UNIDAD 4UNIDAD 4

OBJETIVOS DE LAUNIDAD

QUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE:

1.- ENUMERAR LAS CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION DE 1.- ENUMERAR LAS CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-PROBABILIDAD NORMAL.-

2.- DEFINIR Y CALCULAR VALORES Z.-2.- DEFINIR Y CALCULAR VALORES Z.-

3.- PARAMETROS DE LA DISTRIBUCION NORMAL Y NORMAL 3.- PARAMETROS DE LA DISTRIBUCION NORMAL Y NORMAL ESTANDARIZADA.-ESTANDARIZADA.-

4.- DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN VALOR DE LA 4.- DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN VALOR DE LA VARIABLE ALEATORIA SE ENCUENTRE ENTRE DOS PUNTOS EN VARIABLE ALEATORIA SE ENCUENTRE ENTRE DOS PUNTOS EN UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-

5.- DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN VALOR DE LA 5.- DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN VALOR DE LA VARIABLE ALEATORIA SE ENCUENTRE SOBRE (O DEBAJO) DE UN VARIABLE ALEATORIA SE ENCUENTRE SOBRE (O DEBAJO) DE UN PUNTO EN UNA DISTRIBUCION NORMAL.-PUNTO EN UNA DISTRIBUCION NORMAL.-

6.- ENCONTRAR EL VALOR O LOS VALORES DE LA VARIABLE 6.- ENCONTRAR EL VALOR O LOS VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA CONOCIENDO LA PROBABILIDAD DEL AREA DE LA ALEATORIA CONOCIENDO LA PROBABILIDAD DEL AREA DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-

7.- APLICAR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL PARA 7.- APLICAR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL PARA APROXIMAR LA DISTRIBUCION BINOMIAL.-APROXIMAR LA DISTRIBUCION BINOMIAL.-

8.- USAR EL PLANO DE DISTRIBUCION NORMAL PARA DETERMINAR 8.- USAR EL PLANO DE DISTRIBUCION NORMAL PARA DETERMINAR SI UN CONJUNTO DE DATOS SE DISTRIBUYE NORMALMENTE.-SI UN CONJUNTO DE DATOS SE DISTRIBUYE NORMALMENTE.-

DISTDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA

VARIALES ALEATORIAS CONTINUAS

Cuando una variable aleatoria X es discreta, se puede Cuando una variable aleatoria X es discreta, se puede asignar una probabilidad positiva a cada valor que asignar una probabilidad positiva a cada valor que puede tomar X y obtener la distribución de probabilidad puede tomar X y obtener la distribución de probabilidad para X.- La suma de todas las probabilidades asociadas para X.- La suma de todas las probabilidades asociadas con los valores diferentes de X es 1.- Sin embargo, no con los valores diferentes de X es 1.- Sin embargo, no todos los experimentos producen variables aleatorias todos los experimentos producen variables aleatorias que son discretas.- que son discretas.-

Las variables aleatorias continuas, como la altura, peso, Las variables aleatorias continuas, como la altura, peso, montos de ventas de un comercio, sueldo de los montos de ventas de un comercio, sueldo de los empleados, tiempo de realización de una tarea, velocidad empleados, tiempo de realización de una tarea, velocidad de un automóvil, tiempo de vida de una lámpara, etc, de un automóvil, tiempo de vida de una lámpara, etc, pueden asumir la cantidad infinita de valores que pueden asumir la cantidad infinita de valores que correspondan a los puntos en un intervalo de la recta.- Si correspondan a los puntos en un intervalo de la recta.- Si se intenta asignar una probabilidad positiva a cada uno se intenta asignar una probabilidad positiva a cada uno de estos incontables valores, las probabilidades ya no de estos incontables valores, las probabilidades ya no sumaran 1, como las variables aleatorias discretas.-sumaran 1, como las variables aleatorias discretas.-

Por consiguiente, se debe usar un método diferente para Por consiguiente, se debe usar un método diferente para generar la distribución de probabilidad de una variable generar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua.-aleatoria continua.-

Suponga que tiene un conjunto de mediciones para una Suponga que tiene un conjunto de mediciones para una variable aleatoria continua y elabora un histograma de variable aleatoria continua y elabora un histograma de frecuencias relativas para describir su distribución.- Para frecuencias relativas para describir su distribución.- Para un pequeño número de mediciones, podría usar un un pequeño número de mediciones, podría usar un número pequeño de clases (intervalos); entonces a número pequeño de clases (intervalos); entonces a medida que se reúnan más y más mediciones, se podrán medida que se reúnan más y más mediciones, se podrán usar más clases y se puede reducir la amplitud de las usar más clases y se puede reducir la amplitud de las clases.- El contorno del histograma cambia ligeramente, clases.- El contorno del histograma cambia ligeramente, por lo general, se vuelve menos irregular, como vemos en por lo general, se vuelve menos irregular, como vemos en la Figura 4.1.- Cuando el número de mediciones se vuelve la Figura 4.1.- Cuando el número de mediciones se vuelve muy grande y se reducen las amplitudes de clase, el muy grande y se reducen las amplitudes de clase, el histograma de frecuencias relativas aparece cada vez histograma de frecuencias relativas aparece cada vez más como la curva uniforme mostrada en la Figura 4.1 más como la curva uniforme mostrada en la Figura 4.1 (d).-(d).-

Esta curva uniforme describe la distribución de Esta curva uniforme describe la distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua.-probabilidad de la variable aleatoria continua.-

0,00

0,12

0,24

0,35

0,47

fre

cu

en

cia

re

lativa

0,00

0,07

0,13

0,20

0,26

fre

cu

en

cia

re

lativa

Figura 4.1

a) b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

fre

cue

nci

a r

ela

tiva

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

fre

cue

nci

a r

ela

tiva

Ajuste: Normal(162,662,1140,631)

c) d)

¿Cómo se puede crear un modelo para esta distribución ¿Cómo se puede crear un modelo para esta distribución de probabilidad?.-de probabilidad?.-

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de un número infinito de valores en la recta real, valor de un número infinito de valores en la recta real, algo así como el número infinito de granos de arena en algo así como el número infinito de granos de arena en una playa.- La distribución de probabilidad se crea al una playa.- La distribución de probabilidad se crea al distribuir una unidad de probabilidad a lo largo de la distribuir una unidad de probabilidad a lo largo de la recta, así como se podría distribuir un puño de arena.-recta, así como se podría distribuir un puño de arena.-

La probabilidad - granos de arena o mediciones -, se La probabilidad - granos de arena o mediciones -, se apilará en ciertos lugares y el resultado es la apilará en ciertos lugares y el resultado es la distribución de probabilidad que se muestra en la Figura distribución de probabilidad que se muestra en la Figura 4.2.- La densidad de la probabilidad, que varia con X, se 4.2.- La densidad de la probabilidad, que varia con X, se

puede describir mediante un fórmula matemática puede describir mediante un fórmula matemática f (x),f (x), llamada llamada distribución de probabilidad o función de distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X densidad de probabilidad para la variable aleatoria X continua.- continua.-

a b

La distribución de probabilidad f (x):

P ( a < X < b) es igual al área sombreada

bajo la curva.-

x

Figura 4.2

func

ión

de d

ensi

dad

f (x)

Varias propiedades importantes de las distribuciones de Varias propiedades importantes de las distribuciones de probabilidad continua se asemejan a las de las probabilidad continua se asemejan a las de las distribuciones discretas.- Así como la suma de distribuciones discretas.- Así como la suma de probabilidades discretas (o la suma de las frecuencias probabilidades discretas (o la suma de las frecuencias relativas ) es igual a 1, y la probabilidad de que X se relativas ) es igual a 1, y la probabilidad de que X se encuentre en un cierto intervalo se puede encontrar al encuentre en un cierto intervalo se puede encontrar al sumar las probabilidades de ese intervalo, las sumar las probabilidades de ese intervalo, las distribuciones de probabilidad continua tienen las distribuciones de probabilidad continua tienen las siguientes características que se enumeran a siguientes características que se enumeran a continuación:continuación:

• El área bajo la curva en una distribución de probabilidad El área bajo la curva en una distribución de probabilidad continua es igual a 1.-continua es igual a 1.-

•La probabilidad de que x se encuentre en un intervalo La probabilidad de que x se encuentre en un intervalo particular; por ejemplo de particular; por ejemplo de aa a a bb. es igual al área bajo la . es igual al área bajo la curva entre dos puntos a y b.- Esto es el área sombreada curva entre dos puntos a y b.- Esto es el área sombreada en la Figura 4.2.-en la Figura 4.2.-

Hay también una diferencia importante entre las variables Hay también una diferencia importante entre las variables aleatorias discretas y continua.-aleatorias discretas y continua.-

Considere la probabilidad de que X sea igual a algún Considere la probabilidad de que X sea igual a algún valor particular, por ejemplo a).- Puesto que no hay área valor particular, por ejemplo a).- Puesto que no hay área sobre un solo punto; por ejemplo x = a, en la distribución sobre un solo punto; por ejemplo x = a, en la distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua, de probabilidad para una variable aleatoria continua, nuestra definición implica que la probabilidad es 0.- nuestra definición implica que la probabilidad es 0.-

Entonces:Entonces:

• P (x = a) = 0 para variable aleatoria continua.-P (x = a) = 0 para variable aleatoria continua.-

•Esto implica que P (x Esto implica que P (x ≥ a) = P (x> a) y ≥ a) = P (x> a) y

P (x ≤ a) = P( x< a)P (x ≤ a) = P( x< a)

•Esto no es cierto en lo general para las variables Esto no es cierto en lo general para las variables aleatorias discretas.-aleatorias discretas.-

¿Cómo se elige el modelo, es decir, la distribución de probabilidad f(x), apropiada para un experimento dado?.-

Se dispone de muchos tipos de curvas continuas para el modelado.- Algunas tienen forma de campana, como la de la Figura 4.1 (d), pero otras no.- Por lo general, intente elegir un modelo que cumpla con estos criterios:

• Que se ajuste al conjunto acumulado de datos.-

• Que permita hacer las mejores inferencias posibles usando los datos.-

Es posible que el modelo no siempre se ajuste perfectamente a la situación experimental, pero se debe intentar elegir el modelo que se ajuste lo mejor posible al histograma de frecuencia relativa de la población.-

Cuanto más se aproxime el modelo a la realidad, mejores serán las inferencias.-

Afortunadamente, muchas variables aleatorias continuas tienen distribuciones de frecuencias en forma de campana, como los datos de la Figura 4.1 (d).- La distribución de probabilidad normal proporciona un buen modelo para describir este tipo de datos.- Esta distribución de probabilidad es la que veremos a continuación.-

