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5/13/2018 Ecuaciones de Tercer Grado - slidepdf.com

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C a p í t u l o 1 1

L A S E C U A C I O N E S D E T E R C E R y

C U A R T O G R A D O y l o s N Ú M E R O S

C O M P L E J O S

1 1 . 1 . L o s R a d i c a l e s C ú b i c o s

I n i c i a r e m o s n u e s t r a e x p l o r a c i ó n d e l m u n d o m a t e m á t i c o m á s a l l á d e l o c u a d r á t i c o , c o n

l o s r a d i c a l e s c ú b i c o s . D e n i r e m o s l o s r a d i c a l e s c ú b i c o s d e m a n e r a a n á l o g a a l o s r a d i c a l e s

c u a d r á t i c o s .

D e n i c i ó n 1 1 . 1 . S e a a u n n ú m e r o p o s i t i v o . L l a m a r e m o s r a d i c a l c ú b i c o o r a í z c ú b i c a d e

a a u n n ú m e r o p o s i t i v o θ t a l q u e θ3 = a.

E j e m p l o 1 1 . 1 . 1 .

1 . 2 e s u n a r a í z c ú b i c a d e 8 , y a q u e 23 = 8.

2 . 5 e s u n a r a í z c u b i c a d e 1 2 5 , y a q u e 53 = 125.

C u a n d o u n n ú m e r o t e n g a r a í z c ú b i c a , d i c h a r a í z s e r á ú n i c a . E s t o s i g u e d e q u e

x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2);

y q u e , p o r l o t a n t o , c u a n d o x y y s o n n ú m e r o s p o s i t i v o s , x3− y3 = 0, s s i , x− y = 0. L a r a í z

c ú b i c a d e a , s e r á d e n o t a d a p o r

3√

a.

¾ T i e n e c a d a n ú m e r o p o s i t i v o , u n a r a í z c ú b i c a ? N ó t e s e q u e s i u n c u b o t i e n e v o l u m e n

vs u

a r i s t a m e d i r á e x a c t a m e n t e

3√V . U n o d e l o s p r o b l e m a s c l á s i c o s d e l a g e o m e t r í a p e d í a d u p l i -

c a r u n c u b o , u s a n d o c o m o s i e m p r e r e g l a y c o m p á s .

1

P o d e m o s , s i n p e r d i d a d e g e n e r a l i d a d ,

1

E l p r o b l e m a t i e n e o r i g e n m i t o l ó g i c o : s e d i c e q u e A t e n e a p i d i ó l a d u p l i c a c i ó n d e s u a l t a r , q u e p r e c i s a m e n t e

t e n í a f o r m a d e u n c u b o .



1 7 2 C A P Í T U L O 1 1 . E C U A C I O N E S D E G R A D O S 3 Y 4

s u p o n e r q u e l a m e d i d a d e l a a r i s t a d e l c u b o o r i g i n a l e r a 1 . C o m o c o n s e c u e n c i a e l n u e v o c u b o

t e n d r á u n a a r i s t a q u e m e d i r á

3

√2. L a p r e g u n t a e n t o n c e s s e r e d u c e a d e t e r m i n a r s i

3

√2e s

c o n s t r u c t i b l e .

L o s m a t e m á t i c o s d e l a A n t i g ü e d a d f u e r o n i n c a p a c e s d e r e s o l v e r e s e p r o b l e m a , q u e p e r -

m a n e c i ó a s í d u r a n t e m u c h o t i e m p o . U n a r e s p u e s t a n a l s e l o g r ó s o l a m e n t e e n e l s i g l o X I X .

P e r o n o n o s a p r e s u r e m o s , y p e n s e m o s s i t i e n e s e n t i d o h a b l a r o n o d e

3√

2. S i i m a g i n a m o s u n

c u b o d e l a d o u n i t a r i o , p o d e m o s i m a g i n a r n o s a e s e c u b o c r e c i e n d o u n i f o r m e m e n t e h a s t a q u e

s u l a d o a l c a n c e u n l a r g o d e d o s u n i d a d e s . P o r l o t a n t o , s u v o l u m e n p a s a r á d e 1 a 8 . R e s u l t a

e n t o n c e s n a t u r a l p e n s a r q u e e n e s t e c r e c i m i e n t o d e 1 a 8 , e n a l g ú n i n s t a n t e s e p a s ó p o r e l

v a l o r 2 . C i e r t a m e n t e , e s t o n o e s u n a d e m o s t r a c i ó n m a t e m á t i c a d e l a e x i s t e n c i a d e

3√

2, p e r o

s i u n a r g u m e n t o p a r a l a d e s e a b i l i d a d d e s u e x i s t e n c i a . E l a r g u m e n t o a n t e r i o r p u e d e e n p r i n -

c i p i o , r e e m p l a z a r s e c o n c u a l q u i e r n ú m e r o p o s i t i v o , p o r l o q u e , a l i g u a l q u e l o s m a t e m á t i c o s

e n l a A n t i g ü e d a d , s u p o n d r e m o s l a e x i s t e n c i a d e r a í c e s c ú b i c a s p a r a c a d a n ú m e r o p o s i t i v o .

E s f á c i l , v e r i c a r q u e l a s r a í c e s c ú b i c a s d e r a í c e s c u a d r a d a s s o n r a í c e s s e x t a s , e s d e c i r q u e

s i u3 = v y v2 = a , e n t o n c e s u6 = (u3)2 = v2 = a . L o q u e m u e s t r a , q u e s i a g r e g a m o s l a

e x i s t e n c i a d e r a í c e s c ú b i c a s , d e b e r e m o s a g r e g a r t a m b i é n l a s r a í c e s s e x t a s . P e r o , l a s r a í c e s

c u a d r a d a s d e r a í c e s s e x t a s s e r á n . . . P o r l o t a n t o , p a r a a h o r r a r n o s p r o b l e m a s s u p o n d r e m o s

l o s i g u i e n t e .

P o s t u l a d o 1 ( E x i s t e n c i a d e r a í c e s n é s i m a s ) . P a r a c a d a n ú m e r o a p o s i t i v o y p a r a c a d a

n ú m e r o n a t u r a l n , h a y u n ú n i c o n ú m e r o p o s i t i v o b t a l q u e bn = a. T a l n ú m e r o s e s i m b o l i z a r á

p o r

n

√a .

C u a n d o s e a g r e g ó e s t e p o s t u l a d o a l c o n j u n t o d e l o s r a c i o n a l e s , e l c o n j u n t o d e n ú m e r o s

c o n s i s t í a e n t o n c e s d e l o s r a c i o n a l e s , d e l a s r a í c e s n é s i m a s d e r a c i o n a l e s p o s i t i v o s y , a d e m á s ,

e l c o n j u n t o s e s u p o n í a c e r r a d o r e s p e c t o a l a s o p e r a c i o n e s r a c i o n a l e s ( s u m a , r e s t a , m u l t i p l i -

c a c i ó n y d i v i s i ó n ) y a t o m a r r a í c e s n é s i m a s , n c u a l e s q u i e r a . T e n e m o s a s í e x t e n d i d o n u e s t r o

c o n j u n t o d e n ú m e r o s p o r u n a i n m e n s a c a n t i d a d d e n ú m e r o s . S e s u p o n í a t a m b i é n q u e l a s

p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a s o p e r a c i o n e s e r a n v á l i d a s p a r a e s e c o n j u n t o d e n ú m e r o s .

