Marius PERIANUCostel ANGHELGrafian SAFTALucian PETRESCU

ESENTIAL

Matematiciclasa a Vlll-a

I

)w4/ cLueuL \/urreumcteutton\

CuprinsnLcesnA

Capitolul 1. Numere ralionale

1.1. Mullimi de numere reale. N cZ c. Q c iR 7

1.2. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor.

Compararea 5i ordonarea numerelor reale ............ 13

1.3. Modulul unui numSr real ............... 19

"1.4. lntervale in iR.. Definilie, reprezentare pe axd .............'. 23

Teste de evaluore ,.......,..... 29

1.5. Operalii cu numere reale ............. 33

1.6. Ralionalizarea numitorilor .............'....... 42

Testedeevaluare 47

1.7. Calcul cu numere reale reprezentate prin litere1.7.1. Adunarea 5i sciderea .....'.....'.'.... 51

1.7.2. inmullirea gi impdrlirea. Puteri cu exponent intreg .........'........... 54

1.8. Formule de calcul prescurtat 58

1.9. Descompunerea in factori1.9.1. Metoda factorului comun 65

1.9.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat 67

1.9.3. Descompunerea in factori folosind metode combinate 70

Teste de evaluore .............. 72

1.10. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere.

Amplificarea. Simplificarea .'.................. 75

1.1 1. Operalii cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

1.1 1.1. Adunarea 5i scdderea " 79

1 ."1 "1 .2. in m u l1i rea, im perti rea, rid ica rea la putere.

Expresii cu toate oPeraliile 82

Teste de evaluare .............. 87

GEOMETRIE lCapitolul 2. Corpuri geometrice i

oa=2.1. Puncte, drepte, p1ane............. zJ o2.2. Piramida .................... 97 32'3' Prisma' """""""""""' 102 €

Teste de evaluare ................ .'.....'...' 106 62.4. Poziliile relative a doud drepte in spaliu ..'..... 109 E2.5. Unghiul a doui drepte in spaliu. Drepte perpendiculare ........'.........."""' 1 12

=Teste de evaluore ................ '........." 1 15 E

=3

119

"t22"t26

129

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

Poziliile relative ale unei drepte fa15 de un plan.Dreapti paraleli cu un plan...Dreapti perpendiculari pe un plan.Distanla de la un punct la un plan.lnillimea piramidei.....Teste de evaluarePoziliile relative a doui gi trei planePlane paralele. Teoreme de paralelism ;i..........Secliuni paralele cu baza in corpurile studiate.Trunchiulde piramidiTeste de evaluare

Capitolul 3. Proieclii ortogonale3.1. Proieclii de puncte, segmente gi drepte pe un plan ........... 1413.2. Unghiul uneidrepte cu un plan. Lungimea proiecliei unuisegment ....... 1453.3. Teorema celor trei perpendiculare ................... ........................ 149

Teste de evaluare .... 1533.4. Unghiuldiedru. Plane perpendiculare........ ..... "tS7

3.5. Calculul unor distanle gi misuri de unghiuri pe felelesau in interiorul corpurilor studiate ................. 162Teste de evoluore .............. .............. 167

Capitolul 4. Variante de subiecte pentru tezi ............ ...... "t73

Solulii 179

132136

3rJvtTIgE

uI4ct!U=J

ltrn

.9(!|J

ut-I2Eo

1,,

fzAEutrf(!

=

ALGEBRA

Irlum*;;;;i;t1.1. Mullimi de numere reale: N cZ c Q c IR

1.2. Reprezentalea pe axi a numerelor reale.

Compararea numerelor reale

1.3. Modulul unui numir real

1.4. lntervale de numere reale

Teste de evaluare

1.5. Operalii cu numere reale

1.6. Ralionalizarea numitorilor

Teste de evaluore

1.7. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

1.7.1. Adunarea 9i sciderea

1.7.2. inmultirea fi impirlirea. Puteri Gu exponent intreg

1.8. Formule de calcul Prescurtat1.9. Descompunerea in factori

Teste de evaluare

1.10. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere.

Amplificarea. SimPlificarea

1.11. operalii cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

1.1 1.1. Adunarea 9i sciderea

1.11.2.inmutlirea 5i impirfirea. Expresii Gu toate operaliile

Teste de evaluare

CAPITOLUL 1

Ir{umere reale

1.1. Mullimide numere reale: N c Z c Q c IR

Mullimea numerelor naturaleNotalii. N - {0,1,2,...,2,'..} este mullimea numerelor naturale;

N* = N \ {0} = {1,2,...,n,...\ este mullimea numerelor naturale nenule.

