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ELEMENTOS FINITOS

Nestor Abel Sanchez Goycochea

24 de mayo de 2015

Indice general

1. Introduccion 11.1. Un problema uni-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metodo debil (Distribucional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Vuelta al problema unidimensional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Espacios de Sobolev de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional . . . . . . . . . . . . 7

2. Teoremas de Lax-Milgram 92.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Teorema de Lax Milgram generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Teorema de Lax-Milgram version simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ejemplo unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Metodo de Galerkin 153.1. Existencia y unicidad de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. TLM Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2. TLM generalizado (discreto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Calculo de la solucion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Estimacion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5. Caso particular de a simetrica yHelptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6. Vuelta al problema unidimensional mas simple (2da Parte) . . . . . . . . . . 233.7. Propiedad de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Formulacion Mixta 274.1. Un Problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Vuelta al problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Formulacion mixta del problema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida) . . . . . . . . . . . . . 324.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Captulo 1Introduccion

Fecha: 24 de marzo del 2015

1.1. Un problema uni-dimensional

(P ) =

8

1.2. Metodo debil (Distribucional)

Cn0 () := f' 2 Cn() : sop(') es compacto en gdonde

sop(') = f' 2 : '(x) 6= 0g

EJEMPLO.

1. =] 1; 1[ ' 2 C0(); sop(') = [12 ; 12 ]; ' =2 C10()

2. =]0; 1[ ' 2 C10(); '(13) = '(23) = 0; '0(13) = '0(23) = 0

Este tipo de funciones se pueden construir por intermedio del interpolante de Hermi-te (unico polinomio de grado 3 tal que '(1

3) = '(2

3) = 0; '0(1

3) = '0(2

3) = 0). En

general no es simple encontrar funciones en Cn0 ()). Una posibilidad es buscar polino-mios de grado conveniente que satisfagan las condiciones requeridas.

Definamos ademas el conjunto:

C10 () := f' 2 C1() : sop(') es compacto en g

' son llamadas funciones test.

EJEMPLO. La funcion

: R ! Rt 7! (t) =

e

1t ; t > 0

0; t 0

2 C1(R) ya que (n)(0) = 0;8 n 2 N.

Ahora dado x0 2 Rn y > 0, se define:

x0; : Rn ! Rx 7! x0;(x) =

1 jjxx0jj2

2

x0;(x) =

(e 2

2jjxx0jj2 ; si jjx x0jj < 0; si jjx x0jj

se sigue que sop( x0;) = B(x0; ). Notemos ademas que x0; = r con

r(x) = 1 jjx x0jj2

2

de donde x0; 2 C10 ();8 Rn abierto, tal que B(x0:) .

Nestor Abel Sanchez Goycochea 2

Cap. 1: Introduccion

1.3. Vuelta al problema unidimensional:

(P )

u00 + u0 + u = f; en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0

Multiplicando por ' 2 C10 () e integrando por partes, se tiene:1Z

0

f' =

1Z0

(u00 + u0 + u)'

= 1Z

0

u00'+

1Z0

u0'+

1Z0

u'

=

1Z0

u0'0 u0'10| {z }

0

+

1Z0

u0'+

1Z0

u'

Luego se verifica Z 10

(u0'0 + u0'+ u') =Z 10

f'; 8 ' 2 C10 ()

DEFINICION 1.1. Sea R abierto. Se define el siguiente espacio vectorial.

L2() =

v : ! R

.Z

jvj2 < +1

Este espacio es Hilbert, con el producto interno:

hu; vi0; = hu; viL2() =Z

uv; 8 u; v 2 L2()

y su correspondiente norma inducida esta dada por:

jjvjj0; = jjvjjL2() = hv; vi1=20; =Z

jvj21=2

En particular , la norma y el producto interno satisfacen

jhu; vij =Z

uv

jjujj0;jjvjj0;; 8 u; v 2 L2() (Cauchy-Schwarz)DEFINICION 1.2. Dada v 2 L2(), se dice que v0 2 L2() en el sentido distribucional(debil) si existe ! 2 L2() tal que:Z

v'0 = Z

!'; 8 ' 2 C10 ()

A la funcion ! se le llama derivada distribucional o derivada debil de v.

3 Nestor Abel Sanchez Goycochea

1.3. Vuelta al problema unidimensional:

Note que si v 2 C1() Z

v'0 = Z

v0'+ v'@| {z }

0

; 8 ' 2 C10 ()

y luego Z

v'0 = Z

v0' ; 8 ' 2 C10 ()

es decir, si v 2 C1(), entonces la derivada distribucional o debil coincide con la derivadafuerte o en el sentido clasico.

EJEMPLO 1.1. =]0; 1[

v(x) =

8


1.4. Espacios de Sobolev de orden 1DEFINICION 1.3.

H1() = fv 2 L2() : v0 2 L2()gSobre H1() se define el siguiente producto interior

hu; vi1; :=Z

uv +

Z

u0v0; 8 u; v 2 H1()

y se demuestra que (H1(); hi1;) es un espacio de Hilbert.DEFINICION 1.4.

H10 := C10 ()

jjjj1;

donde

jjvjj1; :=0@Z

(v2) +

Z

(v0)2

1A1=2

=kvk20; + kv0k20;

1=2= hv; vi21;

Equivalentemente,

v 2 H10 ()() v 2 H1() y 9 f'jgj2N C10 () : jjv 'jjj1; j!1! 0Es posible demostrar que:

H10 () = fv 2 H1() : v(0) = v(1) = 0gOBSERVACION 1.1. Esto solo es posible en 1D

H1() C()

1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)Recordemos que a partir de (P ) llegamos a la ecuacion integral:Z

u0'0 +Z

u0'+Z

u' =

Z

f'; 8 ' 2 C10 ()

De acuerdo a la definicion deH10 () podemos plantear un nuevo metodo para resolver el PVC(Problemas de valores de contorno) (P ), el cual consiste en hallar u 2 H10 () tal que:Z

u0v0 +Z

u0v +Z

uv =

Z

fv 8 v 2 C10 () (P )


1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)

Por otro lado podemos plantear el siguiente problema alternativo: Hallar u 2 H10 () tal que,Z

u0v0 +Z

u0v +Z

uv =

Z

fv 8 v 2 H10 () (P0)

LEMA 1.1.P () P0

Demostracion.

