7. 1
UNIDAD 7
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que
involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo
grado
Objetivos específicos:
1. Recordarás a qué se llama: ecuación idéntica o identidad; ecuación condicional
o ecuación; variable o incógnita, y constante.
2. Recordarás a qué se llama: solución o raíz de una ecuación; conjunto de
soluciones de una ecuación; ecuaciones equivalentes; ecuaciones de primer
grado y ecuaciones de segundo grado.
3. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones básicas
y las utilizarás para resolver una ecuación, transformándola en ecuaciones
equivalentes.
4. Resolverás ecuaciones de primer grado.
5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización.
6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y resolverás
ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.
7. 2
Objetivo 1. Recordarás a qué se llama ecuación condicional o ecuación;
variable o incógnita; constante, y ecuación idéntica o identidad.
Se llama ecuación a una proposición algebraica que establece la igualdad entre dos expresiones a
las que se llama miembros de la ecuación. En una ecuación hay una o más cantidades desconocidas
llamadas variables o incógnitas y números llamados constantes.
Una ecuación que se satisface para todos los valores de las variables para los que están definidos
ambos miembros de la ecuación, se llama ecuación idéntica o identidad. En una identidad es común
sustituir el signo = por el símbolo que se lee “idéntico a”.
Ejemplos:
1.) 222 2 bababa
Como se puede observar, la igualdad es cierta para cualquier valor de a, b ε R
puesto que el segundo miembro es el desarrollo del cuadrado del binomio del
primer miembro.
2.) 1
111
2
xx
xx
; x ≠ –1
La división algebraica de la fracción del primer miembro da como resultado un
cociente de 1x y un residuo de 1:
21
1x
x x
xx 2 ___________
x
1 x
_________
+ 1
Por ello, la ecuación propuesta es una identidad para todos los valores de x, excepto
para 1x , debido a que este valor produce un cero en el denominador de los dos
7. 3
miembros de la ecuación. En estos casos se dice que cada miembro de la ecuación
es indefinido para 1x .
Una ecuación condicional, o simplemente una ecuación, es una igualdad que resulta verdadera
solamente para alguno o algunos valores de las variables.
Ejemplos:
1.) 232 xx
En este caso la igualdad se cumple únicamente cuando 5x . Cualquier otro valor
de la variable x hace que la proposición sea falsa.
2.) 10 yx
Esta igualdad es verdadera para un número infinito de pares de valores de x y de y,
pero no para cualquier par de valores. Por ejemplo, se cumple para 5,5 yx ;
para 10,0 yx ; para 4,14 yx , etcétera; pero no se cumple para
4,5 yx ; 12,0 yx ; 3,14 yx etcétera.
3.) 0232 xx
Esta proposición es verdadera tanto cuando 2x como cuando 1x .
Objetivo 2. Recordarás a qué se llama solución o raíz de una ecuación,
conjunto de soluciones de una ecuación, ecuaciones equivalentes, ecuaciones de
primer grado y ecuaciones de segundo grado.
Si una ecuación se convierte en identidad para algunos valores de las variables, se dice que la
ecuación se satisface para dichos valores. Los valores de las variables que satisfacen a la ecuación
se llaman solución o raíz de la ecuación, y cuando hay más de una solución, a la totalidad de ellas
se le llama conjunto de soluciones.
7. 4
Resolver una ecuación significa encontrar su conjunto de soluciones.
Ejemplos:
En los siguientes ejemplos, donde x , se encuentra el conjunto de soluciones y se indica
el número de elementos de dicho conjunto.
1.) xx2326
21
Se prueba para diferentes valores de x si se encuentra(n) alguno(s) para los que la
igualdad se cumple, por ejemplo, para 2x :
223262
21
; 3261
Para 3x :
323263
21
; 2926
23
Para 4x :
423264
21
; 6262
Puesto que la ecuación se satisface para 4x , y sólo para este valor, la solución o raíz
es única y el conjunto de soluciones de la ecuación es 4
2.) 0164 x
Nuevamente al hacer la sustitución directa para diferentes valores de x de entre los
números enteros, se obtiene que la ecuación se satisface para 2x y para 2x .
