬�­I®Q¯ ¨ ª�°y§�¨ ¬.±�²o³�®3´µ`¯_¶8¨ ª�ª�·C¬.±K¸o·E¹C¬�­�®�®�´³`¯ º µ`»�±t¸o·�¹C¬C§�µ�±�¬3µ�¼=½`»=­I®8®�´¾<¿�À ¨ Á ¬Z¶.¨ ª�ª�·L¬�­1Âx³�®<Ã�¯�¬�­yÂ�³�®.²µ�»Q»*´³`¯�¬.±Ä»�±t¸o·�¹C¬C§�µI±6¬.±y¼=½ º Å�Æ�­�®.®8®�Â�½�®�´­�· À Ç ¹C¬L³�®3´­�· À Ç ¹C¬3È ºZº.º.º È�®�´­�· À Ç ¹C¬�­1Â3³�®�´·EÁ�¹.É�· Ç ¬�Êy®�´.Ë

Quinto algoritmo (Al-5)

Ì Áaxxxxp +== 1221 ,

§�¨ ¨ ª�·L§S±tª�±K¹ À ¹8ÉIÁ Ç�Í ª�¨ ÁÎ�§�· À §�µ À ¨ À ªI¹�¹CÁ Ç ©�ª ° ¿ Á

0121 =−+ paxx

¸oÉ À Ç�ÍoÀ2

42

1

paax

+±−=

Ï ª Ç ± À Í Á�· À §�Ð&ª`¨ §S±tª�¨ É�Ñ À ª Ç Á ­�ª�± À ¹ À ÎI§S°6ªoÐÄÁ Ç Á�©�¨ À §�¨ ¹.· À °�§�± À

Wpaa

x >++−

=2

42 §�¨ ¨ ª�·�§ Í ª�µ�µ À §�ÐĪ�· À ±Kªo¨ ÎIÁ�·LÁ

Page 19: Fattorizzazione dei numeri interi

19

04

22 >+

−<pa

Wa Ò�Ó�Ô ÕNÓ-Ök×

WWp

a

Wa2

2

−<

−>

Wpaa

x >++

=2

42 ×�Ø Ø Õ�ÙL× Ô ØIÚ6Ô ÚKÛLÖoÜ<×SÝoÔ Þ�Ö�ÓßÛC×\à

WpW

a

pa

aW

−>

>+>−

2

2 04

02

×�Ó�×�Ø Õ�á�×NÜ&Ö�Ó-ÛLÖkÚyÔ-×�ÙCÙZÔ ÞI×S×�áoØ ÔIÚKÛLÖ�Ú�ÚyÔ�ÙCÔ ÚyÒ�Ø ÛZ×IÛ.Ô ÓIÖ�ØIâ6×�ÚtÕSÕoã�ãIÕ�ÚKÛZÕSâßÔ Õ�äkâ�åIÖaxx −= 12

×�æ�æ�Ô ×�ÜÄÕ

â�å-Ö2

42 paax

+±= ç

è Ò�Ô ÓIÝ�Ô

02042

<−>+

aW

pa Ò�Ó�Ô ÛLÕ ×

WpW

a

aW

pa

−>

<−>+

2

2

0204

é ÕoÜÄÖRÓ-Ö�á�Ø Ôß×�Ø Û.Ù.Ô-â6×�ÚyÔ-ÚyÔIÚt×�ÙLÖ�æ�æ-Ö�ã-Õ�Û.Ò-ÛZÕSâ1Õ�Ó�ÚyÔ Ý�Ö�Ù�×�Ù�ÖRã�Ö�Ù]ê|ë^Öê]ìk×�ÓIâ�å-Ö�Ø ÖkÚtÕ�Ø Ò-í1Ô Õ�Ó�Ô�ÓIÖ�á�×�Û.Ô ÞIÖkî]ïoÒ-Ö�Ø Ø Õkâ6Õ�Ó

ÚtÖIá�Ó�Õ ð ã�Õ�ÔIÚyÔ-Út×�ÙLÖ�æ�æ-ÖkÝ�ÕIÞ�ÒßÛCÕ â6×�Ø â1Õ�Ø ×�ÙEÖ�Ô Ø�Ø Õ�Ù�ÕeÞ�×�Ø Õ�ÙLÖe×�Ú�ÚKÕ�Ø ÒIÛLÕ

Page 20: Fattorizzazione dei numeri interi

20

LISTATO IN C++

ñWò ó-ô�õ öI÷�ø�ù7úxûZ÷oò ü\ýgþoÿñWò ó-ô�õ öI÷�ø�ù����Iû8þ�ýgþNÿñWò ó-ô�õ öI÷�ø�ù|ò ü�úKû���ø���� ý:þNÿò ó-û����ò ó��ò ó-û�� ����ô��Nô-þ�������� ������������õ ü�ó��R÷�üNö ��õ ø�� �"! �$# %õ ü�ó��&��%õ ü�ó���ò('*) %ô6ü�ö-ûKùVù,+3ò ó�útø �Zò útô1ò�ò õ�ó�ö��&ø��Eü ÷ ��-��-û�ûZü��Zò ././� ��ø0+1%ô�ò ó�ÿVÿ*#�%�2',) %�2'3� 4657%÷�ü ��8'9 : ��4*ú<;"��û�1#Iü =>�� �@?��<4BA�� # �C��D/? %!8'9E��47úF;"�EûE1#Iü =��� �G? �<4HA(�(#��1��D/? %�2'3��4657%ò('�òI4657%J =&þ�ò õ ø(K�ò ó-û�1#LDM���ONP'H1#7D1� �C��QCQR�ò ó-û�1#LDM! ��NP'9#LD1!��C��% D�D�ú6ò�#�ö�ST�&ø-û�ûCø ��ø UBU9E��óI÷ �K��õ #Iü�úKû�ü ÷�òVQCQ"�WYX(� ��Rö�ó��S÷�ø�õ õ ø÷�öIøô6ü�ö-ûVùWù*+E-��-ûLûZü(��ø[Z\+^ùWù]�`ùWù,+ ^ ó�+1% DCD útü�õ ö�.1ò üoó�òßû���ü�� �IûZø0#�üIû���ø(� �IøRó-üoóø�útú�ø �Lø ò óIûLø(�G�ô6ü�ö-ûVùWù*+E-��-ûLûZü(��ø[Z\+^ùWù]!Bù=ù,+ ^ ó�+1%ô6ü�ö-ûVùWù*+M#���ú�ú<� � ��ò_Z\+�ùWù�ò %ô�ò ó�ÿVÿ,+ :E:E:�:E:�:�:E:�:C:E:E:�: +1%�Eø�û.ö��Có`) %J

LISTATO IN PARI/GP

aLb c d e f(g1h�iYjkc e�lOb c gEb�m\n�m�o m�p�iCqb2j,r qnsj3tFu�v�wEgEb xzy({H|(}(h�i1qo8j9g ~ b2{,n(iP�/y�qp8j9gEb8{3n�iG�/y q���(� c � gE�Ec e e�vEg1h��Mo i��Pj9g1h��Mo iK���3��c e e(v�g1h7�Mp i6�Gj*g1hL�Cp�i�mb2j3b�{6�7qnsj3tFu�v�wEgEb xzy({H|(}(h�i1qo8j9g ~ b2{,n(iP�/y�qp8j9gEb8{3n�iG�/y iCqh�v � � wEg�o iMqh�v � � wEgC� ~�~�~�~ �1i1qh�v � � wEg�p iMqvG� w���v � g/��i1q��

Page 21: Fattorizzazione dei numeri interi

21

Sesto algoritmo (Al-6)

�7���P��� ����0�������&���(�0� �����&��� � ����� ��������� � � �(�E� �/�`�F���������¡  � ���\¢

xyyx >+

2

22 £ � � � ���axyyx 2222 +=+ �T¤3¥§¦2¨*�L©Mª

� �����   � ���«�`�0)(2 224 =++− papxx£ ��� � ��� � �0�F�(� ���L� ��� ���F��� �

paaapx 222,1 +±+= �(�� ��&� � ��¬

�����$��  � ���(���§� �E�����E�­�����/��� �/��� �0�F���<�C� �1��� ����0���0���­©/®&��� ����¯�¯G�������`� � � � �§��� ������������� � � ���/�`��� � � �P�E� ���/�

LISTATO C++

°�� � �­� �����s±��<���"� �\²´³�¤°�� ���7� ��� �2±������C³�²_³"¤°�� ���7� ��� �2±µ� ���<���������0²R³"¤

� ������ � ��¶1� ����� ��� ��·"��³�����¸�� ���� �¹�º�»¼� �����&���"� ��� ��ª ·"¦ ·$� ½� �����2� ���K� ·\� ·\�L½�2¨,¥ ½�(¨,¥(½�O�(���z±�±*¾M� � �F�(�E� �F�7� �������(��� ¾1½�7� �2¤z¤*��½��� ¼ª8¨*� £ �G�E¶1��¿B�(¿µ� £ �P�E¶1� � À>¶E� ·P®�»<¿µ®�¸ � ¸���»C»1½¦8¨*� £ �G�E¶1��¿B� Á � £ �P�C¶1��� À>¶C��·P®�»<¿K® ¸ ��¸�� »C»C½�2¨3��¿6Â7½[©C© £ � � Ã2������ � �2��� �����(���§�2¨3��¿ Â<©F®`�F�&���(�`Ã&� �&�����(�(� �"��8Ä�Å�Æ�½�(¨9�(¿>ÂL½Ç À³�� � ��¶µ¶1� ���E¶1�7©M¦ »�ÈP¨ ¶1�L©M¦ »C»�É�É�¶1� ����¶1�L©Mª�»6ÈG¨ ¶1��©Mª�»�» »�½ ©C©6�/� ����¬2�������� ��� ÊKÊ*¶������(»K� � ���(�<���`���$ÉCÉ"¶�ËYÄ�» ���O�(���z±�±*¾E¯��������(���[¢\¾>±�±]ª8±�±,¾ Ì ��¾1½ ©C© �(��� �(� � � �`�����`�F�(� ���L� �����­�C����  �����&���������(� ����������� �/�F� ���0� ����� ����O�(���z±�±*¾E¯��������(���[¢\¾>±�±]¦T±�±,¾ Ì ��¾1½�O�(���z±�±*¾M�����/�O�´¢\¾6±Y±,� ½Ç

Page 22: Fattorizzazione dei numeri interi

22

LISTATO IN PARI/GP

ÍLÎ Ï Ð Ñ�Ò�Ó1Ô�ÕYÖ Ï Ñ ×�Î Ï ÓEÎ Ø\Ù�Ø�Ú�Ø�Û�Õ1ÜÎ2Ö,Ý ÜÙsÖ3ÞFß�à�áEÓEÎ âzã(äµã�å(Ô å Î�ÕCÜÚ8Ö*Þ<ß�àGáEÓEÎ�æ�ÞOÓ1Ô�ä�Î�äHÙ ÕCÕ1ÜÛ8Ö*Þ<ß�àGáEÓEÎ�æ�ÞOÓ1Ô�äBÎ ç Ù(ÕCÕCÜè�é(ê Ï ë0Ó�ì�Ï Ñ�Ñ à�Ó1Ô7íMÚ Õ�îPÖ9Ó1Ô�í1Ú�ÕHïBï3ìEÏ Ñ�Ñ�à�Ó1ÔLíMÛ�ÕYî�Ö,ÓMÔLíCÛ ÕCØÎ2Ö3Î�äHÝ[ðRñ�ÜÙsÖ3ÞFß�à�áEÓEÎ æ�Þ/Ó�Î â�ã�äµã å(Ô�å Î�ÕCÕ1ÜÚ8Ö*Þ<ß�àGáEÓEÎ�æ�ÞOÓ1Ô�ä�Î�äHÙ ÕCÕ1ÜÛ8Ö*Þ<ß�àGáEÓEÎ�æ�ÞOÓ1Ô�äBÎ ç Ù(ÕCÕCÕ1ÜÔ�à ê ò áEÓ�Ú ÕMÜÔ�à ê ò áEÓCó ç�ç�ç�ç ó1Õ1ÜÔ�à ê ò áEÓ�Û ÕMÜàGë á�ô�à ò Ó/õ�Õ1Ü�ö

Fattorizzazione con le disequazioni

÷ ë Ï�×OÎ�ø�Ô�Ñ`Ù ë(Ï Ï Î�ì�Î�á�á�Ñ�à ê ù/ù Î ùLê Ñ ò ë§Ù ë ê ò ô�øë à ê Ô�Ñ(Þ<ÞOÑ ò Ñ`ë ÞOÞFë(àGë ê ø�Ô ê ë Ð Î�á�ë&Ï ë§Ù ê Þ�ô�Ð�ô�Î Ð�Ï ê Î ò�ù ë ò Ñ�áEë­ú�Ñ�Ï ê

abbaba 2)( 222 −+=−

2)(

2

222 babaab

−−+=

ß�ô ê ò Ù ê

2

22 baab

+<

Ñ(à�Î�Ù(Î

abbaba 2)( 222 ++=+

22)( 222 baba

ab+−+=

Page 23: Fattorizzazione dei numeri interi

23

û�ü ý þ ÿ�ý

2)( 2ba

ab+<

������� � ����

2)(

2

2222 baba

abm+<+<<

��(þ �� ���� �����������

�������� ��! �"�#%$�&'$($��)���*�+#,�'-��! ��

32233 33)( babbaaba +++=+

./�0�/21�ÿ/1(þ�ÿ��32�'�41657�8.��0�:9;�:<9=1

3)( 2ba

ab+<

ÿ/1�� � 1���� >?�01§ÿ�ý 5�üA@�üA�;@8� ý � þAB216��C�C(ý �'����@"ý D§ÿ�1A>E>E�`ÿ�ý�û�üA1/5(>GF ü/� >�ýH���0þ;�'I