LA LA DISTRIBUCION DISTRIBUCION

NORMALNORMAL

LA LA DISTRIBUCION DISTRIBUCION

NORMALNORMAL

Dentro de las distribuciones de probabilidad continuas, Dentro de las distribuciones de probabilidad continuas, tenemos la tenemos la distribución normaldistribución normal que es una de las más que es una de las más importante de la estadística. La importancia no se debe a importante de la estadística. La importancia no se debe a su forma ya que muchas distribuciones tienen esa forma y su forma ya que muchas distribuciones tienen esa forma y no se distribuyen normalmente.- La distribución normal no se distribuyen normalmente.- La distribución normal tiene una serie de propiedades matemáticas que la hace tiene una serie de propiedades matemáticas que la hace tan deseable, que muchos de los profesionales que se tan deseable, que muchos de los profesionales que se dedican a la investigación y otros que no, han solucionado dedican a la investigación y otros que no, han solucionado situaciones técnicas solo con suponer que las situaciones técnicas solo con suponer que las observaciones de la población se distribuyen observaciones de la población se distribuyen normalmente.-normalmente.-

Fue descubierta por el matemático francés De Moivre en Fue descubierta por el matemático francés De Moivre en 1733.- Desafortunadamente su trabajo se perdió por algún 1733.- Desafortunadamente su trabajo se perdió por algún tiempo y Karl Gauss desarrollo, de manera independiente, tiempo y Karl Gauss desarrollo, de manera independiente, la distribución normal casi cien años después, y son los la distribución normal casi cien años después, y son los trabajos que más se dieron a conocer, de allí que se la trabajos que más se dieron a conocer, de allí que se la conozca como la Distribución Normal de Gauss.- conozca como la Distribución Normal de Gauss.-

La distribución de probabilidad normal se utiliza muy a La distribución de probabilidad normal se utiliza muy a menudo en economía, en las aplicaciones empresariales y menudo en economía, en las aplicaciones empresariales y en todas las ciencias.- Son muchas las razones por la que en todas las ciencias.- Son muchas las razones por la que se la usa frecuentemente:se la usa frecuentemente:

1) La distribución normal es una aproximación muy buena 1) La distribución normal es una aproximación muy buena de las distribuciones de probabilidad de una amplia de las distribuciones de probabilidad de una amplia variedad de variables aleatorias continuas.- Por ejemplo;variedad de variables aleatorias continuas.- Por ejemplo;

a) La distribuciones de a) La distribuciones de las piezas y el peso de las piezas y el peso de los paquetes de los paquetes de alimentos siguen una alimentos siguen una distribución normal, por distribución normal, por lo que tiene muchas lo que tiene muchas aplicaciones en el aplicaciones en el control de calidad.- control de calidad.-

b) Las ventas o la b) Las ventas o la producción a menudo producción a menudo siguen una distribución siguen una distribución normal, por lo que tiene una normal, por lo que tiene una gran cantidad de aplicación gran cantidad de aplicación en el marketing y en la en el marketing y en la gestión de la producción.-gestión de la producción.-

c) Las pautas de los precios de las acciones y de los c) Las pautas de los precios de las acciones y de los bonos a menudo se analizan utilizando la distribución bonos a menudo se analizan utilizando la distribución normal en grandes modelos informáticos de normal en grandes modelos informáticos de contratación financiera.- Los modelos económicos contratación financiera.- Los modelos económicos utilizan la distribución normal para algunas medidas utilizan la distribución normal para algunas medidas económicas.-económicas.-

2) Las distribuciones de las medias muestrales siguen una 2) Las distribuciones de las medias muestrales siguen una distribución normal, si el tamaño de la muestra es grande.-distribución normal, si el tamaño de la muestra es grande.-

3)El calculo de probabilidad es directo y muy ingenioso.-3)El calculo de probabilidad es directo y muy ingenioso.-

4) La razón mas importante es que la distribución normal 4) La razón mas importante es que la distribución normal ha llevado a tomar muy buenas decisiones empresariales ha llevado a tomar muy buenas decisiones empresariales en algunas aplicaciones.-en algunas aplicaciones.-

Para poder usarse la distribución normal para calcular Para poder usarse la distribución normal para calcular probabilidades es necesario conocer sus características probabilidades es necesario conocer sus características principales.- Estas son:principales.- Estas son:

1.- Tiene forma de campana y esta centrada en el valor de la media 1.- Tiene forma de campana y esta centrada en el valor de la media poblacional, poblacional, µ.- µ.- Por ejemplo si µ = 70, será:Por ejemplo si µ = 70, será:

40,00 55,00 70,00 85,00 100,00

Variable

0,00

0,02

0,03

0,05

0,07

2.- Su función de densidad es,2.- Su función de densidad es,

Donde, Donde, µ es la media poblacional.-µ es la media poblacional.-

σσ es la desviación estándar de la población.- es la desviación estándar de la población.-

ππ , la constante 3,1416.- , la constante 3,1416.-

e la constante 2,71282 (base del logaritmo neperiano).-e la constante 2,71282 (base del logaritmo neperiano).-

e

-x

2

1xf

2

2

1

3.- El área total comprendida bajo la curva y por encima del eje 3.- El área total comprendida bajo la curva y por encima del eje horizontal es igual a 1,00 de probabilidad.-horizontal es igual a 1,00 de probabilidad.-

4.- La distribución es simétrica respecto a su media, es decir que la 4.- La distribución es simétrica respecto a su media, es decir que la media es igual a la mediana y al modo.- Tenemos un 50 % de media es igual a la mediana y al modo.- Tenemos un 50 % de probabilidad a cada lado.-probabilidad a cada lado.-

5.-La distancia que hay desde el punto de inflexión de la curva, que 5.-La distancia que hay desde el punto de inflexión de la curva, que es donde deja de ser cóncava hacia abajo y empieza a ser cóncava es donde deja de ser cóncava hacia abajo y empieza a ser cóncava hacia arriba, hasta una perpendicular levantada sobre la media es hacia arriba, hasta una perpendicular levantada sobre la media es igual a igual a ±± 1 1 σσ .- .-

6.- La curva de la distribución normal se extiende de -6.- La curva de la distribución normal se extiende de - ∞∞ a + a + ∞∞

7.- Es asintótica al eje de abscisa X, la curva se extiende sobre el 7.- Es asintótica al eje de abscisa X, la curva se extiende sobre el pero nunca llega a tocarlo.-pero nunca llega a tocarlo.-

8.- La distribución normal es realmente una familia de distribuciones, 8.- La distribución normal es realmente una familia de distribuciones, como sus parámetros son la media como sus parámetros son la media µ y la desviación estándar σ, para µ y la desviación estándar σ, para cada valor diferentes de ellos existe una distribución normal.- Si cada valor diferentes de ellos existe una distribución normal.- Si tenemos iguales σ pero distintos µ será:tenemos iguales σ pero distintos µ será:

xxiiμμ11 μμ22

μμ33

xxii

xxii

Para igual medias Para igual medias μμ11 = = μμ22 = = μμ33 pero distintos pero distintos σσ, tendremos:, tendremos:

μμ xxii

9.- La 9.- La regla empíricaregla empírica establecía que : establecía que :

El área comprendida entre El área comprendida entre µ ± 1 µ ± 1 σσ es igual al 68 % de es igual al 68 % de probabilidad.-probabilidad.-

El área comprendida entre El área comprendida entre µ ± 2 µ ± 2 σσ es igual al 95 % de es igual al 95 % de probabilidad.-probabilidad.-

El área comprendida entre El área comprendida entre µ ± 3 µ ± 3 σσ es igual al 99 % de es igual al 99 % de probabilidad.-probabilidad.-

40,00 55,00 70,00 85,00 100,00

Variable

0,00

0,02

0,03

0,05

0,07Normal(70,36): p(evento)=0,6827

40,00 55,00 70,00 85,00 100,00

Variable

0,00

0,02

0,03

0,05

0,07Normal(70,36): p(evento)=0,9973

40,00 55,00 70,00 85,00 100,00

Variable

0,00

0,02

0,03

0,05

0,07Normal(70,36): p(evento)=0,9545

10.- Función de acumulación de la distribución normal.-10.- Función de acumulación de la distribución normal.-

Supongamos que X es una variable aleatoria normal de media μ y de variancia σ², en este caso la función de acumulación es:

F (x) = P ( X ≤ x)

Entonces: Podemos calcular:

P (X ≤ a) = F (a) P (X ≥ b) = 1 – F(b) P ( a ≤ X ≤ b)= F(b) – F(a)

40,00 55,00 70,00 85,00 100,00

Variable

0,00

0,02

0,03

0,05

0,07Normal(70,36): p(evento)=0,6827

aa bb

LA DISTRIBUCION LA DISTRIBUCION

NORMAL NORMAL ESTANDARIZADAESTANDARIZADA

Se caracteriza por tener de parámetro una media Se caracteriza por tener de parámetro una media = 0 y una = 0 y una

desviación típica desviación típica = 1. = 1.Las probabilidades de sus áreas están tabuladas, lo que agiliza Las probabilidades de sus áreas están tabuladas, lo que agiliza enormemente el cálculo,enormemente el cálculo,Simbolizamos a la variable aleatoria estandarizada con Z.- Cuando Simbolizamos a la variable aleatoria estandarizada con Z.- Cuando en una investigación, la variable de interés está normalmente en una investigación, la variable de interés está normalmente distribuida o por lo menos aproximadamente, utilizamos en su distribuida o por lo menos aproximadamente, utilizamos en su análisis el conocimiento que tenemos de la distribución normal, es análisis el conocimiento que tenemos de la distribución normal, es decir que si una variable aleatoria X, se distribuye normalmente con decir que si una variable aleatoria X, se distribuye normalmente con

media media y desviación típica y desviación típica ,, podemos calcular probabilidades podemos calcular probabilidades aplicando la normal estandarizada. Para ello debemos transformar aplicando la normal estandarizada. Para ello debemos transformar los valores de la variable X, en valores de la variable aleatoria los valores de la variable X, en valores de la variable aleatoria

estandarizada estandarizada Z Z concon =0 y =0 y = 1. = 1.La transformación en valores estándar Z, lo hacemos por medio de La transformación en valores estándar Z, lo hacemos por medio de la formula:la formula:

XXii - - Z =Z =

La distribución normal estandarizada, será:La distribución normal estandarizada, será:

Una vez que hemos estandarizados los valores que toma la Una vez que hemos estandarizados los valores que toma la variable aleatoria X, podemos buscar la probabilidad del área variable aleatoria X, podemos buscar la probabilidad del área establecido, usando la tabla de John Freund y Willians J, como establecido, usando la tabla de John Freund y Willians J, como veremos en la práctica o usar un programa estadístico de veremos en la práctica o usar un programa estadístico de computación.-computación.-

A continuación explicaremos como se usa la tabla.- Para ello, es A continuación explicaremos como se usa la tabla.- Para ello, es importante entender el cabezal de la misma, ya que me dice a que importante entender el cabezal de la misma, ya que me dice a que área corresponde los valores de probabilidad que están dentro del área corresponde los valores de probabilidad que están dentro del cuerpo de la misma.-cuerpo de la misma.-