Por lo tanto, su conjunto de soluciones tiene dos elementos: {–2, 2}
3.) 092 x
Para esta ecuación no existe número real alguno que la satisfaga ya que tanto 3x
como 3x hacen que el primer miembro sea igual a 18 y no a cero. En este caso no
existe solución en por lo que el conjunto solución es vacío:
7. 5
4.) 48422 22 xxx
Se observa que la ecuación propuesta es una identidad porque el segundo miembro es
el desarrollo del binomio cuadrado del primer miembro: el cuadrado del primero menos
el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Recordando
el contenido del objetivo 1, se cumple para todo valor de x en el conjunto de los
números reales por lo tanto, su conjunto solución es { x x } y su número de
elementos es
5.) 042 x
Como en el ejemplo 2.) esta ecuación tiene dos raíces: x = 2 y x = – 2, de modo que su
conjunto de soluciones tiene dos elementos: {–2, 2}.
En los ejemplos 2 y 5 el conjunto de soluciones de la ecuación que se analizó en cada uno es el
mismo: {–2, 2}. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de
soluciones.
Al igual que un polinomio, el grado de una ecuación con una variable, es el mayor exponente al
que se encuentra elevada la incógnita en alguno de los miembros de la ecuación.
Ejemplos:
1.) El grado de la ecuación
xx239125
es 1, puesto que en los dos miembros de la ecuación el mayor exponente al que se
encuentra elevada la variable x es 1
2.) La ecuación
712953 32 yyy
es de grado 3 porque es la mayor potencia a la que aparece elevada la variable y en
el segundo miembro.
7. 6
3.) Para determinar el grado de la ecuación 32223 9136 xxx
Se analiza la expresión y al recordar que al elevar un exponente a otra potencia los
exponentes se multiplican, entonces, en el primer término la variable 623 xx y
en los otros términos: 422 93 xx y 33 xx . Por lo tanto, el grado de la
ecuación es 6.
Las ecuaciones de grado uno, o de primer grado, se llaman también ecuaciones lineales; las
ecuaciones de grado dos, o de segundo grado, se llaman también ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos:
1.) Las siguientes expresiones son ejemplos de una ecuación de primer grado o lineal:
a) 1572 x
La variable tiene exponente 1 en el único término en que aparece.
b) zz 94113
La variable z aparece en los miembros de la ecuación, pero en ambos su
exponente es 1 y por los productos indicados no puede variar.
c) 211
2 xx
Como en el ejemplo anterior, x tiene exponente 1 en los términos en que
aparece y no puede modificarse por las operaciones involucradas.
d) 354 y
; y ≠ 0
Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por la variable y, se obtiene la
ecuación equivalente:
yy 354
que es una ecuación de primer grado.
7. 7
e) 06362
aa
.
Aunque a primera vista la ecuación parece de segundo grado, el numerador es
una diferencia de cuadrados cuya factorización se simplifica con el
denominador como:
66
666362
a
aaa
aa
por lo que la ecuación
06362
aa
es equivalente a la ecuación
06 a
que es de grado uno.
2.) Las siguientes expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
a) 2
13119 2
xxx
El primer miembro tiene a la variable elevada a la segunda potencia y no existe
otro término con el que pudiera eliminarse.
b) 21273 xxx
El producto de los binomios en el primer miembro de la ecuación da como
resultado un término en 2x , por lo tanto la ecuación es de segundo grado o
cuadrática.
c) 2422 210 xxx
Cuando se eleva al cuadrado el binomio del primer miembro se tiene
422 xx , sin embargo en el segundo miembro aparece también 4x con el
mismo signo, por lo que al transponerse se cancelan y el mayor exponente de x
es 2, tanto en el primero como en el segundo miembro.
d) 19
xx
x; x ≠ 0
7. 8
Al multiplicar los dos miembros de la ecuación por la variable x se obtiene la
ecuación equivalente:
19 xxx
que es una ecuación cuadrática por el producto que aparece en el segundo
miembro.
