2eme Devoir Commun de Mathématiques – 2nde

NOM : PRENOM: Classe:

Lundi 9 Mai 2016 Le sujet est à rendre avec la copie.

Le soin, la rigueur entreront pour une part non négligeable dans l’évaluation. Les 6 exercices sont indépendants.

Vous pouvez répondre directement sur ce polycopié lorsque la place est prévue (dans les tableaux, sur les pointillés,

dans les repères prévus). La calculatrice est personnelle. Vous ne pouvez donc pas la prêter.

Exercice 1 sur 5 points

Après avoir terminé ses examens Hermione, très soucieuse d'avoir bien réussi ses examens de BUSE (Brevet

Universel de Sorcellerie Élémentaire) regarde attentivement les résultats de l'année passée.

• Sur 350 candidats, 270 ont pris l'option Sortilège.

• Sur l'ensemble des candidats 10% ont eu la mention "Optimal".

• Parmi les personnes ayant choisi l’option Sortilège,

1

3 ont eu la mention "Effort Exceptionnel" et 25 ont eu la

mention "Optimal".

• Parmi les candidats n’ayant pas choisi l’option Sortilège, 20 n’ont pas eu de mention.

1. Compléter le tableau suivant.

On interroge au hasard un des candidats à cette épreuve. Les résultats seront donnés à 10−2 près.

2. Quelle est la probabilité que l'élève n'ait pas eu de mention?

3. Quelle est la probabilité qu'il ait mention "Optimal" et qu'il n'ait pas choisi Sortilège?

4. On choisit au hasard et pour cette question seulement, un élève qui a choisi Sortilège.

Quelle est la probabilité que cet élève ait obtenu la mention "Optimal" ?

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 :

Exercice 5 :

Exercice 6 :

TOTAL :

Option

Mentions Sortilège Pas Sortilège Total

Optimal 25

Effort Exceptionnel

Sans Mention 20

Total 270 350

Exercice 2 sur 9 points

Ron Weasley est tranquillement assis dans le parc avec un sac de 4 bonbons ( les fameuses dragées surprises de

Bertie Crochue).

Ron sait que ces quatre bonbons ont tous des goûts différents : kiwi, framboise, poubelle et crotte de nez. Il décide

d'en choisir successivement deux en fermant les yeux et de les manger l'un après l'autre, ce qui correspond à un

tirage sans remise. On suppose que ces dragées sont indiscernables au toucher.

1. Compléter l’arbre ci-dessous.

La lettre 𝐾 correspond au goût Kiwi, 𝐹 pour framboise, 𝑃 pour poubelle et 𝐶 pour Crotte de nez.

2. Combien y a-t-il d’issues possibles ?

3. On considère les évènements

A : « le premier bonbon a un goût de fruit », (Ici les goûts fruits sont Kiwi et Framboise)

B : « Un des bonbons a le goût de poubelle ».

a) Calculer les valeurs exactes de 𝑃(𝐴) et 𝑃(𝐵).

b) Décrire par une phrase l’événement 𝐴 ∩ 𝐵.

c) Calculer (𝐴 ∩ 𝐵) . Vous donnerez la valeur exacte.

d) En déduire 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵). Vous donnerez la valeur exacte.

4. On considère que Ron tombe malade si aucun des bonbons n’a goût de fruit

On note 𝑀 l’événement « Ron tombe malade ».

a) Calculer

P(M) . Vous donnerez la valeur exacte.

b) Décrire par une phrase l’événement

M

c) Calculer

P(M ) . Vous donnerez la valeur exacte.

Exercice 3 sur 4 points

Soit les points A, B et C ci-dessous.

1. a) Construire le point 𝐷 tel que 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 𝐴𝐵𝐷𝐶 ?

2. a) Construire le point 𝐽 tel que 𝐴 soit le milieu de [𝐵𝐽].

b) Justifier que 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ .

c) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 𝐷𝐶𝐽𝐴 ?

Exercice 4 sur 8 points

Dans un repère (𝑂 ; 𝐼, 𝐽), on considère les points 𝐴(−2 ; 3), 𝐵(7 ; 6), 𝐶(5 ; −4) et 𝐷(−3 ; −2).

1. Faire une figure dans le repère ci-dessous, que l’on complètera au fur et à mesure.

2. a) Calculer les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.

b) Les vecteurs 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ sont-ils colinéaires ? Justifier.

c) Que peut-on en déduire pour les droites (𝐴𝐷) et (𝐵𝐶) ? Et pour le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 ?

3. a) Soit 𝐸 le milieu du segment de [𝐵𝐷]. Placer le point 𝐸 sur la figure et lire ses coordonnées.

b) Retrouver les coordonnées de 𝐸 à l’aide d’un calcul.

c) Les points 𝐴, 𝐸 et 𝐶 sont-ils alignés ? Justifier.

4. Calculer les coordonnées du point 𝑀 tel que 𝐴𝐵𝑀𝐷 soit un parallélogramme.

Exercice 5 sur 9 points

Madame Rosemerta, gérante de l’auberge des Trois Balais vend chaque jour entre 0 et 50 L de sa célèbre boisson

bièraubeurre.

Son bénéfice en centaines d’euros, pour 𝑥 litres de boisson vendue, est donné par la fonction 𝐵 définie pour tout

𝑥 ∈ [0; 50] par :

𝐵(𝑥) = −2𝑥² + 120𝑥 − 1600

1. Quelle est la nature de la fonction 𝐵 ? Comment s’appelle la courbe représentative d’une telle fonction ?

2. Quel est le bénéfice réalisé pour 10 litres vendus ? Est-ce rentable pour Madame Rosemerta de vendre 10𝐿

de boisson ? Justifier.

3. a) Dresser le tableau de variations complet de la fonction 𝐵 sur [0; 50]

b) Quelle quantité de boisson Madame Rosemerta doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel

est alors le bénéfice obtenu ?

4. a) Montrer que 𝐵(𝑥) = (40 − 2𝑥)(𝑥 − 40)

b) En déduire les solutions de l’équation 𝐵(𝑥) = 0

5. a) Dresser le tableau de signe de la fonction 𝐵.

b) Quelle quantité de boisson Madame Rosemerta doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice positif ?

Exercice 6 sur 5 points Un stade de Quidditch (Sport très en vogue chez les sorciers) propose deux types de forfaits à l’année pour assister aux matchs :

- Formule 1 : 250€ d’abonnement + 10€ par match - Formule 2 : 300€ d’abonnement + 5€ par match

1. Quelle est la formule la plus avantageuse si l’on souhaite assister à 7 matchs ? 12 matchs ? 2. Pour chaque formule, exprimer le prix à payer en fonction du nombre 𝑁 de matchs suivis. 3. Harry Potter, grand fan de Quidditch, décide de mettre en place un algorithme lui permettant de déterminer

la formule la plus avantageuse en fonction du nombre 𝑁 de matchs auxquels il veut assister. Compléter l’algorithme suivant pour aider Harry à prendre une décision.

4. Harry souhaite savoir à partir de combien de matchs la formule 2 devient plus intéressante

a) Quelle inéquation faut-il résoudre pour répondre au problème ?

b) Répondre au problème.

Variables :

N, A, B entiers

Entrée :

Saisir 𝑁

𝐴 prend la valeur 250 + 10 × 𝑁 ;

𝐵 prend la valeur

Traitement :

Si Alors

Afficher « La formule la plus intéressante est la formule 1 »

Sinon

Afficher « »

FinSi