P o r e j e m p l o , e n t r e l o s n ú m e r o s s e t e n í a a

1 +

5√

2 +1198

1 +

12

1 +

√73.

E j e r c i c i o s 1 1 . 1 .

1 . P r o b a r q u e s i a Q a d j u n t a m o s

3√2, o b t e n d r e m o s t o d o s l o s n ú m e r o s d e l a f o r m a

a + b3√

2 + c3√

4;

d o n d e a , b y c s o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s .



1 1 . 2 . L A E C U A C I Ó N C Ú B I C A 1 7 3

2 . P r o b a r l a s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s d e l a s r a í c e s n é s i m a s .

( a )

n√ab = n√an√b ( b )

m

n√a = mn√a .

3 . P a r a a p o s i t i v o , y m, n e n t e r o s d e n i r a d e c u a d a m e n t e

am

n .

A d e c u a d a m e n t e q u i e r e d e c i r , q u e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s p o t e n c i a s p e r m a n e z c a n v á l i d a s .

H a c e r l a v e r i c a c i ó n d e d i c h a s p r o p i e d a d e s .

1 1 . 2 . L a E c u a c i ó n C ú b i c a

L a e c u a c i ó n c ú b i c a g e n e r a l e s u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a

ax3 + bx2 + cx + d = 0.

P a r a b u s c a r u n m é t o d o p a r a r e s o l v e r e s e e c u a c i ó n , r e c o r d e m o s l a r e s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n

d e s e g u n d o g r a d o .

L a e c u a c i ó n ax2 + bx + c = 0 e s e q u i v a l e n t e a x2 +b

a+

c

a= 0 , q u e a s u v e z e s e q u i v a l e n t e

a (x + b2a

)2 − b2

4a2+

c

a= 0. L o q u e p u e d e e s c r i b i r s e c o m o (x +

b

2a)2 =

b2 − 4ac

4a2. L a ú l t i m a

e c u a c i ó n e s f á c i l d e r e s o l v e r , p u e s c o l o c a n d o u = x +b

2as e r e d u c e a u2 =

b2 − 4ac

4a2. E s t a

ú l t i m a e c u a c i ó n , s e p u e d e r e s o l v e r t o m a n d o r a í c e s c u a d r a d a s e n a m b o s l a d o s . E s t a m a n e r a

d e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n d e s t a c a e l r o l d e l n ú m e r o b2 − 4ac, y a q u e s u s i g n o d e t e r m i n a r á s i

h a y o n o s o l u c i ó n p a r a l a ú l t i m a e c u a c i ó n .

V o l v a m o s a l a e c u a c i ó n c ú b i c a ,

ax3 + bx2 + cx + d = 0.

L a p r i m e r a i d e a , p o r a n a l o g í a c o n e l c a s o c u a d r á t i c o , s e r í a i n t e n t a r d e c o m p l e t a r e l c u b o d e

u n b i n o m i o y v e r q u e p a s a . E s e n c i a l m e n t e h a r e m o s e s o , p e r o n u e s t r o c a m i n o s e r á h a c e r u n a

s u s t i t u c i ó n x + h = y , d o n d e h e s a r b i t r a r i o , c u y o v a l o r s e r á e s c o g i d o c o n v e n i e n t e m e n t e m á s

a d e l a n t e . P o n i e n d o , x = y − h , t e n d r e m o s :

a(y − h)3 + b(y − h)2 + c(y − h) + d = 0.

L o q u e e s e q u i v a l e n t e a :

ay3 + (−3ah + b)y2 + (3ah2 − 2bh + c)y + (−ah3 + bh2 − ch + d) = 0.




S i q u i s i é r a m o s t e n e r u n c u b o p e r f e c t o + c o n s t a n t e , s e d e b e r í a c u m p l i r q u e

−3ah + b = 0, y q u e 3ah2 − 2bh + c = 0.

S i g u e d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n q u e

h =b

3a,

p e r o e s t e v a l o r n o s a t i s f a c e l a s e g u n d a e c u a c i ó n .

¾ Q u é p o d e m o s h a c e r ? B u e n o o l v i d a r n o s d e n u e s t r a i d e a o r i g i n a l , p e r o s i n a b a n d o n a r l a

t o t a l m e n t e . H a g a m o s h = b/3a , y p o r l o t a n t o l a s u s t i t u c i ó n x = y − h, h a r á d e s a p a r e c e r

e l t é r m i n o c u a d r á t i c o e n y , y n o s q u e d a r e m o s c o n e l t é r m i n o c ú b i c o , e l t é r m i n o l i n e a l y

e l t é r m i n o c o n s t a n t e . L u e g o , m e d i a n t e u n a r e o r g a n i z a c i ó n , p o d r e m o s r e e s c r i b i r l a e c u a c i ó n

c o m o

y3 = py + q

d o n d e p y q s o n f u n c i o n e s d e l o s c o e c i e n t e s d e l a e c u a c i ó n o r i g i n a l . E s a s i m p l i c a c i ó n n o

n o s d a , t o d a v í a , l a s o l u c i ó n , p e r o l l e g a r e m o s a e l l a m e d i a n t e u n t r u c o q u e d e s c r i b i r e m o s a

c o n t i n u a c i ó n . E l t r u c o e s s u s t i t u i r u + v p o r y , c o n l o q u e o b t e n d r e m o s ,

(u + v)3 = p(u + v) + q,

d e d o n d e p o r e x p a n s i ó n s e o b t i e n e q u e

3uv(u + v) + (u3 + v3) = p(u + v) + q.

P o r l o t a n t o , t e n d r e m o s u n a s o l u c i ó n , s i p o d e m o s h a l l a r u y v t a l e s q u e

3uv = p, u3 + v3 = q.

C o m o u v s o n e s c o g i d o s c o m o s u s t i t u c i ó n p a r a u n a s o l a v a r i a b l e , p o d e m o s e s c o g e r u n a d e

e l l a s c o m o q u e r a m o s , p o r l o q u e h a c e m o s v = p/3u, y o b t e n e m o s l a e c u a c i ó n

u3 + (p

3u)3 = q.

P e r o é s t a e s u n a e c u a c i ó n c u a d r á t i c a e n u3. O s e a ,

(u3)2

−qu3 + (

p

3

)3 = 0.

L u e g o t e n d r e m o s l a s s i g u i e n t e s s o l u c i o n e s p a r a u3,

q

2± q

2

2 − p

3

3

.



