Download pdf - ESTIMADORES DE REGRESIÓN

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PreliminaresEstimador de Regresion

Para el caso de una Variable AuxiliarAlternativa para Estimar V (tGREG )

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOVI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO

Estimadores de regresion en disenos de muestreo

Humberto [email protected]

17 de agosto de 2009

Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR ESTIMADORES DE REGRESION

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Contenido

1 PreliminaresResumenDiseno de Muestreo

2 Estimador de RegresionSupuestos del ModeloEstimador de Regresion para el TotalOtras Expresiones para Estimador de Regresion

3 Para el caso de una Variable AuxiliarPasa por el OrigenNo pasa por el Origen

4 Alternativa para Estimar V (tGREG )IntroduccionMetodo la NavajaMetodo de los Grupos Aleatorios Dependientes


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ResumenDiseno de Muestreo

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Resumen

En muestreo una de sus caracterısticas es usar la informacion paramejor la precision de las estimaciones.El estimador de regresion esun tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informacion.Elobjetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresion paraestimar un total poblacional. bajos los disenos de muestreoaleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes deseleccion sin reemplazo.Tambien, se proponen algunos metodospara estimar la varianza para el estimador de regresion.Finalmente,se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.Palabras claves:Informacion Auxiliar, Estimador de Regresion, Linealizacion Taylor,Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Diseno de Muestreocon Probabilidades Desiguales.


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Diseno de Muestreo

Una manera idealista como se puede describir un diseno demuestreo:

U = {1, 2, . . . ,N}.Una caracterıstica de interes (yi , xi ) asociado con la unidad i .

El parametro de interes, el cual es funcion de (yi , xi ),i = 1, 2, . . . ,N.

Un plan de muestreo. Es decir, a cada s ∈ S asigna unap(s) > 0 y

∑S p(s) = 1.


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Diseno de Muestreo





∑S p(s) = 1.


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Diseno de Muestreo





∑S p(s) = 1.


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Diseno de Muestreo





∑S p(s) = 1.


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Diseno de Muestreo





∑S p(s) = 1.


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Supuestos del ModeloEstimador de Regresion para el TotalOtras Expresiones para Estimador de Regresion

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Estimador de Regresion

Sea

xk = (x1k , . . . , xjk , . . . , xJk)′

denota el valor para el k-esimo elemento de un vector auxiliarJ-dimensional.El objetivo estimar el total poblacional de la variable y

ty =N∑

k=1

yk

Cuando se observa (yk , xk) para k ∈ S .


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Sea

xk = (x1k , . . . , xjk , . . . , xJk)′

denota el valor para el k-esimo elemento de un vector auxiliarJ-dimensional.El objetivo estimar el total poblacional de la variable y

ty =N∑

k=1

yk

Cuando se observa (yk , xk) para k ∈ S .


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Supuestos del Modelo

Bajo los siguientes supuestos expresados en terminos de un modelo.Mas precisamente, el modelo de regresion ξ que tiene las siguientespropiedades:

1 y1, . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de lasvariables aleatorias Y1, . . . ,YN .

2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.

donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respectoal modelo ξ, y donde β1, . . . , βJ y σ2

1, . . . , σ2J son parametros del

modelo.


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2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.



modelo.


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2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.



modelo.


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2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.



modelo.


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2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.



modelo.


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2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.



modelo.


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2 Eξ(Yk) =∑J

j=1 βjxjk ; k = 1, . . . ,N.

3 Vξ(Yk) = σ2k ; k = 1, . . . ,N.



modelo.


