DINAMIČKO SAVIJANJE OPTIČKI POBUĐIVANE MIKROGREDICE
Dragan M. Todorović Centar za multidisciplinarne studije, Univerzitet u Beogradu, P. fah 33, 11030 Beograd
Rad po pozivu
Sadržaj – U ovom pregledu dati su rezultati proučavanja dinamičkih efektata optički pobuđivanih mikrogredica (jednomaterijalnih i bimaterijalnih). Analizirane su ampli-tude i faze dinamičkog elastičnog savijanja u funkciji od učestanosti modulacije optičke pobude. Pored termoela-stičnih i elektronskih deformacijonih efekata koji imaju glavnog uticaja na dinamiku mikrogredice, proučavani su i drugi važni efekti, kao što su: lateralni toplotni fluks, površinsko naprezanje, toplotni i elektronski gubici, termomehanički šum, odnos signal-šum, itd. Rezultati ovih istraživanja su značajna za senzore, aktuatore i rezonatore zasnovane na mikrogredicama, kao i za atomsku i termalnu mikroskopiju. 1. UVOD 1. 1 Fotoakustična i fototermalna nauka
Fotoakustična (FA) i fototermalna (FT) nauka predstavlja novu disciplinu čiji rezultati nalaze primenu u najrazličitijim oblastima: od fizike, hemije, biologije, medicine do različitih industrijskih primena [1,2], Poslednjih desetak godina, o oviru FA i FT nauke nalazi radi se na proučavanju poluprovodničkih materijala i mikro(opto)elektronskih struktura. Posebno se radi na razvoju nedestruktivnih i nekontaktnih tehnika, pogodnih za primenu u mikroelktronskoj industriji [3]. Na primer, trenutno jedan od najsavršenijih uređaja za neposrednu kontrolu i karakterizaciju u proizvodnji integrisanih kola je izrađen na bazi FT modulacione refleksione metode [4]. Fotoakustična (FA) i fototermalna (FT) nauka se kod mikroeletronskih materijala i struktura zasnovana na fenomenu plazma, toplotnih i elastičnih talasa. Razvijen je niz novih tehnika generacije i detekcije plazma, toplotnih i elastičnih talasa i na osnovu toga napravljeni su novi instrumenti za karakterizaciju materijala. Na primer, na osnovu FT metode razvijena je posebna mikroskopska tehnika - mikrotermografija. Mikrotermografija omogućuje da se "vidi" profil materijala bez njegove destrukcije i ne zahteva kontakt sa materijalom. FA i FT metode su aktivne metode, kod kojih se materijal pobuđuje modulisanim energetskim snopom (elektromagnetski talasi, snopovi čestica) i posmatra se toplotni i/ili elastični odziv (različiti termodifuzioni i termoelastični procesi). Sve ove metode mogu se, prema načinu detekcije, klasifikovati kao: FT modulaciona reflektometrija; FT radiometrija, FT deflektometrija; FT interferometrija i FA metoda. Već niz godina se u okviru FA i FT nauke intezivno radi na razvoju novih metoda i uređaja za karakterizaciju mikro (opto)elektronskih materijala i struktura. Karakterizacija materijala od koga je napravljena mikrostruktura kao i
ispitivanje njenih osobina je važan ali veoma složen problem. Ovakva karakterizacija zahteva nekontaktne i nedestruktivne metode i tehnike merenja kojima bi se određivale različite fizičke i strukturne osobine. FA i FT metode su postale moćno sredstvo i u dijagnosticiranju dinamike fotogenerisanih nosilaca, odnosno plazma talasa. Posebno je značajna primena FA i FT metoda za istraživanje različitih termoelastičnih i elektronskih deformacionih efekata u mikro(nano)strukturama, odnosno senzorima i aktuatorima. 1.2 Mikrogredice za senzore
Mikro(nano)sistemske tehnologije igraju važnu ulogu u
razvoju i proizvodnji minijaturnih senzora, aktuatora, rezonatora i elektromehaničkih delova. Jedna nova klasa visoko osetljivih senzora zasniva se na komercijalno dostupnim mikrogredicama, kao što su one koje se koriste kod atomskih mikroskopa (the atomic force microscopy - AFM). Masovna i jeftina proizvodnja mikrogredica unela je revoluciju u oblasti dizajna pretvarača (senzora, aktuatora, rezonatore). Pored toga, široka primena atomske mikroskopije dovela je do dodatnog interesa za mikrogredice kao osnove za različite tipove senzora.
Danas se govori o posebnoj klasi visoko osetljivih senzora zasnovanih na mikrogredicama. Za razliku od drugih tipova pretvarača, mikrogredice (konzole) su jednostavne mehaničke strukture. Senzori na bazi mikrogredica imaju malu zapreminu i visoku osetljivost. Primena mikrogredica kao senzora zasniva se na detekciji njenih pomeraja (savijanje). Savijanje mikrogredice može se precizno meriti optičkim ili električnim tehnikama. Pored toga, mikrogredice se mogu integrisati sa drugim komponentama, kao što kapacitivna, piezoelektrična, piezotporna, magnetna kola, itd.
Savijanje mikrogredice se određuje najčešće primenom tehnike «optičke poluge», koja omogućuje detekcije pomeraja manjih od 10-12 m, a koja su ispod nivoa mehaničkih (termomehaničkih) šumova mikrogredice. Mikrogredice obezbeđuju različite modove rada (kontaktni, nekontaktni), visoke rezonantne učestanosti, širok dinamički opseg i veliku osetljivost. Kada je u pitanju primena mikrogredica kao senzora i posebno u atomskoj mikroskopiji, one mogu imati različite karakteristike. Najvažniji karakteristika je konstanta krutosti kL mikrogredice koja može biti u opsegu 0. 01 - 100 N/m. Mikrogredice sa vrednostima kL ispod 0. 1 N/m se najčešće koriste za kontaktni mod rada kod atomskih mikroskopa. Mikrogredice veće krutosti sa kL >1 N/m se koriste za rad u nekontaktnom dinamičkom modu jer imaju visoke reuzonantne učestanosti i male amplitude oscilacije od nekoliko nanometara. Ovo obezbeđuje širok dinamički frekvencijski opseg i značajan porast osetljivosti. Najčešće se
Zbornik radova 50. Konferencije za ETRAN, Beograd, 6-8. juna 2006, tom IV Proc. 50th ETRAN Conference, Belgrade, June 6-8, 2006, Vol. IV
155
promenjuju pravougaone i trougaone forme mikrogredica. Tipične dimenzije ovih mikrogredica za primenu kod atomskih mikroskopa sa nanorezolucijom su: 20 - 200 µm dužina, 10 - 20 µm širina i 1 – 10 µm debljina i sa rezonantnim učestanostima od 10-100 kHz. . Ove mikro-gredice najčešće su napravljene od monokristalnog Si i Si3N4. Važni parametric kod senzora zasnovanih na mikrogredicama su:
• Minimalno detektabilno savijanje (Minimum detectable deflection). Za mikrogredice sa optičkom detekcijom savijanja, minimalna detektabilnost savijanja ne zavisi samo od njene osetljivosti na savijanje, već u mnogo većoj meri od nivoa šuma.
• Osetljivost (Sensitivity) Primena mikrogredica omogućuje minijaturizaciju senzora što daje veću osetljivost, ali minijaturizacija ima za posledicu da šum postaje važan problem, odnosno glavni ograničavajući faktor.
• Šum (Noise) u mnogim tipovima mikrosenzora je ključni parametar, koji zavisi kako od same mikrogredice, tako i od uslova primene.
• Odnos signal – šum je bitna karakteristika svakog detektora, odnosno senzora.
1. 3 Optički pobuđivane mikrogredice
Poslednjih godina razvijene su različite tehnike za
direktno pobuđivanje mikrogredica, kao što su magnetna modulacija, piezoelektrična, toplotna, itd. Vibracije mikrogredice mogu biti izazvane i optičkom pobudom (najčešće modulisanim laserskim zrakom), odnosno fototermalnom (FT) modulacijom. FT modulacija i efekti vezani za nju predmet su fotoakustične i fototermalne nauke. Ratcliff i dr. [5] su pokazali da FT pbuda mikrogredice daje veoma dobro definisan rezonantni mod vibracija, dok mehaničko pobuđivanje preko nekog spoljašnjeg aktuatora generiše čitav spektar sa mnoštvom rezonantnih pikov, posebno kada mikrogredica vibrira u nekoj tečnosti. Pored toga, FT tehnika pobude je nekontaktna i praktično isti sistem se koristi i za pobudu i za detekciju.