Objetivo 3. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro
operaciones básicas y las utilizarás para resolver una ecuación
transformándola en una ecuación equivalente.
Uno de los métodos que se emplean para resolver una ecuación consiste en derivar de ella una serie
de ecuaciones equivalentes, cada una más sencilla que la anterior, hasta llegar a una cuya conjunto
de soluciones es obvio. Las operaciones que pueden efectuarse en una ecuación dada para obtener
una equivalente, se derivan de las propiedades de las igualdades para la adición, la sustracción, la
multiplicación y la división, que pueden resumirse como sigue:
Si qp es una ecuación, con p y q expresiones algebraicas en x, si r es otra expresión
algebraica en x , y k es una constante diferente de cero , entonces
a) Si se suma o se resta la misma expresión r a ambos miembros de la ecuación, la
ecuación que resulta es equivalente a la dada:
qp es equivalente a rqrp y también rqrp
b) Si ambos miembros de la ecuación se multiplican por, o se dividen entre la misma
constante no nula, la ecuación resultante es equivalente a la dada:
qp es equivalente a kp kq y también p qk k , para 0k
En el proceso de solución de una ecuación se aplican estas propiedades tantas veces como sea
necesario, hasta obtener la o las raíces de la ecuación.
7. 9
Debe notarse que, mientras en a) se menciona la “expresión r”, que puede ser una constante o un
polinomio, en el caso b) k es una “constante no nula”, y se restringe a ello porque si se multiplica o
divide una ecuación por una expresión que contiene una variable, la ecuación que resulta puede o
no ser equivalente a la original. Cuando no es equivalente puede ocurrir que, o bien se obtenga una
raíz extraña (porque no corresponde a la ecuación original), o que se pierda una raíz de la ecuación
original. Un caso de cada una de estas situaciones se analiza en los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
1.) La ecuación 802205 xx se resuelve transformándola en una ecuación
equivalente más sencilla.
Para determinar el valor de la incógnita se debe obtener una sucesión de ecuaciones
equivalentes a la original cada vez más sencillas hasta “despejar” a x. Para esta
ecuación se necesita aplicar el principio de la suma de una expresión a los dos
miembros, eligiendo 202 xr , con la cual todos los términos en x estarán en
el primer miembro y todos los términos constantes en el segundo:
202802202205 xxxx
Ahora se suman los términos semejantes en cada miembro de la ecuación y se
obtiene:
603 x
que como se ve, es una ecuación mucho más sencilla en la que se puede determinar
el valor de x fácilmente. Si ahora se aplica el principio de dividir los dos miembros
de la ecuación por una constante diferente de cero, 3k , se encuentra el valor de
x:
3
603
3
x ; de donde 20x
Es importante comprobar que efectivamente este valor es la solución o raíz de la
ecuación original, y esto se hace sustituyendo dicho valor en ella:
7. 10
8020220205
100+20 = 40 + 80
120 = 120.
Entonces x = 20 es la solución o raíz de la ecuación propuesta
2.) Para determinar la raíz de la ecuación 10111
522
xx
; 0x , se encuentra una
sucesión de ecuaciones equivalentes a ella.
Lo primero que se debe hacer es buscar cómo “eliminar” los denominadores para
obtener una ecuación equivalente más sencilla. Como en dos fracciones el divisor es
la variable x y en los otros dos, 10 es múltiplo de 5, el factor por el que conviene
multiplicar la ecuación es xr 10 . Esta situación no corresponde exactamente al
inciso b) y es un ejemplo de cuándo sí es posible obtener una ecuación equivalente
a la dada multiplicando toda la ecuación por una expresión; como se tiene la
condición 0x , entonces 0r
El producto que se debe efectuar es:
1011110
52210
xx
xx
que queda como:
10
110105
2020 xxxx
xx
Todas las fracciones que resultaron tienen alguna simplificación posible, con lo que
la ecuación equivalente es más sencilla que la original:
xx 1110420
Ahora, como en el ejemplo 1.) se suma a los dos miembros de la ecuación la
expresión 2011 xr y se reducen términos semejantes:
7. 11
201111102011420 xxxx
1015 x
Para obtener el valor de x es necesario hacer 1
15k y multiplicar los dos
miembros de la ecuación por esta constante, con lo cual se obtiene:
32
1510
x
Finalmente, se comprueba la validez de la solución sustituyendo el valor de x en la
ecuación original:
1011
321
52
322
1011
23
52
26
101115
10430
1026
1026
3.) Si se aplica el principio de igualdad para la suma o el principio de igualdad de la
división a la ecuación 232 xxx , la ecuación que se obtiene es, en el primer
caso equivalente, y en el otro no.
