Download pdf - Ergänzende Informationen zum LehrplanPLUS · Ergänzende Informationen zum LehrplanPLUS Grundlegende Inhalte Mathematik, Realschule, Jahrgangsstufe 5 Seite 3 von 19 3 Quadratzahlen

Ergänzende Informationen zum LehrplanPLUS

Grundlegende Inhalte Mathematik, Realschule, Jahrgangsstufe 5

Inhaltsverzeichnis

Wichtige Symbole – Rechenarten – Quadratzahlen ..................................................................... 2

Rechenregeln und Rechengesetze in 0IN ..................................................................................... 3

Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln ........................................................................................ 4

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches ....................................... 5

Größen und Maßstab........................................................................................................................ 6

Grundlegende geometrische Figuren und Körper ......................................................................... 8

Rechnen in .................................................................................................................................. 13

Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren .................................................................................. 16

Mögliche Darstellungsformen von Daten ..................................................................................... 17

Kombinatorik .................................................................................................................................... 19

Stand: 18.07.2019



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Wichtige Symbole – Rechenarten – Quadratzahlen

1 Wichtige Symbole

IN Menge der natürlichen Zahlen: 1;2; 3;4;

0IN Menge der natürlichen Zahlen mit Null: 0;1;2; 3;4;

Menge der ganzen Zahlen

G Grundmenge

L Lösungsmenge

bzw. leere Menge

V Vielfachenmenge z. B.: 3V 3;6 ; 9;

T Teilermenge z. B.: 12T 1;2; 3;4;6;12

Element von z. B.: 6 3;6 ; 9;12;

nicht Element von z. B.: 5 3;6 ; 9;12;

ist gleich ungleich

kleiner als kleiner oder gleich

größer als größer oder gleich

a | b a ist Teiler von b a ł b a ist nicht Teiler von b

|a| (absoluter) Betrag von a ungefähr gleich

2 Die Rechenarten

Term Termname 12 3 Rechenzeichen/ Rechenart

Ergebnis

12 3 Summe 1. Summand 2. Summand addieren

15

Wert der

Summe

12 3 Differenz Minuend Subtrahend subtrahieren

9

Wert der

Differenz

12 3 Produkt 1. Faktor 2. Faktor multiplizieren

36

Wert des

Produkts

12 : 3 Quotient Dividend Divisor : dividieren

4

Wert des

Quotienten

34 4 4 4 Potenz Basis

Grundzahl

Exponent

Hochzahl

(Anzahl der

Faktoren)

potenzieren

64

Wert der

Potenz



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3 Quadratzahlen

21 1 25 25

29 81 213 169

217 289

22 4 26 36

210 100 214 196

218 324

23 9 27 49 211 121

215 225 219 361

24 16 28 64 212 144

216 256 220 400

Rechenregeln und Rechengesetze in 0IN

1 Die Zahl Null

Für alle a IN gilt:

z. B.: 5 0 5a 0 a z. B.: 5 0 5a 0 a z. B.: 5 0 0a 0 0

z. B.: 0 : 5 00 : a 0 a : 0 nicht definiert!!! (Man darf nicht durch Null teilen!)

2 Rechenregeln

Klammern: „von innen nach außen“

Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung

2

2

z. B.: 25 13 163 85 15

25 13 78 15

25 169 78 15

25 91 15

25 1365

1390

3 Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

der Addition z. B.: 3 4 4 3a b b a

der Multiplikation z. B.: 3 4 4 3a b b a

4 Assoziativgesetz (Klammergesetz)

der Addition z. B.: 2 3 4 2 3 4a b c a b c

der Multiplikation z. B.: 2 3 4 2 3 4a b c a b c



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5 Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

z. B.: 409 3 400 9 3 400 3 9 3 1200 27 1227a b c a c b c

z. B.: 8 998 8 1000 2 8 1000 8 2 8000 16 7984c a b a c b c

z. B.: 312 : 3 300 12 : 3 300 : 3 12 : 3 100 4 104a b : c a : c b : c

z. B.: 597 : 3 600 3 : 3 600 : 3 3 : 3 200 1 199a b : c a : c b : c

6 Runden von natürlichen Zahlen

Für das Runden von natürlichen Zahlen gilt Folgendes:

1) Man identifiziert die Stelle, auf die zu runden ist.

2) Die folgende Ziffer ist entscheidend dafür, ob auf- oder abgerundet wird:

Abrunden: Die zu rundende Ziffer bleibt unverändert, wenn eine der Ziffern 0, 1, 2, 3 oder 4 folgt.

Aufrunden: Die zu rundende Ziffer wird um 1 erhöht, wenn eine der Ziffern 5, 6, 7, 8 oder 9 folgt.