1 1 . 2 . L A E C U A C I Ó N C Ú B I C A 1 7 5

F i n a l m e n t e , o b s e r v a n d o q u e l a s e c u a c i o n e s o r i g i n a l e s p a r a u y v s o n s i m é t r i c a s c o n r e s p e c t o

a

uy

v, t e n d r e m o s q u e , s i n p e r d i d a d e g e n e r a l i d a d , p o d r e m o s s u p o n e r q u e

u3 =q

2+

q

2

2 − p

3

3

, v3 =q

2− q

2

2 − p

3

3

.

E n c o n s e c u e n c i a , t e n e m o s q u e

y = u + v =3

q

2+

q

2

2 − p

3

3

+3

q

2− q

2

2 − p

3

3

.

E j e m p l o s 1 1 . 2 . 1 .

1 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x3

−6x2 + 11x

−6 = 0.

R e s o l u c i ó n . T e n e m o s q u e h = −b/3a = 2. H a c i e n d o l a s u s t i t u c i ó n x = y +2 s e o b t i e n e ,

y3 − y = 0.

E s t a e c u a c i ó n e s f á c i l d e r e s o l v e r p o r f a c t o r i z a c i ó n y a q u e

y3 − y = y(y2 − 1) = y(y − 1)(y + 1);

d e d o n d e o b t e n e m o s q u e y = 0 ó y = −1 ó y = 1 . R e c o r d a n d o l a s u s t i t u c i ó n h e c h a ,

o b t e n d r e m o s l o s c o r r e s p o n d i e n t e s v a l o r e s p a r a x, 2 , 1 o 3 , r e s p e c t i v a m e n t e .

N ó t e s e q u e e n e s t e c a s o n o a p l i c a m o s l a f ó r m u l a , y a q u e l a s u s t i t u c i ó n i n i c i a l n o s

s i m p l i c ó d e t a l m a n e r a l a e c u a c i ó n o r i g i n a l q u e h i z o i n n e c e s a r i o e l u s o d e l a f ó r m u l a .

2 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x3 + 15x2 − 72x + 106 = 0.

R e s o l u c i ó n . H a c i e n d o l a s u s t i t u c i ó n x = y − 5, s e o b t i e n e l a e c u a c i ó n y3 − 3y − 4 = 0.

O s e a , y3 = 3y + 4 . E s d e c i r q u e t e n e m o s , p = 3, q = 4. L u e g o , (q/2)2 − ( p/3)3 = 3.

P o r l o t a n t o u n a s o l u c i ó n p a r a y s e r á :

y =3

4 +

√3 +

3

4 −

√3.

3 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x3 − 9x2 + 21x − 5 = 0.

R e s o l u c i ó n . R e a l i z a n d o l a s u s t i t u c i ó n

x = y + 3, t e n d r e m o s q u e l a e c u a c i ó n s e r e d u c e

a :

y3 − 6y + 4 = 0.

O e q u i v a l e n t e m e n t e a

y3 = 6y − 4.




P o r l o q u e t e n d r e m o s q u e p = 6 y q = −4. L u e g o ,

( q2

)2 − ( p3

)3 = −4.

Y n u e s t r a f ó r m u l a n o s e r í a a p l i c a b l e , y a q u e t e n d r í a m o s q u e s a c a r l a r a í z c u a d r a d a d e

u n n ú m e r o n e g a t i v o . E n t o d o c a s o , f o r m a l m e n t e n u e s t r a s o l u c i ó n s e r í a

y =3

4 +

√−4 +3

4 −√−4.

L o q u e p a r e c e r í a d e c i r q u e n u e s t r a e c u a c i ó n n o t i e n e s o l u c i ó n . S i n e m b a r g o , e s f á c i l

v e r q u e y = 2 i m p l i c a q u e

y3 = 8 = 6 ∗ 2 − 4.

O s e a ,

y = 2e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n . ½ ½ ½ ½ ½ ¾ Q u é e s t á p a s a n d o ? ! ! ! ! !

1 1 . 3 . A n á l i s i s d e l a S o l u c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e T e r c e r G r a d o

E n e s t a s e c c i ó n a n a l i z a r e m o s u n a s e r i e d e e c u a c i o n e s d e t e r c e r g r a d o d e l a f o r m a

y3 = py + q.

P o r l o v i s t o c o n a n t e r i o r i d a d , e s t a r e s t r i c c i ó n n o c o n l l e v a u n a p e r d i d a d e g e n e r a l i d a d .

1 1 . 3 . 1 . E x t e n s i ó n d e l c o n c e p t o d e r a í z c ú b i c a

E j e m p l o 1 1 . 3 . 1 . y3 = −8E n e s t e e j e m p l o t e n e m o s q u e p = 0 y q = −8. L u e g o , l a s o l u c i ó n f o r m a l s e r á d a d a p o r :

y =3

−4 +

√16 +

3

−4 −

√16 = 3

√−8.

L a s o l u c i ó n o b t e n i d a e s c o n s i s t e n t e c o n e l f o r m a l i s m o

w3 = a =⇒ w = 3√

a;

e x c e p t o q u e a n t e r i o r m e n t e , p a r a e s e f o r m a l i s m o , h a b í a m o s s u p u e s t o q u e a e r a p o s i t i v o , p e r o ,

e n e s t e c a s o , e s n e g a t i v o ( −8) . P o r o t r a p a r t e , e s c i e r t o q u e (−2)3 = −8, p o r l o t a n t o ,

−2e s e f e c t i v a m e n t e u n a r a í z c ú b i c a d e

−8.

E n c o n s e c u e n c i a , p a r e c e s e r q u e p a r a p o d e r r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s n e c e s i t a r e m o s d i s p o -

n e r d e r a í c e s c ú b i c a s d e n ú m e r o s n e g a t i v o s . E s t e p r o b l e m a e s f á c i l d e r e s o l v e r , s i m p l e m e n t e

a m p l i a r e m o s l a d e n i c i ó n d e r a í z c ú b i c a , c o n e l n d e a c e p t a r n ú m e r o s n e g a t i v o s c o m o

p o s i b l e s v a l o r e s .



1 1 . 4 . L O S N Ú M E R O S C O M P L E J O S 1 7 7

D e n i c i ó n 1 1 . 2 ( N u e v a d e n i c i ó n d e r a í z c ú b i c a ) . S e a a c u a l q u i e r n ú m e r o , l l a m a r e m o s

r a í z c ú b i c a o r a d i c a l c ú b i c o d e

a, a u n n ú m e r o

bt a l q u e

b3 = a.

S e v e r i c a , q u e s i t a l n ú m e r o e x i s t e e s ú n i c o , y l o d e n o t a r e m o s p o r

3√

a .

E s i m p o r t a n t e d e s t a c a r q u e e s t a e x t e n s i ó n d e l c o n c e p t o d e r a í z c ú b i c a t i e n e a l g u n o s

p r e c i o s . P o r e j e m p l o , n o e s m á s c i e r t o q u e 3√

a =3

√a;

a m e n o s q u e r e s t r i n j a m o s l o s v a l o r e s d e a a v a l o r e s p o s i t i v o s .