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Estimador de Regresion para el Total

Estimador para el Total

tGREG = tyπ +J∑

j=1

Bj(txj − txjπ) (1)

donde

tyπ =n∑

k=1

yk

πk

es el π estimador de ty ,

txjπ =n∑

j=1

xj

πk

es el π estimador de total txj conocido.Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR ESTIMADORES DE REGRESION

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tGREG = tyπ +J∑

j=1


donde

tyπ =n∑

k=1

yk

πk


txjπ =n∑

j=1

xj

πk


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tGREG = tyπ +J∑

j=1


donde

tyπ =n∑

k=1

yk

πk


txjπ =n∑

j=1

xj

πk


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Donde

Estimador de B

B = (B1, . . . , BJ)′ =

(n∑

k=1

xkx′k/σ2

kπk

)−1 n∑k=1

xkyk/σ2kπk (2)

es solucion de las ecuaciones normales basada en la muestra

n∑k=1

xkx′k/σ2

kπk =n∑

k=1

xkyk/σ2kπk


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Donde

Estimador de B

B = (B1, . . . , BJ)′ =

(n∑

k=1

xkx′k/σ2

kπk

)−1 n∑k=1

xkyk/σ2kπk (2)


n∑k=1

xkx′k/σ2

kπk =n∑

k=1

xkyk/σ2kπk


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Donde

Estimador de B

B = (B1, . . . , BJ)′ =

(n∑

k=1

xkx′k/σ2

kπk

)−1 n∑k=1

xkyk/σ2kπk (2)


n∑k=1

xkx′k/σ2

kπk =n∑

k=1

xkyk/σ2kπk


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Donde

Estimador de B

B = (B1, . . . , BJ)′ =

(n∑

k=1

xkx′k/σ2

kπk

)−1 n∑k=1

xkyk/σ2kπk (2)


n∑k=1

xkx′k/σ2

kπk =n∑

k=1

xkyk/σ2kπk


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tGREG = tyπ + (tx − txπ)′B (3)

donde es como esta definido en 2.


tGREG =n∑

k=1

gksyk

πk(4)

donde

gsk = 1 + (tx − txπ)′T−1xk/σ2k

T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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tGREG =n∑

k=1

gksyk

πk(4)

donde


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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tGREG =n∑

k=1

gksyk

πk(4)

donde


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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tGREG =n∑

k=1

gksyk

πk(4)

donde


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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Varianza para tGREG y Estimacion de AV (tGREG )

AV (tGREG ) =∑∑

U

(πkl − πkπl)

(yk − x′kB

πk

)(yl − x′lB

πl

)(5)

Estimacion de AV (tGREG )

V (tGREG ) =n∑

k=1

∑k<l

(πkl − πkπl

πkl

)(gks eks)(gls els) (6)

Donde

eks = yk − yk

yk = x′kB =∑J

j=1 Bjxjk


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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AV (tGREG ) =∑∑

U

(πkl − πkπl)

(yk − x′kB

πk

)(yl − x′lB

πl

)(5)


V (tGREG ) =n∑

k=1

∑k<l

(πkl − πkπl

πkl


Donde

eks = yk − yk

yk = x′kB =∑J

j=1 Bjxjk


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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AV (tGREG ) =∑∑

U

(πkl − πkπl)

(yk − x′kB

πk

)(yl − x′lB

πl

)(5)


V (tGREG ) =n∑

k=1

∑k<l

(πkl − πkπl

πkl


Donde

eks = yk − yk

yk = x′kB =∑J

j=1 Bjxjk


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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AV (tGREG ) =∑∑

U

(πkl − πkπl)

(yk − x′kB

πk

)(yl − x′lB

πl

)(5)


V (tGREG ) =n∑

k=1

∑k<l

(πkl − πkπl

πkl


Donde

eks = yk − yk

yk = x′kB =∑J

j=1 Bjxjk


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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AV (tGREG ) =∑∑

U

(πkl − πkπl)

(yk − x′kB

πk

)(yl − x′lB

πl

)(5)


V (tGREG ) =n∑

k=1

∑k<l

(πkl − πkπl

πkl


Donde

eks = yk − yk

yk = x′kB =∑J

j=1 Bjxjk


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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AV (tGREG ) =∑∑

U

(πkl − πkπl)

(yk − x′kB

πk

)(yl − x′lB

πl

)(5)