FT pobuda ima za posledicu pojavu različitih termoelastičnih (TE) i elektronskih deformacijonih (ED) efektata koji mogu imati velikog uticaja na mehanizme vibriranja mikromehaničkih struktura [6]. TE i ED efekti kod elektronskih i poluprovodnićkih materijala se zasnivaju na fotogenerisanju i transportu elektrona i šupljina, odnosno plazma talasa (difuzioni talasi nosilaca). Plazma talasi generisani usled periodične optičke pobude doprinose, preko različitih mehanizama, stvaranju periodično promenjljivih
toplotnih i elastičnih polja, drugim rečima do generisanja toplotnih i elastičnih talasa u uzorku. Teorijska analiza TE i ED efekata u mikromehaničkim strukturama sastoji se u modelovanju složenog sistema preko istovremene analize spregnutih plazma, toplotnih i elastičnih talasnih jednačina [7,8]. U prethodno publikovanim radovima, Todorović i dr. [9, vidi i druge tamo navedene reference], teorijski i eksperimentalno su proučavali uticaj TE i ED efektata na fotoakustični signal, kao i na vibracije mikromehaničkih struktura [10,11 ,12]. U literaturi postoji mali broj radova gde je proučavan uticaj TE i ED efekata na vibraciona svojstva mikrogredica [13, 14]. 2. PLAZMA, TOPLOTNI I ELASTIČNI TALASI U MIKROGREDICI 2. 1 Opšti teorijski model
Opšta teorijska analiza TE i ED efekata se može dati preko sistema delimično spregnutih jednačina za plazma, toplotne i elastične talase u u mikrogredici. Postavlja se sistem spregnutih jednačina koje povezuju polje gustine fotogenerisanih parova elektron-šupljina n(r,t) sa temperaturskim poljem T(r,t) i poljem elastičnih pomeraja u(r,t). Razmatranje spregnutog sistema za ova polja koja opisuju plazma, toplotne i elastične talase u poluprovodničkom materijalu mikrogredice, gde svaka vrsta talasa može da utiče na ostala dva tipa talasa, predstavlja složen teorijski problem za koji ne postoje analitička rešenja u opštem obliku. Najčešće se razmatraju nespregnute transportne jednačine, gde se pretpostavlja, na primer, da na fotogenerisane nosioce u poluprovodniku ne utiču povratno termoelastične pojave, ili da na toplotne talase ne utiču povratno elastični ili plazma talasi. Međutim, nekada se ove sprege moraju uzimati u obzir. Tako na primer, u slučaju jako dopiranog poluprovodnika ne može se zanemariti uticaj temperaturskog gradijenta u poluprovodniku na difuziju nosilaca, odnosno ne može se zanemariti sprega toplotnih i plazma talasa i tada se razmatra prostiranje tzv termoelektronskih talasa u poluprovodniku [15]. Posmatrajmo poluprovodnik sa izotropnim i homogenim optičkim, toplotnim i elastičnim osobimama koji se pobuđuje laserskim zrakom. Laserska pobuda generiše plazma, toplotne i elastične talase, koji se prostiru po zapremini uzorka. Delimično spregnut sistem dinamičkih transportnih jednačina za plazma, toplotne i elastične talase u poluprovodniku su [7]:
_______________________________________________________________________________
t),,G((nn-t),n(
-t),n( D= t
t),n( oo2E r
-t)r,rrr +
∂∂
+∇∂
∂ττ
oTTT
(1)
t),,Q( t
t),( n-t),(n
t),t
t),T( 2o2 rrur
rr +∂
∂∇++∇=
∂∂
TG
TT KE
DT(D ετ
(2)
),t,()t,(-)t),(( µ) +(λ + t),(µ t
t),(ρ 222
rrrururu nT nT ∇−∇×∇∇∇=∂∂ δβ (3)
_______________________________________________________________________________
156
gde je DE koeficijent (ambipolarne) difuzije nosilaca, τ je vreme života fotogenerisanih nosilaca, EG je energetski procep poluprovodnika, no je ravnotežna koncentracija nosilaca, DT je toplotna difuzivnost, µ, λ su Lame elastične konstante, r je vektor-položaj, t je vreme, ρ je gustina, K je toplotna provodnost uzorka, To je ravnotežna temperatura, εT je termoelastični faktor sprege, Q(r,t) je toplotni izvor/ponor, G(r,t) je 'izvor' fotogenerisanih nosilaca, βT je koeficijent zapreminskog toplotnog širenja i δn je koeficijent elektronske elastične deformacije u poluprovodniku. Drugi član sa desne strane u jednačini (2) karakteriše efekte generacije toplote usled zapreminske rekombinacije, a treći član opisuje generaciju toplote usled elastičnih talasa. Treći i četvrti član u elastičnoj jednačini (3) predstavlja 'izvorni' član i opisuje uticaj plazma i toplotnih talasa na elastične talase. Pobuda elastičnih talasa u poluprovodniku izazvana je toplotnim širenjem kristalne rešetke i promenom deformacionog potencijala pri generaciji parova elektron-šupljine. U većini praktičnih razmatranja može se pretpostaviti da na plazma talasa ne utiču efekti temperaturskih oscilacija i elastične pojave. Tako na primer, uticaj toplotnih talasa na plazma pojave u poluprovodniku može se zanemariti, ako za ravnotežnu koncentraciju slobodnih nosilaca no , u slučaju periodične laserske pobude, važi sledeći uslov [16]:
,min ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ) ( + 1 DD 1,
ET k
D kK » n 2oo
T
E
G
oB2
EBo τωτω (4)
gde je kB je Boltzmanova konstanta, τo je vreme života ravnotežnih nosilaca ω je učestanost modulacije optičke pobude. Za tipičan Si uzorak na sobnoj temperaturi, sprega toplotnih i plazma talasa (termoelektronski talasi) može biti zanemarena kada je koncentracija ravnotežnih nosilaca no>elT
oT
CcT
ζρα (6)
gde je αT koeficijent linearnog širenja, ζT je izotermski moduo stišlivosti, cl je longitudinalna brzina i Ce je specifična toplota pri konstantnoj elastičnoj deformaciji. Ovaj uslov je skoro uvek ispunjen za slučaj čvrstih tela i ne predstavlja značajnije ograničenje u primeni teorije. Takođe, može se zanemariti toplota generisana usled elektronskih deformacionih mehanizama povezanih sa elektron-fonon
interakcijama. Prema tome, teorijski model se dodatno pojednostavljuje zanemarujući članove zavisne od elastičnih deformacija u toplotnoj difuzionoj jednačini. Sistem plazma, toplotnih i elastičnih talasnih jednačina zahteva i odgovarajuće granične i početne uslove. Uopšteno, prostorno-vremenska raspodela gustine fotogenerisanih nosilaca u poluprovodniku može biti data nelinearnim jednačinama. Sa druge strane, u zapremini materijala rešenje sistema spregnutih jednačina (2) i (3) pokazuje da postoje tri vrste talasa. Jedna vrsta su longitudinalni talasi, koji opisuju podužne elastične pomeraje usled varijacije temperature i gustine nosilaca. Druga vrsta talasa su transferzalni talasi, koji se prostiru bez uticaja temperaturskog i plazma polja, zato što poprečna elastična deformacija ne izaziva širenje/skupljanje materijala. Treća vrsta talasa su jako prigušeni toplotni talasi koji su slični longitudinalnim elastičnim talasima [19]. Ako se zanemari sprega između n(r,t) i T(r,t), jednačine (1) i (2) postaju obične difuzione jednačine. 2. 2 Fotogeneracija plazma talasa
Teorijsko određivanje raspodele nosilaca u bimaterijanoj
(metal-poluprovodnik) mikrogredici, odnosno u sloju poluprovodničkog materijala, može biti dato na osnovu zonalnog transportnog modela. Uopšteno, može se pretpostaviti da na površini poluprovodnika, odnosno na spoju metal-poluprovodnik, zbog prisustva različitih nečistoća (defekata) postoje površinska energetska stanja koja izazivaju krivljenja energetskih zona uz površinu. U ovoj oblasti dolazi do preraspodele nosilaca, što za posledicu ima pojavu tzv oblasti prostornog naelektrisanja. Fotogeneracija i transport nosilaca u oblasti prostornog naelektrisanja su složene pojave koje se za većinu homogenih poluprovodnika mogu zanemariti, kada je ovo krivljenje zona manje od 0. 5 eV. Pored toga, zanemaruju se i pojave zahvata nosilaca na lokalnim energetskim nivoima u zabranjenoj zoni poluprovodnika. Pretpostavlja se model bipolarnog poluprovodnika sa efektima zapreminske i površinske rekombinacije. Pobudna energija E je veća od širine zabranjene zone EG i apsorbovani fotoni generišu elektrone. Razlika energija ∆E=(E-EG) se preko brzih neradijativnih procesa transformiše u toplotu (tzv proces termalizacije nosilaca). Termalizovani parovi elektron-šupljine, u toku vremena njihovog života τ, se haotično kreću kroz kristal posle čega se rekombinuju. Ovi difuzioni procesi se karakterišu koeficijentom ambipolarne difuzije DE. U toku ovih difuzionih procesa neki nosioci mogu dospeti na površinu poluprovodničkog uzorka, sa nekom verovatnoćom da se tamo rekombinuju. Brzine sg na pobuđenoj strani i sb na suprotnos strani uzorka karakterišu procese površinske rekombinacije. Modulisani optički zrak, apsorbovan u poluprovodniku, pobuđuje elektrone iz valentne u provodnu zonu. Ovaj proces stvaranja parova elektron-šupljina zavisi od intenziteta apsorbovanog laserskog zraka po deljini uzorka I(z,t), njegove energije i koeficijenta optičke apsorpcije. Pošto je optička pobuda uniformna po površini mikrogredice, to se može pretpostaviti da je lateralna raspodela fotogenerisanih nosilaca duž širine i dužine mikrogredice homogena. Pored toga, pretpostavlja se da se nosioci prostiru samo unutar zapremine mikrogredice, čime se problem raspodele gustine nosilaca svodi na jednodimenzioni problem (Sl. 1).