ZZ- 3.00 0,00 3.003.00

Variable

0,00

0,40

Función de densidad

La tabla para valores negativos de Z, me da probabilidad de áreas La tabla para valores negativos de Z, me da probabilidad de áreas

que van de - que van de - ∞∞ a valores negativos de Z, a valores negativos de Z,

-5,00 -2,50 0,00 2,50 5,00

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003

-3,2 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005

-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007

-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0160 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

La tabla para valores positivos de Z, me da probabilidad de áreas La tabla para valores positivos de Z, me da probabilidad de áreas que van de - ∞ a valores positivo de Z,que van de - ∞ a valores positivo de Z,

-5,00 -3,33 -1,67 0,00 1,67 3,33 5,00

Variable

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

Supongamos que una empresa del Parque Supongamos que una empresa del Parque Industrial tiene 1200 empleados en áreas Industrial tiene 1200 empleados en áreas de producción.- Se sabe que los salarios de producción.- Se sabe que los salarios por quincena se distribuyen normalmente por quincena se distribuyen normalmente con una media con una media µ = 300 $ y una desviación µ = 300 $ y una desviación estándar estándar σσ = 20 $.- Se necesita hacer un = 20 $.- Se necesita hacer un trabajo especial y se decide seleccionar de trabajo especial y se decide seleccionar de entre esos obreros a uno.- Cuál es la entre esos obreros a uno.- Cuál es la probabilidad de que este cobre:probabilidad de que este cobre:

Veremos el uso de la distribución Veremos el uso de la distribución normal mediante un ejemplo.-normal mediante un ejemplo.-

a)a) Más de 340 $.- Más de 340 $.-

b)b) b) Menos de 289 $.- b) Menos de 289 $.-

c) Entre 300 y 330 $.- c) Entre 300 y 330 $.-

d) Entre 285 y 300 $.- d) Entre 285 y 300 $.-

e) Entre 305 y 330 $.-e) Entre 305 y 330 $.-

f) Entre 275 y 292 $.-f) Entre 275 y 292 $.-

g) Menos de 328 $.-g) Menos de 328 $.-

h) Mas de 276 $.-h) Mas de 276 $.-

i) Entre 268 y 358 $.-i) Entre 268 y 358 $.-

j) Menos de 273 $ o mas de 321 $.-j) Menos de 273 $ o mas de 321 $.-

SoluciónSolución

a) Más de 340$. a) Más de 340$.

300300 340340

00 2,02,0 ZZ

P (X ≥ 340) = P ( Z ≥ 2,0) = 1 - F ( 2,0) =P (X ≥ 340) = P ( Z ≥ 2,0) = 1 - F ( 2,0) = = 1 - 0,9772 = 0,0228= 1 - 0,9772 = 0,0228 2,28 %2,28 %

XX

b)b) Menos de 289$.- Menos de 289$.-

P (X ≤ 289) = P ( Z ≤ - 0,55) = F ( - 0,55) = 0,2912P (X ≤ 289) = P ( Z ≤ - 0,55) = F ( - 0,55) = 0,2912

29 %29 %

- 0,55- 0,55

300300289289

00 ZZ

XX

c) Entre 300 y 330 $.-c) Entre 300 y 330 $.-

P (300 ≤ X ≤ 330) = P ( 0 ≤ Z ≤ 1,5) = P (300 ≤ X ≤ 330) = P ( 0 ≤ Z ≤ 1,5) = = F (1,50) - 0,50 = 0,4332 = F (1,50) - 0,50 = 0,4332 43 % 43 %

330330

1,51,5

300300

00 ZZ

XX

d) Entre 285 y 300 $.-d) Entre 285 y 300 $.-

P ( 285 ≤ X ≤ 300) = P ( - 0,75 ≤ Z ≤ 0) =P ( 285 ≤ X ≤ 300) = P ( - 0,75 ≤ Z ≤ 0) =

= 0,50 - F ( - 0,75) == 0,50 - F ( - 0,75) =

= 0,50 - 0,2266 = 0,2734 = 0,50 - 0,2266 = 0,2734 27 % 27 %

285285

- 0,75- 0,75

300300

00 ZZ

XX

e) Entre 305 y 330 $.-e) Entre 305 y 330 $.-

P (305 ≤ X ≤ 330) = P ( 0,25 ≤ Z ≤ 1,5) =P (305 ≤ X ≤ 330) = P ( 0,25 ≤ Z ≤ 1,5) =

= F (1,5) - F (0,25) == F (1,5) - F (0,25) =

= 0,9332 - 0,5987 = 0,3345= 0,9332 - 0,5987 = 0,3345

33,45 %33,45 %

305305

0,250,25

330330

1,51,5

300300

00 ZZ

XX

f) Entre 275 y 292 $.f) Entre 275 y 292 $.

P ( 275 ≤ X ≤ 292) = P (- 1,25 ≤ Z ≤ - 0,4) =P ( 275 ≤ X ≤ 292) = P (- 1,25 ≤ Z ≤ - 0,4) =

= F ( - 0,4) - F ( - 1,25) == F ( - 0,4) - F ( - 1,25) =

= 0,3446 - 0,1251 == 0,3446 - 0,1251 =

= 0,2199 = 0,2199 22 % 22 %

275275 292292

- 1,25- 1,25 - 0,4- 0,4

300300

00 ZZ

XX

g) Menos de 328 $.-g) Menos de 328 $.-

P ( X ≤ 328) = P ( Z ≤ 1,4) = F (1,4) =P ( X ≤ 328) = P ( Z ≤ 1,4) = F (1,4) = = 0.9192 = 0.9192 92 % 92 %

328328

1,41,4

300300

00 ZZ

XX 328328

1,41,4

300300

00 ZZ

XX

h) Más de 276 $.- h) Más de 276 $.-

- 1,2- 1,2

276276

P ( X ≥ 276) = P ( Z ≥ - 1,2) = 1 - F (- 1,2) =P ( X ≥ 276) = P ( Z ≥ - 1,2) = 1 - F (- 1,2) =

= 1 - 0,1151 = 0,8849= 1 - 0,1151 = 0,8849

88,49 %88,49 %

300300

00 ZZ

XX

i)i) Entre 268 y 358 $.- Entre 268 y 358 $.-

P ( 268 ≤ X ≤ 358) = P ( - 1,6 ≤ Z ≤ 2,9) =P ( 268 ≤ X ≤ 358) = P ( - 1,6 ≤ Z ≤ 2,9) =

= F (2,9) - F ( - 1,6) == F (2,9) - F ( - 1,6) =

= 0,9981 - 0,0548 = 0,9433 = 0,9981 - 0,0548 = 0,9433

94 %94 %

268268

- 1,6- 1,6

358358

2,92,9

300300

00 ZZ

XX

j) Menos de 273$ o más de 321$ j) Menos de 273$ o más de 321$

P ( X ≤ 273) + P (X ≥ 321) = P ( Z ≤ - 1,35) + P ( Z ≥ 1,05) =P ( X ≤ 273) + P (X ≥ 321) = P ( Z ≤ - 1,35) + P ( Z ≥ 1,05) =

= F ( - 1,35) + = F ( - 1,35) + { 1- F (1,05)} = 0,0855 + ( 1 - 0,8531) ={ 1- F (1,05)} = 0,0855 + ( 1 - 0,8531) =

= 0,0855 + 0,1469 = 0,2324 = 0,0855 + 0,1469 = 0,2324 23 % 23 %

273273

- 1,35- 1,35

321321

1,051,05

300300 XX

ZZ

OTROS USOS DE OTROS USOS DE LA LA

DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL.-NORMAL.-

Recordemos que la distribución Z, normal estandarizada, Recordemos que la distribución Z, normal estandarizada, nos expresa la desviación de una observación con nos expresa la desviación de una observación con respecto a su media expresada en unidades de la respecto a su media expresada en unidades de la desviación estándar.-desviación estándar.-

1.- Si se desea comparar el desempeño de un alumno por 1.- Si se desea comparar el desempeño de un alumno por ejemplo en un Parcial de Estadística respecto a su grupo, ejemplo en un Parcial de Estadística respecto a su grupo, conviene transformar su puntaje a valores Z.- Si usted conviene transformar su puntaje a valores Z.- Si usted saco 70 puntos y el promedio del grupo fue 60 puntos con saco 70 puntos y el promedio del grupo fue 60 puntos con una una σσ = 5 puntos = 5 puntos, al levarlo a valor Z será:, al levarlo a valor Z será:

70 - 6070 - 60

Z = ------------------ = 2,0Z = ------------------ = 2,0

5 5

Esto nos indica que usted esta colocado a 2 desviaciones Esto nos indica que usted esta colocado a 2 desviaciones del por encima del alumno con puntaje promedio.- del por encima del alumno con puntaje promedio.-

2.- Siguiendo con las notas del Parcial de Estadística, supongamos 2.- Siguiendo con las notas del Parcial de Estadística, supongamos que la cantidad de alumnos sean 200 los que rindieron.- Nos que la cantidad de alumnos sean 200 los que rindieron.- Nos preguntamos cuantos alumnos sacaron menos de 70 puntos.-preguntamos cuantos alumnos sacaron menos de 70 puntos.-

P ( X P ( X ≤ 70) = P ( Z ≤ 2,0) = F (2,0) = 0,9772≤ 70) = P ( Z ≤ 2,0) = F (2,0) = 0,9772

0,9772 * 200 = 190,98 0,9772 * 200 = 190,98 191 alumnos.- 191 alumnos.-

6060 70

2,00

X

Z

3.- 3.- Como determinamos un valor de la variable Como determinamos un valor de la variable aleatoria X, conociendo los valores de aleatoria X, conociendo los valores de probabilidad.-probabilidad.-

Supongamos seguir analizando las notas del parcial de Estadística.- Supongamos seguir analizando las notas del parcial de Estadística.- Ahora nos preguntamos, ¿Cuál es el puntaje del parcial que deja Ahora nos preguntamos, ¿Cuál es el puntaje del parcial que deja tras de el, el 80 % de los alumnos, si sabemos que las notas se tras de el, el 80 % de los alumnos, si sabemos que las notas se distribuyen normalmente con una media distribuyen normalmente con una media µ = 60 µ = 60 puntospuntos y una y una σσ = 5 = 5 puntos?.-puntos?.-

80%80%

Despejamos de la fórmula del Z al valor de X, y nos queda:Despejamos de la fórmula del Z al valor de X, y nos queda:

XXii = = µ + Z * µ + Z * σσ = 60 + 0,84 * 5 = 64,2 ≈ 64 puntos = 60 + 0,84 * 5 = 64,2 ≈ 64 puntos

El 80% de los alumnos sacaron 64 puntos o menos.-El 80% de los alumnos sacaron 64 puntos o menos.-