0,3,3 22 >+=> aapsps

571KJ)LNMPO?Q���� � �%�0�

0)( 224 =++− papxx

223 22 apapap

x++−±+

=

��(þ RTS�U V�WYX�Z\[�VT] ^ _+`!`'a�bdc�egf+h

Page 24: Fattorizzazione dei numeri interi

24

LISTATO IN C++

ikj l=m<n oAp�q)rsm�t�uEp'n j v*wikj l=m<n oAp�q)rxj y/t�uGz0qA{8|3wikj l=m<n oAp�q)rk|4{Au?}�~,}'woAtPj l=�!lA{�|�q�t2�;{AmPq�t�u�p��j l=ud|�{�j l/��j l=u�{�zE��mP�'m=}={�z\�/{�z0�A�8���G��p%y%o�v/n qK�/�+�/�*{A��t�uE{%zu��m�y�o=ukr�r��(j l/t�q%z�j t7m�j�j n/l�o%|�q�zEy�p%{K�E{=u0u�y%z�j � �2{%zq:���m<j l)w�w��/�{)�N�;�p%y�

�)��t7��zuG�����8�s{��xt��'z�u�� � �����;yA�4���/�� /���� ��%�;�;{¡�¢�;y=�4��{/�� ��?� �E£7 /���

{!�T{��4¤P�¥ �¦}�j n q/��j l§u?���P£��;�4¨�� ���P£��;�?���

m�y%oAukr�r����0{AuEuEy�zq �4rkr©���ª(«;ª�¬E­8®�¯?°7±P²�³�´8µ;°?¶�·

¸E¹=ºG»%¸�¼3½§¾�¿�À8Á Â%Ã+Ä*Ä\½=Â�Â�ÅÆ

LISTATO IN C++

Ç�È�É Ê�Ë�Ì<Í�Î�Ï;ÐÒÑ�É Ë/Ó2È�É Î�ÈAÔ�Õ�Ô8Ö;Ô8×;Ð ÅÈ)Ñ¢Ï ÅÕ�ÑTØ7Ù ¸0º Î�È�Ú/Ø2Î Û Ü/Ý%Ï%Þxß¡à¢ß/Ý%ÏAÝ/È�àáÈ�Þdß/Ð?Ð ÅÖ¡Ñ�Ø�Ù ¸º Î�È�ÚAØ�Î?Î�Ï�àsÈ�àáÕ�Ð�â�ß/Ð?Ð ÅסÑ�Ø�Ù ¸º Î�È�ÚAØ�Î?Î�Ï�àsÈ Û Õ%Ð0â7ß/Ð?Ð Åã4ä%å É ¹ Î�æGÉ Ë/Ë ¸ Î�Ï�â(Ö;Ð4ç�Ñ¢Î�ÏPâ�Ö/ÐáèsèTæ�É Ë/Ë ¸ Î�Ï�â�×/Ð�ç0Ñ�Î�Ï�â?×;Ð?ÔÈ)ÑTÈ�àÒÌ ÅÕ�ÑTØ7Ù ¸0º Î�È�Ú/Ø2Î Û Ü/Ý%Ï%Þxß¡à¢ß/Ý%ÏAÝ/È�àáÈ�Þdß/Ð?Ð ÅÖ¡Ñ�Ø�Ù ¸º Î�È%ÚAØ�Î?Î�Ï�àsÈ�àáÕ�Ð0â�ß/Ð?Ð ÅסÑ�Ø�Ù ¸º Î�È�ÚAØ�Î?Î�Ï�àsÈ Û Õ%Ð0â7ß/Ð?Ð?Ð ÅÏ ¸�å ¼Aº ÎEÖ;Ð ÅÏ ¸�å ¼Aº Î?é Û�ÛGÛGÛ é�Ð Å Ï ¸�å ¼Aº ÎE×/Ð Å�¸0¹=º?»�¸�¼ Î2Ì�Ð Å Æ

Page 25: Fattorizzazione dei numeri interi

25

Fattorizzazione con il teorema di Bezout

êGë=ìEí�î¦ï/ð7ï:ñEòAï8óò�î¦í6ô8õ%ö;ò/÷2ï�øAñáù�õ�ú%øAû:í%õ ø=ñEí%ó0ò6í�ñ?óEï=ü;í�ó0òýõ=ìEí=ñEñ�ï%ó�õAô8õ�ø%þýú/ó0ï%ÿ%ë ò'î�í�����������õ í ��� � ô�í%ë=ñEò;ï�óò8î�í6ô8õ

ö;òA÷2ï ø§ñTð�í%ú�ú�õ í�î¦ï ù��Aò ð�ò ��������������� �"! #%$'& $�(*),+-) .��0/21436587"9�1:5��<;=1?>%@A7B�C�D.A�FEG�,/ H IKJMLON%L�(M)QPSRS#

T�U�V�W�X�Y�Z�[ \"]^U`_ a,b%b%c a�d^egfihSj _kUlZ<monp\,q r<s<a�t�u-j�v�wMj�f'e,x-v'c y%j%zMa�{|c e�x%cSj%v~}%� c fic wMa�x-y�e:a�j�v�a,}�j,xSy%egfihSj�}���a,b

w�zMeS�%c a6d�e<�

vuvp

b

upbvb

2411

02

−±=

=+−

�S�-�:�i�������������%�i���4���g���S�g�-�����%�����  �%¡��0�o��¢6£ �:�-��¤��¥£ ¦~¤g£ §%�����-¨6��¤��©��¤g�,� £ ��¤����4���-¤g£��������'£ ª%£ § £|��¤,§ �,� £�«�£��

�S��£i¦~�,�4¦~¤?£|��¤,§ �,� £i«6£|�A¬

LISTATO C++

­ £ �S¦�§ ��«%�����8�*«�£ �A¢¯®� ­ £ �S¦�§ ��«%����£ ����������¤��g¢°®6 ­ £ �S¦�§ ��«%�����8�*«�£ �A¢¯®� ­ £ �S¦�§ ��«%���K��¤��¥®�¢¯®6 £ �S����¤%£ ��±�£ �S�²¤%�M¨%¦'¡6¦S®S¤��k³�¤%��¨���´*µ�¶·«�����ª%§ ��¸-¡�¹-¡ ��¡k�'¡6�-º«�����ª%§ �©¤-¡ ª%º£ �S�6»*¡k£ º�©����º������º¦~�,�S���K��¼½£ �-���,� £ ��¦�£%���?�%�,��������«%¤�¾�¤S�M�*�,� £ ¿�¿�¤%��� ¼�º¦�£ �� � ���º«��·�©�À� Á Â|º£,��£ÄÃÅÂ�º¤��Æ Á ��Ç��4��±� Á È,³,�|³,�-¶¥ºª���Â-ÃÉ��Ç��4��±� Á È�³%��³,��¶�º

Page 26: Fattorizzazione dei numeri interi

26

ÊÅË�Ì%Í Î Ï:ХХРÑ�ÒÔÓ4Õ�Í ÖS×�Ð Ñ-Ò¥ÒÉزØ�Ð¥Ð�Ù-ÒÅÓ�Õ�Í ÖS×�Ð�Ù�Ò¥Ò¥Ò ÚÛ�ÜÝÞ Õ Þ ß à ÚÍ,Õ�ÍÄá à Úâ ÕoÑ|ã�Ð¥ä�å Þ Ò¥Úæ ÕÀÙ'ã�Ð¥ä�å Þ Ò¥ÚÊÅË�Ì%Í Î ÏgХХÐ�ç'ã â ÒÔÓ�Õ�Í ÖS×�Ð�ç|ã â Ò¥ÒèØ�Ø Ð½Ð�ç'ã æ ÒÔÓéÕ�Í ÖS×�Ð�ç|ã æ Ò¥Ò¥Ò�ÚÍ êèÐ¥Ð�ç|ã â ÒKÕëÕ�Í Öi×¥Ð�ç'ã â Ò¥ÒÝì Ü,íS×�îKî�ï êMÑS×M×*Ü,ð�Ï ï�îëî â î�îoï ñ Ö-ï�ÚÊÏ%Î ò�Ï?Í ê Ð�Ð�ç|ã æ ÒÅÕ�Õ�Í Öi×¥Ð�ç'ã æ Ò¥ÒÝì Ü,íS×�îKî�ï êMÑS×M×*Ü,ð�Ï ï�îëî æ î�îoï ñ Ö-ï�ÚÊì Ü,íS×�îKî�ï½ç�Ñ�ò�ò~Í ï�îKî�Í Úì Í Ö�ó�ó�ô�ÚðMÏS×¥í%ð Ö�õ�ÚÊ

Fattorizzazione con i logaritmi

ö Í Ñ ÷oølù ú û"üiÏ%ð�Î Ï:Ö�Ü�× Ïgç,ð4Ü�ç�ð�Í Ï-×Mý©Û%Ï,Í�Î Ü�þ�Ñ�ð*Í ×�ÿ�Í�ò�Ñ%ç�ç,Í Ñ�ÿ�Ü ì ÌSÏ ����������� ������������ �������������������� �

���������! #" $!%&�('*)�+ ���������� ������,�� - ��" �.!" ���������� /���������10�2�34��56������7���� ��������,89/

2)(

10nLog

a =

:;��+#<�=>�?'@"#" �.!�A'�+B$B'C+EDF'�$�DF+G"�H>$�=>=I��DJ"*',�9%&+

2)(

22

)(

1 10,10nLognLog

xx <> ����<�<," $E%K�L�*=M" N " OCOC$�DF+G" NA��$�DP$!%Q+�=MDP� � $ENA����<7=J�B.�+�N*R9" S?'@" =J$�=I� T �(.#+�N N $GDP$�.9" 'C+

- ��$A.!DF$A=>$B.!" � �+AR!N "�$�N R��!DI" =U%�"#�#D>+�'�+A.#+E *=V"���+�D�$�WA+�DF+X�# Y%�" REN " ��DP+G" �=>+EDZW�$�N N �(.#�AW�+B'�+�DP'�$�DP+GN +?<[��N ��O\" �! #"

Page 27: Fattorizzazione dei numeri interi

27

LISTATO C++

];^ _�`@a b�c�dYef`�g�h>c9a ^ i�j];^ _�`@a b�c�dYek^ l#g�hVmPd�n!oGj];^ _�`@a b�c�dYe;o&n�hMp q4p�j

b�g,^ _�rs_�nEoKd�gCtAn�`,dBg�hIcEu

^ _�hvoKn�^ _#wU^ _�h�n�m>r�`,x9`�p�nEm�y#n�mPr�z!{I|V}

~a l!_�rGc#l!b�i#a dLoQx9�AxE�Ax�t#ua l!_�rY^ u`,l�b�h;e�e��1^ _�g�dEmI^ g[`\^#^ a�_#bEoKd�m>lBc�n��>n�hPhIlEmI^ �C�Cn�mPd �Uu`*^ _sj;j�tAu�Y��^ _�hVwUt�l��&w�����x�a l#r��\��wUt�}P�[��}M}����@u�Y��^ _�hVwUt�l��&w��\�Ax�a l#r��\��wUt�}P�[��}M}����@u

c�l ~�Y�6� � �\u�Y�������,u^!��^ ���\u� �Qp#^ a dGw�wU^ _�hVwUt\�1��}&�F� wUt\�M�A}M}k�f��wU^ _*hMwUt,�1�#}��F��wUt\�U�A}M}k}Uu

`,l�b�h;e�e��J�Pn�hIh>l�mPd����e;e��Le�e�� � _#�Uu`,l�b�h;e�e��J�Pn�hIh>l�mPd����e;e��Le�e�� � _#�Uu`,l�b�h;e�e��1t�nAgCg,^4����e;e�^!e�e�� � _#�Uu

g7�Ag�h>d9o�wM���\���� 9¡A�M}Uum>d�hVb�mJ_G¡*¢£¥¤!¦� ���§§�¡� � �u

LISTATO PARI/GP

~ n�a r�l#¨EwUt�}��©a l#`�n�a wUt�xc#x9�Ax!��}Uucª��a l�r�wUtA}P��a l�rEwC�,��}Mu�L�«�Ja l#lEmIw[�,�E¬vc�}Mu�L�«�Ja l#lEmIwC���E¬vc�}Mu�&p�^ a d(wI�Va l#lEm>wUt\�7�A}&�¥��wUt,�U�#}��f�«�Ja l#lEmIwUt\�1�#}��P� wUt\�M�#}Vx�L�����&�,u�L��� � �\}Mut#mJ^ _�hJw>�A}1ut#mJ^ _�hJwM� �I�V�V� �U}Uut#mJ^ _�hJw>�A}1umFdAhVb#mJ_(wC�,}Uu �

Page 28: Fattorizzazione dei numeri interi

28

Fattorizzazione con il metodo della bisezione

­�® ¯ °�±³²�´ ® µ#¶�·�¸Q¹�º>»?¼�¯�½>¯�¾P¾J»�ºJ® ¿C¿[¯EºF¹BÀ,»�¶ ²!Á�´ ¶�·E¸K¹�ºJ®#Â�ºJ® ¸�®AÃU¶�¹Eµ*À�¯#Ä[»?Ä,®@Å�»#Æ!µ ® ¯B¾Vº>¯�¾P¾V¯�ºF¹X·#¶GÂ#ºP»!Ç#µ ¹E¸K¯sÈ�­AÉ�Ê[Ë

Ä,·#Â�ÂA»E¶�® ¯!¸K»?¼!®*À�»!¶AÄ,® ¼�¹�ºP¯�ºP¹ °�Ì Áf°ÌÍÌ Áf°Ì�±;²�Ìδ�Ì Áf°ÌÍ̱ϲ�ÌÎÌδ�ÌÎÌ

°Ì9ÐÑ°�ÐÑ°ÌÍÌAÒ�Ó�Ôs²�Ì9г²�Ðϲ�Ì4Ì Á ´�Ì�ÐÑ´6ÐÕ´�ÌÎÌ

»�ÅA¹ ²�Ì Á�²�ÌÎÌ Áf´�Ì Á�´�ÌÍÌ ¶#»�¶?Ä[»E¶�»L¶�¹�À�¹#ÄCÄ[¯�ºI® ¯!¸&¹E¶*¾I¹ ¶E·�¸Q¹�ºI®�Â�ºI®Ö¸�®�¸K¯BÄ[»E¶�» À�¹�ºF¾I¯E¸K¹�¶�¾>¹B¼!® Ä,Â�¯�ºV®�»�Â�Â�·�ºP¹�¾V·�¾>¾V®�¶�·�¸K¹�ºI®