157
poluprovodnik
0 h 1 + h 2 z
x
gas gas
sg
metal
h 1
I o (ω)
sb ( g ) ( b )
( s )
Sl. 1 Fotogeneracija nosilaca po debljini mikrogredice usled
uniformne optičke pobude. U slučaju periodične laserske pobude, za prethodno
uvedene uslove, jednačina (1) za raspodelu gustine nosilaca u poluprovodniku se svodi na običnu difuzionu jednačinu oblika:
( ) ),exp()(, z D E ) R - (1 I = )(zn
L1 -
dzd
Eo22
2
ααωωωω
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (7)
gde je n(z,ω) kompleksna veličina koja definiše amplitudu i fazu gustine nosilaca, Lω2(ω) = LD2/(1+jωτ), LD = (DEτ)1/2 je difuziona dužina pobuđenih nosilaca, Io je intenzitet upadnog laserskog zraka, α je koeficijent optičke apsorpcije, Rs je refleksivnost sa površine poluprovodnika (ili međupovršine na spoju metal-poluprovodnik). U daljem tekstu se za sve veličine koje se odnose na poluprovodnik, radi jednostavnosti, izostavlja indeks 2. Pored toga, za sve veličine će biti izostavljena i oznaka njihove zavisnosti od učesetanosti modulacije ω. Opšte rešenje prethodne difuzione jednačine dato je sledećom relacijom:
,e A + e A + e A = (z)n zLz
-Lz
+α
αωω−− (8)
gde su A+ , A- integracione konstante i Aα partikularni integral. Da bi se odredile prethodne integracione konstante moraju se definisati odgovarjući granični uslovi. Ako se pretpostavi da nema prostiranja plazma talasa izvan poluprovodničkog uzorka, tada je fluks nosilaca koji dospevaju na njegovu površinu srazmeran broju rekombinovanih nosilaca. Prema tome, na graničnim površinama važe sledeći uslovi:
(h)n s = |(z)n dzd D
(0)n s - = |(z)n dzd D
bhzE
gz=0E
=
(9)
gde je h= h1 +h2 ≈h2 debljina poluprovodničkog sloja. Prethodno dati teorijski model pokazuje da postoje dve
oblasti raspodele fotogenerisanih nosilaca u funkciji od učestanosti modulacije pobude. Za ωτ « 1 raspodela nosilaca
je nezavisna od učestanosti ω. Difuzija nosilaca u ovom režimu nema karakteristike plazma talasa, odnosno ima karakteristike kritično prigušenih talasa. Pored toga, analiza raspodela gustine nosilaca pokazuje da su i amplitude i faze gustine nosilaca praktično identične na prednjoj i zadnjoj strani mikrogredice u posmatranom opsegu učestanosti modulacije, što je i razumljivo obzirom na njenu malu debljinu. 2.3 Tolotni talasi u mikrogredici Slićno prethodnom razmatranju prostiranja plazma talasa, odnosno raspodele gustine nosilaca, i za tolotne talase važe slični uslovi. Usled simetrije problema, imajući u vidu da je optička pobuda uniformna po površini mikrogredice, može se pretpostaviti da je lateralna raspodela temperature duž širine i dužine mikrogredice homogena. Pored toga, pretpostavlja se da se razmena toplote sa okolmim gasom (vazduhom) vrši samo kroz prednju i zadnju površinu mikrogredice, dok se toplotni fluks kroz manje bočne površine zanemaruje. Na taj način se problem raspodele temperature svodi na jedno-dimenzioni slučaj (Sl. 1). Jednačina (2) za raspodelu temperature se svodi na:
t),H(z, t)T(z,t
1 22
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
TDz (10)
U jednačini (10) se moraju odrediti zapreminski toplotni izvori H(z,t). Kako je prethodno pokazano u poluprovodniku se generišu nosioci, koji mogu na više načina da izazovu pojavu toplotnih talasa, odnosno postoji više različitih toplotnih izvora u zapremini i na površini poluprovodnika. Fotogenerisani nosioci predaju višak svoje energije ∆E kristalnoj rešetki poluprovodnika. Ovaj proces termalizacije nosilaca traje vrlo kratko (~10-11s) i može se modelovati kao brzi toplotni izvor u uzorku, HT(z):
,e EE
KR) - (1I = (z)H zoG
T ααγ −∆ (11)
gde je γG kvantna efikasnost generacije nosilaca (γG ≈ 1). Fotogenerisani nosioci doprinose toplotnim talasima i preko procesa rekombinacije u zapremini poluprovodnika. Ovi procesi se opisuju preko jednog zapreminskog toplotnog izvora HBR(z), koji zavisi od elektronskih transportnih osobina poluprovodnika:
n(z) K
E = (z)H GRBR
τγ (12)
gde je γR koeficijent zapreminske rekombinacije (γR ≈ 1). Takođe, usled rekombinacije na površini poluprovodnika generiše se toplota, a ovi procesi se opisuju površinskim toplotnim izvorima HiSR (i = g, b), gde indeks g označava izvor na pobuđenoj strani uzorka, a b izvor na suprotnoj strani.
(h)n E s = H
)(hn E s = H
GbSRb
GgSRg 1 (13)
Imajući u vidu prethodno definisane toplotne izvore u mikrogredici koji su posledica optičke pobude, periodična temperaturska raspodela, ф(z), u mikrogredici može biti data kao suma tri komponente:
158
(z) + (z) + (z) = (z) SRBRT φφφφ (14)
gde su фT(z), фBR(z) i фSR(z) termalizaciona, zapreminska i površinska rekombinaciona komponenta kompleksne temperature. Pošto je mikrogredica u kontaktu sa gasom (vazduhom), to se toplotni talasi prostiru i van mikrogredice, tako da se temperaturska raspodela mora znati i u ostalim delovima prostora [sekcije gas (g) – mikrogredica (s) – gas (b), Sl. 1]. Periodične komponente temperaturske raspodele u svakoj sekciji, фi(z), mogu se dobiti preko rešavanja sistema od tri toplotne difuzione jednačine:
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −s=iz),H -
b g,=i0 = k
dzd
iii2
2
(
,2 φ (15)
gde je ki = (1+j)/µi kompleksni koeficijent prostiranja toplotnih talasa, koji zavisi od ω i µi je toplotna difuziona du\ina. U jednačini (15) figuriše opšti izraz za raspodelu gustine toplote Hs(z), odnosno za toplotni izvor u uzorku. U prethodno datom sistemu jednačina pretpostavlja se da toplotni izvori postoje samo u uzorku, odnosno da se pobudno zračenje apsorbuje samo u uzorku.
Za prethodno dati sistem difuzionih jednačina moraju se definisati i granični uslovi za neprekidnost temperature i toplotnog fluksa:
H - |(z)dzd K = |(z)
dzd K
H + |(z)dzd K = |(z)
dzd K
(h) = (h)
(0) = (0)
SRbhzhzbb
SRgz=0z=0gg
b
g
== φφ
φφ
φφ
φφ
(16)
Vidi se da se u prethodnim graničnim uslovima pojavljuju i površinski toplotni izvori koji opisuju površinsku rekombinaciju.