6060 XX

0,840,84 ZZ00

EJERCICIO PARA HACER EN CLASEEJERCICIO PARA HACER EN CLASE

Un empresario del calzado dice pagar muy bien a Un empresario del calzado dice pagar muy bien a sus empleados ya que paga un salario sus empleados ya que paga un salario promedio de 8,0$ por hora y una desviación promedio de 8,0$ por hora y una desviación estándar de 3,2$ por hora.- Los montos se estándar de 3,2$ por hora.- Los montos se distribuyen normalmente y la empresa tiene distribuyen normalmente y la empresa tiene 400 empleados.-400 empleados.-

a) Que porcentaje de empleados cobran entre 6,5 a) Que porcentaje de empleados cobran entre 6,5 y 10,0 $ por horas.-y 10,0 $ por horas.-

b) Cuantos empleados cobran más de 10,5$ por b) Cuantos empleados cobran más de 10,5$ por horas de trabajo.-horas de trabajo.-

c) Que porcentaje de empleados cobra menos de c) Que porcentaje de empleados cobra menos de 12,5 $ por horas de trabajo.-12,5 $ por horas de trabajo.-

d) Que porcentaje de empleados cobra menos de d) Que porcentaje de empleados cobra menos de 4,80 $ por horas de trabajo.-4,80 $ por horas de trabajo.-

e) Cuantos empleados cobran entre 9,5 y 13,5 $ e) Cuantos empleados cobran entre 9,5 y 13,5 $ por horas de trabajo.-por horas de trabajo.-

f) Que porcentaje de empleados cobran entre 5,6 f) Que porcentaje de empleados cobran entre 5,6 y 8,0 $ por horas de trabajo.-y 8,0 $ por horas de trabajo.-

g) El 16,6 % más alto de los salarios por horas de g) El 16,6 % más alto de los salarios por horas de los empleados es mayor a que monto.-los empleados es mayor a que monto.-

h) Que porcentaje de empleados cobran entre 3,5 h) Que porcentaje de empleados cobran entre 3,5 y 7,5 $ por horas de trabajo.-y 7,5 $ por horas de trabajo.-

i) Cuantos empleados cobran entre 8,0 y 15,0 $ i) Cuantos empleados cobran entre 8,0 y 15,0 $ por horas de trabajo.-por horas de trabajo.-

j) El empresario insiste que solo un 4 % de los j) El empresario insiste que solo un 4 % de los empleados cobran salarios por horas bajo.- empleados cobran salarios por horas bajo.- ¿Cuál es ese monto?.-¿Cuál es ese monto?.-

VEAMOS EL CALCULO DE VEAMOS EL CALCULO DE APLICACIÓN DE LA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD NORMAL PROBABILIDAD NORMAL MEDIANTE UN EJEMPLO MEDIANTE UN EJEMPLO

USANDO PROGRAMA USANDO PROGRAMA MINITABMINITAB

La empresa Firestone acaba de desarrollar un La empresa Firestone acaba de desarrollar un neumático radial con banda de acero que neumático radial con banda de acero que venderá a través de una cadena nacional de venderá a través de una cadena nacional de negocios con descuentos.- Como ese negocios con descuentos.- Como ese neumático es producto nuevo, la dirección de neumático es producto nuevo, la dirección de Firestone cree que la garantía de kilómetros Firestone cree que la garantía de kilómetros recorrido que se ofrece con el neumático será recorrido que se ofrece con el neumático será un factor importante en la aceptación.- Antes un factor importante en la aceptación.- Antes de formalizar esa política, la dirección desea de formalizar esa política, la dirección desea contar con información acerca de los contar con información acerca de los kilómetros que duran los neumáticos.- kilómetros que duran los neumáticos.-

En pruebas reales en carreteras, el grupo de En pruebas reales en carreteras, el grupo de ingeniería de Firestone ha estimado que el ingeniería de Firestone ha estimado que el promedio de distancia recorrida es de 36500 promedio de distancia recorrida es de 36500 kilómetros y que la desviación es de 5000 km.-kilómetros y que la desviación es de 5000 km.-

Además, los datos reunidos indican que la Además, los datos reunidos indican que la adopción de la distribución normal es una adopción de la distribución normal es una hipótesis razonable.-hipótesis razonable.-

a)a)¿Qué porcentaje de neumáticos se puede ¿Qué porcentaje de neumáticos se puede esperar que duren más de 40000 kilómetros?esperar que duren más de 40000 kilómetros?

b)b) Ahora suponga que Firestone planea una Ahora suponga que Firestone planea una garantía según la cual el usuario recibirá un garantía según la cual el usuario recibirá un descuento en sus neumáticos de repuesto si descuento en sus neumáticos de repuesto si los neumáticos no rebasan la distancia en los neumáticos no rebasan la distancia en kilómetros especificada en la garantía.- kilómetros especificada en la garantía.-

¿Cuáles deben ser los kilómetros recorridos ¿Cuáles deben ser los kilómetros recorridos para que no haya más de 10% de los para que no haya más de 10% de los neumáticos que aprovechen el descuento de la neumáticos que aprovechen el descuento de la garantía?.-garantía?.-

SoluciónSolución

a) Antes de usar Minitab, se debe teclear la a) Antes de usar Minitab, se debe teclear la constante especificada en una columna de la constante especificada en una columna de la hoja de cálculo.- Para Firestone, capturamos hoja de cálculo.- Para Firestone, capturamos 40000 en la columna A1.-40000 en la columna A1.-

A continuación describiremos los pasos para A continuación describiremos los pasos para calcular probabilidades acumuladas de que la calcular probabilidades acumuladas de que la variable aleatoria normal asuma un valor variable aleatoria normal asuma un valor menor que o igual a 40000 kilómetros.-menor que o igual a 40000 kilómetros.-

Paso 1: seleccione el menú Calc.Paso 1: seleccione el menú Calc.Paso 2: Seleccione Distribuciones de Paso 2: Seleccione Distribuciones de

probabilidad.-probabilidad.-Paso 3:seleccione la opción Normal.-Paso 3:seleccione la opción Normal.-

Paso 4: Cuando aparezca el cuadro de dialogo,Paso 4: Cuando aparezca el cuadro de dialogo, seleccione Probabilidad Acumuladaseleccione Probabilidad Acumulada Teclee 36500 en el cuadro de mediaTeclee 36500 en el cuadro de media Teclee 5000 en el cuadro de desviaciónTeclee 5000 en el cuadro de desviación Teclee en el cuadro de Imputar columna, Teclee en el cuadro de Imputar columna, C1 (es la columna que contiene 40000)C1 (es la columna que contiene 40000) Seleccione Aceptar.- Seleccione Aceptar.-

Minitab indicará que esa probabilidad es de Minitab indicará que esa probabilidad es de 0.7580.- Como nos interesa la probabilidad de 0.7580.- Como nos interesa la probabilidad de que la duración en kilómetros sea mayor que la duración en kilómetros sea mayor 40000, la probabilidad que buscamos será:40000, la probabilidad que buscamos será:

1 - 0.7580 = 0.2420 24 %1 - 0.7580 = 0.2420 24 %

b) Para resolver este inciso se debe proceder de b) Para resolver este inciso se debe proceder de la siguiente manera en Minitab.-la siguiente manera en Minitab.-

Coloque en la columna C1, 0,10 que es la Coloque en la columna C1, 0,10 que es la probabilidad acumulada que se busca.-probabilidad acumulada que se busca.-

Paso 1, 2, y 3 igual que antes.-Paso 1, 2, y 3 igual que antes.-Paso 4: seleccione inversa probabilidad Paso 4: seleccione inversa probabilidad

acumulada.-acumulada.-A continuación el programa le va a mostrar que A continuación el programa le va a mostrar que

la garantía de duración debe ser de 30100 la garantía de duración debe ser de 30100 kilómetros.-kilómetros.-

EVALUACIONEVALUACION

DE LADE LA

NORMALIDADNORMALIDAD

Ya hemos visto que Ya hemos visto que muchas de las variables muchas de las variables que trabajamos en las que trabajamos en las distintas disciplinas, se distintas disciplinas, se asemejan a la distribución asemejan a la distribución normal.- Sin embargo, normal.- Sin embargo, podemos encontrarnos podemos encontrarnos con variables importantes con variables importantes que ni siguiera se que ni siguiera se aproximan a la aproximan a la distribución normal.- distribución normal.- Vamos a ver ahora dos Vamos a ver ahora dos métodos para ver si un métodos para ver si un conjunto de datos pueden conjunto de datos pueden ser aproximados por una ser aproximados por una distribución normal.-distribución normal.-

1.- Compare las 1.- Compare las características del características del

conjunto de datos con las conjunto de datos con las propiedades de la propiedades de la

distribución normal.-distribución normal.-

2.- Construcción de un 2.- Construcción de un plano de probabilidad plano de probabilidad

normalnormal

1.- Evaluación de las propiedades.-1.- Evaluación de las propiedades.-

La distribución normal tiene varias propiedades teóricas La distribución normal tiene varias propiedades teóricas importantes:importantes:

• Es simétrica, por lo tanto, la media y la mediana son Es simétrica, por lo tanto, la media y la mediana son iguales.-iguales.-

• Tiene forma de campana, por lo que se aplica la regla Tiene forma de campana, por lo que se aplica la regla empírica.-empírica.-

• El rango intercuartil es igual a 1,33 desviaciones El rango intercuartil es igual a 1,33 desviaciones estándar.-estándar.-

• El rango es infinito.-El rango es infinito.-

En la práctica, algunas variables continuas tienen En la práctica, algunas variables continuas tienen característica que se acercan a las propiedades característica que se acercan a las propiedades teóricas.-teóricas.-

Sin embargo, muchas variables continuas no son Sin embargo, muchas variables continuas no son distribuidas normalmente, ni tampoco distribuidas distribuidas normalmente, ni tampoco distribuidas aproximadamente.- Para tales variables, las aproximadamente.- Para tales variables, las características descriptivas de los datos no características descriptivas de los datos no corresponden bien con las propiedades de la distribución corresponden bien con las propiedades de la distribución normal.- Un enfoque para verificar la normalidad normal.- Un enfoque para verificar la normalidad consiste en comparar las características de los datos consiste en comparar las características de los datos actuales con las propiedades correspondientes que actuales con las propiedades correspondientes que subyacen a la distribución normal, como sigue:subyacen a la distribución normal, como sigue:

Construya gráficas y observe su apariencia.- Para Construya gráficas y observe su apariencia.- Para conjuntos de datos pequeños o de tamaño moderado, conjuntos de datos pequeños o de tamaño moderado, diseñe un diagrama de tallo y hoja o una gráfica de caja y diseñe un diagrama de tallo y hoja o una gráfica de caja y bigote.- Para conjuntos más grandes elabore una bigote.- Para conjuntos más grandes elabore una distribución de frecuencia y trace el histograma o distribución de frecuencia y trace el histograma o polígono de frecuencia.-polígono de frecuencia.-

Calcule medidas numéricas descriptivas y compare las Calcule medidas numéricas descriptivas y compare las características de los datos con las propiedades teóricas características de los datos con las propiedades teóricas de una distribución normal.- Compare la media y la de una distribución normal.- Compare la media y la mediana.- ¿El rango intercuartil es aproximadamente mediana.- ¿El rango intercuartil es aproximadamente 1,33 veces la desviación estándar?.- ¿es el rango 1,33 veces la desviación estándar?.- ¿es el rango aproximadamente 6 veces la desviación estándar?.-aproximadamente 6 veces la desviación estándar?.-

Evalué como se distribuyen los datos.- Determine si Evalué como se distribuyen los datos.- Determine si aproximadamente dos tercio de los valores caen entre la aproximadamente dos tercio de los valores caen entre la media media ± 1 desviación estándar.- Determine si ± 1 desviación estándar.- Determine si aproximadamente cuatro quinto de los valores caen aproximadamente cuatro quinto de los valores caen entre la media ± 1,28 desviaciones estándar.- Determine entre la media ± 1,28 desviaciones estándar.- Determine si aproximadamente si 19 de cada 20 valores caen entre si aproximadamente si 19 de cada 20 valores caen entre la media ± 2 desviaciones estándar.- la media ± 2 desviaciones estándar.-

Veamos todo esto mediante un ejemplo.-Veamos todo esto mediante un ejemplo.-

Los datos siguientes corresponde al costo de la Los datos siguientes corresponde al costo de la electricidad durante el mes de julio del 2006 para una electricidad durante el mes de julio del 2006 para una muestra de 50 departamentos de dos ambientes en una muestra de 50 departamentos de dos ambientes en una determinada ciudad.determinada ciudad.