E j e r c i c i o s 1 1 . 3 .

1 . P r o b a r q u e c u a n d o r a í c e s c ú b i c a s ( g e n e r a l i z a d a s ) e x i s t e n , d i c h a s r a í c e s s o n ú n i c a s .

2 . P r o b a r q u e

3√

ab = 3√

a3√

b, d o n d e a y b s o n n ú m e r o s c u a l e s q u i e r a .

3 . C o m p a r a r e l p a p e l j u g a d o e n l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n c ú b i c a p o r e l n ú m e r o (q/2)2−( p/3)3 , c o n a q u e l d e l n ú m e r o b2 − 4ac e n l a r e s o l u c i ó n d e l a c u a d r á t i c a .

1 1 . 4 . L o s N ú m e r o s C o m p l e j o s

1 1 . 4 . 1 . L a F ó r m u l a C ú b i c a y C o n s i d e r a c i o n e s G r á c a s

L a e c u a c i ó n x3 = px + q p u e d e i n t e r p r e t a r s e e n u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s

c o m o l a b ú s q u e d a d e l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s g r á c a s d e

y = x3y y = px + q.

L a g r á c a d e l a p r i m e r a f u n c i ó n e s u n a p a r á b o l a c ú b i c a y l a s e g u n d a e s u n a l í n e a , c o m o s e

v e e n l a g u r a 1 1 . 4 . 1 . C l a r a m e n t e , e s a s d o s c u r v a s s i e m p r e s e c o r t a r á n , i n d e p e n d i e n t e d e l o s

v a l o r e s q u e p u e d a n t o m a r p y q .

S i n e m b a r g o , c u a n d o (q/2)2 − ( p/3)3 s e a n e g a t i v o , e l r a d i c a l c u a d r á t i c o q u e a p a r e c e

d e n t r o d e l a f ó r m u l a n o e x i s t i r í a y , p o r l o t a n t o , n u e s t r a f ó r m u l a p a r e c e r í a p r e d e c i r q u e n o

h a y s o l u c i ó n .

¾ C ó m o c o n c i l i a r l o a n t e r i o r , c o n l o m o s t r a d o e n e l ú l t i m o e j e m p l o d e l a s e c c i ó n a n t e r i o r ,

d o n d e l a f ó r m u l a n o p r o d u c e s o l u c i o n e s , p e r o s i h a l l a m o s p o r i n s p e c c i ó n u n a s o l u c i ó n ?

N o p o d e m o s s i m p l e m e n t e d e n i r r a í c e s c u a d r a d a s d e n ú m e r o s n e g a t i v o s , p o r q u e n i n g ú n

n ú m e r o t i e n e c u a d r a d o n e g a t i v o ! ! ! ! !




..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

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x

y

.................................................................................................................................

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........................................................

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F i g u r a 1 1 . 1 : I n t e r p r e t a c i ó n g r á c a d e l a e c u a c i ó n c ú b i c a

S i n e m b a r g o , p o r o t r a p a r t e q u e r e m o s t e n e r s o l u c i o n e s p a r a n u e s t r a s e c u a c i o n e s . P o r

l o t a n t o , d e b e r í a m o s t e n e r d i s p o n i b l e s r a í c e s d e n ú m e r o s n e g a t i v o s . P a r a l o g r a r e s o h a r e m o s

l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n .

D e n i c i ó n 1 1 . 3 ( N ú m e r o s r e a l e s , N ú m e r o s I m a g i n a r i o s ) . L l a m a r e m o s n ú -

m e r o s i m a g i n a r i o s a l a s r a í c e s c u a d r a d a s d e n ú m e r o s n e g a t i v o s .

P a r a d i s t i n g u i r e n t r e e s t o s n u e v o s o b j e t o s m a t e m á t i c o s , l o s n ú m e r o s i m a g i -

n a r i o s , y n u e s t r o s n ú m e r o s , l l a m a r e m o s a e s t o s ú l t i m o s l o s n ú m e r o s r e a l e s .

D e n o t a r e m o s a l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s p o r R.

L l a m a r e m o s c o n j u n t o d e n ú m e r o s c o m p l e j o s y l o s i m b o l i z a r e m o s p o r C,

a l c o n j u n t o o b t e n i d o p o r l a a d j u n c i ó n d e l o s i m a g i n a r i o s a l o s R e a l e s .

L a e s t r u c t u r a d e C

D e n i c i ó n 1 1 . 4 ( E l n ú m e r o i m a g i n a r i o ı) . S i m b o l i z a r e m o s p o r ı a u n a d e l a s r a í c e s c u a -

d r a d a s d e −1. O s e a , a l n ú m e r o i m a g i n a r i o c a r a c t e r i z a d o p o r

ı2 = −1.

E l n ú m e r o i m a g i n a r i o ı s e r v i r á d e b a s e p a r a l a c o n s t r u c c i ó n d e l o s o t r o s n ú m e r o s i m a -

g i n a r i o s . E n e f e c t o , s i n o s i n t e r e s a u n a r a í z c u a d r a d a d e −4, p o d e m o s c o n s i d e r a r q u e

−4 = (4)(−1) y e s c r i b i r q u e √−4 =√

4√−1 = 2ı.

E n g e n e r a l , t e n d r e m o s l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .




P r o p o s i c i ó n 1 1 . 4 . 1 . S e a a u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o , e n t o n c e s u n a r a í z c u a d r a d a d e −a s e r á

ı√a. O s e a , √−a := ı√a.

D e m o s t r a c i ó n . (ı√

a)2 = ı2√

a2 = −a.

P o r l o t a n t o l o s n ú m e r o s i m a g i n a r i o s s o n t o d o s d e l a f o r m a

bı

d o n d e b e s u n n ú m e r o r e a l .

P o r d e n i c i ó n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s , C, e s e l r e s u l t a d o d e l a a d j u n c i ó n d e

ı a l o s R e a l e s , o s e a , C = R[ı] . E s t o s i g n i c a q u e C c o n t i e n e a l o s R e a l e s , a l o s i m a g i n a r i o s , y a

l a s u m a , r e s t a , m u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e d o s c u a l e s q u i e r a d e s u s e l e m e n t o s . E n p a r t i c u l a r ,

t o d a s l a s p o t e n c i a s d e l i m a g i n a r i o ı e s t a r á n c o n t e n i d a s e n C. E v a l u a n d o e s a s p o t e n c i a s

t e n e m o s q u e

n ın

0 11 ı2 ı2 = −13 ı3 = ı2ı = −ı4 i4 = ı3ı = −ıı = −ı2 = 15 ı4ı = 1ı = ı

.

.

.

.

.

.

S i g u e d e l r e s u l t a d o ı4 = 1 q u e l a s p o t e n c i a s d e ı s e r e p i t e n e n f o r m a c í c l i c a , c a d a 4 , o c o m o

t a m b i é n d i r e m o s , q u e e l p e r i o d o d e l a s p o t e n c i a s d e ı e s 4 .