Periodične promene temperature u u poluprovodniku imaju složenu zavisnost od učestanosti modulacije pobudnog zračenja. Izloženi model omogućava da se posebno sračunaju pojedine komponente raspodele temperature u mikrogredici i na njegovoj granici: termalizaciona komponenta (T); komponente usled površinske (SR) i zapreminske rekombinacije (BR). Analiza pokazuje da u oblasti viših učestanosti, kada difuziona dužina nosilaca postaje veća od toplotne difuzione dužine (Lω>µ), "elektronske" komponente (zapreminska i površinska rekombinacija) dominantno određuju promenu temperature. Sl. 3 pokazuje sraćunate amplitude i faze periodične temperaturena na prednjoj (pobuđenoj) ф(0) i zadnjoj ф(h) površini mikrogredice u zavisnosti od učestanosti modulacije uniformne optičke pobude. Vidi se da su amplitude periodične temperaturena na prednjoj i zadnjoj površini mikrogredice praktično identične. Razlika postoji u fazama za učestanosti modulacije optičke pobude (f > 10 KHz). Ovo znači da, pri nižim učestanostima modulacije optičke pobude, promena temperature duž debljine mikrogredice u potpunosti sledi optičku pobudu, odnosno amplituda i faza temperature na prednjoj i zadnjoj površini mikroigredice su praktično iste.
100
102
10 4
106
10810
-3
10-2
10-1
100
101
102
103
f [ Hz ]
am
p ф
( 0 ),
ф( h
) [
K ]
Au / Si gredicaL = 200 umb = 20 um h = 0.2 + 2 um
( a )
100
102
10 4
106
108
-100
-80
-60
faza
ф( 0
), ф
( h )
[ o
]
f [ Hz ]
( b )( - ) ф( 0 ), ( - - ) ф( h )
Sl. 3 Amplituda(a) i faza (b) periodične temperature na prednjoj (pobuđenoj) ф(0) i zadnjoj ф(h) površini mikrogredice u zavisnosti od učestanosti modulacije uniformne optičke pobude. 3. DINAMIČKO SAVIJANJE OPTIČKI POBUĐENE
MIKROGREDICE
3. 1 Toplotne i elektronske elastičnične deformacije TE i ED efekti elektronskih i poluprovodničkih materijala
se zasnivaju na fotogenerisanju elektrona i šupljina, odnosno plazma talasa. Plazma talasi generisani po dubini uzorka doprinose, preko različitih mehanizama, stvaranju periodično promenjljivih toplotnih i elastičnih polja, drugim rečima do generisanja toplotnih i elastičnih talasa u uzorku. Merenjem ovih pomeraja u zavisnosti od učestanosti modulacije
159
pobudnog optičkog zraka mogu se odrediti različite karakteristike mikrostrukture. Amplituda i faza elastičnog savijanja (pomeraj) zavise od niza parametara odnosno efekata, ali glavni uticaj imaju TE i ED efekti. Periodična fotogeneracija nosilaca u poluprovodničkom materijalu mikrogredice i procesi njihovog transporta, termalizacije i rekombinacije (površinska i zapreminska) izazivaju i pojavu toplote. Periodična toplota može izazvati različita elastična naprezanja i deformacije. TE deformacija, εTE(r), je srazmerna temperaturskoj raspodeli, T(r). )T( = )( TTE ,rr αε (17)
Sa druge strane, kako je to prethodno izneto, fotogenerisana plazma može direktno da izazove lokalnu elastičnu deformaciju, odnosno da generiše elastične talase u poluprovodniku. Ova elektronska elastična deformacija εED(r), menja se linearno sa gustinom raspodele nosilaca n(r) i data je relacijom:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
pE
31 = d );(n d = )( G
Tnn
ED rrε (18)
gde je dn je koeficijent elektronske elastične deformacije (predstavlja promenu energetskog preocepa u zavisnosti od pritiska u poluprovodniku pri konstantnoj temperaturi). Za Si dn ima negativnu vrednost, tako da su termoelastična i elektronka deformacija suprotnih znakova; generisani nosioci izazivaju skupljanje materijala dok toplota generisana nosiocima izaziva širenje. Prema elastičnoj teoriji, postoji sledeća jednačina stanja koja povezuje tenzor elastičnog napona sa tenzorom deformacija, uključujući i termoelastičnu deformaciju εTE, i elektronsku elastičnu deformaciju εED:
( )
z).y,x, =j (i, , + + = e
, + 1 - e - 1
+ + 1
E =
zzyyxx
ijED
ijTE
ijijY
ij
εεε
δεενν
νν
εν
σ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
2
(19) gde je σii komponenta tenzora normalnog elastičnog napona, σij je komponenta napona smicanja , v je Puasonov koeficijent, EY je Jangov moduo elastičnosti, δij je Kronekerova funkcija, εij je komponenta elastične deformacije i e je zapreminsko širenje. Elastično savijanje razmatra se kod tanke prizmatične bimaterijalne mikrogredice učvršćene na jednom i slobodne na drugom kraju, sa debljinom h = h1 + h2 mnogo manjom od dužine L i širine b. Jedna strana mikrogredice se pobuđuje intenzitetski-modulisanim homogenim laserskim zrakom. Za uzorak u obliku tanke prizmatične grede, pogodno je izabrati pravougaoni koordinatni sistem (x,y,z), sa osama raspoređenim kao na Sl. 4. Zbog simetrije duž x-ose, a imajući u vidu da se mikrogredica pobuđuje uniformno optički u ravni xy, može se problem nalaženja raspodele elastičnih napona i deformacija (pomeraja) svesti na dvodimenzioni problem. Pod ovim uslovima postoje samo elastični pomeraji ux(x,z) i uz(x,z), tako da se odgovarajuće jednačine za elastični napone i deformacije mogu da pojednostave. Sa druge strane, uzimajući u obzir uslov da je debljina mikrogredice h, mnogo manja od njene dužine L i širine b (h
gde su ρj i Aj = bhj gustina i poprečni presek Si supstrata (j = 2) i Au sloja (j = 1), i M(x,t) je suma momenata. Moment savijanja mikrogredice se definiše kao:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂−=∫ ),(),(
),(),,(),(0
txmtxm + x
txw B dztzxzb= txM nT22h
σ
,),,(,),,(,21
1
1
220
11222111 ∫∫
+
∆=∆=+
=hh
hT
h
TTTTT
T dztzxTzmdztzxTzmBmFmFbm αα
,),,(,21
1
22222 ∫
+
∆==hh
hn
nnn dztzxnzmB
mdFbm
( ) ,12
,1
,43
21211j
jj
j
bhI
EFIIFIFB =
−=−+=
ν
gde je iskorišćena prethodna relacija za σ(x,z,t), B je efektivni krutost na savijanje bimaterijalne mikrogredice, mT , mn su bimaterijalni TE i ED momenti, Ij je inercijalni moment sloja j , αT j je koeficijent elastičnog širenja u sloju j, dn2 je koeficijent elektronske elastične deformacije u Si, mT(x,t) i mn(x,t) su veličine koje karakterišu TE i ED izvorne članove, odnosno opisuju toplotne i plazma talase. Jednačina za elastično savijanje bimaterijalne mikrogredice, odnosno jednačina (3) se svodi na: ( ) ( ) ,mm
x w
x w B =
tw AA nT2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂∂
+∂∂
−∂∂+
2
2
4
4
2211 ρρ (24)
U ovoj jednačini član na levoj strani predstavlja inercioni član, a drugi član u ugaonoj zagradi je izvorni član koji karkteriše generaciju elastičnih talasa usled toplotnih i plazma talasa u materijalu mikrogredice. Kako je prethodno pretpostavljeno, toplotni i plazma talasi se prostiru samo duž debljine, odnosno u pravcu z-ose, dok je raspodela toplote i gustine nosilaca homogena u ostalim pravcima. Iz ovih uslova proističe da je moguće izostaviti generacioni član iz prethodne jednačine. Temperatursko i plazma polje pojavljuju se jedino u graničnim i početnim uslovima. Za slučaj periodične pobude, sa ugaonom učestanošću modulacije pobudnog laserskog zraka ω, jednačina (24) za elastičnno savijanje mikrogredice dobija jednostavniji oblik: 2221144
4
4
)(0),()( ωρρ
ωωωB
AA = k , = x wk -
x+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂ (25)
gde je k(ω) talasni broj. Za niske učestanosti, moguće je zanemariti dinamički (inercioni) član u jednačini (25), odnosno uzeti da je k(ω)=0, pa se dobija kvazstatička diferencijalna jednačina za elastično savijanje tanke mikrogredice. Rešenje prethodne dinamičke jednačine može imati različite oblike zavisno od graničnih uslova za pomeraj w(x,ω) i moment M(x,ω) na krajevima mikrogredice. Za slučaj učvršćenog kraja mikrogredice (x = 0):
,),(0, 00 0 = xxw , = |)w(x x=x =∂
∂ ωω (26)
dok je na drugom kraju (x = L):
,),(0, 33
0 = xxw , = |)M(x LxL=x =∂
∂ ωω (27)
Ne ulazeći u detalje matematičkog postupka, dinamičko elastično savijanje tanke bimaterijalne gredice w(x,ω), dato je relacijom: ),(),(),( ωωω Gxwxw s= (28)
gde je ws(x,ω) kvazistatičko elastično savijanje: [ ],)()(
2),(
2
ωωω nTs mmxxw −−= (29)
dok je G(ω) bezdimenzioni dinamički frekvencijski faktor. Za analizu dinamičkih vibracija mikrogredice, datu u ovom radu, dovoljno je odrediti pomeraj w(L,ω) na njenom slobodnom kraju (x =L):
),(),(),( ωωω GLwLw s= (30)
( ),2
),(2
nTs mmLLw +−=ω
( )ηηη
ηηω
coshcos1
sinhsin)( 2 +=
2G ,
gde je η(ω) = k(ω)L. Bezdimenzioni dinamički frekvencijski faktor G(ω) teži 1 za niske modulacione frekvencije, odnosno dinamičko elastično savijanje mikrogredice, w(L,ω), teži kvazistatičkom savijanju, ws(L,ω).