P0 =) P : Esto es evidente ya que C10 () H10 ()

P =) P0 : Sea u solucion de P . Dado v 2 H10 (), por densidad existef'jgj2N C10 tal que:

jj'j vjj1; j!1! 0De aqu se sigue que:Z

u0'0j +Z

u0'j +Z

u'j =

Z

f'j ; 8 'j 2 N

Luego, Z

u0v0 Z

u0'0j

=Z

u0(v0 '0j)

jju0jj0;jjv0 '0jjj0;

= jju0jj0;jj(v 'j)0jj0;

jjujj1;jjv 'jjj1; j!1! 0

De la misma forma,Z

u0v Z

u0'j

j!1! 0; yZ

uv Z

u'j

j!1! 0y suponiendo que f 2 L2()

Z

fv Z

f'j

j!1! 0lo cual concluye el teorema.

z



1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensio-nal

Definamos H = H10 ()

F : H ! Rv 7! F (v) = R

Fv; 8 v 2 H

ya : H H ! R

(u; v) 7! a(u; v) = R

u0v0 +R

u0v +R

uv; 8 v 2 H

Entonces el problema P0 se puede escribir como: Hallar u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8 v 2 H (Pv)

Notar que:

F 2 H 0, pues

jF (v)j =Z

fv

jjf jj0;jjvjj0; jjf jj0;jjvjj1;

a es bilineal (Tarea) a es acotada

ja(u; v)j =Z

u0v0 +Z

u0v +Z

uv

Z

u0v0

+Z

u0v

+Z

uv

jju0jj0;jjv0jj0; + jju0jj0;jjvjj0; + jjujj0;jjvjj0;

Aplicando Cauchy-Schwarz en R3

ja(u; v)j

0BB@jju0jj20; + jju0jj20; + jjujj20;| {z }jjujj21;

1CCA1=20BB@jjv0jj20; + jjvjj20;| {z }

jjvjj21;

+jjvjj20;

1CCA1=2

jjujj21; + jjujj21;1=2 jjvjj21; + jjvjj21;1=2= 2jjujj1;jjvjj1;

As,ja(u; v)j M jjujj1;jjvjj1;; 8 u; v 2 H10 ();M = 2


1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional

1. a es elptica (o fuertemente coerciva)

a(v; v) =

Z

(v0)2 +Z

v0v +Z

(v)2

= jjvjj21; +Z

v0v

jjvjj21; Z

v0v

jjvjj21; jjv0jj0;jjvjj0;

Aplicando la desigualdad 12(a2 + b2) ab para a = jjv0jj; b = jjvjj se tiene:

a(v; v) jjvjj21; 1

2

jjv0jj20; + jjvjj20;= jjvjj21;

1

2jjvjj21;

=1

2jjvjj21;

As, a(v; v) jjvjj21;; 8 v 2 H10 (); = 1=2De acuerdo a lo anterior, podemos aplicar el Teorema de Lax-Milgram para demostrar exis-tencia y unicidad del problema (PV).


Captulo 2Teoremas de Lax-Milgram

2.1. Teorema de Lax-MilgramSea H un espacio de Hilbert y a(; ) una forma bilineal, acotada (con constante M > 0) yH-elptica (con > 0). Si:

1. ja(u; v)j M jjujjH jjvjjH ; 8 u; v 2 H2. a(v; v) jjvjj2H ; 8 v 2 H

Entonces, para todo F 2 H 0, existe un unico u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8v 2 H

AdemasjjujjH 1

jjF jjH0 (*)

La desigualdad (*) es llamada dependencia continua de los datos o estabilidad

Fecha: 31 de marzo del 2015

OBSERVACION.

1. Dada F 2 H 0 y u 2 H (unica solucion del problema) tal que a(u; v) = F (v); 8 v 2 H .

jjF jjH0 = supv2Hv 6=

jF (v)jjjvjjH = supv2H

v 6=

ja(u; v)jjjvjjH

supv2Hv 6=

M jjujjH jjvjjHjjvjjH

M jjujjHPor lo tanto:

jjujjH jjF jjH0 M jjujjH

9

2.1. Teorema de Lax-Milgram

2. Dados F1; F2 2 H 0 y las respectivas soluciones u1; u2 2 H se tiene:jju1 u2jjH jjF1 F2jjH0 M jju1 u2jjH

3. En el caso que a : HH ! R sea una forma bilineal simetrica (a(u; v) = a(v; u);8 u; v 2H) y suponiendo que a es elptica y continua, entonces a(; ) constituye un productointerior en el espacio H . Mas aun, si jj jja es la norma inducida por la forma bilineal,es decir:

jjvjja = (a(u; v))12 ;8 v 2 H (Norma de la energa)

entonces obtenemos:

jjvjj2H jjvjj2a = a(v; v) M jjvjj2Ho bien p

jjvjjH jjvjja pM jjvjjH ;8 v 2 H (Normas equivalentes)

de donde, si (H; h; iH) es Hilbert, entonces (H; a(; )) tambien es Hilbert.

