EL HOMBRE DE VITRUVIO

Fernando Güemes

itzikareaga @ euskalnet.net

RESOLUCION DE LA

CUADRATURA DEL

CIRCULO

EL HOMBRE DE VITRUVIO

EL HOMBRE DE VITRUVIO

Marco Vitruvio Polión ( en latín Marcus Vitruvius Pollio )

fue un arquitecto, escritor e ingeniero romano del siglo I

antes de Cristo.

Fue arquitecto de Julio Cesar durante su juventud. Es el

autor del tratado sobre arquitectura, en diez libros, más

antiguo que se conserva. La obra trata sobre órdenes,

materiales, técnicas decorativas, tipos de edificios,

colores, y mecánica.

De Architectura se publicó en la mayor parte de los

países y todavía hoy constituye una fuente documental

por las informaciones que aporta sobre la pintura y la

escultura griegas y romanas.

El famoso dibujo de Leonardo da Vinci, sobre las

proporciones del hombre, conocido como el Hombre de

Vitruvio, esta basado en las indicaciones que sobre el

canon de belleza Vitruvio desarrolla en este tratado.

Aunque toda la fama se le atribuye a Leonardo, dada su

genialidad, no hay que olvidar que este se baso en el

canon de Vitruvio, para esbozar este genial dibujo.

Algunos además, le atribuyen propiedades geométricas

entre las que se incluye la cuadratura del circulo.

¡Como engaña la vista!, el hombre de Vitruvio, a la izquierda, parece estar dibujado en un rectángulo

y el de Leonardo, no deja lugar a dudas, este si está inscrito dentro de un cuadrado, la realidad es

que ambos, están incorporados dentro de un cuadrado, como veremos en la imagen siguiente.

Si pasamos a la misma escala los dos dibujos y copiamos el cuadrado del de Vitruvio y lo pegamos

sobre el de Leonardo, vemos que coinciden exactamente, si observamos la figura, los pies que en

el primer dibujo los deja fuera del cuadrado, Leonardo simplemente los recoge, pero la altura del

hombre, es la misma en los dos dibujos, ya que los talones están tocando el suelo en ambos.

Giacomo Andrea

da Ferrara

(1490 )

Hay dibujos similares, al de

Leonardo, este de su amigo

Giacomo, es de 1490.

La primera vez que se contempla el Hombre de Vitruvio desnudo, completamente desnudo, pero no

físicamente, sino geométricamente, uno se pregunta con que premisas dibujo Leonardo el famoso

cuadro. Se empiezan a realizar trazados geométricos, verificaciones matemáticas, y de una forma u

otra siempre fallan. O bien las proporciones que vemos no se asemejan a las del dibujo original, o

no cuadran los números, o ambas cosas a la vez. Pero tanto ir el cántaro a la fuente al fin se

rompe, y a partir de este momento vemos de que forma tan sencilla realizó Leonardo el trazado, lo

de sencilla es un decir, para llegar al resultado hay que pensar en muchas posibilidades, dar con el

resultado, es a base de muchas paciencia, muchos números, hasta que en una resta, por ejemplo,

damos con la clave. A partir de este momento pensamos que Leonardo era un genio, o vio este

resultado en alguna parte, o no encontró esta solución. Eso si es un enigma.

Los números estaban ahí incluso antes de haberse realizado el dibujo, desde el principio de los

tiempos, eternamente, incluso si no damos con la solución, ellos están. Cuando realizamos las

verificaciones numéricas pertinentes, aparecen unas “coincidencias” que son las que confirman que

el dibujo parece estar resuelto, no son nada misteriosas, son el resultado de aplicar la geometría

correctamente.

Sin más preámbulos vamos a realizar varios trazados que resuelven el problema, el análisis de los

mismos se realiza, bien por el teorema de Pitágoras, la comprobación de ángulos, o la resolución

de triángulos partiendo de sus razones trigonométricas. Algunos se preguntaran de donde salen

estos datos, en realidad, he preparado un pequeño programa informático que resuelve estas

cuestiones, por lo que la verificación se hace fácilmente.

Más adelante trataremos el problema de la cuadratura del círculo, que algunos afirman que está

implícita en el dibujo. Yo ni afirmo ni niego, serán las resoluciones geométricas las que aporten luz

sobre tema. He visto varias algunas soluciones, todas aproximadas, por tanto incorrectas, que se

basan en Vitruvio, no sé si seré capaz de dar con la buena, si es que Leonardo dio con ella.

“ Y yo cuadro el círculo, excepto un porción

tan minúscula como el intelecto sea capaz

de imaginar, es decir, como el punto visible ”

Evidentemente esto no da lugar a dudas,

Leonardo halló la cuadratura del círculo de

una forma “muy aproximada”, como cita en

uno de sus escritos.