Â�¯EºI®ÎË

µ × ¯�µ Æ�»EºJ® ¾U¸K»XÂ�ºP»#À�¹A¼�¹�À,»!¸K¹?Ä�¹�ÆE·A¹�Ø

Ù ÊfÚLÛ�ÃJ¯#× ×#Ü�¯�× Ê�Ý�Þ#ß!àLÛ�ÃUÇ#× ×#Ü�Ç#× Ê�Ý�Þ

áAâfã@äYå�æBç�æ�æ#è�éPê(ëUæ�ìBí9î ï�î ð�î ñ�î ò êXæ�êEé�ãBçXæ�ê�éä#â�ó

á!ôPõ\âkð7ê(ð,î*ö�ñ�ñ�î öE÷QçBøVéPç�ï�ö�øJçGò ö(ð[ç�ò è�ù\î çEúAê�öYå�ã�û�ñYå�ä(ëJç�æ�æ�è#éPê�ã ç�äAâ�ü*î ú�ê

á!ôÎá#â�ö�ò øMéIîÖ÷Kê�ú�øVî,ã�æ ý�æ

á!ôÎáEôPõ@â�ð[ê?ð,îAæ�ç�ú�î öE÷KçBö�þEÿPå�ãAû�ñ#þEÿ>å�äBê�ø>ç!éIú�î ö!÷Kç?ö�ò�æ�è#ú�øJç õ,â

á!ôÎáEôÎá�â�ð[êGú�çXæ�ç�ú�î ö9÷KçBö�þ þÎÿ>å�ã�û�ñ#þ þ!ÿ>å�äBê�øJç�éJú#î ö!÷&ç(ö�òAæ�è�ú�øIçGá#â

ò ö�ï�êEò ç � î ø���í�ê�ò ò þ ö�ò �#çEéVî ø1÷QçBí9î æ#ê�ú�í#ê?í�ö � ç!÷Kê?ð � ê��Eò î öE÷KçYæAþ û�æ#þ þ ��� êBç�ï�ï#î ö!÷&êEú*øIêBí#çAï�éFêEñ#ñ�ê�é>çBê�ðCð7êEéFê?ö�ñ#ñAöAð øIö�ú�ùCö

ï#î � î ú#î�öGæ#û�æAê�é�!è�êAð�øJçL÷KçAøMî ï�çLæ�ç�ðCð,î ö!÷KçLè�øVî ò î ùCù[ö�éPê � ç�÷&ê�>ö�ø>øIç�éJî*í9î#æAþ û�æ#þ þ

ò ö � ç�ð�öGæ�î �?ð[êE÷�æ�ò î � ê�ì � çEúAð,î í#êEéFö�éFêGæ#þ�å�æ õ,û�æ#þ þ�å�æ���õ�û�úAê�ò � ö#ð[çXî ú � è#î#æ(úAç!ú�ð,î öXè�úGú�èE÷Kê�éPçXæ�ö�éJîÖô

Page 29: Fattorizzazione dei numeri interi

29

����������� ���

��� ��!��"!$#&%('

�()��*�+!-,.!-�*��/��*/&#0%01

�() )2� ��! 3 !��*��45�*�6%7!84

��9;: <=/�#>,?�&@BA�/C�"!8DE<GF��2F-HEI :0�J��I KML$� �>FM�N!$D5�O!�#&%(/&@QP+<�1>,R!$4�@SAT/5� 'U<�HUI :6�V��I K�L$� ��FM�(@

W :29X� :&FMY;�Z�>:�)��\[�) P>:�) )&�\[�) )

L'approccio combinatorio - economico del problema

] KM:&9;^2� :2�_�`I :Na8����:7^&:bK&FN:&I Y=9c� �&K�F�YX�7^2� W � �VYX:�de�K&���M�2F&� :2�_�7^2�+�(�MYX��9f^2� �g�M��9�9B�N^2��h�2I YQ�>a8:�I a8�2I :MYX��9��+� Fb9 ��Y��5�5^>�

����Y;�&9`^2� �JYQ9Q� [�K&� 9B�iI ) �&F(��9=�_�ja8:&9�� a8�j^2���&I :�[M��9B:(Lg� �2FM�k^&:MYQ�-YQ9B:ml�KM�(�JYQ��a8�>����K�YX��9*�M��9nYQ9B� W :&9B� W ��I ��aT�>�_�&F�YX�iI :

����I K�L$� �2FM�E:&I2��9c�2[�I ���h:E^&��I I :6oB:MYBYX�29�� LTL�:�L8� ��F��U^>��p29B:�FM^2�2F&K2�_�&9���<Vq�e(r+@�d�M)2�M���T�g� [�� I �Es0t?��l2KM:�F�YQ�2�(au: W 9Bv5[&� ����p>F��Cs

�M)Ma8��F W �2F�� �&F�YX�0^&:�I��&K�F�YX�U^�� W � �JYX: �Mag��F(����� a8�Csue�� :CFU� I2F&K2�h�29c�E^&:�o;:MY;Y;�29X� LTLT:&9B�>d�wx�2[M:(��:6YQ9B� W :&9;�EK&F0oB:MY;Y;�29B��d�yz�&9

{g��9=�_:�Y|��:&�&��� :��h�Ea�}M��K&FM:E���2I KML$� �2FM�6^&� W �6���T�J��9B�5�u� F(�29B�U^��&I I :�9B:M^�� a8�Ul�K�:�^29B:�YX:6^>�2F2d>e2� :0:�I I ��9B:0~�� I2F�K����&9c�E^��

a�� o�9B��^&��I I :U9B:(^�� aT��l>K�:M^�9;:�Y;:�^��&F2d

� ���S�Z���+�N�x���C�����M�x���M������������>�c�7�G���V�

� �k���+�7�x�������?�M���`�+�c�Z�>�&������|�T�>�Z�M���c�x�S���������c�>�&������|���>�J�x��� ���|�x����+���x�7�2�f�&���x�\�>�x���&�S�x�S�S�?��� +���(���V�¡���¡�x¢

�&£Z���Z¤��+���(�+���M������J�����5�+�x¥� >���c�>�V�+�G���x¤���������M��Z�+�7���N�Z¤���x�����¦�J§C���&�J�Z�n�Z�+¢

Page 30: Fattorizzazione dei numeri interi

30

¨ ©«ª(¬�­M®¯Z°±�®N²J³�´�µ�¶�³7·�¯+±�µ�¸�°�±&µV¬x¹`º�®�»

¼¾½�¿�À+ÁNÂxÃ�Ä2Å�Ä�Æ�Ä�ÇJÃ=Â�Å+ÂxÈ�È�É5ÃGÉZÅ�Ä�ÆMÂ�Ê�ÀZÉZÅ�ÃGÉ>ËVÉ�Å�Äx¿

¿ ½ É+ÌN¿�À+Á5Â+ÃVÍ5ÅxÉ�ÇGÉ�ËVËVÍÃTÄ�Î(Î(É+Ã�Â

Ï>Ð+Ñ�ÒCÑ�ÐNÓGÒZÑ�ÐZÔ�Õ�Ö�×ZÒbØxÙxÚ�Ù�Û«ÜÞÝ&ß�à.á

â2ã�äRåOæNç�èZé�ê+ëNìxí�îCï+ìxècè�ìEï�ç�ð�ñ�îZð&ç�ò&ç�î�é�ç�óMîébí�çcñ>ì2ôTç�ò2ç¦îéZìEïç�â2ãné�ê+ë5ì+íJç�ð�êbõ�ñ2îxð�ô8ç

öN÷�øxù�úzû�ü*ý+ø�þZûVünú�ÿZú&ÿ�ö��_ÿ����(üxúzûJü��Nù�ÿ�ü ø�þ�ÿ¦ûJö��ÿ�ü���ÿ+ü ?þ�ÿ���� ü�����ü���ù��>ö��Sø>ûVö�Vù����Zù`ÿ����Müxú�ûVübû�ü>ûJö���ù��xù+ÿ

��*ÿSþ�=ù>ûVù7þZüþ5ú�ø�ýZù��ÿ ø�þZö��Mù�=ûVö��>ùxþ���ù��JÿSþ�ÿ�ûVöC÷�øZüxûVöCü���û �ù���ö5÷øZö���ùNþZüþ��(üþ��>ù�!Gù����>ùNÿ��bý���ù�7ù�þ>ûVö��ù

"$#&%�"'%)(!*+�,.-!%0/�+1-32�4651798:5<;>=@?�A!"$?*."'#&AB,�(C(!D�EC*F(!*�+�G�D�;IHJ7KH�+�,�LMGN*�EBO�PQRD�OSO0D�E!EC*TA!"'%@%@,�EC*U/�?U#V"'+�"W(X*

+�,%S%0"�+�DYEC,�Z["\D�?*�]�D�#\*^D�#_( EC*`"�#[a�/,�#\*`?D�?YP,^%@*�?%�D�,�?b�,�EC*�;64[D�?%�"_b�*�EC,�?b�D�(c/�(!(X*�a�/*�%S(C*^O0D�?b["\de"'D ?�"

GND�%@%e"\,�+�D�G�ECD�Z�*N(C(!,�EX*�/�?�%0"'%)(X*+�,�b["NOS,�#\O�D�#\D�b["\%)( E�"�f�/�"\(!D

Fattorizzazione e ricerca operativa

gih�j�j<k l�mnhpoSq�reqestqvu q:wch0j�qxl�ySw)z@qxrel�{�yxleu |}s~h��0{�y@|th:rNk)o0k j�|tl0�rel�u0�0{�y@|th:rNk�o�k jX|�lxreqeu u l�stk wcqes~wclxh��Sq�s~l@|3k o�l

� �0sth��Ns~lNmpm�l0�ck hNy@q�yShNyvu k y�qSl�s~q0�����}u0yShej!|3s~h��esVhN�0u q�m�l:r�k oSq�y@|tl�{eyv� sVhN��u qNm�lxrNk��esVhe��s~lmpm�lS��k h�y�qvy�h�y�u k y�qSlestqpl

o@l�s�k le��k u kek yS|tqestq�

Page 31: Fattorizzazione dei numeri interi

31

���e�S��� ���S�x���e� �S�~�3� ��� �������x���

 @¡�¢�£ ¡e¤�£ ¥ £'¦ ����§����

 0£ ¨�© ª�¥ £\¦ ����§����«�¬�­�®V¯N°X­�±�®

² ¡e³0³�¥ £ ©c¡�¢ ² £�´ ²@µ ª0¶N£)¶ ² ¥ ¥ ¡�¢�£ © ² ¢t© ¡xª�³ ² ¢~¡ µ £  S¡ ²�· ª¸£@¹�ª0º µ~» ¡0¢ ²:¼ £ ½�³e¢ ² ¶�£ ¹<³@ªe¹ µ £�³ ² ¢�¾N¿ ² ¹ µ ª µ £ ³�ªx¶�£�³e¢VªN¤e¥ ² ´p£

Page 32: Fattorizzazione dei numeri interi

32

Fattorizzazione per differenza dei fattori

À�Áxyp = Â�à à Ä�ÅVÂxÆ�Ç ÁeÈxÁ)É�Ê Ë0Á�È)Ì�ÁxÍiÎSÁ�Ï

22

0 −<−< pyx

Á0Ð Ð!Á�È@Ë Ä�Ñ Ê ÃeÒ0Å ÊWÓ Ä�ÒSÄ ÐcÐ<Ê Ç Ê Ã ÁpÔ Â Ì~Ì Ä�Å ÁvÕBÊ È@ÖeÁ�ÈSÁ ÅtÂeà Á

Ò@Ä Ð�Ð<Ê Â Ó Ä Í Ä ÈSÐ<Ê ËeÁ ÅtÂeÅ Á  È�ÍiÎ�Á qqp − Ä ÉSÁx× Æ Ì Âeà ÁxÍiÎSÁ�È Ä ÈpÁ0Ð<Ê Ð!Ì�Á�ÈSÁ�Ð Ð<Ø0ÈpÔ Â Ì�Ì Ä�Å ÁpË�Ê Ò ÓÙÊ È Ä�Å Á Ä Ø�Ö�Ø Âeà Á  ×�Ú

Û Å~ÂÝÜ�Þ�Ò<ßCà Á Ü á à�Þãâ Ì Å~Ä É�Ê Â Ó Ä Í�ÎSÁ02 =−+ pyky

Í Ä È2

42 pkky

+±−= Ë Ä ÉSÁ Ò�Ä Ð Ð Ê Â Ó Ä

äcå�æ�ç<è éeê�ë~ìeë~ê�í�äië~ê�ç äcêeæ@î�êðïBí:ñãò�óõôcó�öSó6÷�øùåxé�êSäië~ê�ç�äcê�æ)î�ê:ï!ú�ñYû�ü ö ý þSÿ������ � �cÿ����

�� �� ���� ��� ������� � �������! "�#���$ % &(' �*),+ & ÿ.-0/ � ��1$� 02 =−− pxkx���$�

242 pkk

x+±

= 12���� ) �2343�� �����

���5��36� 12 5 7�2 7 � �8 7 �34�� 2�#�9 ;: ���=<�ÿ>�cÿ�þSÿ��? ��15 ��8 7 �3@�� 5���A �:CB �*),+ þ ý þSÿ������ � �cÿ����

D �5�8E"�#�%�A���8F� 22/0 −<−< pyx ��8F�

pyxp <+<2�G 7�#�5� �$�H��E7���8� �I�� 5�#�" ���F#

143 −<< pxp J

K ���8F# L� � -�/ �3C�A�����M3@�N3@ �3O�P� �$�Q�R�G 7�#�"�9�2��1M� / � ) 7�5S2� 0�H�UT$� K ) �$�5� ���H� Wpkk

x >++

=2

42 ��F# ) �0 V�"�W�

02042

<−>+

kW

pk / �M� �9���

0204

)2(42

22

>−>+

−>+

kW

pk

kWpk

3@ W

pkkx >

+−=

242 F�����F�

pkWk

Wk

4)2(

0222 +>−

>−

�# $������3@�U� ��� / � Wpkk

x >+−−

=2

42 �$� � �5 7�pkWk

Wk

4)2(

0222 +>−−

>−−

Page 33: Fattorizzazione dei numeri interi

33

X�YUZ [#\!Z [�XW] ^ _2] `aZ bHcWd�e�f@c

Wpkk

x >++−

=2

42 bRZMg�c5h%`9eRe

02042

<+>+

kW

pk _2[MZ `9c�e

22

2

)2(4

0204

kWpk

kW

pk

+>+>+>+

Page 34: Fattorizzazione dei numeri interi

34

LISTATO IN PARI/Gp

i,j0k l%lOm�nao�prq�s t�u�v2s naw,x�y#x�z�pa{w�q=|M{yUq*n } w�~*�O���%�AnGw#�>��~��$�2oMpGp7�@�M{zUq*n } w } �@�$�7�Anaw ���0~��5�$o�pGp7�4�M{��� k s �Wn9�!�!�2��u�v#�"�5nao6�PyMp?�%q=nao6�ay�p>�����!�A�M��u4v��"�Mnao8�Pz�p��%q=nao,�Gz�p�xw�q�w#~?m,{yUq*n } w�~*�O���%�AnGw#�>��~��$�2oMpGp7�@�M{zUq*n } w } �@�$�7�Anaw����$~��5�2o�pGp"�4��pa{oM�Ak ���An"y�pP{oM�Ak ���An"z�pP{�%���!�M�A�2n4m6pa{A�

Fattorizzazione per individuazione dell’intervallo migliore

� v$�V�"�5��j2t�j2v2s s v��$k ����t��9vW�"� s v��,k t5���xy

yx >+2

22 ��o�t$���2��j2tRy�q�z0~�vRv5�A�Ak �Mk v$�HtWv��Ak �Ct0s ���2�"�W�5�#v�j$k �@���0�#vM�,k t0�#�

j$k��C��u4t0�#j5t��0�7v�j2tLs �Ru��2k��Ct0s ���6k t0�2k��@t$��t��

24 2apa

x−+−

> 24 2apa

x−−−

< u6t5�

04 2 >− ap

� �2s s � k o�t��9�M�6k�k ���#�Mu��Ru � �y�q z } v � t�u � �

24 2apa

x−+

> 2

4 2apax

−−<

u�t$�04 2 >− ap

¡ sMo5�%t$¢Ms �0��v�£�u�v2o2k �7���0��v5s ���#v$s t0�%��j$k#v�v��4�@������v2�%�¥¤ � �5k�o2�7t$¢2s �0�k2¦0§�¨©s ���%v�j$k u8k���t0���@t$��tL��ª�G�7t5o2o�t�5k u,k ���R�G�7vs t$�%tU�#ªR�G�7t$oMo�tUs t$�#�9v2�#���0�5k ��j$kM�M��¢5��t$�«��v2s t0�%��o��2��v�o�t��G�"�2¢2¢����M�@�@�5�7�

pa ±=

§��A���4�Ct�j0k �4u6t5�"�@t��@�Wo�v2�%�!k v0��t�j2vpyx 4)( 2 >+ �

o#�$�¥y�q�z } v�t��7�A�2���2t�u � �22

,22 pa

xpa

x−

<+

> o��2�.y�q�z$~�v22

,22 pa

xpa

x−−

<+−

>

Page 35: Fattorizzazione dei numeri interi

35

Teoria dei grandi numeri

¬�­�®°¯�±°²�­.³#³2´Vµ¶´¸·¹¯Lº¶¯0³#»�´V¼a¯°´V½°¾�½¿½�­�¼C®ÁÀ�·¹¯LÂ�À¶·ÃÂM­¶·ÃÀ0»C­�¼P¯Á½�¾¶®¿¯.¼@´�®°­�·Ã»O­�º�¼PÀ¶½¥Ä�´ÆÅ�Ä�´ÃÂ2´¹À¶®°­ ½�¾¶®°¯.¼@´.´V½�»O¯.¼@´

Ç È0É�ÉÁÊ2ËÆÌCÍPÎÁÏ Ð.Ñ�Ò0Ó Ô$ÕHÖL× Ø Ô2× ÙMÖ$Ú!Ó ÛaÕQÖ�Ü�Ö0ÝWÞ5Ý�Ñ�ß@Ñ$Õà2Ó ÖWÑLà�Ö5Ó�ÙMÑ5Ý#Ñ$Ú%Ô2× Ó á4á,Ó Ô$ÕQÖ�Ü�Ö0ÝWÓ ×8â"Ö0ÚGÕHÔ2× Ó ß8Õ�ÖÁÕHÔ#Û9Ñ0ÕHÔ#ÛGÓ Ü�Ö

ã Þ2à5à#Ö0ÝMÓ Ô0Õ�ÖWÒ$Ó�ä�Ö$× Ñ5Ú�Ü�Ô2× Ü6Ö5× Ô2Ú"Ñ å�æ�ç0è¥é�éëêìç5é>ç.æ0é

í@î2ïMï5ð î0ñHò�ó�ô#õ�òMö¥÷MðM÷5ø$ñ�õ$ù%ò�ð ÷�ú"õ5ù7òLû òUï#ò2í�í6ð î0ñHòWí@ó,ùAð ü�õ5ù%õU÷#õ$û û î�í6ø#îL÷#òMú"î�ý,ð ò$÷�õ�ï�ò$û ð ÷�ò¥ñð î2û õ¥þ

)44)(123( 2 +++ xxx

ó�ò5÷Rÿ������

������ ������������������������������ ��"!#$��%&����'"����!��(�)#*�+"!�,�.-�#�%/�������� 0#©ç¥æ1���-©æ©ê æ2#*� 0#©ç.æ 3 4�ç.æ*���-

ç)5"6«êìç)5 47�#�%8�9�+�#):;:<���=��#!'���9-#"�'�'��>��!"�(�����%?�-���&�@ A�=��������CB ��%<���/��#)�7���D�1��-�A"�� ç)5 9�)�'#�%?

��# ��E�E��.������+�#):;:<��� ��#�!'�7�9���' � ���"%/�9�A �A�����,�©ç,5��=� �F*�'-�#'��#�����. ç.æ ê ç,5HGQæ2���,%/�I������� ç.æ êKJLG�æ

�9#�%8�'"�9�+�!'���C!�A��%@#*�*��#��(������:@���+��%&#*#2��%/��-�A"%/%&#1��-�A"�� ç)5�:<�C!'�,0M$��A'�<����)�+#):;:<���=��#�!'�7�,-�#����9�����!��(��

��"!(�>!�E'�'�+# ç)5"6

ú!ù"î2û îMí@ó8ð î$÷#òUð�ï�îMí@í@î�ö2ö$ð#î,N NMð î0ñQò�ó8ô�õ 42141 234 ++++ xxxx ó8ð òDO ç5é�ç¥æ0é ó8ô�õPO�û î�íCò0û ø�ý,ð ò�÷�õ

Q �9�+�'�� -�#������2�+"�R����F$��!�D�%;������S1�+#�(���C�.�D# �9#�%&�,0'M

Page 36: Fattorizzazione dei numeri interi

36

56344123 22 ++=++++ xxxxx T U�V�W*XZY�[�\^]"]K_`X"a�b ced f�g�h+i$j�i)k�l dnm/o9pnpLdPm/iPg7i$fDirqso=m�m/iPm<tudDtuo

v=w m/oDx9fDoPd�y kzi9pPp{o}|=oDy ~�t�o$k w |'~ kskzi w g�oDi+qCq w g w i f+t w | i,l=j�o9l w f=o'p w o w f v d=m/i$l � d k w t?p�i+t w g7d2pLo=|9~ l o����=�

������ W�U��9TD�'��V ��� �C�I� � U.�;� ���?���� �2� � � � �"����� U

� ~+i=m<tuong w j�i)kep�i�tztsi,kC�P| w j,kuoDx9kud)pPpLd,kCi$~ fPg7d l g7o)l d�tuo9kzi$jDi k�qzd,kzx9l w g7o'p�j w i kuiro9j�i kzdD� w o)f w p�o,l tsong�o9p�j l i m/m/ing�h+i2~,f

f�o9kep�d l i1����f+o'fnk w ~=m/g w kzi v v i}drqzd kui)�9�ef�qud�tut w | d l l � d,l x,i v kzdri,l i)pLi f�tsd kziPiDm w m<tuo)f+oPquo,k;p�~ l ing�h�inx=i f+i,kzd l w ����d,f�o1l d

m/o9pPpLd=�"l dP| w q�qui,kCi fD�/d$l d*pLo)l t w j l w g7d+� w o,f w i$l dP| w y w m w o9f+irt;kzd$j+o,l w f+o9p w | w�� ~�d)l ~,f � ~Dirx'kzdD| o

∑ ∑ ∑= = =

+=+h

i

k

i

kh

i

iii

ii

ii xurxuxr

0 0

),max(

0

)()()(

∑ ∑∑∑+

= =+==

=kh

j

j

jpipi

k

i

ii

h

i

ii xurxuxr

000

)(

T+�'�+V�TDV � ���$��U �&� V����� 

��¡=��¢*£¤��¥=��¦�§ 821724

53

2 +=++=+++++ xxx

xx

x

�el T+��+V ��� �C��� � U.��U��DU�V �� ¨ ~ f$j�o)� �uj w © g7o9pPj=l i=m/m/ond,f+g�h�i$m/i w f}kCi=d l tu�$~ f+dr| w y w m w o,f+i2fDo,f ¨ d l tekuoPg�h�i$~ f+dnm/i k w in| w

m/o+tzt?kCd+� w o,f w g7o'p�i}~ f+d*p{o9l t w j,l w g�d=� w o9f�i$fDo)f ¨ g�h+i}~)f+dnm<i,k w iP| w m/o9pnpLi

Page 37: Fattorizzazione dei numeri interi

37

Ipotesi di Goldbach

ª+«1¬�­9®�¯�­�°±<­2±�²&«±&±@«³ ´�µ"°�­�°µ�°�¶�·�«$¸­�²&«1¹�´>º�µ¬D±�²?«'³)´.µ�°­*¹"­�·C·�«1»+µ�°®�­)±<±�¯"²&«�¼�·�«*»Dµ�°®�­9±@±7¯"²&«�°�µ�°�¶1¬�±@«±@«

«�°»+µ�²&«½¹�´�º�µ�¬�±�²&«'±<«�¾Kº�«½¬Dµ"·�µ¿´>·À±@­�°'±@«9±7´I¸'µÁ¹�´�Â?«�²&­½«�·�» ¯"°"´P²?«'®�´�µ�°'«�º�­�°± ´P´>°'±@µ�²/°µÁ«�·�·�«Ã»Dµ"°®�­9±@±7¯"²&«

¬�±@­9¬+¬�«"Ä

Å�ÆÈÇ�É�Ê8Ë{Ì Í�Í�ÎÐÏ�Æ{Ñ É¤Ò�Ó"Ô Ó"Õ�Ö�×�Ø&Ù`Ú9Û"Ø@ÔÜÖ�ÛÒ"Ò�Ô�Ù�Ø&×ÞÝ�ÔZÝ"Õ× ßHà+Ù�ÖÞÖ�ÛHÛ�áâÚ�ÔCãKÝ�Ô�Ý�Õ×äÓ"Õ�Ö�×�Ø/ÔÜÚ�Ø/Ô>Ö�ÔÜÓÙ�Ó

Ó×9å+×9à+à�Û"Ø/Ô.Û�Ö�×�Óæ<×*Ý�ÔIç'×�Ø&à Ô,æ�Ø&Û�á�Ù"Ø&Ù

è+é�ê ë�ìPíuî)ï�íuð+í;ê ñ�ì}ò)ê�ò'ê ëLì,ó@í;ézð+ô�ê ì)ï�î

õ ê ðPò ð+íuð$ö ðr÷eø ï�ô�ê ì,ï+î*èDù,ê�ò9ê�î9ø=ö î ézì)(qϕ ú�û+ü*ý�þ�ÿ �$þ �����)ýLü����nÿ'þ��þ ýrþ�ú����� �ýÀþ �����eþ�ÿ'þ� ��

������� ú�þ � ü������� � �züPú�û+ü

���)(qϕ ��� ü)ý ��Cü! � �sþ� �� � � ��� "��ü � þ �

# �1)( −= qqϕ �$� ü% � ��sþIý&�

')(+*�,�-/.1032+.�04.)*657-987*:8;*�,�-&<".4(=0?>)*@-A2CBED$F�GIHKJML1N=O1P�JRQSL1G�T

U�T7V1W�WOIXYJZVIX[Q]\�^"G`_�VbacF=dfe]g"G�HhV�ijF�iSe`FIH6JMXYJ

Page 38: Fattorizzazione dei numeri interi

38

k"l)()(2 11 qpa ϕϕ += mSnonSmIpoq�rhs[t"uIr6v�wEx�q1pYtIryqozZuEx�sSp`pou]{=v�{=m"q|nImIp[q�r6v�t"uIr6v

1)( 11 −= ppϕ }$}6~ 1p �!������&��� 1)( 11 −= qqϕ }$}6~ 1q �!������&�1��)� � �����

�Il112 11 −+−= qpa

� l11)1(2 qpa +=+ �"q�rhu

� l t"q�rKv�n1{)m"��vZs)n1q k u���tj�f�`t"q�r;s��)nSv�uo�yu"{[s��)nIv�uE��u�p���v�q�rhuInSn"sYt��S� l