Se aplica primero el principio de igualdad de la suma de una expresión. Para ello se
suma en ambos miembros la expresión 3 2x :
2 3 2 0x x x
y al tomar factor común se obtiene:
023 xx
7. 12
Esta ecuación tiene dos raíces: 3x y 2x ya que con cada uno de estos
valores el primer miembro se hace cero y la ecuación se satisface; el conjunto de
soluciones de la ecuación original es {2, 3}
Ahora si se aplicara sin restricciones el principio de igualdad para la división, al
observar que el factor común en ambos miembros es 2x si se divide la ecuación
por este factor común (con 2x para que el denominador no se anule) se obtiene
la siguiente ecuación:
223
22
xx
xxx
que al simplificar resulta
3x
Entonces, al dividir la ecuación por el factor común únicamente se tiene una
solución: 3x , mientras que la ecuación original tiene 2 raíces: 2x y 3x .
Este es un ejemplo de cuándo la división por una expresión que contiene a la
variable puede conducir a ecuaciones no equivalentes (también llamadas
defectuosas) y perder raíces válidas, como en este caso.
4.) Dada la ecuación 4x , cuya raíz es 4, si se elevan al cuadrado los dos miembros de
la igualdad (es decir, al multiplicar ambos miembros por el factor 4x ) se obtiene la
ecuación 162 x , que tiene por raíces 4x y 4x . La operación que se hizo
introdujo lo que se llama una raíz extraña que es 4x
Objetivo 4. Resolverás ecuaciones de primer grado.
La aplicación de las propiedades de la igualdad para las operaciones básicas, que permiten obtener
ecuaciones equivalentes cada vez más simples para llegar a la solución de una ecuación dada, se
sintetiza en las siguientes reglas y procedimientos:
7. 13
Regla de transposición de términos. Cualquier término puede transponerse de un miembro a
otro de la igualdad con la condición de que cambie su signo.
Es posible cambiar los signos de todos los términos de una ecuación sin que esta varíe,
porque equivale a multiplicar por –1 los dos miembros de la ecuación.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita es conveniente aplicar el siguiente
proceso:
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay.
Paso 2. Transponer los términos de manera que en un miembro aparezcan todos los que
contienen a la incógnita y en el otro todas las cantidades conocidas.
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro.
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de
la incógnita.
Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original.
Ejemplos:
1.) Se aplica el proceso de solución mencionado para resolver la ecuación: 18272621 xx
Paso1. Efectuar las operaciones indicadas. En cada uno de los miembros de la
ecuación existe una operación indicada por el paréntesis; si se efectúa el
producto la ecuación queda como:
882712621 xx
Paso 2. Transponer los términos de manera que en un miembro aparezcan todos los
que contienen a la incógnita y en el otro todas las cantidades conocidas.
Los dos términos que contienen a la variable x se reacomodan en el primer
miembro y los cuatro términos constantes se pasan al segundo. Conviene
recordar que a cada término que se trasponga debe cambiársele el signo
7. 14
(con ello se están aplicando implícitamente las propiedades de la igualdad
para la suma y la resta):
122182786 xx
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro:
142 x
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita. (Con ello se aplica la propiedad de la igualdad
para la división). El coeficiente de x es 2, por lo tanto, la ecuación
equivalente que se obtiene es:
214
22
x
de la que se obtiene directamente el valor de x:
7x
Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface a la ecuación dada:
1782727621
21 + 54 = 27 + 48
75 = 75
2.) 1
11
52
xx
; 1x
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas. Toda ecuación con fracciones requiere
suprimir los denominadores y después efectuar las operaciones que
resulten.