Por otra parte, no sabemos que Pi utilizó, ni

con cuantos decimales trabajaba, pero aún

hay más, creo que hizo “trampa” y solucionó

la cuadratura del círculo a la inversa, esto

es, a partir del cuadrado y no del círculo.

He llegado a esta conclusión, porque he

dado con una solución que cumple con

estos requisitos, y porque Leonardo no la

incluye en su dibujo, solo nos presenta el

resultado, no la solución.

Primero voy a deducir esta solución y luego

pasaré a demostrar la mía, la que considero

es la exacta, partiendo de la circunferencia.

A - B 0,200000000000

A - C 0,200000000000

A - F 0,282842712475

A - G 0,282842712475

G - H 0,400000000000

H - F 0,400000000000

G - F 0,565685424949

A

C

D E

F

B G H

J

Como hemos visto, Leonardo

pudo solucionar el dibujo del

Hombre de Vitruvio a través

del trazado gráfico anterior.

Hay otra solución probable, la

del gráfico siguiente, que

parte del hexágono inscrito,

esta, a primera vista, también

es válida, pero al verificarla,

se ve que tampoco es

correcta, pero que a “la vista”

parece exacta.

¿Dio el pintor con la solución?

o es fruto de mi imaginación,

eso no lo sabremos nunca, lo

que está claro, es que cita la

“aproximación”, pero aún así

es una solución genial para la

época, ya que es casi exacta.

Por tanto vamos a resolver el

trazado y verificarlo, como es

obligatorio.

A - B 0,200000000000

A - C 0,200000000000

A - F 0,282842712475

A - G 0,282842712475

F - G 0,565685424949

K - L 0,565685424949

C - B 0,400000000000

C - K 0,082842712475

B - L 0,082842712475

K - B 0,482842712475

K - M 0,241421356237

A - M 0,041421356237

K - N 0,400000000000

N - L 0,400000000000

N - A 0,282842712475

A - L 0,282842712475

A

El punto M es el centro del

segmento K -L, es la clave

para la solución.

B

C

D E

G H

F J

K

L

M

N

K - M 0,241421356237

M - B 0,241421356237

K - B 0,482842712475

A - M 0,041421356237

M - R 0,241421356237

P - R 0,200000000000

M - P 0,135219344945

A - P 0,093797988708

P - B 0,106202011292

B - R 0,226448376462

K - P 0,376640701183

K - R 0,426448376462

B - R 0,226448376462

K - B 0,482842712475

AREA CIRCULO

K - B 0,183105438371

AREA CUADRADO

K - R 0,181858217787

DIFRENCIA

mm 0,001247220583

A

B

K

M

P R

Sobre un cuadrado de 20 centímetros, como en el dibujo

de Leonardo, la diferencia es de 1 milímetro cuadrado.

Una vez solucionado el problema de la

cuadratura del círculo tal y como suponemos

que la realizó Leonardo da Vinci, en su

famoso dibujo, el Hombre de Vitruvio,

entendemos la famosa frase que dice “ Y yo

cuadro el círculo, excepto una porción tan

minúscula como el intelecto sea capaz de

imaginar, es decir, como el punto visible”

La diferencia entre el círculo y el cuadrado del

dibujo de Leonardo es de aproximadamente

un milímetro cuadrado, es decir, un punto

visible.

Si esta es la solución que encontró Da Vinci,

realmente no es valida para la cuadratura del

circulo, aunque sí matemáticamente, ya que

por definición la cuadratura del círculo es la

conversión de una figura limitada por una

curva en otra de igual superficie limitada por

líneas rectas, por lo que se debe partir de un

círculo y no a la inversa.

A pesar de todo y con los medios de la época

nos parece una genialidad que pudiera dar

con la solución, que como el mismo cita, fue

una noche a punto de acabarse el candil.

Leonardo di ser Piero Da Vinci, Florencia

Leonardo da Vinci (15.4.1452 ) - ( 2.5.1519 )

Como suele suceder en muchos casos, aunque ya he dado con la solución de la cuadratura,

que la desarrollare completa más adelante, he vuelto a retomar el problema a partir del

hexágono inscrito, y me he dado cuenta que en anteriores soluciones tenía un pequeño

error, consideraba el punto de contacto con la circunferencia, como la altura del cuadrado,

esto lo veremos en detalle a lo largo de la resolución del problema. Como ya tengo la

solución del trazado anterior, esta me sirve para confirmar la exactitud a partir del hexágono,

es increíblemente sencillo el trazado, pero hay que comprobar los ángulos, las diferencias

de medidas, las sumas de segmentos, en definitiva, la verificación matemática.