9696 171171 202202 178178 147147 102102 153153 197197 127127 8282

157157 185185 9090 116116 172172 111111 148148 213213 130130 165165

141141 149149 206206 175175 123123 128128 144144 168168 109109 167167

9393 163163 150150 154154 130130 143143 187187 166166 139139 149149

108108 119119 183183 151151 114114 135135 191191 137137 129129 158158

Variable N Mean SE Mean StDev Variance CoefVar SumVariable N Mean SE Mean StDev Variance CoefVar SumCosto energía 50 147,06 4,48 31,69 1004,34 21,55 7353,00Costo energía 50 147,06 4,48 31,69 1004,34 21,55 7353,00

Variable Minimum Q1 Median Q3 Maximum Range IQRVariable Minimum Q1 Median Q3 Maximum Range IQRCosto energía 82,00 126,00 148,50 168,75 213,00 131,00 42,75Costo energía 82,00 126,00 148,50 168,75 213,00 131,00 42,75

Variable Skewness KurtosisVariable Skewness KurtosisCosto energía 0,02 -0,54Costo energía 0,02 -0,54

De esta tabla y del gráfico se desprende que:De esta tabla y del gráfico se desprende que:

a)a) La media es menor que la mediana.-La media es menor que la mediana.-

b)b) La gráfica de caja y bigote aparece ligeramente La gráfica de caja y bigote aparece ligeramente sesgada hacia la izquierda y no hay aparentemente sesgada hacia la izquierda y no hay aparentemente valores atípicos.-valores atípicos.-

c)c) El rango intercuartílico de 42,75 está El rango intercuartílico de 42,75 está aproximadamente a 1,33 desviaciones estándar.-aproximadamente a 1,33 desviaciones estándar.-

d) El rango de 131,0 es igual a 4,13 desviaciones d) El rango de 131,0 es igual a 4,13 desviaciones estándar de la media.-estándar de la media.-

e) El 68% de los datos están dentro de e) El 68% de los datos están dentro de ± 1 desviación ± 1 desviación estándar.-estándar.-

f) El 75% de los datos están dentro de ± 2 desviaciones f) El 75% de los datos están dentro de ± 2 desviaciones estándar.- estándar.-

Podemos concluir que a pesar de que el Podemos concluir que a pesar de que el diagrama de caja presenta una pequeña diagrama de caja presenta una pequeña asimetría a izquierda y todo lo dicho asimetría a izquierda y todo lo dicho anteriormente que los costos de energía de los anteriormente que los costos de energía de los 50 departamentos, están aproximadamente 50 departamentos, están aproximadamente distribuidos de forma normal.- distribuidos de forma normal.-

Cost

o e

nerg

ia

220

200

180

160

140

120

100

80

Boxplot of Costo energia

2.- Construcción de un plano de distribución normal.-2.- Construcción de un plano de distribución normal.-

Se realiza mediante algún paquete de computación, Se realiza mediante algún paquete de computación, (veremos esto en Minitab).- Transforma el eje Y de una (veremos esto en Minitab).- Transforma el eje Y de una manera un poco complicada que va más allá del objetivo manera un poco complicada que va más allá del objetivo de esta Unidad.- Una vez más, si los datos se distribuyen de esta Unidad.- Una vez más, si los datos se distribuyen de forma normal, los puntos se trazarán de forma normal, los puntos se trazarán aproximadamente a lo largo de una línea recta.-aproximadamente a lo largo de una línea recta.-

%% %% %%

a)a) b)b) c)c)

Sesgada a izquierdaSesgada a izquierda NormalNormal Sesgada a derechaSesgada a derecha

Si los datos están sesgados hacia la izquierda, la curva Si los datos están sesgados hacia la izquierda, la curva se elevará más rápidamente al inicio y después se elevará más rápidamente al inicio y después disminuirá.- disminuirá.-

Si los datos están sesgados hacia la derecha, los datos Si los datos están sesgados hacia la derecha, los datos se elevarán lentamente al inicio y después se elevarán se elevarán lentamente al inicio y después se elevarán a una tasa más rápida para los valores más altos de la a una tasa más rápida para los valores más altos de la variable a trazar.-variable a trazar.-

Si los puntos caen casi totalmente sobre la línea recta, Si los puntos caen casi totalmente sobre la línea recta, diremos que los datos se distribuyen normalmente.-diremos que los datos se distribuyen normalmente.-

Para determinar mediante Minitab, si los datos Para determinar mediante Minitab, si los datos tienen una distribución normal, cargaremos los tienen una distribución normal, cargaremos los datos individualmente y luego buscamos en datos individualmente y luego buscamos en Estadísticas, el Probability Plot.- En muestro Estadísticas, el Probability Plot.- En muestro caso será:caso será:

Costo energia

Perc

ent

2402202001801601401201008060

99

95

90

80

70

605040

30

20

10

5

1

Mean

0,995

147,1StDev 31,69N 50AD 0,101P-Value

Probability Plot of Costo energiaNormal

EJERCICIOSEJERCICIOS

1.- Un cliente tiene una cartera de inversión cuyo valor 1.- Un cliente tiene una cartera de inversión cuyo valor medio es de $500000 y cuya desviación estándar es de medio es de $500000 y cuya desviación estándar es de 15000$.- Le han pedidlo que calcule la probabilidad de 15000$.- Le han pedidlo que calcule la probabilidad de que el valor de su cartera este entre 485000 y 530000$.-que el valor de su cartera este entre 485000 y 530000$.-

2.- Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los 2.- Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de textos en un año en una estudiantes en libros de textos en un año en una universidad sigue una distribución normal que tiene universidad sigue una distribución normal que tiene una media de 380$ y una desviación estándar de 50$.-una media de 380$ y una desviación estándar de 50$.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de 400$ en libros de aleatoriamente gaste menos de 400$ en libros de textos en un año?.-textos en un año?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste mas de 360$ en libros de textos aleatoriamente gaste mas de 360$ en libros de textos en un año?.-en un año?.-

c) Explique gráficamente por que las respuestas de los c) Explique gráficamente por que las respuestas de los incisos a) y b) son iguales?.-incisos a) y b) son iguales?.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre 300 y 400$ en libros de textos aleatoriamente gaste entre 300 y 400$ en libros de textos en un año?.-en un año?.-

e) Quiere hallar un intervalo de gasto en libros de textos e) Quiere hallar un intervalo de gasto en libros de textos que incluya el 80 por ciento de todos los estudiantes de que incluya el 80 por ciento de todos los estudiantes de esta universidad.- Explique por que podría encontrarse esta universidad.- Explique por que podría encontrarse cualquier numero de intervalos que lo incluya y halle el cualquier numero de intervalos que lo incluya y halle el mas corto.-mas corto.-

3.- La demanda de consumo de un producto prevista para 3.- La demanda de consumo de un producto prevista para el próximo mes puede representarse por medio de una el próximo mes puede representarse por medio de una variable aleatoria normal que tiene una media de 1200 variable aleatoria normal que tiene una media de 1200 unidades y una desviación estándar de 100 unidades.- unidades y una desviación estándar de 100 unidades.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas superen las ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas superen las 1000 unidades?.-1000 unidades?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas se ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas se encuentren entre 1000 y 1300 unidades?.-encuentren entre 1000 y 1300 unidades?.-

c)c) Cual es el valor de probabilidades de ventas en Cual es el valor de probabilidades de ventas en unidades si lo supera solo el 0,10?.- unidades si lo supera solo el 0,10?.-

4.- La duración de una determinada marca de neumáticos 4.- La duración de una determinada marca de neumáticos sigue una distribución normal que tiene una media de sigue una distribución normal que tiene una media de 35000 kilómetros y una desviación estándar de 4000 35000 kilómetros y una desviación estándar de 4000 kilómetros.-kilómetros.-

a)a) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una duración de mas de 38000 kilómetros?.-duración de mas de 38000 kilómetros?.-

b)b) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una duración de menos de 38000 kilómetros?.-duración de menos de 38000 kilómetros?.-

c) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una c) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una duración de entre 32000 y 38000 kilómetros?.-duración de entre 32000 y 38000 kilómetros?.-

d) Represente gráficamente la función de densidad de las d) Represente gráficamente la función de densidad de las duraciones mostrando:duraciones mostrando:

i) Por que las respuestas de los apartados a) y b) son i) Por que las respuestas de los apartados a) y b) son igualesiguales

ii) Por que las respuestas de los apartados a), b) y c) ii) Por que las respuestas de los apartados a), b) y c) suman uno.-suman uno.-

5) Una cartera de inversión contiene acciones de un gran 5) Una cartera de inversión contiene acciones de un gran numero de empresas.- El año pasado, las tasas de numero de empresas.- El año pasado, las tasas de rendimiento de estas acciones siguieron una rendimiento de estas acciones siguieron una distribución normal que tenia una media de 12,2 por distribución normal que tenia una media de 12,2 por ciento y una desviación estándar de 7,2 por ciento.-ciento y una desviación estándar de 7,2 por ciento.-

a)a) ¿De que proporción de estas empresas fue la tasa de ¿De que proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento de mas del 20 por ciento?.-rendimiento de mas del 20 por ciento?.-

b)b) ¿De que proporción de estas empresas fue la tasa de ¿De que proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento menos del 17 por ciento?.-rendimiento menos del 17 por ciento?.-

c)c) ¿De que proporción de estas empresas fue la tasa de ¿De que proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento de entre el 5 y el 15 por ciento?.-rendimiento de entre el 5 y el 15 por ciento?.-