Observalie. Mu[imea numerelor naturale N este stabild in raport cu operaliile

de odunie Si inmullire, adic[ suma a doul numere naturale este un numdr natural,

iar produsul a doul numere naturale este tot un num6r natural.

Mullimea numerelor intregiNotalii. Z = {...,-2,-1,0,+1,+2,...\ este mul\imea numerelor intregi;

Z* =Z\{0} este mullimeq numerelor intregi nenule.

observalia 1. N c Z si Z={t"l"e N} = {-"1,e N*}u{o}uN* '

Observalia 2. Mulfimea numerelor intregi este stabild in raport cu operafiile de

adunare,'scddere gi tnmullire, adicd suma, diferenta 9i produsul a doul numere

intregi sunt numere intregi.

Mullimea numerelor ralionale

Notalii. * = {;I

a eZ, b eZ*l este mullimea numerelor ralionale;)

q* = Q \ {0} este mullimea numerelor ralionale nenule'

Observalia l. Mulfimea numerelor ralionale este stabild in raport cu operaliile de

adunare,'scddere, tnmul1ire qi tmpdrlire, adictr suma, diferenia, produsul gi c6tul a

doui numere ralionale (dintre care implrtitorul este nenul) sunt numere ralionale.

Observalia 2. Pentru orice numlr ralional nenul q existi o unicd fraclie

ireductibild 1 , "u

o eZ Si D e N*, astfel incdt q =9.b,--' b

Observalia 3. Un num[r rational poate fi reprezentat prin fraclii ordinare

echivaleite sau printr-o fraclie zecimald finitd sau periodicd.

12" 24Exemple' "' ; =; =2'4 '

fractie zecimallfinitd;

250 121 = 41,666... = 41,(6), fraclie zecimalb periodicd sinpld;b'o=l

ls05c. T =250,8333-.. = 250,s(3), fraclie zecimalbperiodicd mixtd'

Mullimea numerelor realeNota;ii. IR. este mullimea numerelor reale;

lR.* este mulyimea numerelor reale nenule;IR \Q este mullimea numerelor irayionale.

Observalia 1. N c Z c Q c JR..

Observalia 2. Orice numdr iralional este reprezentat de o fraclie zecimaldinfinitd Si neperiodicd.Observalia 3. Reciproc, dacl un numdr real este reprezentat de ofraclie zecimaldinfinitd Si neperiodicd, atunci numdrul este iralional.

CUNOA$TERE 9I EXERSAREf. in dreptul fiecireia dintre propoziliile de mai jos, inscrieli litera A dacd

propozilia este adevlratii, sau F dacl propozilia este fals6:

a,) l0l e N; D J25 eQ; c) l,(5) eQ\Z;

d)S-teR\Q; elffez; f-*.*a 2. inscrieli in celulele tabelului de mai jos cuvdntul da sau nu in func{ie de relafiag de apartenen!5 a numerelor aflate pe prima coloani la mullimile indicate peY orima linie:F

EC.gufJ

ltUtc(E

l!

I

rlj

IzEo\J

N .77 Z\N Q\Z a R\Q R

-Je0,2

l.(3)

6(+)

'

4 Jo2s45

$2J8

? 3. Se considerr secvenla de numere: -(-2); -It -6, (;)' ;0,2013; -JF;GE t,(2) ;2,0(3) ; -J025. Dintre acestea,

= a/ numerele naturale sunt ... ; b) numerele intregi gi negative sunt ... ;

S c) numerele iralionale sunt ... ; d)numerele ralionale gi neintregi sunt ... .

-;-

4. Fie mut{im ea A={*' (i) ' ; z,o(14\;s20ra' -

telementele fiectrreia dintre urmltoarele mu[imi:a/ z4nN ; b),4n(Z\N) ; c) lnQ;d) Aa(Q\Z); e) AaQ*; l) ln(iR\Q)'

5. Asociafi fiecirei litere aflatii in coloana din st6nga cifra corespunzltoare aflatii

in coloana din dreapta astfel inc6t numIrul real scris in dreptul literei sI aparfini

mulfimii scrise in drePtul cifrei:

4 -JefB) 5-1+0,8

c) 0,1(6)

D ,ltE , z\N

6. Asociali fieclrei litere aflati in coloana din stlinga numirul corespunzltor aflat

in coloana din dreapta astfel incdt calculul scris in dreptul literei s[ aib[ ca

reanllatnumIrul aflat in dreptul cifrei:

1)N2) Q\v,3) Q_\z4) R\Q

1)12') 33)e4\2s)0

A) sumadintre un numdr real gi opusul sdu

B) inversul numtrrului 0,5

C) produsul dintre un numtrr real nenul 9i inversul s[u

D) rfuddcina pdtrati anumirului .,6 I

7. Asociafi fiecirei litere aflati in coloana din st6nga numdrul corespunzitor aflat

in coloana din dreapta astfel incit numlrul real scris in dreptul literei sI fie egal

cu cel aflat in drePtul cifrei:

42al

-.-'24'100el:'92

or1#,

n#,

33c) ,t;. 2013ol

-'

- 2ot4'

1) 0,5

2) 0,(6)

3) 0,(3)

4) 0,75

5) 1,5

1005dt

-.' 105'.. 2424h) 3$6'

A)E

" (?)'