Por otro lado, es facil ver que si

F 2 (H; h; iH)0 , F 2 (H; a(; ))0

Por lo tanto, el TRR (Teorema de representacion de Riesz) se reduce que para todoF 2 (H; a(; ))0, existe un unico u 2 (H; a(; )) tal que:

F (v) = a(u; v); 8 v 2 Hy ademas

jjF jja0 = jjujja pjjujjH

Tarea: ver que pasa con jjF jja0 con jjF jjH04. Recordemos que demostrar la existencia de u 2 H tal que a(u; v) = F (v); 8 v 2 H

es equivalente a probar que el operador A : H ! H inducida por la forma bilineala(; ) es biyectivo (hA(u); vi = a(u; v); 8 v 2 H). Esto equivale a demostrar que A esinyectivo y que R(A) = H . En particular, demostrar que R(A) = H es equivalente a laexistencia de > 0 tal que:

jjA(v)jjH jjvjjH ; 8 v 2 Ho equivalentemente

jjA(v)jjH = supw2Hw 6=

hw;A(v)ijjwjjH = supw2H

w 6=

hA(w); vijjwjjH = supw2H

w 6=

a(w; v)

jjwjjH jjvjjH

es decir

supw2Hw 6=

a(w; v)

jjwjjH jjvjjH ;8 v 2 H


Cap. 2: Teoremas de Lax-Milgram

Por otro lado, A es inyectivo si y solo s

A(v) 6= ; 8 v 2 Hnfg

si y solo ssupw2H

a(v; w) > 0;8v 6=

En efecto,

=) Dado v 2 Hnfg tal que A(v) 6= , basta tomar w = A(v) con lo cual

supw2H

a(v; w) a(v; A(v)) = hA(v); A(v)iH = jjAvjj2H > 0

(= Para todo v 6= tal que

supw2H

a(v; w) = supw2H

hA(v); wi > 0

entonces A(v) 6=

2.2. Teorema de Lax Milgram generalizadoSea H un Hilbert y sea a(; ) una forma bilineal acotada. Entonces, para todo F 2 H 0, existeun unico u 2 H tal que:

a(u; v) = F (v); 8 v 2 Hsi y solo s

(i) (Sobreyectividad) Existe > 0 tal que:

supw2Hw 6=

a(w; v)


(ii) (Inyectividad) Para todo v 6=

supw2H

a(v; w) > 0; 8 v 6=

Note que si a(; ) es simetrico, entonces el operador A es autoadjunto, esto es A = A. luego

A es sobreyectivo ) H = R(A) = N(A)? = N(A)?) N(A) = fg ) A es inyectivo.

Asi, una version particular del TLMG es el TLMG version simetrica.


2.3. Teorema de Lax-Milgram version simetrica

2.3. Teorema de Lax-Milgram version simetricaSea H un Hilbert y a(; ) una funcion bilineal acotada y simetrica. Entonces, para todo F 2H 0, existe un unico u 2 H tal que:

a(u; v) = F (v); 8 v 2 H

si y solo s, existe > 0 tal que:

supw2Hw 6=

a(w; v)

jjwjjH0 jjvjjH ;8 v 2 H

Demostracion. Basta ver, de lo anterior, que (i)) (ii). En efecto,

supw2H

a(v; w) = supw2H

a(w; v) supw2Hw 6=

a

w

jjwjjH ; v

= supw2Hw 6=

a(w; v)

jjwjjH0 jjvjjH > 0; si v 6=

z

OBSERVACION 2.1. La condicion

supw2Hw 6=

a(w; v)


es equivalente a la condicion

nfv2Hv 6=

0@supw2Hw 6=

a(w; v)

jjwjjH jjvjjH

1A lo que explica el nombre de condicion nf sup para esta desigualdad. Esta condiciontambien se conoce como condicion de Babuska-Brezzi y como condicion d Lady Shenkaya-Babuska-Brezzi (LBB) o como condicion de Neccas

Fecha: 07 de abril del 2015

2.4. Ejemplo unidimensional mas simple

u00 = f en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0


Cap. 2: Teoremas de Lax-Milgram

La formulacion variacional se reduce a hallar u 2 H10 () tal que:1Z

0

u0v0 =

1Z0

fv; 8 v 2 H10 ()

o bien, hallar u 2 H10 () tal que:a(u; v) = F (v); 8 v 2 H

donde

a(u; v) =

1Z0

u0v0; F (v) =

1Z0

fv

Es claro que a es acotado y F 2 H 0. En efecto,ja(u; v)j jju0jj0;jjv0jj0; jjujjH jjvjjH

Para la elipticidad vemos que:

a(v; v) =

1Z0

(v0)2 = jjv0jj20; = jvj21;| {z }seminorma

y por lo tanto necesitamos demostrar que existe > 0 tal que:

jvj21; jjvjj21; ; 8 v 2 H = H10 ()La funcion jj1; : H1() ! R se llama seminorma, la cual no es una norma en H1() yaque jvj1; = 0; v = LEMA 2.1. (Desigualdad de Friederids-Poincare) Sea =]a; b[ R: Entonces, existe > 0que dependen de a y b tal que:

jvj21; jjvjj21;; 8 v 2 H10 ()Demostracion. Dado que C10 es denso en H

10 (), basta demostrar la desigualdad para ' 2

C10 (). En efecto, dado ' 2 C10 .

'(x) =

xZa

'0(t)dt

y luego

j'(x)j2 =

xZa

'0(t)dt

2

0@ xZ

a

12dt

1A0@ xZa

('0(t))2dt

1A (x a)

bZa

('0(t))2dt

= (x a)jj'0jj20; = (x a) j'j21;


2.4. Ejemplo unidimensional mas simple

es decir:j'(x)j2 (x a) j'j21; ; 8 x 2]a; b[

y luego, integrando obtenemos:

jj'jj20; =bZ

a

j'(x)j2 dx 0@ bZ

a

(x a)dx1A j'j21; = (b a)22 j'j21;

y luego

jj'jj21; = j'j21; + jj'jj20;

j'j21; +

(b a)22

j'j21;