Beispiele: 1234 (Z) 1230 698 (H) 700 179 627 (T) 180 000

Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln

1 Primzahlen

Natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben, heißen Primzahlen.

Sie sind nur durch 1 und durch sich selbst teilbar.

Die ersten zehn Primzahlen: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29

2 Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren

Jede natürliche Zahl (außer 1), die keine Primzahl ist, kann man als Produkt schreiben, dessen Faktoren nur

Primzahlen sind. Diese nennt man Primfaktoren. Die Darstellung einer Zahl als Produkt aus lauter

Primfaktoren heißt Primfaktorzerlegung.

Beispiele: 60 2 30 2 2 15 2 2 3 5

126 2 63 2 7 9 2 7 3 3 2 3 3 7



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3 Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist teilbar durch:

2, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.

5, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.

9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

25, wenn ihre letzten beiden Ziffern 00, 25, 50 oder 75 sind.

eine Stufenzahl, wenn sie mindestens gleich viele Endnullen besitzt wie die Stufenzahl.

Beispiele: 2 | 54 da 2 | 4, aber 2 ∤ 2437 da 2 ∤ 7

3 | 357 da 3 + 5 + 7 = 15 und 3 | 15, aber 3 ∤ 433 da 4 + 3 + 3 = 10 und 3 ∤ 10

5 | 3465, aber 5 ∤ 553

100 | 9400, aber 1000 ∤ 40600

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Zu jeder Zahl kann man ihre Teilermenge angeben.

Beispiel: 30T ; ; ; 5; ; 10; 15; 30 1 2 3 6 12

T ; ; ; 4; ; 12 1 2 3 6

Die gemeinsamen Teiler beider Zahlen lauten: 1, 2, 3 und 6

Der größte gemeinsame Teiler beider Zahlen: ggT 30;12 6

2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

Zu jeder Zahl kann man ihre Vielfachenmenge angeben.

Beispiel: 8V 8;16; ; 32;40; ; 56;64; ; ... 24 48 72 12

V 12; ; 36; ;60; ; ... 24 48 72

Die gemeinsamen Vielfachen beider Zahlen lauten: 24, 48, 72, ...

Das kleinste gemeinsame Vielfache beider Zahlen: kgV 8;12 24



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Größen und Maßstab

z. B.: 25 cm

Maßzahl Maßeinheit

1 Geld

1€ 100 ct €: Euro, ct: Cent

Beispiele: 3,23 € 323 ct 6721ct 67,21€

2 Zeit

1a 365 d a: Jahr

1d 24 h d: Tag

1h 60 min h: Stunde

1min 60 s min: Minute

1s s: Sekunde

Beispiele: 72 h 3 d 100 min 1h 40 min 34 h 45 min 0,5 min 30 s

3 Masse Umwandlungszahl 1000

1t 1000 kg t: Tonne

1kg 1000 g kg: Kilogramm

1g 1000 mg g: Gramm

1mg mg: Milligramm

Beispiele: 6000 kg 6 t 34 kg 34000000 mg 14 t 250 kg 1,5 kg 1500 g



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4 Länge Umwandlungszahl 1000

1km 1000 m km: Kilometer

Umwandlungszahl 10

1m 10 dm 100 cm 1000 mm m: Meter

1dm 10 cm dm: Dezimeter

1cm 10 mm cm: Zentimeter

1mm mm: Millimeter

Beispiele: 450 cm 45 dm 3 km 300000 cm 1,35 m 135 cm 50 cm 0,5 m

5 Hohlmaß

1h 100 h: Hektoliter

Umwandlungszahl 10

1 10 d 100 c 1000 m : Liter

1d 10 c d: Deziliter

1c 10 m c: Zentiliter

1m m: Milliliter

Beispiele: 0,5 500 m 25 h 2500 25 c 250 m 0,25 34 0,75 750 m

6 Maßstab

Gegenstände oder Landschaften kann man mithilfe des Maßstabes verkleinert oder vergrößert darstellen.

Beispiele: 1) Maßstab 1: 25000 (z. B. Landkarte):

1 cm auf der Landkarte entspricht 25 000 cm in Wirklichkeit.

2) Maßstab 4 : 1 (z. B. vergrößertes Bild einer Ameise): 4 cm im Bild entsprechen 1 cm in Wirklichkeit.