7. 15
Se observan los denominadores de cada fracción: el primero es la diferencia
de los cuadrados de x y de 1, y el otro es la diferencia de estos. Como la
diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia de las bases:
1112 xxx
de modo que el denominador del segundo cociente es un factor del primer
denominador. Entonces, para suprimir los denominadores se debe
multiplicar por el máximo común múltiplo que es, precisamente, la
diferencia de cuadrados:
111
151 2
22
xx
xx
El producto en cada miembro de la ecuación da por resultado la ecuación
equivalente:
115 x
15 x
Paso 2. Transponer los términos para reunir a todos los que contienen a la incógnita
en el primer miembro y a las constantes en el otro:
51 x
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro.
4 x
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita.
En este caso el coeficiente de la incógnita es –1, por lo que se dividen
ambos miembros de la ecuación por –1 para obtener
4x
Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original.
14
114
52
7. 16
31
155 que es cierta.
Este paso es especialmente importante en este caso, puesto que en el primer
paso se multiplicó por una expresión que no es una constante.
3.) 3
4732
23 xxx
Paso 1. Para quitar los denominadores se debe multiplicar por el mínimo común
múltiplo de los tres, que en este caso es 42372
3442
73242
2342 xxx
xxx 414326321
xxx 5618126321
Paso 2. Se dejan en el primer miembro los términos que contienen a la incógnita y
en el segundo todos los demás, cambiando el signo a los que se transponen:
1263561821 xxx
Paso 3. Se reducen términos semejantes:
5117 x
Paso 4. Se despeja la incógnita:
1751
1717
x
3x
Paso 5. Se verifica la solución obtenida:
334
7332
233
3
1277
26
413
7. 17
La solución es correcta.
Objetivo 5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización.
La ecuación general de segundo grado tiene la siguiente estructura:
02 cbxax
Si la ecuación dada tiene solución en el conjunto de los números reales, tendrá dos raíces, y sólo
dos, que pueden ser diferentes o iguales. Si las raíces no son números reales, la solución estará dada
por dos valores diferentes del conjunto de los números complejos.
Cuando la ecuación es fácilmente factorizable, sus raíces se obtienen efectuando esta operación y
aplicando el teorema que establece que si a, b y ab = 0, entonces 0a ó 0b .
Ejemplos:
1.) 0456 2 xx
Para factorizar un trinomio de la forma cbxax 2 , con 1a , se buscan dos
números que multiplicados den ac y sumados b ; se sustituye b por la suma de
estos números en la expresión y se factoriza por agrupación.
Para la ecuación dada:
6, 5, 4a b c , por lo que 24ac
Entonces se deben buscar dos números que multiplicados den –24 y sumados 5.
24 se obtiene al multiplicar 24 por 1; 12 por 2; 8 por 3 y 6 por 4, y como
ac = –24, uno de los factores deberá ser positivo y el otro negativo.
De estos pares de números solamente 8 y 3 pueden sumar + 5 si 8 es positivo y 3 es
negativo.
7. 18
Ahora se sustituye el término x5 por ( xx 38 ) y se factoriza por agrupación:
04386 2 xxx
04836 2 xxx
0124123 xxx
04312 xx
Entonces 012 x ó 043 x
Si 012 x , 21
x ;
Si 043 x , 34
x
Las dos raíces de la ecuación son 21
1 x y 34
2 x , resultado que debe
comprobarse.
Para 21
1 x :
4
215
216
2
425
46
044
16
Esta raíz satisface a la ecuación.
Para 34
2 x :
4
345
346
2
43
209
96 049
6096
La segunda raíz también satisface la ecuación, por lo tanto la solución es
correcta.