=

1 +

(b a)22

j'j21;

o bien

j'j21; jj'jj21;; con =2

2 + (b a)2

Por ultimo, dado v 2 H10 (), existe f'jgj2N C10 tal que:

jjv 'jjj1; j!1! 0y como

j'jj21; jj'jjj21;; 8 j 2 Ntomando lmite se tiene que:

jvj21; jjvjj21;; 8 v 2 H10 ()z

OBSERVACION 2.2. Notemos que gracias a la desigualdad de F-P, la seminorma constituyeuna norma en H10 () la cual es equivalente a la norma jj jj1;.

pjjvjj1; jvj1; jjvjj1;; 8 v 2 H10 ()

As, en nuestro ejemplo unidimensional simple, obtenemos que:

a(v; v) = jvj21; jjvjj21;; con = 2=3lo que demuestra que a es Helptica. As, por el T.L.M., existe un unico u 2 H tal que:

a(u; v) = F (v); 8 v 2 Hy ademas

jjujj1; 1jjf jj0;


Captulo 3Metodo de Galerkin

Sea H un Hilbert y a : H H ! R una forma bilineal acotada y F 2 H 0. Supongamos queexiste un unico u 2 H tal que:

a(u; v) = F (v); 8 v 2 H

Sea fHngn2N una sucesion de subespacios de H de dimension finita n y consideremos elproblema:

Hallar un 2 Hn tal que:a(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn

PREGUNTAS.

(i) Existe un?

(ii) Es unico?

(iii) Que relacion tiene u y un?

(iv) jju unjjH n!1! 0?

3.1. Existencia y unicidad de un

Notemos que FHn

2 H 0n y a(; ) : Hn Hn ! R es una forma bilineal acotada. Entonces,tenemos la misma estructura que en el caso continuo en H , y por lo tanto podemos aplicar elTLM o el TLM generalizado para asegurar existencia y unicidad.

3.1.1. TLM Discreto

Supongamos que existe n > 0 tal que a(vn; vn) njjvnjj2H ; 8 vn 2 Hn. Entonces existeuna unica un 2 Hn tal que

a(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn

15

3.2. Calculo de la solucion de Galerkin

Ademas:

jjunjjH 1n

F Hn

H0n

=1

nsup

vn2Hnvn 6=

jF (vn)jjjvnjjH

1njjF jjH0

Demostracion. Directo del TLM continuo. z

OBSERVACION 3.1. Si a es Helptica, entonces a es Hnelptica

3.1.2. TLM generalizado (discreto)Sean an : Hn Hn ! R una forma bilineal acotada. Entonces, para todo Fn 2 H 0n(Fn =FHn

), existe un unico un 2 Hn tal que:

an(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hnsi y solo s, existe n > 0 tal que:

supwn2Hnwn 6=

an(wn; vn)

jjwnjjH njjvnjjHn

o bien, si y solo s

supwn2Hnwn 6=

an(vn; wn)

jjwnjjH njjvnjjHn

En cualquier caso se obtiene que

jjunjjH 1njjFnjjH0n

Demostracion. Es una aplicacion directa del TLMG, notando ahora que en dimension finita;Inyectividad es equivalente a sobreyectividad. z


3.2. Calculo de la solucion de GalerkinSeaHn un subespacio deH de dimension finita n, y sea fe1; ; eng una base deHn. Enton-ces, hallar un 2 Hn tal que:

a(un; ei) = F (ei); 8 i = 1 ; nA su vez como un 2 Hn, existen 1; ; n 2 R (incognitas) tales que:

un =nX

j=1

jej


Cap. 3: Metodo de Galerkin

de donde nos queda el problema. Hallar 1; ; n 2 R tales que:nX

j=1

ja(ej; ei) = F (ei); 8 i = 1; ; n

lo que matricialmente se escribe como: Hallar ! =

[email protected]

1CA 2 Rn tal que:A! = !f

con A = (aij);8 i; j 2 f1; ; ng;!f = (f1; ; fn)t; aij = a(ej; ei);8 i; j 2 f1; ; ng yfj = F (ej); 8 j = 1; ; n.

La matriz A se llama Matriz de Rigidez y el vector!f se llama vector carga.

3.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple

u00 = f en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0

Con H = H10 (); a(u; v) =1R0

u0v0; F (v) =1R0

fv; f 2 L2()

Consideremos 0 = x0 < x1 < < xn+1 = 1 una particion de ]0; 1[

Dibujo

y definamos el siguiente espacio:

Hn :=

vn 2 C() : vn

[xj1;xj ]

2 P1([xj1; xj]);8 j = 1 ; n+ 1; vn(0) = vn(1) = 0

Dibujo

Notar que vn 2 Hn esta determinado de manera unica, por los valores que ella toma en lospuntos x1; x2; ; xn+1. mas aun, no es difcil ver que fe1; ; cng es una base deHn, dondeej con j = 1; ; n es la unica funcion de Hn tal que:

ej(xj) = 1; ej(xi) = 0;8 i 6= j

Dibujo

En efecto, dado un 2 Hn es facil ver que:

vn(x) =nX

j=1

vn(xj)ej(x); 8 x 2


3.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple

As

a(ej; ei) =

1Z0

(ej(x))0(ei(x))0dx

fj =

1Z0

f(x)ej(x)dx

Dibujo

Notar que si ji jj 2, entonces sop(ei) \ sop(ej) tiene medida nula y por lo tanto aij = 0

Si i = j

aij = aii =

1Z0

(e0i(x))2dx =

xiZxi1

(e0i(x))2dx+

xi+1Zxi

(e0i(x))2dx

Dibujo

ei(x)i=x xi1

hi

ei(x)i+1

=xi+1 xhi+1

As,

aii =

xiZxi1

1

hi

2dx+

xi+1Zxi

1

hi+1

2dx =

1

hi+

1

hi+1

Si j = i+ 1

ai:i+1 =

1Z0

(e0i(x))(e0i+1(x))dx =

xi+1Zxi

(e0i(x))(e0i+1(x))dx

=

xi+1Zxi

1hi+1

1

hi+1

dx =

1hi+1

Dibujo

De la misma formaai+1;i =

1hi+1



A su vez,

fj =

Z 10

f(x)ej(x)dx =

xjZxj1

f(x)(x xj1)

hjdx+

xj+1Zxj

xj+1 xhj+1

2dx

En resumen, en este caso, la matriz rigidez es:

A =

0BBBBBBB@

1h1

+ 1h2

1h2

0 0 0 1

h21h2

+ 1h3

1h3

0 00 1

h31h3

+ 1h4

0 0...