�=�� )¡�¢C£?¡/¤+�1¢+¤�¥4¤)¦6§K¡9£7¦�£?¦�¨©¡C�"¤+ª)¥?«I¦¬¡A¢C� �y{=v­pos1x�®�rhu"��vRs)n1q!{)v�r¯q�®y®yu l

° � ��±]²³��´�µ���±©��¶�´E���·� � �Z��¸¬��}$}¹� ���º�%��±�µ�»�~%µ$�"±�}¹� ¼�~�������~!±!²¾½���´|��~��¿µ@»�À )()2( pqpq ϕϕ =

)(qϕ � }6~"�A����~������·��~ )()()( qppq ϕϕϕ = ��~���µ¬»�À]ÁKÂSÃ=į��¶�´�ÅK²cÆ

1)())1)(1()()()( ++−−−== qppqqpqppq ϕϕϕ

1)(2)( ++−== qppqknϕ

t��?� Ç È k�É �Êt=�3��qY{Iu"®Ës���Ì1q�t"�?� Ç[w�t�uSr6v=t1q�rh��Ì1Í�t"�³w�{)v�xt�r6v4t"�4� Ç È k�É w�t1uIr6vjt�qIr¯��Ì"Í�{=v�ÎÏίqIr¯qSn1��uY{=v

nSmIp[q�r6v1t"uIrËvZ���=mSv­n1{=v1t"�+� Ç È k�É womSn]�Iq�n1qIr6vR��sYnSmIp[q�rhs[t"uIr6v���Ì1q w�x�sSpYpouE{=v�{=m1qot�rËv­pYv�t��Iq!�=Ð

Page 39: Fattorizzazione dei numeri interi

39

ÑSÒhÓEÔ=Õ1Ö�×�ØËÑÚÙ�Û1Û�Ü�Ý=Û�Ù�ÓoÕIÜ1ÓE×�Ø�Ò¯Ó1ÝIÓoÞ�ÖIÒ?Ù�Ñ�×�Ø�ÒËÕSÛ­ÒhÖoÜSÕIß[Ö�Ò6Û�Þ1Ò6Û­ßYÛ¿à

ÒËÛR×�Ñ)á�â�Û�Ó�ßoÑoÛ�á�×�Û�×�ØyÖ�ß[Ó

Þ�Ô?ã ä å æ�ç`è�ß Þ4ãfÔ³ècß

Ý�Ñ"â1Ö�ßêécÕSÜ�ëIÖSÜ1Ö�Ò6ÛZÙ�ÑìÜSÕIß[ÖIÒ¯ÑìÞ"ÓIÒ6Û7ÖcÞ�í&Ôc×�Ñ)Ü�ÑìáRÖcÛ�Ü"Ù�Ñ�ë)ÜIÛRØËÖ�ßoÖIÜ"عÒÏÖcçîécÕSÜïÞ"ÓIÒhÓ�ß[Ö"Ø$ÒhÑìÛMÜ"Ø6Ö�ÒhÑ)ð

ñ â"Ñ)áRëSÖ�Ü1ÝSÑ[Û�Ù�Ó�áRÙÑIáMÛ�ÖÚáRÖ!ÑSÞ�Þ1ÑSÒhØ�Õ Ü�Ö!×�Ñ�×�Ø$ÛRØ6Õ1ò�ÛZÑ)ÜSÛ�Ó�óIó�ÛRÓIßÚÑ

8442

844

,012

2

2

2

+−<

−+−±=

−==−++−

mmk

kmmmq

qmpmkmqq

ô]õ"ö�÷�øËùûúYü�öý�ùûúoþ�ú�ÿ���÷����&ú[÷�ø$ø6÷���÷�� ý�����ô�þ�úÚþ���øyÿ� ö�ü�ü�ô��¿÷[ö�ýÚô�ü�ü� � �¹ô�ù � ÿ�ú]ùûô ÷�����÷Yü�÷��7ú���ý�� ý�ö��º÷��ú`ü�ô���������

�÷�ý�÷���� ô� �:÷�ý�ú�þ"ö�÷¾ý�ö��&÷��� ü��3õ/ü�������������� �� ô�ý�þ�úîü�÷�� ù�ö�ù�ù����4ü�ô�� �=ô�ÿ��÷��ºú�ù�ö�ù¿ù����+ý�ö!�&÷���+ü���� �"� �$#Ïý%��÷ô� ù &'� �4ø(�

��÷�ý�þ�÷*)�÷�ýÚü���÷øyùûú+�@ú�ý�ùûú,����÷+�$ú�ý©õ"ö�÷�øËù¿ú]ø-� øËù¿÷��:ô�ø-�ú�ù¿ùû÷�ý.��ú�ý�ú[ý�ú�ýEø6ú ú� ÷,��ú�üü�� ÷Eþ���ü���� ���!�ºô!ô�ý.����÷� ÷/��ú�ü�ü�� ÷

þ���þ�� ø�ü�ô�� �� ô0�¬ö���ø$ú��0�ºô�1,�32�ø-�¬ÿ�÷�þô!ü�� 45� ý0)�ô�ø$øËú, 6 � � ü�ú�øËù¿ô�7-� ú�ý�÷���÷�ú��º÷�ù���� ��ô�þ�÷�ü��ú�)� ÷��&ô�8

Ö�Ù�Ù�Ñ`á:9 ÓIÞIÞIá�ÛZÙ�Ó�Ø$ÛZâ"ÑoÛ�Ü*;7ã ãAà

< � ý=�� ö�þ�÷�>4øyùûþ�� ú?�@��A< � ý=�� ö�þ�÷ >B� úøËù���÷�ô��5�C�!A< � ý=�� ö�þ�÷�>$�&ô�ù ���@�!A� ý�ù��ºô�� ý�2D� ý�ù=ô��E���-�!�=��ô��GFô��H��ÿ�I J�8K ú�ý=��þú"ö�)� ÷�ü���õ��L�M��N�O ú�ý=��þú"ö�)� ÷ ÿ��?PQO� ý�ù�� �"ùû÷�� ü�O��ú�ö�ùR>$>TSU� ý�ø6÷��� øV����öý!ý�ö�º÷���ú!ü�ô�� ��SDO��� ý�ARAW��O

Page 40: Fattorizzazione dei numeri interi

40

X�YWZ [=\�] ]D^�_.`a]cbMdfe�g h ij�b"k�i�g:lVm�gUno�_pq Yr]VbskTt q!u \�]D^._�`Q]cbMdfe�g h ij!b"kvi h mj�Xwg gHlxe�n^,Yr]Vb h t q�u \�]D^ _�`a]cbydHe�g h i�j�b"kvi h m�j�Xwg gHlzenX�YWX h {wn|}`y~�Z � �/] ] q�� YWZ [=\�] q g g�� � ]U^ � YTZ [=\�]D^�g g g�n� Y�b h q n`�Y�b h ^�n� _�=\R�$�T���E�=\E\ _ u � �Q�R�T^*�$�r� � [��Dn� _�=\R�$�T���E�=\E\ _ u � �Q�$� q �R�r� � [��Dn� _�=\R�$�T���E�=\E\ _ u � �Q�$� � ���r� � [��Dn� _�=\R�$�T���E�=\E\ _ u � �Q�$��`��R�r� � [��Dn� Z [��R�r�UZ [�tz� u Z t � Z�[��by� u _+�a�$� \���b�^�nu �=\ � u ["��n|

� Z�^=_�txtV_�[._ � _�tz\ u ��Z u ����� \ u Z�^ u _�� u �!b�b�Z � ~.��tV_�[�_ � � u Z ��[�\ Z=��[ � ~.�,b�Z �!� Z _ u Z�o�Z q �.��tc\ �0]c� � � _^�^�Z �"o��Z�[��ba� u Z�\ u _ � �=\E�

[=_�["tx_�[=_�[.� � ��txtz� u Z ��by��[.\E�,^ u Z�by��gV��� ["��� \E� u [.�.\�Z � ���0tV�b�^ u �/^=_tVt-Z ��Z � �/^.� u \�Z u �0o��/�[/[���by� u _,^=� u Z=o�Z � Z ��by_/e�b��

^=_�Z=tV_�\H\ u � u �:���w���.����� ��� ¡f¡¢¡ £�¤=£H£�¥�¥.¦�¥ §(¨�©���¥=�"ª(«�¬.£��E«­ ­ ©��E�5¨�«¥�­ ��ª(«¨�¨�¥ ��ª-«�§c®«.£E£ ��¬�¤�£ �!¡

¯ ¥�¨=«�£��E��°�°=�/¤�§V©�H�/­ ± ��²�¤.©�³-¥ «�¬���¦�¥=§V�.ª(«�¬.¦�«0´��H©.¦�«

02 =+− psxx2

42

2,1

pssx

−±= ª(«�¬

4

2sp <

²�¤�¥ ¬�¦�¥�¨�«§z§-¥ ©�µy«/§xªw��¥ ¶����H�/¤¬/¨��E«�´��H©�µ"µy©�ª�·=��©�ª-ª(�=£E£ © ¯ ¥ ¬ ¥ ¬�´��:��§x§(«0ªx«?µa�+¬�¤�µa���:«,¨�©�� ¥ �/¥ ¬"«�¤�£D¨�¤=£¸ª�¥=¦�¹

ª(«¨�¨¥ ��º��!»"ª(«¬�º�¼G»,½r§

¾ ¥ ¬=ª�­ ¤.¦���¿v§c£ ¦�¥ «?¡@·�À¾ ¥ ¬=ª�­ ¤.¦���¿$µa©.£ ·�¡@·!À

Page 41: Fattorizzazione dei numeri interi

41

Á$ Ã=Ä�Å Æ.Ç�È�ÉB Ê�ËzÌ�ÍHÈ.Î�Ï5ÐCÑ!Ò Ã=Ì�ÏyÎ� Ã�ÓD Ã≠Î�ÍEÔ�Ä-Õ!Ä=Ñ=Î�ÍGÖ�Î�ÍHÔ.×�Ø Ù�ÚÛÇ�Ê�Æ�Ü�Å È�Ý�Õ�Þ�Õ?Î�ßÅ Ê�Ã=Ô+ËxÕGà�ßÄ(ÊÆ=ÌRÉ$ÉTáU Ã�ËVÈÍ� ËVÄ�Â�Æ�Ã+Ã�ÆÏyÈ�ÍHÊ+à.Î�Í Â�áDßÄ� Ã�ÒRÒ'Ë(ßâ Ê�Í ÓDà�ã� Ã.Ì�ÓDà.Ê�äQÓ�ËxÕ:å�Ú æzç�Ú ß�à�Òvè�ß�à é�é ÚÛÝ,ã%Ó�ËMêTËVë�ÍfÌ�ÓDà�Ê�äQÓ�ËVÕHå�Ú é çÖà.Ú ÚHæxå�ßÞ,ã%Ó�Ë é ËVë�Í:Ì�ÓDà=Ê�äQÓ�ËxÕ:å�Ú é ç�Öà�Ú�ÚHæxå�ßà,ãTà é ìwß â ÓEÝ,ã$ãW Ã=Ì�ÓEÝ�ÚvíLí�Þ+ãRã% Ã�Ì ÓHÞ.Ú ÚÛÄ(ÊÆ=ÌRÉ$É�á é�é�é�é�é�é�é�é�é é é�é é�é�é�é�é�é�é�é�é�é�é é á}ÉRÉTá î Ã�áDßÄ(ÊÆ=ÌRÉ$ÉTá$ÃÆÏMÈ�Í:Ê�ï áQÉRÉ�Ý*É$ÉTá î Ã�áDßÄ(ÊÆ=ÌRÉ$ÉTá$ÃÆÏMÈ�Í:Ê�ï áQÉRÉ�Þ*É$ÉTá î Ã�áDßÄ(ÊÆ=ÌRÉ$É�á é�é�é�é�é�é�é�é�é é é é é�é�é�é�é�é�é é é�é�é é á}ÉRÉTá î Ã�áDßðð

ñvò óLô�õ�ñvò ö�÷vñGøzùúõüû�ø�û$ø�ý/õQþ�ñ�óG÷�ôGøwõ�öaò/ÿ���������� ������������������������������� �

Ä(ÊÃ�Ë- Ç�ÈÍ� Î�ÏyÊ+Å ! Î�à�à�Í:ÊÄxÄ� Ê/Ç�È�Å Å Î�Ç�Â�ÏyÊ�ËzÌ�Í:Î#"w Ê�Ã.È5à�È�ÍGÎ�ËxË-Æ�ÍEÇ�Ê Ð�Ë-Æ�àà=Ê�Ã� Î�ÏaÊ/Ä� Ê#$�Ç�Â�Ã�È.ÔÎ�Í:È/Å Î"Ì È�Ë-Â�Ê=×=×.È�Í:Ê5ÄwÑ=È

È�Ë- ËzÌ È/Æ�Ã+Ã�ÆÏMÈ�ÍEÊ/à�Î�Í Â.Ä�Ñ.È+Ã.Ê�Ã5àÆ&%0È�ËxËzÈÍHÈ0ËVÊ?Ï�ÏaÎ�Ç�Â=Ç!Æ.È/Ã�Æ�ÏyÈ�Í Â�à�Í Â�Ï�Â�Ð�'� Î"Î�Å Å Ê�ÍHÎ/å�Î/ Å�à� (/à� ÄxÄ(Ê�Å Ê+ÃÆÏMÈÍHÊ

à=Î�Í Â=Ä�Ñ=È+Ã=Ê�Ã5àÆ&%0È�ËzËVÈÍHÈ�Ë(Ä�Í� ÌHÌ�Ê�Ä(Ê!ÏyÈ )*�,+-��.0/�1&� �2��3 /4�����5�2� Ð�6LÆ�Ã.ë�Æ.È )*� 7 ) $+à.ÎÍ�Â�È+à�Æ#%�È�ËzËVÈ�Í:È5ËcÄ�Í Â ÌHÌ Ê