V (tGREG ) =n∑

k=1

∑k<l

(πkl − πkπl

πkl


Donde

eks = yk − yk

yk = x′kB =∑J

j=1 Bjxjk


T =∑n

k=1xkx

′k

σ2kπk


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Pasa por el OrigenNo pasa por el Origen

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Estimador de Razon

En el caso de una variable auxiliar y el modelo Eξ(yk) = βxk yVξ(yk) = σ2xk

Estimador de Razon

tGREG =tyπ

txπtx (7)

Bajo el muestreo aleatorio simple sin reemplazo


V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(8)

donde B = ys/xs y n = fN es el tamano de la muestra.


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Estimador de Razon


Estimador de Razon

tGREG =tyπ

txπtx (7)



V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(8)



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Estimador de Razon


Estimador de Razon

tGREG =tyπ

txπtx (7)



V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(8)



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Estimador de Razon


Estimador de Razon

tGREG =tyπ

txπtx (7)



V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(8)



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Estimador de Razon


Estimador de Razon

tGREG =tyπ

txπtx (7)



V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(8)



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Ejemplo

MAS de tamano n = 49 de 196 ciudades de Estados Unidos. Elproblema es estimar el numero total de habitantes en las 196ciudades en 1930. Se conoce el valor total para 1920, tx , su valores 22.919.000.

xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi

76 80 120 115 60 57 44 58 38 52 71 79 36 46138 143 61 69 46 65 77 89 139 139 256 288 161 23267 67 387 459 52 50 64 63 116 130 43 61 74 9329 50 93 104 507 634 64 77 46 53 25 57 45 53

381 464 172 183 179 260 56 142 243 291 94 85 36 5423 48 78 106 121 113 40 60 87 105 43 50 50 5837 63 66 86 50 64 40 64 30 111 295 317 48 75


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Ejemplo



76 80 120 115 60 57 44 58 38 52 71 79 36 46138 143 61 69 46 65 77 89 139 139 256 288 161 23267 67 387 459 52 50 64 63 116 130 43 61 74 9329 50 93 104 507 634 64 77 46 53 25 57 45 53

381 464 172 183 179 260 56 142 243 291 94 85 36 5423 48 78 106 121 113 40 60 87 105 43 50 50 5837 63 66 86 50 64 40 64 30 111 295 317 48 75


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Ejemplo



76 80 120 115 60 57 44 58 38 52 71 79 36 46138 143 61 69 46 65 77 89 139 139 256 288 161 23267 67 387 459 52 50 64 63 116 130 43 61 74 9329 50 93 104 507 634 64 77 46 53 25 57 45 53

381 464 172 183 179 260 56 142 243 291 94 85 36 5423 48 78 106 121 113 40 60 87 105 43 50 50 5837 63 66 86 50 64 40 64 30 111 295 317 48 75


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Solucion. De los datos de la muestra se tiene:∑n

k xk = 5048∑n

k yk = 6262 S2x = 10881 S2

y = 15159 Sxy = 12609 B = 1.24

La estimacion del total basada en la variable (yi ):

tπ = Ny = 25048

La varianza estimada del total es:

V (tπ) =N2(N − n)

N

S2y

n= 8913492

La estimacion de razon para las 196 ciudades es:

tr = Nxy

y= 28397

La varianza estimada del total:

Vr =N(N − n)

n(S2

y + B2S2x − 2BSxy ) = 36310.


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k xk = 5048∑n

k yk = 6262 S2x = 10881 S2

y = 15159 Sxy = 12609 B = 1.24


tπ = Ny = 25048


V (tπ) =N2(N − n)

N

S2y

n= 8913492


tr = Nxy

y= 28397


Vr =N(N − n)

n(S2

y + B2S2x − 2BSxy ) = 36310.


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k xk = 5048∑n

k yk = 6262 S2x = 10881 S2

y = 15159 Sxy = 12609 B = 1.24


tπ = Ny = 25048


V (tπ) =N2(N − n)

N

S2y

n= 8913492


tr = Nxy

y= 28397


Vr =N(N − n)

n(S2

y + B2S2x − 2BSxy ) = 36310.