...... . . .

......

0 0 0 1hn1

+ 1hn

1hn

0 0 0 1hn

1hn

+ 1hn+1

1CCCCCCCAEn el caso particular en el que la particion es uniforme, es decir hi = h = 1n+1 ; i 2 f1; ; ngnos queda:

A =1

n+ 1

0BBBBBBB@

2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0...

...... . . .

......

0 0 0 2 10 0 0 1 2

1CCCCCCCAFecha: 14 de abril del 2015

3.4. Estimacion de GalerkinSupongamos que existen ; n tal que

(i) supw2Hw 6=

a(v; w)

jjwjjH jjvjjH ; 8 v 2 H

(ii) supw2Hw 6=

a(vn; wn)

jjwnjjHn njjvnjjHn ; 8 vn 2 Hn

(iii) supw2H

a(w; v) > 0; 8 v 6=

Se sigue de (i) y (iii) que 8 F 2 H 0;9!u 2 H tal quea(u; v) = F (v); 8 v 2 H

y de (ii) tenemos que para todo f 2 H 0, existe un unico un 2 Hn tal que:a(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn


3.4. Estimacion de Galerkin

Para esto notemos primero que:

a(u un; vn) = 0; 8 vn 2 Hn(Propiedad de ortogonalidad del error)

en efecto,a(u un; vn) = a(u; vn) a(un; vn) = F (vn) F (vn) = 0

Aplicando (i) a v = u un obtenemos,

jju unjjH supw2Hw 6=

a(u un; w)jjwjjH

= supw2Hw 6=

a(u un; w + vn vn)jjwjjH

= supw2Hw 6=

a(u un; vn)

jjwjjH +a(u un; w vn)

jjwjjH

= supw2Hw 6=

a(u un; w vn)jjwjjH

jju unjjH Mjju unjjH sup

w2Hw 6=

jjw vnjjHjjwjjH ; 8 vn 2 Hn

con esto no se llega a nada.

Por otro lado, notemos que:

jju unjjH jju vnjjH + jjvn unjjH ; 8 vn 2 HnLuego, aplicando (ii), a (vn un) 2 Hn vemos que

jjvn unjjH 1n

supwn2Hnw 6=

a(vn un; wn)jjwnjjH

=1

nsup

wn2Hnw 6=

a(vn u+ u un; wn)jjwnjjH

=1

nsup

wn2Hnw 6=

a(vn u;wn)jjwnjjH +

a(u un; wn)jjwnjjH

=1

nsup

wn2Hnw 6=

a(vn u;wn)jjwnjjH

Mnjjvn ujjH ; 8 vn 2 Hn



As,

jjvn unjjH jju unjjH + jjvn unjjH 1 +

M

jju vnjjH ; 8 vn 2 Hn

o bien,

jju unjjH 1 +

M

nf

vn2Hnjju vnjjH ; 8 vn 2 Hn

o bien,

jju unjjH 1 +

M

dist(u;Hn)

Esta estimacion se conoce como la Estimacion de Cea

OBSERVACION.

1. Notemos que para que la estimacion de Cea, sea realmente util, se necesita que n notienda a cero cuando n ! 1. Para esto, asumimos que existe e > 0, tal que n >e; 8 n 2 N con la cual la estimacion de Cea queda

jju unjjH 1 +

Medist(u;Hn)

2. (Utilidad de la estimacion de Cea) Si somos capaces de construir una familia de opera-dores de interpolacion n : H ! Hn, los cuales satisfacen

jjv n(v)jj e(n)jjvjjH ; 8 v 2 H

con e(n) n!1! 0. Entonces de la estimacion de Cea se tiene:

jju unjjH 1 +

Mejju vnjjH ; 8 vn 2 Hn

En particular, para vn = n(u) se tiene:

jju unjjH 1 +

Mejju n(u)jjH

1 +

Mee(n)jjujjH n!1! 0

Por lo tanto, el error tiende a cero si la dimension del espacio tiende a infinito.


3.5. Caso particular de a simetrica yHelptica

3.5. Caso particular de a simetrica yHelpticaSupongamos que existe > 0 tal que:

a(v; v) jjvjj2H ; 8 v 2 Hy que a(; ) es simetrica. Entonces a(; ) constituye un producto interior en H cuya normaasociado denotaremos por jj jja = (a(; ))1=2. La condicion de ortogonalidad del error esta-blece que:

a(u un; vn) = 0; 8 vn 2 Hnlo que en este caso particular es equivalente a que

jju unjja = mnvn2Hn

jju vnjjaes decir, un es la mejor aproximacion de u por elementos de Hn con respecto al productointerior a(; ) o equivalentemente

a(u un; u un) = mnvn2Hn

a(u vn; u vn)

esto es

a(u; u) 2 a(u; un)| {z }F (un)

+a(un; un) = mnvn2Hn

8>:a(u; u) 2 a(u; vn)| {z }F (vn)

+a(vn; vn)

9>=>;y cancelando a(u; u) se tiene

a(un; un) 2F (un) mnvn2Hn

fa(vn; vn) 2F (vn)g

En otras palabras, introduciendo el funcional cuadratico

J(v) := a(v; v) 2F (v); 8 v 2 Hse tiene:

J(vn) = mnvn2Hn

J(vn)

es decir, un es el unico elemento de Hn que minimiza el funcional J en Hn. Finalmente

jju unjj2H a(u un; u un) a(u vn; u vn)M jju vnjj2H ; 8 vn 2 Hn

de donde

jju unjjH rM

jju vnjj; 8 vn 2 Hn

jju unjjH rM

dist(u;Hn)




3.6. Vuelta al problema unidimensional mas simple (2da Par-te)

u00 = f en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0

Hallar u 2 H = H10 () tal que:

a(u; v) =

1Z0

u0v0 = F (v) =Z

fv; f 2 L2()

y

Hn =

vn 2 C() : vn

[xj1;xj ]

2 P1([xj1; xj]);8 j = 1; ; n+ 1; vn(0) = vn(1) = 0

Hallar un 2 Hn tal quea(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn

Sabemos que ambos problemas tienen una unica solucion.