T e n d r e m o s a s í , q u e c u a n d o f o r m a m o s u n a e x p r e s i ó n p o l i n ó m i c a e n i c o n c o e c i e n t e s

r e a l e s ,

a0 + a1ı + a2ı2 + · · · + anın

d i c h a e x p r e s i ó n s e r á r e d u c i b l e a u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a

A + Bi

c o n A y B n ú m e r o s r e a l e s .

E j e m p l o 1 1 . 4 . 1 . 1 . 5 + 9ı + 7ı2 + 3ı3 + 4ı4 = 5 + 9ı−

7−

3ı + 4 = 2 + 6ı.

2 . 125 + 150ı + 60ı2 + 8ı3 = 125 + 150ı− 60 − 8ı = 65 + 142ı.

O b s e r v a c i o n e s . S u p o n i e n d o q u e l a s l e y e s d e l a s o p e r a c i o n e s p e r m a n e c e n v á l i d a s , t e n d r e m o s

q u e




1 . (a + bı)(c + dı) = ac + adı + bcı + bdı2 = (ac− bd) + (ad + bc)i. O s e a , e l p r o d u c t o d e

d o s n ú m e r o s c o m p l e j o s d e l a f o r m a

A + Bıe s d e l a m i s m a f o r m a .

2 . S e a z = a + bı. L l a m a r e m o s c o n j u g a d o d e z a l n ú m e r o c o m p l e j o q u e s i m b o l i z a r e m o s

p o r z y d e n i d o p o r

z := a− bı

E l c o n j u g a d o t i e n e l a i m p o r t a n t e p r o p i e d a d d e q u e

zz̄ = (a + bı)(a − bı) = a2 − b2ı2 = a2 + b2.

E s d e c i r e l p r o d u c t o d e u n a c o m p l e j o p o r s u c o n j u g a d o e s u n n ú m e r o r e a l .

3 . S e a z = a + bı u n n ú m e r o c o m p l e j o n o n u l o . E n t o n c e s , t e n d r e m o s q u e

z · 1

a2 + b2z̄ = 1

o s e a .

1

z=

1

a2 + b2z̄.

E n o t r a s p a l a b r a s , s i s u p o n e m o s q u e l a s l e y e s d e l a s o p e r a c i o n e s r a c i o n a l e s p e r m a n e c e n

v á l i d a s , t e n d r e m o s q u e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s o n t o d o s d e l a f o r m a

A + Bı

c o n A y B n ú m e r o s r e a l e s .

E j e r c i c i o s 1 1 . 4 .

A . A r i t m é t i c a c o n l o s c o m p l e j o s . S i m p l i c a r c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s

( a )

√−16 +√−25 . ( b ) 3

√−8 +√−32 .

( c )

√−16 ∗ √−25. ( d ) −5√−x ∗ 3

√−y .

( e ) (2 + 3ı) + (2 − 3ı). ( f ) (−7 + 5ı) − (2 − 4ı) .

( g ) (√

2 + ı√

3) + (√

2 − ı√

3). ( h ) (3 − 4ı)(5 − 3ı).

( i ) (3 + 2ı)(5 − 3ı). ( j ) (7 − 2ı)(5 + 3ı).

( k ) (3 +√−9)(5 −√−25). ( l ) (

√5 +

√−3)(√

5 + 2√−3).

( m ) (1 + ı)

÷ı. ( n ) (1 + ı)

÷(1

−ı) .

( ñ ) (3 + ı) ÷ (3 − ı) . ( o ) ı÷ (5 + ı).

( p ) (8 − 5ı) ÷ (5 + 6ı). ( q ) (4 + 3ı) + 1/ı.

( r ) (1 + ı)2 . ( s ) (1 + ı)3 .

( t ) (1√

2+

1√2

ı)4 . ( u ) (−1

2+ ı

√3

2)3 .




B . E c u a c i o n e s c u a d r á t i c a s .

1 . P r o b a r q u e s i x2 = −1 e n t o n c e s x = ±ı.

2 . P r o b a r q u e t o d a e c u a c i ó n c u a d r á t i c a , c o n c o e c i e n t e s c o m p l e j o s , t i e n e d o s s o l u c i o n e s

q u e p u e d e n s e r d e u n o d e l o s s i g u i e n t e s t i p o s :

d o s r e a l e s d i s t i n t a s ;

d o s r e a l e s i g u a l e s ;

d o s c o m p l e j a s d i s t i n t a s , y u n a d e e l l a s e s l a c o n j u g a d a d e l a o t r a .

3 . R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s .

a ) x2 + x + 1 = 0 .

b ) x2 − 6x + 13 = 0.

c ) x2 − 10x + 29 = 0.

d ) 5x2 + 12 = 3x2 − 20.

e ) 7x2 + 14 = 0.

C . A s p e c t o s t e ó r i c o s .

P a r a e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e p r o b l e m a s s o l a m e n t e p u e d e s u p o n e r l o s i g u i e n t e :

A . C e s e l c o n j u n t o d e t o d a s l a s c o s a s d e l a f o r m a a + bi, c o n a y b n ú m e r o s r e a l e s y

ı2 = −1 .

B . D o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s o n i g u a l e s , s s i , t i e n e n i g u a l s u p a r t e r e a l y s u p a r t e i m a g i n a r i a .

O s e a ,

a + bı = c + dı ⇐⇒ (a = c)y(b = d)

C . H a y d o s o p e r a c i o n e s d e n i d a s e n C:

(a + bı) + (c + dı) := (a + c) + (b + d)ı.

(a + bı) ∗ (c + dı) := (ac− bd) + (ad + bc)ı.

D . S u p o n d r e m o s q u e l o s r e a l e s s o n u n s u b c o n j u n t o d e l o s c o m p l e j o s , m e d i a n t e l a i d e n t i -

c a c i ó n

r → r + 0ı

p a r a c a d a n ú m e r o r e a l r .




E . L l a m a m o s c o n j u g a d o d e l c o m p l e j o z = a + bi , a l c o m p l e j o z̄ := a− bı.

L l a m a r e m o s n o r m a o m ó d u l o o l a r g o d e l c o m p l e j o z = a + bi a l n ú m e r o s i m b o l i z a d o

p o r |z| y d e n i d o p o r

|z| :=

a2 + b2.

U s a n d o l o a n t e r i o r p r o b a r y / o v e r i c a r l a s s i g u i e n t e s a r m a c i o n e s .

1 . L a s u m a d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s e s a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a .

2 . L a m u l t i p l i c a c i ó n d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s e s a s o c i a t i v a , c o n m u t a t i v a y d i s t r i b u t i v a

r e s p e c t o a l a s u m a .

3 . E l 0 e s u n n e u t r o r e s p e c t o a l a s u m a , m i e n t r a s q u e e l 1 l o e s r e s p e c t o a l a m u l t i p l i c a c i ó n .

O s e a , p a r a t o d o n ú m e r o c o m p l e j o z s e c u m p l e q u e

z + 0 = 0 + z = z y z ∗ 1 = 1 ∗ z = z.