102
103
10 4 10 5 10610-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
mod. frekvencija [ Hz ]
am
p. e
lastčn
og s
avija
nja
[ nm
]
ED
TE
Sl. 5 Amplituda dinamičkog elastičnog savijanja Au / Si mikrogredice: ( -- ) TE savijanje; ( -. - ) ED savijanje;
( - ) TE + ED savijanje. 3. ANALIZA DINAMIČKOG ELASTIČNOG SAVIJANJA MIKROGREDICE 4. 1 TE i ED savijanje mikrogredice Prethodno dati teorijski model omogućava sračunavanje elastičnog savijanja mikrokrogredice i analizu dinamičkih vibracionih karakteristika, uključujući i TE i ED efekte. Sl. 5
161
pokazuje jedan primer sračunatih amplituda elastičnog savijanja na slobodnom kraju bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice, sa dimenzijama: debljine Au prevlake h1 = 100 nm i Si supstrata h2 = 2 µm, dužina L = 200 µm i širina b = 20 µm. Elastično savijanje je sračunato za tipične parametere Si (sloj 2): koeficijent optičke apsorpcije α2=5x103 cm-1; gustina ρ2=2. 33x10-3 kg/crn3; toplotna provodnost K2=1. 5 W/(cmK); toplotni kapacitet C2 =695 J/(kgK) (toplotna difuzivnost DT2= K2/(ρ2C2)=0. 9 cm2/s); koeficijent toplotnog širenja αT2=3x10-6 1/K; brzina elastičnih talasa v2=5x105 cm/s; koeficijent elektronske deformacije d2=-9x10-25cm3; koeficijent difuzije fotogenerisanih nosilaca DE2=20 cm2/s; vreme života nosilaca τ2=5x10 -5 s i brrzina površinske rekombinacije na prednjoj (optički pobuđenoj) strani sg =1000 cm/s i sb =500 cm/s na zadnjoj strani uzorka; energetski procep EG=1. 11 eV; energija pobude E=1. 96 eV. Za Au (sloj 1) uzeti su sledeći parametri: α1=105 cm-1; gustina ρ1=19. 3x10-3 kg/crn3; toplotna provodnost K1=3. 46 W/(cmK); toplotni kapacitet C1 =135 J/(kgK) (toplotna difuzivnost DT1= K1 / (ρ1C1)=2. 6 cm2/s); koeficijent toplotnog širenja αT1=14. 2x10-6 1/K. Intenzitet optičke pobude (HeNe jaser, 633 nm) je Io =500 mW/cm2.
Sa Sl. 5 se videti da je ED komponenta elastičnog savijanja mnogo manja od TE komponente u oblasti niskih učestanosti. Sa druge strane, za visoke učestanosti ED komponenta je istog reda veličine kao i TE komponenta. 4.2 Jednomaterijalne (Si) i bimaterijalne (Au/Si)
mikrogredice Na Sl. 6 uporedo su data ukupna dinamička elastična
savijanja (TE + ED) za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu. Ukupno elastično savijanje Si mikrogredice je manje za oko jedan red veličine u odnosu na Au/Si mikrogredicu. Za oba tipa mikrogredica elastično savijanje se smanjuje sa povećanjem učestanosti pobude. U oblasti niskih učestanosti (f < 102 Hz), za oba tipa mikrogredica frekvencijska karakteristika je ravna što odgovara kvazistatičkim uslovima. 4. 3 Elastično savijanje mikrogredice: efekat lateralnog toplotnog fluksa U ovom odeljku biće analiziran uticaj lateralnog toplotnog fluksa na dinamičko TE i ED savijanje jednomaterijalne (Si) i bimaterijalne (Au /Si) mikrogredice. U prethodnom razmatranju dinamičkog savijanja mikrogredice smatrano je da je u toplotnom pogledu mikrogredica izolovana od nosača na koji je pričvršćena. Međutim u mnogim realnim situacijama, imajući u vidu da su mnoge mikrogredice tehnološki realizovane postupkom nagrizanja Si, one čine jedinstvenu strukturu sa svojim nosačem koji je od istog materijala. Na taj način postoji toplotni fluks dQ/dx iz mikrogredice u njen nosač (Sl. 7). U skladu sa prethodno datim relacijama za elastično savijanje periodično optički pobuđene mikrogredice, uključujući i lateralni toplotni fluks, dinamička jednačina za elastično savijanje je:
,mx
= x wk - x LF2
24
4
4
),()(∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂ ωω (31)
102 103 10 4 105 10610-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
mod. frekvencija [ Hz ]
am
p el
astič
nog
sav
ijanj
a [
nm ]
Si
Au/Si
Sl. 6 Uporedni prikaz amplituda ukupnog dinamičkog elastičnog savijanja (TE + ED) za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu (Au / Si) mikrogred: ( . ) Si; ( * ) Au / Si .
10 2 10
3 10 4 10
5 10 -6
10 -4
10 -2
10 0
10 2
10 4
f [ Hz ]
am
p. e
last
ic b
endi
ng [
nm
] lat. fluks
Sl. 7 Uticaj lateralnog toplotnog fluksa na amplitudu dinamičkog elastičnog savijanja bimaterijalne (Au / Si) mikrogredice: ( ● ) bez lateralnog toplotnog fluksa; ( * ) sa lateralnim fluksom. gde je mLF(x,ω) moment savijanja usled lateralnog fluksa. Ostale veličine su iste kao i u jednačini (25). Rešenje prethodne jednačine daje elastično savijanje mikrogredice na njenom slobodnom kraju( x = L), uključujući lateralni toplotni fluks [12]: ),(),(),( ωωω LF
sLFLF GLwLw = (32)
,),(),(23
4),(
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−= ωωω LmLmLLw nT
sLF
162
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
++−−=
ηη
ηηηηη
ηω
coshcos1
sinhsinsinhsin21
83)(
2
4LFG,
,),(,),(
,),(
21
1
1
220
11
2221112
∫∫+
∆=∆=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
hh
hT
h
T
TTTTT
dzzTzmdzzTzm
BmFmF
bLxxm
ωω
ααω
,),(,
21
1
22222 ∫
+
∆==hh
hn
nnn dzznzmB
mdFbm ω
Ovde je potrebno ukazati na razliku između relacija mT(x,t) i GLF(ω) datih ovde i prethodno datih relacija gde nije uzet u obzir lateralni toplotni fluks.
Na osnovu ovog modela sračunato je elastično savijanje za jednomaterijalnu (Au) i bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu uključujući lateralni toplotni fluks. Na Sl. 7 pokazan je uticaj lateralnog toplotnog fluksa na amplitudu dinamičkog elastičnog savijanja bimaterijalne (Au / Si) mikrogredice sa lateralnim toplotnim fluksom i bez lateralnog fluksa (mikrogredica koja je izolovan toplotno od svog nosača). Elastično savijanje sračunato je za iste parameter kao i u odeljku 4. 1. Vidi se da se elastično savijanje mikrogredice značajno menja u oblasti niskih učestanosti kao posledica lateralnog toplotnog fluksa.