6.- Una empresa produce sacos de un producto químico 6.- Una empresa produce sacos de un producto químico y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen.- y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen.- Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue una distribución normal que tiene una media de 12,2 una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación estándar de 2,6 gramos.- Se gramos y una desviación estándar de 2,6 gramos.- Se elige aleatoriamente un saco;elige aleatoriamente un saco;

a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?.-gramos de impurezas?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga mas de 15 b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga mas de 15 gramos de impurezas?.-gramos de impurezas?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?.-gramos de impurezas?.-

d) Es posible deducir, sin realizar los cálculos detallados, d) Es posible deducir, sin realizar los cálculos detallados, cual de las respuesta a los apartados a) y b) es mayor.- cual de las respuesta a los apartados a) y b) es mayor.- ¿Cómo?.-¿Cómo?.-

7.- Un contratista considera que el costo de cumplir un 7.- Un contratista considera que el costo de cumplir un contrato es una variable aleatoria que sigue una contrato es una variable aleatoria que sigue una distribución normal que tiene una media de 500000$ y distribución normal que tiene una media de 500000$ y una desviación estándar de 50000$.-una desviación estándar de 50000$.-

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de cumplir el a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de cumplir el contrato este entre 400000 y 540000$?.-contrato este entre 400000 y 540000$?.-

b) La probabilidad de que el costo de cumplir el contrato b) La probabilidad de que el costo de cumplir el contrato cueste menos de ……. Es 0,20.-cueste menos de ……. Es 0,20.-

c) Halle el intervalo mas corto tal que la probabilidad de c) Halle el intervalo mas corto tal que la probabilidad de que el costo de cumplir el contrato este en este que el costo de cumplir el contrato este en este intervalo sea de 0,95.-intervalo sea de 0,95.-

8.- Los chóferes del Sindicato de Ómnibus de Larga 8.- Los chóferes del Sindicato de Ómnibus de Larga Distancia, gana un salario promedio de 17,15$ por Distancia, gana un salario promedio de 17,15$ por hora.- Suponga que los datos disponibles indica que hora.- Suponga que los datos disponibles indica que los sueldos promedio se distribuyen normalmente con los sueldos promedio se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 2,25$.-una desviación estándar de 2,25$.-

a) Cual es la probabilidad de que los salarios estén entre a) Cual es la probabilidad de que los salarios estén entre 15 y 20$ por hora.-15 y 20$ por hora.-

b) Cual es el salario por hora correspondiente al 15% b) Cual es el salario por hora correspondiente al 15% mejor pagado de los chóferes del Sindicato.-mejor pagado de los chóferes del Sindicato.-

c) Cual es la probabilidad de que los sueldos sean c) Cual es la probabilidad de que los sueldos sean menores de 12$ por hora.-menores de 12$ por hora.-

9.- Muchos problemas de producción se relaciona con 9.- Muchos problemas de producción se relaciona con la unión exacta de partes de maquinarias, como la unión exacta de partes de maquinarias, como flechas, que caben en el orificio de una válvula.- Un flechas, que caben en el orificio de una válvula.- Un diseño en particular requiere de una flecha con un diseño en particular requiere de una flecha con un diámetro de 22,00 mm, pero las flechas con diámetro de 22,00 mm, pero las flechas con diámetros entre 21,900 mm y 22,010 mm son diámetros entre 21,900 mm y 22,010 mm son aceptables.- Suponga que el proceso de aceptables.- Suponga que el proceso de manufactura fabrica flechas con diámetros que se manufactura fabrica flechas con diámetros que se distribuyen normalmente con una media de 22,002 distribuyen normalmente con una media de 22,002 mm y con una desviación estándar de 0,005 mm.- mm y con una desviación estándar de 0,005 mm.- Para este proceso, ¿Cuál es:Para este proceso, ¿Cuál es:

a)a) La proporción de flechas con un diámetro entre La proporción de flechas con un diámetro entre 21,90 mm y 22,00 mm.-21,90 mm y 22,00 mm.-

b)b) La probabilidad de que una flecha sea aceptada?La probabilidad de que una flecha sea aceptada?c)c) el diámetro si solo el 2% de las flechas excederán?el diámetro si solo el 2% de las flechas excederán?d)d) Que pasa en los incisos a) y c) si el Que pasa en los incisos a) y c) si el σσ = =

0,004mm?.-0,004mm?.-

10) El tiempo necesario para terminar un examen final en 10) El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se distribuye normalmente con 80 determinado curso se distribuye normalmente con 80 minutos de media y 10 minutos de desviación minutos de media y 10 minutos de desviación estándar.- Con este dato conteste lo siguiente:estándar.- Con este dato conteste lo siguiente:

a) Cual es la probabilidad de terminar el examen en una a) Cual es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos.-hora o menos.-

b) Cual es la probabilidad de que un alumno termine un b) Cual es la probabilidad de que un alumno termine un examen en más de 60 minutos pero en menos de 75 examen en más de 60 minutos pero en menos de 75 minutos.-minutos.-

c) Suponga que en el grupo hay 60 alumnos y que el c) Suponga que en el grupo hay 60 alumnos y que el tiempo de examen es de 90 minutos.- ¿Cuántos tiempo de examen es de 90 minutos.- ¿Cuántos alumnos espera que no puedan terminar el examen en alumnos espera que no puedan terminar el examen en el tiempo indicado?.-el tiempo indicado?.-

11) El tiempo de espera X en un Banco tiene una 11) El tiempo de espera X en un Banco tiene una distribución normal con una media de 3,7 minutos y distribución normal con una media de 3,7 minutos y una desviación estándar de 1,4 minutos.una desviación estándar de 1,4 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido al a) Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido al azar, haya tenido que esperar menos de 2,0 minutos?azar, haya tenido que esperar menos de 2,0 minutos?

b) Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido en b) Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido en forma aleatoria haya tenido que esperar más de 6 forma aleatoria haya tenido que esperar más de 6 minutos?minutos?

c) Encuentre el valor del percentil 75 % para X?c) Encuentre el valor del percentil 75 % para X?

12.- El diámetro del eje de una unidad de almacenamiento 12.- El diámetro del eje de una unidad de almacenamiento óptico tiene una distribución normal con una media óptico tiene una distribución normal con una media igual a 0,2508 pulgadas y una desviación estándar de igual a 0,2508 pulgadas y una desviación estándar de 0,0005 pulgadas. Las especificaciones del diámetro 0,0005 pulgadas. Las especificaciones del diámetro del eje son 0,2500 del eje son 0,2500 0,0015 pulgadas- 0,0015 pulgadas-

¿Que proporción de ejes cumplen con este requisito?¿Que proporción de ejes cumplen con este requisito?

14.- La resistencia de un medidor de deformación está 14.- La resistencia de un medidor de deformación está distribuido normalmente con una media igual a 120,0 distribuido normalmente con una media igual a 120,0 ohm. y una desviación estándar de 0,4 ohm..ohm. y una desviación estándar de 0,4 ohm..

Los límites de especificación están dados por 120,0 Los límites de especificación están dados por 120,0 0,5 ohm.0,5 ohm.

Que porcentaje de medidores estará defectuoso?Que porcentaje de medidores estará defectuoso?

13) Las ausencias por enfermedad de los empleados de 13) Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tiene una distribución normal una empresa en un mes tiene una distribución normal con promedio 200 horas y una variancia de 400 con promedio 200 horas y una variancia de 400 horas².- horas².-

a) Calcular la probabilidad de que el mes próximo, el a) Calcular la probabilidad de que el mes próximo, el ausentismo total por enfermedad sea menor de 150 ausentismo total por enfermedad sea menor de 150 horas.-horas.-

b) Para planear el programa del mes próximo. Cuánto b) Para planear el programa del mes próximo. Cuánto tiempo debe suponer darse al ausentismo por tiempo debe suponer darse al ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad sola se debe superar enfermedad, si aquella cantidad sola se debe superar con una probabilidad de tan solo 0,10?con una probabilidad de tan solo 0,10?

15.- La cantidad semanal que una Cía. Gasta en 15.- La cantidad semanal que una Cía. Gasta en mantenimiento y reparaciones tiene una distribución mantenimiento y reparaciones tiene una distribución normal aproximada cuyo promedio es de 400 $ y su normal aproximada cuyo promedio es de 400 $ y su desviación estándar de 20 $. Si el presupuesto para desviación estándar de 20 $. Si el presupuesto para cubrir los gastos de reparación para la semana cubrir los gastos de reparación para la semana siguiente es de 450 $.siguiente es de 450 $.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad supuesta?mayores que la cantidad supuesta?

b) ¿De cuanto debe ser el presupuesto semanal para b) ¿De cuanto debe ser el presupuesto semanal para mantenimiento y reparaciones para que tan solo lo mantenimiento y reparaciones para que tan solo lo supere con una probabilidad de 0,1?supere con una probabilidad de 0,1?

16.- Estoy considerando dos inversiones 16.- Estoy considerando dos inversiones distintas.- No estoy seguro de ninguno de los distintas.- No estoy seguro de ninguno de los dos casos del rendimiento porcentual, pero dos casos del rendimiento porcentual, pero creo que mi incertidumbre puede creo que mi incertidumbre puede representarse por medio de distribuciones representarse por medio de distribuciones normales, que tienen las medias y las normales, que tienen las medias y las desviaciones estándar mostradas en la desviaciones estándar mostradas en la siguiente tabla.- Quiero hacer la inversión que siguiente tabla.- Quiero hacer la inversión que tenga más probabilidad de generar rendimiento tenga más probabilidad de generar rendimiento de al menos un 10 por ciento.- ¿ Cual debo de al menos un 10 por ciento.- ¿ Cual debo elegir?.-elegir?.-

Inversión Media Desviación

A 10,4 1,2

B 11,0 4,0

17.- Una empresa puede comprar una materia prima a 17.- Una empresa puede comprar una materia prima a dos proveedores y les preocupa la cantidad de dos proveedores y les preocupa la cantidad de impurezas que contiene.- El examen de los datos de impurezas que contiene.- El examen de los datos de cada proveedor indica que los niveles porcentuales cada proveedor indica que los niveles porcentuales de impurezas de los envíos de la materia prima de impurezas de los envíos de la materia prima recibidas siguen una distribución normal que tienen recibidas siguen una distribución normal que tienen las medias y desviaciones que se muestran en la las medias y desviaciones que se muestran en la tabla.- La empresa tiene especial interés en que el nivel tabla.- La empresa tiene especial interés en que el nivel de impurezas de un envío no supere el 5 por ciento y de impurezas de un envío no supere el 5 por ciento y quiere comprar al proveedor que tenga más quiere comprar al proveedor que tenga más probabilidades de cumplir esa condición.- ¿Qué probabilidades de cumplir esa condición.- ¿Qué proveedor debe elegir?.-proveedor debe elegir?.-

