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VENDREDI 11 AVRIL 2014 LYCÉE BENJAMIN FRANKLIN

8h -10h

NOM Prénom : Classe :

Classes de seconde

DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES

• L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve mais l’échange en est interdit.

• L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

• Sauf indication contraire, tout résultat doit être soigneusement justifié et tous les calculs doivent être

clairement explicités.

• Sauf indication contraire, tout résultat est attendu en valeur exacte.

• Les 8 exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre. • Rendre la copie à l’intérieur de cette double feuille.

Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il soit complet.

Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.

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EXERCICE 1 : fonction numérique (6 points)

Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet (tableaux et pointillés).

On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle [−5 ; 6].

Répondre par lecture graphique aux questions suivantes :

1. Donner l’image de –1 par f : ……………………..……………………………………………………………………

2. Donner le(s) antécédent(s) de 2 par f : ………………………………………………………………………………..

3. Donner le maximum de la fonction sur l’intervalle [–5 ; –1], pour quelle valeur de x est-il atteint ?

…………………………………………………………………………………………………………………………......

4. Compléter le tableau de variation de f :

x �5 6

Variations de f

5. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 1 : ………………………………………………………………………..

6. Dresser le tableau de signes de la fonction f.

x

Signe de f

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

2

3

-1

-2

0 1

1

x

y

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EXERCICE 2 : géométrie dans l’Espace (6 points)

Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur la copie.

Pour son anniversaire, Sylvain sert du champagne en apéritif. Il a acheté des flûtes pour l’occasion. Le contenant de la flûte est un cône de hauteur 14 cm, de disque de base � de diamètre 6 cm. La flûte mesure 20 cm de hauteur. La boite est un parallélépipède rectangle de dimensions 20cm×6cm×6cm. Ci-contre sont représentées, à une même échelle, une flûte ainsi que sa boite. 1. Calculer la hauteur (réelle) du pied de la flûte, c’est-à-dire la longueur BC.

2. Calculer, au mm près, la longueur AB.

3. Calculer la quantité maximale de champagne que peut contenir la flûte. On arrondira le résultat au centième.

4. En mesurant sur le dessin :

a. Calculer l’échelle utilisée pour réaliser le dessin.

b. Donner, au choix, l’angle de fuite ou calculer le coefficient de réduction de la perspective cavalière utilisée pour dessiner la boite.

Formule du volume d’un cône : Aire de la base × hauteur

3

EXERCICE 3 : statistiques (6 points)

Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet (pointillés).

À la fin de la saison, on dresse le bilan des scores des clubs de basket ayant participé à un tournoi. On obtient les résultats suivants :

1. Combien de clubs sont concernés ? …………………………………………………………………………………

2. Déterminer l’étendue et la moyenne des scores durant ce tournoi (les résultats seront donnés au centième près).

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

3. Quel est le pourcentage de clubs ayant obtenu un score supérieur ou égal à 50 (arrondir au dixième près) ?

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

4. a. Déterminer, en justifiant, la médiane et les quartiles de cette série statistique.

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

b. Quel score minimal fallait-il obtenir pour être classé parmi le quart des meilleurs clubs ?

……………………………………………………………………………………………………………………………

�

B

A

C

scores 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 55 56 57 effectifs 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 2 2 5 2 3 1 2

O

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EXERCICE 4 : probabilités (6 points)

Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet (tableau et pointillés).

En fin de journée, la caissière d’un magasin relève tous les tickets de caisse qui lui permettent de savoir : • le moyen de paiement utilisé par les acheteurs : Carte Bleue, Chèque ou Espèces. • Le montant des achats qu’elle classe en 2 groupes : montant de moins de 10 € et montant supérieur ou égal à 10 €. Pour la journée dont elle fait le bilan, il y a eu 200 achats. • Il y a eu 50 paiements par chèque ; • Il y a eu autant de paiements en carte bancaire que de paiement en espèces ; • Parmi les paiements en espèces, 15 sont d’un montant supérieur ou égal à 10 € ; • Le tiers des achats payés par carte bancaire correspondent à un montant inférieur à 10 € ; • Le magasin n’accepte pas les chèques lorsque l’achat est d’un montant inférieur à 10 €.

Paiement par carte bancaire

Paiement par chèque

Paiement en espèces

Total

Montant inférieur à 10 €

0

Montant supérieur ou égal à 10 €

Total 50 200

1. Compléter le tableau ci-dessus.

2. La caissière prend au hasard un ticket de caisse parmi les 200, on suppose que tous les tickets de caisse ont la même probabilité d’être choisis. On considère les évènements suivants :

A : « le montant de l’achat est inférieur à 10 €», B : « le paiement a été fait par carte bancaire », C : « le paiement a été fait en espèces ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement A, puis celle de l’évènement B.

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

b. Décrire en une phrase chacun des évènements A ∩∩∩∩ B et A ∪∪∪∪ B puis calculer leur probabilité.