4. 4 Elastično savijanje mikrogredice: efekat površinskog naprezanja Površinski napon je posledica različitih tehnoloških procesa u postupaka proizvodnje mikromehaničkih struktura. Pored toga, površinski naponi i deformacije mogu biti posledica i račličitih procesa sorpcije na površini. Kod mikrogredica ovi efekti mogu biti vrlo značajni, posebno kod mikrogredica sa posebno deponovanim površinskim slojevima. Da bi se ispitivali uticaji efekata površinskog napona na dinamičke vibracije mikrogredice, površinski napon može biti izražen preko ekvivalentne sile Fs i momenta Ms koji deluje na slobodnom kraju mikrogredice. Na taj način problem se prevodi u razmatranje delovanja aksijalne sile dužinom mikrogredice, slično delovanju sile na oprugu pri njenom istezanju i skupljanju. Uvodeći i odgovarajući moment, pomoću ovog modela mogu se proučavati uticaji površinskog napona na transferzalne vibracije, odnosno vibracije na savijanje mikrogredice. Koristeći prethodno izloženi model za dinamičko savijanje mikrogredice [jednačine (25) i (31)], može se dodavanjem odgovarajućeg člana proširiti model tako da uključuje efekte površinskog napona. Prema tome, u skladu sa elastičnom teorijom pri periodičnoj pobudi, dinamička jednačina za savijanje mikrogredice je:
,),()( 22
42
2
4
4
BsLS,
xm = x wk -
x S-
x=
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂ ωω (33)
gde je s površinski napon (sila po dužini). Ostale veličine su ranije definisane. U prethodnoj jednačini drugi član na levoj strani opisuje uticaj površinskog naprezanja na dinamičko savijanje mikrogredice. Na osnovu prethodno datog teorijskog modela sračunato je elastično savijanje za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu uključujući i efekte površinskog napona. Na Sl. 8 pokazane su uporedo amplitude elastičnog savijanja na slobodnom kraju bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice, sa i bez efekata površinskog napona (aksijalne sile). Elastično savijanje sračunato je za tipične parameter Si (sloj 2) i Au filma (sloj 1). Dimenzije mikrogredice su bile: debljina Au prevlake h1 = 100 nm i Si supstrata h2 = 2 µm, dužina L = 200 µm i širina b = 20 µm. Površinski napon (sila po dužini) je s = 5x10-6 N/m. Sa Sl. 8 se vidi da se amplituda elastičnog savijanja mikrogredice, odnosno frekvencijska karakteristika vibriranja, značajno menja u celokupnom opsegu učestanosti kao posledica površinskog napona.
100 102 10 4 10610-8
10-6
10-4
10-2
100
102
104
am
p el
astič
nog
savi
janj
a [
nm
]
f [ Hz ]
Sl. 8 Elastično savijanje bimaterijalne (Au / Si)
mikrogredice: ( ● ) bez efekata površinskog napona (aksijalne sile); ( * )sa efektima površinskog napona.
5. MIKROGREDICA KAO SENZOR 5. 1 Osetljivost Osetljivost S(ω) mikrogredice je važna karakteristika za njenu primenu kao senzora ili aktuatora. Osetljivost se u slučaju optički pobuđene mikrogredice definiše kao odnos amplitude elastičnog savijanja ⏐w(ω)⏐ i intenziteta modulisane optičke pobude I(ω):
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 2/
,)()(
)(cmW
nmIw
Soωω
ω .
Pod intenzitetom modulisane optičke pobude ovde se podrazumeva pobudna optička snaga Po(ω) po površini mikrogredice Ao = Lb. Trebalo bi naglasiti, da se zbog moguće velike refleksije sa površine mikrogredice (na primer
163
sa metalnog filma kod bimaterijalne mikrogredice), apsorbovana optička snaga P(ω) i snaga upadnog pobudnog snopa Po(ω) mogu bitno da razlikuju. Obzirom da je savijanje mikrogredice funkcija učestanosti modulacije optičke pobude to je i osetljivost zavisna od ove učestanosti.
10 0 10 2 10 4 10610 -6
10 -4
10 -2
10 0
10 2
10 4
f [ Hz ]
Ose
tljiv
ost
[ nm
/ (W
/ cm
2 ) ]
Sl. 9 Osetljivost: ( · ) jednomaterijalne (Si) i
( *) bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice. Sl. 9 pokazuje osetljivost jednomaterijalne (Si) i bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice. Kod sračunavanja osetljivosti uzet je intenzitet apsorbovane optičke pobude od I(ω) = 125 mW/cm2 , dok su ostali korišćeni parametri isti prethodno datim. Amplituda elastičnog savijanja se odnosi na pomeraj na slobodnom kraju mikrogredice (suma TE + ED komponenti), gde je ovo savijanje maksimalno. Vidi se da se sa nekim uobičajenim snagama pobudnog laserskog zračenja Po(ω) = 5 mW (HeNe laser, 633nm, ), dobijaju pomeraji od 4,5 nm za bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu na učestanostima modulacije od 100 Hz. 5. 2 Toplotni i elektronski elastični gubici Postoje više načina na koje se mehanička i toplotna energija mogu da disipiraju tokom vibracija optički pobuđene mikrogredice okružene vazduhom. Ovi gubici su su posebno značajni kod jako tankih mikrogredica(debljine 50 - 500 nm) [20] i bitno zavise od pritiska. Usled vikoznih efekata (interakcije molekula vazduha sa materijalom mikrogredice), dolazi do gubitaka. Mikrogredica koja vibrira može se modelovati kao mehanički oscilator sa gubicima, gde viskozni efekti smanjuju Q-faktor (povećavaju mehaničku otpornost, koja zavisi od pritiska u vazduhu). Q-faktor je važan parameter koji bitno određuje karakteristike svih naprava zasnovanih na mikro(nano) mehaničkim oscilatorima. Kod ovih naprava Q-faktor je tim veći što su manji gubici mehaničke energije. Interesantno je navesti da se Q-faktor može spoljašnjim dejstvom povećati i za dva reda veličine primenom metoda koherentnog pojačavanja oscilacija na rezonantnoj učestanosti (primenom brze povratne sprege) [21]. Eksperimentalna merenja Q-faktora u zavisnosti od pritiska pokazuju dve oblasti promene [22]. Za male pritiske
(tipično manje od 0,1 Pa) Q-faktor je praktično nezavisan od pritiska i određen je unutrašnjim trenjem (the internal friction), dok za veće pritiske Q-faktor opada usled sve značajnijih viskoznih gubitaka. Pod unutrašnjim trenjem (zapreminsko i površinsko) podrazumevaju se različiti mehanizmi disipacije energije kao što su: termoelastični gubici, fonon-fonon rasejanje, migracija defekata, gubici na spoju mikrogredice sa nosačem, itd. Analiza uticaja dimenzija mikrogredica na mehanizme gubitaka dali su autori Jinling i dr. [20]. Oni su našli da:
TE gubici su zanemarljivi za debljine mikrogredica h < 500 nm i dužine veće od L > 10 µm. Međutim, oni postaju značajni kada je debljina mikrogredice h > 500 nm i dužina L < 10 µm;
Viskozni gubici u vazduhu su značajni kada mikrogredice rade pri pritiscima većim od 10-3 mbar. U suprotnom slučaju, pri visokom vakuumu ( 30 µm, kada je Q-faktor proporcionalan sa debljinom mikrogredice.