4 . C a d a n ú m e r o c o m p l e j o z t i e n e u n o p u e s t o a d i t i v o , d i g a m o s w . O s e a , p a r a c a d a z ∈ Ch a y u n w ∈ C t a l q u e

z + w = w + z = 0.

5 . C a d a n ú m e r o c o m p l e j o n o n u l o z t i e n e u n r e c í p r o c o , w , t a l q u e

z ∗ w = w ∗ z = 1.

6 . P r o b a r q u e c u a n d o s e e f e c t ú a l a s o p e r a c i o n e s e n C c o n n ú m e r o s r e a l e s , s e o b t i e n e l o s

m i s m o s r e s u l t a d o s q u e a l o p e r a r e n R.

7 . ( P r o p i e d a d e s d e l o s c o n j u g a d o s ) S e a n z y w n ú m e r o s c o m p l e j o s .

a ) z + w = z̄ + w̄ .

b ) z ∗ w = z̄ ∗ w̄ .

c ) z + z̄ e s u n n ú m e r o r e a l i g u a l a 2a.

d ) z ∗ z̄ e s u n n ú m e r o r e a l i g u a l a |z|2 = |z̄|2 .

e ) z = z̄ ,iff,z e s u n n ú m e r o r e a l .

8 . ( P r o p i e d a d d e l a n o r m a o m ó d u l o )

a ) L a n o r m a o m ó d u l o d e u n n ú m e r o c o m p l e j o e s u n n ú m e r o r e a l q u e n o e s n u n c a

n e g a t i v o .

b ) L a n o r m a d e u n n ú m e r o c o m p l e j o e s n u l a , s s i , e l c o m p l e j o e s e l c o m p l e j o n u l o .

c ) L a n o r m a d e u n a p r o d u c t o e s i g u a l a l p r o d u c t o d e l a s n o r m a s i n d i v i d u a l e s .

d ) L a n o r m a d e u n a s u m a n o e x c e d e l a s u m a d e l a s n o r m a s i n d i v i d u a l e s .

e ) L a n o r m a d e u n n ú m e r o r e a l e s i g u a l a l v a l o r a b s o l u t o d e e s e n ú m e r o .



1 1 . 5 . L A E C U A C I Ó N C Ú B I C A Y L O S N Ú M E R O S C O M P L E J O S 1 8 3

D . P r o b l e m a s m i s c e l á n e o s .

1 . P r o b a r q u e s i ξ =√2

2(1 + ı) e n t o n c e s ξ2 = ı. O s e a , q u e ξ e s u n a r a í z c u a d r a d a d e ı.

1 1 . 5 . L a E c u a c i ó n C ú b i c a y l o s N ú m e r o s C o m p l e j o s

E j e m p l o 1 1 . 5 . 1 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x3 = 1.

L a e c u a c i ó n d a d a t i e n e o b v i a m e n t e l a s o l u c i ó n x = 1, q u e e s , a d e m á s , l a s o l u c i ó n q u e

p r e d i c e n u e s t r a f ó r m u l a . P e r o p o d e m o s f a c t o r i z a r x3 − 1 y o b t e n e r q u e

0 = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).

P o r l o q u e o b t e n d r e m o s c o m o s o l u c i o n e s , a d e m á s d e l a s o l u c i ó n x = 1, l a s s o l u c i o n e s d e l a

e c u a c i ó n x2 + x + 1 = 0 . A p l i c a n d o l a f ó r m u l a c u a d r á t i c a t e n e m o s q u e

x =−1 ±√−3

2= −1

2+ ı

√3

2.

L l a m a r e m o s ω ( u n a n o t a c i ó n t r a d i c i o n a l ) a u n a d e e s a s s o l u c i o n e s , d i g a m o s ,

ω = −1

2+ ı

√3

2.

E n t o n c e s , p o d e m o s a r m a r q u e , 1 t i e n e t r e s r a í c e s c u b i c a s : 1 ,

ωy

ω. S e v e r i c a f á c i l m e n t e

q u e ω = ω2, p o r l o q u e e s u s u a l h a b l a r d e ω , ω2

y 1 c o m o l a s t r e s r a í c e s c ú b i c a s d e l a

u n i d a d y d e c i r q u e ω e s l a r a í z c ú b i c a f u n d a m e n t a l , y a q u e l a s o t r a s r a í c e s s o n p o t e n c i a s d e

e l l a r e c u é r d e s e q u e ω3 = 1 .

E j e m p l o 1 1 . 5 . 2 . L a e c u a c i ó n x3 = a.

L a e c u a c i ó n t i e n e l a s o l u c i ó n o b v i a x = 3√

a , p e r o c o m o ω3 = 1 y (ω2)3 = (ω3)2 = 1 s e

t i e n e q u e

ω 3√

a y ω2 3√

a

t a m b i é n s e r á n s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n x3 = a .

A s í t e n e m o s l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .

P r o p o s i c i ó n 1 1 . 5 . 1 . L a e c u a c i ó n x3 = a d o n d e a e s c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l , t i e n e s i e m p r e

t r e s s o l u c i o n e s :

3√

a, ω 3√

a, ω2 3√

a.




C o n e s a s c o n s i d e r a c i o n e s v o l v e m o s a n u e s t r a f ó r m u l a d e l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d e

t e r c e r g r a d o .

R e c o r d e m o s q u e l a e c u a c i ó n c ú b i c a g e n e r a l

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

s e r e d u c e p o r l a s u s t i t u c i ó n x = y − b/3a a l a f o r m a

y3 = py + q

d o n d e p y q s o n f u n c i o n e s d e l o s c o e c i e n t e s d e l a e c u a c i ó n o r i g i n a l . A h o r a , s e c o l o c a y = u+vy p o r s u s t i t u c i ó n , o b t e n e m o s q u e d e b e c u m p l i r s e l o s i g u i e n t e :

3uv = p, u3 + v3 = q.

A l d e s p e j a r v e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n y s u s t i t u i r e n l a s e g u n d a s e o b t i e n e u n a e c u a c i ó n

c u a d r á t i c a e n u3. O s e a ,

(u3)2 − qu3 + ( p

3)3 = 0.

L o q u e n o s d a s o l u c i o n e s p a r a u3,

u3 =q

2± q

2

2 − p

3

3

.

F i n a l m e n t e , o b s e r v a n d o l a s s i m e t r í a s c o n r e s p e c t o a u y v , s e e s c o g i ó l a s s i g u i e n t e s s o l u c i o n e s

p a r a u3y v3

u3 =q

2+

q

2

2 − p

3

3

, v3 =q

2− q

2

2 −

p

3

3

.

L u e g o , t o m a m o s r a í z c ú b i c a e n a m b o s l a d o s y s u m a m o s p a r a o b t e n e r

y = 3√

u + 3√

v.

P e r o , a h o r a s a b e m o s q u e n o h a y u n a ú n i c a r a í z c ú b i c a , s i n o q u e h a y t r e s r a í c e s c ú b i c a s .