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Grundlegende geometrische Figuren und Körper

1 Punkte und Linien

Beschreibung Symbol Zeichnung

1. Der Punkt A A

2. Die Menge der Punkte A, B und C ; ;A B C

3. Die Strecke vom Punkt B zum Punkt C BC

4. Die Länge der Strecke von E nach F beträgt 2,5 cm. 2,5 cmEF

5. Die Halbgerade h, die im Punkt A beginnt und durch den Punkt D hindurchgeht.

h AD

6. Die Gerade g, die durch die Punkte B und C verläuft. g BC

7. Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden h. ||g h

8. Die Gerade m steht senkrecht auf der Geraden h. m h

9. Der Punkt C liegt auf der Geraden g. (Der Punkt C ist ein Element „“ der Geraden g.)

C g

10. Der Punkt F liegt nicht auf der Geraden, die durch die Punkt A und B verläuft.

(Der Punkt F ist nicht Element „“ der Geraden AB.)

F AB

11. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. g h S

12. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g d P ;g

A

A

B

C

BC

2,5 cmE

F

hAD

gB C

g

h

m

h

gC

BAF

gh

S

g

P



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2 Ebene Figuren

Kreis

Kreissektor mit Mittelpunktswinkel

Dreiecke

allgemein

gleichschenklig

a b ;

gleichseitig

a b c d ;

60

rechtwinklig

Kreislinie

Durchmesser

Radius

Kreisfläche

M

rα

C

b

c

a

BA αA B

C

b

c

a

β

C

b

c

a

BA

60°

60°60°A B

C

b

c

a



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Vierecke

Allgemein

Quadrat

a b c d

Rechteck

a c ; b d

Raute

a b c d ;

;

Parallelogramm

a c ; b d ;

AB CD ;

BC AD ;

;

Drachenviereck

a d ; c b ;

gleichschenkliges Trapez

b d ; AB CD ;

;

3 Körper

Quader Würfel Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel

D

d

b

c

a B

C

A

CD

bd

c

a BA

CD

bd

c

a BA

C

D

b

d c

a

B

A

β

α γ

δ

CD

bd

c

a BAβα

γδ

C

D

b

d c

a

B

A

β

α γ

δ

CD

bd

c

a BAβα

γδ



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4 Winkel

4.1 Bezeichnung

Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden (Schenkel) gebildet, die einen gemeinsamen Anfangspunkt (Scheitelpunkt S oder Scheitel S) haben.

Der Winkel ASB ( ASB) hat das Maß .

(Achtung: Winkel werden stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet!)

4.2 Winkelarten

spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel

0 90 90 90 180

gestreckter Winkel überstumpfer Winkel Vollwinkel

180 180 360 360

4.3 Scheitel- und Nebenwinkel

Gegenüberliegende Winkel an einer Geradenkreuzung

heißen Scheitelwinkel und haben gleiches Maß, z. B.: oder .

Nebeneinanderliegende Winkel an einer Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel und ergeben zusammen 180°, z. B.: 180 .

B

A

1. Schenkel

2. Schenkel

S αScheitel

α β γ

S

δε

ϕ

αβγ δ



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5 Koordinatensystem

6 Zeichnen von Schrägbildern

1. Schritt

Lege die Kanten auf Gitterlinien und zeichne die Vorderfläche des Würfels oder Quaders.

2. Schritt

Zeichne die nach hinten verlaufenden Kanten auf Kästchendiagonalen und zeichne diese Kanten auf die Hälfte verkürzt.

3. Schritt

Verbinde die Eckpunkte.

x

y

O

1

2

3

4

11−2−

2−

1−3−

3−

4− 2 3 4

A ( )A 3 2−

y-Koordinate

x-Koordinate

( )Ursprung O 0 0

I. QuadrantII. Quadrant

IV. QuadrantIII. Quadrant



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Rechnen in

Alle Rechengesetze und Regeln, die für natürliche Zahlen gelten, behalten ihre Gültigkeit!

1 Addition und Subtraktion in

1.1 Zahl und Gegenzahl

Zwei Zahlen, deren Zahlenpfeile sich nur durch die Richtung unterscheiden, nennt man Zahl und Gegenzahl.

Beispiele: Gegenzahl zu 9: 9 Gegenzahl zu 12: 12

1.2 Betrag einer Zahl

Unter dem Betrag einer Zahl versteht man die Maßzahl der Länge ihres Zahlenpfeils (Abstand zur Zahl 0).

Da Zahl und Gegenzahl gleichlange Zahlenpfeile besitzen, ist ihr Betrag gleich: z. B.: 4 4 4 .

1.3 Rechenzeichen – Vorzeichen

Die Rechenart wird bestimmt durch das Rechenzeichen. Das Vorzeichen gibt an, ob die Zahl positiv oder negativ ist.