Ä(Ê�ÏyÈ )*� 7 ) +8�9.:/;1&������3 /2���<�5�4� 3 �=5=�� ��� å=Î�ã%åê$à�êvë

1&���&�?>�� å!ê�à@$/à�Í� ÏyÊ0Ä(ÊÃ/à+à�Í� ÏMÊ0Î�Å Å Ê�Í:Î0Î�Í Í� ×� Î�ÏMÊ0Î�Å Å ! Î�ËxË-Æ�ÍHÇ�Ê/å Î�ãBA5êrë/ÄxÊ�ÃCAã%å!êBàDA�Õ ë,à�Í� Ï�Â=È/ Å�ÌEÈ�ÊÍHÈ�ÏyÎ

$�Ç�Â�ÏyÊ�ËzÌ�Í:Î�ÌEÊ

1&���&�E)�� å!êvë*ê%àÍ� ÏMÊ�Ä(ÊÃ0ë�à�Í�Â�ÏyÊ�ÎÅ Å ÊÍHÎ�Î�Í�Í� × Î�ÏyÊ0Î�Å Å ! Î�ËxË-Æ�Í:Ç�Ê/å�Î�ã%à,ê?F%Ä(Ê�ÃGFüãTå+ê�ë0Ä-ÊÃ/à.Õ�F�à�Í Â�Ï�Â�È+ Å

ÌEÈ�Ê�Í:È!ÏaÎG$�Ç� ÏyÊ�ËzÌ�ÍHÎ.ÌEÊ

Page 42: Fattorizzazione dei numeri interi

42

H&I�J&K;L�M N�OQPDR&S�RGTVUXWZY\[]S^R�_`N*OaU#bc�d d S*Wec`fgYXU&S&hiWkjXlXl#j@m c�[nl�Y c�WejCd c@m S�U�UoY cVU#b PDpqjofnrts�u?v*OQw�uyxXO�xoz�jn{&jo|ojXW}j

f<j~f Y�{&j�WqY �qY m c�R�SDY�m c#ftY�r�z�Noz<���:�oYoY dXUXWeS�lod j*[]c@TCUoY �~m S*[nUXd j#fgf<SVU#jXWkm��&_`ftY#d j&�XcGc#|D�oR�� cXd h�WejCl�j�R~R#S&h}c~m S�R&�Xj&hkh���Wkc

m���j@{o�&S*d j@m���jVYoR���[�jXWZYXUXWZY�[nY&ftY�|*Y f�h�WqY lo��Y f<m cXR#SVU�Y �@�kc#m�Y d�[]jXR&h}jVR&jXd d cG�kS�W�[�cVUob�U*OQN~mgS*R~UVUoW�Y [�S�����jXd#f<Sohkh}SXmgcof<S

m���jCU�u P`c�lol�Y c�[]SGm���j`N#c^u?N*O�N�U P��XY R&|*Y NocDu8r&O�piN�U�O�rtz��

�]�Q���������Q�����Q�����0���������#�~�� �������¡��t�¢���C£ ¤�¥�¦�§�¨2©�ªX� «*¨�¬�«�­�¥^§�©�®&«¬�­�¥*¯g°

)(mod

)(mod

qaa

paaq

p

≡≡ ±X² ² ³�´}±

)(mod2 pqaa qp+≡

µ ±@¶�·X¸o¹&³�ºgºt¸ ±�»�³ µX¼&µ ·�´q´ ¼ ¶¾½ ¼`¿XÀ~Á ¹*ÂQÃCÄ

��¨�¯�¥�Å Æ ³ Æ µ ³*ÇoÇX¸ ±�»]³C¹X´}³�È#±X´ ¼ ¶�½ ¼ ² ±Gº<³�»@»�± µ ¸ µ · ¼ ¹ ´q¸�»n¸�ÉV· Æ ¹�±X´�¸#ÊqÃ�· ¼ º�Ëq³~É`Ç#± Æ ±�² ¼ ¹ ¼ ´e¶�½�Ì µ · ¼ ¹o´�¸ »n¸�ºg³ Æ ³

º ¼ »n¹X´ ¼Gµ · ¼ Æ ·�» ¼ ´Z¸ µ ¸ º ¹#±X´q¸�±�² Ë�´q¸\» ¼ Æ Ëi¸�º<±�´ ¼ ÇoÇ ¼ ´k³ µ ¸ ÈX¸ ºt¸ ÇX¸ ² ¸o¹ ¼ ´ ¿~¼ ² ±~º<³�»G»]± µ ¸ µ · ¼Gµ ¸ º ¹#±X´q¸�ÉGº ¼ »¢¹X´ ¼ · Æ

Æ ·�» ¼ ´k³C¹&±X´q¸ ÍiÎ�¸ Æ�Ï ±�ËkËi¸

¹�Â�à Áy¿ Ç~º ¼ »n¹X´ ¼ Ê�¹�±�´5Ë ¼ Æ µ ³ µ ±V¹ ¼ Ã Æ ³#Ëi¸ Î ¿ ± Áп ¹#Ñ�Â0Ò@ ¿ Ã�ÑoÂ�Ò�¹ ¼ ´�³�¹X¹�³*´5Ëi· Æ ¸#¹oÑ ÎÃ�Ñ#¸ Æ Ë ¼ ´q¸&Í

�ÔÓ&Ó�«¬iÕ�¥�ÖX©×¨�¦ ©}Å

Ø ¦�¨�¦^Ù`Õ�«¬�¨�ÚXÛ�«C¨Ü�¦ ©¦ ¤�­�«¬<©�Ý*¥�¬<©*¥�¤�­�«¦�¯�¥�¯�¨�§ ©�¤ ¦�¥;¤�¦ ©�¯�ÞDÙ�¤�¦2¦ ¤­;«�¬�¨;Ý�¬<©×­�¨2­�¥�ÙVÓ#«�­4ݬ�«`Õ�«¬�¨

ÚXÛ�«�¤ ¦�¦ ¤�­;«�¬�¨;Ý�¬�©�­�¨�§�©�­4©e¦ ¤ ©�¯�¨^§�©¤ ¦�¥�¤ ¦ ©\¯�Þ^Ù�¤�¦;¦�¤�­;« ¬i¨4Ý*¥ ¬<© ß à�¤ ©5¦�§�©*«*Ó#©×Ó�¯�¨�¦�¨;©e¦�á�©5¦�©�¯g©¦ ¤�­�«�¬�©

Ý*¥ ¬<©�£g¦�¨�¦D¯g¤�¯�¯ ©�°�ß�Ú�Û*«D¥ ¤ ­�«¦�¯�¥*¯g©*§�©�¤�¦�¥;¤�¦ © ¯�ÞD§¥�¦ ¦�¨;¤ ¦2¦¤�­�« ¬�¨2Ý�¬�©5­�¨

Page 43: Fattorizzazione dei numeri interi

43

â ã ä;ä ã�å;æç�è;é�ê�ç<ë*ìDí�æ�å4é ç�æ�î�êDí�è å2å�ê�ï�è^ð�ë�ñ�ñ�æç�æ�äòoê�ó:ð�ë*ð�ã�æ�ä ã�å�æ�ç�ë*ð�ë�íoé*ê ç<ë�è�é�éã ç�æDì�î�ê^í�è å;å�ê^ð�ë

ô�õ�ö�÷�ø�ù<ú�ûaüeý\úeþ�ÿoú�ö��;öCô�öúþ�õ���ö�ù�ú*ô�ú�ÿX÷�ø�ù�ú������4÷�ù�ö þ�ô ö�ü�ý�ú�þ�ÿ�ú�ö���öDô�öúþ õ���öù<ú�÷ù<ú�4ú

ü5ý�õ þ�ú����2þ�õ��;öù �4÷ù�ú���4÷*ø�ù<ú���ú×ü�������õ þ;÷�ù�ú����;õ þ;÷���ý&ÿo÷�ö���ú�ø�ü×ö �

÷���ÿ#ÿoú×ø���������þ�ÿXú�ô�öù�ø�ù�ö��Dõ þ;þ õ���öù��;÷�ù<ú���������õ þ�÷�ù<ú���;õ þ;÷���ý�÷�ø�ù��gú�� � ü�ø�ù�ö��

Impostazione geometrica del problema

!�"�# $&% ' (*)+% ,*-."�/ #0#1/�-2(1)+%13�,�)4%5(6% / #631% ,1#�"87&,1):9+(�$;% ,1#�"0)<,*313 )<( $=(*#>9?% ,�-@"A9B,�C (8#�/�-2(1):"ADB"�)?-.,�#5'1"A7E"�#6C (F,1$�7E% $G$�(A(

C (H"*):'�% #�,�9B(6/1#FI�/�,�'�):,594"�J*!�"*# $G% '1(�)4% ,*-2"0C ,H'*% ,�K1"*#�,1C (H'1(1C�I*/�,�'�):,�9+"�L�#�(1C C ,FD4% K*/1)B,8C (FMF$�"*#5"�#5(*C C , '�% ,�K�"*#5,*C (6C (

7&,�$�(1C C (AK*% ,1C C (H"�9<9+(�# /�9B(H'1,1C C N % #59B(*)<$�(�OE% "�#�(F9?)<,6%1#�/�-.(�)+%13 )4%P-Q% '1(�C C (A,�$�7R% $G$�( S�% #HK*% ,1C C "1TU(6C (H"�)B'�% #�,59+(AS�% #HK*% ,1C C "1T

-Q% #�"�)4%�' (1C1#�/�-2(1):"�35,*)+%5' ,�9+"�J�VW/5(�$=9+"A7R%�$;/5K�K�(1)4% $�7&(0/1#�-.(594"�'1"0% 9B(1)B,59?% X�" 3�(�)�7&" $=9Y)4/1% ):(0C ,F94,>X�"*C ,F'�(1%�#�/*-.(1)4%

3 )4% -F%�3�(1)<7RZ5[A,635,�):9Y% )<(H'1,1% 31)4% -Q% # /�-@(*)+% 3 )?% -F%5'�% ,�K "�#�,1C (8' "*3�"H'*% ,�K1"�#�,�C (A$&%59?)B"5X�,1#�"0%13�)+%\-Q%5$;/�7&7&(1$�$;% X1%PJ�]�(�'�% ,�-."

-.(�K�C % "AI�/5(1$�9+"A7;"*#�7G(�9B9B"�J

6

5 Coppia primi

4 x

3 ^5_E`E`;a bc`Rda efa

2 x

1 Coppia primi

Page 44: Fattorizzazione dei numeri interi

44

1 2 3 4 5 6

g�hji�k l�m�npo�g�qsr�om�t�r�m�u o�n�l�k�g�v*oPrpm�l6wGx�w=w�l�y�l�t�rpi�i�o�l�o\z1{fw�g�y�o*t�|�lso�}~{�� �*g�i�l�kcx�mst�l�k�w�rsg �=o�u5u5g�w=r

� h�i�k l�m�n�o�g�q�rsu5rpy�r�om�t�r�m�u o�n�l�k�g�v*o�r�m�l �px�l�y:y�l�t�r�i�i�o�l0w�g�y�o�t�|�l��A�����&o\z�{=hQ���6lsy�g�t�rpi�i�o�g0u1i�l�t1o�g�yPlso4��{

t�hWl�u5t yx�n�o�g�q�r�y�l0t�rpi�i�o�l6t�|�l0t r�m�w=l�m���r�m�r�y�Px�m�oPw����:�:���y�lsk�oq�g�m�l�m�wGo�t�r�i�i�o�l�u5r�m�rst�rpi�i�o�l0n�o�i�k�o�q�o��0��r

o�ms��l�m�l�k�g�y�l�q�g�u�lsi�k r�t�l�n�o�g�q�r�o:m�q�r�n�r�k�o�t�rpk u oP��r�g�i�g�k�wGok l0n�g�y�i�k�o�q�r�m�x�q�l�k r�i�g�k�o*l�i�l�k�r���m�o�i�g�k�o

t�r�ms��x�l�u�w=r�q�l*w�r�n�r�n�l�w�l�k�q�o:m�o�g�q�r�o�i�k�o�q�o�m�x�qsl�k=o�i�k�o�q�o�q�o�m�rpk�o�n�o��px�l�y�m�x�q l�k�r�i�g�k�o m�l�yy�l

u x�t�t�l�u5u�o ��l�n�o�g���rpm�g�yo�i�r�u�u o�g�q�r�l�u�t1yx�n�l�k l��px�l�o�t�g�u o�o:m�t1x�o�q�t�np�GoPzP{=h�����oB}~{2���*g�q�g�x�m�rsn�l�o�n�x�ls�&o

rH{Gh�m�rpm���i�k�oq�r��=r�����l�k�r�i�l�k�r��pm�o�n�o�g���r�m�g�y�l6t g�y�t�rpy�o�g�q�r�o�i�k=o�q�o*lsm�l0w l�m�o�g�q�r�o�m�t�rpm�u1o�n�l�k g�v1o�rpm�l

i�l�kfy�l0n�o�g���r�m�g�y�o�u x�t�t l�u5u o ��l � x�m�i�r�� t�rpq�l�o�y*t�k=oP��l yyPrsnpo���k g�w�r�u>w�l�m�l��h

n�hct�r�ms��x�l�u�w�r�q�l�w�r�n�rst r�u>w&k=x�w�w&o ��r�oPw�l�k g�w�wGo\��r�i�r�u5u1o�g�q�r�npok l0t�|�lsm�l�yy�g�n�o�g���rpm�g�y�l�t1�\�0u�l�q�i�k�l

�px�g�y�t�|�l�t�rpi�i�o�g�n�o�i�k=oq�o �2�? 6¡<¢�£�¤ ¥B¦6 �¢1¤ ¤ £H§�¨ £�©�ª� �£1¤ ¢H¥?¡Bª5«1¨ £�¬@ªH¥�­>¥<¥+¢6¤ ¢0®5ª1¯G¯;¨ °1¨ ¤ ¨>±Eª*®1®1¨ ¢6¨ ²1³p¥B£*¤ ¨�±E´�¢8¨�µ�³�¶¸·�£�¹