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

c. Décrire en une phrase l’évènementC , puis calculer sa probabilité.

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

3. La caissière a pris un ticket de caisse correspondant à un paiement par carte bancaire. Quelle est la probabilité que le montant de l’achat soit supérieur ou égal à 10 € ?

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

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EXERCICE 5 : algorithmique (4 points)

Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet (tableau et pointillés). Voici un algorithme :

1. Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; I, J).

Faire fonctionner cet algorithme avec les points A(2 ; 4), B(4 ; 3) et C(3 ; 1) (test 1).

Faire fonctionner cet algorithme avec les points A(−1 ; −1), B(−2 ; 0) et C(1 ; 0) (test 2).

Dans le tableau, ne pas détailler les calculs, indiquer les résultats sans justifier.

2. Quel est le rôle de cet algorithme ? ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

XA YA XB YB XC YC R S T réponses

Test 1

Test 2

Variables : XA , YA , XB , YB , XC , YC , R , S et T nombres réels

Début de l’algorithme

• Afficher le message « point A : » ; Saisir XA ; Saisir YA • Afficher le message « point B : » ; Saisir XB ; Saisir YB • Afficher le message « point C : » ; Saisir XC ; Saisir YC • R prends la valeur (XB − XC)

2 + (YB − YC)2

• S prends la valeur (XA − XC)2 + (YA − YC)

2 • T prends la valeur (XB − XA)

2 + (YB − YA)2

• Si R = S + T , alors afficher « en A » sinon afficher « pas en A » • Si S = R + T, alors afficher « en B » sinon afficher « pas en B » • Si T = R + S, alors afficher « en C » sinon afficher « pas en C »

Fin de l’algorithme

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EXERCICE 6 : exercice au choix. (6 points)

Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur la copie (sauf graphique).

Vous ne traiterez qu’un seul de ces deux exercices : choisissez le « A » ou le « B ».

EXERCICE A : vecteurs

Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; I, J), soient les points : A(−4 ; 2), B(−2 ; −2), C(4 ; 1).

1. Placer les points A, B et C sur le graphique ci-contre.

2. a. Placer le point E tel que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.

b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point E.

3. a. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [BC].

b. Calculer les coordonnées des vecteurs OA������ et OM�������.

c. Les points A, O et M sont-ils alignés ? Justifier.

EXERCICE B : fonctions affines.

1. Soit f la fonction définie sur � par f (x) = �2x + 3.

a. Déterminer le ou les éventuels antécédents de �2 par la fonction f.

b. Donner, en justifiant, le sens de variation de la fonction f.

c. Soit a et b deux réels tels que a < b. Comparer f (a) et f (b).

d. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; I, J) ci-contre, tracer la courbe �1 représentative de la fonction f.

2. Soit g la fonction affine telle que : g(−1) = −2 et g(5) = 3.

a. Tracer la courbe �2 représentative de la fonction g dans le repère ci-contre.

b. L’expression de g(x) en fonction de x est de la forme m x + p. Déterminer les nombres m et p.

x

y

I

J

O

x

y

I

J

O

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EXERCICE 7 : expressions algébriques (6 points) Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur la copie.

Une entreprise produit jusqu’à 60 tonnes de pâte à papier par mois. Le coût de production en euros pour x tonnes de pâte à papier est donné par la fonction C définie par : C(x) = x2 + 632x + 1 075. L’entreprise vend sa pâte à papier 700 euros la tonne. Un petit rappel bien utile : Bénéfice = Recette −−−− Coût de production. 1. En janvier l’entreprise a produit 30 tonnes de pâte à papier.

a. Quel est le coût de cette production ?

b. Quelle est alors le montant de la vente, c’est-à-dire la recette, de ces 30 tonnes ?

c. Quel bénéfice réalise l’entreprise avec cette production et cette vente ?

2. Pour une quantité de x tonnes de pâte produite et vendue, on note B(x) le montant en euros du bénéfice réalisé. Montrer que les trois expressions suivantes expriment le bénéfice B(x) : Expression 1 : −x2 + 68 x − 1 075 Expression 2 : (43 − x)(x − 25) Expression 3 : −(x − 34)2 + 81

3. Dresser le tableau de signes de (43 − x)(x − 25).

4. En utilisant l’expression la plus adaptée de la question 2., déterminer en justifiant :

a. le bénéfice correspondant à 0 tonne produite (arrêt de la production).

b. la quantité de pâte que doit produire et vendre l’entreprise pour réaliser un bénéfice positif.

c. la quantité de pâte que doit produire et vendre l’entreprise pour réaliser un bénéfice maximum.

EXERCICE BONUS : (2 points)

Dans cet exercice, la réponse à la question sera apportée sur la copie.

Toute piste de recherche, même incomplète sera valorisée.

Un carré ABCD est inscrit dans un cercle de centre E, voir la figure ci-contre.

Déterminer le rapport : aire du carré

aire du disque.

+ E

A

C

B

D