Las “coincidencias” en el trazado son determinantes, por tanto la solución, resuelve la figura

del hombre de Vitruvio y además la cuadratura del círculo de una forma muy aproximada, tal

vez Leonardo dio con esta solución gráficamente. Es una solución elegante, intuitiva, que a

no ser por la pequeña discrepancia con el numero Pi oficial, serviría para enunciar un nuevo

teorema sobre la cuadratura del circulo.

A lo largo de la historia el número Pi ha tenido diversos valores, desde el Renacimiento

Europeo se realizan cálculos con polígonos inscritos y circunscritos, y actualmente se

calcula con series “infinitas” y han calculado el famoso número hasta con miles o millones

de decimales, cosa por otra parte poco práctica, pero mi pregunta es, “la serie conduce al Pi

real” es exacta, o es otra conjetura posible, pero aproximada. ¿Por que son mejores las

series que los perímetros ?, además hay tantas series como autores, en esto como en todo,

la “valida” es la del matemático más conocido del momento, hasta que viene otro que dice

que la suya es mejor.

Dejando esta disputa de lado, yo voy a utilizar el Pi gráfico, que además de aparecer, ya sea

directamente o en forma de múltiplos o submúltiplos en muchos trazados, es el que cuadra

perfectamente muchas operaciones matemáticas.

Si por el punto medio del lado de un hexágono inscrito en una circunferencia

trazamos un segmento que pasando por la mitad del radio paralelo a dicho

lado hasta que corte a la circunferencia, este segmento será igual al lado del

cuadrado, que partiendo perpendicularmente de este punto, cortará al radio

en un punto tal que será la mitad del lado del cuadrado y a la circunferencia

en un punto que determinará la cuadratura de la misma.

1/2

A

B

C

D E

F G

K

LM

P

R

S

T

El primer problema que se plantea es

resolver el triangulo PSR, ya que no

conocemos ningún lado del mismo,

pero si podemos conocer todos sus

ángulos. En efecto, podemos resolver

el triángulo APG y saber sus ángulos.

Por tanto, los ángulos del otro son

fáciles de deducir, uno es opuesto

por el vértice , otro es recto, por tanto

el que falta se obtiene restando de

noventa el opuesto por el vértice.

G 30

P 60

A 90

P 60

R 30

S 90 P S

R

Actualmente todo el mundo trabaja con calculadoras

y ordenadores, por lo que solucionar ángulos, senos

líneas trigonométricas, y triángulos resulta bastante

sencillo, pero como todo lo hace la máquina, hay

veces que desconocemos el algoritmo que utiliza, si

trabaja con ángulos o con radianes, en definitiva la

esencia del problema, se la dejamos a una máquina.

Para que esto no ocurra, vamos a dar unas ligeras

nociones sobre ángulos, para poder saber al menos

lo que estamos haciendo, mejor dicho, lo que hace

la máquina.

ANGULOS

GRADOS A RADIANES GRADOS x ( PI / 180 )

( PI / 180 ) 0,017453292520

RADIANES A GRADOS RADIANES x (180 / PI )

( 180 / PI ) 57,295779513082

GRADOS A RADIANES ARCOSENO

ARCO SENO A SENO SERIE TAYLOR

SEN = ( X /1 ) - ( X3 / 3! ) + ( X5 ! / 5! ) - ( X7 / 7! ) + .....

La serie se cierra cuando se repite el número obtenido

El factorial de un número ( ! ) es la multiplicación del

número por todos los anteriores.

EJEMPLO DE RESOLUCION ANGULOS

ANGULO 26,565051177078

( PI / 180 ) 0,017453292520

ARCO SENO ANGULO x ( PI / 180 )

ARCO SENO 0,463647609001

SENO 0,447213595500

Para hallar el seno de un ángulo, primero

hay que convertirlo a radianes, lo que es

lo mismo, hallar el arcoseno del angulo, y

una vez conocido le aplicamos la serie de

Taylor para hallar el seno. Evidentemente

con un ordenador o una calculadora este

proceso es automático, pero hay que

tener en cuenta que primero hay traducir

el ángulo a radianes o arcoseno.

Con estas nociones elementales estamos

en condiciones de resolver cualquier tipo

de triángulo, incluso los obtusángulos,

esto, que a primera vista, parece ser un

tanto complicado, en la práctica, no lo es

tanto, y nos ayudará a comprender, y lo

que es más importante, a resolver, los

problemas con ángulos.

HALLAR EL ANGULO EN FUNCION DEL SENO

Para hallar el ángulo en función del seno

se deben realizar varias operaciones.

Con calculadoras, o bien ordenadores, estas

operaciones se realizan de forma automática,

pero vamos a explicar todo el proceso para

entenderlo y poder realizarlo a mano.

