Espacios vectoriales

Estructuras algebraicas.

Las estructuras algebraicas son conjuntos donde hay definidas ciertas operaciones, que satisfacen unas determinadas propiedades. Las operaciones pueden ser de varios tipos. Por ejemplo, una operación binaria interna, definida en un conjunto X , es una función que a dos elementos de X (dados en orden), le hace corresponder otro elemento de X . Es decir, una función

p : X × X → X.

La primera estructura algebraica que estudiaremos, una de las más básicas y utilizadas, es la de grupo:

1. Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ G.

2. Elemento neutro: ∃e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a,

∀a ∈ G.

3. Elemento opuesto: ∀a ∈ G, ∃a′ ∈ G tal que a ∗ a′ =

a′ ∗ a = e.

GRUPOSea G un conjunto no vacío, y sea ∗ una operación interna definida en G. Se dice que (G, ∗) es un grupo, si se cumplen las siguientes propiedades:

Normalmente, la operación interna ∗ será la suma o el producto de elementos. En la notación aditiva, el elemento neutro se denota 0, y el elemento opuesto a a se denota −a. En la notación multiplicativa, el elemento neutro se denota 1, y el elemento opuesto a a,

que en este caso se llama el inverso de a, se suele denotar a−1, o bien 1/a .

Sea (G, ∗) un grupo. Se dice que G es conmutativo o abeliano si, además de las propiedades de grupo, verifica la siguiente:•Propiedad conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G.

Ejemplo. • Algunos ejemplos de grupos son los siguientes:•(Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos aditivos.

•El conjunto de matrices m × n con entradas en un cuerpo K (ahora veremos la definición de cuerpo), junto con la suma de matrices, es un grupo abeliano aditivo.

•Los vectores de n coordenadas, con la suma de vectores, forman un grupo abeliano.

AnilloSea A un conjunto no vacio, y sean +, · dos operaciones internas, que llamaremos suma y producto, definidas en A. Se dice que (A, +, ·) es un anillo, si se cumplen las siguientes propiedades:•(A, +) es un grupo abeliano. •Propiedad asociativa del producto: (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A.

3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: •a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A, (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.

Dado un anillo (A, +, ·), se dice que es unitario, o que tiene elemento unidad, si cumple la siguiente propiedad:•Elemento neutro: ∃u ∈ A tal que a·u = u·a = a ∀a ∈ A.

Dado un anillo (A, +, ·), se dice que es conmutativo si cumple la siguiente Propiedad: • Propiedad conmutativa: a · b = b · a, ∀a, b ∈ A.

Ejemplo Algunos ejemplos de anillo son los siguientes:(Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son anillos conmutativos.

•Si Z[x] es el conjunto de los polinomios en la variable x, con coeficientes en Z, y definimos naturalmente la suma (+) y el producto (·) de dos polinomios, entonces (Z[x], +, ·) es un anillo conmutativo.

•De igual modo, (Q[x], +, ·), (R[x], +, ·), y (C[x], +, ·) son anillos conmutativos.

•El conjunto de matrices m × n con entradas en un cuerpo K, con la suma y el producto de matrices, es un anillo no conmutativo.

•En resumen, si (A, +, ·) es un anillo, entonces (A, +) es un grupo, y (A, ·) es casi un grupo: sólo le falta el elemento inverso, y puede que el elemento unidad.

CuerpoSea K un conjunto no vacio, y sean +, · dos operaciones internas, que llamaremos suma y producto, definidas en K. Se dice que (K, +, ·) es un cuerpo, si se cumplen las siguientes propiedades:

•(K, +) es un grupo abeliano.

•(K\{0}, ·) es un grupo abeliano, donde 0 es el elemento neutro de la suma.

•Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ K,

Dicho de otra forma, un cuerpo es un anillo conmutativo, con elemento unidad, donde todo elemento no nulo tiene inverso. Observemos que la propiedad distributiva sólo tiene una condición. Esto es porque el producto es conmutativo, luego la otra condición es consecuencia de la primera.

Ejemplo ; Algunos ejemplos de cuerpo son los siguientes:(Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son cuerpos.

Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial,

Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores

si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a cada

uno de ellos por un escalar cualquiera .

El vector es combinación lineal de los vectores S si tal que:

ES DECIR:

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Ejemplo:

Sea , espacio Vectorial

S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}

Combinación Lineal:

• 3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2)

• 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = ( 18,5, 13)

Por Ejemplo:

Determine si es combinación lineal.

S = {(1,0) , (0,1)}

ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )

(ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada 1 0 0

0 1 0

Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver que tiene única solución, debido a que su determinante es diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es combinación lineal de otro.

2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }

Entonces, como primer paso: ( 1, 2, 3 ) + ( 2 , -1, 0 ) + (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 , 0)

Al desarrollarlo tenemos:(,,3) + (2, -,) + (3,3) = ( 0, 0, 0 )

Al Hacer la matriz ampliada, tenemos:

1 2 3 0 2 -1 1 0 3 0 3 0

Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero, por lo que podemos concluir dos cosas, que el

sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de ecuaciones homogéneas,

concluimos que tiene infinitas soluciones.

EJERCICIOS RESUELTOS1. Dado el espacio vectorial: ( R, R2,+, * ). ¿u = (3,3), es combinación lineal de

T?, SIENDO T = {(2, -1), (1, -2)}

Procedemos de la siguiente manera:

(3,3) = a(2,-1) + b (1,-2)

(3,3) = (2a, -a) + (b,-2b)

(3,3) = (2a + b , -a - 2b )

2a + b = 3 2 1 3-a - 2b = 3 -1 -2 3

“Entonces al sacar el determinante, podemos ver que es diferente de cero, por lo

tanto podemos concluir que el u=(3,3)es combinación lineal de T “

2. Dado el espacio vectorial: ( ). ¿u = (1, 3,0), es combinación lineal de T?

T = {(2, -1,3), (4, 1,2), (1, 0,0)}

Procedemos de la siguiente manera:

(1, 3,0) = a(2,-1,3) + b (4,1,2) + t (1, 0,0)

(1, 3,0) = (2a, -a, 3a) + (4b,b, 2b ) +(t, 0, 0)

(1, 3,0) = (2a + 4b + t, -a +b, 3a + 2b)

2a + 4b + t = 1 2 4 1 1-a +b = 3 -1 1 0 33a + 2b =0 -1 -2 3 0

“Entonces al sacar el determinante, podemos ver que es diferente de cero, por lo tanto podemos concluir que el u= (1, 3,0) es combinación lineal de T “

EJERCICIOS PROPUESTOS:Determine si existe o no combinación lineal en los siguientes

ejercicios.

1. S = {(1,1,0),(0,2,3),(1,2,3),(0,0,0)}

2. S = {( t2+1), (t-2), (t+3)}

3. S = {(2 t2 +t), (3 t2 +t-5), (t+13)}

4. Sean T = {(3, 0,-2), (2,-1,-5)} y V = (1,-2,-5)a) Para qué valor de X el vector (1,-2, X), se expresa como

combinación lineal de T?b) ¿Se puede expresar v como combinación lineal de T ?

Definición.- Un vector es unitario si su módulo es 1

Ángulo de dos vectores.- Dados los vectores u=(x,y), v=(a,b), se define el ángulo de dos vectores mediante:

Ejemplo.- Halla el ángulo que forman los vectores  u=(1,2) y v=(2,-1).

RESUMEN

Definición.- Dos vectores se dicen ortogonales si su producto escalar es cero.

• PROYECCION ORTOGONAL