D E S A I NFA K TO R I A L 𝟐 𝒌
A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I
PENDAHULUAN
• Desain faktorial digunakan secara luas dalam percobaan yang melibatkan beberapa faktor dimana di dalamnya
penting dikaji efek bersama dari faktor-faktor tersebut pada respon.
• Salah satu desain faktorial yang penting, karena sering digunakan dalam penelitian, adalah percobaan menggunakan k
faktor yang masing-masing memiliki 2 taraf/level.
• Taral/level dapat berupa kuantitatif: temperatur, tekanan, waktu; maupun kualitatif: dua mesin, dua operator, tinggi-
rendah, dll.
• Pengulangan lengkap dari desain tersebut membutuhkan 2 x 2 x … x 2 = 2k observasi, dan disebut desain faktorial 2k.
• Asumsi dalam bab ini:
– faktornya tetap
– desainnya random
– asumsi normal terpenuhi
• Desain faktorial 2k secara khusus berguna dalam tahapan awal suatu
eksperimen, ketika terdapat banyak faktor yang harus diinvestigasi.
• Desain ini memberikan banyak pengujian terkecil dengan k faktor yang dapat
dikaji dalam desain faktorial lengkap.
• Akibatnya, desain ini secara luas digunakan dalam factor screening
experiments.
FAKTORIAL 2𝑘
• Misalkan kita menggunakan dua faktor: A dan B (masing-masing memiliki 2
taraf). Desain ini disebut desain faktorial 22.
• Secara praktis, kita sebut dua taraf sebagai rendah dan tinggi.
• Contoh:
Suatu investigasi akan efek konsentrasi reaktan dan jumlah katalis dalam
konfersi pada suatu proses kimia.
A: konsentrasi reaktan (15% dn 25%);
B: katalis (2 pound dan 1 pound).
DATA
Faktor Kombinasiperlakkuan
UlanganTotal
A B 1 2 3
- - A rendah, B rendah 28 25 27 80
+ - A tinggi, B rendah 36 32 32 100
- + A rendah, B tinggi 18 19 23 60
+ + A tinggi, B tinggi 31 30 29 90
UlanganB
TotalRendah Tinggi
A
Rendah
1 28 18
2 25 19
3 27 30
Tinggi
1 36 31
2 32 30
3 32 29
SECARA GEOMETRI
• Apabila digambar dalam segiempat:
– keempat kombinasi diwakilkan oleh huruf kecil;
– Pada kombinasi taraf yang keduanya tinggi: dinotasikan dengan huruf kecil dari keduanya;
– Pada kombinasi taraf tinggi-rendah: dinotasikan dengan huruf kecil faktor yang tinggi;
– Pada kombinasi yang rendah-rendah: dinotasikan dengan (1).
GAMBAR
PENGARUH
• Pengaruh utama faktor A:
𝐴 =1
2𝑟𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1)
• Pengaruh utama faktor B:
𝐵 =1
2𝑟𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎 − (1)
• Pengaruh interaksi AB:
𝐴𝐵 =1
2𝑟𝑎𝑏 + 1 − 𝑎 − 𝑏
PENGARUH
• Sehingga percobaan dalam contoh menjadi:
𝐴 =1
2 ∙ 390 + 100 − 60 − 80 = 8.33
𝐵 =1
2 ∙ 390 + 60 − 100 − 80 = −5
𝐴𝐵 =1
2 ∙ 390 + 80 − 100 − 60 = 1.67
• Efek A positif: peningkatan A dari level rendah ke level tinggi akan meningkatkan konversi.
• Efek B negatif: peningkatan jumlah katalis ke dalam proses kimia, akan menurunkan konversi.
• Pengaruh interaksinya relatif kecil
PERHITUNGAN
2
k
2
k
2
k
ab a b (1)JKA
2 r
ab b a (1)JKB
2 r
ab (1) a bJKAB
2 r
2
k
2ijk
YFK
2 r
JKT Y FK
JKG JKT JKA JKB JKAB
TABEL ANOVA
SV db JK KT F
A 1 JKA KTA KTA/KTG
B 1 JKB KTB KTB/KTG
AB 1 JKAB KTAB KTAB/KTG
Galat … JKG
Total abr-1
STANDAR ORDER
• Dalam menulis kombinasi perlakuan, baiknya dalam urutan: (1), a, b, ab.
• Pengurutan ini disebut standard order atau Yates’ order.
• Menggunakan order ini, koefisien kontras yang digunakan pada estimasi efek
adalah:
Faktor A B AB
(1) -1 -1 +1
𝑎 +1 -1 -1
𝑏 -1 +1 -1
𝑎𝑏 +1 +1 +1
DESAIN 23
• Misalkan: kita menggunakan 3 faktor A, B, C sehingga kita melakukan 23 desain.