En principio hay que hallar el arco seno del

seno conocido. Esta operación es la más

compleja de todo el proceso, está basada

en la serie de Taylor. Cuantos más términos

calculemos, mayor aproximación obtenemos.

La serie se cierra cuando el resultado de la

última operación es cero, esto es, cuando

el resultado de una suma parcial da cero.

En trigonometría, el arco seno está definido

como la función inversa del seno de un ángulo.

arco seno x = x + (1/2*x3/3) + (1*3/2*4)*(x5/5) + (1*3*5)/(2*4*6)*(x7/7) + (1*3*5*7)/(2*4*6*8)*(x9/9) …

a

b

c

A

B

C

a = 3

b = 4

c = 5

Angulo A Angulo B

Seno 0,6000000 0,8000000

Coseno 0,8000000 0,6000000

Tangente 0,7500000 1,3333333

Cotangente 1,3333333 0,7500000

Secante 1,2500000 1,6666666

Cosecante 1,6666666 1,2500000

Arco Seno 0,6435011 0,9272952

a

b

c

A

B

C

HALLAR UN LADO EN FUNCION DEL SENO

Hipotenusa y ángulo A

a = c x Sen A

b = c x Cos A

a = c / Cosc A

b = c / Sec A

Hipotenusa y ángulo B

a = c x Cos B

b = c x Sen B

a = c / Sec B

b = c / Cosc B

Cateto a y ángulo B

b = a x Tang B

c = a x Sec B

b = a / Cotag B

c = a / Cos B

Cateto a y ángulo A

b = a x Cotag A

c = a x Cosec A

b = a / Tang A

c = a / Sen A

Cateto b y ángulo A

a = b x Tang A

c = b x Sec A

a = b / Cotag A

c = b / Cos A

Cateto b y ángulo B

a = b x Cotag B

c = b x Cosc B

a = b / Tang B

c = b / Sen B

Angulo ( A ) Angulo ( B )

Seno 0,600000 0,800000

Coseno 0,800000 0,600000

Tangente 0,750000 1,333333

Cotangente 1,333333 0,750000

Secante 1,250000 1,666667

Cosecante 1,666667 1,250000

A

B

C

Cateto b

Ca

teto

a 3

4

Este sencillo ejemplo sirve para

comprobar todas las fórmulas.

Verificar con teorema Pitágoras.

Antes de continuar nos hacen falta unas

nociones de trigonometría, el Teorema

del Seno dice : En todo triángulo la

relación de un lado entre el valor del

seno del ángulo opuesto se mantiene

constante.

a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C

El seno del ángulo doble es igual a dos

veces el valor del seno del ángulo por el

coseno. Esto nos sirve para determinar

el valor del seno del ángulo de 120º, ya

que conocemos el del ángulo de 60º.

Evidentemente, el cálculo de los senos

lo desarrollo con un programa que he

preparado al efecto, pero el de 60º, en

concreto, se puede realizar por cálculo,

ya que su valor es raíz cuadrada de tres

entre dos, y el del coseno es un medio, y

el de la tangente es raíz cuadrada de

tres.

Conviene tener presente estas nociones.

C

A B

a b

c

h

Sen 60º 0,866025403784

Cos 60º 0,500000000000

Sen 120º 0,866025403784

c / Sen C = b / Sen B

Sen B = 0,866025403784 x 0,5 / 1

Sen B 0,433012701892

Sabemos que el ángulo en C vale 120º, y

que el segmento c vale 1, por ser un radio

y el lado b mide 0,5 por construcción.

A continuación vamos a ver como se hallan

ángulos a partir del seno y viceversa, es un

poco complicado, hay que conocer las

fórmulas y tener una calculadora.

C

A B

a b

c

h

CONSTANTE ( PI / 2 ) / 90

CONSTANTE 0,017453292520

ANGULO 120º

ARCO SENO 2,094395102393

SENO 0,866025403784

ANGULO 25,658906273255

ARCO SENO 0,447832396929

SENO 0,433012701892

ANGULO 34,341093726745

ARCO SENO 0,599365154268

SENO 0,564118398854

A partir de este momento podemos recurrir

a la tabla “Hallar un lado en función del

seno” para solucionar los triángulos

rectángulos formados por la altura ( h ), De

esta forma podemos hallar la altura y por

otra parte nos sirve de verificación, ya que

siempre insistimos en que todas la

medidas deben verificarse.

Los ángulos del triángulo los podemos hallar por

el Teorema del Seno, y una vez conocidos

hallamos sus correspondientes senos aplicando

las fórmulas del cuadro. Conocidos los ángulos podemos aplicar

el teorema de los senos, para hallar los

lados del triángulo.