Proveedor Media Desvío

A 4,4 0,4

B 4,2 0,6

APROXIMACION APROXIMACION NORMAL NORMAL

A LAA LA

DISTRIBUCION DISTRIBUCION BINOMIAL.-BINOMIAL.-

Cuando nos encontramos con un experimento que Cuando nos encontramos con un experimento que cumple con las condiciones de ser un problema cumple con las condiciones de ser un problema binomial, donde el número de ensayos n es mayor de binomial, donde el número de ensayos n es mayor de 20 intentos, los cálculos son muy engorrosos, en estos 20 intentos, los cálculos son muy engorrosos, en estos casos recurrimos a la distribución de probabilidad casos recurrimos a la distribución de probabilidad normal, donde sabemos que para n p normal, donde sabemos que para n p ≥ 5,0 y también n ≥ 5,0 y también n (1 – p) ≥ 5,0, la distribución normal da como resultado (1 – p) ≥ 5,0, la distribución normal da como resultado una aproximación a las probabilidades binomiales y es una aproximación a las probabilidades binomiales y es fácil de calcular.-fácil de calcular.-

Lo primero que debemos hacer es calcular los Lo primero que debemos hacer es calcular los parámetros de la normal en función de la binomial, parámetros de la normal en función de la binomial, entonces será:entonces será:

µ = n p µ = n p σσ = n p (1 - p) = n p (1 - p)

Como estamos usando una distribución de probabilidad continua Como estamos usando una distribución de probabilidad continua para aproximar a una distribución discreta como es la binomial, para aproximar a una distribución discreta como es la binomial,

debemos usar lo que llamamos debemos usar lo que llamamos factor de corrección factor de corrección por continuidadpor continuidad,, que consiste en sumar o restar al valor que consiste en sumar o restar al valor

que toma la variable aleatoria X, 0,5 según corresponda.-que toma la variable aleatoria X, 0,5 según corresponda.-

Veamos algunos ejemplos.-Veamos algunos ejemplos.-

1) Un Laboratorio de medicamentos realiza pruebas clínicas con 1) Un Laboratorio de medicamentos realiza pruebas clínicas con 100 nuevos fármacos potenciales.- Cerca del 20 % de las 100 nuevos fármacos potenciales.- Cerca del 20 % de las sustancias que alcanzan esta etapa reciben finalmente la sustancias que alcanzan esta etapa reciben finalmente la aprobación para su ventas.-aprobación para su ventas.-

¿Cuál es la probabilidad de que se aprueben al menos 15 de los ¿Cuál es la probabilidad de que se aprueben al menos 15 de los 100 medicamentos?.- Suponga que se satisfacen las hipótesis 100 medicamentos?.- Suponga que se satisfacen las hipótesis de la distribución binomial .-de la distribución binomial .-

SoluciónSolución

µ = n p = 100 * 0,20 = 20µ = n p = 100 * 0,20 = 20

σσ = n p (1 – p) = 100 * 0,20 * 0,80 = 16 = 4 = n p (1 – p) = 100 * 0,20 * 0,80 = 16 = 4

Como se pide la probabilidad de que al menos 15 se aprueben Como se pide la probabilidad de que al menos 15 se aprueben este es el valor mínimo que puede tomar, entonces debo restar el este es el valor mínimo que puede tomar, entonces debo restar el factor de corrección.-factor de corrección.-

14,5 20 X14,5 20 X

- 1,38 0 Z- 1,38 0 Z

P (X ≥ 15) = P ( X ≥ 14,5) = P ( Z ≥ - 1,38) = 1 - F ( - 1,38) = P (X ≥ 15) = P ( X ≥ 14,5) = P ( Z ≥ - 1,38) = 1 - F ( - 1,38) =

= 1 - 0,0838 = 0,9162 = 1 - 0,0838 = 0,9162 92% 92%

2) Un proceso de fabricación de chips produce 2 % de chips 2) Un proceso de fabricación de chips produce 2 % de chips defectuosos.- Suponga que los chips son independientes y que defectuosos.- Suponga que los chips son independientes y que un lote contiene 1000 de ellos.-un lote contiene 1000 de ellos.-

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el lote contenga entre 20 y a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el lote contenga entre 20 y 30 chips defectuosos?.-30 chips defectuosos?.-

b.- ¿ Cual es la probabilidad de que el lote contenga b.- ¿ Cual es la probabilidad de que el lote contenga exactamente 20 chips defectuosos?.-exactamente 20 chips defectuosos?.-

SoluciónSolución

µ = n p = 1000 * 0,02 = 20µ = n p = 1000 * 0,02 = 20

σσ = n p (1 - p) = 1000 0,02 0,98 = = n p (1 - p) = 1000 0,02 0,98 =

= 19,6 = 4,43= 19,6 = 4,43

a.- Entre 20 y 30 chips defectuosos.-a.- Entre 20 y 30 chips defectuosos.-

20 20,5 29,5 X 20 20,5 29,5 X

0 0,11 2,14 Z0 0,11 2,14 Z

P ( 20,5 P ( 20,5 ≤ X ≤ 29,5) = P ( 0,11 ≤ Z ≤ 2,14) =≤ X ≤ 29,5) = P ( 0,11 ≤ Z ≤ 2,14) =

= F (2,14) - F ( 0,11) == F (2,14) - F ( 0,11) =

= 0,9838 - 0,5438 = 0,44 = 0,9838 - 0,5438 = 0,44 44 % 44 %

b.-Exactamente 20 chips defectuosos.-b.-Exactamente 20 chips defectuosos.-

19,5 20 20,5 X 19,5 20 20,5 X

- 0,11 0 0,11 Z- 0,11 0 0,11 Z

P ( 19,5 P ( 19,5 ≤ X ≤ 20,5) = P ( - 0,11 ≤ Z ≤ 0,11) =≤ X ≤ 20,5) = P ( - 0,11 ≤ Z ≤ 0,11) =

= F ( 0,11) - F ( - 0,11) == F ( 0,11) - F ( - 0,11) =

= 0,5438 - 0,4562 = 0,0876 = 0,5438 - 0,4562 = 0,0876 9 % 9 %

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASEEJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

1.- Una vendedora se pone en contacto por teléfono con 1.- Una vendedora se pone en contacto por teléfono con posibles clientes en un intento de averiguar si es posibles clientes en un intento de averiguar si es probable que merezca la pena ir a su casa a verlos.- Su probable que merezca la pena ir a su casa a verlos.- Su experiencia sugiere que en el 40 por ciento de los experiencia sugiere que en el 40 por ciento de los contactos iniciales acaba yendo a casa del cliente.- Si se contactos iniciales acaba yendo a casa del cliente.- Si se pone en contacto con 100 personas por teléfono, ¿Cuál pone en contacto con 100 personas por teléfono, ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a ver entre 45 y 50 es la probabilidad de que vaya a ver entre 45 y 50 clientes?.-clientes?.-

2.- Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una 2.- Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una gran empresa para saber que piensan de un nuevo plan gran empresa para saber que piensan de un nuevo plan de trabajo propuesto.- Si el 60 por ciento de todos los de trabajo propuesto.- Si el 60 por ciento de todos los obreros es partidario del nuevo plan, ¿Cuál es la obreros es partidario del nuevo plan, ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra son partidario del plan?.-la muestra son partidario del plan?.-

EJERCICIOS DEEJERCICIOS DE

APROXIMACIONAPROXIMACION

1.- Una compañía de alquiler de automóvil ha observado 1.- Una compañía de alquiler de automóvil ha observado que la probabilidad de que un automóvil necesite una que la probabilidad de que un automóvil necesite una reparación en un mes cualquiera dado es 0,2.- La reparación en un mes cualquiera dado es 0,2.- La compañía tiene 900 automóviles:compañía tiene 900 automóviles:

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que mas de 200 automóvil ¿Cuál es la probabilidad de que mas de 200 automóvil necesiten una reparación en un mes determinado?.-necesiten una reparación en un mes determinado?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 175 ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 175 automóviles necesiten una reparación en un mes automóviles necesiten una reparación en un mes determinado?.-determinado?.-

2.- Se sabe que el 10 por ciento de todos los artículos 2.- Se sabe que el 10 por ciento de todos los artículos que salen de un determinado proceso de producción que salen de un determinado proceso de producción tiene un defecto.- Se eligen aleatoriamente 400 tiene un defecto.- Se eligen aleatoriamente 400 artículos de un elevado volumen de producción de un artículos de un elevado volumen de producción de un día.-día.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de los ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de los artículos seleccionados tengan un defecto?.-artículos seleccionados tengan un defecto?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los artículos seleccionados tenga un defecto?.-artículos seleccionados tenga un defecto?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 34 y 48 de los ¿Cuál es la probabilidad de que entre 34 y 48 de los artículos seleccionados tenga un defecto?.-artículos seleccionados tenga un defecto?.-

d)d) Sin realizan los cálculos, indique cual de los Sin realizan los cálculos, indique cual de los siguientes intervalos de artículos defectuosos tiene la siguientes intervalos de artículos defectuosos tiene la probabilidad mas alta: 38 – 39, 40 – 41, 42 – 43, 44 – probabilidad mas alta: 38 – 39, 40 – 41, 42 – 43, 44 – 45, 46 – 47 ?.- 45, 46 – 47 ?.-

3.- Un hospital observa que el 25 por ciento de sus 3.- Un hospital observa que el 25 por ciento de sus facturas tienen al menos un mes de retraso.- Se toma facturas tienen al menos un mes de retraso.- Se toma una muestra aleatoria de 450 facturas:una muestra aleatoria de 450 facturas:

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 100 facturas ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 100 facturas de la muestra tenga al menos un año de retraso?.-de la muestra tenga al menos un año de retraso?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que el numero de facturas ¿Cuál es la probabilidad de que el numero de facturas de la muestra que tiene al menos un año de retraso de la muestra que tiene al menos un año de retraso este entre 120 y 150 inclusive?.-este entre 120 y 150 inclusive?.-

6.- La duración de una marca de neumáticos puede 6.- La duración de una marca de neumáticos puede representarse por medio de una distribución normal que representarse por medio de una distribución normal que tiene una media de 35000 kilómetros y una desviación tiene una media de 35000 kilómetros y una desviación estándar de 4000 kilómetros.- Se toma una muestra de estándar de 4000 kilómetros.- Se toma una muestra de 100 neumáticos, ¿Cuál es la probabilidad de que mas de 100 neumáticos, ¿Cuál es la probabilidad de que mas de 25 tenga una duración de mas de 38000 kilómetros?.-25 tenga una duración de mas de 38000 kilómetros?.-

7.- Los sacos de un producto químico de una empresa 7.- Los sacos de un producto químico de una empresa tienen un peso de impureza que puede representarse por tienen un peso de impureza que puede representarse por medio de una distribución normal que tiene una media medio de una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación estándar de 2,8 de 12,2 gramos y una desviación estándar de 2,8 gramos.- gramos.-

