Derivadas y sus aplicaciones

2º Bachillerato

Derivada de una función en un punto

Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es

Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.

f '(p) = h→olim

f(p+h) – f(p)h

h→olim

f(p+h) – f(p)h

Interpretación geométrica de la derivada

Al hacer que h → 0, ocurrirá que

• p + h tiende (se acerca) a p

• Q recorre la curva acercándose a P

• La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente

• La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente

Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .

0

( ) ( )lim ( )h

f p h f pf p

h→

+ − ′=

Ecuación de la recta tangente

a

f(a)

αt

αt

Entonces:• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

• Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)

t

Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:

y – b = m (x – a)

Ecuación de la recta normal

Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces:

Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuación de la recta tangente:

y – f(p) = f '(p) (x – a)

Pendiente de la normal: mn = –1/f '(p)

Ecuación de la normal:y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a)

Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y – f(p) = m (x – p)

Derivadas laterales

α

a

β

f '(a+) = tg α > 0

f '(a–) = tg β < 0

Por ser f '(a+) ≠ f '(a–), f(x) no es derivable en el punto a.

La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,

dado por f '(a+) =

h

xfhxfh

)()(lim

*0

−++→

Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y

por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.

La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si

existe, dado por f '(a –) =

h

xfhxfh

)()(lim

0

−+−−→

Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.

( ) ( )( ) ( )

f a h f af a h f a h

h

+ −+ − = ×

( )0 0

( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h

f a h f af a h f a h

h→ →

+ − + − = × ÷

0 0

( ) ( )lim limh h

f a h f ah

h→ →

+ −= ×

( ) 0 0 f a′= × =

0lim ( ) ( )h

f a h f a→

+ = ( ) es continua en f x x a=

( ) es derivable en f x x= a

Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

f'(0–) = h → 0–lim

f(a + h) – f(a)h =

h → 0–lim

– hh = –1

Relación continuidad y derivabilidad

Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.

y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto

f'(0+) = h → 0+lim

f(a + h) – f(a)h =

h → 0+lim

hh = 1

Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto.

= tgα

= tg β

Función derivada

f '(3) = h→0lim

f(3 + h) – f(3)h =

h→0lim

(3 + h)2 – 32

h = h→0lim

h (h + 6) h = 6

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:

f '(x) = h→0lim

f(x + h) – f(x) h =

h→0lim

(x + h)2 – x2

h = h→0lim

h (h + 2x) h = 2x

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:

f '(2) = h→0lim

f(2 + h) – f(2)h =

h→0lim

(2 + h)2 – 22

h = h→0lim

h (h + 4) h = 4

Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x

Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.

Para obtener la derivada en x

Máximos y mínimos relativos

Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x perteneciente al intervalo.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3).

• La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5).

• m(3, -1)1 5

Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)

Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0

Si la función es constanteentonces f '(c) = 0

Si A es máximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su

pendiente es 0

Si A es mínimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su

pendiente es 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

X

Y

Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo

[a

]bx

f(x)

x+h

f(x+h)

h

Función creciente en [a, b]

f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0

X

Y

[a

]b

x

f(x)

Función decreciente en [a, b]

f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0

f(x+h)

x+hh

f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0

Derivadas y curvatura: concavidad

Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 ⇒ función convexa

X

Y

[a

]b

α1

α2

x1 x2

tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)

X

Y

[a

]bx1 x2

α1

α2

Derivadas y curvatura: convexidad

X

Y

[a

]bx1 x2

a1

a2

X

Y

[a

]b

a1

a2

x1 x2

tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cóncava

Puntos de inflexión

X

Y

P(a, f(a))

f" < 0

f" > 0

f"(a) = 0

Son los puntos en los que la función cambia de curvatura