• Tanda “+” dan “-” untuk tinggi dan rendah.
• Standard order untuk perlakuan: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.
A B AB C AC BC ABC
(1) - - + - + + -
𝑎 + - - - - + +
𝑏 - + - - + + +
𝑎𝑏 + + + - - - -
𝑐 - - + + - + +
𝑎𝑐 + - - + + - -
𝑏𝑐 - + - + - - -
𝑎𝑏𝑐 + + + + + + +
DESAIN 23 SECARA GEOMEETRIK
PENGARUH FAKTOR
• Contoh: menentukan pengaruh faktor A
• Pengaruh faktor A:
𝐴 =1
2𝑘−1𝑟− 1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑐𝑏 + 𝑎𝑐𝑏
• Jumlah kuadrat A
𝐴 =1
2𝑘𝑟− 1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑐𝑏 + 𝑎𝑐𝑏 2
• Pengaruh faktor B, C, dan interaksi, dapat ditentukan lewat matriks desain 23.
PENGARUH FAKTOR DAN INTERAKSI SECARAGEOMETRIK
LATIHAN 1
• A : reaktan (15% dan 25%)
• B : katalis (1 pound dan 2 pound)
CombinationReplicate
TotalI II III
A rendah, B rendah 28 25 27 80
A tinggi, B rendah 36 30 32 98
A rendah B tinggi 18 20 23 61
A tinggi, B tinggi 32 30 29 91
LATIHAN 2
• Efek dari persentasi karbonisasi (A), tekanan pengoperasian (B), kecepatan antrian (C) pada
tinggi minuman bersoda. Misalkan terdapat 2 taraf karbonisasi, sedemikian sehingga desain
faktorialnya menjadi 23 dengan 2 kali perulangan.
– Tentukan rumus setiap pegaruh perlakuan (dengan aturan Yate’s)
– Tentukan rumus JK-nya
DATA LATIHAN 2
Kombinasi RunFaktor Deviasi Tinggi
A B C Ulangan 1 Ulangan 2
A, B, C rendah (1) -1 -1 -1 -3 -1
A tinggi a 1 -1 -1 0 1
B tinggi b -1 1 -1 -1 0
A, B tinggi ab 1 1 -1 2 3
C tinggi c -1 -1 1 -1 0
A, C tinggi ac 1 -1 1 2 1
B, C tinggi bc -1 1 1 1 1
A, B, C tinggi abc 1 1 1 6 5
Taraf dari faktor:A (%) : 10 dan 12B (psi) : 25 dan 30C (b/min) : 200 dan 250
DATA UNTUK R
A B C U1 U2
-1 -1 -1 -3 -1
1 -1 -1 0 1
-1 1 -1 -1 0
1 1 -1 2 3
-1 -1 1 -1 0
1 -1 1 2 1
-1 1 1 1 1
1 1 1 6 5
1. Copy, kemudian paste tabel tersebut ke dalamnotepad.
2. Simpan dalam .txt
FAKTORIAL 23 DENGAN R
> softdrink = read.table("D:\\Subjects\\Rancangan Percobaan\\Rancob
R\\softdrink.txt", header = TRUE)
> softdrink.df = data.frame(respon = c(softdrink$U1, softdrink$U2),
rbind(softdrink[,1:3], softdrink[,1:3])) # membuat data frame data
> softdrink.df[,2:4] = lapply(softdrink.df[,2:4], factor) # mengubah
kolom 2-4 menjadi faktor
> hasil = aov(respon ~ A*B*C, data = softdrink.df)
> summary(hasil)
Input data
ANOVA
HASIL
FUNGSI LAPPY
• Fungsi lappy digunakan untuk mengaplikasikan suatu FUNGSI ke setiap anggota X. Hasilnya
adalah daftar yang memiliki panjang yang sama dengan X.
• Sintaks: lapply (x, FUN, …)
Dimana:
𝑥: merupakan obyek/data
FUN: fungsi yang akan diaplikasikan ke-𝑥
Contoh:
> x <- list(a = 1:10, beta = exp(-3:3))
> lapply(x, mean) # merata-ratakan a dan beta
FUNGSI RBIND
• Fungsi rbind digunakan untuk menggabungkan obyek berdasarkan baris
• Sintaks: rbind(x, y, z, …)
Dimana
𝑥, 𝑦, 𝑧, … : merupakan obyek yang akan digabungkan berdasarkan baris
Recommended