" -?i)

DJ78. Dintre urm6tdarele fraclii, indicati fracfiile reductibile:

_tJ5'-+' |. Determinati

I

(EI

t!(!

s\J

rJF

=l|lF

=

-

9

DlJtilIEFtalGc.c

=J

Fltrac.g|!(,

ut-r,zc,

o(J

DzsEuto)t!

=

IIACUMULARE $I CONSOTIDARE

9. Reprezentali sub forml de fracfie ordinar6 fiecare dintre numerele:

10. Reprezentafi sub formi de fraclie ordinard ireductibilE fiecare dintre numerele:

a) 5,21;

e) l,(02);

a) 1,2;

e) 1,0(3);

-17s) to;. lle)

oo;

A)a) fi,:.6e) u;

ol,.30e) +t;

-12o) i;- 123e) ,o;

b) 11,22;

fi 1,2(32);

b) 0,75;

fl O,tQ);

r) *;n?,

t)ffi,a 133,

t) t;t*,

o>#,

t#'

c) 3,(5);

I 2,33(2);

c) l,(2);p l,10(6);

.1c) zoi

.41I ss)

"'" o 2,(6);h) 0,20(t4).

o 0,(12);

h) 3,1(45).

a*'b251.' 990

o#'D#

o*,DE

o#,,. 9898n)-.' 8989

11. Transformali urmrtoarele fraclii ordinare in fracfii zecimale, amplificdndu-le,eventual, convenabil:

12. Transformali urmrtoarele fractii ordinare in fractii zecimale, simplificdndu-le,eventual, mai int/ii:

13. Reprezentali urmrtoarele numere ralionale sub formr de fraclie zecimald:

,35cl -.

' 500'.210 uo;

- 123c) a;.12ei;

- 120

") x;, 5000I oooo;

14. Dinhe urmltoarele fractii, indicati fracfiile echivalente cu fractia

_ -100150

15. Determinali numerele naturale nenule a gi 6 pentru care fracfia ireductibile feste echivalentii cu fracfia:

)3'12.18'

n)#; o*, o

n*, e#; h)

,6a) s;.36e)

sqi

16. Reprezentati numerele ralionale de mai jos sub forma

ot-*;fl 4,(56);

b) 0,123;

/) 3,(09);

ct -z1,;

S) -5,2(6);

aeZ Si beN*:

o 0,125;

h) 0,65(4).

d) 13,579 ;

h) t,23(45).

a;'CUb

--7a) -'=l-o

e) l,(6);17. Dati cite un exemplu de :

a) numdr intreg al c6rui opus este numlr natural;

D) numdr ralional al clrui invers este numlr intreg;

c) numir iralional al clrui pitrat este numir natural;

tl) mtmdr real exprimat sub forma unei fraclii zecimale neperiodicd 9i infiniti.

18. Reprezentali inbaza 10 urmitoarele numere ra{ionale:

a) 321;e) 20,(1);

c) 65,43;

a 0,1(2);

Rezolvare. c) 321 = 3.10'z + 2.101 +1'100 .

c) 65,43= 6. 10r + 5' 100 + 4' 10-1 + 3' 10-2 = 6' 10r + 5' 100 * * * *'10' 10'

19. Determinafi, in fiecare din situafiile urmltoare, numerele intregi n pentru care

relaliile urmdtoare reprezinti propozrlii adevirate:

20. Numerele 12,12; 0,(12) 9i 1,1(6) se scriu sub formd de fraclie zecimal['

c) Scrieli a 100-a cifr[ de dupl virguli a fiecirui numlr;

D) Determinali a2013-a cifr6 de dupd virgul[ a fieclrui numdr;

c) Calculali suma primelor 2014 zecimale pentru fiecare numdr.

21. Dali cite trei exemple de numere naturale,4 penffu care fraclia !2 este:

a) subunitarl;d) zecimaldfrniti,;

22. Aflali cel mai mic

reprezintii simultan numere naturale.