2.) 01574 2 xx
7. 19
Los dos números que se buscan deben tener un producto de 60154 y una
suma de (–7):
60 se obtiene de 20 por 3; 15 por 4; 12 por 5; 10 por 6. De estas
posibilidades, sólo 12 y 5 pueden sumarse algebraicamente para obtener -7:
7512
Estas cantidades se sustituyen en lugar de (–7x) y se factoriza por agrupación de
términos semejantes:
0155124 2 xxx
03534 xxx
0543 xx
Ahora se pueden determinar fácilmente las raíces de la ecuación:
Si 03 x , 31 x
Si 054 x , 45
2 x
Finalmente deben comprobarse los resultados sustituyendo cada solución:
Para 31 x :
153734 2 36 – 21 – 15 = 0.
Esta raíz satisface a la ecuación.
Para 45
2 x :
15
457
454
2
154
35425
0154
60
La solución es correcta.
Objetivo 6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y
resolverás ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.
7. 20
Para resolver una ecuación de segundo grado, el método de factorización no es el más eficiente.
Aun para expresiones cuadráticas sencillas, determinar los dos valores cuya suma sea b y su
producto sea ac es, cuando menos, tardado.
Para encontrar las dos raíces de una ecuación de segundo grado conviene aplicar las fórmulas:
aacbbx
242
1
y a
acbbx2
42
2
Las raíces de una ecuación cuadrática son dos, y sólo dos, que pueden ser reales diferentes o
iguales, o complejas. El carácter de estas raíces depende del binomio en el radicando: acb 42 ,
que también recibe el nombre de discriminante de la ecuación general de segundo grado. El
resultado de este binomio puede ser:
1. Positivo: acb 42 >0. En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.
2. Nulo: acb 42 = 0. Puesto que el radical se anula, las raíces serán reales e iguales y su
valor a
bxx221
3. Negativo: acb 42 < 0. En el conjunto de los números reales no existen raíces
cuadradas de números negativos; por lo tanto, si el radicando es negativo, las raíces son
imaginarias y desiguales.
Ejemplos:
1.) 0552 xx
Como la ecuación se encuentra ya expresada en la forma general, todo lo que se
necesita para determinar qué tipo de raíces tiene es identificar el valor de los
coeficientes a, b y c y evaluar el discriminante.
Las constantes son 1; 5; 5a b c
El discriminante tiene un valor de:
acb 42 = 5145 2 = 25 + 20 = 45 > 0
7. 21
Corresponde al primer tipo, por lo que las raíces de la ecuación son reales y desiguales.
2.) 253825 22 xxxx
Para tener la ecuación expresada en la forma general (en el primer miembro un solo
término en 2x , otro en x y un término independiente, e igualada a cero), se deben
realizar las operaciones indicadas por los paréntesis:
253825 22 xxxx
25332165 22 xxxx
Ahora se trasponen todos los términos al primer miembro y se iguala a cero:
025163235 22 xxxx
Luego se reducen términos semejantes:
01152 2 xx
La ecuación está ya en la forma general, donde 2; 5; 11a b c
y el discriminante: acb 42 = (–5)2 – 4(2)(11) = 25 – 88 = – 63 < 0
Por lo tanto las raíces de la ecuación propuesta son complejas y diferentes.
3.) 196463372 2 xxxxxxx
Se eliminan los paréntesis realizando los productos indicados:
xxxxxxx 222 546463614
Se iguala a cero pasando todos los términos al primer miembro;
0546463614 222 xxxxxxx
Se reducen términos semejantes:
0882 2 xx
7. 22
Ahora 2; 8; 8a b c
y el discriminante tiene un valor de:
acb 42 = (8)2 – 4(–2)( –8) = 64 – 64 = 0
Las raíces son reales e iguales.
4.) En este ejemplo se determina el valor de k para que las dos raíces de la ecuación
0362 xkx sean iguales.
Como se ha señalado, para que las dos raíces de una ecuación cuadrática sean iguales,
el discriminante debe ser igual a cero.