( Pitágoras )

C

A B

a b

c

h

a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C

A - B = c 1,000000000000

Sen C 0,866025403784

c / Seno C 1,154700538379

A - C = b 0,500000000000

Sen B 0,433012701892

b / Sen B 1,154700538379

B - C = a 0,651387818866

Sen a 0,564118398854

a / Sen A 1,154700538379

C - D = a x Sen B 0,282059199427

B - D 0,587153045284

D - A 0,412846954716

B - A 1,000000000000

D

1 2

Una vez concluida la explicación, un tanto complicada,

pero sencilla, una vez que se conoce el procedimiento,

vamos a trazar el dibujo tal y como se ve realmente,

con sus medidas reales, para luego continuar, con los

comprobaciones, para dar por válido el trazado. A P

R

A - P 0,500000000000

A - R 1,000000000000

P - R 0,651387818866

c

b

a

1/2

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

A - D 1,000000000000

A - E 1,000000000000

B - C 2,000000000000

A - F 1 ,000000000000

F - G 0,500000000000

A - G 0,866025403784

G - B 0,133974596216

A - K 0,500000000000

K - L 0,500000000000

F - M 0,750000000000

K - M 0,433012701892

F - K 0,866025403784

H - G 0,288675134595

A - H 0,577350269190

A - E 1,000000000000

A - H 0,577350269190

H - E 1,154700538379

F - G 0,500000000000

H - G 0,288675134595

F - H 0,577350269190

A

B

C

D E

F G

H

K

L

Bisectriz en F

M

N

1/2

A - G 0,866025403784

A - P 0,500000000000

G - P 1,000000000000

P - R 0,651387818866

R - U 0,564118398854

P - U 0,325693909433

U - E 0,174306090567

A - U 0,825693909433

R - U 0,564118398854

A - R 1,000000000000

A - U 0,825693909433

S - T 1,651387818866

R - T 1,564118398854

S - R 0,087269420012

A

B

C

D E

F G L M

R

P

S

T

U

Ya hemos descubierto el

lado del cuadrado, ahora

queda por determinar el

punto de contacto en la

circunferencia, y los lados

a partir de este dato.

C - B 2,00000000000

Z - X 0,825693909433

C - X 1,768682220668

B - X 0,933682602543

C - B 2,00000000000

C - Z 1,564118398854

Z - B 0,435881601146

B - X 0,933682602543

C - B 2,000000000000

AREA CIRCULO

C - B 3,141592653590

AREA CUADRADO

C - X 3,128236797708

C-Z*2 3,128236797708

DIFERENCIA AREAS

0,013355855882

A

B

C

D E

F L

X Z

Evidentemente , este

trazado no soluciona

la cuadratura.

SOLUCION “EXACTA” DE LA CUADRATURA

DEL CIRCULO Y EL DIBUJO DEL HOMBRE

DE VITRUVIO.

Pitágoras y su famoso Teorema

facilitaron a Vitruvio y Leonardo

la resolución del famoso dibujo.

Después de varios intentos y

cuando digo varios digo cientos,

he decido solucionar el dibujo a

la inversa, esto es, he supuesto

que Leonardo no encontró la

solución exacta a la cuadratura

del circulo.

Esto todavía ha sido más difícil,

sin un ordenador, posiblemente

no lo habría conseguido, pero

una vez solucionado, no parece

tan complicado.

Antes de comenzar he resuelto

la cuadratura del círculo y la

rectificación de la circunferencia

gráficamente, y a escala, lo he

colocado sobre el dibujo del

hombre de Vitrubio, y esta vez

si encajan las piezas de este

rompecabezas,

Todos los resultados anteriores,

a partir del hexágono inscrito

entre las dos piernas, no daban

resultados “exactos”, hasta que

he dado con este. Lo he

verificado meticulosamente, y

puedo decir que las medidas

son perfectas, todas son

gráficas, solo he usado un

compas, cartabones y una regla

no graduada para realizarlas.

PROCEDIMIENTO GRAFICO PARA

RECTIFICAR LA CIRCUNFERENCIA

Después de muchos dibujos, por supuesto erróneos, que a primera vista parecían correctos,

una vez verificados matemáticamente, se comprueba o bien que faltan o sobran unos

milímetros, o que el ángulo formado es diferente, o ambas cosas a la vez. No hay que fiarse

de la vista, un dibujo no muy preciso, puede aportar una solución aparente, pero que en

realidad, no soluciona el problema. Cuando se encuentra la solución, la verificación no da

lugar a dudas, si es correcta, los decimales cuadran hasta con más de doce unidades. Yo

trabajo con doce, que me parece una exactitud suficiente.