Gubici na spoju sa nosačem imaju presudan uticaj na Q-faktor mikrogredice kada je L / H < 100;
TE prigušenje je identifikovano kao važan mehanizam
gubitaka kod MEMS (NEMS) naprava [23]. TE prigušenje potiče od sprege toplotnih i mehaničkih pojava. U razmatranju ovakvih pojava uzima se Young modul elastičnosti kao kompleksna frekvencijski zavisna veličina koja uključuje i mehaničke i toplotne karakteristike materijala. Sa kompleksnim modulom, elastična deformacija u materijalu nije u fazi sa primenjenim elastičnim naponom, tako da integral izvršenog rada (gubici energije po jednoj periodi) je funkcija faznog pomeraja. Odnos imaginarne i realne komponente elastičnog modula definiše frekvencijski zavisan faktor dobrote, QTE : ( ) ,1
2
2T
T
oTY
TTE
TEC
Qωτωτ
α+
= (34)
gde je To temperatura okoline; τT je toplotna relaksacija mikrogredice. Toplotna relaksacija mikrogredice τT, može se približno odrediti uz pretpostavku da postoje samo temperaturski gradijent dužinom mikrogredice (slobodan kraj mikrogredice je toplotno izolovan dok je učvršćeni kraj toplotno provodan). U tom slučaju je toplotna relaksacija data relacijom [24]:
TT D
L3
2
=τ . (35)
U prethodnim relacijama se za slučaj bimaterijalne mikrogredice koriste efektivni parametri:
2211
222111
21
222111
21
2211 ,,,hEhE
hEhECK
Dhh
hChCChh
hKhKKYY
YTYTTeff
Teff
effTteffeff +
+==
++
=++
=αααρρ
Kada se mikrogredica uniformno zagreva duž njene dužine (homogena optička pobuda po celoj površini mikrogredice), dobija se toplotna relaksacija za jednomaterijalnu (Si)
164
mikrogredicu od 0,144 ms, dok za bimaterijalnu (Au/Si) iznosi 0,139 ms. Na osnovu ovih vrednosti dobija se za fator dobrote QTE na 100 Hz: za jednomaterijalnu (Si) mikrogredicu ≈500, dok je za bimaterijalnu ≈390. Slična analiza se može sprovesti za elektronske deformacione gubitke, sa analognim relacijama. Međutim, nivo ovih gubitaka je znatno manji u odnosu na TE gubitke tako da se mogu zanemariti. Na Sl. 10 prikazan je sračunat Q-faktor u funkciji učestanosti modulacije za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu. U sračunavanju ove frekvencijske karakteristike korišćena je formula (34) i frekvencijski faktor G(ω) dat jednačinom (30).
10 2 10 3 104 10 5 10610 0
10 1
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
f [ Hz ]
Q -
fakt
or
Sl. 10 Q - faktor: ( · ) jednomaterijalne (Si) i
( *) bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice 5. 3 Termomehanički šum kod mikrogredica
Minijaturizaacija mikro(nano) naprava može dovesti do smanjenja njihovih performansi, što ima svoje fizičko objašnjenje i poznato je kao ''dimenziona klopka'' (the scaling trap). Jedan od osnovnih razloga zašto se smanjuju performanse neke naprave sa smanjenjem njenih dimenzija, je povećanje nivoa šuma.
Postoje dva tipa procesa koji su odgovorni za nivo šuma u mikro(nano)strukturama [25]: (a) disipativni procesi, (b) adsorpcijono-desorpcijoni procesi. Disipativni procesi su važni za generaciju šuma i vezani su za različite procese ireverzbilne konverzije energije u toplotnu odnosno mehaničku energiju. Adsorpcijono-desorpcijoni procesi su vezani za interakciju molekula (atoma, jona) okolnog medija sa porvšinom mikrogredice.
Kod senzora na bazi mikrogredica dominantna pojave koje određuju granicu šuma su različite toplotne pojave. To je i zato što se ostali izvori šuma mogu minimizirati, pažljivim dizajniranjem senzora, do nivoa kada uticaj toplotnog šuma postaje dominantan. Za senzore na bazi optički pobuđivanih mikrogredica svakako najvažniji je termomehanički šum [26]. Ova vrsta šuma je posledica spontanih toplotnih vibracija senzora. Termomehanički šum je specifičnost senzora na bazi mikrogredica. Obzirom da je mikrogredica mehanička
naprava (oscillator), termomehanički šum je od suštinske važnosti pri određivanju performansi.
Mikrogredica akumulira toplotnu (mehaničku) energiju i neprestano je razmenjuje sa okolinom. Stokastičke vibracije (slučajno kretanje) su osnov za pojavu termomehaničkog šuma. Nivo stokastičkih vibracija određen je temperaturom sistema. Ovi fenomeni se mogu modelovati na različite načine, ali se u prvoj aproksimaciji sve mikromehaničke strukture mogu modelovati sa prigušemim mehaničkim oscilatorima. Parametri ovih oscilatora su njihova efektivna masa, konstanta krutosti i mehanička otpornost.
101
102
10 3
104
10510
-6
10-4
10-2
100
102
104
mod. frekvencija [ Hz ]
am
p. e
last
. sav
ijanj
a [
nm ]
signal
F - šum
V - šum
Sl. 11 Amplituda dinamičkog elastičnog savijanja Au / Si
mikrogredice: (-- ) savijanje pri optičkoj pobudi; ( - - ) F – šum; ( -. - ) V-šum;
Postoji više analitičkih modela koji opisuje
termomehanički šum i disipaciju energije u mikrogredicama, odnosno mikro i nanomehaničkim rezonatorima. Za frekvencije mnogo manje od prirodne rezonantne frekvencije ωo sensora, rms amplituda termomehanićkog šuma (m/√Hz) je
QkBTk
woL
B
ωω42 = (36)
gde kB, Boltzmann konstanta, T je temperatura, kL je efektivna konstanta krutosti mikrogredice, Bω je širina frekvencijskog opsega detekcije, Q je faktor dobrote i označava srednju vrednost po vremenu. Analiza termomehaničkog šuma podrazumeva određivanje rezonantne frekvencije vibracija mikrogredice ω0 , konstantu krutosti kL kao i Q-faktora. Da bi se odredio Q-faktor, odnosno spektar termo-mehaničkog šuma, mora se poznavati egzaktno mehanizam gubitaka u mikrogredici i usled razmene energije mikrogredice sa okolinom. Q faktor mikrogredice tipično se menja od 10–20 u vazduhu, dok je u vakuumu veći od 100. Prethodna relacija za amplitudu šuma ne zavisi od učestanosti, pa definiše ''statički'' nivo šuma. Međutim, šum je kod mikrogredica funkcija učestanosti i posebno je izražen u okolini rezonanacija. Spektralna raspodela šuma nije uniformne, što pokazuju i
165
eksperimentalna merenja [27], pa se mora definisati model koji uključuje i frekvencijsku zavisnost. Jedan model tremomehaničkog šuma pretpostavlja da su prigušenja viskozne prirode. Pretpostavka o dominantnom viskoznom prigušenju je tačna za mikrogredice koje se nalaze u fluidu (vazduhu, vodi) i u tom slučaju se može uzeti da je sila prigušenja linearno srazmerna brzini mikrogredice. Spektar šuma je tada dat relacijom [26]:
o
o
o
L
B
Q
QkBTk
wω
ωω
ωω
ω 1
1
14
2
2
2
2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= (37)
Izraz dat jednačinom (37) svodi se, za frekvencije mnogo manje od prirodne mehaničke rezonantne frekvencije ωo (ω 10 koje vibriraju u vazduhu, praktično je primenjljiv model viskoznih prigušenja, dok je za slučaj L/b < 5 bolje primeniti model frikcionih gubitaka.
5. 4 Odnos signal - šum Na osnovu prethodnog sračunatog signala (amplituda i faza elastičnog savijanja periodično optički pobuđivane mikrogredice) kao i dominantnog nivoa šuma (spektralna raspodela rms amplituda termomehanićkog šuma) može se odrediti važna veličina koja karakteriše senzore na bazi mikrogredica, odnos signal – šum (odnos amplitude dinamičkog pomeraja na slobodnom kraju mikrogredice pri periodičnoj optičkoj pobudi i pomeraja kada nema optičke pobude, odnosno usled spontanih vibracija). Na Sl. 12 dat je sračunat odnos signal – šum,
101
102
10 3
104
10510
-1
100
101
102
103
104
105
mod. frekvencija [ Hz ]
odn
os s
igna
l / s
um [
nm
/ ( n
m H
z-1/
2 ) ]
S / N
Sl. 12 Sračunat odnos signal – šum (odnos amplituda dinamičkog elastičnog savijanja Au / Si mikrogredice
periodično optički pobuđene i amplitude spontanih termomehaničkih vibracija
ZAKLJUČAK
Proučavanja dinamičkih efektata optički pobuđivanih
mikrogredica (jednomaterijalnih i bimaterijalnih) predstavlja složen problem koji uključuje mnoge efekte. U ovom preglednom radu dati su rezultati rada autora na pručavanju niza efekata kao što su: termoelastični i elektronski deformacijoni efekti koji imaju glavnog uticaja na dinamiku mikrogredice, zatim lateralni toplotni fluks, površinsko naprezanje, toplotni i elektronski gubici, termomehanički šum,odnos signal-šum. Rezultati ovih istraživanja su značajni za dalji razvoj senzora, aktuatora i rezonatora zasnovanih na mikrogredicama koji su optički pobuđene i/ili se vrši optička detekcija njihovog savijanja.