L l a m a n d o u0 y vo a l a s s o l u c i o n e s a n t e r i o r e s t e n d r í a m o s q u e

u = u0 ó u = ωu0 ó u = ω2u0

y a n á l o g a m e n t e p a r a v . P a r e c e r í a e n t o n c e s q u e l a s u m a y − u + v t i e n e n u e v e p o s i b i l i d a d e s .

P e r o n o t a n d o q u e uv = p/3 , s e t i e n e q u e e l p r o d u c t o d e b e s e r r e a l l o q u e n o s d a l a s t r e s

p o s i b i l i d a d e s i n d i c a d a s e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .



1 1 . 6 . L A E C U A C I Ó N D E C U A R T O G R A D O 1 8 5

P r o p o s i c i ó n 1 1 . 5 . 2 ( F ó r m u l a c ú b i c a d e l a e c u a c i ó n r e d u c i d a ) . L a e c u a c i ó n y3 = py + qt i e n e t r e s s o l u c i o n e s :

y1 = u0 + v0y2 = ωu0 + ω2v0y3 = ω2u0 + ωv0

d o n d e

u0 =3

q

2+

q

2

2 − p

3

3

, v0 =3

q

2− q

2

2 − p

3

3

.

E j e r c i c i o s 1 1 . 5 .

1 . R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s .

( a ) x3

+ 3x + 5 = 0 . ( b ) x3

+ 2x2

+ 4x + 2 = 0 .

( c ) x3 − 18x = 35. ( d ) x3 + 72x − 1720 .

( e ) x3 + 63x− 316 = 0 . ( f ) x3 + 21x + 342 = 0.

( g ) x3 − 15x2 − 33x + 847 = 0. ( h ) 2x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 .

2 . P r o b a r q u e (x− x1)(x − x2)(x− x3) = x3 + bx2 + cx + d e n t o n c e s

x1 + x2 + x3 = −bx1x2 + x2x3 + x3x1 = c

x1x2x2x3 = d.

3 . S e a n 1 , ω y ω2l a s r a í c e s c ú b i c a s d e l a u n i d a d . P r o b a r q u e

a ) ω2 = ω̄ .

b ) 1 + ω + ω2 = 0 .

c ) (1 + ω2)4 = ω .

d ) (1 − ω)(1 − ω2)(1 − ω4)(1 − ω5) = 9.

e ) P r o b a r q u e x3 + y3 + z3 − 3xyz = (x + y + z)(x + yω + zω2)(x + yω2 + zω).

4 . P r o b a r q u e

√3 +

√2 e s u n a r a í z c ú b i c a d e 72 − 32

√5 .

5 . ¾ T i e n e n r a í z c ú b i c a l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s ?

1 1 . 6 . L a E c u a c i ó n d e C u a r t o G r a d o

A n t e s d e d i s c u t i r l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e c u a r t o g r a d o , b u s c a r e m o s l a s r a í c e s c u a r t a s d e

l a u n i d a d .




L a s r a í c e s c u a r t a s d e l a u n i d a d P a r a h a l l a r l a s r a í c e s c u a r t a s d e l a u n i d a d , d e b e m o s

r e s o l v e r l a e c u a c i ó n

x4 = 1.

P o r f a c t o r i z a c i ó n , e s t a e c u a c i ó n e s e q u i v a l e n t e a

x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1),

q u e t i e n e o b v i a m e n t e l a s s o l u c i o n e s : 1, −1, ı y

−ı. P o r l o t a n t o , e l p r o b l e m a d e l a s r a í c e s

c u a r t a s d e l a u n i d a d n o n o s p r o d u c e n u e v o s n ú m e r o s e s p e c i a l e s .

L a e c u a c i ó n d e c u a r t o g r a d o L a e c u a c i ó n g e n e r a l d e c u a r t o g r a d o e s :

ax4

+ bx3

+ cx2

+ dx + e = 0.

P o d e m o s e l i m i n a r e l t e r m i n o e n x3d e e s a e c u a c i ó n , h a c i e n d o l a s u s t i t u c i ó n x = y − b/4a, y

o b t e n e r

y4 + py2 + qy + r = 0.

O e q u i v a l e n t e m e n t e ,

(y2 + p)2 = py2 − qy + p2 − r.

E n t o n c e s , p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e l n u m e r o z , d o n d e e l v a l o r d e z e s a r b i t r a r i o p e r o i n d e t e r -

m i n a d o p o r a h o r a , s e t e n d r á q u e

(y2

+ p + z)2

= (y2

+ p)2

+ 2(y2

+ p)z + z2

= ( py2 − qy + p2 − r) + 2(y2 + p)z + z2

= ( p + 2z)y2 − qy + ( p2 − r + 2 pz + z2)

A h o r a , s e l e c c i o n a r e m o s z d e m o d o q u e l a c u a d r á t i c a d e l a d e r e c h a s e a u n a c u a d r a d o p e r f e c t o .

E s t o r e q u i e r e q u e s u d i s c r i m i n a n t e s e a n u l o . O s e a q u e

q2 − 4( p + 2z)( p2 − r + 2 pz + z2) = 0.

E s t a ú l t i m a e c u a c i ó n e s u n a c ú b i c a e n z , l a q u e r e s o l v e r e m o s u t i l i z a n d o l a f ó r m u l a h a l l a d a .

S e l e c c i o n a r e m o s l a s o l u c i ó n r e a l , q u e s i e m p r e e s t a r á p r e s e n t e y , p o r s u s t i t u c i ó n , o b t e n d r e m o s

u n a i g u a l d a d e n t r e d o s c u a d r a d o s p e r f e c t o s . T o m a n d o r a í z c u a d r a d a e n a m b o s m i e m b r o s ,

o b t e n d r e m o s c u a d r á t i c a s p a r a y , q u e s e r á n r e s u e l t a s p o r l o s m é t o d o s a p l i c a b l e s .

H a y o t r a s v a r i a n t e s p a r a o b t e n e r l a s o l u c i ó n q u e p u e d e n h a l l a r s s e e n l a l i t e r a t u r a .

G r á c a m e n t e l a e c u a c i ó n , x4 = − px2 − qy − r e s e q u i v a l e n t e a b u s c a r l a i n t e r s e c c i ó n d e

l a p a r á b o l a c u á r t i c a y = x4y l a p a r á b o l a o r d i n a r i a y = − px2 − qy − r ; l o q u e n o s d i c e q u e

p u e d e n o h a b e r s o l u c i o n e s r e a l e s e n e s t e c a s o .



1 1 . 6 . L A E C U A C I Ó N D E C U A R T O G R A D O 1 8 7

E j e m p l o 1 1 . 6 . 1 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x4 + x2 + 1 = 0 .

R e s o l u c i ó n . L a e c u a c i ó n e s f a c t o r i z a b l e y t e n d r e m o s q u e

x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − x2 = (x2 + 1)2 − x2 = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1).