1 - Se dibuja una circunferencia con radio A-B

2 - Se une un diámetro con el punto medio del radio perpendicular C-F

3 - Desde el centro se traza una perpendicular a este segmento A-G

4 - Desde el punto de contacto se trazan dos parales a los diámetros D-G / G-K

5 - Con un radio igual a medio radio más el segmento trazado desde el punto de contacto

se traza un arco hasta que corte al otro segmento que une el semiradio con el diámetro

segmento E-D

6 - Desde el punto E con radio E-D se traza el arco D-H

7 - Desde el punto K con radio K-H se traza el arco H-L

8 - Con centro en C se traza el arco C-L hasta que corte al diámetro en el punto M

Como hemos visto, todo el trazado se realiza sin ninguna medida, esto es, solo con regla

compas y cartabones, ya sabemos que las perpendiculares se pueden trazar solamente

con el compas, así como bisectrices, y la división de segmentos en dos partes iguales. Hay

trazados gráficos para dividir, en tres, cinco, siete y nueve partes iguales.

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

A - F 0,500000000000

C - F 1,118033988750

A - E 0,500000000000

C - G 0,894427191000

G - F 0,223606797750

A - G 0,447213595500

A - F 0,500000000000

A - D 0,400000000000

D - F 0,100000000000

G - D 0,200000000000

E - D 0,900000000000

E - H 0,900000000000

H - C 0,218033988750

K - E 0,223606797750

K - H 0,676393202250

H - L 1,352786404500

C - L 1,570820393250

C - M 1,570820393250

CUADRATURA DEL CIRCULO

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

A B

C

D E F

G

H

K

L

M

1,570820393250

2,000000000000

3,141640786500

C - N 2,00000000000

C - M 1,570820393250

M - N 0,429179606750

M - R 0,821074953125

C - R 1,772467428897

N - R 0,926476774399

C - N 2,000000000000

AREA CIRCULO

Pi x Radio al cuadrado

PI 3,141640786500

A - C 1,000000000000

AREA 3,141640786500

AREA CUADRADO

Lado al cuadrado

C - R 1,772467428897

AREA 3,141640786500

CUADRATURA DEL CIRCULO

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

A B

C

L

M

N

R

La cuadratura del círculo es exacta

con el número Pi obtenido gráficamente

3,141640786500

3,141592653590

0,000048132910

milésimas de milímetro

El trazado anterior es el único

que resuelve el Hombre de

Vitruvio exactamente.

PI / 2

PI

PI / 2 1,570820393250

PI 1,772467428897

0,821074953125 Pi

1

Pi

Como hemos visto, la parte más compleja consiste en

rectificar la circunferencia, el resto es bastante sencillo.

En principio, por diferencias obtenemos el segmento

M-N, ya que conocemos el segmento C-M y el

diámetro de la circunferencia, a partir de este punto,

por semejanza de triángulos, hallaremos la altura M-R.

Tenemos un triángulo rectángulo C-N-R inscrito en una

semicircunferencia, ya sabemos que las proyecciones

de los dos catetos del triángulo que forman ángulo

recto, multiplicadas entre sí, es igual a la altura del

triángulo al cuadrado, por tanto basta con extraer la

raíz cuadrada para obtener la altura. Un vez obtenida

la altura, por Pitágoras podemos hallar el resto, esto es

los dos catetos, puesto que conocemos los demás

datos.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

a2 = c * m

c / b = b / n b2 = c * n

m / h = h / n h2 = m * n

a2 / b2 = m / n

b2 = h2 + n2

a2 = h2 + m2

c2 = b2 + a2

a / c = h / b ab = ch

A

C

B c

b a

h

m n

M

C

N

R

Supongo que he solucionado

la cuadratura del círculo,

pero el número Pi que utilizo

es ligeramente diferente del

oficial, en realidad este sale

por trazado gráfico, por tanto

considero que es el exacto,

además este mismo número

aparece en varios trazados,

por tanto, lo considero como

válido. Además la diferencia

entre ellos es insignificante.

0,570820393250

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

C - M 1,570820393250

M - N 0,429179606750

M - R 0,821074953125

C - R 1,772467428897

N - R 0,926476774399

C - N 2,000000000000

P - S 1,642149906251

C - P 0,178925046875

S - N 0,178925046875

P - N 1,821074953125

P - T 0,570820393250

A - M 0,570820393250

T - V 1,141640786500

X - Y 0,570820393250

Y - R 0,570820393250

A B

C

M

N

R

P

S

T

Si centramos el cuadrado,

el segmento del mismo P-T

que corta la circunferencia,

es igual al segmento A-M y

al segmento X-Y

V

X

Y

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

C - N 2,000000000000

U - N 1,642149906251

U - C 0,357850093749

U - Z 0,766579087832

Z - X 1,533158175665

Z - C 0,845990654498

Z - N 1,812263725980

C - N 2,000000000000

A - M 0,570820393250

M - R 0,821074953125

A - R 1,000000000000

Z - U 0,766579087832

A - U 0,642149906251

A - Z 1,000000000000

A - W 0,178925046875

C - U 0,357850093749

A B

C

M

N

R

P

S

T V

X

Y

Z U

W

Estas medidas, aunque no

son muy relevantes, sirven

para verificar los trazados

gráficos matemáticamente.