En la ecuación propuesta ka ; 6b , y 3c . Para encontrar el valor de k se
deben sustituir estos valores en la fórmula del discriminante y despejar a la incógnita,
que es precisamente k:
0346 2 k
01236 k
3612 k
1236
1212
k
3k
Comprobación:
El discriminante es 03346 2 ; 36 – 36 =0, por lo que la
ecuación 0363 2 xx tiene dos raíces reales e iguales.
Para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado, conviene aplicar el siguiente
procedimiento:
7. 23
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay.
Paso 2. Transponer todos los términos de la ecuación al primer miembro e igualar a cero el
segundo.
Paso 3. Reducir términos semejantes.
Paso 4. Aplicar las fórmulas para resolver una ecuación de segundo grado.
Paso 5. Si la solución existe en el conjunto de los números reales, verificar que satisfaga a la
ecuación original.
Ejemplos:
1.) 1334212519 2 xxxx
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas:
136851099 22 xxxx
Paso 2. Trasponer todos los términos al primer miembro e igualar a cero:
0135961089 22 xxxx
Paso 3. Reducir términos semejantes:
0142 xx
Paso 4. Aplicar las fórmulas para resolver la ecuación:
1; 4; 1a b c
aacbbx
242
1
=
1211444 2
= 2
4164 = 32
aacbbx
242
2
=
1211444 2
= 2
4164 = 32
Comprobación
La ecuación original es equivalente a 0142 xx
Para 321 x :
7. 24
1324322
4 4 3 3 8 4 3 1
8 8 4 3 4 3 0
Entonces 321 x es solución de la ecuación.
Para 322 x :
1324322
4 4 3 3 8 4 3 1
8 8 4 3 4 3 0
322 x también satisface a la ecuación.
2.) Para resolver la ecuación 0112 xmmx como la variable es x, (m es un
parámetro, es decir una constante que puede tomar diferentes valores) la ecuación ya
está expresada en la forma general, donde: ma ; mb 1 ; 1c
Las raíces de la ecuación están dadas por:
m
mmmx
21411 2
1
y
m
mmmx
21411 2
2
Para encontrar el valor de las raíces, se efectúan primero las operaciones
dentro del radical:
m
mmmmx2
4211 2
1
=
mmmm
2211 2
El radicando es el desarrollo del cuadrado del binomio 1m por lo que
m
mmx
211 2
1
=
m
mm2
11 =
m22
= m1
7. 25
Y la segunda raíz:
m
mmmx
21411 2
2
=
mmmm
2211 2
El discriminante es el mismo para ambas raíces, de modo que
m
mmx2
112
=
mm
22
= 1
Comprobación
Para m
x 11 :
0112 xmmx
21 11 1m m
m m
= 0111
mm
mm
1x satisface a la ecuación.
Para 12 x :
21 1 1 1m m
= 011 mm
2x también es solución de la ecuación.
3.) Para encontrar dos números tales que su suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 se
plantea la siguiente ecuación:
Sean x y y los dos números, entonces,
9 yx y 5322 yx
7. 26
Para tener una sola ecuación con una variable, se despeja a y de la primera
ecuación:
9 9x y y x
y se sustituye este valor en la ecuación 5322 yx :
539 22 xx
Se eleva el binomio al cuadrado y se reducen términos semejantes:
531881 22 xxx
05381182 2 xx
La ecuación que se debe resolver para encontrar los dos números es
028182 2 xx
Para aplicar las fórmulas: 2; 18; 28a b c
22
28241818 2
1
x = 4
22432418
= 4
10018 =
41018
= 7
22
28241818 2
1
x = 4
22432418
= 4
10018 =
41018
= 2
Como se puede comprobar:
7 + 2 = 9 y ( 7 )2 + ( 2 )2 = 49 + 4 = 53
Y en la ecuación: 2871872 2 = 98 – 126 +28 = 0
2821822 2 = 8 – 36 + 28 = 0
7. 27
Las dos raíces satisfacen a la ecuación que se obtuvo del planteamiento.
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