Se toma una muestra aleatoria de 400 de estos sacos.- Se toma una muestra aleatoria de 400 de estos sacos.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 100 contengan ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 100 contengan menos de 10 gramos de impurezas?.-menos de 10 gramos de impurezas?.-

8.- La tasa real de desempleo es de 4,6 %.- 8.- La tasa real de desempleo es de 4,6 %.- Suponga que se seleccionan a al azar 100 Suponga que se seleccionan a al azar 100 personas en posibilidad de trabajar.-personas en posibilidad de trabajar.-

a) ¿Cuál es la media de desempleados?.-a) ¿Cuál es la media de desempleados?.-b) ¿Cuál es la variancia y desviación estándar b) ¿Cuál es la variancia y desviación estándar

de los desempleados?.-de los desempleados?.-c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente

6 estén desempleados?.-6 estén desempleados?.-d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4

estén desempleados?.-estén desempleados?.-

9.- Se sabe que el 30% de los clientes de una 9.- Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en cero sus saldos para no incurrir en intereses cero sus saldos para no incurrir en intereses moratorias.- Use la aproximación de la moratorias.- Use la aproximación de la distribución binomial para contestar las distribución binomial para contestar las siguientes preguntas para un grupo de 150 siguientes preguntas para un grupo de 150 poseedores de esa tarjeta.-poseedores de esa tarjeta.-

a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 40 a 60 a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 40 a 60 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses?.- Esto es, determine en el pago de intereses?.- Esto es, determine P( 40 P( 40 X X 60).- 60).-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 30 clientes o b) ¿Cuál es la probabilidad de que 30 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir menos paguen sus cuentas antes de incurrir en pago de intereses?.-en pago de intereses?.-

10.- La empresa de Asuntos Fiscales Rosales 10.- La empresa de Asuntos Fiscales Rosales SRL se especializa en las devoluciones de SRL se especializa en las devoluciones de importes de impuestos federales.- Una importes de impuestos federales.- Una reciente auditoria de sus declaraciones indicó reciente auditoria de sus declaraciones indicó que se cometió un error en 10% de las que que se cometió un error en 10% de las que manifestó el año pasado.- Suponiendo que tal manifestó el año pasado.- Suponiendo que tal tasa continua este año y elaboró 60 tasa continua este año y elaboró 60 declaraciones.-¿ Cuál es la probabilidad de declaraciones.-¿ Cuál es la probabilidad de que se realice?:que se realice?:

a) ¿Más de nueve errores?.-a) ¿Más de nueve errores?.-b) ¿Por lo menos 9 errores de ellos?b) ¿Por lo menos 9 errores de ellos?c) ¿Exactamente nueve errores?.-c) ¿Exactamente nueve errores?.-

11.- El Contador de la compañía Forrest Paint, 11.- El Contador de la compañía Forrest Paint, Julio Soria, tiene fama de cometer errores en Julio Soria, tiene fama de cometer errores en el 6% de las facturas que procesa.- La el 6% de las facturas que procesa.- La compañía procesó 400 facturas el mes compañía procesó 400 facturas el mes pasado.-pasado.-

a) En cuantas facturas se espera que haya a) En cuantas facturas se espera que haya errores.-errores.-

b) Determine la probabilidad de que Julio haya b) Determine la probabilidad de que Julio haya cometido menos de 20 errores.-cometido menos de 20 errores.-

c) Determine la probabilidad de que Julio haya c) Determine la probabilidad de que Julio haya cometido más de 30 errores.-cometido más de 30 errores.-

12.- Una casa comercial de tabaco pide que se 12.- Una casa comercial de tabaco pide que se realice un estudio a nivel del Estado español realice un estudio a nivel del Estado español sobre el consumo diario de cigarrillos. La sobre el consumo diario de cigarrillos. La distribución nacional del consumo de distribución nacional del consumo de cigarrillos da una media de 15 con una cigarrillos da una media de 15 con una desviación estándar de 2,5. Se supone que la desviación estándar de 2,5. Se supone que la distribución es normal.distribución es normal.

a) ¿Cuál es el porcentaje de sujetos que fuman a) ¿Cuál es el porcentaje de sujetos que fuman menos de 11 cigarrillos?menos de 11 cigarrillos?

b) Más de 20 cigarrillos.-b) Más de 20 cigarrillos.-c) Menos de 17 cigarrillos.-c) Menos de 17 cigarrillos.-d) Más de 14 cigarrillos.-d) Más de 14 cigarrillos.-e) Más que 8 y menos de 12.-e) Más que 8 y menos de 12.-f) Más que 8 y menos de 20.-f) Más que 8 y menos de 20.-

13.- En una encuesta que realizó el Departamento de 13.- En una encuesta que realizó el Departamento de Trabajo se pregunta a mujeres que trabajan que las Trabajo se pregunta a mujeres que trabajan que las preocupaban más.- Se menciono con mayor preocupaban más.- Se menciono con mayor frecuencia los bajos salarios, la tensión en el trabajo y frecuencia los bajos salarios, la tensión en el trabajo y las prestaciones médicas y al 60% les preocupa más las prestaciones médicas y al 60% les preocupa más el bajo salario.- De esta población se tiene una el bajo salario.- De esta población se tiene una muestra de 500 mujeres que trabajan:muestra de 500 mujeres que trabajan:

a) ¿Cuál es el valor esperado de mujeres que a) ¿Cuál es el valor esperado de mujeres que respondieron que les preocupo el bajo salario?.-respondieron que les preocupo el bajo salario?.-

b) ¿Cuál es la variancia y el desvió estándar de las b) ¿Cuál es la variancia y el desvió estándar de las mujeres que expresan preocupación por el bajo mujeres que expresan preocupación por el bajo salario?.-salario?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 290 y 320 c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 290 y 320 mujeres les preocupe los bajos salarios?.-mujeres les preocupe los bajos salarios?.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que a 325 mujeres o más d) ¿Cuál es la probabilidad de que a 325 mujeres o más les preocupe los bajos salarios?.-les preocupe los bajos salarios?.-

14.- La Empresa Descartes Marketing, una 14.- La Empresa Descartes Marketing, una compañía de ventas por teléfonos, considera la compañía de ventas por teléfonos, considera la posibilidad de adquirir una máquina que posibilidad de adquirir una máquina que selecciona al azar y marca automáticamente los selecciona al azar y marca automáticamente los números telefónicos.- Esa compañía realiza la números telefónicos.- Esa compañía realiza la mayoría de sus llamadas durante la noche, por mayoría de sus llamadas durante la noche, por lo que se desperdician.- El fabricante de la lo que se desperdician.- El fabricante de la máquina asegura que está programada de máquina asegura que está programada de manera que reduce a 15 % la tasa de llamadas a manera que reduce a 15 % la tasa de llamadas a negocios.- Como prueba, se examinó una negocios.- Como prueba, se examinó una muestra de 150 números que la máquina muestra de 150 números que la máquina seleccionó.- Si lo que asegura el fabricante es seleccionó.- Si lo que asegura el fabricante es cierto, ¿cuál es la probabilidad de que más de cierto, ¿cuál es la probabilidad de que más de 30 de los números telefónicos seleccionados 30 de los números telefónicos seleccionados sean de un establecimiento comercial?.-sean de un establecimiento comercial?.-

15.- Un estudio realizado por la Compañía 15.- Un estudio realizado por la Compañía aseguradora San Cristobal, reveló que los aseguradora San Cristobal, reveló que los propietarios no recuperaron bienes robados, propietarios no recuperaron bienes robados, en 80% de los hurtos reportados por la en 80% de los hurtos reportados por la aseguradora.-aseguradora.-

a) Durante cierto tiempo en el que ocurrieron a) Durante cierto tiempo en el que ocurrieron 200 robos, ¿cuál es la probabilidad de que no 200 robos, ¿cuál es la probabilidad de que no se recuperen bienes objetos de robos en 170 se recuperen bienes objetos de robos en 170 o más de los actos?.-o más de los actos?.-

b) En un período en el que sucedieron 200 b) En un período en el que sucedieron 200 robos, ¿cuál es la probabilidad de que no se robos, ¿cuál es la probabilidad de que no se recuperen los bienes en 150 o más de los recuperen los bienes en 150 o más de los delitos?.-delitos?.-

16.- Cierta empresa de teléfono asigna tarifas bajas a los 16.- Cierta empresa de teléfono asigna tarifas bajas a los clientes que prefieren las horas de menos consumo.- clientes que prefieren las horas de menos consumo.- El 30% de sus clientes aprovecha estos ahorros.- El El 30% de sus clientes aprovecha estos ahorros.- El Departamento de Asuntos del Consumidor ha Departamento de Asuntos del Consumidor ha sometido a estudio a un grupo de interés y esta sometido a estudio a un grupo de interés y esta preparando una entrevista por teléfono preparando una entrevista por teléfono aleatoriamente de 500 clientes.- El Departamento aleatoriamente de 500 clientes.- El Departamento supervisor quiere asegurarse de que el grupo supervisor quiere asegurarse de que el grupo contenga una proporción suficiente de usuario de contenga una proporción suficiente de usuario de tarifa baja.- tarifa baja.-

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 150 a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 150 usuarios de tarifas baja en la entrevista telefónica?.-usuarios de tarifas baja en la entrevista telefónica?.-

b) ¿Cuál es el número más pequeño de usuarios de b) ¿Cuál es el número más pequeño de usuarios de tarifas bajas que probablemente se incluyan en esta tarifas bajas que probablemente se incluyan en esta muestra?.- (Sugerencia: utilice tres desviaciones muestra?.- (Sugerencia: utilice tres desviaciones estándar por debajo de la media).-estándar por debajo de la media).-

17.- La empresa automecánica Roma Service anuncia 17.- La empresa automecánica Roma Service anuncia que puede cambiar un silenciador en 30 minutos o que puede cambiar un silenciador en 30 minutos o menos.- Sin embargo, el departamento de normas de menos.- Sin embargo, el departamento de normas de trabajo de la compañía recientemente hizo un estudio trabajo de la compañía recientemente hizo un estudio y hallo que el 20% de los silenciadores no fueron y hallo que el 20% de los silenciadores no fueron instalados en 30 minutos o menos.- Una filial instaló instalados en 30 minutos o menos.- Una filial instaló 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la empresa es correcto:empresa es correcto:

a) ¿Cuántos de los trabajos de montaje de la filial se a) ¿Cuántos de los trabajos de montaje de la filial se esperaría que tomasen más de 30 minutos?.-esperaría que tomasen más de 30 minutos?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de ocho b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de ocho trabajos requieran más de 30 minutos?.-trabajos requieran más de 30 minutos?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o menos c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o menos montajes tomen mas de 30 minutos?.-montajes tomen mas de 30 minutos?.-

d) ¿ Cuál es la probabilidad de que exactamente ocho d) ¿ Cuál es la probabilidad de que exactamente ocho de los 50 montajes tomen más de 30 minutos?.-de los 50 montajes tomen más de 30 minutos?.-