Veamos que pasa con jju unjj0;

Sea w 2 H10 () la unica solucion del problema debil:8

3.7. Propiedad de aproximacion

En particular se tiene que para ' 2 C01()

a(u; ') =

1Z0

u0'0 =

1Z0

f'

Entonces:u00 = f 2 L2()

Supongamos ahora que existe c > 0 tal que 8 z 2 H2()nf

vn2Hnjjz vnjj1; Ce(n)jjz00jj0;; (Propiedad de aproximacion de Hn)

con e(n) n!1! 0.Puesto que w 2 H2() (w 2 H10 () y w00 = (u un) 2 L2()), de (*) y la propiedad deaproximacion, tenemos que

jju unjj20; M jju unjj1;Ce(n)jjw00jj0;

y como jjw00jj0; = jju unjj0;, entonces:

jju unjj0; MCe(n)jju unj1;

Finalmente, notando que:

jju unjj1; rM

nf

vn2Hnjju vnjj1; (P. de Cea)

rM

Ce(n)jju00jj0; (P. de aproximacion)

se obtiene:

jju unjj0; M3=2C2

1=2(e(n))2jju00jj0;

As, si jjuunjj1; O(e(n)), entonces jjuunjj0; O(e(n)2), dondeO() es el orden deconvergencia.

OBSERVACION 3.3. El argumento que hemos utilizado que se llama Argumento de duali-dad o Truco de Aubin-Nitsche ya que el punto de partida es el problema auxiliar (problemadual)

w00 = u un; en ; w(0) = w(1) = 0

3.7. Propiedad de aproximacionDefinamos el siguiente operador de interpolacion, conocido como Interpolante de Lagrange

In : C() ! Hnv 7! In(v) =

nXj=1

v(xj)ej



donde ej; j = 1; ; n son las funciones techo y 0 = x0 < x1 < < xn < xn+1 = 1 esla particion del intervalo [0; 1]

Dibujo

Es claro quenf

vn2Hnjju vnjj1; jju In(u)jj1;

TEOREMA 3.1. Sea e(n) := maxj2f1; ;n+1g

fhjg := maxj2f1; ;n+1g

fxj xj1g. Entonces existec > 0, independiente de n tal que

jjv In(v)jj1; Ce(n)jjv00j0;; 8 v 2 H2()

Demostracion. Aqu usamos que si u 2 H2(), entonces u 2 C() (u es continua), de modoque In(v) esta bien definida para todo v 2 H2()

Dado v 2 H2() y sea j 2 f1; ; n+ 1g se define la siguiente funcion

wj(t) = (v In(v))(xj1 + t(xj xj1))

con t 2 [0; 1].

Observemos que wj(0) = wj(1) = 0 y por lo tanto, por teorema de Rolle, existe 2]0; 1[tal que w0j() = 0. As, por teorema fundamental del calculo se tiene que

w0j(t) =

tZ

w00j (s)ds; 8 t 2 [0; 1]

y luego aplicando C.S

w0j(t)2 =

tZ

w00j (s)ds

2

= jt j0@ tZ

(w00j (s))2ds

1A ;8 t 2 [0; 1] jt j jjw00j jj20;; 8 t 2 [0; 1]

As, integrando con respecto a t 2]0; 1[1Z

0

w00j (t)2 dt jjw00j jj20; 1Z0

jt j dt

jwjj21; jjw00j jj20; (*)


3.7. Propiedad de aproximacion

Notemos que

w0j(t) = (v In(v))0(xj1 + t(xj xj1| {z }hj

))hj

W 00j (t) = v00(xj1 + t(xj xj1))h00j

As de ()1Z

0

[(v In(v))0(xj1 + t(xj xj1))]2 h2jdt 1Z

0

[v00(xj1 + t(xj xj1))]2 h4jdt

Haciendo el cambio de variable x = xj1 + t(xj xj1), vemos que t 2 [0; 1], entoncesx 2 [xj1; xj] y por lo tanto:

xjZxj1

[(v In(v))0(x)]2 hjdx xjZ

xj1

[v00(x)]2 h3jdx

AsxjZ

xj1

[(v In(v))0(x)]2 dx h2jxjZ

xj1

[v00(x)]2 dx

y sumando sobre j 2 f1; ; n+ 1g obtenemos:

jv In(v)j21; f maxj2f1; ;n+1g

hj| {z }e(n)

g2jjv00jj20;

y como v In(v) 2 H10 () y usando Poincare se sigue que

jjv In(v)jj1; 32jv In(v)j21;

3

2(e(n))2jjv00jj20;

con lo cual

jjv In(v)jj1; r

3

2e(n)jjv00jj0;

z



Captulo 4Formulacion Mixta

4.1. Un Problema bidimensionalSea R2 un conjunto abierto acotado de R2, con frontera poligonal (Lipschitz continua).Dado f 2 L2(), consideremos el problema de Poisson: u = f; en

u = 0; en @ =

Dado un campo vectorial F 2 [C1() \ C()]n; n 2 N. El teorema de Gauss establece que:Z

divF =

Z

F

donde es el vector unitario exterior a .