Opšta teorijska analiza dinamike mikrogredica se može dati preko sistema jednačina za plazma, toplotne i elastične talase u u mikrogredici. U ovom pregledu prikazan je sistem jednačina koje povezuju polje gustine fotogenerisanih parova elektron-šupljina sa temperaturskim poljem i poljem elastičnih pomeraja. Uz pomoć ovog modela sračunate su i analizirane amplituda i faza dinamičkog elastičnog savijanja
166
mikrogredice u funkciji od učestanosti modulacije optičke pobude. Ukupno dinamičko elastično savijanje (suma termoelastičnog i elektronskog deformacijonog savijanja) jednodimenzione (Si) mikrogredice je za otprilike jedan red veličine manje od elastičnog savijanja kod bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice. Za oba tipa mikrogredica elastični pomeraj se smanjuje sa povećanjem učestanosti modulacije optičke pobude. Za niske učestanosti (f < 102 Hz), oba tipa mikrogredica imaju ravnu frekvencijsku karakteristiku. Ova frekvencijska karakteristika se bitno menja na niskim učestanostima ako se pretpostavi da mikrogredica nije toplotno izolovana u odnosu na svoj nosač (uticaj toplotnog lateralnog fluksa). Na karakteristike vibriranja mogu bitnog uticaja imati i efekti površinskog naprezanja. Analiza pokazuje da ovi efekti mogu drastično da promene frekvencijsku karakteristiku oba tipa mikrogredica. Na osnovu sračunatog signala (amplituda i faza elastičnog savijanja periodično optički pobuđivane mikrogredice) kao i dominantnog nivoa šuma (spektralna raspodela rms amplituda termomehanićkog šuma) određen je odnos signal –šum. Amplituda dinamičkog elastičnog savijanja bimaterijalne (Au / Si) mikrogredice usled periodične optičke pobude je nezavisna od učestanosti pobude na sasvim niskim učestanostima. Sa porastom učestanosti, sve do rezonantne učestanosti, amplituda dinamičkog elastičnog savijanja pokazuje zavisnost ~f- -1/2. Sa druge strane, analiza šuma pokazuje da na sasvim niskim učestanostima on zavisi od učestanosti ~f- -1/2, dok na višim učestanostima praktično do rezonantne učestanosti ne zavisi od f. Ovo je tipično za termomehanički šum usled frikcionih prigušenja. Sračunati odnos signal-šum menja se od ~104 na sasvim niskim učestanostima do 2x103 blizu rezonantne učestanosti. Na rezonantnoj učestanosti odnos signal šum može dostići i 5x104. Na učestanostima iznad osnovnog vibracijonog moda odnos signal – šum naglo opada i svoj minimum dostiže na učestanosti antirezonantnog moda. ----------------------------------- Ovaj rad je urađen u okviru tehnološko-razvojnog projekta Ministarstva za nauku i životnu sredinu R. Srbije TD. 6154 B. ----------------------------------- REFERENCE [1] D. Almond, P. Patel, Photothermal Science and
Techniques, Chapman&Hall, London, 1996. [2] Semiconductors and Electronic Materials, Eds. A.
Mandelis and P. Hess, Series: Progress in Photothermal and Photoacoustic Science and Technology, Opt. Eng. Press, New York, 2000.
[3] A. Mandelis, P. Hess, Eds., Semiconductors and Electronic Materials, SPIE Opt. Eng. Press, Belingham, Washington, 2000.
[4] Thermal Wave Inc. [5] G. C. Ratcliff, D. A. Erie, R. Superfine, "Photothermal
oscillation for oscillating mode atomic force microscopy in solution", Appl. Phys. Lett.,72 (15) 1911 (1998).
[6] D. M. Todorović, “Photothermal elastic bending method”, Analytical Sciences, 17, s 141-s144 (2001).
[7] D. M. Todorović, “Plasma, thermal and elastic waves in semiconductor”, Rev. Sci. Instrum., 74 (1), 582-585 (2003).
[8] D. M. Todorović, “Plasmaelastic and thermoelastic waves in semiconductors”, J. Phys. IV France 125 (2005) 551-555
[9] D. M. Todorovic, P. M. Nikolic, Ch. 9 in Semiconductors and Electronic Materials (A. Mandelis and P. Hess, Eds., SPIE Opt. Eng . Press, Belingham, Washington, 2000, p. 273-318.
[10] D. M. Todorović, "Photothermal and electronic elastic effects in microelectromechanical structures", Rev. Sci. Instrum., 74 (1), 578-581 (2003).
[11] D. M. Todorović, A. Bojicic, "Photothermal dynamic elastic bending in microcantilever", J. de Physique IV, 125, 459-463 (2005).
[12] D. M. Todorović, T. Grozdić, Proc. 1st International Workshop on Nanoscience & Nanotechnology IWON 2005, Belgrade, Serbia and Montenegro, November 15 - 18, 2005, p. 37.
[13] A. Prak, T. S. J. Lammerink, " Effect of Electronic Strain on the Optically Induced Micanical Moment in Silicon Microstructures", J. Appl. Phys., 71(10), 5242 (1992).
[14] T. Gotoh, S. Nonomura, S. Hirata, S. Nitta, "Photothermal bending spectroscopy:bending effect of film/substrate by thermal expansion", Progress in Natural Science, Supp. to vol. 6, S-34-37, (1996).
[15] A. Mandelis, M. Nestoros, C. Christofides, "Thermoelec-tronic-wave coupling in laser photothermal theory of semiconductors at elevated temperatures", Opt. Eng., 36(2), 459-468 (1997).
[16] V. A. Sablikov and V. B. Sandomirskii, "Theory of the effect in semiconductors," Sov. Phys. Semicon., 17(1), 50-53 (1983).
[17] V. Sablikov, Phys. Techniq. Semicon., 21(12), 2177 (1987).
[18] A. D. Kovalenko, Osnovi termouprugosti, Akad. Nauk, USSR, Kiev, 1970.
[19] J. C. Podstrigacz, Termouprugost tel neodnorodnoi strukturii, Nauka, Moscow, (1986).
[20] 1. Y. Jinling, O. Takahito, E. Masayoshi, “Energy Dissipation in Submicrometer Thick Single-Crystal Silicon Cantilevers”, J. of Microelectromechanical Systems; 11 (6), 775 (2002).
[21] T. R. Albrecht, P. Grütter, D. Horne, and D. Rugar, “Frequency modulation detection using high-Q cantilevers for enhanced force microscope sensitivity”, J. Appl. Phys., 69 (2), 668-673, (1991).
[22] K. Yasumura, T. Stowe, E. Chow, T. Pfafman, T. Kenny, B. Stripe, D. Rugar, "Quality Factors in Micron-and Submicron-Thick Cantilevers", IEEE J. Micromech. S., 9(1), 117-125 (2000).
[23] A. Duwel, J. Gorman, M. Weinstein, J. Borestein, P. Ward, “Experimental study of thermoelastic damping in MEMS gyros”, Sensors and Actuators A, 103, 70-75 (2003).
[24] J. K. Gimzewski, Ch. Gerber, E. Meyer, and R. R. Schlittler, Chem. Phys. Lett. 217, 589 (1994).
[25] Z. Djurić, Proc. 1st International Workshop on Nanoscience &Nanotechnology IWON 2005, Belgrade, Nov 15 - 18, 2005, p. 17
167
[26] P. Datskos, N. Lavrik, S. Rajic, "Performance of uncooled microcantilever thermal detectors", Rev. Sci. Instrum., 75(4), (2004).
[27] D. A. Walters, J. P. Cleveland, N. H. Thomson, P. K. Hansma,M. Wendman, G. Gurley, V. Elings, " Short cantilevers for atomic force microscopy", Rev. Sci. Instrum., 67(10), 3583 (1996),.
[28] E. Majorana, Y. Ogawa, " Mechanical thermal noise in coupled oscillators", Phys. Lett. A, 233 (1997).
[29] D. M. Todorović, T. Grozdić, “Dinamičko savijanje optički pobuđivane mikrogredice: odnos signal-šum”, 50. ETRAN, Beograd, jun 2006, vol. 4.
Abstract – In this review the results of investigation of the dynamic effects in optically excited microcantilevers (onematerials and bimaterials) were done. The amplitude and
phase of the dynamic elastic bending of the microcantilever was calculated in the function of the frequency of modulation of the optical excitation. Besides the thermoelastic and electronic deformation effects which have the main influence on the dynamics of the microcantilever, the other important effects as the thermal lateral flux, surface stress, thermal and electronic deformation losses, thermomechanicl noise, signal-noise ratio were investigated. The results of these investigations are important for sensors, actuators and resonators based on the microcantilevers and for atomic force and thermal microscopy. DYNAMIC BENDING OF THE OPTICALLY DRIVEN
MICROCANTILEVERS
D. M. Todorović
168
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown
/Description >>> setdistillerparams> setpagedevice
Recommended