2' 2 sub formd de:23. Scrieli un num[r raJional cuprins intre ! Si ,

a) fraclie zecimaldfinlti; b) fuaclie zecimald periodicl; c) fraclie ordinard.

24. Demonstrali ci numerele urm[toare sunt rafionale:

or ;f eN;

0 fr-rez.;

u *ez\N;. 4n+24 V;eui

D) ireductibill;e) periodicd simpll;

numir natural nenul a Pentru

4 ffiez;fl 6r+15.N.

3n +2

c,) reductibil5;

;fl periodicd mixti.

aaclcarelraclule g,6 $,

12

a1 (sJn +tJi),J1; al (4.6 -ralra)' (:zJlz) ;

O #,unde a e lR* ',(

I

(!f(!l!

s\J

rJ

=ulF

=

-

11

Br/x *E),n,

25. Stabiliri dac6 numlrul J7 este ra{ional in fiecare dintre urmitoarele cazuri:a) A=12 +23;

c) A=1.2.....2014+2;

b) A =l+3+5+7+ ...+2013 ;

26. Scrieti elementele mu[imilor:

a) A ={.r e N I * = Ji, n. {t,2,...,t0\\ ;

c)c={reNlr<l0eiGex};Determinafi cifrele a, D, c astfel inc6t

a/ rffieN; ol 'Ftc,tt

27.

.gf

J

ttvtc.g(E

(,

IU

IzEo\J

lzsEuto.alE

=12

*1 -= = S *,fi= IV;E=...= @S

b) B={,.r1#.r\,d) D={r.xlrf,,.r.x}

si aib[ loc rela]iile:

: l0; d tlab+ba el\,

28. Se considerl num[rul o =ft 9i mu{imea I ={a;2a;3a:...;l8a}.

a,) Determinali numIrul de elemente din mulflmea lnN;b) Calculali probabilitatea ca, aleg6nd la int6mplare un element din M, acesta s6fie num[r natural.

rIIH APRoFUNDARE 9I DEZVoLTAREFH 29. Aratat' cd dac[ p € Q, atunci numirul Jap' +tf -(p' -tf este rafional.

30. Fie n) 2 un numlr natural. Adtali cd dacd numirul x e IR* verificd relalia

.*+=JTi,atunci ffi.*.31. inscrieli in celulele tabelului aldturat patru numere iralionale,

respect6nd, in fiecare caz de mai jos, condiliile precizate:a,) sumele numerelor aflate pe fiecare linie, respectiv coloan[ sdfie ralionale;D) produsele numerelor aflate pe fiecare linie, respectiv coloanl s[ fie rafionale;Q ati./- sumele, cdt gi produsele numerelor .aflate pe fiecare linie, respectivcoloanl sI fie ralionale.

32. Marius face urmdtoarea afirmalie cltre prietenul sdu Cristi: ,,orice num[r naturalnenul n ai alege, eu ili pot glsi dimensiunile unui dreptunghi (qi care nupdtrat!), a clrui arie sI fie egal6 cu n gi in care diferenla dinhe lungime gi

lilime sd fie egal[ cu 2". Este oare adeviratii afirmalia lui Marius? Justificalirlspunsul.

Testul 1

(3p) 1. Transformali in fraclii ordinare ireductibile: a) 2,5; b) 0,(3); c,) 0,1(3)'

(2pl 2. ComParali numerele:

,t ) tt It b)3,4 si3.3e; 4 + si *; 0 3J'$i Jr8 'rl2 V3

(1p) 3.Determinafi a 100-a zecimald a numIrului 0,(12)'

(1p) 4. Calculali partea intreagd gi partea fraclionar[ a num[rului -5,6 '

(1p) 5. Aflali x e N pentru care numirul o = -:- este intreg '2x-l(1p) 5. Determinali xeZ pentrucarc -7 <3x-l<2.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordd I punct din oficiu.

Testul2

(3p) 1. Determinali inversul urmltoarelor numere reale:

tl;a) - -; b) -Y, 4 Ji+l .'Jto 2

(2p) 2. Comparali numerele:q

Q3Ji si2Jl; U 'm qi3; c) 1,7 ei.6; d) -i $i -Jt.

(1p) 3. Determinali n e N pentru "ur"

nJi =.b2 .

(tp) 4. Determinali k e Z astfelinc|fi -3Ji <k <-2J, .

(1p) S. Demonstrafi cI dacd + = all ,atunci a e Q '"10,12

(1 p) 6. Aritali c[ pentru . = E*!. numdrul , + 1 ",te

natural'Jz-t x

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordi I punct din oficiu'

I

lEl

l!l!(E

Ulr,

EuJF

=

-

29