En particular, tomando F = (0; 0; ; 0|{z}i-esima comp

; ; 0)t con u; v 2 C1() \ C(), vemosque:

divF =@(uv)

@xi=u@(v)

@xi+v@(u)

@xicon lo cual Z

u@v

@xi+v@u

@xi

=

Z

uviZ

u@v

@xi=

Z

v@u

@xi+

Z

uvi (FIPP)

(FIPP: Formulacion de integracion por partes)

Supongamos ahora que u = @w@xi

con w 2 C2() \ C1(). De la FIPP, obtenemosZ

@w

@xi

@v

@xi=

Z

v@2w

@x2i+

Z

v@w

@xii

27

4.2. Vuelta al problema bidimensional

y sumando sobre i = 1; ; nZ

rwrv = Z

vw +

Z

vrw

esto es: Z

rwrv = Z

vw +

Z

v@w

@(PIG)

con @w@

= rw8 v 2 C1() (PIG: Primera identidad de Green.)

A su vez, intercambiando w y v en (PIG) vemos que:Z

rwrv = Z

wv +

Z

w@v

@

y restando ambas identidades se llega a:Z

(wv vw) =Z

w@v

@ v@w

@

(SIG)

8 w; v 2 C2() \ C1(), (Segunda identidad de Green)

4.2. Vuelta al problema bidimensionalTomando ' 2 C10 () y multiplicando esta funcion por la ecuacion u = f , y utilizando laPIG obtenemos: Z

f' = Z

u' =

Z

rur'Z

'@u

@| {z }0

entonces Z

rur' =Z

f'; 8 ' 2 C10

DEFINICION 4.1. Se define el espacio de Sobolev de orden n

H1() :=

v 2 L2() : @v

@xi2 L2(); 8 i = 1; ;

donde @v

@xies en el sentido distribucional, esto es, existe wi 2 L2() tal que:Z

v@'

@xi=

Z

wi'; 8 ' 2 C10 ()


Cap. 4: Formulacion Mixta

Sobre H1() se define el producto interior

hu; vi1; =Z

uv +

Z

rurv

cuya norma asociada esta dada por:

jjvjj1; :=0@Z

jvj2 +Z

jrvj2Rn1A1=2 = (jjvjj20; + jvj21;)1=2

El espacio H1(), con este producto interior es un Hilbert.

DEFINICION 4.2.H10 () := C

10

jjjj1;

esto es,v 2 H10 (), 9 f'jgj2N C10 tal que jjv 'jjj1; j!1! 0

equivalentementeH10 () := fv 2 H1() : v = 0 en g

(v = 0 en el sentido de trazas)

De este modo, el esquema debil del problema de Poisson es:8>>>>>:Hallar u 2 H10 () tal que:R

rurv = R

fv; 8 v 2 H10 ()(argumento de densidad)

o bien, definiendo

H = H10 (); a(u; v) =

Z

rurv| {z }

Formabilineal

; F (v) =

Z

fv

| {z }Funcional

Re-escribimos el problema como8

4.3. Formulacion mixta del problema de Poisson

TEOREMA 4.1. (Desigualdad de Friederich-Poincare) Sea un abierto de Rn, acotado enalguna direccion coordenada (9 i 2 f1; ; ng;9 c > 0 : jxij c;8 x = (x1; ; xn) 2 ).Entonces, existe > 0 tal que:

jvj21; jjvjj21;; 8 v 2 H10 () depende solo de la medida del dominio.

Demostracion. (Tarea- Brezis) z

Entonces, aplicando la desigualdad de Poincare, obtenemos que a(; ) es eliptica en H1o ().Finalmente es claro que F es acotado, en efecto,

jF (v)j =Z

fv

jjf jj0;jjvjj0; jjf jj0;jjvjj1;; 8 v 2 H10 ()En particular,

jjf jjH0 jjf jj0;

Por lo tanto, aplicando Lax-Milgram, obtenemos que existe un unico u 2 H10 () tal que:

a(u; v) = F (v); 8 v 2 H10 ()Ademas

jjujj1; 1jjf jj0;

4.3. Formulacion mixta del problema de PoissonConsideremos Rn abierto, acotado con frontera poligonal y f 2 L2(). El problema dePoisson esta dado por: u = f; en

u = 0; en

Interesa una formulacion mixta que incluya a

= ru; en

como incognita adicional.

Notando que

div =@1@x1

+ + @n@xn

= div(ru) = u

Vemos que el problema de Poisson se re-escribe como un sistema de primer orden, de lasiguiente forma. 8


Multiplicando la primera ecuacion por !' = ('1; ; 'n) 2 [C10 ()]n e integrando porpartes, vemos queZ

!' =Z

ru!' =nXi=1

Z

@u

@xi'i =

nXi=1

0@Z

u@'i@xi

+

Z

u'ii

1A = Z

u div !'

es decir, Z

!' +Z

u div !' = 0; 8 !' 2 [C10 ]n

Por otro lado, multiplicando la segunda ecuacion por v 2 L2() e integrando, obtenemos:Z

v div = Z

fv; 8 v 2 L2()


DEFINICION 4.3.H(div;) := f 2 [L2()]n : div 2 L2()g

div 2 L2(), 9 w 2 L2() tal que:Z

r' = Z

w'; 8 ' 2 C10 ()

w = div .

Sobre H(div;) se define el producto interior

h; idiv; :=Z

+

Z

div div

cuya norma asociada se define

jj jj2div; := jj jj20; + jjdiv jj20;

con este producto interno (H(div;); h; i) es Hilbert.Ademas se puede demostrar que:

[C1o ()]jjjjdiv;

= H(div;)

y por lo tanto, por densidad, nuestro problema nos queda8>>>>>>>>>>>:

Hallar (; u) 2 H(div;) L2() tal que:R

+R

u div = 0; 8 2 H(div;)

R

v div = R

fv; 8 v 2 L2()


4.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida)A su vez, definiendo H = H(div;); Q = L2(),

a : H H ! R(; ) 7! a(; ) = R

b : H Q ! R

(; v) 7! b(; v) = R

v div

y los funcionales

F : H ! R 7! F () = 0

G : Q ! Rv 7! G(v) = R

fv

El problema se re-escribe como8>>>>>>>:Hallar (; u) 2 H Q tal que:

a() + b(; u) = F (); 8 2 H

b(; v) = G(v); 8 v 2 QPara analizar este problema, necesitamos el siguiente resultado clasico.