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k xk = 5048∑n

k yk = 6262 S2x = 10881 S2

y = 15159 Sxy = 12609 B = 1.24


tπ = Ny = 25048


V (tπ) =N2(N − n)

N

S2y

n= 8913492


tr = Nxy

y= 28397


Vr =N(N − n)

n(S2

y + B2S2x − 2BSxy ) = 36310.


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k xk = 5048∑n

k yk = 6262 S2x = 10881 S2

y = 15159 Sxy = 12609 B = 1.24


tπ = Ny = 25048


V (tπ) =N2(N − n)

N

S2y

n= 8913492


tr = Nxy

y= 28397


Vr =N(N − n)

n(S2

y + B2S2x − 2BSxy ) = 36310.


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)

Estimadores para el Modelo en MAS

B =

∑s(xk − xs)(yk − ys)∑

s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)


B =


s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)


B =


s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)


B =


s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)


B =


s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)


B =


s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Para el Modelo

Eξ(yk) = β1 + β2xk (9)

Vξ(yk) = σ2 (10)


B =


s(xk − xs)2(11)

t = N[ys + B(xU − xs)] (12)

V (tGREG ) = N2

(xU

xs

)2 1− f

n

∑s(yk − Bxk)2

n − 1(13)


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Ejemplo

Estimar el numero de arboles secos en una determinada region, sedivide en 100 lotes cuadrados y contamos el numero de arbolesseco a travez de una fotografıa aerea en cada terreno. El numerototal de arboles secos revelados en las fotografıas es detx = 11300. El conteo en las fotos se puede hacer rapidamente,pero a veces un arbol queda mal clasificado o no es detectado. Ası,elegimos una muestra aleatoria simple de 25 de los terrenosdivididos para el conteo de campo de los arboles secos. En lasiguiente tabla se muestran los datos.

Foto 10 12 7 13 13 6 17 16 15 10 14 12 10

Campo 15 14 9 14 8 5 18 15 13 15 11 15 12

Foto 5 12 10 10 9 6 11 7 9 11 10 10

Campo 8 13 9 11 12 9 12 13 11 10 9 8


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Solucion. De los datos de la muestra se tiene:

µx = 11.30, arboles por area en las fotografıas

x = 10.60, arboles en la muestra con fotografıas

y = 11.56, arboles por area en la muestra en terrenos

B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1

(xi − x)2 = 0.6133, pendiente

B0 = y − B1x = 5.0593, intercepto

tGREG = N[B0 + B1µx ] = 11990, estimacion numero total arboles secos

s2e =

1

n − 1

n∑i=1

(ei − e)2 = 5.5483, varianza de los residuales

V (tGREG ) = N2(1− f )s2e

n= 1665, varianza estimada del total


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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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B1 =

(n∑

i=1

(xi − x)(yi − y)

)/

n∑i=1




s2e =

1

n − 1

n∑i=1





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IntroduccionMetodo la NavajaMetodo de los Grupos Aleatorios Dependientes

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Introduccion

Estimar la varianza de un estimador lineal en un muestreo aleatoriosimple es relativamente sencilla. Pero en una muestra compleja,por ejemplo, donde:

Se realizan varios niveles de estratificacion y conglomerados.

Cuando no es posible conocer las probabilidades de inclusionde segundo orden.

En algunos casos V (t) puede ser negativa.

En otros casos se quiere estimar parametros diferentes al totaly al promedio poblacional.

En esta seccion se describen dos metodos para estimar lasvarianzas de los totales y de otras estadıaticas complejas: elmetodo de Navaja y el de los Grupos Aleatorios Dependientes.


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Metodo la Navaja

Sea s una muestra de tamano n fijo extraıda de una poblacion Ude tamano N con un diseno p(.) sin reemplazo, se divide s en Rgrupos aleatorios disjuntos. Se calcula θ(r) como un estimador de θa partir de la muestra s omitiendo el r-esimo grupo aleatorio sr .