LO QUE EL OJO NO VE

Antes de entrar en materia, voy a presentar un trabajo que aparentemente es perfecto, pero el cual no

soporta una verificación matemática, y cuando se hacen las oportunas comprobaciones, llegamos a la

conclusión de siempre, los trazados gráficos pueden parecer exactos, pero hay que demostrarlo con

las verificaciones matemáticas oportunas.

Lo que el ojo no ve, es tan importante como lo que ve, esta agudeza visual solo puede discriminarse

con la verificación matemática. Esta practica nos evitara errores de principiante, y en un trabajo que se

considera riguroso, no sirve dar como validas medidas aproximadas.

Hay otro error muy común cuando se trabaja sobre un dibujo de El Hombre de Vitruvio, es considerar

las medidas como válidas y sacar relaciones entre ellas, cuando de lo que se debe partir es de un

trazado gráfico previo y deducir las medidas a partir de este modelo. Evidentemente cuando hablo de

medidas no me refiero a medidas reales, sino a trazados gráficos, obtenidos solamente con regla o

cartabones sin graduar, y compas. Las medidas, exclusivamente, deben ser trazados geométricos, las

unidades solo sirven para verificar la exactitud de tales trazados.

Pero aún así, vamos a continuar con el problema para demostrar que la circunferencia que corta al

cuadrado tampoco soluciona el problema. Para ello, solucionaremos los triángulos por el teorema de

Pitágoras, y algunos conocimientos elementales de geometría.

En principio, si aplicamos una “medida” que realmente no se puede medir, es para ver si a lo largo del

trazado aparece alguna medida patrón, por desgracia, como veremos, tampoco se da en esta ocasión.

Con esta resolución pongo fin a la “posibles” soluciones, entre otras cosa, porque ya conocemos la

buena, sencilla, limpia, y lo más importante, exacta.

Vamos a analizar como una

figura que aparentemente

resuelve el misterioso dibujo

es solo una ilusión óptica,

es una pequeña diferencia,

pero diferencia al fin y al

cabo.

Evidentemente el trazado

ha de ser gráfico, pero al

menos hay que conocer una

medida exacta como punto

de partida y para efectuar

las verificaciones.

Si digo que no es exacto, es

porque no hay ninguna

medida que sirva de

referencia para resolver los

trazados.

Vamos a demostrar como Leonardo,

tuvo que partir de una circunferencia

y no del cuadrado para realizar la

cuadratura. En efecto, aún sabiendo

cuanto ha de medir el cuadrado, no

es posible llegar a la solución por

este camino.

1 - Trazamos dos perpendiculares

2 - Dibujamos una circunferencia

2 - Inscribimos un hexágono

3 - Trazamos un radio

4 - Se forma un triangulo equilátero

5 - Unimos dos puntos opuestos del

hexágono, que dividen al radio en

dos partes iguales

6 - Con lo que podemos enunciar

que uniendo los puntos opuestos de

un hexágono dividimos el diámetro

en cuatro partes iguales

Hay cosas que no hay que olvidar,

por ejemplo, que el lado del

hexágono es igual al radio.

Como es preceptivo verificamos los

enunciados matemáticamente. Los

haremos por Pitágoras y por

semejanza de ángulos.

A - B 0,821074953125

A - C 0,821074953125

C - B 1,642149906251

C - D 0,821074953125

C - E 0,410537476563

D - E 0,711071767818

D - F 1,422143535636

A

B

C

D E F

Una vez comprobados los

triángulos vamos a continuar

con el trazado, para ello

vamos a inscribir un triángulo

equilátero, y posteriormente ,

un segundo triángulo, con lo

que obtenemos una estrella

de David o de Salomón.

En algunas operaciones, al

duplicar un número el último

decimal no se corresponde

con el duplo, esto se debe a

que no damos más que doce

decimales pero el ordenador

trabaja con más, y es la

llevada del decimal anterior.

A - B 0,821074953125

A - C 0,821074953125

C - B 1,642149906251

C - D 0,821074953125

C - E 0,410537476563

D - E 0,711071767818

D - F 1,422143535636

G - H 1,422143535636

C - G 1,422143535636

C - H 1,422143535636

C - J 1,231612429688

A - K 0,474047845212

M - K 0,237023922606

K - N 0,948095690424

P - M 0,110003185308

L - E 0,237023922606

L - R 0,474047845212

D - L 0,474047845212

A

B

C

D E F

G H

El triángulo CGH sabemos que es equilátero,

simplemente porque sus lados unen dos

vértices equidistantes, del hexágono.