4.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida)Sea H y Q dos espacios de Hilbert con a : H H ! R y b : H Q ! R dos formasbilineales acotadas tales que:

(i) 9 > 0 tal que:a(; ) jj jj2H ; 8 tau 2 K

donde K := f 2 H : b(; v) = 0;8 v 2 Qg H (K es el kernel de b)(ii) 9 > 0 tal que:

sup2H 6=

b(; v)

jj jjH jjvjjQ; 8 v 2 Q

Entonces, 8 F 2 H 0; G 2 Q0 existe un unico (; u) 2 H Q tal que:a(; ) + b(; u) = F (); 8 2 H

b(; v) = G(v); 8 v 2 QAdemas, 9 c > 0 tal que:

jjjjH + jjujjQ C (jjF jjH0 + jjGjjQ0)

Para demostrar este teorema se requiere el siguiente resultado previo.

LEMA 4.1. (Clave) Sea B : H ! Q un operador lineal acotado. Las siguientes afirmacionesson equivalentes:



(i) 9 > 0 tal que jjB(v)jjH jjvjjQ; 8 v 2 Q.(ii) B es un isomorfismo (boyeccion lineal) de Q en [N(B)]?.

(iii) B es un isomorfismo de [N(B)]? en Q y ademas

jjB()jjQ jj jjH ;8 2 [N(B)]?

Demostracion. (TAREA) z

Demostracion. (Teorema de Babubska-Brezzi) SeanA : H ! H yB : H ! Q los operadoreslineales y acotados definidos por:

hA(); iH = a(; ); 8 ; 2 HhB(); vhQ = b(; v); 8 2 H; 8 v 2 Q

Entonces, el problema se re-escribe como: hA(); iH + hB(u); iH = hR(f); iH ; 8 2 HhB(); viQ = hR(G); viQ; 8 v 2 Q

o equivalentemente A() + B(u) = R(F )B() = R(G)

De la condicionnf sup(ii), vemos que:

sup2H 6=

b(; v)

jj jjH = sup2H 6=

hB(); viQjj jjH = sup2H

6=

hB(v); iHjj jjH = jjB

(v)jjH

es decir,jjB(v)jjH jjvjjQ; 8 v 2 Q

Luego, del lema clave se sigue que B es un isomorfismo de [N(B)]? en Q y por lo tanto,existe un unico g 2 [N(B)]? tal que:

B(g) = R(G)y ademas

jjgjjH jjB()gjjQ = jjR(G)jjQ = jjGjjQ0es decir:

jjgjjH 1jjGjjQ0

Sea ahora : H ! K la proyeccion ortogonal de \K", conK := f 2 H : b(; v) = 0; 8 v 2 Qg = f 2 H : B() = Qg = N(B)

de (i) se tiene que dado 2 Kjj jj2H a(; ) = hA(); iH = h(A()); iH jj( A)()jjH jj jjH


4.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida)entonces:

jj jjH jj( A)()jjH ; 8 2 K (*)

lo que implica que ( A)

K

: K ! K

es biyectivo, y como existe un unico 0 2 K tal que:

(A(0)) = (R(F ) A(g))

y de (*)

jj0jj jj( A)(0)jj = jj(R(F ) A(g))jj jjF jj+ jjAjjjjgjj jjF jj+ 1

jjAjjjjGjj

entoncesjj0jj 1

jjF jj+ 1

jjAjjjjGjj

Ademas,

hA(0); i = h(A(0)); i= h(R(F ) A(g)); i= hR(F ) A(g); i; 8 2 K) hA(0 + g)R(F ); i = 0; 8 2 K) A(0 + g) +R(F ) 2 K? = (N(B))?

lo que implica que gracias a la condicion denf sup, existe un unico u 2 Q tal que:

B(u) = A(0 + g)R(F )

y ademas

jjujj jjB(u)jj = jjA(0 + g)R(F )jj jjAjj(jj0jj+ jjgjj) + jjF jj eC(jjF jj+ jjGjj)

Entonces, haciendo = 0 + g se tiene:

B() = B(0 + g) = B(0)| {z }0

+B(g) = B(g)

entonces: A() +B(u) = R(F )B() = R(G)



As, (:u) es solucion del problema y ademas existe C > 0, que depende de ; ; jjAjj tal que:

jjjj+ jjujj C(jjF jj+ jjGjj)

Para la unicidad, demostraremos que si (; u) es solucion del sistema homogeneoA() +B(u) = B() =

entonces = ; v = .

En efecto, de la segunda ecuacion 2 K y aplicando a la primera ecuacion se tiene

( A)() + (B(u)) = ) ( A)() = ) =

y como = , y de la primera ecuacion B(u) = ) u = z

4.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte

8 0 tal que

eS = sup2H(div;)

6=

R

v div

jj jjdiv; jjvjj0;; 8 v 2 L2()

Dado v 2 L2(), si encontramos e 2 H(div;) tal que div e = v y jje jjdiv; Cjjvjj0;, setiene: eS R v div ejje jjdiv; 1C jjvjj

20;

jjvjj0; =1

Cjjvjj0;


4.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte

Para esto, basta considerar e = rz en , con z 2 H10 ()unica solucion del problema z = v

z =

el cual satisfacejjzjj1; Cjjvjj0;

entoncesdiv e = z = v

y

jje jjdiv; = jje jj20; + jjdiv e jj20;1=2=jzj21; + jjvjj20;1=2

C2jjvjj20; + jjvjj20;1=2= C2jjvjj0;