º ¢A±&ª�®�®1¨ ¢F§�¢>«�ª* 5ª8¢�¯G¯�¢1¡<¢Hª8±Gª�®1® ¨ ¢H§�¨ ®�£1¡4¨5ª8±&ª�®1®�¨ ¢F§�¨>§�¨ ¯;®5£�¡4¨\¹�»�ª*° °�¨ £*¬.ª6®�¡<ª5«�£1¡<¢H±R´�¢F¥?¡<£6¤ ¢H±Gª�® ®1¨ ¢A§*¨5§�¨ ¯&®�£1¡+¨

±E¼ ½H£1¤\¬.¢1 �ª�­  �£A±&ª*® ®�¨ £H§*¨1®1¡4¨\¬Q¨P¹

10

9 no

8 x

7 Primi

6 x

Page 45: Fattorizzazione dei numeri interi

45

5 Primi

4 x

3 Primi

2 x

1 no

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

¾ ¿HÀ�Á ¿� Ã�Ä�¿1¾ ÅAÆAÇ�Å*ÈQÉ1Ê:Å8Ç;Á ÈFÈ.Å�Ë?Ê4Á Ì&¿FÅAÍ*Î�Å�Ç=ËBÃ8ÌRÁ�É�Å�ÊYÈ.Å5ËBË+ÅHÀ�Á É1Ê<à ÌGÅ À Å1Ê<Å6É1Á ÏQÐ�Å�¾ Ã�ÌRÁ

Ñ�Ò�Ó Ô�Õ�Ö�Ò�×5×�Õ�× Ò�ØpÙ�ÚsÛ�Ô�Ö\Ü&Ò:Ý�ÖPÕsÞ�Ó1Ò�Ý�Ø�Ó�Ó5ØpÙ�Ø�ÒÙ�Ü&ß�Õ�Ñ�Ú�à�Ú�ß�Ú�ÒÙ�Ü�Ú�ß Ú�Ó5Ó�Õ�Ù�ÜGÒ�á�Ú�Ø�Û�Ú�ÜGß�Ò�Úsâ1ã

ä�åæ ç;èé êë ìRí�î ïcî ðEñò ócòô õ õö ÷Eø�ù úcù ûRøù úcù ÷Eøù úfùü ý ý ýþ ÿ���� ��� ����� ��� ����� �� ÿ���� ��� ���� � � � �� ���� �� ���� �� ���� � ���� �� ���

� � � � � � � � ���

� �"!$#&%(')')*,+-!/.0�21&34*(5634%/78% 9;:=<?>A@CB D EGF�H <0IKJML0>NEK:;H OPE(Q8D JCRTS"<?IU<VHGW?>XHY@ZHGWUJ >NO6[U\]I^<_I][^E I IU<`H IKa=J_>NS"JUF�H <?I H^OP<&I b;L0H E?D D H bAc

� �� � d egfYhjik�l

Page 46: Fattorizzazione dei numeri interi

46

mnm o pgqYrjst4uvwx y zg{Y|j}~� � �g�Y�j���� � �g�Y�j��

� � � � � � �

Giocare in borsa con la matematica

���?� �A�-���U�=�0���U�;� ���/�;� �X�?�K ?�?�U�¡��¢U�£� ¤ � �U� � � ¥n�0�=�G���G� ���¡¦X�X� �K�X�¡��� �N�§�U _� �&�U���_�U�&�C� ¥2�¨�&�,� � � �¡©U�?�K��¢U�GªZ�K�0�«¥n� �£¬ �`­U�?� � ®G�

¯�°;±X²0³�´_µ6°=¶¸·_¹ º ±»´6¼?¹ ¯�¹ ¶&µU´0½(¾n¶0±N¯"´¸¿^À µ µG¶]±NÀ^Á0¹ ¶_µK´ Â&ÃN¶_±X¯4´VµK¶/½

Ä�Å Æ Ç?ÈUÉ`ÊËÉ?Ì Ì Í?Î=É`Ï0ÐKÈ_Ì Ì É`Ç_Æ8Ñ?Î»Í ÑUÍ0ÎXÎNÈ«ÒgÉ Ì ÓGÍ_Î;Æ Ô2ÕÖÆ&Ð ×,ÑUÍ_Å?Ø�ÔAÎ»É ×?Æ_ÈVÙ=É ÚKÛXÜ^ÝnÞ ßGÝnÞ àâá�ãUä«åUä?æNç§åGß^Û;æ»ä_èGèUä?æNßËä Ý�Ý"ä_æ»ä`ä^é»égÞ ánÜUá�Þ&Þ Ú

ê�ë?ì í=îTïnð í;ñUò^ónð ë0ô ð

õ?ö ÷?÷Kø0ùGú û0ü�øþý_ú ÿ�ø0ù � ú ý����»û����£ÿ��� � � ��������������� ����� � ������� ���� � �"!#�$��%�%������&���'(��� �)����� *�����+ �,������� ���-'.�/��01� *��������

2354.6 3�4�798�7�:�;.75<>=�? @BAC?CD�E 6 8�754.6 35<F?�6�2�3�: ?54G6�8C6 H =754JIK6 4�IL3 MBN�OPCQ"R)STPUQ"VXW Y,Z[O�\ ]�^�_�`La�]�b�ced f�ahgeb�_Uija�`&aka�ija�lLl&^

m d�]L^5_c�n�o�c�c.o�l d ^C_�d p&q

r o�s ]�^�s d o5iF^ts otiFa m d ouavs ^v`T] o�n$c(^vw5b�o m n$o�c[d ]L^xiya m d ^ m d z ]Kd ^�{ σµ, |y}F~)�C�������~ ���-�x�5�[�e�C�T���j� ������e��~��)�

�e������� �L�������h���C�)���������h���)�����C�T���B���� -¡¢�$�C���T�C���y£ �B -�¥¤��B¦¨§�����©"�-�)��L�¢���������& ª���C� �������U�U��¤"�-�e�«��¬B���-­���­

¤�� �T���&���-­ ®C¯�°�±C²�³&´¢°�µB°�¯T²B¶/±C°,³e®B·�²«¸1±C²B³�´¥°�µ�°x¹5º)²t¹�°B¶�±B³T²�»�µB²t®�»)¹�º�²�·¢²�±B³e²C¼B´�½�´�°�»B´y®�¾�³e²�¼B²t° ¼5¼)²�³�°

Page 47: Fattorizzazione dei numeri interi

47

¿CÀBÁ�Â¥Ã�Ä�ÃÆÅTÃ�ÅTÇ�È¥ÀvÉ�¿ À�Á&Â¥Ã�Ä�ÃÊÄ�Ç ÅLÂÌËÍ¿CÀBÁ�Â¥Ã�ÄBÃο�ÁTÀ5ÏB¢Ð�ªÃ,Ñ)À)ÒÓÈ¢Ç�Ï Ç�Á�Â¥Ç�Ô)Â-È¥À�Õ�Ç Ð�Ö)Ç�ȪÀØ×xÇ ÐÐ�ÖBÙÚÀBÁeÛÆÄBÀ�Â"Ï Ç�È�Ã�Á�Â

ÜJÝ Þ-Þ$Þ-Þ$Þ ÜàßJáBâ�ã�äUåBæ�ã,ç è�ç�é-ê$é¢ë�ì�åXÝ Þ-Þ-Þ$Þ-Þ$ÞíÞ$Þ-å,ßÆëTè�ê¢îkâ�ï)î9ê�è¨ð�ã�ñUñÚèÚò�î�ê-ê�î9åBæ�ã,çCè�çBéíêíé¥ëTìhåBé5ð�é èUå5è�æTéCè/Ý Þ

ó)ô�õ ö õ ÷&÷1õ ø5ùyúûõ ö"ô(ü�úCý�ü5ùFøÿþ5õ�����ü���õ � ü�����üÿþ5õ �Lü���üÿþ�øô(ø ����ø�����ø�ö ��������ü���ø�ý�õ ø���õ ö ü��ø����ø�ö ü � ��ø5ö üûö ø���ü����ü���ô(ü

����� �!" #�$���%

2

11)(

kkXkP −>+<<− σµσµ & " #�'

2

1)|(|

kkXP <>− σµ (*),+

∑=i

i

nxµ

∑ −=

i

i

nx 2

2 )( µσ

-,.�/ 0 132 4*576987:�47:�; 2 ; <>=@?BA�C3D EGF�E�HJI E7K�I D C@?LE�MON�E7D C P E�MLM�N�QRE@?LC7H�<JISF�E7D T�HUI�I V*N�V*I V�<>C�H�F�E�D D T*W�I�W�E�<JIYX

Z\[^]�_�`badc e�[R_�c fgf c h�i�f f _j�cke�l�lUc j�e7m�c f c a>n o7pkq�r�sutBv w�x95.0

11 2 =−

ky{zJ|>}�~�� ����}����\��}��L��� ���R}��9��|>y���� zJ|�y��b�Oy�� z�y����

�J� ���������������7�{���J�>�������������*���7  ���U��¡��7¢£¡�� ¤9¤9�7�9��¥��d� ¦O§�¨�� ©3��ª����7¥��J� ���R�«�  �  � ���7    ��¡�����¤>¤U� ¡��7¬��   � �U­��7� ©@��ª7�®��¥S���*��¥�¯S°��

�  �����¥�±��²¯B� ��³�  ´ � ¥��>���µ����    ��� ¥@¯Sª����  B����  �����@¡���    ��¥���¶b�J�9�@��·�� ��¥��3��ª�¸²��¶O¯�     �7�9�*�������  7������¶O¶�Y�R���R��¶¹�@¡���¯O��¥��J�����9�>��·O� ��¥��º§

»g¼ ½G¼ ¾�¿�À�¾�Á�Â�à Ä�Å�À�Æ>ÇLÀ�¾SÈd¿�Ä�à À²É�¼�ÆJ¼ ÉbÇBÊ7¼ Ä@Á�¼SË>Ä�Æ9À3Å�Æ9À�Ì�¼ É�¼ Â7¾�¼�Å�Â�ÇOÂ*Ä�È9ÈUÀ�¾�Á�¼ Í�¼ à ¼ºÎ

Page 48: Fattorizzazione dei numeri interi

48

Ï�Ð7ÑÓÒ�Ô�Õ�Öb×>ÕÙØOÐ7Ñ�Ö Ú Û�Õ�Ü>Ý�ÞÚ Ð7Ñ�Ú3Öb×JÚYßGÚ Ý�ßRÐÙØà�ÕáÚ âGã�Ý�â Ð7Ü9ÕäÛ7Õ�â â ÝåÑ�Ð�Öb×dÜ9ÝÓÝ�ÞÚ Ð�Ñ�ÕäÐ�ÖLØÚ â â Õ�Ü�æáÑ�Õ7â3ç�Ü9Ð�ÖLÖ�ÚYßRÐèß�Õ�Ö¹ÕÓÛ�Ú

ØOÐ7Ñ�×dÜ9Ý�×9×UÝ�ÞÚ Ð�Ñ�Ú�Ú Ñ*Ô7Ñ@Û�Õ�×>Õ�ÜdßGÚ Ñ�Ý�×>Ð�Ú ÑS×�Õ�Ü�ã�Ý�â â Ð é�ê ëìêìí îOï�ð*ñ7ð�ò@îOó�ô�õ�ò*ö7ô9ï7÷�ò7÷�ø ù ø õUú�û

ü,ý�ý�ø ïìîBþ�óÿù ò ö�ô9óSý7ø � ø ï�ð�ó���ó7ù�ý�ò�ù ï7ô>ó��7ó�ù õdø õ�ï�ù ï���ó�ý�ó ó ��� ó�ô9ó ù ø �£ø õ�ò�õ�ò ð�ó7ù õ>ó��£ö�ï ø ð��ñ�ò7ð�õ>ï ø ö ò�ô>ò�®ó�õJôJø���ó�ù ù ò

ý�ò�ô�ø ò�÷7ø ù ó îLò � ñ�ò�ù ó ò7ð���ô9ó7÷�÷�ó7ô9ïäôUø îOò�ù îOï7ù ò�õJø£ò�ù ù ò� Uø ð�ó���ø®ï���ð�ø���ø ï7ôJð�ò�õ>òä÷�ï7ô � ø � õJø îOò�û�� ò õ>ò�ðSõ>ïäö�ó�ô � ó�Gö�ù ø Uø î�ò�ô>ó

� ñ�ö�ö�ï�ð�ø ò��Rï���ø� >ò7ô�ó3ñ�ð�ò*ö7ô�ó�ý7ø � ø ï7ð�ó ö�ó�ô,ñ�ð�ö�ó7ô�ø ï���ï^õUó�^ö�ï7ô>ò�ù ó���øSîBø ô�î�ò3ñ7ð��Ró � ó

� ó � økö�ï�õ>ó ��� ó � õ\ø �Rò�ô�óù òö�ô�ï�÷�ò7÷�ø ù ø õ�ú � îBþ�ó�ñ�ð õdø õ�ï�ù ï � îLó7ð�� ò{ï � ò�ù �7òø ðñ�ð�÷�ó�ð��7ó�õ>ó�ô��Gø ð�ò�õ�ï�ö�ó�ôJø ï���ï��Uï � !

"�#%$& ! &(' ' )+*,$"�"-$�.�) ! /102�43�5 687�97;:=<�>%?(@�@�?�A(7B<DC E�?-<�FG<�H I-<�J�C <,KL9(7�:LC E�?(>M<�>+?DH <,E�C :�N�>�C @�A�OPC 97B?;ECRQ�?�>S7(A(H H CT?,E�C >M?

K�UB?VH <XW(>%9(@�<(@�C H C NSY�K�U-?XC 7V7�:=?-E�AZNS?�EC�KL9�7ZN[>%<�N%NS<�OPC 9(7�CZKZCB:\C <�7-9�]�>SC <(H OPCBE�?�HZN[C N+9(H 9�^`_

knkkn qp

k

nP −

=,

9BI-? a1bdcfehg i ?�E�9�I�?VH <jIB<�>�C <(@�C H ?XK�<�:LA-<�H ? k`l�m;n�oRpqlre�staun vTlxw�pylxs`z�l�e�staTc|{ }�?�>�C A�:�K�C <FG9�<V@�?�7X:�N�C F8<�>M?