O s e a q u e , l a e c u a c i ó n d a d a e s e q u i v a l e n t e a l p a r d e e c u a c i o n e s

x2 − x + 1 = 0 y x2 + x + 1 = 0

. L a p r i m e r a d e e s a s e c u a c i o n e s t i e n e c o m o s o l u c i o n e s a :

x1, x2 =1 ± i

√3

2;

m i e n t r a s q u e l a s e g u n d a t i e n e c o m o s o l u c i o n e s

ωy

ω2d o n d e

ωe s u n a r a í z c ú b i c a d e l a u n i d a d .

E j e m p l o 1 1 . 6 . 2 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x4 − 2x3 + 8x − 3 = 0.

R e s o l u c i ó n . H a c i e n d o l a s u s t i t u c i ó n

x = y + 1/2 o b t e n d r e m o s q u e

y4 − 3

2y2 + 7y +

13

16= 0.

E f e c t u a n d o l a s c o m p u t a c i o n e s i n d i c a d a s a r r i b a , c o n p = −3/2 , q = 7 y 4r = 13/16 q u e e l d i s c r i m i -

n a n t e q u e d e b e s e r n u l o s e r á :

q2 − 4( p + 2z)( p2 − r + 2 pz + z2) = 0.

E s d e c i r

64z3 − 240z2 + 236z − 461 = 0.

D e a h í s e p r o s i g u e , c o m o i n d i c a d o .

H e m o s i n d i c a d o e l m é t o d o o r i g i n a l u s a d o p o r F e r r a r o p a r a l a r e s o l u c i ó n d e l a c u á r t i c a . L o s

m é t o d o s p r á c t i c o s d e r e s o l u c i ó n , a l g u n o s d e l o s c u a l e s f u e r o n p o p u l a r i z a d o s p o r D e s c a r t e s ,

s i g u e n u n p o c o l a i d e a d e l a r e s o l u c i ó n d e l p r i m e r e j e m p l o . T a l m é t o d o s e r á i l u s t r a d o ,

t a m b i é n , e n e l s i g u i e n t e e j e m p l o .

E j e m p l o 1 1 . 6 . 3 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n x4 − 2x3 + 8x − 3 = 0.

R e s o l u c i ó n . S u p o n e r q u e

x4 − 2x3 + 8x− 3 = (x2 + kx + l)(x2 − kx + m).

E x p a n d i e n d o e l p r o d u c t o y c o m p a r a n d o c o e c i e n t e s s e t e n d r á q u e

l + m − k2 = −2, k(m− ) = 8, m = −3.

D e s p e j a n d o y m d e l a s d o s p r i m e r a s e c u a c i o n e s , y s u s t i t u y e n d o e n l a t e r c e r a , o b t e n d r e m o s

(k3 − 2k + 8)(k3 − 2k − 8) = −12k2,




o s e a ,

k

6

− 4k

4

+ 16k

2

− 64 = 0.P e r o , e s t a e c u a c i ó n e s c ú b i c a e n k2

.

(k2)3 − 4(k2)2 + 16(k2) − 64 = 0.

R e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n , o b t e n d r e m o s q u e

k2 = 4. U s a n d o c o m o s o l u c i ó n

k = 2 ( C o m o h a y s i m e t r í a

e n t r e

ky

−ke n l a s e c u a c i o n e s o r i g i n a l e s , n o p e r d e m o s s o l u c i o n e s ) e n l a s e c u a c i o n e s o r i g i n a l e s ,

t e n d r e m o s q u e

m + = 2, m − = 4

d e d o n d e m = 3 y = −1. P o r l o t a n t o , l o s p o l i n o m i o s c u a d r á t i c o s e n q u e f a c t o r i z a n u e s t r o p o l i n o m i o

o r i g i n a l s e r á n

x2 + 2x− 1 y

x2 − 2x + 3.

P o r l o t a n t o l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n s e r á n :

−2 ±√82

= −1 ±√2, 2 ±√−82

= −1 ± i√2

E j e r c i c i o s 1 1 . 6 .

R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s .

1 . x4 + 10x3 + 22x2 − 15x + 2 = 0 .

2 . x4 − 4x3 + 4x2 + 16x − 8 = 0 .

1 1 . 7 . R e c a p i t u l a c i ó n

E n e s t e c a p í t u l o a b a n d o n a m o s d e n i t i v a m e n t e e l p a r a í s o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s . L a

n e c e s i d a d d e s o l u c i o n a r e c u a c i o n e s n o l i n e a l e s l l e v a d e m a n e r a n a t u r a l a i n v e n t a r p r i m e r a -

m e n t e r a d i c a l e s c u a d r á t i c o s ( d e n ú m e r o s p o s i t i v o s , p o r s u p u e s t o ) . L u e g o d e l a r g o t i e m p o

d e t r a b a j a r c o n l o s m i s m o s , s a c a r l o s d e l a r e p r e s e n t a c i ó n g e o m é t r i c a y p a s a r l o s a v a l o r e s

n u m é r i c o s . L a f ó r m u l a d e l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d e t e r c e r g r a d o e s c o n o c i d a c o m o f ó r -

m u l a d e C a r d a n o e n h o n o r a C a r d a n o q u i é n l a p u b l i c ó e n 1 5 4 5 e n s u o b r a A r s M a g n a . L a

f ó r m u l a n o e s o r i g i n a l d e C a r d a n o , s i n o q u e a p a r e n t e m e n t e d e S c i p i o F e r r o q u i e n l a h a b r í a

i n v e n t a d o a l r e d e d o r d e l 1 5 0 5 . D e F e r r o , l a f ó r m u l a h a b r í a p a s a d o a T a r t a g l i a , q u i e n s e l a

c o n ó a C a r d a n o , c o m p r o m e t i é n d o s e é s t e ú l t i m o a m a n t e n e r l a c o n d e n c i a l i d a d ( ! ) . F i n a l -

m e n t e , F e r r e r o , u n d i s c í p u l o d e C a r d a n o , i n v e n t ó l a s o l u c i ó n p a r a l a c u á r t i c a . E l g e n i o d e l o s

m a t e m á t i c o s i t a l i a n o s d e l s i g l o X V I r e s i d e n o s ó l o e n e l i n v e n t o d e l a s f ó r m u l a s i n d i c a d a s ,

s i n o t a m b i é n e n l a i n t r o d u c c i ó n d e l o s n ú m e r o s i m a g i n a r i o s . N ú m e r o s c u y a e x i s t e n c i a n o s e

p o d í a j u s t i c a r m á s q u e d e n t r o d e l a c o n s i s t e n c i a d e l a s m a n i p u l a c i o n e s a l g e b r a i c a s . A l o s

m a t e m á t i c o s m e n c i o n a d o s h a y q u e a g r e g a r B o m b e l l i , q u i e n o r g a n i z ó g r a n p a r t e d e l m a t e r i a l

e x i s t e n t e y p u s o d e f o r m a d e n i t i v a a l o s i m a g i n a r i o s e n l a r e a l i d a d m a t e m á t i c a .

R A H T 0 6 A l g S u p 1 1