J

K

L

M

1/3 2/3

N P

R

C - S 0,615806214844

D - C 0,821074953125

D - S 0,410537476563

S - A 0,410537476563

C - J 1,231612429688

C - T 0,615806214844

S - T 0,355535883909

S - V 0,711071767818

T - A 0,205268738281

T - J 0,615806214844

S - J 0,615806214844

V - J 0,615806214844

A

B

C

D E F

G H J

K

L

M

1/3 2/3

N P

R

En la página anterior tenemos las medidas

fundamentales del trazado en curso, sin

entrar en consideraciones religiosas, solo

matemáticas, vamos a trazar la estrella de

David, o de seis puntas.

S T V

Ya tenemos el origen del cuadrado

y el centro de la circunferencia, en

el punto T, en la página siguiente

completamos el trazado.

1/2

A

B

C

P

T

A - B 0,821074953125

A - C 0,821074953125

A - T 0,205268738281

A - X 1,026343691407

B - X 2,052687382814

X

Con esto, lo único que se

demuestra es que para

realizar el famoso dibujo

Leonardo tuvo que partir

de la circunferencia, no

del cuadrado, ya que este

no devuelve un radio

exacto para hallar la

cuadratura del círculo.

Evidentemente, se parte

de los trazados gráficos,

los números solo sirven

para verificar los trazados

Obtener las medidas del

dibujo es sencillo una

vez se ha dado con la

solución, por tanto, dejo

este procedimiento sin

resolver.

Las principales, según

el texto de Vitruvio y

Leonardo, se indican a

continuación.

Para mí, lo que interesa

realmente, es solucionar

la cuadratura del círculo,

y el trazado geométrico,

cosa que hemos hecho

y demostrado. Por tanto

el hombre de Vitruvio,

ya tiene solución.

Fernando Güemes

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/e/ee/Eur.it.100.gif

El texto más explícito sobre las proporciones es aquel que describe

las del cuerpo humano: III,1 (B. 282; O.S. 58-59)

Compuso la naturaleza el cuerpo del hombre de suerte que su rostro, desde la barba hasta lo alto de la frente y la raíz del pelo es la décima parte de su altura. Otro tanto es la palma de la mano desde el nudo de la muñeca hasta el extremo del dedo largo. Toda la cabeza desde la barba hasta lo alto del vértice o coronilla es la octava parte del hombre. Lo mismo es por detrás desde la nuca hasta lo alto. Desde lo alto del pecho hasta la raíz del pelo es la sexta parte: hasta la coronilla la cuarta. Desde lo bajo de la barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro: toda la nariz hasta el entrecejo otro tercio, y otro desde allí hasta la raíz del pelo y fin dela frente. El pie es la sexta parte de la altura del cuerpo: el codo la cuarta: el pecho también la cuarta. (El palmo la vigésimo cuarta). Todos los otros miembros tienen también su conmensuración proporcionada … Del modo mismo, pues, los miembros de los templos sagrados deben tener exactísima correspondencia de dimensiones década uno de ellos a todo el edificio. Luego si la naturaleza compuso el cuerpo del hombre de manera que sus miembros tengan proporción y correspondencia con todo él, no sin causa los antiguos establecieron también en la construcción de los edificios una exacta conmensuración de cada una de sus partes con el todo.

EL HOMBRE DE VITRUVIO

La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a la altura.

El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano.

Si se coloca un hombre boca arria, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en

su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies.

La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide

desde la planta de los pies a la coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre la punta de

los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los

cuadrados que trazamos con la escuadra.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo la altura del hombre.

La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

La distancia entre la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la oreja también es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura.

Entre la parte superior del pecho y la parte superior de la cabeza, una sexta parte.

La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.

La anchura máxima de los hombros es una cuarto de la altura de un hombre.

La distancia entre el codo al extremo de la mano es un quinto de un hombre.

Entre el codo y la axila, la octava parte.

La longitud de la mano es un decimo de su estatura.

El inicio de los genitales marca el centro del hombre.

La distancia entre la planta del pie y la base de las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre.

Entre la base de la rodilla y los genitales, también es la cuarta parte.

Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos

hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los

miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triangulo

equilátero.

Cuatro dedos hacen una palma

Cuatro palmas hacen un pie

Seis palmas hacen un codo

Cuatro codos hacen la altura de un hombre

Cuatro codos hacen un paso

Veinticuatro palmas hacen un hombre