El r-esimo seudovalor Jackknife de θ, se defineθr = θ + (R − 1)θ(r).El estimador Jackknife de θ, se define

θJK = 1R

R∑r=1

θr

el estimador Jackknife de la varianza se define como

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 (14)

otra manera de VJK2 es sustituir en 14 a θJK por θ.


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Metodo la Navaja



θJK = 1R

R∑r=1

θr


VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 (14)



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Metodo la Navaja



θJK = 1R

R∑r=1

θr


VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 (14)



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Metodo la Navaja



θJK = 1R

R∑r=1

θr


VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 (14)



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Metodo la Navaja



θJK = 1R

R∑r=1

θr


VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 (14)



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Metodo de los Grupos Aleatorios Dependientes

Sea s una muestra de tamano n fijo extraıda de una poblacion Ude tamano N con un diseno p(.) sin reemplazo, se divide s en Rgrupos aleatorios disjuntos. Se calcula θr como un estimador de θcon el r-esimo grupo aleatorio sr .

El estimador de θ con los Grupos Aleatorios Dependientes, sedefine

θGAD = 1R

R∑r=1

θr

el estimador GAD de la varianza se define como

VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 (15)

otra manera de VGAD es sustituir en 15 a θGAD por θ.


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θGAD = 1R

R∑r=1

θr


VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 (15)



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θGAD = 1R

R∑r=1

θr


VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 (15)



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θGAD = 1R

R∑r=1

θr


VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 (15)



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Estimacion de la varianza con la navaja

Ejemplo

Para hallar el estimador Jackknife con los datos de la Tabla 1, seeliminan dos columnas (xi ), (yi ) consecutivas y con las demas seestima el total, de la misma manera como se hace con unestimador de razon.θ(r) = 28480, 28895, 28132, 28024, 28319, 28872, 28131

θr = 27902, 25411, 29989, 30635, 28868, 25545, 29993

θJK =1

R

R∑r=1

θr = 28335

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 = 656671


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Ejemplo


θr = 27902, 25411, 29989, 30635, 28868, 25545, 29993

θJK =1

R

R∑r=1

θr = 28335

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 = 656671


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Ejemplo


θr = 27902, 25411, 29989, 30635, 28868, 25545, 29993

θJK =1

R

R∑r=1

θr = 28335

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 = 656671


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Ejemplo


θr = 27902, 25411, 29989, 30635, 28868, 25545, 29993

θJK =1

R

R∑r=1

θr = 28335

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 = 656671


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Ejemplo


θr = 27902, 25411, 29989, 30635, 28868, 25545, 29993

θJK =1

R

R∑r=1

θr = 28335

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 = 656671


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Ejemplo


θr = 27902, 25411, 29989, 30635, 28868, 25545, 29993

θJK =1

R

R∑r=1

θr = 28335

VJK1 =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θJK )2 = 656671


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Ejemplo

Para calcular la estimacion del total con los Grupos AleatoriosDependientes con el estimador de razon, en la tabla 1, seconsideran cada dos columnas (xi ), (yi ) consecutivas como ungrupo aleatorio dependiente.θr = 27924, 26320, 29522, 32920, 28886, 25967, 31119

θGAD =1

R

R∑r=1

θr = 28951

VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 = 896631


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Ejemplo


θGAD =1

R

R∑r=1

θr = 28951

VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 = 896631


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Ejemplo


θGAD =1

R

R∑r=1

θr = 28951

VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 = 896631


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Ejemplo


θGAD =1

R

R∑r=1

θr = 28951

VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 = 896631


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Ejemplo


θGAD =1

R

R∑r=1

θr = 28951

VGAD =1

R(R − 1)

R∑r=1

(θr − θGAD)2 = 896631


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FINHumberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR ESTIMADORES DE REGRESION