Wu?;~r>SC <�W(W�H C K�<(7�E�9�C HNS?-9(>%?`F�<,E�C`��U�?(@�C K�?�I�WB9(:�:LC <TF�9D<ZI�?(>%?�E(?�H H ?DC 7B�+9(>[FG<�OPC 9(7�CxC 7�W(C �;:\A�HxW-9�:�:\C @�C H ?,<�7�E�<�FG?�7BN�9

E�?H�7�9�:�N�>+9�N[C N+9(H 9T�x�Z9�:=:\C <FG9�KL<�H KL9(H <�>%?VW �����\���������������X�������[���� ���+��� �B�[� �+�� �u���������V��������+�X�������+�=���L��-����������� ���

���f�( ¡G¢�£%¤�¥�¦�§�¢�¥� B¨+¢��-¤�§\¦ ¨©¦ ª�¢8«�¬-­�®�¯��°�� ¡G¢£M¤�¥T¦�§=¢�¥T B¨S¢��B¢-±�²�¨�¦ ª-¢G«³¬�­-®|´ ²�¡G¢�¥�¦ ²�µj¶%²-·P¦ ´ ¡8¢��Z¨�¢�·�²(´ ·L¤�´ ²(¸�¦ ´ ¢

σσ 33 +<<− npXnp

npqnpXnpqnp 33 +<<−

Page 49: Fattorizzazione dei numeri interi

49

¹�º(»=»=ºu¼�ºT½�»\¾ ¿�À(ÁMÂÁMÀ Ã(½,ÄBºÁÆÅ�ÂBÇ%º�È É ¾ ºVÇ�¾ ½-Â�½BÊP¾ Â�Á�¾ ºuÇ%ºÁ[ËGÂBÅ+º�¿�Â,½XÅ[¾ Å+º�É ¾ Ì�¾ Ë�Ä�º�»�ÅSÂ(Á%À,Ã�½�Í-Â(É º(Á%ÀuÎ�¿�Â,¾ ½ZÍ-À-»�Å�¾ ÁMÀ À�¼�À(Á%¼LÂ�Á%À

É ÀXÏÃ�Â�½�Å�¾ Å+ÐX¼ZÑBÀX¿�ÀZÍ-ºXÂ�¼�ÏTÃ�¾ »�Å�Â�Á%À�¿�¾�º�Ƚ�¾�»\¾ ½-È(º(É º�ÅÒ¾ Å�º(É º�¾ ½�ËGº�¿�º�¿�Â,ËGÂ-»�»\¾ÓËÔ¾ Ê�Ê�Â�ÁMÀ�¾ É�Ë�¾ ºV¾ ½BÍ�À-»�Å�¾ÓËGÀ�½�Å+ºuÕÒÄ�Á%º(Ö(É ÀË8Â

¿¾�ÁS¾ ¼�À(Á%¼LÂjº�ÄBÀ(Á%Â�Å�¾ Í-Â�×

I piani di accumulo del capitale

ØÙº(É ÅSÀV»�Å�Á ÂBÅSÀ�È�¾ À�¿�¾¾ ½�Í-À-»�Å[¾ ËGÀ(½ZÅ�ºV»\¾Ö�Â�»=ÂV»\Ã(¾Ä(¾ Â(½�¾�¿�¾�Â-¼L¼BÃ(Ë�Ã�É º�¿�À�ɼ�Â(Ä�¾ ÅSÂ�É À`ÚtÛPÜ ¾ ¿�À-Â�¼ZÑBÀ�Í-º-È�É ¾ º,Ä�ÁMºÄ�ºÁSÁ%ÀVÝVÏ�Ã�À�É É Â

¿¾`Ã�»=ÂÁMÀ,É Â�»�À(Á�¾ À�È(À�ºTËGÀBÅÒÁS¾ ¼LÂ;Ä�À(ÁÞÄ�Á%º�È�ÀBÅSÅ+Â�Á%À;Ã�½;Ä�¾ Â�½�º;¿¾Â�¼L¼�ÃËjÃ�É º`Ú�ß|¾�»=º(É ¾ Å+ºD¾�Å�Á%Â-¿�¾ ÊP¾ º�½BÂ�É ¾TÄ�¾ Â(½�¾TÄ�ÁMÀ�ÍBÀ�¿�º½-º�Ã(½

¾ ½ZÍ-À-»�Å�¾ÓËGÀ�½BÅSº�¼Lº�»�ÅSÂ(½BÅ+À�Ì�Ã�»=Â(½�¿�º4É Âà»�ÀÁS¾ À�ÂÁS¾ Å ËGÀ�Å�¾ ¼\Âáº�ÏTÃBÀ�É É ÂáÈ�À�º`Ë�À�Å�Á�¾ ¼\ÂâÄ�º�»�»\¾ ÂË8º�¼Lº½�»�¾ ¿�À(Á%Â�Á+Àྠ½ZÅ�À�ÁMÀ�»=»=Â(½BÅ�¾

ÍBÂÁS¾ Â�½�Å�¾

ã�ä »=º`ËjËGÂ�¿�Â�¾ ½�Í-À�»�Å�¾ Á%À

½ ä ½(ÃËGÀ�Á%º�¿�À(É É À�»=À-¿�Ã�Å+À�¿¾�Ö-º(Á+»=Â�¿�Â�¼�º½�»\¾ ¿�À�Á%Â(Á%À ä Ä-À�Á�¾ º-¿(º�¿T¾-¾ ½�Í-À�»�Å�¾ Ë8À�½ZÅ�º

 ä Í�Â�É ºÁ%À�¾ ½�¾ Ê\¾ ÂÉ À�¿�Â�¾ ½�Í-À�»�Å�¾ Á%À

qq

aaqaqaqaSn

n

−−=++++=

+

11

....1

2

iaqG =1ÕSÅ+À(Á[Ë�¾ ½BÀ À½�½�À�»L¾ÓËGº�×

Page 50: Fattorizzazione dei numeri interi

50

å�æXç�èTé�ê�ë=ì�æTíZî+åVê éZï�ì�ë�î�ê ð%ñ�ê òZî+ì(ð[ó�ê é�ì�ô

bGa i << å�õ�í�ê�ê ójöBçTé�è�çXæ�ì�ê�ò ê ó�ê î�êB÷�ê ë�ë=å�î�ê

ø ìùö�ì(é-ë=çâõZú�ì4ò å�î+ì(é�æ�ì�é�û�å�ë\êÞåò³ðSê å�ò û�çhí�é�åâë�î[ð%åBî+ì�èê åùö�ð�íBæ�ì(éBî+ìàü ý�þRÿxþ�� ���������� ��������� ������ � ����� ���������� �

� �"!�#�$&%(' )+*���, $.-&!�/�01' %2$43�$�/�!�5�5&!., '768' %9$"%9$+:

; !<-&!�� 3�*>=@?"!<, $�%�!A�"0�!��&BC$D3�' $�$�,E/2' 5"$+3�3�*GF��&$D3H%(/�$"%�!�#A' $�-�/9F&0�!��"%�!DI JLKNM O2$�,E-�/9'76E*��P/9'7685&$�, B�*>%�!&="��' =C*A�Q3�'

/�!�=F�-&!�/�$��&*4%RF@%�%2!S, !T-&!�/�01' %9!�:

UWV�X"YCZ+[�\^]�V�X X VT_�`�\�aA`�V�[�[�b \Ac�b+Z�`9b dReEV+d�b Ygf"Vih

2)2)(1(

)(....)2()(nqan

nqaqaqaaS++=+++++++=

idaGi +=

b Xkj&V�`�\G_�`�\Al�X V1emZ>nDYC\1eoV>[HYCV+a1X b V�`�VGbp_"Z�`�ZqemV d�`�bpb crem\+]�\�]�ZD\�d�d�b7e8b s�sHZA`�VGbkaqt"Z+]�Z�aAc�buVv`9b ]1t�`2`�V<X Zv_"V�`�]qb d9V

[�t�_�_+\Ac&V�c+]�\Q]1bL[�Z�_&V�`�VwX Zyx2d2V�c&]�V�c"s�Zz]�V�X{emVA`�YCZ&d�\�x�|~}�� Z�`�a�\WemV�c"d�\�eEVA`9b d�Zwt�c�Z�_�_�`�\+��\Ac&]Ab7eEV�c"d9\W|~Ui\�c�d(t@d�dRbi[�\qc"\

YC\�c+YC\A`�]qb&YC\�c4�qt"V+[Hd9V�d9V&\A`9b V^V+].V+[�b [Hd�\1c"\.YC\1e�t�c+�1t"VT_"ZA`�VA`9b&]Ab [HYC\�`�]1b7|

Page 51: Fattorizzazione dei numeri interi

51

Il Lotto e la matematica

�W����� ��� �P�����&���2�&���2� ����� �@�������������1� �+����������� �&���9� � �������+�+�1  � ¡A¢o�¤£�¥�¦+§�¦�¨"©9¡�¥�¦¤��¨�§�¦q¢8£�  � ªC¦�£�¥����1¥�¡1¢4¢E¡¤� ¨y«�� §C��¡� 

¬+¡+§�� ªS­¯®i¦"©N£"¦A¥~  ¡S��¦�¨&¦�¥�¡&°� ��¨&¦²±A�q¨��1¢E¦�¥2��ªC¡�§�"¡A  �1£+¦�¥³�1� �+ª�¡�¥�¦²¡� W´C�&©�©2�²¦T©�¦�¨&©�¡�¥�¦µ  ¡4¶��A¥·©R��¨&¡q­ ¸i¹��+�+¦�¨&±�¦º�1¨��1¢E¦�¥2�

» ¶��A¥�©���¨+¡"©�� » §�£&¦�§�§��º¡�  ©(¥��µ¨&�1¨S¶�¡²ªg¹&¦º�+§H¡A¥�¦¼§C� §H©�¦ ¢8��ªC�1¢E¦T½1�+¦+§H©��µ¾�§�� §H©9¦A¢8��ª¹&¦º¨&�q¨S��¡�¥�¡�¨&©�� §HªC�A¨��µ� ¨º¨&¦�§�§��¨TªC¡+§��

��� ¨+ª� ©9¦�¿ À Á�Â� à ÄHÅ�Æ+Å�Ç.ÄCÃ�È�É&ʼËoÇ�Ì1à Í2à ÎCÆ�Ï�Ð.È+Ð�ÏÑÆ&Ì�Æ&Å�Å�ÆAÏ9 Ç4ÆAÒ"ÎgÓ&Ð4Æ&ÌSÆ� Å�Ï�Ã+ à Ò&Ô1É"Æ�Ô�Ô1Ã@ÌqÃ+È�Ï�Ç�Ô1Ï�ÆqË4ËEÆ&Õà Ç�Ò+Ð�ÎCÇqËEÐSà Â"Ö�×�Ö�ØNØ�Ù

LISTATO IN VISUAL BASIC .NET

Ú~Ç+ÌqÉ� вÚ~Ç�Ì1É� ÐiÛÜ É�ÝTÚ~Æ�à Ò�Þ�ß

à�á7âDã�ä�å&ä�æ�ç"è�é1æWêLëoìiä&í î�ï�ð+ñ�ò1óô�õ7óDï�ö�ö9÷(ø+ù�ú{ûLüuý(ð&þ�ÿ���ÿ�öô�õ7ó<ö�ï�ð&ñ�òqó��iï�� �+ÿ8ûLümý(ð"þ�ÿ���ÿ�öô�õ7ó<ö��&ò+þ�ï8û�ü+þ(ö2õ ð��ô�õ7ó<õû�ümý(ð@þ�ÿ���ÿ�ö ���������� ��� ����� ������� ��� �"!#� ���$�%��� �$&'��� ()��*�����(%!,+��*�����(.-/ �� ���$��� ���10 ��(�23�'� �����4+ ���������� ��� ����� ������� ��� �,��*����5(�+6 � �7� 8:9<;>=@?

A5B%C�D�E3F�GHB%I J�KML/N�K�C�K�AOB�P�E A,QSR�K�T�P�UWVYX[Z�\%]B�A�A�U,^ ]_L`AaB C�D%E�FbG[B%I J�Kc E�C�d�E I K�Q e�A�^ P�K�U�B%A4A�U,^ ]"]c E�C�d�E I K�Q e�A�^ P�K�U"f g f"]

Next Console.ReadLine() End Sub End Module

Page 52: Fattorizzazione dei numeri interi

52

SommarioFattorizzare i numeri interi .................................................................................................................1

Considerazione preliminare (algoritmo 0) ..................................................................................1

Primo algoritmo (AL-1) (variante della fattorizzazione alla Fermat) .......................................3

Secondo algoritmo (Al-2)..............................................................................................................7

Terzo algoritmo (Al-3).................................................................................................................. 12

Quarto algoritmo (Al-4) .............................................................................................................. 15

Quinto algoritmo (Al-5)............................................................................................................... 18

Sesto algoritmo (Al-6).................................................................................................................. 21

Fattorizzazione con le disequazioni .......................................................................................... 22

Fattorizzazione con il teorema di Bezout ................................................................................. 25

Fattorizzazione con i logaritmi ................................................................................................... 26

Fattorizzazione con il metodo della bisezione ........................................................................ 28

L'approccio combinatorio - economico del problema........................................................ 29

Fattorizzazione e ricerca operativa.......................................................................................... 30

Fattorizzazione per differenza dei fattori................................................................................. 32

Fattorizzazione per individuazione dell’intervallo migliore ................................................... 34

Teoria dei grandi numeri ................................................................................................................ 35

Ipotesi di Goldbach........................................................................................................................ 37

Impostazione geometrica del problema ................................................................................ 43

Giocare in borsa con la matematica.......................................................................................... 46

I piani di accumulo del capitale .................................................................................................. 49

Il Lotto e la matematica ................................................................................................................ 51

Sommario ......................................................................................................................................... 52


Recommended