4 3

Vorzeichen Vorzeichen

Rechenzeichen

1.4 Addition mit gleichen Vorzeichen

4 3 4 3 7 4 3 4 3 7

Regel: 1. Man addiert die Beträge.

2. Man ordnet der Summe der Beträge das gemeinsame Vorzeichen zu.

a b a b a b a b , a b 0

1−2−3− 0 1 2 3 4

3− 3+



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1.5 Addition mit verschiedenen Vorzeichen

4 3 4 3 1 4 3 4 3 1

Regel: 1. Man subtrahiert den kleineren Betrag vom größeren Betrag.

2. Man ordnet der Differenz das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag zu.

a b a b a b a b a b 0

1.6 Subtraktion

Beachte: Jede Subtraktion lässt sich durch die Addition der Gegenzahl ersetzen.

Beispiele: 4 3 4 3 1 4 3 4 3 7

a b a b a b a b

1.7 Vereinfachtes Rechnen mit ganzen Zahlen

Für das Zusammentreffen von Vorzeichen und Rechenzeichen gelten folgende Regeln:

12 3 9 8 7

1. Klammern auflösen nach obiger Regel 12 3 9 8 7

2. Entweder von links nach rechts rechnen oder Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden.

12 9 3 7 8

21 18

3. Subtrahieren des kleineren Betrags vom größeren Betrag und zuordnen des Vorzeichens der Zahl mit dem größeren Betrag zur Differenz.

3



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2 Multiplikation und Division in - Vorzeichenregeln

Der Produkt- bzw. Quotientenwert hat ein positives Vorzeichen, wenn beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben.

:

:

:

:

Der Produkt- bzw. Quotientenwert hat ein negatives Vorzeichen, wenn beide Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.

Beispiele 8 3 24

8 3 24

42 : 6 7

42 : 6 7

8 3 24

8 3 24

42 : 6 7

42 : 6 7



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Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren

1 Maßeinheiten

Flächeninhalt Umwandlungszahl 100

21km 100 ha km2: Quadratkilometer

1ha 100 a ha: Hektar

21a 100 m a: Ar

2 21m 100 dm m2: Quadratmeter

2 21dm 100 cm dm2: Quadratdezimeter

2 21cm 100 mm cm2: Quadratzentimeter

21mm mm2: Quadratmillimeter

Beispiele: 2 2120 000 cm 12 m 22 a 200 m 2678 ha 6 780 000 m 25 km 12 a 50 012 a

2 Rechteck

Umfang (u) des Rechtecks: u 2 a 2 b u 2 (a b)

Flächeninhalt (A) des Rechtecks: A a b

3 Quadrat

Umfang (u) des Quadrats: u 4 a

Flächeninhalt (A) des Quadrats: A a a 2A a

4 Zusammengesetzte Figuren in geeignete Teilfiguren zerlegen

ges 1 2

2 2

2

A A A

2 cm 8 cm 2 cm 5 cm

16 cm 10 cm

26 cm

bb

a

a

aa

a

a

8 cm

5 cm

2 cm

2 cm1A

2A



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Mögliche Darstellungsformen von Daten

1 Säulendiagramm

2 Balkendiagramm

3 Kreisdiagramm

0

5

10

15

20

25

blau rot grün schwarz türkis

Anzahl

Farben

Die Lieblingsfarben der Schüler einer 5. Jahrgangsstufe

0 5 10 15 20 25

blau

rot

grün

schwarz

türkis

Anzahl

Farben


blau; 20

rot; 16

grün; 9

schwarz; 5

türkis; 10




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4 Liniendiagramm

5 Vierfeldertafel

Haustier kein Haustier Zeilensumme

Mädchen Mädchen, die

Haustiere haben

Mädchen, die kein Haustier

haben

Mädchen in der Klasse

Junge Jungen, die

Haustiere haben Jungen, die kein Haustier haben

Jungen in der Klasse

Spaltensumme Schüler mit Haustieren

Schüler ohne Haustiere

Schüler in der Klasse

Haustier kein Haustier

Mädchen 15 4 19

Junge 7 4 11

22 8 30

0

2

4

6

8

10

12

14

06:00 12:00 19:00 23:00

Temperatur in °C

Uhrzeit

Temperaturverlauf eines Apriltages



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Kombinatorik

Mithilfe eines Baumdiagramms kann man Kombinationsmöglichkeiten bestimmen.

Beispiel: Anna, Lisa und Johannes sollen sich nebeneinander aufstellen.

Es gibt sechs Möglichkeiten.

L

AJ

J

J

J

J

JAL

JLA

AL

J

LJA

LAJ

AJL

A

A

A

A

L

L

L

L

Links Mitte Rechts